Pub
.
Ma
.
UAB
Vol
.
26
N°
1
Ma g
1982
TEORIA
DE
PESOS
Y
FUNCIONES
DE
OSCILACIONMEDIA
ACOTADA
José
Ga cía-Cue a
Abengoza
Uni e sidad
de
Salamanca
Rebu
el
18 de
Se emb e
de
1981
ABSTRACT
:
This
is
a
su ey
abou
ce ainaspec s
o
he
heo y o weigh s,
namely
:
he
ela ion
be ween
Ap
weigh s
and
unc ions
o
bounded
mean
oscilla ion,
and
also
he
cen al
ole
played
by
he
class
A1
.
1
.-
La
condición
de
Nelson-Sze
o y las
condiciones
de
Muckenhoup
La
ans o madade
Hilbe
H
de
una
unción
en
la
ec a
sa is-
ace
la
desigualdad
de M
.
Riesz
([151)
(1)

IIR
jH (x)jpdx
<

MP
JI
R
I (X)¡pdx

si
1<p<-
Análogamen e
la
unción
conjugada
H
de
una
unción
en
el
cí culo
T
cum-
ple
:
(1)

JT
jH (x)¡Pdx
< M
p

T
j (x)1pdx

si

1<
p<~
.
Es
na u al
p egun a
pa a
que
medidas,
además
de la de
Lebesgue,
son
cie as
las
desigualdades
(1)
6 (1')
.
Ha dy
y
Li lewood
demos a on
en
1936 ( e [81)
que
(1')
subsis e
si
se
eemplaza
la
medida
de
Lebesgue
dx
po la
medida
du
=Ix1'dx
con
-1<
e
<
p-1
.

S ein,
en
1957,
ex endió
el
esul ado
a
1R
n
n>
1
yun
ope ado
in eg al
singula
de
Calde on-Zygmund
en
luga
de
H
.( e
[161)
.
En
1960,
Helso
y
Szegn
ob u ie on
en
[91
el
siguien-
e
esul ado
no able
:

(1)
y
(1') se
cumplen
pa a
p
=2
con
du en
luga
de
dx
si
y
sólo
si
du
=
w(x)dx
(2)

w(x)
=
eu(x)+(H )(x)
,
IIUIL<-^
1I~IL
`2
A
pesa
de
su
he mosu a,
el
eo ema
de
Nelson-Szegb
iene algunos
aspec os
inquie an es
.
En p ime
luga ,
apa ece
demasiado inculado
a
l,as
condicio-
nes
n=1
y
p
= 2
.
En
e ec o,
Helson
y
Szeg5
p esen an
el

eo ema
como un
esul ado
en
eo ía
de la
p edicción
y en la
demos ación
o iginal
u ilizan
la
aplicación
con o me,
el
espacio
de Hilbe ,
uncionesex e io es,
eo e-
ma
de
Beu ling
e c
.
Po
o o
lado
la
condición
(2)
es
muy
di ícil
de com-
p oba
en la
p ác ica
.
¿Cómo puede
sabe se
si
Ix1'
cumple
la
condición
(2)?
Du an e
los
años
60 se
a ó
de
ex ende
el
eo ema
de
Nelson-Szego
a p #
2,
sin
consegui
nada
in e esan e
.
El
a ance
undamen al
llegó
en
1972,
en
el
abajo
[14] de
Muckenhoup
.
En
él
se
ca ac e izan
los
pesos
w(x)
pa-
a
los
que
el
ope ado
maximal
de
Ha dy-Li lewood
M
es
aco ado
en
LP(w),
1<
p<-
.
Es os
son los
pesos
de la
clase
A
p
de inidade
la
siguien e
o ma
:
w
es á
en
Ap sí y
sólo
si
exis e
una
cons an e
C al
que
pa a
odo in e a-
lo
aco ado
I
CR
(o
en
T)
.
_ 1
(3)

