A lattice study of axion inflation

Axioi inflazioaren sare bidezko azterketa Ander Urio Garmendia 2025 Zuzendariak: Joanes Lizarraga Olano Jon Urrestilla Urizabal Tesi hau philosophiae doctor maila lortzeko betebehar gisa aurkeztu da Axioi Inflazioaren Sare Bidezko Azterketa Ander Urio Garmendia Zuzendariak Joanes Lizarraga Jon Urrestilla Leioa 2025 Doktorego tesi hau Euskal Herriko Unibertsitateko PIF20/151 dirulaguntzari esker burutu da. Egileak esker ona adierazi nahi die honako beste dirulaguntzei: MCIU/AEI/FEDER bidezko PGC2018-094626-B-C21 dirulaguntza, MCIN/AEI/10.13039/501100011033/ eta ERDF;“A way of making Europe” bidez finantzatua den PID2021-123703NB-C21 dirulaguntza; Eusko Jaurlaritzaren IT956-16 eta IT1628-22 dirulaguntzak, eta Euskal Herriko Unibertsitatearen 2023 urteko mugikortasun deialdia. ©Copyright by Ander Urio, 2025. All rights reserved. Laburpena Inflazio kosmologikoa unibertso goiztiarreko fenomeno interesgarrienetako bat da, eta esparru indartsu bat eskaintzen du kosmosa bere lehen uneetan eratu zuen oinarrizko fisika aztertzeko. Azken urteotan, sistema zuzenketa kuantikoetatik babesteko duen gaitasuna dela eta, inflatoia axioi motako partikula batekin identifikatzen duten inflazio-ereduek garrantzi nabarmena hartu dute komunitatean. Tesi honetan axioi inflazioaren azterketa sakona aurkezten dugu ϕF ˜ F mihiztadurarako erregimen ez-linealean, eta horretarako saresimulazioak tresna metodologiko nagusi gisa erabiltzen ditugu. Literaturan zegoen aurreko irudia aldatu duten hainbat emaitza berri plazaratu ditugu. Atzera-eragin lokal sendoak inflazio-fasearen hedapen gehigarria eragiten duela erakusten dugu, eta energia magnetikoa nagusi den slow-roll elektromagnetikoaren erregimena du ezaugarri gisa. Fenomeno horiek sentikortasun ultramorea erakusten dute, eta kiralitatearen oreka partzialki berrezartzea eta zeharkakotasuna galtzea eragiten dute. Atzera-eragin sendoaren aurkitutako ezaugarriek unibertsalak diruditen arren, dinamikaren alderdi kuantitatiboak inflazio-potentzialarekiko sentikorrak direla ohartzen gara. Are gehiago, frogatzen dugu literaturan oso erabilia den atzera-eraginaren hurbilketa homogeneoak ez duela dinamika zehaztasunez deskribatzen gauge eremua sendoki mihiztatuta dagoenean. Gainera, inflazioan grabitazio-uhinen ekoizpena aztertzeko metodologia berri bat aurkezten dugu. Gure aurkikuntzek adierazten dute detekzio-perspektibak dinamika ez-linealaren mende daudela era kritikoan. Oro har, lan honek azpimarratzen du sare bidezko simulazioek duten funtsezko garrantzia axioi inflazioaren dinamika konplexua zehaztasunez atzemateko, eta bere iragarpenen eta behaketa-ondorioen aldez aurreko irudia irekitzen du. Argitarapenen Zerrenda Tesi hau ondorengo lanetan oinarritzen da: • D. G. Figueroa, J. Lizarraga, A. Urio, eta J. Urrestilla, “Strong Backreaction Regime in Axion Inflation,” Phys. Rev. Lett. 131 (2023), no. 15, 151003, arXiv:2303.17436 [astro-ph.CO]. • D. G. Figueroa, J. Lizarraga, N. Loayza, A. Urio, eta J. Urrestilla, “Nonlinear dynamics of axion inflation: A detailed lattice study,” Phys. Rev. D 111 (2025), no. 6, 063545, arXiv:2411.16368 [astro-ph.CO]. • J. Lizarraga, C. López-Mediavilla, eta A. Urio, “Comparative study of the strong backreaction regime in axion inflation: the effect of the potential,” JCAP aldizkarira bidalita, arXiv:2505.19950 [astro-ph.CO]. • D. G. Figueroa, J. Lizarraga, N. Loayza, eta A. Urio, “Gravitational waves in axion inflation,” prestatzen. • J. Baeza-Ballesteros, D. G. Figueroa, A. Florio, J. Lizarraga, N. Loayza, K. Marschall, T. Opferkuch, B. A. Stefanek, F. Torrenti, eta A. Urio, “The art of simulating the early Universe – Part II,” prestatzen. • J. Baeza-Ballesteros, D. G. Figueroa, A. Florio, N. Loayza, F. Torrenti, eta A. Urio, “CosmoLattice v2.0: A modern code for lattice simulations of scalar and gauge field dynamics in an expanding universe,” prestatzen. Tesi honen emaitzetan oinarritutako euskarazko dibulgazio-artikuluak: • D. G. Figueroa, J. Lizarraga, A. Urio, eta J. Urrestilla, “Axioi Inflazioa,” V. Ikergazte. Nazioarteko ikerketa euskaraz. Kongresuko artikulu bilduma. Tesian jaso ez diren beste ikerketa-lan batzuk: • M. Hindmarsh, J. Lizarraga, A. Urio, eta J. Urrestilla, “Loop decay in Abelian-Higgs string networks,” Phys. Rev. D 104 (2021), no. 4, 043519, arXiv:2103.16248 [astro-ph.CO]. Ikuspegi Orokorra Tesi honetan aurkeztutako lanak axioi inflazio ereduaren dinamika, potentzialarekiko menpekotasuna eta grabitazio-uhinen ekoizpena aztertzen ditu, eta lehen mailako tresna bezala sare bidezko eremu-teoria erabiltzen da. Tesi hau honako ikerlari hauekin lankidetzan egindako hainbat proiektuk osatzen dute: Jorge Baeza-Ballesteros, Daniel G. Figueroa, Adrien Florio, Kenneth Marschall, Nicolas Loayza, Carmelo López-Mediavilla, Toby Opferkuch, Ben A. Stefanek, eta Francisco Torrenti. Inflazio kosmikoa paradigma bat da, unibertsoaren homogeneotasuna, isotropia eta lautasuna azaltzen dituena, Mikrouhinen hondo kosmikoko (CMB ingelesezko sigletan) tenperaturaanisotropiak eragiten dituzten lehen mailako fluktuazioen jatorria ere bada, eta eskala handiko egitura (LSS ingelesezko sigletan) ereiten du. Paradigma horren inplementazio ezberdinen artean, axioi inflazio ereduek inflatoia axioi gisako eremu bat dela proposatzen dute eta klase bereziki motibatua osatzen dute. Interes aipagarrikoa da axioi motako ϕ inflatoia gauge eremu batera ϕF ˜ F termino baten bidez mihiztatzen den kasua. Mihiztadura horrek gauge eremuaren fluktuazioen ekoizpena eragiten du inflazioan zehar, baita fenomenologia aberatsa eta slow-roll dinamika estandarretik haratago doazen atzera-eragin efektu ez-hutsalak ere. Inflazio kosmikoaren eta haren ondorioei buruzko sarrera akademiko bat egin ondoren 1kapituluan; 2kapituluan, inflazioa energia altuko teoria batean txertatzeko erronkak plazaratuko ditugu, eta, ondoren, axioi inflazioa irtenbide potentzial gisa aurkeztuko dugu. Bere hainbat gauzapenen artean, tesi honetan aztertutako ereduan zentratuko gara: ϕF ˜ F axioi inflazioa. Haren ezaugarri nagusiak pixkanaka deskribatuko ditugu, erregimen linealetik abiatuta, eta, ondoren, erregimen ez-linealera pasatuko gara, non atzera-eraginaren hurbilketa homogeneoa aurkeztuko baitugun literaturako hurbilketa estandar gisa. Orduan, hurbilketa horretatik haratago joateko eta atzera-eragin lokala kontuan hartzeko beharra mahaigaineratzen dugu. Azkenik, axioi inflazioari dagozkion muga eta murrizketa fenomenologikoak berrikusiko ditugu. Lehen bi kapituluak aurreko artikuluetan, berrikusketetan, eta literaturako testuliburuetan oinarritzen dira. Hala ere, kapitulu horietan aurkezten diren irudi gehienak ekarpen propioak dira. Tesi honen lan propioa 3kapituluan hasten da. Bertan, axioi inflazioaren erregimen ez-linealaren sare bidezko simulazioak egiteko behar diren elementu guztiak biltzen ditugu. Horren barruan sartzen dira diskretizazio-formalismo kontsistente eta ondo definitua, helizitate-proiektoreen eta helizitate-bektoreen eraikuntza, hasierako baldintzen ezarpena, 2 eta dinamika ez-lineala era egokian jasotzeko behar diren urratsak. Horrez gain, hainbat egiaztapen gurutzatu egiten ditugu, batez ere literaturan erabiltzen diren metodo estandarrekin: erregimen lineala eta atzera-eraginaren hurbilketa homogeneoa. Kapitulu hau, batez ere, [1,2] lanetan oinarritzen da, eta garatutako kodea CosmoLattice simulaziopaketearen 2. bertsioaren parte da. Kapitulu honen zatiak ere [3] berrikuspenean eta [4] eskuizkribu teknikoan egongo dira, eta 2025eko iraila baino lehen publikoki eskuragarri egotea espero dugu. Azkenik, kapitulu honetan, lan honetan garatutako kodearen errendimendu konputazionala ebaluatzen dugu. Atzera-eragin lokalaren emaitzak 4kapituluan aurkezten dira, [1,2] artikuluetan oinarrituta. Potentzial koadratikoa, literaturan hartu ohi dena, erreferentzia gisa erabiliz, dinamikaren hainbat alderdi aztertzen ditugu atzera-eragin lokala dagoenean. Mihiztaduraren sendotasunaren arabera erregimen desberdinak ezaugarritzen ditugu, eta funtsezko behagarrien eboluzioa aztertzen dugu: inflazioaren iraupena, energia-osagai desberdinen ekarpena eta ereduko materia-sektorearen eskala-mendekotasuna deskribatzen dugu. Horrez gain, ereduaren zeharkakotasuna eta desoreka kirala aztertzen ditugu. Kapituluan zehar, atzera-eragin lokalarekin lortutako emaitzak sistematikoki konparatzen dira atzera-eragin homogeneoko hurbilketakoekin. 5kapituluak, [5] lanean oinarrituta, aurreko kapituluaren analisia askotariko inflaziopotentzial multzo batera zabaltzen du. Potentzial horietatik sortzen diren dinamiken konparaketa sistematikoa egiten dugu, eta aurretik sartutako funtsezko behagarriak ebaluatuz, potentzial koadratikorako behatutako ezaugarriak unibertsalki heda daitezkeen ebaluatzen dugu. Horrez gain, kontuan hartutako inflazio-potentzial guztientzako atzeraeragin homogeneoarekin analisi konparatiboa egiten dugu. Emaitzen azken zatia grabitazio-uhinen ekoizpena eta axioi inflazioan izan dezakeen detektagarritasuna aztertzera bideratzen da. 6kapituluan, sare bidezko inflazioko grabitaziouhinak kalkulatzeko prozedura berri bat proposatzen dugu. Metodo hori erabiliz, perturbazio tentsorialen espektroa kalkulatzen dugu eta egungo behagarrietara eraldatzen dugu; horrela, axioi inflazioan sortutako seinalearen detektagarritasun potentziala ebaluatzeko. Emaitza horiek oraindik martxan dagoen [6] lanaren parte dira. Azkenik, 7kapituluan, egindako lanaren eta lortutako emaitza nagusien laburpen txiki bat egiten da, haien garrantzia eta inplikazioak aztertzen dira, eta etorkizuneko ikerketetarako norabide posibleak azaltzen dira. Tesi honen edukiez haratago, paragrafo hau baliatu nahi nuke autoreak doktoretza garaian egindako beste lan zientifiko batzuei testuingurua emateko. Azpimarratu nahiko nuke unibertso goiztiarrean fenomeno ez-linealak aztertzeko sare bidezko metodoen garrantzia, tesi honetan aztertutako axioi inflazio ereduaren kasu zehatzetik haratago. Lattice Cosmology deitu ohi den eremu horrek beharrezko tresnak eskaintzen ditu eredu horien azpiko fisika era egokian atzemateko eta, ondorioz, iragarpen zehatzak egiteko. Testuinguru zabalago horretan, Abelian-Higgs soka kosmikoek sortutako begizten dinamika ere ikertu du egileak [7,8] lanetan, baita QCD axioiaren zatiketa zinetikoa ere, laster publikoki eskuragarri egongo dena [9] lanean. 3 Notazioa, Konbentzioak eta Bestelakoak Tesian zehar kontuan hartu diren notazio eta konbentzioak hauek dira: •Metrikaren signatura (−1,1,1,1) izango da, •Einstein batuketaren hitzarmena kontuan hartuko da, • Letra grekoek denbora eta espazio indizeak adieraziko dituzte: α, β, γ, ··· = 0 , 1 , 2 , 3, •Letra latindarrek indize espazialak adieraziko dituzte: i, j, k, ··· = 1,2,3, •c= 1 eta ℏ= 1 duten unitate naturalak hartuko dira kontuan, • Levi-Civita-ren sinboloa ϵijk bezala adieraziko da, eta ϵ123 = 1 da (eta permutazio ziklikoak erabiliko dira), • Planck-en masa murriztua honela definitzen dugu: mp = 1 /√8πG = 2 . 435 · 10 18GeV eta GEinsteinen grabitazio-konstantea da, •(˙) tdenbora kosmikoarekiko deribatua da, • ( ′ ) τ denbora konformearekiko deribatua da, dτ = dt/a gisa definituta eta a eskalafaktorearekin, • Esplizituki d/dN idatziko dugu e-fold-ekiko deribatua, eta dN = Hdt gisa definitzen dira H= ˙a/a Hubble-ren parametrorako. 1eta 2kapituluetan, V ( ϕ ) = 1 2m2ϕ2 potentzial koadratikoa erabiliko dugu, non m -k m = 6 . 16 · 10 −6mp balio duen erraztasunagatik eta literaturako lanekin konparazioak egiteko. 3kapituluan, potentzial bera erabiltzen da sare bidezko kodea ezartzeko lanadibide gisa. 4eta 6kapituluetan, emaitzak lortzeko erreferentziazko potentzial gisa balio du, eta kapitulu horien hasieran aztertzen da aukeraketa horren motibazioa. 