Teoría de pesos y funciones de oscilación media acotada

Pub . Ma . UAB Vol . 26 N° 1 Ma g 1982 TEORIA DE PESOS Y FUNCIONES DE OSCILACIONMEDIA ACOTADA José Ga cía-Cue a Abengoza Uni e sidad de Salamanca Rebu el 18 de Se emb e de 1981 ABSTRACT : This is a su ey abou ce ainaspec s o he heo y o weigh s, namely : he ela ion be ween Ap weigh s and unc ions o bounded mean oscilla ion, and also he cen al ole played by he class A1 . 1 .- La condición de Nelson-Sze o y las condiciones de Muckenhoup La ans o madade Hilbe H de una unción en la ec a sa is- ace la desigualdad de M . Riesz ([151) (1)  IIR jH (x)jpdx <  MP JI R I (X)¡pdx  si 1<p<- Análogamen e la unción conjugada H de una unción en el cí culo T cum- ple : (1)  JT jH (x)¡Pdx < M p  T j (x)1pdx  si  1< p<~ . Es na u al p egun a pa a que medidas, además de la de Lebesgue, son cie as las desigualdades (1) 6 (1') . Ha dy y Li lewood demos a on en 1936 ( e [81) que (1') subsis e si se eemplaza la medida de Lebesgue dx po la medida du =Ix1'dx con -1< e < p-1 .  S ein, en 1957, ex endió el esul ado a 1R n n> 1 yun ope ado in eg al singula de Calde on-Zygmund en luga de H .( e [161) . En 1960, Helso y Szegn ob u ie on en [91 el siguien- e esul ado no able :  (1) y (1') se cumplen pa a p =2 con du en luga de dx si y sólo si du = w(x)dx (2)  w(x) = eu(x)+(H )(x) , IIUIL<-^ 1I~IL `2 A pesa de su he mosu a, el eo ema de Nelson-Szegb iene algunos aspec os inquie an es . En p ime luga , apa ece demasiado inculado a l,as condicio- nes n=1 y p = 2 . En e ec o, Helson y Szeg5 p esen an el  eo ema como un esul ado en eo ía de la p edicción y en la demos ación o iginal u ilizan la aplicación con o me, el espacio de Hilbe , uncionesex e io es, eo e- ma de Beu ling e c . Po o o lado la condición (2) es muy di ícil de com- p oba en la p ác ica . ¿Cómo puede sabe se si Ix1' cumple la condición (2)? Du an e los años 60 se a ó de ex ende el eo ema de Nelson-Szego a p # 2, sin consegui nada in e esan e . El a ance undamen al llegó en 1972, en el abajo [14] de Muckenhoup . En él se ca ac e izan los pesos w(x) pa- a los que el ope ado maximal de Ha dy-Li lewood M es aco ado en LP(w), 1< p<- . Es os son los pesos de la clase A p de inidade la siguien e o ma : w es á en Ap sí y sólo si exis e una cons an e C al que pa a odo in e a- lo aco ado I CR (o en T) . _ 1 (3)  ( 1 JI w(x)dx)( TU JI w(x) p1 dx)P -1 < C Poco después Hun , Muckenhoup y Wheeden demos a on en [101 que pa a que H sea aco ado en LP(w) es necesa io y su icien e que w E Ap . La clase A p puede de ini se en IR n  sin más que sus i ui in e alo po cubo en (3) . Coi man y Fe e mandemos a on en [3] que el eo ema de Muckenhoup se ex iende a IR n y ambién que si w E A P y K es un ope ado in eg al singu- la de Calde on-Zygmund, en onces K es aco ado en LP(w) . Las demos aciones de es os eo emas son exclusi amen e de a iable eal y conducen a condicio- nes más áciles de e i ica en la p ác ica que (2) . Pa a p = 2 se ob iene la condición A 2 : (4)  (-  w(x)dx)( ' w(x) -1 dx) <'C I  I Combinando los eo emasde Hun -Muckenhoup -Wheeden y Nelson-Szegó se ob iene que las condiciones (2) y (4) son equi alen es . Es e es un hecho bien cu ioso y ' eclama una-análisis más p o undo . Es ácil e que la condición de Nelson-Szegá implica la condición A 2 . Todo lo que hay que hace es demos a que si Il II .