(
1
JI
w(x)dx)(
TU
JI
w(x)
p1
dx)P
-1
< C
Poco
después Hun ,
Muckenhoup
y
Wheeden
demos a on
en
[101
que
pa a
que
H
sea
aco ado
en
LP(w)
es
necesa io
y
su icien e
que
w
E
Ap
.
La
clase
A
p
puede
de ini se
en
IR n

sin más que
sus i ui in e alo
po
cubo
en (3)
.
Coi man
y
Fe e mandemos a on
en
[3]
que
el
eo ema
de
Muckenhoup
se
ex iende
a IR
n
y
ambién
que
si
w
E
A
P
y
K
es un
ope ado
in eg al
singu-
la
de
Calde on-Zygmund,
en onces
K
es
aco ado
en
LP(w)
.
Las
demos aciones
de
es os
eo emas
son
exclusi amen e
de a iable
eal
y
conducen
a
condicio-
nes
más
áciles
de
e i ica
en
la p ác ica
que
(2)
.
Pa a
p = 2 se
ob iene
la
condición
A
2
:
(4)

(-

w(x)dx)(
'
w(x)
-1
dx) <'C
I

I
Combinando
los
eo emasde
Hun -Muckenhoup -Wheeden
y
Nelson-Szegó
se
ob iene
que las
condiciones
(2)
y
(4)
son
equi alen es
.
Es e
es un
hecho
bien
cu ioso
y
' eclama
una-análisis
más
p o undo
.
Es
ácil
e que
la
condición
de
Nelson-Szegá
implica
la
condición
A
2
.
Todo
lo
que hay
que
hace
es
demos a que
si Il II
.<
2
,
en onces
exp
(H )
í
-
~~
A
2
.
Nos
si uamosen
el
cí culo
T
.
Sea
I
un
in e alo
de cen o
eie
o
y
longi ud
III
.
Sea
z
=
(1-jIj/2, )e
¡e0
.
En onces
(con
Pz
núcleo
dePoisson)
1

(

(H )(x)

L-

ín

H

1

L-
(n

H -¡
III

JI

e

dx
~

,

J
n

e

pz

<
-cos

e

m

Re
(

,

J
n-

e

P
z
dx)

_
=
cos
e
W

e
(H )(z)
cos
(z)
_
cos
1

e(H j(z)
Análogamen e
les-

e-(H )(x)dx
<
cos
m
e-(H )(z)
~
"
~

I
de
modo
que
se cumple
(4)
con
C
=(cosll llj
Tenemos
así una
demos acióndi ec a
de
que
(2)
-
(4)
.
Sin
emba go,
que
yo
sepa,
oda ía
no se ha
log ado
demos a di ec amen e
que
(4)
-
(2)
.
Se ía
muy
in e esan e
pode hace lo
( e [11)
.
Como
emos
el
p oblema
es á
en
es udia
de
mane a ina
el
loga i mo
de
un
peso
A2
.
Veamos
,
qué
podemos
deci
ace ca
de
é1
.
En
gene al enemos
la
siguien e
o ma
de
eesc ibi
la
condición
A
2
.
PROPOSICION
1
Sea
~
:
R
n
a

medible
.
En oncese~
E
A2
sí
y
sólo
si
5)
Qup

1

Qel~(x)
-
mQ(~)Id
x <
donde

m
Q
(VP)
=
U

Q
~(x)dx
.
Demos ación
.-
Supongamos
que
se
cumple
(5)
.
Se
sob een iende
que
~es lo-
calmen e
in eg able,
de
modo
que
mQ
W
iene
sen ido
.
(
1
70
e
O(x
)dx)
(

1

e
-
~
(x)
dx)
=
(mul iplicando
po
e-MQM
.emQM)=
Q
)

Q
(
Qe
EX)
-
mQ(O) dx
)
(
1

QemQ
z
= C

si
Ces el
sup emo
que
igu a en
(5)
.
Así
e~
EA2
.
l
1
(
el~(x)-mQ(~lx=
~
)Q
bién
Recíp ocamen e
sea
e~
E
A
2
con
cons an e
C
.
Como ~+
<
e~,
y
e
-
~, se
sigue
que
~+ y ~
son
localmen e
in eg ables
y así ~lo es
am-
I
e
l~(x)-m
Q
(~)I
dx
=L

e~(x)-mQ(~)

dx
+
1Q

~
LEQ
:~(x)
>M
Q
W}
+

1

emQ(~)-~(x)

d
x
<
e-mQ('P)(
1
{xc-QMx)
<mQM)
+e
mQW
(

1

1
e
-~(x)
dx
)
<
2C
pues
Q
JQ
e~P
(x)
dx,
y,
e
-m
Q
(~)
-
exp
(
~
JQ{-~(x)}dx)
<
-~
~Q
e-~(x)dx
po
la
desigualdad
de
Jensen
.
1
'
e~(
x
)dx)
+
Q
eM
Q
W
-
exp
(1