1 Inflazio Kosmologikora Sarrera Lehenengo kapitulu honetan, inflazio kosmologikoaren kontzeptua eta haren ondorio nagusiak aurkezteko ditugu. Lehenik, Big Bang kosmologiaren oinarrizko ezaugarriak aztertuko ditugu, eta nola arrakastaz azaltzen duen ezagutzen dugun unibertsoaren historia. Ondoren, Big Bang kosmologiaren hiru arazo nagusiak plazaratuko ditugu, eta irakurleari horiei irtenbidea eman diezaiekeen prozesu fisiko bat aurkeztuko diogu: inflazio kosmologikoa. Horrez gain, inflazioa gertatzen den garaia eremu-teoriaren ikuspegitik deskribatuko dugu. Azkenik, aldi horretan sortzen diren perturbazioak garatuko ditugu, eta nabarmenduko dugu nola laguntzen duten teoria egiaztatzen. 1.1 Big Bang kosmologia Unibertsoaren isotropia eskala handietan Big Bang kosmologiaren ezaugarri nagusietako bat da. Propietate hori 1965ean baieztatu zuten lehen aldiz Robert Wilson eta Arno Penzias-ek, mikrouhinen hondo kosmikoa (CMB ingesezko sigletan) neurtu zutenean [10]. Erradiazio hori fotoiek osatzen dute, zeinak ia libreki bidaiatzen hasi ziren Big Banga gertatu eta 380.000 urte igaro ostean. Ordurako unibertsoa nahikoa hoztu zen elektroiak eta protoiak elkartu eta hidrogeno-atomoak osatzeko. Hori dela medio, fotoi horiek unibertso goiztiarrari buruzko informazioa daramate, eta haren milaka milioi urteko egiturari buruzko informazioa eskaintzen digute. Egun erradiazio hori neurtzen dugunean, noranzko guztietan ia berdina dela ikusten dugu: T = 2 . 7255 K tenperatura ia uniformea du, anisotropia oso txikiekin, δT/T ∼ 10 −5 [11] (ikus 1.1 irudia). Unibertsoaren isotropiaren froga argia eskaintzen du beraz CMBak. Gainera, Kopernikoren Printzipioa kontuan hartzen badugu —unibertsoan ez garela behatzaile pribilegiatuak dioena—, ondoriozta daiteke beste edozein behatzailek ere isotropia bera neurtuko duela. Beraz, unibertsoak isotropoa izateaz gain, homogeneoa ere behar du. Erlatibitate Orokorrean, unibertso isotropo eta homogeneo bat deskribatzeko [12,13], Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW) izeneko lerro-elementua behar da, ds2=gµνdxµdxν=−dt2+a(t)2"dr2 1−Kr2+r2dθ2+r2sin2θdφ2#.(1.1) 6Inflazio Kosmologikora Sarrera 1.1 Irudia: Planck satelitearen mikrouhinen hondo kosmikoaren tenperatura anisotropiaren mapa. Fotoi erradiazio ia isotropoa erakusten du, T = 2 . 7255 K tenperaturarekin. Behatutako anisotropia txikiak δT/T ∼10−5ordenakoak dira. gµν metrika tentsorea da, {r, θ, φ} koordenatu esferiko kohigikorrak dira, eta K hiru dimentsiodun espazioko hipergainazalen kurbadura-konstantea. a ( t )funtzioa eskalafaktorea da, eta metrikaren askatasun-maila bat da; unibertso homogeneo eta isotropo baten hedapena edo kolapsoa kontrolatzen duena. Izan ere, egun, hedatzen ari den unibertso batean bizi gara. Hau Edwin Hubble eta Georges Lemaître-k modu independentean aurkitu zuten, 1 galaxien urruntze-abiadura haien distantziarekin proportzionalki handitzen dela behatzean. Hori ikusteko, har dezagun galaxia urrun batek t1 denboran igorritako λ ( t1 ) uhin-luzeradun fotoi multzo bat; zeinak t2 denboran jasoko ditugun, λ ( t2 )uhin-luzerarekin. Kasu horretan, fotoi horiek izango duten gorriranzko lerrakuntza hau da 1 + z≡λ(t2) λ(t1)=a(t2) a(t1).(1.2) Nahikoa hurbil dauden galaxien kasuan, lehen ordenako hurbilketan ondokoa erabil dezakegu: a(t1)≃a(t2) [1 + (t1−t2)H0], non H0=˙a(t2) a(t2),(1.3) eta H0 unibertsoaren egungo Hubbleren konstantea den. Hurbilketa hori gorriranzko lerrakuntzarako erabiltzen badugu, hau da lortuko duguna: z≃H0d , (1.4) d = ( t2−t1 )distantzia fisikoa den behar bezain hurbil dauden galaxientzat, eta gorriranzko lerrakuntza linealki proportzionala da harekiko. Hori da Hubble-Lemaître legea, H0 1 Historikoki, 1929ko ekarpenagatik, Edwin Hubblek jaso izan du aitorpen nagusia [14]. Hala ere, azken urteotan, Georges Lemaîtreri ere aintzatespen bera eman zaio, unibertsoaren hedapenari buruz 1927an argitaratu zuen lan independenteagatik [15,16]. 1.1 Big Bang kosmologia 7 hedapen abiadura kontrolatzen duena, H0 = 67 . 4 ± 0 . 5 km/s/Mpc [11] balioarekin gaur. 2 Beraz, azalpen erraz horri esker ikus daiteke urrunago dauden galaxiak gugandik azkarrago aldentzen direla, eta, ondorioz, agerian geratzen da unibertsoa egun hedatzen ari dela. Unibertsoaren dinamika Einsteinen ekuazioek zehazten dute, Gµν =Rµν −1 2Rgµν =1 m2 p Tµν .(1.5) Gµν Einstein-en tentsorea, Rµν Ricci-ren tentsorea, R Ricciren eskalarra eta Tµν energiamomentuaren tentsorea dira. Unibertso isotropo eta homogeneo batekin kontsistente den energia-momentu tentsore batek jariakin perfektu batena behar du, T00 = ρ ( t )eta Tij = p ( t ) gij osagaiekin, non ρ eta p jariakinaren energia-dentsitatea eta presioa diren, hurrenez hurren. Hori kontuan hartuta, eta FLRW metrika tentsorearekin batera, Einsteinen ekuazioek Friedmannen ekuazioei bide ematen diete: H2=ρ 3m2 p−K a2,(1.6) ¨a a=−1 6m2 p (ρ+ 3p),(1.7) eta H≡˙a/a Hubbleren parametroa da. Bai Friedmannen ekuazioak konbinatuz, bai energia-momentuaren tentsorearen ∇µ = 0 kontserbazio-kobariantea baliatuta, jarraitasun ekuazioa lortu daiteke: ˙ρ+ 3H(ρ+p)=0.(1.8) Soluzio analitiko bat topatzeko, jariakina egoera-ekuazio konstante batekin ezaugarrituko dugu: ω = p/ρ egoera-ekuazio barotropikoa. Horrela, energia-dentsitatearen eboluzioaren soluzioa honako hau da: ρ(t) = ρ(t0)"a(t) a(t0)#e−3(ω+1) .(1.9) Unibertsoaren ohiko osagaiak hurrengoak dira: Materia (ω= 0): Osagai mota honek, presio nulua duena, ρ∝a−3 bezala eskalatzen duen energiadentsitatea du. Ondorioz, materiaren energiaren diluzioa bolumenaren hedapenarekin lotuta dago. Unibertsoa energia-dentsitate horretaz soilik osatuta badago, orduan Friedmannen lehenengo ekuazioaren arabera, eskala-faktoreak a∝t2/3 gisa eboluzionatuko du denbora kosmikoarekin, eta Hubbleren parametroak H = 2 / (3 t )erlazioa jarraituko du. 2 Balio hori dagokio Planck sateliteak CMBko behaketen bidez ondorioztatutakoari. Hala ere, ez dator bat Ia motako supernoba eta Zefeidak erabiliz lortutako H0 = 73 . 0 ± 0 . 1 km/s/Mpc neurriarekin [17 – 20]. Ebatzi gabeko auzi hori Hubbleren tentsio gisa da ezaguna fisikan. 8Inflazio Kosmologikora Sarrera Erradiazioa (ω= 1/3): Erradiazioaren kasuan, energia-dentsitatea ρ∝a−4 gisa diluitzen da. Unibertsoaren hedapenaren ondoriozko diluzioaz gain, gorriranzko lerrakuntzak berretura gehigarri bat gehitzen dio adierazpenari. Eskala-faktorea eta Hubbleren parametroa a∝t1/2 eta H= 1/(2t)bilakatuko dira, hurrenez hurren. Energia iluna edo/eta konstante kosmologikoa (ω=−1): Ez ohiko osagai honek, ez du ρ +3 p≥ 0energia-baldintza sendoa betetzen, eta presio negatiboa du. Gainera, dagokion energia-dentsitateak ρ∝a0 gisa eboluzionatzen du, hau da, konstante mantentzen da eta ez da diluitzen aurreko kasuetan bezala. Eskala-faktorea esponentzialki hedatzen da, a∝eHt , Hubbleren parametro konstante batekin. Egun, unibertsoaren osaera gutxi gorabehera honela banatzen da: %32 materia— %5 materia arrunta eta %27 materia iluna—, %0 , 01 erradiazioa eta %68 energia iluna. Azkena da oraingo energia eduki totalean pisu handiena duena [11]. Big Bang kosmologiaren arabera, unibertsoaren historia deskribatu dezakegu hasierako egoera bero eta trinko batetik, 3 non erradiazioa nagusi den. Hortik, geroago materiak gain hartuko dio erradiaziori, gaur arte. Orain, konstante kosmologikoa da unibertsoaren hedapena gidatzen duena. Zehatz-mehatz, unibertso goiztiarraren historia termikoa— CMBaren igorpenera arte—fase hauetan banatu daiteke: • Bariogenesia ( T∼?, t ∼? ): Unibertsoan behatutako materiaren eta antimateriaren arteko asimetria eragin zuten prozesu fisikoak barnebiltzen ditu. Unibertso goiztiarrean, Eredu Estandarraren arabera, oinarrizko simetrien ondorioz materia eta antimateria kantitate berdinetan sortu behar ziren, hala ere, gurean materia da nagusi. Hainbat eredu desoreka hori azaltzen saiatzen dira, baina jatorri zehatza galdera irekia da oraindik kosmologia modernoan. • Gurutzaketa elektroahula ( T∼100 GeV, t∼10−11 s): Unibertso goiztiarrean gertatu zen, Higgs eremuak hutseko itxarondako-balio ez-nulua hartu zuenean, simetria elektroahularen berezko hausturarekin. Gurutzaketa horrek indar elektromagnetiko eta ahula bereizi zituen, eta Higgs mekanismoaren bidez oinarrizko partikulei masa eman zien. • Kromodinamika Kuantikoaren gurutzaketa ( T∼150 MeV, t∼10−5 s): Gurutzaketa hau unibertsoa nahikoa hoztu zenean gertatu zen, quarkak eta gluoiak hadroietan—batez ere protoi eta neutroietan—konfinatzeko adina. • Big Bang nukleosintesia ( T∼100 KeV, t∼3 min): Unibertsoaren lehen minutuetan, erreakzio nuklearrek elementu arinak sortzeko adina jaitsi zen tenperatura. 3 Teoria honetan, hasierako puntua, alegia, Big Banga, atzeranzko estrapolazioa bidez t = 0 denborari dagokion singularitatea da. Bertan, tenperaturak Plancken eskala gaindituko du, eta gure fisikaren deskribapenak ez du balioko bertako prozesuak azaltzeko. 1.2 Big Bang ereduaren ziurgabetasunak 9 Jatorrizko hidrogenotik, helioa, eta litio eta deuterio apur bat sintetizatu ziren garai honetan. Big Bang nukleosintesian aurreikusitako elementuen ugaritasunak oso ondo egokitzen dira behaketetara, eta Big Bangaren ereduaren ebidentzia sendoa da. •Materia-erradiazio berdintzea (T∼0.75 eV, t∼60.000 urte): Materiaren eta erradiazioaren energia-dentsitateak berdinak ziren unea markatzen du. Garai hau baino lehen, Big Bang teoriaren arabera, partikula erlatibistek gidatzen zuten unibertsoaren hedapena. • Birkonbinatzea ( T∼0.26 −0.33 eV, t∼260.000 −380.000 urte): Unibertsoa nahikoa hoztu zen elektroi askeak protoiekin konbinatu eta hidrogeno neutroa eratzeko. Prozesu horren ondorioz, unibertsoa erradiazioarekiko gardena zen. • Fotoien desakoplatzea ( T∼0.23 −0.28 eV, t∼380.000 urte): Birkonbinazio prozesuaren ondoren, fotoi eta materiaren arteko elkarrekintzak ez-ohikoagoak bilakatu ziren. Hori dela eta, fotoiek libre bidaiatzea posible zuten, eta egun ikusten dugun mikrouhinen hondo kosmikoa osatu zuten. Oro har, CMBaren neurketak, behatutako unibertsoaren hedapenak eta nukleosintesian zehar aurresandako hidrogeno, helio eta litioa bezalako elementu arinen ugaritasun erlatiboek, Big Bang ereduaren arrakasta babesten dute kosmologia modernoaren barruan. 1.2 Big Bang ereduaren ziurgabetasunak Nahiz eta unibertso goiztiarra eta ondorengo eboluzioa deskribatzeko arrakasta handiko teoria izan, hainbat dira Big Bang teoriak azaldu ezin dituen galderak. Besteak beste, garrantzitsuenak dira lautasunaren arazoa, horizontearen arazoa eta iraganeko partikulen ugaritasunaren arazoa. Hurrengo puntuetan, horietako bakoitza laburki azalduko dugu: •Lautasunaren arazoa: Friedmannen (1.6) lehenengo ekuazioa honela berridatzi daiteke Ω−1 = K a2H2.(1.10) Ω = ρ/ρc dentsitate parametroa da eta ρc = 3 m2 pH2 dentsitate kritikoa, zeinak Ω K = K/a2H2 = 0 kurbadura dentsitate-parametroa ematen baitigun. Zero ez den kurbadura-konstante baterako, ikus dezakegu unibertsoak | Ω − 1 | ∝ t gisa eboluzionatuko duela erradiazioa nagusi denean; materia nagusi denean, ordea, | Ω − 1 | ∝ t2/3 jarraituko du. Horrek adierazten du, zero ez den edozein kurbadurakonstanterentzat joera unibertso lau batetik (Ω=1) desbideratzea dela. Egungo neurketek, berriz, | Ω 0− 1 | = 0 . 0007 ± 0 . 0019 [11] dela adierazten dute, hau da, unibertsoa ia laua dela. Beraz, eboluzio kosmikoaren fase nagusiak erradiazio eta materiaren dominazioa izan baziren, Ω − 1hasierako balioak, unibertso goiztiarrean, zerotik izugarri hurbil beharko luke, egun baino askoz gehiago. Denboran atzerantz estrapolatuz, Big Bang nukleosintesiaren unean, | Ω( tBBN ) − 1 | ≤ 10 −16 betetzea 16 Inflazio Kosmologikora Sarrera eta, bertatik, ρ=T00 energia-dentsitatea lortu dezakegu, ρ=1 2˙ ϕ2+V(ϕ),(1.25) zeina energia-dentsitate zinetiko eta potentzialaren batura baita, hurrenez hurren. Bestalde, Tij =pgij erlazioa dela medio, sistemaren presio hau dugu p=1 2˙ ϕ2−V(ϕ).