< 2 , en onces exp (H ) í - ~~ A 2 . Nos si uamosen el cí culo T . Sea I un in e alo de cen o eie o y longi ud III . Sea z = (1-jIj/2, )e ¡e0 . En onces (con Pz núcleo dePoisson) 1  (  (H )(x)  L-  ín  H  1  L- (n  H -¡ III  JI  e  dx ~  ,  J n  e  pz  < -cos  e  m  Re (  ,  J n-  e  P z dx)  _ = cos e W  e (H )(z) cos (z) _ cos 1  e(H j(z) Análogamen e les-  e-(H )(x)dx < cos m e-(H )(z) ~ " ~  I de modo que se cumple (4) con C =(cosll llj Tenemos así una demos acióndi ec a de que (2) - (4) . Sin emba go, que yo sepa, oda ía no se ha log ado demos a di ec amen e que (4) - (2) . Se ía muy in e esan e pode hace lo ( e [11) . Como emos el p oblema es á en es udia de mane a ina el loga i mo de un peso A2 . Veamos , qué podemos deci ace ca de é1 . En gene al enemos la siguien e o ma de eesc ibi la condición A 2 . PROPOSICION 1 Sea ~ : R n a  medible . En oncese~ E A2 sí y sólo si 5) Qup  1  Qel~(x) - mQ(~)Id x < donde  m Q (VP) = U  Q ~(x)dx . Demos ación .- Supongamos que se cumple (5) . Se sob een iende que ~es lo- calmen e in eg able, de modo que mQ W iene sen ido . ( 1 70 e O(x )dx) (  1  e - ~ (x) dx) = (mul iplicando po e-MQM .emQM)= Q )  Q ( Qe EX) - mQ(O) dx ) ( 1  QemQ z = C  si Ces el sup emo que igu a en (5) . Así e~ EA2 . l 1 ( el~(x)-mQ(~lx= ~ )Q bién Recíp ocamen e sea e~ E A 2 con cons an e C . Como ~+ < e~, y e - ~, se sigue que ~+ y ~ son localmen e in eg ables y así ~lo es am- I e l~(x)-m Q (~)I dx =L  e~(x)-mQ(~)  dx + 1Q  ~ LEQ :~(x) >M Q W} +  1  emQ(~)-~(x)  d x < e-mQ('P)( 1 {xc-QMx) <mQM) +e mQW (  1  1 e -~(x) dx ) < 2C pues Q JQ e~P (x) dx, y, e -m Q (~) - exp ( ~ JQ{-~(x)}dx) < -~ ~Q e-~(x)dx po la desigualdad de Jensen . 1 ' e~( x )dx) + Q eM Q W - exp (1  I (x)dx) < 2 .- El espacio B .M .O . la e sión n-dimensional de Helson-Szeg ó Es a ca ac e ización de A 2 nos lle a al espacio B .M .O . Sea ~ una unción localmen e in eg able en 1R n . Se dice que ~ ieneoscilaciónmedia aco ada si y sólo si ~~* = sup  Q  JQ10(X) - m4 (~)Idx < m Si en el espacio de las unciones de oscilaciónmedia aco ada se iden i ican dos unciones cuando di ie en en una cons an e y se u iliza 11 li, como no ma, se ob iene el espacio de Banach B .M .O . . En el cí culo se de ine B .M.O . como el espacio de las unciones de oscilaciónmedia aco ada con la no ma 1 T O(x)dxj  + 11~li* Se sigue de la p oposición 1 que (8)  a, E A 2 - 109 w E B .M.O . De hecho se iene la PROPOSICION 2  Si w EA p pa a algún 1 < p < m en onces logwC B .M .O . Demos ación .-  En p ime luga q> p :í>A p CA q pues 1  ' 1  )q-1 -  1  w- q 1 1 )  (p-1) < (  w  p11 )p-1 po la desigualdad de Jensen . Así, si wEA p y p<2, se á wEA 2 y, en consecuencia, log wEB .M .O . _ 1  p Po o o lado obse amos que wEA p < :> w p1 E A p.,p , = P = 1 . En e ec o, bas a da se cuen a de que pll .  