I
(x)dx)
<

2
.- El
espacio
B
.M
.O
.
la
e sión
n-dimensional
de
Helson-Szeg
ó
Es a
ca ac e ización
de
A
2
nos
lle a
al
espacio
B
.M
.O
.
Sea
~
una
unción
localmen e
in eg able
en
1R
n
.
Se
dice
que
~
ieneoscilaciónmedia
aco ada
si
y
sólo
si
~~*
=
sup

Q

JQ10(X)
-
m4
(~)Idx
<
m
Si
en
el
espacio
de las
unciones
de
oscilaciónmedia
aco ada
se
iden i ican
dos
unciones
cuando di ie en
en
una
cons an e
y
se
u iliza
11
li,
como no ma,
se
ob iene
el
espacio
de
Banach
B
.M
.O
. .
En
el
cí culo
se
de ine
B .M.O
.
como
el
espacio
de
las
unciones
de
oscilaciónmedia
aco ada
con
la
no ma
1
T
O(x)dxj

+
11~li*
Se
sigue
de la
p oposición
1
que
(8)

a,
E
A
2
-
109
w
E
B .M.O
.
De
hecho
se
iene
la
PROPOSICION
2

Si
w
EA
p
pa a
algún
1 <
p <
m
en onces
logwC
B .M
.O
.
Demos ación
.-

En p ime
luga
q>
p
:í>A p
CA
q
pues
1

'
1

)q-1
-

1

w-
q
1
1 )

(p-1)
<
(

w

p11
)p-1
po
la
desigualdad
de
Jensen
.
Así,
si
wEA
p
y
p<2,
se á
wEA
2 y, en
consecuencia,
log
wEB
.M
.O
.
_ 1

p
Po
o o
lado
obse amos
que
wEA
p
<
:>
w
p1
E
A
p.,p
,
=
P
=
1
.
En
e ec o,
bas a da se
cuen a
de
que
pll
.

p
1
1
=
1
.

En onces
si
wEA
p
con
p
>
2,
se á
w

p-1
EA
P
,
,
y,
p'
<
2
.
Así
1og(w

p1
)
_ -
p11

1og
.wEB
.M
.0
.
d
e
donde
log
wEB
.M .O
.
El
espacio
B
.M
.O
.
ocupa
un
luga
impo an e
en
el
Análisis
g acias,
sob e odo,
a los
esul ados
siguien es
TEOREMA
1

(John-Ni enbe g
[111) Exis en
C
1
>O,
C
2
>O,
que
dependensólo
de
la
dimensión
n,

ales
que
pa a oda
~E
B .M
.O .,
VQ
y
VC>
0
(9)

~I{x

Q
:I~(x)
-
m,(~)I
>
j}I
<
C
1
exp
{-

.
0
TEOREMA
2
(Fe e man-S ein
[6])
B
.M
.O
.
es
el
dual
del
espacio
de
Ha dy
H
1
.
Es o
equi ale
a
deci
que
la
no ma
n

n
(
10
)
II~II
~
=
in
{
EI1~
j
ll
m

_ ~
o
+

E

RjV~j,4)
EL
W
}
j=0

j=1
(donde las
R j
son
las
ans o madas
de
Riesz),
es
equi alen e
ab
ll*
.
Combinando
la
p oposición
2
con el
eo ema
de
Fe e man-S ein
emos
n
que
si
wEA
2
,
en onces
log
w
= wo
+
E
R
.~
.
con
~
.
E
L
.
Pa a
llega
a
ene
una
ex ensión
de la
mi ad
del
eo ema
de
Nelson-Szegó
hab ía
que
de e mina
una
cons an e
B 1
dependien e
de la
dimensión
--~de
mane a
que
pudie a
oma se
n
E
110
. II
W
<B 1
.

Es o ha
sido
hecho
po
Ga ne
y
Jones
en [7]
.