(1.26) (1.14) ekuazioaren arabera, ω < − 1 / 3betetzen duen eremu-konfigurazio batek inflazioari bide ematen dio. Horregatik, energia-dentsitate potentzialak zinetikoa baino handiagoa izan behar du, ˙ ϕ2/ 2 ≪V ( ϕ ), eta, beraz, ω≃ − 1beteko da. Agertoki horretan, inflatoiak beteko duen lehen Friedmannen ekuazioa da H2=1 3m2 p1 2˙ ϕ2+V(ϕ),(1.27) eta (1.23) Klein-Gordon ekuazioarekin batera, eremu eskalar homogeneoaren eboluzioa osatzen dute FLRW unibertsoan. Are gehiago, Friedmannen bi ekuazioak konbinatzen baditugu, Hubbleren parametroaren eboluzioa honelakoa dela ikusi dezakegu: ˙ H=1 2m2 p (ρ+p) = 1 2m2 p ˙ ϕ2,(1.28) eta horrela idatzi ditzakegu inflazioaren lehen parametroa: ϵH=1 2m2 p ˙ ϕ H!2 ,(1.29) eta bigarrena: ηH=˙ϵH HϵH = 2(ϵH−δH),(1.30) eta δH=−¨ ϕ/(H˙ ϕ)gisa hirugarren parametro bat definitu dezakegu. Orain arte ez dugu hurbilketarik egin; unibertsoaren dinamika besterik ez dugu lortu eremu eskalar homogeneo baterako eta espazialki laua den FLRW unibertso batean, eta aurreko parametroak marko horren pean idatzi ditugu. Unibertsoa inflazio-fase batean egoteko baldintzak {ϵH, ηH} ≪ 1edo baliokidea den {ϵH, δH} ≪ 1dira, eta horiei jarraiki, slow-roll hurbilketan, Friedmannen lehenengo ekuazioa era honetan idatzi daiteke: H2≃1 3m2 p V(ϕ),(1.31) 1.4 Eremu eskalar bakarreko inflazioa: slow-roll 17 eta inflatoiak jarraitzen duen Klein-Gordon ekuazioa berriz hau da: ˙ ϕ≃ − 1 3H dV dϕ .(1.32) Aurreko slow-roll parametroak Hubbleren parametroarekin erlazionatutakoak dira, baina potentzialaren formarekin eta lautasunarekin lotura zuzena duten parametro alternatiboak defini daitezke, ϵV=m2 p 2  dV dϕ V  2 ,(1.33) ηV=m2 p d2V dϕ2 V,(1.34) Horiek potentzialaren slow-roll parametro gisa dira ezagunak. Slow-roll hurbilketan euren arten ϵH≃ϵV eta ϵH + δH≃ηV gisa daude erlazionatuta, non {ϵV, ηV} ≪ 1betez gero slow-roll inflazioa posible baiten. Zenbat iraun behar du aipatutako baldintzak betetzen dituen inflazioak? Lautasunaren eta horizontearen arazoei soluzio emateko, kalkuluen arabera beharrezkoak dira 60 e-fold inguru [37].6Beraz, slow-roll hurbilketan e-fold kantitatea idatziz gero, N(ϕ) = Ztend tHdt =Zϕend ϕ H ˙ ϕdϕ =Zϕend ϕ 1 mp√2ϵH dϕ ≃Zϕend ϕ 1 mp√2ϵV dϕ , (1.35) eta kantitate minimo gisa 60 e-fold inposatuz gero, hasierako ϕstart eremuaren baliorako, erlazio hau da lortzen da: Zϕend ϕstart 1 mp√2ϵV dϕ ≃60 .(1.36) Potentzial sinple bat bada inflazioa gidatzen duena, adibidez potentzial koadratiko bat, V(ϕ) = 1 2m2ϕ2,(1.37) potentzialaren lehen slow-roll parametroa ϵV = 2( mp/ϕ ) 2 da, eta, hortaz, inflazioaren amaieran, hots, ϵV = 1 denean, ϕend = √2mp izango dugu. Horregatik, potentzial koadratikorako e-fold kantitatearen adierazpen hau da: N(ϕ) = ϕ 2mp!2 −1 2,(1.38) eta, horiek horrela, ϕstart ≃15mpizango da inflatoiaren hasierako balio. Aipatutako slow-roll inflazioaren propietateak grafikoki erakusteko, 1.4 irudian potentzial koadratiko hori bera erabilita, hainbat behatzaileren eboluziorako zenbakizko soluzioa 6 Iraupen zehatza hainbat faktoreren araberakoa da, hala nola inflazioaren eskala energetikoa, birberotzea, historia termikoa, etab. 18 Inflazio Kosmologikora Sarrera 109 1010 1011 1012 1013 ρ/m4 K V K V 101 102 103 104 105 106 |¨ φ| 3H|˙ φ| m2|φ| |¨ φ| 3H|˙ φ| m2|φ| −50 −40 −30 −20 −10 0 N 10−3 10−2 10−1 100 H 1.4 Irudia: (1.23) eta (1.27) ekuazioen soluzio numerikoa V = m2ϕ2/ 2potentzial koadratikorako non m = 1 . 5 · 10 13 GeV . Hasierako baldintzak ϕ = 15 mp eta ˙ ϕ = −√6mpm dira, eta, horrela, N∼ 60 e-fold inguru irauten du inflazioak. Gure notazioan N = 0 da inflazioaren amaiera, eta, beraz, N -en balio negatiboetan gertatzen da hedapen esponentziala. Goian: Energia zinetikoaren (gorriz) eta potentzialaren (beltzez) dentsitateen bilakaera. Erdian: |¨ ϕ| (gorriz), 3 H|˙ ϕ| (horiz), eta |dV/dϕ| = m2|ϕ| (beltz etenez) terminoen eboluzioa m unitatetan. Behean: inflazioko ϵH parametroaren eboluzioa urdinez. Lerro eten gris horizontal batek ϵH= 1 adierazten du. aurkezten dugu. Tesian zehar potentzial hori erabiltzean, m unitatetan adieraziko ditugu 1.5 Inflazioko perturbazioak 19 kantitateak, eta behagarri bakoitzerako m -ren potentzia egokia erabiliko dugu. Hasierako baldintzak (1.31) eta (1.32) slow-roll baldintzek zehazten dituzte, eta numerikoki (1.23) eta (1.27) ekuazio osoak askatzen ditugu. Ohartu gure hautua N = 0 inflazioaren amaiera gisa ezartzea dela, eta N< 0balio negatiboetan garatzen dela inflazioa. Goiko panelean, ρK energia zinetikoaren dentsitatearen (gorriz) eta ρV energia potentzialaren dentsitatearen (beltzez) bilakaera ikusi daitezke. Inflatoia potentzialean poliki beherantz higitzen dela behatzen dugu, eta ρV energia-dentsitatea, ρK -ren gainetik nagusitzen da gutxi gorabehera inflazioko N∼ 60 e-foldetan zehar. Nagusitasun hori amaiera aldera txikiagotzen doa, potentzialaren malda handitu ahala. Erdiko panelean, inflatoiaren dinamikan nagusi den Klein-Gordon (1.23) ekuazioaren ekarpen ezberdinak irudikatzen ditugu. Unibertsoaren espantsioagatik azaltzen den 3 H|˙ ϕ| marruskadura-terminoa (lerro jarraitu horiz) eta |dV/dϕ| = m2|ϕ| potentzialaren lehen deribatua (lerro eten beltzez) dira nagusi eboluzioan zehar, eta ohartu hurbildua den (1.32) slow-roll ekuazioa betetzen dela. |¨ ϕ| azelerazio terminoak (lerro jarritu gorriz) arbuiagarria izaten jarraitzen du konparazioan, nahiz eta inflazioaren amaierarantz aldea gutxiagotzen den. Azkenik, beheko panelean, ϵH inflazio-parametroa (urdinez) irudikatzen dugu, eta unibertsoaren hedapenaren zati txit luzean unitatea baino askoz txikiagoa da. ϵH parametroa era nabarmenean hazten denean amaitzen da inflazioa, zehazki ϵH = 1 (lerro eten grisez) zeharkatzean. Gutxi gorabehera N∼ 60 e-fold igaro dira ordurako, eta ϕ eremua V ( ϕ )minimoaren inguruan aurkitzen da. 1.5 Inflazioko perturbazioak Inflazio kosmikoa proposatzeko jatorrizko motibazioa Big Bangaren hiru arazoak konpontzea zen, eta, ikusi dugunagatik, arrakasta handiarekin soluzioa ematen die. Hala ere, paradigma horren arrakasta gorena, unibertsoaren isotropia eta homogeneotasuna justifikatzeko lehen gutxieneko baldintza gisa hartu dugun alderdi batean datza: CMBaren anisotropien txikitasuna. Inflazioaren ondorio nabarmenetako bat da, inflatoi eremuaren fluktuazio kuantiko txikiek, unibertsoaren eskala handiko dentsitate perturbazioak sortzea eragiten dutela. Energia-dentsitatearen aldaketa ñimiño horiek, gerora, CMBan behatutako tenperaturaren gorabeheretara eboluzionatzen dute. Inflazioaren efektu kuantikoen eta egun ikusten ditugun eskala handiko egituren arteko lotura hori, funtsezko ezaugarri bat da, inflazioa, marko teoriko sinesgarri bat izateaz gain, unibertso goiztiarraren eredu testagarri eta prediktibo bat bihurtzeko. Atal honen helburu nagusia inflazioaren funtsezko alderdi horren azalpen argi eta intuitiboa aurkeztea da, eta, horrela, nabarmentzea nola den mekanismo arrakastatsu bat egitura kosmikoaren hasierako haziak sorrarazteko. 1.5.1 Materiaren eta metrikaren perturbazioak Lehen urratsa inflatoia eremu eskalar ez-homogeneo gisa kontsideratzea da ϕ(t, x) = ϕ(t) + δϕ(t, x).(1.39) ϕ ( t )atala aurretik aurkeztutako inflazio homogeneoari dagokio, eta, horren gainean, perturbazio txikiak, δϕ ( t, x) ≪ϕ ( t ), gehitu ditugu. Materiaren perturbazioez gain, horiek espazio-denboran duten eragina ere kontuan izan behar da. Horretarako, δgµν metrikaren 20 Inflazio Kosmologikora Sarrera perturbazioak gehitu behar dira FLRW unibertsoaren gainean, gµν =gFLRW µν +δgµν .(1.40) Perturbazio horiek txikiak direla onartzeak Einsteinen ekuazio ez-linealak linealki aztertzeko aukera ematen digu: δGµν =δTµν/m2 p. Eremu konplexua da perturbazio kosmologikoen teoria, baina ikuspegi orokor sinple batekin, gure helburuetarako beharrezkoa den informazioa atera dezakegu. FLRW metrikaren gainean perturbazioak izateko formarik orokorrena kontuan hartzen badugu, hau da haren deskonposizioa egiteko aukera bat: ds2=−(1 + 2Φ)dt2+ 2a(∂iB+Bi)dxidt +a2[(1 −2Ψ)δij +Eij]dxidxj,(1.41) eta Eij = ( ∂i∂j−δij∇2/ 3) E + ∂(iEj) + hij gisa definitzen da. Eskalar-bektore-tentsore (SVT ingelesezko sigletan) deskonposaketa deritzon adierazpide horretan, askatasun graduak hauek dira: 4 eskalar, Φ,Ψ, B , eta E ; 2 zeharkako bektore, Bi eta Ei ; eta zeharkako eta aztarnarik gabeko tentsore 1, hij . Perturbazio metrikoetarako SVT deskonposizioa erabilgarria da, ordena linealean FLRW metrikako gaietatik desakoplatzen direlako. Are gehiago, perturbazio mota bakoitza bata bestetik ere desakoplatzen da, eta, ondorioz, era independentean aztertu daiteke bakoitza. Alde batetik, perturbazio bektorialak ez dira inflazioaren ondorioz sortzen, eta, izatekotan ere, azkar diluituko lirateke unibertsoa hedatu ahala; beraz, alde batera utziko ditugu puntu honetatik aurrera. Bestalde, perturbazio tentsorialak (grabitazio-uhinak) garrantzitsuak dira inflaziotik eratorritako iragarpenetarako, baina horiek oraingoz alde batera utziko ditugu, eta atal honen amaieran berriro aztertuko ditugu. Beraz, puntu honetan, metrikaren perturbazio eskalarretan jarriko dugu fokua. 1.5.2 Inflazioaren perturbazio eskalarrak Jarraitu aurretik, garrantzitsua da funtsezko korapilo bati heltzea. Perturbazio metrikoak ezin dira modu bakarrean zehaztu, koordenatu edo gauge aukeraren araberakoak dira baizik. Zehazki, metrika perturbatua idatzi dugunean, espazio-denboraren denborazatiketa jakin bat hautatu dugu inplizituki, eta xafla horietan berariazko koordenatu espazialak definitu ditugu. Koordenatu hautu ezberdinek perturbazio aldagaien balioak alda ditzakete, eta perturbazio ez-fisikoei bide eman, alegia, koordenatu hautu desegoki batek ekar ditzakeen fluktuazio artifizialak sortu. Hori hondoa guztiz homogeneoa denean ere gerta daiteke. Hori dela eta, bi estrategia jarrai daitezke sistemaren perturbazio fisikoen jarraipena egiteko: metrikaren zein materiaren perturbazioak dituzten eta aldaezinak diren kantitateak definitzea, edo gauge askatasun graduak finkatzea eta perturbazio guztien bilakaeraren jarraipena egitea. Hori kontuan hartuta, bi estrategiak konbinatzen dituen baliozko aukera bat da hurrengoa: lortu nahi den fenomeno fisikoa deskribatzen duten funtsezko magnitude aldaezinak identifikatzea, eta, ondoren, horien kalkulu erraza ahalbidetzen duen gauge egokia finkatzea. Edozein gauge aukeraketak emaitza bera emango du, gauge aldaezintasuna dela eta. Kasu horretan, inflatoiaren fluktuazioek nola eragiten duten unibertsoaren eskala handiko 1.5 Inflazioko perturbazioak 21 egituran (LSS ingelezko siglak) eta CMBaren anisotropietan ulertzeko, funtsezko magnitude eskalar aldaezin bat da kurbadura-perturbazio kohigikorra. Eremu eskalar batek gidatutako inflazioan forma hau dauka [37] R= Ψ + H ˙ ϕ(t)δϕ(t, x),(1.42) eta hipergainazalen kurbadura espaziala neurtzen du. Horren gainean inflatoi eremua perturbatu gabe dago, hots, konstantea da. Kopuru horrek funtsezko propietate bat betetzen du: perturbazioak adiabatikoak badira, 7 orduan ˙ R = 0 betetzen da k < aH Hubbleren gaindiko moduetarako [39]. 1.5 irudiak propietate horren garrantzia erakusten du. Inflazioan zehar, Hubbleren ( aH ) −1 erradio kohigikorra txikiagotu egiten da, eta modu horien uhin-luzerak Hubbleren erradiotik irten, izoztu eta konstante mantentzen dira. Behin inflazioa amaituta, hurrengo erradiazioak dominatutako aldian ( aH ) −1 -ek joera aldatu eta hazten hasten da, eta moduak berriro sartu eta Hubbleren barneko bihurtzen dira berriro. Horrela, Hubbleren gaindiko eskaletan R kontserbatzen denez, Hubbleren erradio kohigikorretik irtetean egindako iragarpenak (energia altuak), Hubbleren erradioan sartu ondorengo behagarriekin (energia baxuak) lotu ditzakegu. Bi garai horiek ziurgabetasun nabarmeneko garai batek bereizten ditu, eta perturbazioak gobernatzen dituzten ekuazioak ez daude oso ondo finkatuta tarte horretan. Inflazioa amaitu baino askoz lehenagotik oraintsu arte, perturbazio garrantzitsuen uhin-luzerak Hubbleren erradiotik kanpo egon zirenez, egungo behagarriak inflazioarekin konektatu ditzakegu. Hubbleren erradioan berriro sartu ondoren, haien eboluzioa kalkulatu dezakegu eta zuzenean ekarri LSSaren eta CMBeko anisotropien egungo neurketetara. Kurbadura-perturbazioak inflatoiaren fluktuazioekin erlazionatzeko, daukagun gauge askatasuna espazialki laua den gauge gisa finkatzea aukeratzen dugu, eta metrikaren perturbazio eskalarretako bi ezartzen ditu, Ψ=0eta E= 0, eta, beraz, R=H ˙ ϕ(t)δϕ(t, x).