p 1 1 = 1 .  En onces si wEA p con p > 2, se á w  p-1 EA P , , y, p' < 2 . Así 1og(w  p1 ) _ - p11  1og .wEB .M .0 . d e donde log wEB .M .O . El espacio B .M .O . ocupa un luga impo an e en el Análisis g acias, sob e odo, a los esul ados siguien es TEOREMA 1  (John-Ni enbe g [111) Exis en C 1 >O, C 2 >O, que dependensólo de la dimensión n,  ales que pa a oda ~E B .M .O ., VQ y VC> 0 (9)  ~I{x  Q :I~(x) - m,(~)I > j}I < C 1 exp {-  . 0 TEOREMA 2 (Fe e man-S ein [6]) B .M .O . es el dual del espacio de Ha dy H 1 . Es o equi ale a deci que la no ma n  n ( 10 ) II~II ~ = in { EI1~ j ll m  _ ~ o +  E  RjV~j,4) EL W } j=0  j=1 (donde las R j son las ans o madas de Riesz), es equi alen e ab ll* . Combinando la p oposición 2 con el eo ema de Fe e man-S ein emos n que si wEA 2 , en onces log w = wo + E R .~ . con ~ . E L . Pa a llega a ene una ex ensión de la mi ad del eo ema de Nelson-Szegó hab ía que de e mina una cons an e B 1 dependien e de la dimensión --~de mane a que pudie a oma se n E 110 . II W <B 1 .  Es o ha sido hecho po Ga ne y Jones en [7] .  Mas adelan e j=1 ol e emossob e es e esul ado . La o a mi ad del eo ema de Helson-Szegó se ex iende a 1R n  u ili- zando el eo ema de John-Ni enbe g . En e ec o, si ~c- B .M .O ., amos a e que exp (cO) C A 2 pa a c pequeño . U ilizamos la ca ac e ización (5) de la clase A2 m I  J eEIVP(x) - m Q ( ~ ) 1 dx <  cel ~ c e  'd  = Q  o 1 JW, PROPOSICION 3 (11)  {alog w :a > 0, wEA 2 } = B .M .O . -En gene al se iene : PROPOSICION 4  Si 1< p < {al og w :  a > 0,  w E Ap }  = B .M .O . C2 Si En pa icula se sigue que si  li~li *< C 2 , en oncese~ E A2 .  U ilizan- do el eo ema de Fe e man-S ein, es o puede exp esa sediciendo que exis e n  n B  al  que  si  +  E  R .w .  con ~ . EL - pa a  odo  j = 0,1, . . .,n y  E lk . ll °° <B L 2  o j=1 J J  J  j=1 J en onces e T E =- A 2 (obse amos que el  amañode ~ ono impo a, aco ada lejos de 0 y de -) . Tenemos así la ex ensión de una pa e ma de Helson-Szegd . Podemos esc ibi : ya que ego es á Demos ación .- Se sigue de la p oposición 2 que alog w E B .M .O . lla>0-IIWEA 2 . Recíp ocamen e, si ~ E B .M .O . yE> 0 es su icien emen e queño, sabemos que e" E A . Así poniendo w = e" esul a  1 2  logw del eo e- pe- Demos ación .- Si p >2, la demos ación es la misma que la an e io . Si p <2, u ilizamos la siguien e obse ación : sea w E A q , 1 <q <_y sea O< < 1 ; en onces w E A q+1- ya que C > {(  1 , .(x)dx)( -u  1 Q W(x)  qq 11 dx)q-1}  > >- (  JQ .(x) dx)( Como q +1- = p equi ale a =P-1  la obse ación que acabamos de demos- q-1  1 a puede e o mula se diciendo que si w E Aq y 1<p<q, en onces w q-1 E A p . En pa icula si wEA 2 , w p-l EA p . Así  poniendo w = e ( p -1)o E A  ,  es  =  l  log a . p  p-1 e Como decíamosan es,Ga ne y Jones demos a on en [7] que exis e una cons an e C(n) que depende sólo de la dimensión, al  que si e~ E A2 , en- onces ,y = u+ con u(=-L°° y Il IL < C (n) . Combinando es e esul ado con el que esul a de aplica John-Ni enbe g y Fe e man-S ein ob enemos : TEOREMA 3  Exis en cons an es B 1 (n), B2 (n) n con %EL W (R n ) . . E li~j11 W <Bl(n) en onces e~EA 2 y ecíp ocamen e si j =l n  n e~EA, 2 en onces  ~o +  ER j ~ j con ~ 0 EL (R n ) -  E11~ j B2 (n) .  