Mas
adelan e
j=1
ol e emossob e
es e
esul ado
.
La
o a
mi ad
del
eo ema
de
Helson-Szegó
se
ex iende
a 1R
n

u ili-
zando
el
eo ema
de
John-Ni enbe g
.
En
e ec o,
si
~c-
B .M
.O .,
amos
a
e
que exp
(cO)
C A
2
pa a
c
pequeño
.
U ilizamos
la
ca ac e ización
(5) de la
clase
A2
m
I

J
eEIVP(x)
-
m
Q
(
~
)
1
dx
<

cel
~ c
e

'd

=
Q

o
1
JW,
PROPOSICION
3
(11)

{alog
w
:a
>
0,
wEA
2
}
= B .M
.O
.
-En
gene al
se
iene
:
PROPOSICION
4

Si
1<
p
<
{al
og
w
:

a >
0,

w E
Ap
}

= B .M
.O
.
C2
Si
En
pa icula
se
sigue
que
si

li~li
*<
C
2
,
en oncese~
E
A2
.

U ilizan-
do el
eo ema
de
Fe e man-S ein,
es o
puede
exp esa sediciendo
que
exis e
n

n
B

al

que

si

+

E

R
.w
.

con
~
.
EL
-
pa a

odo

j =
0,1,
.
.
.,n
y

E
lk
.
ll
°°
<B
L
2

o
j=1
J
J

J

j=1 J
en onces
e
T
E
=-
A
2
(obse amos
que
el

amañode
~
ono
impo a,
aco ada lejos
de 0 y de
-)
.
Tenemos
así la
ex ensión
de
una
pa e
ma de
Helson-Szegd
.
Podemos
esc ibi
:
ya
que ego
es á
Demos ación
.-
Se
sigue
de la
p oposición
2
que
alog
w
E
B
.M
.O
.
lla>0-IIWEA
2
.
Recíp ocamen e,
si
~
E
B
.M .O
.
yE>
0
es
su icien emen e
queño,
sabemos
que
e"
E
A
.
Así
poniendo
w
=
e"
esul a

1
2

logw
del
eo e-
pe-
Demos ación
.- Si
p
>2,
la
demos ación
es la
misma
que
la
an e io
.
Si
p
<2,
u ilizamos
la
siguien e
obse ación
:
sea
w
E
A
q
,
1
<q
<_y
sea
O<
<
1
;
en onces
w
E
A
q+1-
ya
que
C
>
{(

1
,
.(x)dx)(
-u

1
Q
W(x)

qq
11
dx)q-1}

>
>-
(

JQ
.(x) dx)(
Como
q
+1-
=
p
equi ale
a
=P-1

la
obse ación
que
acabamos
de
demos-
q-1

1
a
puede
e o mula se
diciendo
que
si
w
E
Aq y
1<p<q,
en onces
w
q-1
E
A
p
.
En
pa icula
si
wEA
2
,
w
p-l
EA
p
.
Así

poniendo
w
=
e
(
p
-1)o
E
A

,

es

=

l

log
a
.
p

p-1
e
Como
decíamosan es,Ga ne
y
Jones
demos a on
en [7]
que exis e
una
cons an e
C(n)
que
depende
sólo de
la
dimensión,
al

que
si
e~
E
A2
,
en-
onces
,y
= u+
con
u(=-L°°
y
Il
IL
< C
(n)
.
Combinando
es e
esul ado
con
el
que
esul a
de
aplica John-Ni enbe g
y
Fe e man-S ein
ob enemos
:
TEOREMA
3

Exis en
cons an es
B 1
(n), B2
(n)
n
con
%EL
W
(R
n
)
. .
E
li~j11
W
<Bl(n)
en onces
e~EA
2 y
ecíp ocamen e
si
j
=l n

n
e~EA,
2
en onces

~o
+

ER
j
~
j
con
~
0
EL
(R
n
)
-

E11~
j
B2
(n)
.

Un
aspec-
j-1

j=1
o
us an e
es
que
no
se
ob iene
B
1
=
B 2
y
que
pa a
n =
1
no
esul a
B
71
2
2
IQ
W(X)

(q-1

dx)
(
q-1)
,
y (q
-
1)
=
q+1
-
-
1
.
Si

~
E
B
.M
.O
.

se á
e-~
E
A2
pa a
e
pequeño
ye
(
p
-l
)
o
EA
p 1 <
p<
2
.
n
ales
que
si

+
ER
j
q$
j
j-1
Pa ece que
el
eo ema
3
en lá
mejo
ex ensión
del
eo ema
de
Helson-
Szegb
a
a ias
dimensiones
.
He aqúí
una
o ma
in e esan e
del
eo ema
de
Ga ne -Jones
:
es á
en
B .M.O
.
y
1I 11* <
C
1
(11b
1
11
.+
11b
2
11J
.