(1.43) Horrek esan nahi du R ezaugarritzeko δϕ fluktuazioen eta Φeta B metrikaren perturbazio eskalarren dinamika ebatzi behar dugula linealki, eta horretarako (1.22) ekintza ordena koadratikora hedatuko dugu. Slow-roll inflazioaren testuinguruan, espazialki laua den gaugea aukeratuta, metrikaren perturbazio eskalar ez-diagonalak arbuiagarriak dira inflatoiaren fluktuazioekin alderatuta [40]. Beraz, inongo arazorik gabe, akzioa bigarren ordenara hedatuko dugu δϕ -rekiko. Prozedura espazialki homogeneoa den hondo batean egingo dugu, eta, hori dela medio, R ezaugarritu dezakegu soilik inflatoiaren perturbazioei jaramon eginda. Horiek horrela, δϕ inflatoiaren fluktuazioak lortzeko pausoak zerrendatuko ditugu. Hau 7 Perturbazioak adiabatikoak badira materia eta erradiazio espezie guztiek era sinkronizatuan fluktuatzen dute, eta euren partikula zenbakiaren ratioa konstante mantentzen da. Energia-dentsitateari dagokionez, espezie guztiek dentsitate totalarekiko proportzionalki fluktuatzen dute. Ohartu eremu bakarreko inflazioak naturalki perturbazio adiabatikoak baino ez dituela iragartzen [38]. 22 Inflazio Kosmologikora Sarrera Time Comoving distance Sub-Horizon Sub-Horizon Super-Horizon Quantum fluctuations Horizon exit Horizon re-entry Hubble radius Classical stochastic field INFLATION Anisotropies CMB Formation Today Measured angular PS RADIATION DOMINATION 1.5 Irudia: Inflatoiaren fluktuazioen historiaren diagrama. Inflatoi eremuaren δϕ fluktuazio kuantikoetatik, R kurbaduraren perturbazio klasikoetara, zeinak inflazioan zehar Hubbleren erradio kohigikorretik ateratzen baitiren. Gero, izoztu, eta berriro sartzen dira ∆ T/T CMBko tenperatura anisotropietan bere aztarna uzteko, eta, egun, potentzia-espektro angeluarrean neurtzen ditugu. ∆ δϕ eta ∆ R potentziaespektroak (1.61) eta (1.63) adierazpenetan daude definituta, hurrenez hurren. da (1.22) ekintza perturbatu gabeko FLRW metrika eta denbora konformea erabilita: S=Zd3xdτ "a2 2(ϕ′)2−a2 2( ∇ϕ)2−a4V(ϕ)#,(1.44) Bestalde, komeni da inflatoi ez-homogeneoa honela birdefinitzea: ϕ(τ, x) = ϕ(τ) + ν(τ, x)/a , (1.45) non ν(τ, x) = aδϕ(τ, x). Fluktuazioekiko ekintza bigarren ordenara hedatuta, 8 eta zatikako integrazioa erabilita, hau lortzen dugu: S(2) =1 2Zd3xdτ "(ν′)2−( ∇ν)2− a2d2V dϕ(τ)2−H′−H2!ν2#,(1.46) non H=a′/a. Ekintza hori eremu eskalar kanoniko bati dagokiona da, denboraren menpeko masa termino 8 Kontuan izan behar da ekuazio homogeneoak betetzen direnez, automatikoki desagertzen direla ekintzari egindako lehen ordenako ekarpenak, eta, beraz, bigarren ordenan agertzen direla ekarpen nagusiak. 1.5 Inflazioko perturbazioak 23 eraginkor batekin, m2 eff(τ) = a2d2V dϕ(τ)2−H′−H2=a2d2V dϕ(τ)2−a′′ a.(1.47) Euler-Lagrangeren ekuazioak baliatuta, fluktuazioen dinamika ordena linealean hau da: ν′′(τ, x)−∇2ν(τ, x) + m2 effν(τ, x) = 0 ,(1.48) eta Fourierren espaziora transformatuta, moduek Mukhanov-Sasaki ekuazioaren arabera eboluzionatzen dute, ν′′ k(τ) + k2+m2 effνk(τ)=0−(1.49) Bertan, isotropiaren ondorioz, dependentzia angeluarra ezabatu dugun, eta | k | = k guztiek eboluzio bera betetzen dute. Masa efektiboan eragiten duten bi terminoak slow-roll parametroekiko berridatzi daitezke, a2d2V dϕ(t)2=a2V m2 p ηV≃3a2H2ηV,(1.50) a′′ a= 2a2H2+a2˙ H=a2H2(2 −ϵH),(1.51) eta, beraz, slow-roll erregimenean {ϵH, ηV} ≪ 1betetzen denez, Mukhanov-Sasakiren ekuazioa honela hurbil daiteke: ν′′ k(τ) + k2−2a2H2νk(τ)=0.(1.52) De Sitter espazio-denboran, H = konst da, eta τ = − 1 /aH idatzi daiteke. Horiei jarraiki, ekuazio diferentziala honela idatz dezakegu: ν′′ k(τ) + k2−2 τ2νk(τ) = 0 .(1.53) Mukhanov-Sasaki ekuazioaren soluzioak modu unibokoan finkatzeko, eremuaren izaera kuantikoa jokoan sartzen da, beharrezko baldintzak ematen baititu soluzioa zehazteko. Eremua kuantizatzeko, kuantizazio kanoniko estandarra jarraituko dugu, eta ν ( τ, x)eremua eragile kuantiko batera eraldatuko dugu: ˆν(τ, x) = Zd3k (2π)3hνk(τ)ˆakeik·x+ν∗ k(τ)ˆa† ke−ik·xi,(1.54) eta ˆak eta ˆa† k sortzeeta deuseztatze-eragile estandarrak dira. Horiek kommutazio erlazioa hau beteko dute: [ˆak,ˆa† k′] = (2π)3δ(k−k′),(1.55) betiere, Wronskiar-ak inposatutako normalizazioa betez gero, i(ν∗ kν′ k−ν′∗ kνk) = 1 .(1.56) 24 Inflazio Kosmologikora Sarrera Murrizketa horrek ezartzen du lehen baldintza (1.53) ekuazioa betetzen duten νk modufuntzioak ebazteko. Bigarren murrizketarako, fluktuazioen hutsa definitu behar dugu. Prozesu hori, zalantzarik gabe anbiguoa dena espazio-denbora kurbatuetan, inflazioaren testuinguruan askoz ere sinpleagoa da. τ→ −∞ iragan asintotikoa kontuan hartzen badugu, modu garrantzitsuak Hubbleren erradio kohigikorraren barruan egongo dira, k≫aH , eta, beraz, ez dute espazioaren kurbaduraren efekturik jasango. Ondorioz, hau da ebatzi beharreko ekuazio diferentziala: ν′′ k(τ) + k2νk(τ) = 0 ,(1.57) eta hutseko soluzioa da: lim τ→−∞ νk=1 √2ke−ikτ .(1.58) Frekuentzia positiboko soluzioa hautatu dugu Wronskiarrak zehaztutako normalizazioa asebetetzeko. Soluzio hori Bunch-Davies-en hutsa (BD) bezala da ezaguna, eta aurreko kuantizazio murrizketarekin batera, modu-funtzioak finkatzen ditu. Aipatutako kontuan hartuta, (1.53) ekuazioaren soluzio analitikoa da: νk=αe−ikτ √2k1−i kτ +βeikτ √2k1 + i kτ ,(1.59) Bertan, {α, β} parametro askeak dira, eta α = 1 eta β = 0 ezar ditzakegu, aldez aurretik ezarritako (1.56) eta (1.58) baldintzak kontuan hartuta. Horrela, Mukhanov-Sasaki ekuazioaren soluzioa, eta, beraz, inflazioko fluktuazioen modu-funtzioena, hau da: νk=e−ikτ √2k1−i kτ .(1.60) Soluzio honetatik, eta δϕ = ν/a dela kontuan hartuta, inflatoiaren fluktuazioen potentziaespektroa lor dezakegu, ∆δϕ =1 a2∆ν=H 2π2 1 + k aH !2 ,(1.61) non ∆ν=k3 2π2|νk(τ)|2. Hubbleren gaindiko moduentzat espektroa honelako da: lim k≪aH ∆δϕ =H 2π2 ,(1.62) eta, hortaz, ikusi dezakegu fluktuazioak konstante geratuko direla Hubbleren erradioa gurutzatzean. Inflazioan, fluktuazio kuantikoak era eraginkorrean klasiko bihurtzen dira Hubbleren erradioa gurutzatu ondoren, haien okupazio-zenbakia oso handia bilakatzen baita. Gainera, moduak izoztu eta euren koherentzia-haustea gertatzen da, eta aldagai estokastiko klasiko gisa tratatzea posible da [41,42]. (1.43) baliatuta, kurbaduraren perturbazio kohigikorrekin lan egitera pasa gaitezke, eta potentzia-espektro hau da: ∆R= H ˙ ϕ(t)!2 ∆δϕ .(1.63) 1.5 Inflazioko perturbazioak 25 k = aH Hubbleren erradio kohigikorrean aztertuta eta (1.62) erlazioa erabiliz gero, literaturan ezaguna den emaitza hau lortzen dugu: ∆R=1 8π2ϵH H mp!2k=aH ,(1.64) hau da, inflazioak sortutako kurbaduraren fluktuazioen eskala-aldaezina den potentziaespektroa. Modu bakoitzerako, 1.5 irudian eskematikoki erakusten den bezala, kopuru hori Hubbleren erradio kohigikorretik irteten da, izoztu, eta gerora berriro sartzen da ( aH ) −1 hazten denean inflazioa amaitu ondoren. Garrantzitsua da azpimarratzea, de Sitter hutsean eratorri dugula emaitza hori, eta badakigu horrela balitz inflazioa ez litzatekeela inoiz amaituko. Hala ere, Hubbleren erradioa gurutzatzean kalkulatzen dugunez kurbaduraren potentzia-espektroa, horrek modu eraginkorrean inflazioaren ia de Sitter izaera barnebiltzen du. Izan ere, H Hubbleren parametroak astiro eboluzionatzen du inflazioan, baina ez da zehazki konstante mantentzen. Ondorioz, modu desberdinak ( aH ) −1 -etik H -ren balio apur bat desberdinetan irteten dira, eta modu naturalean txertatuko dute aldaketa hori espektroan. H -ren denbora mendekotasun txiki horrek espektroaren eskala-aldaezintasun zehatzean desbiderapenak eragiten ditu. Eskala dependentzia hori ikusi ahal izateko, lehenik espektroa parametrizatuko dugu, ∆R=As k k⋆!ns−1 ,(1.65) eta k∗ pibote eskala baterako, As eta ns espektroaren anplitudea eta indize espektrala edo makurdura dira, hurrenez hurren. Azkena, eskala-aldaezintasunaren desbideraketak neurtzen dituena, honela definitzen da: ns−1≡dln ∆R dln k,(1.66) eta ns = 1 bada k = k⋆ pibote eskalarekiko, eskala-aldaezintasun perfektua adieraziko luke. Slow-roll inflazioan, makurdura honela hurbil daiteke:9 ns−1 = −2ϵH−ηH,(1.67) slow-roll parametroetan lehen ordenara. Azken neurketek ia eskala-aldaezina den espektroa erakusten dute: ns= 0.965 ±0,004 ,Planck + BICEP [43,44] (1.68) ns= 0.974 ±0,003 .ACT + DESI [45,46] (1.69) Dena den, esplizituki ikusi dezakegu de Sitterrekiko desbideratzea eta slow-roll parametroen denborarekiko menpekotasunaren eragina. Inflazio kosmikoaren emaitza erakargarrienetako bat da hori, eraikuntza teoriko bat zena egungo behaketekin bat datorren eredu batera bilakatzen baita. 9k = aH betetzen da Hubbleren erradio gurutzatzean, eta, horregatik, nahikoa da (1.64) adierazpena d/d ln k=d/da =H−1d/dt-rekiko deribatzea. 32 Axio Inflazioa 2.2 Eredua Stot = Sg + Sm akzio totala kontsideratzen dugu, non Sg≡R d 4x√−g1 2m2 pR grabitaterako Einstein-Hilberten ekintza baiten, eta materiari dagokion ekintza, Sm=−Zdx4√−g"1 2∂µϕ∂µϕ+V(ϕ) + 1 4FµνFµν −αΛ 4 ϕ mp Fµν ˜ Fµν#.(2.2) Ekintza horretan, aurretik esan bezala, ϕ inflatoia eta Aµ gauge eremua ditugu, eta azkena U (1) sektore ezkutuari dagokio. Euren arteko mihiztadura alderantzizko masa eskala duen α/f -k kontrolatzen du, f axioiaren desintegrazio-konstantearen eta α mihiztadurakoefizientearen arabera definituta. Dena den, erosoagoa izateko, guk honela definituko dugu axioiaren eta gauge eremuaren arteko elkarrekintzaren mihiztadura: αΛ≡mpα/f . Aµgauge emeduarekiko Fµν tentsore elektromagnetikoa eta bere ˜ Fµν duala, Fµν ≡∂µAν−∂νAµ,˜ Fµν ≡1 2ϵµνρσFρσ ,(2.3) gisa definitzen dira, eta ϵµνρσ espazio-denbora kurbatuko Levi-Civita tentsore guztiz antisimetrikoa da, ϵ0123 = 1/√−ggisa definitua. Ekintza simetrikoa da U (1) transformazio lokalekiko, Aµ→Aµ + ∂µβ , non β ( x )funtzio erreal arbitrarioa baiten. Eredu horien motibazio orokorrari jarraituz, ekintza simetrikoa da ϕ→ϕ + C desplazamendu-simetrien pean, non C∈R . Potentziala da hori betetzen ez duen gai bakarra, lehen esan bezala, simetria hori esplizituki hausten duelako eta beharrezko espantsio esponentziala bultzatzeaz arduratzen da. Atal honetan zehar, potentzial era orokorrean erakutsiko dugu, eta kanpoko teoria ultramore oso batetik sortzen dela onartuko dugu, inflazio-baldintzak sortzeko forma egokiarekin.6 ϕF ˜ F terminoa ez dagoenez grabitateari mihiztatuta, eta FF terminorako metrikaren perturbazioak arbuiagarriak direnez slow-roll erregimenean, zentzuzkoa da lehen hurbilketa gisa onartzea grabitazioaren perturbazioek ez dutela eragin handirik izango materiaren bilakaeran [66]. Beraz, espazialki laua den FLRW metrika izango dugu, eta materia geometria horretan txertatuta dago. Gainera, A0 = 0 denbora-gaugea aukeratuko dugu gauge askatasuna finkatzeko, eta, horrela, eremu elektriko eta magnetikoa hauek izango dira: Ei≡˙ Ai, Bi≡ϵijk∂jAk.(2.4) Ondorioz, ekintzatik, higidura-ekuazioak hauek dira: ¨ ϕ=−3H˙ ϕ+1 a2∇2ϕ−dV dϕ +αΛ a3mp  E· B , (2.5) ˙  E=−H E−1 a2 ∇×  B−αΛ amp˙ ϕ B− ∇ϕ× E−αΛ amp ϕ˙  B− ∇×  E |{z } =0 ,(2.6)  ∇·  E=−αΛ amp  ∇ϕ· B−αΛ amp ϕ ∇·  B | {z } =0 ,(2.7) 65kapituluan potentzialaren aukera ezberdinak aurkezten ditugu. 2.2 Eredua 33 eta lehenengo bi ekuazio diferentzialek bi eremuen dinamika deskribatzen dute ereduan, eta hirugarren ekuazioa, berriz, Gauss-en legeari dagokio. Horretaz gain, ∂µ˜ Fµν = 0 Bianchi-ren identitateak esplizituki erakusten ditugu azpigiltzekin. Unibertsoaren hedapenari dagokionez, Friedmannen (1.6) eta (1.7) ekuazioek gidatzen dute, espazialki laua den unibertso baterako. Hala ere, energia-dentsitate eta presio totalarekiko eremu eskalarrak egindako (1.25) eta (1.26) ekarpenez gain, gauge eremuak egindakoak ere kontuan hartu behar ditugu. Hau da gauge eremuari dagokion energia-momentuaren tentsorea: (Tµν)gauge =FµαFνβgαβ −1 4gµνFαβFαβ .