Un aspec- j-1  j=1 o us an e es que no se ob iene B 1 = B 2 y que pa a n = 1 no esul a B 71 2 2 IQ W(X)  (q-1  dx) ( q-1) , y (q - 1) = q+1 - - 1 . Si  ~ E B .M .O .  se á e-~ E A2 pa a e pequeño ye ( p -l ) o EA p 1 < p< 2 . n ales que si  + ER j q$ j j-1 Pa ece que el eo ema 3 en lá mejo ex ensión del eo ema de Helson- Szegb a a ias dimensiones . He aqúí una o ma in e esan e del eo ema de Ga ne -Jones : es á en B .M.O . y 1I 11* < C 1 (11b 1 11 .+ 11b 2 11J .  Recíp ocamen e,  si  es á en B .M .O ., en onces puede esc ibi se en la o ma  (22) con IIb 1 Il .+ IIb 2 11 m < <  C 2 11 IL . Coh la ayuda de es e eo ema ob enemos el  siguien e esul ado bido a Coi man y Rochbe g ([41) . TEOREMA 6  Si  E B .M.O ., exis en g,  hE B .L .0 .  ales que = g-h . Demos ación .- U ilizando (22) y esc ibiendo b2 como di e enciaen e pa es posi i as y nega i a, odo se educe a e que, con ey ~ como y 0 < b(x) < k, la unción (23)  g(x) = J  1  ~(  - )b(Y)dy IR E(y) ne g = g1 + g2 mQ(g1)  JQ (J~n E(Y)n ~( l X YT )b 1 (Y)dY)dx Sean x,x' E Q .  En onces Ig2(x) - 92(x')1 = I J IRn Q  E(Y)n w ~) - ~(é-))b2(Y)dY Pa a y EIR n Q,  Ix-y1 ~ Ix' - y1 , de o ma que las Y, Ix'-y I<E(y) son compa ables . Se sigue que el sea e(y) > aix-y1 pa a alguna cons an e geomé ica a . de Lipschi z pa a ~ y d es el diame o de Q se end á 126 de- sus a iba es á en B .L .0 . Sea Q un cubo . Esc ibimos b = b 1 +b 2 con b 1 = b . XQ . Llamando gi i= 1,2 ala unción ob enidaen (23) poniendo b i en luga de b, end emos <  T70  J~n E(Y)n  ln 0(_  )dx b1(Y)dY =  JIRn b l (Y)dY <k -  - -- 3nk condiciones Ix-y1 < E(Y), in eg ado es 0 a menos que Si L es la cons an e 92(x) - 9 2 (x')1 `_ L 1  1 n l e -x1l b2(Y)dy _ E(Y) -m  < (R n Q) n {e(Y) > aIx-Y1} < La - n-1kd  I  YIn+1  <  (cons )k . x- x-y 1 > cd donde (cons ) depende sólo de ~ y de la dimensión . Combinando las dos es i- maciones ob enemos mQ(9) -inn g < mQ(g1) + M Q (g2) - in n g2 < (cons ) k + + 1 IQ (g2 - in n g2 )dx < (cons )k . COROLARIO 1 Exis e una cons an e C que depende sólo de la dimensión al que si a y B son cons an es > 0, g y h son unciones localmen e in eg ables > O y b es una unción aco ada,en onces (24) (x) = alog Mg(x) - 0log Mh(x) + b(x) es á en B .M .O . con ji Ij* < C(a +B+ ¡Ib1jj Recip ocamen e cualquie E B .M.O .  puede esc ibi se en la o ma (24) con a +B+ Ilbil m < C Il l~ Es es a una cu iosa ca ac e ización de B .M.O ., consecuencia de odo lo que an ecede . En cuan o a la es uc u a de los pesos enemos es e o o COROLARIO 2  Si w E A p con 1<p< m , exis ennúme os a, B >_ 0 y pesos w 1 > w 2 E A 1 ales que (25)  w(x) = (w1(x))a(w2(x))-R Demos ación .- w E Ap => log w E B.M .O . - log w = g-h con g,h E B .L .0 .  Pe o en onces g = a log w l y h =slogw 2 con  a,s > 0 y w l , w 2 E A 1 . Así w -_ e g- h = w aw-S . 1 . 