Recíp ocamen e,

si

es á
en
B
.M .O .,
en onces
puede
esc ibi se
en
la
o ma

(22)
con
IIb 1
Il
.+
IIb 2
11
m
<
<

C 2
11 IL
.
Coh
la
ayuda
de
es e
eo ema
ob enemos
el

siguien e esul ado
bido
a
Coi man
y
Rochbe g
([41)
.
TEOREMA
6

Si

E
B .M.O
.,
exis en
g,

hE
B
.L
.0
.

ales
que
=
g-h
.
Demos ación
.-
U ilizando
(22) y
esc ibiendo
b2
como
di e enciaen e
pa es
posi i as
y
nega i a,
odo
se
educe
a
e
que,
con
ey ~
como
y
0
<
b(x)
<
k, la
unción
(23)

g(x)
=
J

1

~(

-
)b(Y)dy
IR
E(y)
ne
g = g1 +
g2
mQ(g1)

JQ
(J~n
E(Y)n
~(
l
X
YT
)b
1
(Y)dY)dx
Sean x,x'
E
Q
.

En onces
Ig2(x)
-
92(x')1
=
I
J
IRn
Q

E(Y)n
w
~)
-
~(é-))b2(Y)dY
Pa a
y
EIR
n
Q,

Ix-y1
~
Ix'
-
y1
,
de
o ma
que
las
Y,
Ix'-y
I<E(y)
son
compa ables
.
Se
sigue
que
el
sea
e(y)
>
aix-y1
pa a
alguna
cons an e
geomé ica
a
.
de
Lipschi z
pa a
~
y
d
es
el
diame o
de
Q se
end á
126
de-
sus
a iba
es á en
B
.L
.0
.
Sea
Q un
cubo
.
Esc ibimos
b =
b
1
+b
2
con
b
1
=
b
.
XQ
.
Llamando
gi
i=
1,2
ala
unción
ob enidaen
(23)
poniendo
b
i
en
luga
de b,
end emos
<

T70

J~n
E(Y)n

ln
0(_

)dx
b1(Y)dY
=

JIRn
b
l
(Y)dY
<k
-

-
--
3nk
condiciones
Ix-y1
<
E(Y),
in eg ado
es 0 a
menos
que
Si
L
es la
cons an e

92(x)
-
9 2
(x')1
`_
L
1

1
n
l
e
-x1l
b2(Y)dy
_
E(Y)
-m

<
(R
n
Q)
n
{e(Y)
>
aIx-Y1}
<
La
-
n-1kd

I

YIn+1

<

(cons )k
.
x-
x-y
1
>
cd
donde
(cons )
depende
sólo de
~
y
de la
dimensión
.
Combinando
las dos
es i-
maciones
ob enemos
mQ(9) -inn g
<
mQ(g1)
+
M
Q
(g2)
-
in
n g2 <
(cons )
k +
+ 1
IQ
(g2
-
in
n
g2 )dx <
(cons )k
.
COROLARIO
1
Exis e
una
cons an e
C
que
depende
sólo
de
la
dimensión
al
que
si
a y
B
son
cons an es
>
0,
g
y
h
son
unciones
localmen e
in eg ables
> O y b es
una
unción
aco ada,en onces
(24)
(x)
=
alog
Mg(x)
-
0log
Mh(x)
+
b(x)
es á en
B
.M
.O
.
con
ji Ij*
<
C(a
+B+
¡Ib1jj
Recip ocamen e
cualquie
E
B .M.O
.

puede
esc ibi se
en la
o ma
(24)
con
a
+B+
Ilbil
m
<
C
Il l~
Es
es a
una
cu iosa
ca ac e ización
de B .M.O
.,
consecuencia
de
odo
lo
que
an ecede
.
En
cuan o
a la
es uc u a
de
los
pesos
enemos
es e o o
COROLARIO
2

Si
w
E
A
p
con
1<p<
m
,
exis ennúme os
a,
B >_
0
y
pesos
w
1
>
w
2
E
A
1
ales
que
(25)

w(x)
=
(w1(x))a(w2(x))-R
Demos ación
.-
w
E
Ap
=>
log
w
E
B.M
.O
.
-
log w =
g-h con g,h
E
B
.L
.0
.