(2.8) Hala, eredu horretako Friedmannen ekuazioak hauek dira: ¨a=−a 3m2 p2ρK−ρV+ρEM,(2.9) H2=1 3m2 pρK+ρG+ρV+ρEM,(2.10) eta ekuazioen eskuineko aldeak energia-dentsitatearen ekarpen desberdinen arabera idaztea aukeratzen dugu, ρK≡1 2⟨˙ ϕ2⟩, ρG≡1 2a2⟨( ∇ϕ)2⟩, ρV≡ ⟨V⟩, ρEM ≡1 2a4⟨a2 E2+ B2⟩,(2.11) eta ⟨...⟩ -rekin bolumenaren batezbestekoa adierazten dugu. K, G, V etiketek inflatoiaren energia zinetikoaren, gradientearen eta potentzialaren dentsitateak adierazten dituzte, hurrenez hurren; EMk, berriz, Aµ -ri lotutako energia elektromagnetikoaren dentsitatea adierazten du. Eredu horretarako eratorri ditugun ekuazioetatik, (2.5) , (2.6) eta (2.9) adierazpenek osatutako multzoak sistemaren dinamika adierazten du, eta materiaren osagaiek bata bestean eragiten dute, unibertsoa modu autokontsistentean hedatzen den bitartean. Horrez gain, (2.7) eta (2.10) ekuazioak sistemaren murrizketa ez-dinamikoei dagozkie, eta gauge askatasuna zehazten duen murrizketa-ekuazioa da bata eta energiaren kontserbaziotzat interpreta daiteke bestea, hurrenez hurren. Ikuspegi matematikotik ekuazio diferentzial partzial akoplatuen multzo bati dagokio sistemaren dinamika. Hori, oro har, ezin da analitikoki ebatzi. Axioi inflazio ereduaren ezaugarri ezberdinak mahaigaineratzeko, baliagarria da inflazio garaian erregimen ezberdinak identifikatzea eta horien barnean, hurbilketa maila ezberdinak aurkeztea. Inflatoiaren gaineko atzera-eragin elektromagnetikoaren esanguraren arabera, sistemaren eboluzioak erregimen lineala edo ez-lineala jarraituko du. Lehenengoaren kasuan, atzera-eragina arbuiagarria da; bigarrenean, berriz, jada ezin da haren presentzia alde batera utzi. Erregimen ez-lineala ebazteko, atzera-eragina homogeneoki txerta daiteke era hurbilduan, edo haratago joan eta hurbilketarik gabe lokalki sar daiteke. Hurrengo bi ataletan, bi erregimen horiek eta ebazteko ikuspegi desberdinak zehaztuko ditugu. 34 Axio Inflazioa 2.3 Erregimen lineala Gauge eremuak ∝αΛ (  E· B )terminoaren bidez inflatoiaren (2.5) ekuazioan ez badu atzeraeraginik, bere eboluzioa 1.4 atalean eremu bakarreko inflaziorako deskribatutakoaren berdina izango da. Beraz, zentzuzkoa da pentsatzea V ( ϕ )potentzialak unibertsoaren hedapen esponentziala gidatzen badu, bertan gertatzen den atzera-eragina arbuiagarria izango dela hasierako e-fold gehienetan. Horrek esan nahi du eremu eskalarraren gradienteak arbuiagarriak izango direla fase horretan, elikadura termino lokala alde batera uzten ari gara eta. 7 Era berean, erregimen horretan, eremu elektromagnetikoak eskala-faktorearen bilakaeran duen eragina baztergarria dela suposatzen dugu. Noski, suposizio horien baliozkotasuna αΛ mihiztaduraren indarraren araberakoa da, zeina aurrerago jorratuko dugun puntua baiten. Hala, ereduak irizpide horiek betetzen dituenean, erregimen lineala deituko dioguna jarraituko du eboluzioak, eta hauek dira inflazioa gidatuko duten ekuazioak: ¨ ϕ=−3H˙ ϕ−dV dϕ ,(2.12) ¨a=−a 3m2 p (2ρK−ρV),(2.13) H2=1 3m2 p (ρK+ρV)(2.14) eta, bien bitartean, gauge eremuak hau jarraituko du: ˙  E=−H E−1 a2 ∇×  B−αΛ amp ˙ ϕ B , (2.15)  ∇·  E= 0 .(2.16) Erregimen honetan, slow-roll higidura jarraitzen duen inflatoi homogeneo baten arabera eboluzionatzen ari den unibertso bat dugu, eta horrek, aldi berean, (2.15) ekuazioaren bidez gauge eremuaren dinamikari eragiten dio. Gauge eremuaren dinamika ulertzeko, komenigarria da (2.15) ekuazioa  A ( t, x)-rekiko idaztea, eta, gainera, dτ ≡dt/a ( t )denbora konformea erabiltzea, d2 dτ2−∇2+αΛ mp dϕ dτ  ∇×! A(τ, x)=0.(2.17) Ondoren,  A eremuaren Fourierren transformatua egin, eta bere moduak oinarri bektorial kiral batean deskonposatuko ditugu,  A(τ, x) = X λ=±Zd3k (2π)3Aλ(τ, x)ελ(ˆ k)eik·x.(2.18) 7 Garrantzitsua da argitzea atzera-eragin elektromagnetiko bidezko ez-homogeneotasunen sorkuntza klasikoaz ari garela. Printzipioz, oraindik badugu BD kuantikoaren hutsa inflatoirako, eta bere perturbazioek inflatoi homogeneoan eragin dezakete. Hala ere, inflatoiaren dinamikan duen erasana alde batera utziko dugu, arbuiagarria baita. 2.3 Erregimen lineala 35 eta {ε+(ˆ k), ε−(ˆ k)}oinarri bektorial kiralak propietate hauek betetzen ditu: ˆ k·ελ(ˆ k)=0,ˆ k×ελ(ˆ k) = −iλελ(ˆ k), ελ i(ˆ k)∗=ελ i(−ˆ k), ελ′ (ˆ k)·ελ(ˆ k)∗=δλλ′.(2.19) Puntu honetan, jarraitzen dugun prozedura 1.5.2 atalean eremu eskalarra kuantizatzeko erabiltzen den bera da. Eragile kuantiko izatera aldatzen dugu Fourierren anplitudea, Aλ ( τ, k) →ˆ Aλ ( τ, k) ≡ˆakAλ ( τ, k)+ ˆa† −kAλ ( τ, − k) ∗ . Sortzeeta deuseztatze-eragile estandarrak dira erabilitakoak, [ ˆak,ˆa† k′ ] ≡δ(3) (k − k ′ )erlazioa betetzen dutenak hain zuzen ere. Inflazioa (2.12) , (2.13) eta (2.14) ekuazioek gidatzen dutenez, τ≃ − 1 / ( aH )slowroll baldintza suposa dezakegu de Sitterren espazio-denboran. Horiek horrela, A± ( τ, k) modu-funtzioek ekuazio hau jarraitzen dute: ∂2 τ+k2±sign(˙ ϕ)2kξ |τ|!A±(τ, k)=0,(2.20) eta ξ≡|˙ ϕ| 2HΛ,(2.21) ezegonkortasun-parametroa da, horrelako ereduen ezaugarri bereizgarriena kontrolatzen duena: ezegonkortasun kirala. Horrek esan nahi du λ kiralitateetako batentzat, m2 eff = λsign ( ˙ ϕ )2 kξ/|τ| masa efektiboa negatiboa dela, eta, beraz, |m2 eff|> k2 denean, sakabanatzemaiztasuna irudikaria izango da. Aipatutako ezegonkortasuna dakar horrek, eta kiralitate horren moduak esponentzialki anplifikatuko dira. Testuinguru horretan, ezegonkortasunparametroa nahikoa handia denean, ξ≥O (1), eta inflatoiaren abiadura negatiboa dela kontuan hartuta, ˙ ϕ < 0, kiralitate positiboaren A+ moduak anplifikazio esponentziala jasango du; kontrako kiralitatearen A−moduak, aldiz, ez.8 Soluzioetan portaera hori ikus ahal izateko, ξ gutxi gorabehera konstantea dela suposatzen dugu, slow-roll erregimenean esperotakoa. Hipotesi horren arabera, hau da (2.20) ekuazioaren soluzio orokorra: A±(τ, k) = 1 √2k[iF0(±ξ, −kτ) + G0(±ξ, −kτ)] ,(2.22) F0 eta G0 Coulomb-en uhin-funtzio erregular eta irregularrekin [62,63]. 1.5.2 atalean egindakoaren antzera, soluzio hori normalizatu behar da Hubbleren erradioaren barrualdeko moduek, −kτ ≫1, Bunch-Davis hutsaren soluzioari jarrai diezaioten,9 A±(τ, k)−−−−−−→ −kτ≫1 1 √2ke−ikτ .(2.23) 8 Era guztiz baliokidean, ˙ ϕ > 0dela kontsideratzen badugu, beste A− polarizazioa izango da esponentzialki kitzikatzen dena. 9 Kasu horretan, birdefinizio konformerik ez dagoenez, gauge eremurako Bunch-Davisen hutsaren anplitudea ez da unibertsoaren hedapenaren menpekoa. 36 Axio Inflazioa 10−45 10−35 10−25 10−15 10−5 105 1015 ∆(+) A(N, k)/m2 10−20 10−15 10−10 10−5100 k/m 10−45 10−35 10−25 10−15 10−5 105 1015 ∆(−) A(N, k)/m2 N=−60 N=−50 N=−40 N=−30 N=−20 N=−10 N= 0 N=−60 N=−50 N=−40 N=−30 N=−20 N=−10 N= 0 2.1 Irudia: Gauge eremuaren kiralitateen potentzia-espektroaren eboluzioa atzera-eragin gabeko erregimen linealean, ∆ (+) A ( N, k )goian eta ∆ (−) A ( N, k )behean. Denboraren eboluzioa N = − 60 e-foldetik N = 0 e-foldera erakusten da, ∆ N = 10 e-foldeko urratsetan eta tonu hotzagoetatik beroagoetarako koloregradientearekin. N bakoitzean k = aH erradio kohigikorra adierazten dute lerro bertikal etenek, kolore eskema berdinarekin. Bi paneletan αΛ= 18 da mihiztadura-parametroa. Fourierren espazioari lotutako Hubbleren erradio kohigikorra handitu egiten da inflazioan, eta moduak aH -tik irteten dira unibertsoaren hedapenarekin. −kτ ≪ 2 ξ kasurako, moduen soluzio orokorra gutxi gorabehera hau dela zenbatetsi daiteke [62,63]: A+(τ, k)≃ k|τ|≪2ξ 1 √2k k 2ξaH !1/4 eπξ−2√2ξk/(aH),(2.24) eta oso argi erakusten du axioi inflazio ereduaren ezegonkortasun kiral bereizgarriaren izaera esponentziala. ξ konstantea den hurbilketara jo gabe, (2.20) ekuazio diferentzial arrunta zenbakizko metodoen bidez ebatzi daiteke. Horretarako {k1, k2, ..., kn} dimentsio bakarrean diskretizatutako uhin-zenbaki kohigikorren sarea erabiliko dugu. ki modu bakoitza (2.23) BD soluzioan hasieratuko da, baldin eta moduaren anplitudeak k≫a ( N ) H ( N )baldintza 2.3 Erregimen lineala 37 betetzen badu N e-foldean. Zenbakizko soluzio horri 1DMbM deituko diogu. 2.1 irudian, bi kiralitateen eboluzioa erakusten dugu ∆ N∼ 60 e-foldeko tarte baterako. Atzera-eragin gabeko inflazioa da gauge eremua elikatzen duena eta erakusten ditugun espektroen artean 10 e-foldeko banaketa dago (kolore hotzagoetatik beroagoetara). Uhin-zenbakien tartea CMBko perturbazioetarako garrantzitsuak diren eskaletatik hasten da, eta inflazioaren hedapenaren amaieran nagusi diren eskala txikietaraino luzatzen dugu. Ikus dezakegu, a ( N ) H ( N )Hubbleren erradio kohigikorra (lerro bertikalez) unibertsoa hedatu ahala handitzen doan heinean, ∆ (+) A ( N, k )kiralitate positiboa duten moduak esponentzialki kitzikatzen direla. Ohartu moduak maximoki anplifikatu ondoren eratutako kurba inguratzailea (gorriz) gutxi gorabehera (2.24) ebazpenari dagokiola. Aldiz, ∆ (−) A ( N, k )kiralitate negatiboa gutxi gorabehera BD hutsean geratzen dela ikusten dugu, eta eboluzioan zehar, k∼a ( N ) H ( N )denean, aldaketa txikiak agertzen dira. Hori bai, kiralitate positiboa baino anplitude nabarmen txikiagoa du beti. Hala ere, inflazioaren N∼ 60 e-foldetarako ikusi dugun soluzio linealak ez du tarte guzti horretarako balio; izan ere, ereduaren αΛ balio nahikoa sendoetarako, gauge eremuak unibertsoaren dinamikan duen atzera-eragina jada ez da baztergarria izango N aldiune batetik aurrera. Beraz, argi dago gauge eremuaren hazkunde esponentzialak erregimen lineala apurtuko duela noizbait. Esandakoa [62] lanaren jatorrizko motibazioarekin lerrokatzen da, atzera-eragina inflatoiaren marruskaduran laguntzeko motibatzen baizen. 2.2 irudian potentzial koadratikoa erabili dugu grafikoki erakusteko esandakoa. Goiko panelean ρK (gorriz) eta ρV -ren (beltzez) eboluzioa erakusten dugu, eta beheko panelean, inflatoiaren higidura-ekuazio homogeneoaren terminoen balio absolutua aurkezten dugu (ohartu potentzial berdinerako 1.4 irudian erakutsitako gai berberak direla): |¨ ϕ| (gorriz), 3 H|˙ ϕ| (horiz) eta |dV/dϕ| = m2|ϕ| (beltzez). Horiez gain, baina haien bilakaerari eragin gabe, goiko panelean ρEM energia-dentsitatea gehitzen dugu eta beheko panelean atzera-eraginaren parte den αΛ a3mp|⟨ E· B⟩| inflatoiaren higidura-ekuazioko terminoa. Biak zenbakizko metodoekin lortutako gauge eremuaren emaitza integratzetik lortu ditugu (ikus 2.1 irudia) eta ariketa bera mihiztadura ezberdinetarako errepikatu dugu. αΛ = 10,20,30 eta 40 mihiztadura-parametroak erabili ditugu, eta balio horien arteko eskualdea gainazal more batekin azpimarratu dugu. Kontuan hartutako mihiztadura-parametro txikienerako, αΛ = 10,gauge eremuaren atzera-eragina eboluzioan nabaritu daiteke, baina inflazioa amaitu ondoren bakarrik gertatuko da, birberotze-fasean. Mihiztadura-parametroa handitzen dugun heinean, bi termino elektromagnetikoen ekarpena inflazioko gainerakoen parekoa bihurtzen da, dagoeneko inflazioa amaitu baino lehen. Kontuan hartutako mihiztaduraparametroetatik, balio altuena duen αΛ = 40 kasuan, gauge eremuak inflazio-dinamikan duen eragina esanguratsua bihurtzen dela ikusten dugu N∼ − 15 e-fold inguruan, slow-roll inflazioa amaitu aurretik. Hori dela eta, bi paneletan ikus dezakegu mihiztadura-parametro batzuetarako ezin dela baztertu inflatoiaren gaineko eragin elektromagnetikoa, ezta bere energia-dentsitatea ere Friedmannen ekuazioetan. Horren arabera, inflazioaren dinamikaren puntu jakin batetik aurrera, axioi inflazio eredua erregimen linealaren ikuspegitik deskribatzea ez da baliozko aukera bat izango. Beraz, eredua behar bezala deskribatzeko, beharrezkoa da inflazioa amaitu aurretik atzera-eraginaren efektua txertatzea, eta mihiztadura-parametroaren araberakoa izango da inflazio-potentzialaren aukeraketa jakin baterako. 