2 Se ía in e esan e encon a una demos ación elemen al del eo ema 6, que no se base en el esul ado p o undo de Ca leson . Respec o al co ola io 2, Coi man y Rochbe g apun an en su abajo [4] el in e és que iene p ecisa a y B . Muckenhoup conje u ó que pueden oma se a = 1 y s = p-1 . Que pa a w 1 , w 2 E A 1 - _1  _1 m Q ( .)(m Q (w p-1 )) p-1 = (  wl(x)(w2(x))1-pdx)( -~ (w 1 (x))p -lw2 (x)dx)P_ 1 ICIT Q  Q . w2-P E Ap , es elemen al : (w2)) 1-p MQ(w 1 )(C 1 mQ (w l )) -1mQ (w 2 ) p-1 = C2 -p C 1 1 El ecíp oco es un esul ado p o undo y di ícil ob enido inalmen e po P . Jones en [121 ( e - ambién [131) . TEOREMA 7  w E AP (1 < p <-) sí y sólo si (26)  w = w 1 .  w2- .p  con  w 1 ,  w2 E A1 La demos ación se basa en la descomposición de Cla edon-Zygmund y iene el mismo aspec o que la del eo ema de Ga ne -Jones . No puede so p ende nos que a pa i del eo ema 7 esul e ácil e el eo ema de Ga ne -Jones . Veámoslo : Sea 0 E B .M .O .  y  0<A< A(~) . En onces eA~ E A2 =* e A O= w w2 1  con w l , w 2 E A 1 .  Puedo esc ibi w l = hl(M 1)Y, w 2 = h2 (M 2 )Y con h 1 , h 2 aco adas lejos de 0 e m, l , 2 localmen e in eg a- bles no nega i as y 0 < - y< 1 p óximos a 1 . Así A~ = Ylog(M 1 ) - Y log(M 2 ) +log h l - log h 2 de donde in L llo-91~ <  cons . g REFERENCIAS .1 .- BAERNSTEIN,A . "Uni alence and bounded mean oscila ion",Mich . Ma h .Jnal . 23, (1976) 217-223 . 2 .- CARLESON,L . "Two ema kes on H 1 and B .M .O .", Ad ances in Ma h . 22,(1976) 269-277 . 3 .- C0IFMAN,R . 4 .- COIFMAN,R . 5 .- CORDOBA,A . y y y FEFFERMAN,C . "Weigh ed no m inequali ies o maximal unc- ions and singula in eg al?, S udia Ma h .51, (1974), 241-250 . ROCHBERG,R . "Ano he cha ac e iza ion o B .M .O ." P oceeding o he Ame . Ma h . Soc ., 79, (1980) 249-254 . FEFFERMAN,C . "Weigh ed no m inequali ies o singula in e- g als", S udia Ma h . 57, (1976) 97-101- 6 .- FEFFERMAN,C . y STEIN,E .M . "HP spaces o se e al a iables", Ac a Ma h ., 129, (1972) 137-193 . 7 .- GARNETT,J . y JONES,P .W . "The dis ance in B .M .O . o L ", Annals o Ma h . 108, (1978) 373-393 . 8 .- HARDY,G . y LITTLEWOOD,J . "Some mo e heo ems conce ning Fou ie se ies and Fou ie powe se ies", Duke Ma h . J . Vol .2 (1936), 354-382 . 9 .- HELSON,H . y SZEGO,G . "A p oblem in p edic ion heo y", Ann . Ma h . Pu a . App . 51, (1960) 107-138 . 10 .- HUNT,R . MUCKENHOUPT,B . y WHEEDEN,R . "Weigh ed no m inequali ies o he conjuga e unc ion and Hilbe ans o m", T ans . Ame . Ma h . Soc . 176, (1973) 227- 11 .- JOHN,F . y NIRENBERG,L . "On unc ions o bounded mean oscila ion",Comm . Pu e . Appl . Ma h . 14, (1961) 415-426 . 12 .- JONES,P .W . "S uc u e o A p weigh s", Asociación Ma . Española, 1,(1982) 177-191 . 13 .- JONES,P .W . "Fac o iza ion o Ap weigh s", Annals o Ma h ., 11, (1980) 511-530 . 14 .- MUCKENHOUPT,B . "Weigh ed no m inequali ies o he Ha dy maximal unc- ion" T ans . Ame . Ma h . Soc ., 165, (1972) 207-226 15 .- RIESZ,M . "Su les onc ionsconjuga s", Ma h . Zei ., 27, (1927) 218- 244 . 16 .- STEIN,E .M . "No e on singula in eg als" . P oceedings o he Ame . Ma h . Soc ., Vol .8 (1957), 250-254 .