Pe o
en onces
g
= a
log
w
l
y
h
=slogw
2
con

a,s
>
0 y
w
l
,
w
2
E
A
1
.
Así
w
-_
e
g-
h
=
w
aw-S
.
1
.
2
Se ía
in e esan e
encon a
una
demos ación
elemen al
del
eo ema
6,
que
no
se base
en
el
esul ado
p o undo
de
Ca leson
.
Respec o
al
co ola io
2,
Coi man
y
Rochbe g
apun an
en su
abajo
[4]
el
in e és
que
iene
p ecisa
a
y
B
.
Muckenhoup
conje u ó
que
pueden
oma se
a
= 1
y
s
=
p-1
.
Que
pa a
w
1
,
w
2
E
A
1
-
_1

_1
m
Q
(
.)(m
Q
(w
p-1
))
p-1 =
(

wl(x)(w2(x))1-pdx)(
-~
(w
1
(x))p
-lw2
(x)dx)P_
1
ICIT
Q

Q
.
w2-P
E
Ap
,
es
elemen al
:
(w2))
1-p
MQ(w
1
)(C
1
mQ (w
l ))
-1mQ (w
2
)
p-1
=
C2
-p
C
1 1
El
ecíp oco
es un
esul ado
p o undo
y
di ícil
ob enido
inalmen e
po
P
.
Jones
en
[121
( e - ambién
[131)
.
TEOREMA
7

w
E
AP
(1
<
p
<-)
sí
y
sólo
si
(26)

w
= w
1
.

w2-
.p

con

w
1
,

w2
E
A1
La
demos ación
se
basa
en la
descomposición
de
Cla edon-Zygmund
y
iene
el
mismo
aspec o
que
la del
eo ema
de
Ga ne -Jones
.
No
puede
so p ende nos
que
a
pa i
del
eo ema
7
esul e
ácil
e
el
eo ema
de
Ga ne -Jones
.
Veámoslo
:
Sea
0
E
B .M
.O
.

y

0<A<
A(~)
.
En onces
eA~
E
A2
=*
e
A
O=
w
w2
1

con
w
l
,
w
2
E
A
1
.

Puedo
esc ibi
w
l
=
hl(M 1)Y,
w
2 =
h2
(M
2
)Y
con
h 1
,
h 2
aco adas
lejos
de 0
e
m,
l
,
2
localmen e
in eg a-
bles
no
nega i as
y 0 <
-
y<
1
p óximos
a
1
.
Así
A~ =
Ylog(M
1
)
-
Y
log(M
2
)
+log h
l -
log
h
2 de
donde
in
L
llo-91~
<

cons
.
g
REFERENCIAS
.1
.-
BAERNSTEIN,A
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"Uni alence
and
bounded
mean oscila ion",Mich
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ema kes
on H
1
and
B
.M
.O
.",
Ad ances
in
Ma h
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.
4
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.
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.
y
y
y
FEFFERMAN,C
.
"Weigh ed
no m inequali ies
o
maximal unc-
ions
and
singula
in eg al?,
S udia
Ma h
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"Ano he
cha ac e iza ion
o
B
.M
.O
."
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o
he
Ame
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no m
inequali ies
o
singula
in e-
g als",
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y
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.M
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o
se e al
a iables",
Ac a Ma h
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L
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mo e heo ems
conce ning
Fou ie
se ies
and
Fou ie powe
se ies",
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p oblem
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p edic ion
heo y",
Ann
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App
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y
WHEEDEN,R
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"Weigh ed
no m inequali ies
o
he
conjuga e
unc ion
and
Hilbe
ans o m",
T ans
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Ame
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Ma h
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Soc
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176,
(1973)
227-
11 .-
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y
NIRENBERG,L
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"On
unc ions
o
bounded
mean oscila ion",Comm
.
Pu e
.
Appl
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Ma h
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.W
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o
A
p
weigh s",
Asociación
Ma
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Española,
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o
Ap
weigh s",
Annals o Ma h
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MUCKENHOUPT,B
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no m
inequali ies
o
he
Ha dy
maximal unc-
ion"
T ans
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Ame
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Soc
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les
onc ionsconjuga s",
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singula
in eg als"
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P oceedings
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