38 Axio Inflazioa 105 106 107 108 109 1010 1011 1012 1013 ρ/m4 K V EM K V EM −25 −20 −15 −10 −5 0 N 100 101 102 103 104 105 106 |¨ φ| 3H|˙ φ| m2|φ| αΛ a3mp|h~ E·~ Bi| |¨ φ| 3H|˙ φ| m2|φ| αΛ a3mp|h~ E·~ Bi| 2.2 Irudia: Inflazioaren bilakaera 1.4 irudian bezalaxe, zehazki azken ∆ N = 25 e-foldetarako. Goiko panelean, energia zinetikoaren (gorriz) eta potentzialaren (beltzez) dentsitateak erakusten ditugu; beheko panelean, berriz, inflatoiaren higidura-ekuazioaren terminoak: |¨ ϕ| (gorriz), 3 H|˙ ϕ| (horiz), eta |dV/dϕ| = m2|ϕ| (beltz etenez). Horrez gain, morez sartzen ditugu gauge eremuaren moduz moduko soluziotik ρEM (goiko panelean) eta αΛ a3mp|⟨ E· B⟩| (beheko panelean) integralak. Termino guztiak m unitatetan ematen dira. αΛ = 10,20,30 eta 40 mihiztadura-parametroak erakusten ditugu, eta euren tarteko balioak irudikatzeko itzaleztatutako eremu morea erabiltzen dugu. 2.4 Erregimen ez-lineala 2.4.1 Atzera-eragin homogeneoa Erregimen linealaren hurbilketa baliozkoa ez denean, gauge eremuaren atzera-eraginaren efektuak txertatzeko, (2.5) - (2.7) sistema osoa eta (2.9) - (2.10) murrizketa-ekuazioak ebazteko arazoari heldu behar zaio. Hori erdiesteko, atzera-eragin homogeneoaren hurbilketa deritzona garatu da literaturan [62,63,66,68,91 – 113]. Hurbilketa horren atzean dagoen ideia sinplea da: inflatoiaren ekuazioan dagoen atzera-eraginari dagokion terminoa bere 2.4 Erregimen ez-lineala 39 itxarondako-balioarengatik ordezkatzen da, αΛ a3mp  E· B→αΛ a3mp⟨ E· B⟩.(2.25) Horrela, eremu elektromagnetikoak unibertsoaren hedapenean duen eragina txertatu daiteke, eta, gainera, inflatoi eremuaren gradienteak sortzea eragozten da. Azkenekotik datorkio hurbilketa homogeneo izena. Garrantzitsua da argitzea ⟨ E· B⟩ hipotesiaren, eta, ondoren,  ∇ϕ = 0 hipotesiaren atzean ekuazio diferentzialen sistemaren ebazpena errazagoa izatea besterik ez dagoela, eta ez oinarrizko homogeneotasun printzipio bat. Ikuspegi horren arabera, hau da axioi inflazio ereduaren sistema dinamikoa: ¨ ϕ=−3H˙ ϕ−dV dϕ +αΛ a3mp⟨ E· B⟩,(2.26) ˙  E=−H E−1 a2 ∇×  B−αΛ amp ˙ ϕ B , (2.27) ¨a=−a 3m2 p (2ρK−ρV+ρEM),(2.28) eta murrizketa-ekuazioak orain hauek dira:  ∇·  E= 0 ,(2.29) H2=1 3m2 p (ρK+ρV+ρEM).(2.30) Hurbilketa horretan, garrantzitsua da nabarmentzea Friedmannen ekuazioetan sartzen dela ere energia elektromagnetikoaren dentsitatea. Maila ezberdinetan burutu da atzera-eraginak inflatoian eta unibertsoaren hedapenean duen eraginaren berri ematen duen mota horretako sistema baten ebazpena. Lehenengo ikerketetatik, ⟨ E· B⟩ eta ⟨a2 E2 +  B2⟩ terminoen adierazpen hurbilduekin, ξ konstante baten suposiziopean [62,63,66], zenbakizko lan berriagoetara, itxaropen-balio horiek une bakoitzean gauge eremuaren integral gisa ebaluatzen dituztenak, ⟨ E· B⟩=1 4πZdkk3d dt h|A+|2−|A−|2i,(2.31) ⟨a2 E2+ B2⟩=a2 2π2Zdkk2X λ=±ha2|˙ Aλ|2+k2|Aλ|2i,(2.32) eta, geroago, inflatoi eta eskala-faktorearen higidura-ekuazioetan berriro txertatu, eta prozedura hori iteratiboki errepikatzen dutenak [68,102,103,105,108]. Egun, metodo integro-diferentzialaren alternatiba gisa eta emaitza baliokideekin, ingelesezko Gradient Expansion Formalism (GEF) deritzona da atzera-eragin homogeneoari aurre egiteko konputazionalki tresna eraginkorrenetakoa. [104,106] lanetako autoreek aurkeztu zuten lehen aldiz formalismoa axioi inflazio testuinguruan, eta gerora horren fenomenologia 40 Axio Inflazioa aztertzeko erabili dituzte teknika berdinak [94,109,110,112] lanetan. Fourierren espazioan moduz modu lan egin beharrean, eremu elektromagnetikoekin osatutako bilinealen hutseko itxarondako-balioak erabiltzen ditu GEF teknikak koordenatuen espazioan. Horrela, moduen informazio fisiko garrantzitsua aldi berean jasotzen dute objektu horiek. Hauek dira definitu beharreko 2-puntuko funtzioak: P(n) E=1 anD E·( ∇×)n EE,(2.33) P(n) B=1 anD B·( ∇×)n BE,(2.34) P(n) EB =−1 anD E·( ∇×)n BE,(2.35) eta  E = −˙  A/a eta  B = (  ∇×  A ) /a2 behatzaile kohigikor batek definitutako eremu elektriko eta magnetikoa dira, hurrenez hurren. (2.27) ekuazio dinamikoak eta (2.6) ekuazioko Bianchiren identitateak eremu elektriko eta magnetikoaren denbora-deribatuak beren deribatu espazialekin soilik—zehazki beren errotazionalekin—erlazionatzen dituzte. Horregatik, (2.33) - (2.35) bilinealen denboraderibatuek beti dute funtzio bat errotazional gehigarri batekin. Aipatutakoagatik bilinealetako baten n ordenako higidura-ekuazio baterako, errotazionalaren n + 1 ordenako funtzio bat behar da gutxienez, eta, beraz, akoplatutako ekuazioen kate infinitu bat izango dugu, ˙ P(n) E+ (n+ 4)HP(n) E−2αΛ mp ˙ ϕP(n) EB + 2P(n+1) EB =h˙ P(n) Eiboundary ,(2.36) ˙ P(n) B+ (n+ 4)HP(n) B−2P(n+1) EB =h˙ P(n) Biboundary ,(2.37) ˙ P(n) EB + (n+ 4)HP(n) EB −P(n+1) E−P(n+1) B−αΛ mp ˙ ϕP(n) B=h˙ P(n) EB iboundary ,(2.38) eta hutsetik kitzikatu diren moduen berri ematen dute ekuazioen eskuineko aldeko mugaterminoek. Moduak kitzikatu ahala txertatuz gero eta (2.36) , (2.37) eta (2.38) ekuazioak ordena jakin bateraino trunkatuz, atzera-eragin homogeneorako dinamika ebazten duen ekuazio-sistema itxi bat eskaintzen du GEF teknikak.10 Gauge eremuak inflatoian duen atzera-eragina kontuan hartzeak hainbat efektu interesgarri eragiten ditu bere dinamikan. Alde batetik, mihiztadura-parametro aski handietarako, gauge eremuaren kitzikapenak inflatoiaren abiadura murrizten duen “marruskadura” gisa jokatzen du, eta, ondorioz, inflazioaren amaiera atzeratzen da. 2.3 irudiaren goiko panelean efektu hori erakusten dugu, αΛ = 15 (urdinez) eta αΛ = 18 (gorriz) mihiztaduraparametroetarako. Horretarako, ϵH behagarriaren GEF bidezko eboluzioa marrazten dugu atzera-eragin homogeneorako. 11 Slow-roll portaera estandarrarekin (beltz jarraituz) alderatuta, non N = 0 inflazioaren amaierari baitagokion gutxi gorabehera N∼ 60 10 Irakurleari [104,106] lanak begiratzea gomendatzen diogu GEF teknikaren, trunkatzearen eta mugaterminoen ezarpenaren xehetasun teknikoetarako. 11 Richard von Eckardstein, Kai Schmitz eta Oleksandr Soboli eskerrak eman nahi dizkiegu GEF teknikaren bidez lortutako datuak uzteagatik. 2.4 Erregimen ez-lineala 41 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 H αΛ= 15 αΛ= 18 αΛ= 15 αΛ= 18 −8−6−4−2 0 2 4 N 0 4 8 12 ξ 2.3 Irudia: ϵH inflazioeta ξ ezegonkortasun-parametroen eboluzioa atzera-eragin homogeneorako GEF teknikarekin. Goian: ϵH parametroaren konparaketa atzera-eragin gabeko kasuaren (beltz jarraituz) eta atzera-eragin homogeneoaren (lerro etenez) artean αΛ = 15 (urdin etenez) eta αΛ = 18 (gorri etenez) mihiztadura-parametroetarko. ϵH = 1 lerro gris horizontal eten batekin adierazten dugu eta kolore bereko lerro bertikal etenekin erakusten dugu inflazioaren amaiera kasu bakoitzerako. Behean: konparaketa bera ξ parametrorako. Kolore eskema bera erabiltzen dugu, eta atzera-eragin gabeko kasuak orain mihiztadura-parametroaren arabera kolore ezberdina du. ondoren, ikusten dugu ϵH = 1 gurutzaketa atzeratu egiten dela hautatutako bi mihiztaduraparametroetarako. Luzapen hori ∆ N≃ 2e-fold ingurukoa da, eta horren arrazoia atzeraeraginak inflatoian sortzen duen marruskaduran dago. Horrez gain, portaera oszilakorra erakusten du ˙ ϕ -k, eta ondorioz ξ -k ere bai ( ϵH -en ere agertzen da). Inflatoiaren abiaduraren eta gauge eremuaren kitzikapenaren euren atzera-eraginaren atzerapenaren ondorioz sortzen dira oszilazioak [68,102,103,105]. 2.3 irudiaren beheko panelean, marruskadura hori bera irudikatzen dugu aipatutako mihiztadura-parametroetarako, eta atzera-eragin gabeko erreferentzia kasuarekin alderatzen dugu. Koloredun lerro jarraituak erabiltzen ditugu atzera-eragin gabeko kasuarentzat, ξ mihiztadura-parametroaren menpekoa baita. 48 Axio Inflazioa Sare Simulazioetan n -k espazio-denborako ( n0, n) → ( t, x)posizio diskretua adierazten du eta ˆµ -k lau desplazamendu-norabideak biltzen ditu, non ˆ 0 denbora-norabidea δt translazio bati baitagokion. Ikus dezakegunez, n inguruan egiten badugu garapena, ∆ 0 µf→∂µf + O ( δx2 )beteko da. Hala ere, aukera horrek badu eragozpen bat: ez da sentikorra frogatu ditzakegun eskala txikienekiko. Adibidez, deribatu espazialen kasuan, eskala txikiena δx da eta Fourierren espazioan ez ditu oszilazioak behar bezala atzematen kNyquist = π/δx maiztasunetan. Hori dela eta, aurreranzko eta atzeranzko deribatuak aukeratuko ditugu: ∆± µf=±f(n±ˆµ)∓f(n) δxµ,@n±ˆµ 2.(3.12) Aukera horrek ere jarraituko ∆ ± µf→∂µf + O ( δx2 )erreproduzituko du, baldin eta n -n “bizi” den f ( n )eremu baterako ∆ ± µf deribatua n±ˆµ/ 2-n bizi bada. Bestela, n inguruan garatuz gero, jarraituko adierazpena O(δx)ordenara imitatuko du soilik. Teoria eskalar baten kasuan, aipatutako diskretizazioa nahikoa litzateke. Hala ere, gauge eremuak barne hartzen dituen teoria batek erronka gehigarriak aurkezten ditu, maila diskretuan gauge aldaezina izaten jarraitu behar baitu. (3.12) gisako eragile diferentzialak zuzenean ekintzan edo higidura-ekuazioetan erabiltzeak, δx eta δt -ek zerora jotzen dutenean soilik ziurtatuko du gauge aldaezintasuna, eta sistemak zenbakizko ezegonkortasunetarako joera izango du. Hori dela eta, Uµ≡Uµ ( n + ˆµ/ 2) ≡e−iδxµAµ(n+ˆµ/2) sare-lotura aldagaiak erabiliz formulatzen dira sare bidezko gauge teoriak, eta horiek zehazki n + ˆµ/ 2 loturetan definitzen dira. Horrela, deribatu kobariante egokiak eraiki daitezke eta gauge tranformazioekiko ekintza diskretu aldaezina lortu [135,136]. Era horretan eraikitako ekintza batetik gauge aldaezintasuna betetzen duen, zein Gaussen legea kontserbatzen duen eboluzio diskretua lortu daiteke. Unibertso goiztiarreko kosmologian, lotura-aldagaiak erabiltzen dituen ohiko eredu bat Abelian-Higgs soka kosmikoena da [7,8,137–139]. Lotura-aldagaiak erabiliz gero, gauge eremuak esplizituki adieraztea posible da. Horri sare bidezko gauge teoria trinko deritzo, eta gauge teoria abeldarrei zein ez-abeldarrei aplikatu dakieke. Izan ere, formulazio trinkoa da teoria ez-abeldarrak diskretizatzeko modu bakarra sare bidezko gauge aldaezintasuna bete nahi bada. Gauge teoria abeldarrentzat, aldiz, gauge eremuak esplizituki adierazten dituen formulazioa ere erabil daiteke, formulazio ez-trinko gisa ezagutzen dena. Azken hori da lan honetan erabiltzen dugun formulazioa. Gure kasuan, U (1) axioi inflazio eredurako, ez dugu deribatu kobarianterik, eremu eskalarra ez baita U (1) simetriaren pean kargatzen. Ondorioz, gauge aldaezintasunari dagokionez, eremu eskalarren gainean eragiten duten deribatuak deribatu partzial arruntak dira, ez kobarianteak. 3.1.2 Higidura diskretua Garatu dugun dinamikaren diskretizazioa zuzenean aurkeztu beharrean, tesi honen hasieran zeuden literaturako planteamendu ezberdinak aurkeztuko ditugu lehenik, gure lan propioa hobeto motibatzeko. 3.1 Sare bidezko eremu-teoria 49 3.1.2.1 Tesi aurreko egoera Tesi honen hasieran, U (1) axioi inflazioa aztertzeko bi ikuspegi zeuden sare bidezko eremu-teorian. [114 – 117] lanetan higidura-ekuazioak zuzenean diskretizatzen dituzte, gauge aldaezintasuna betetzen duen ekintza batetik abiatu gabe. Aurretik aipatu dugun bezala, ez da aukerarik egokiena. Are gehiago, A0 = 0 denbora-gauge aukeraketa estandarraren ordez, zenbakizko arazoak ematen dituen ∂µAµ = 0 Lorenz-en gaugea erabiltzen dute. Aukeraketa hori egiten denean, azken baldintzaren jarraipena egin behar da sistemaren eboluzio diskretuan zehar, eta A0 aldagai dinamiko gehigarri bat bilakatzen da. Diskretizazioaren testuinguruan, oraindik aipatu ez dugun alderdi bat axioiaren desplazamendu-simetria da. ϕF ˜ F mihiztaduraren bertsio diskretuak simetria hori errespetatu behar du, gauge aldaezintasunean jarraitutako logika berberagatik. Alderdi hori ere ez da kontuan hartzen [114 – 117] lanetan. Zentzu horretan, [118] lanaren ikuspegia, [140] lanean aurkeztutako formalismoan oinarritzen dena, askoz sendoagoa da, bi gaiak barneratzen baititu: gauge aldaezintasuna eta desplazamendu-simetria. Azpiatal honen hurrengo edukietan [140] lanaren ekintza era kontsistentean diskretizatzeko prozedura laburki azalduko dugu. Ekintzan diskretizatu behar den funtsezko terminoa hau da: SCoupling =Zdtd3xa3αΛ mp ϕ E· B . (3.13) Propietate hauek bete behar ditu sare bidezko egokia den termino horren proposamen batek: i) Jarraituko (3.13) termino analogoa O ( δx2 )ordenara erreproduzitu beharko du. Horrek ∝ E· B , ˙ ϕ B , eta  ∇ϕ× E sare bidezko terminoei ematen die bide, eta jarraituko baliokideak O(δx2)ordenara erreproduzitzen dituzte baita ere. ii) Aµ→Aµ +∆ + µβ gauge aldaezintasun diskretua, β funtzio erreal arbitrario baterako. 3 iii) Axioi eremuaren eta gauge eremuaren arteko mihiztaduran, Fµν ˜ Fµν terminoa ∂µKµ deribatu oso gisa idatz daiteke, eta bertan Kµ Chern-Simons korrontea da. Ondorioz, F˜ F terminoa aldaezina da desplazamendu-simetriaren pean. Sareko termino horren analogoak ∆+ µKµderibatu oso gisa ere adierazgarria behar du. iv) Bianchiren identitateen ondorioz nuluak diren ˙  B− ∇·  E = 0 eta  ∇·  B = 0 terminoak ere nuluak izan beharko dute euren bertsio diskretuan. Ohartu [140] lanean esaten den bezala, iii) eta iv) propietateak korrelazionatuak daudela, beraz, horietako bat asetzeak bestea betetzea dakar. Eremu elektriko eta magnetikoaren definizio diskretuak hauek dira: Ei≡∆+ 0Ai−∆+ iA0, Bi≡ϵijk∆+ jAk,(3.14) 3 Ohartu atzeranzko eta aurreranzko deribatuak erabiltzeko beste arrazoi bat dela, gauge aldaezintasun diskretua eraiki dezakegula n+ ˆµ/2puntuan, linketan definitutako gauge eremuentzat noski. 50 Axio Inflazioa Sare Simulazioetan eta (3.13) terminoari dagokion eragile diskretua definitzeko erabiltzen badira, lehenengo eta bigarren baldintzak betetzen dira. Gainera, Pi ∆ − iBi eta ∆ − 0Bi−ϵijk ∆ − jEk adierazpen diskretuei ematen die bide, jarraituko  ∇· B eta ˙  B− ∇× E Bianchiren identitateen antzekoak. Hala ere, Bianchiren identitateak jarraituan betetzen diren, eta, beraz, aurrekoak zero diren arren, diskretuan Pi ∆ − iBi = 0 lortzen da, ∆ − i ∆ + j ez delako trukakorra eta, ondorioz, i↔j eragiketa simetrikoa ez delako. Era berean, ∆ − 0Bi−ϵijk ∆ − jEk = 0, da ∆ − j ∆ + 0 eta ∆− 0∆+ jadierazpenak ez direlako trukakorrak. Nahiz eta (3.14) definizioekin mihiztaduraren akzio diskretuko terminoak O ( δx2 )ordenara jarraituko analogoa erreproduzitzen duen; definizio bererako, eremu horiek une eta leku desberdinetan bizi dira, Ai≡A(n0,n+ˆı 2)dela kontuan izanda, Ei≡Ei(n0+ˆ 0 2,n+ˆı 2), Bi≡Bi(n0,n+ˆȷ 2+ˆ k 2).(3.15) Horren ondorioz, EiBi eragile ez-kontsistentea da, naturalki definitutako gunerik gabe, eta, hortaz, hura aldatzean, higidura-ekuazioetan desagertzen ez diren termino diskretuak agertzen dira, espazio jarraituan ez bezala. Arazo horri aurre egiteko, mihiztadurarako eragile hau proposatzen da [140]4lanean: SL Coupling ∝X n0,n δtδx3ϕE(2) i(B(4) i+B(4) i,+0).(3.16) Bertan, hauek dira moldatutako eremu elektriko eta magnetikoa: E(2) i(n0+ˆ 0 2,n)≡1 2(Ei+Ei,−i), B(4) i(n0,n)≡1 4(Bi+Bi,−j+Bi,−k+Bi,−j−k), (3.17) eta ± 0 ,±i, ±j, ±k azpiindizeek desplazatutako osagaiak adierazten dituzte, bai denborari dagokion norabidean bai espazioari dagokion norabidean. Proposamen horrek lehen bi baldintzak betetzen ditu ere, baina, orain, ∝Pj,k ϵijk (∆ + j + ∆ − j )( E(2) k + E(2) k,−0 + E(2) k,+k + E(2) k,+k−0 ) − (∆ + 0 + ∆ − 0 )( B(4) i + B(4) i,+i ) = 0 eta ∝Pi ∆ − i ( B(4) i + B(4) i,+i )=0termino diskretuei ematen die bide. Horrela, ondo definitutako eragile batekin, desagertzen diren eta jarraitukoen pareko diren adierazpen diskretuak lor ditzakegu. Hori dela medio, Bianchiren identitateak maila diskretuan betetzen dira. Definizio hori erabiliz, hau da (2.2) adierazpenaren bertsio diskretua [118]: SL m=δtδx3X n0,n 1 2¯a3π2 ϕ−1 2a∆+ iϕ2−a3V(ϕ) +1 2aX i E2 i−1 4¯aX i B2 i+αΛ mp ϕX i 1 2E(2) iB(4) i+B(4) i,+0). (3.18) 4 Beste aukera batzuk ere aurkezten dira [140] lanean, tesian zehar erakutsi ez ditugunak, gehienek ez baitituzte betetzen lehen zerrendatutako i), ii), iii) eta iv) propietateak, edo simetrizazio konplikatuagoa behar baitute horretarako. 3.1 Sare bidezko eremu-teoria 51 Eragile guztiak era kontsistentean definituta daude eta sareko puntu eta denbora berdinetan bizi dira. Axioi eremua ϕ≡ϕ ( n0 + ˆ 0 2, n)gunean 5 dago definituta eta bere momentu konjugatua πϕ≡πϕ ( n0, n) ≡ ∆ − 0ϕ gunean. Eskala-faktorea berriz a≡a ( n0 + ˆ 0 2 )gisa dago definituta. Horrez gain, ekintzako eragileak kontsistenteak izateko ¯a≡ ( a + a−0 ) / 2 denbora-pausu osoetan bizi den eskala-faktorea definitu behar da. Ekintza horretatik abiatuta, hauek dira A0 = 0 denbora-gaugean higidura-ekuazio diskretuak: ∆+ 0¯a3πϕ=aX i ∆− i∆+ iϕ−a3dV (ϕ) dϕ +αΛ mpX i 1 2E(2) iB(4) i+B(4) i,+0,(3.19) ∆− 0(aEi) = −1 ¯aX j,k ϵijk∆− jBk−αΛ 2mpπϕB(4) i+πϕ,+iB(4) i,+i +αΛ 8mp (2 + δx∆+ i)X ±X j,k ϵijk h(∆± jϕ)E(2) k,±ji+h(∆± jϕ)E(2) k,±ji−0,(3.20) aX i ∆− iEi=−αΛ 4mpX ±X i∆± iϕB(4) i+B(4) i,+0±i,(3.21) eta azken ekuazioa ereduaren Gaussen lege diskretua da. Ekuazio diskretuen multzo horrek bere baliokide jarraitua erreproduzitzen du O ( δx2 )ordenara, ϕF ˜ F mihiztaduratik eratorritako termino diskretuak barne. Beraz, [118,140] lanen proposamenak gauge aldaezintasuna zein desplazamendu-simetria betetzen dituen ekintza diskretu bat eraikitzea ahalbidetzen du, eta, gainera, bertatik Bianchi identitateen analogo diskretu egokiak ere eratortzen dira. Hala ere, formulazio horrek badu eragozpen bat, oraindik aipatu ez duguna: (3.19) , (3.20) eta (3.21) adierazpenek osatutako ekuazio-sistemak metodo inplizituak behar ditu bere ebazpenerako. Sistemaren propietate fisikoei dagokienez arazorik sortzen ez badu ere, kostu konputazionala nabarmen handitzen du. Esandakoa ondo ulertzeko, demagun axioia homogeneoa dela, eta, ondorioz, (3.20) ekuazioan azken terminoa desagertu egiten dela. Alde batetik, eremu eskalarra denbora erdi-osoetan bizi da, eta bere momentu konjugatua, berriz, denbora osoetan definitzen da. Gauge eremua, aldiz, denbora osoetan dago definituta, eta eremu elektrikoa denbora erdi-osoetan. Bi kasuetan, bakoitzaren eboluzionukleoek ez daukate momentu konjugatuaren mendekotasunik. Hortaz, eskematikoki, Kϕ = ∆ + 0(¯a3πϕ) eta KA = ∆ − 0(aEi) nukleoek momentu konjugatuaren deribatua adierazten dutela kontuan izanda, {πϕ, Ai} badaukagu n0 denboran, ϕ = ϕ−0 + δt πϕ eta Ei = Ei,−0 + δt KA [ πϕ, Ai ]askatu ditzakegu n0−ˆ 0 2 denboratik n0 + ˆ 0 2 denborara. Bertatik, eboluzioarekin jarraitu dezakegu Ai,+0 = Ai + δt Ei eta πϕ,+ˆ 0 = πϕ + δt Kϕ [ ϕ, Ei ]erabilita n0 + ˆ 0 denborara joateko eta abar. 6 Erakutsitakoa eboluzio eskema esplizitu bati dagokio. Hala ere, axioi eremu ez-homogeneo baten kasuan, (3.20) ekuazioko ∝ ∇ϕ× E terminoari dagokion termino diskretua ez da zero, eta eboluzio inplizituko eskema beharrezkoa da, 5 Eremu eskalarra denbora-pausu erdian bizitzea ez da aukera estandarra, baina beharrezkoa da eskema honetan ekintza diskretu kontsistente bat definitu ahal izateko. 6 Sinpletasunagatik ezartzen dugu a = 1, eboluzioaren eskema esplizitua zergatik den azaltzerako. Hala ere, bere efektua πϕ→¯a3πϕ eta Ei→aEi bezala sartuz gero, eskemak esplizitua izaten jarraitzen duela ikus daiteke. 52 Axio Inflazioa Sare Simulazioetan nukleoan gauge eremuaren momentu konjugatua dagoelako. Adibidez n0−ˆ 0 2 denboratik n0 + ˆ 0 2 denborara E1 osagaia eboluzionatu nahi bada, beharrezkoak dira E2 eta E3 osagaiak n0 + ˆ 0 2 aldiunean, (3.20) ekuazioko azken terminoan ikus daiteken bezala. Beste bi osagaietako bat aukeratzen badugu, beste biak beharko dira eguneratu nahi den aldiunean bertan. Eboluzio esplizitua ezinezkoa dela esan nahi du horrek, eta eskema inplizitu bat behar da. Horretarako, denbora-urrats bakoitzean eremu elektrikoa era hurbilduan aldi-kopuru jakin bat iteratzen da, eta behar bezala eguneratu dela ziurtatzeko nahikoa konbergentzia lortu dela begiratzen da. 7 Sistemaren denbora-urrats bakoitzaren bilakaera asko garestitzen du konputazionalki horrek. Aipatzekoa da, halaber, arazo hori ez dela axioi inflazio ereduan agertzen soilik; beren eboluzio-nukleoetan momentu konjugatua duten eremu-teoria guztien parte da. Elkarrekintza grabitatorio ez-minimoak dituzten ereduetan aurki daiteke horren adibide bat [141]. Laburbilduz, [114 – 117] erreferentzietan, higidura-ekuazioak zuzenean diskretizatzen dituzte deribatu neutroak erabilita eta euren markoak ez ditu asebetetzen teoriak espazio jarraituan dituen propietateak. Bitartean, [140] erreferentzian oinarritzen den [118] lanean markoa sendoagoa da, aztergai den axioi inflazio ereduaren gauge aldaezintasuna eta desplazamendu-simetria errespetatzen dituen ekintza diskretu batetik abiatzen baita. Hala ere, bere soluziorako eskema esplizitu bat eskatzeak askoz zorrotzagoa egiten du baliabide konputazionalei dagokienez. Horrez gain, osagai gehigarriak gehitzea zailtzen du, hala nola perturbazio metrikoak edo beste espezie batzuekiko interakzioak, sistemaren dinamika ebatzi ondoren hurrengo urrats logikoa izango litzatekeena. Hurrengo azpiatalean, diskretizazioaren bertsio alternatibo bat aurkeztuko dugu, tesi honetan jasotako ikerketarako erabili dena. 3.1.2.2 Dinamikaren diskretizazioa Proposatzen dugun formulazio diskretuaren helburua [118,140] lanetako eboluzio eskema esplizitu bilakatzea da. Lan horietan oinarritzen gara, esan bezala, axioi inflazio eredua erreproduzitzeko baldintza guztiak era kontsistentean betetzen dituelako. Gure proposamenean ez da diskretizatzen denbora-aldagaia materiari dagokion ekintzan. Aldi berean, mihiztadura terminoetako eremu elektriko eta magnetikoen birdefinizioak errespetatzen ditugu, eta horrela “simetrizazio” espaziala gordetzen dugu. Planteamendu horrekin, ekintza erdi-diskretu batetik abiatuko gara. Hura osatzen duten eragileak behar bezala definituta daude espazialki, eta, horri esker, desplazamendu-simetria eta gauge aldaezintasuna gordetzen ditu ekintzak. Gainera, ekintzak jada ez die (3.19) , (3.20) eta (3.21) bezalako ekuazioei bide ematen, eta denbora translazioak ez dira beharrezkoak izango. Hari beretik, honako ekintza erdi-diskretua definitzen dugu: SL m=Zdt X n δx3(1 2a3π2 ϕ−X i a1 2(∆+ iϕ)2−a3V(ϕ)+ +X i 1 2aE2 i−a−2B2 i+αΛϕ mpX i E(2) iB(4) i),(3.22) 7Begiratu [118] erreferentzia eskema inplizituari buruzko xehetasun teknikoetarako. 3.1 Sare bidezko eremu-teoria 53 eta bertatik higidura-ekuazio erdi-diskretuak eta Gaussen legea eratortzen dira (berriro ere A0= 0 onartuta):8 ˙πϕ=−3Hπϕ+1 a2X i ∆− i∆+ iϕ−dV (ϕ) dϕ +αΛ a3mpX i E(2) iB(4) i,(3.23) ˙ Ei=−HEi−1 a2X j,k ϵijk∆− jBk−αΛ 2ampπϕB(4) i+πϕ,+iB(4) i,+i +αΛ 4ampX ±X j,k ϵijk h(∆± jϕ)E(2) k,±ji+i+h(∆± jϕ)E(2) k,±ji,(3.24) X i ∆− iEi=−αΛ 4ampX ±X i∆± iϕB(4) i,±i.(3.25) Gure diskretizazio markoan hauek dira eremuen denbora eta espazio gune diskretuak: ϕ≡ϕ(n0,n), πϕ≡πϕ(n0,n),(3.26) Ai≡Ai(n0,n+ˆı 2), Ei≡Ei(n0,n+ˆı 2), Bi≡Bi(n0,n+ˆȷ 2+ˆ k 2),(3.27) E(2) i≡E(2) i(n0,n), B(4) i≡B(4) i(n0,n),(3.28) eta higidura-ekuazioetako termino guztiek beren jarraituko baliokideak berreskuratzen dituzte O ( δx2 )ordenara. Puntu honetan, denboraren aldagaia diskretizatuko dugu, eta, horretarako, integratzaile egokiena aukeratu. Ekuazio sistema esplizituki ebatzi nahi dugunez, eboluzio nukleoetan momentu konjugatuak izatea onartzen duen integratzaile bat behar dugu: integratzaile ez-sinplektikoa. Runge-Kutta (RK) motako integratzaile esplizituak izaera horretakoak dira. Beraz, aukeratzen dugun ordenaren arabera, p -k emandako O(δtp)orden zehatz baterako ebatziko dugu sistema. Integratzaile jakin batentzat sistema nola ebazten dugun formulatu aurretik, komeni da espazio-denborako koordenatuak zein eremuak aldagai adimentsionalen arabera birdefinitzea: δ˜x=ω∗δx , δ˜ t=ω∗δt , ˜ ϕ=1 f∗ ϕ , ˜ Aµ=1 ω∗ Aµ.(3.29) Printzipioz, era arbitrarioan aukera daitezke {ω∗, f∗} , hots, energia-eskala tipikoaren eta denbora-eskala fundamentalaren balioak. Hala ere, komeni da aukeraketa zentzuzkoa izatea. Adibidez, hasieran bat ordenakoak izatea sisteman nagusi diren eremuak edo efektu fisikoak era egokian atzematea denbora-eskalak. Hori dela eta, espazio-denborako koordenatu eta eremu birdefinituei programa-aldagai esaten zaie. Zergatik? Ordenagailuan zenbakizko eboluzioa ematen dutelako ez handiegiak ez txikiegiak diren balioekin, eta behar 8 Kontuan izan, momentu konjugatuaren denborazko deribatuak ez direla d ( a3πϕ ) /dt edo d ( aEi ) /dt bezala idazten proposatzen dugun eskema berri honetan. Laster ikusiko dugunez, ez da beharrezkoa Hubbleren marruskadura-terminoetan agertzen den momentu konjugatua ezabatzeko egin ohi den birdefinizio hori, erabiltzen dugun zenbakizko integratzaileak momentu konjugatuak onartzen baititu eboluzio-nukleoetan. 54 Axio Inflazioa Sare Simulazioetan bezala atzematen dituztelako aldaketa-tasak. Potentzial koadratikorako f∗ = ω∗ = m ezartzen dugu adibidez. Horiek horrela, hauek dira (3.23) eta (3.24) higidura-ekuazioak programa-aldagaiak erabilita: Kϕ[˜ ϕ, ˜πϕ,˜ Ai,˜ Ei, a, ˜πa]≡˙ ˜πϕ=−3˜ H˜πϕ+1 a2X i ˜ ∆− i˜ ∆+ i˜ ϕ−d˜ V(˜ ϕ) d˜ ϕ+"ω2 ∗ f∗mp#αΛ a−3X i ˜ E(2) i˜ B(4) i, (3.30) KA[˜ ϕ, ˜πϕ,˜ Ai,˜ Ei, a, ˜πa]≡˙ ˜ Ei=−˜ H˜ Ei−1 a2X j,k ϵijk ˜ ∆− j˜ Bk−"f∗ mp#αΛ 2a˜πϕ˜ B(4) i+ ˜πϕ,+i˜ B(4) i,+i +"f∗ mp#αΛ 4aX ±X j,k ϵijk h(˜ ∆± j˜ ϕ)˜ E(2) k,±ji+i+h(˜ ∆± j˜ ϕ)˜ E(2) k,±ji, (3.31) eta hau Gaussen (3.25) legea: X i ˜ ∆− i˜ Ei=−"f∗ mp#αΛ 2aX ±X i (˜ ∆± i˜ ϕ)˜ B(4) i,±i.(3.32) Eskala-faktorearen denbora-deribatua πabezala definitzen dugu eta ˜ H= ˜πa/a da. Bigarren ordenako ekuazio diferentzial horiek lehen ordenako ekuazio diferentzialen sistema akoplatu gisa formula ditzakegu: ˙ ˜πϕ=Kϕ[˜ ϕ, ˜πϕ,˜ Ai,˜ Ei, a, ˜πa], ˙ ˜ Ei=KA[˜ ϕ, ˜πϕ,˜ Ai,˜ Ei, a, ˜πa], ˙ ˜ ϕ= ˜πϕ, ˙ ˜ Ai=˜ Ei. (3.33) Horrez gain, materia-eremuekin batera, hau da programa-aldagaiak erabiliz (2.9) unibertsoaren hedapenaren bilakaera-nukleoa: Ka[a, ˜ρL K,˜ρL V,˜ρL EM]≡˜πa="f∗ mp#2a 3h−2˜ρL K+ ˜ρL V−˜ρL EMi,(3.34) eta ˜ρLenergia-dentsitate termino diskretu bakoitza honela definitzen da: ˜ρL K≡1 2D˜π2 ϕE,˜ρL G≡1 2a2(˜ ∆+˜ ϕ)2,˜ρL V≡D˜ V(˜ ϕ)E, ˜ρL EM ≡"ω∗ f∗#21 2a4a2D˜ E2 iE+D˜ B2 iE . (3.35) ⟨...⟩ ≡ 1 N3Pn ( ... )adierazpenak bolumenaren batezbestekoa adierazten du dimentsioko N puntu dituen sare batean. Era berean, (2.10) Hubbleren murrizketa-ekuazio diskretua hau da: ˜π2 a="f∗ mp#2a2 3h˜ρL K+ ˜ρL G+ ˜ρL V+ ˜ρL EMi.(3.36) 3.1 Sare bidezko eremu-teoria 55 Beraz, eskema autokontsistente batean, lehen ordenako ekuazio diferentzialen sistema hau ere gehitu behar diogu aurreko (3.33) multzoari: ˙ ˜πa=Ka[a, ˜ρL K,˜ρL V,˜ρL EM], ˙a= ˜πa.(3.37) (3.33) eta (3.37) ekuazioek osatzen duten lehen ordenako ekuazio diferentzial akoplatuen sistema ebazteko, adibidez, bigarren ordenako Runge-Kutta (RK2) metodo esplizitu bat erabil daiteke, kasu honetan moldatutako Euler-en metodo deritzona:                                  ˜ ϕ(1) =˜ ϕ , ˜ ϕ(2) =˜ ϕ(1) +δ˜ t˜π(1) ϕ, ˜π(1) ϕ= ˜πϕ˜π(2) ϕ= ˜π(1) ϕ+δ˜ tk1,ϕ , ˜ A(1) i=˜ Ai˜ A(2) i=˜ A(1) i+δ˜ t˜ E(1) i, ˜ E(1) i=˜ Ei,˜ E(2) i=˜ E(1) i+δ˜ tk1,A , a(1) =a , a(2) =a(1) +δ˜ t˜π(1) a, ˜π(1) a= ˜πa,˜π(2) a= ˜π(1) a+δ˜ tk1,a ,              k1,ϕ =Kϕ[˜ ϕ(1),˜π(1) ϕ,˜ A(1) i,˜ E(1) i, a(1),˜π(1) a],k2,ϕ =Kϕ[˜ ϕ(2),˜π(2) ϕ,˜ A(2) i,˜ E(2) i, a(2),˜π(2) a], k1,A =KA[˜ ϕ(1),˜π(1) ϕ,˜ A(1) i,˜ E(1) i, a(1),˜π(1) a],k2,A =KA[˜ ϕ(2),˜π(2) ϕ,˜ A(2) i,˜ E(2) i, a(2),˜π(2) a], k1,a =Ka[a(1),˜ρL,(1) K,˜ρL,(1) V,˜ρL,(1) EM ],k2,a =Ka[a(2),˜ρL,(2) K,˜ρL,(2) V,˜ρL,(2) EM ],                                                              =⇒ =⇒                                    ˜ ϕ(n0+δ˜ t, n) = ˜ ϕ(1) +1 2h˜π(1) ϕ+ ˜π(2) ϕiδ˜ t , ˜ Ai(n0+δ˜ t, n) = ˜ A(1) i+1 2h˜ E(1) i+˜ E(2) iiδ˜ t , a(n0+δ˜ t, n) = a(1) +1 2h˜π(1) a+ ˜π(2) aiδ˜ t , ˜πϕ(n0+δ˜ t, n) = ˜π(1) ϕ+1 2[k1,ϕ +k2,ϕ]δ˜ t , ˜ Ei(n0+δ˜ t, n) = ˜ E(1) i+1 2[k1,A +k2,A]δ˜ t , ˜πa(n0+δ˜ t, n) = ˜π(1) a+1 2[k1,a +k2,a]δ˜ t . (3.38) Hurrengo urratsera eboluzionatu nahi badugu, RK2-n bi nukleo gorde behar ditugu, k1 eta k2 , eremu bakoitzerako eta denbora-urrats bakoitzean. Gainera, integratzailearen ordena hobetzen badugu, horrek are nukleo gehiago gordetzea eskatuko luke urrats bakoitzean. Beraz, beharrezkoa den memoria problematikoa bihur daiteke tamaina handiko sareetan. Hori dela eta, memoria-baxuko Runge-Kutta metodo deritzenak aproposak dira horrelako gaietarako, aldagai laguntzaile izeneko eremuak berrerabiltzen baitira informazioa gordetzeko. Axioi inflazioaren kasuan, honela formula daiteke s-pausuko memoria-baxuko Runge-Kutta eskema orokor bat [141]: 56 Axio Inflazioa Sare Simulazioetan ˜ ϕ(0) =˜ ϕ(n0,n) ˜π(0) ϕ= ˜πϕ(n0,n) ˜ A(0) i=˜ Ai(n0,n) ˜ E(0) i=˜ Ei(n0,n) a(0) =a(n0,n) ˜π(0) a= ˜πa(n0,n)                                =⇒                                                                        ∆˜ ϕ(p)=Ap∆˜ ϕ(p−1) +δ˜ t˜π(p−1) ϕ ∆˜π(p) ϕ=Ap∆˜π(p−1) ϕ+δ˜ tKϕ[˜ ϕ(p−1),˜π(p−1) ϕ,˜ A(p−1) i,˜ E(p−1) i, a(p−1), b(p−1)] ∆˜ A(p) i=Ap∆˜ A(p−1) i+δ˜ t˜ E(p−1) i ∆˜ E(p) i=Ap∆˜ E(p−1) i+δ˜ tKA[˜ ϕ(p−1),˜π(p−1) ϕ,˜ A(p−1) i,˜ E(p−1) i, a(p−1), b(p−1)] ∆a(p)=Ap∆a(p−1) +δ˜ tb(p−1) ∆˜π(p) a=Ap∆˜π(p−1) a+δ˜ tKa[a(p−1),˜ρL,(p−1) K,˜ρL,(p−1) V,˜ρL,(p−1) EM ] ˜ ϕ(p)=˜ ϕ(p−1) +Bp∆˜ ϕ(p) ˜π(p) ϕ= ˜π(p−1) ϕ+Bp∆˜π(p) ϕ ˜ A(p) i=˜ A(p−1) i+Bp∆˜ A(p) i ˜ E(p) i=˜ E(p−1) i+Bp∆˜ E(p) i a(p)=a(p−1) +Bp∆a(p) ˜π(p) a= ˜π(p−1) a+Bp∆˜π(p) a                                                                       p=1,...,s =⇒                                ˜ ϕ(n, n0+δ˜ t) = ˜ ϕ(s) ˜πϕ(n, n0+δ˜ t) = ˜π(s) ϕ ˜ Ai(n, n0+δ˜ t) = ˜ A(s) i ˜ Ei(n, n0+δ˜ t) = ˜ E(s) i a(n, n0+δ˜ t) = a(s) ˜πa(n, n0+δ˜ t) = ˜π(s) a (3.39) Bertan { ∆ ˜ ϕ(p), ∆ ˜π(p) ϕ, ∆ ˜ A(p) i, ∆ ˜ E(p) i, ∆ a(p), ∆ ˜π(p) a} aldagai laguntzaileak p pausu bakoitzeko informazioarekin eguneratzen dira. Prozesu hori s amaierako pausura arte egiten da, eta ez da beharrezkoa nukleo gehigarriak definitzea. Bigarren ordenako 2-pausuko memoria-baxuko Runge-Kutta (2slsRK2) eskema batean, {Ap, Bp} = { [0 ,− 1] , [1 , 1 / 2] } koefizienteekin aurretik aurkeztutako RK2 metodo esplizitua berreskuratzen da [142,143]. Gainera, zehaztasuna hirugarren ordenara igo daiteke 4-pausuko memoria-baxuko Runge-Kutta (4slsRK3) eskema batekin, adibidez, c3 = (1 + q5/4/ 3) betetzen duen Butcher-en bektore 9 baterako {Ap, Bp} = { [0, − 0 . 7825460361923583, − 2 . 042914325731225, − 1 . 799337253940777],[0 . 06688758201974097,2 . 876554598956719, 0 . 5534657361343982,0 . 3912730180961791] } koefizienteekin [142,143]. Tesi honetan erabili ditugun bi integratzaileak dira memoria-baxuko bi eskema horiek, O ( δt2 )eta O ( δt3 ) ordenakoak hain zuzen ere. 9 Butcherren taulak RK integratzaileen parametroen adierazpen estandarra dira, eta cp bektorea denbora-urratsaren barneko n0+cpδt pausuari dagokio. 3.1 Sare bidezko eremu-teoria 57 (3.30) eta (3.31) ekuazioetan ageri diren nukleoetan ez ditugu momentu konjugatuak ˜πϕ→a3˙ ˜ ϕ eta ˜ Ei→a˙ ˜ Ai bezala birdefinitu. Aipatutako prozedura, estandarra dena 3 ˜ H˜πϕ eta ˜ H˜ Ei Hubbleren marruskadura-terminoak ezabatzeko, eta, beraz, eboluzio-nukleoetan momentuak ezabatzeko, eskuartean dugun ereduan ez du euren presentzia guztiz ezabatzen. Lehen esan dugun bezala, birdefinizio hori aplikatuko bagenu ere, eremu elektrikoa (3.31) ekuazioko  ∇ϕ× E terminoan agertuko da. Dena den, Runge-Kutta bezalako integratzaile ez-sinplektikoak erabiltzen ditugun heinean, momentuak nukleoetan izatea ez da problematikoa. Beraz, Hubbleren marruskadura-terminoak mantendu ditzakegu edo ez, eta gure kasuan, mantentzea erabaki dugu, eta horrela aipatutako birdefinizioak saihestu ditugu. Higidura-ekuazioak eta integratzaileak denbora kosmikorako formulatu ditugu. Hala ere, inflazioaren testuinguruan, komenigarria da e-foldak erabiltzea, dN=dln a=Hdt , (3.40) berezko denbora-aldagaia baitira. Denbora-aldagai horretarako, (3.30) eta (3.31) nukleoak honelakoak dira: Kϕ[˜ ϕ, ˜πϕ,˜ Ai,˜ Ei,˜ H, a] = −˜πϕ+1 ˜ H(a−2X i ˜ ∆− i˜ ∆+ i˜ ϕ−d˜ V(˜ ϕ) d˜ ϕ+"ω2 ∗ f∗mp#αΛ a3X i ˜ E(2) i˜ B(4) i), (3.41) KA[˜ ϕ, ˜πϕ,˜ Ai,˜ Ei,˜ H, a] = −˜ Ei+1 ˜ H  −1 a2X j,k ϵijk ˜ ∆− j˜ Bk−"f∗ mp#αΛ 2a˜πϕ˜ B(4) i+ ˜πϕ,+i˜ B(4) i,+i +"f∗ mp#αΛ 4aX ±X j,k ϵijk h(˜ ∆± j˜ ϕ)˜ E(2) k,±ji+i+h(˜ ∆± j˜ ϕ)˜ E(2) k,±ji  . (3.42) eta lehen mailako ekuazio diferentzial akoplatuen sistema hau da: d˜πϕ dN=Kϕ[˜ ϕ, ˜πϕ,˜ Ai,˜ Ei,˜ H, a], d˜ Ei dN=KA[˜ ϕ, ˜πϕ,˜ Ai,˜ Ei,˜ H, a], , ˜ Hd˜ ϕ dN= ˜πϕ, ˜ Hd˜ Ai dN=˜ Ei. (3.43) Kasu horretan, definizioz a = a∗eN−N∗ denez {a∗,N∗} finko jakin baterako, Hubbleren parametroa da eboluzionatzen dugun unibertsoaren espantsio-aldagaia, KH[a, ˜ H, ˜ρL K,˜ρL G,˜ρL EM] = −"f∗ mp#21 3˜ Hh3˜ρL K+ ˜ρL G+ 2˜ρL EMi.(3.44) eta, beraz, lehen ordenako ekuazio diferentzial bat ebazten dugu zuzenean, d˜ H dN=KH[a, ˜ H, ˜ρL K,˜ρL G,˜ρL EM].(3.45) 64 Axio Inflazioa Sare Simulazioetan Hala nola, hauek dira uhin-zenbaki diskretuaren {θL, φLangelu azimutal eta polarra: sin θL=qk2 L,1+k2 L,2 qk2 L,1+k2 L,2+k2 L,3 ,(3.77) sin φL=kL,2 qk2 L,1+k2 L,2 ,(3.78) cos θL=kL,3 qk2 L,1+k2 L,2+k2 L,3 ,(3.79) cos φL=kL,1 qk2 L,1+k2 L,2 ,(3.80) eta, ondorioz, gure kasuan, (3.69) adierazpen horietan ordezkatuko genuke, besterik gabe. Ohartu ˆe3 norabidean zuzentzen den ˆ kL bektoreentzat sin φL eta cos φL ez daudela ondo definituta. Hala ere, hori ˆe3 norabidea oinarri kirala definitzeko erreferentziazko norabide gisa aukeratu izanaren ondorioa besterik ez da, beraz, edozein balio aukera dezakegu φL balio gisa, baldin eta {uL,vL,ˆ kL}ortogonalak badira euren artean. Proiektore kiralarekin aipatutakoaren antzera, (3.69) uhin-zenbaki diskretuaren erabilera kontsistentea da, eta eremu bektorialaren zeharkakotasuna bermatzen du koordenatuespazioan. Are gehiago, definitutako bektore eta proiektore kiralek (2.19) eta (3.61) propietateen bertsio diskretuak betetzen dituzte hurrenez hurren. Azkenik, Fourierren transformatu eta antitransformatuak gure preskripzio diskretuarekin kontsistenteak direla ziurtatuko dugu. Gure formulazioan atzeranzko eta aurreranzko deribatu espazialak erabiltzen ditugu. Eremu baten gainean aplikatzean, eremua posizioa batean definituta badago horrekiko tarteko puntuetan biziko dira deribatuak. Ondorioz, ϕ eremu eskalarra ngunean bizi bada, ∆ ± iϕ deribatua n ±ˆı/ 2tarteko gunean biziko da. Ai gauge eremua n+ ˆı/ 2loturetan bizi bada, ∆ − iAi deribatua nguneetan biziko da. Horiek horrela, esplizituki aplikatzen dugu kokapena gauge eremuen transformatuetan, Ai(n+ ˆı/2) ≡1 N3X ˜ n e−i2π N˜ n(n+ˆı/2)Ai(˜ n),(3.81) Ai(˜ n)≡X n e+i2π N(n+ˆı/2)˜ nAi(n+ ˆı/2) ,(3.82) eta prozedura guztiz berdina erabiltzen dugu eremu elektrikorako. Birdefinizio horiekin, (3.69) uhin-zenbaki diskretua kontsistenteki erabil dezakegu (3.77) - (3.80) angeluen eta (3.70) helizitate-proiektore diskretuaren bidez, (3.76) bektore kiralak eraikitzeko. Antzeko prozedura erabili zen [146] lanean Fourierren transformatuetan gauge eremuen kokapenak esplizitu egiteko. Horrez gain, irakurlea ohartarazten dugu gure prozedura [131] lanean gauge teoria puruentzat erakusten denaren baliokidea dela; baina bertan uhin-zenbaki diskretu konplexu bat erabiltzen da gauge eremuaren hasieraketarako. Hala ere, bektore kiralen eta proiektore kiralaren izaera konplexuak uhin-zenbaki diskretu konplexuaren 3.2 Ereduaren inplementazioa 65 erabilera eragozten du. Hori ez litzateke arazo izango deribatu neutroak izango bagenitu, uhin-zenbakia diskretua beti erreala delako. Dena den, problematiko bihurtzen da aurreranzko eta atzeranzko deribatuen kasuan, baldin eta uhin-zenbakia konplexua bada: proiektore kirala eraiki ahal izateko, eragile kiralak (Σ ij ) 2 = Pij bete behar du, eta hori ezinezkoa da uhin-zenbaki diskretu konplexu batekin. 3.2 Ereduaren inplementazioa Atal honetan, axioi inflazio ereduaren konplexutasuna dela eta, ereduaren inplementazioaren prozedura zentzu zabalagoan landuko dugu. Aurreko ataleko tresnak erabiliz, gauge eremuaren hasieraketarako erak aurkeztuko ditugu 3.2.1 atalean. Horrez gain, 3.2.2 atalean aztertu beharreko eskualde dinamikoa ezarriko dugu, eta harrapatu beharreko uhin-zenbakien leihoa eta eboluziorako abiapuntu egokia bilduko ditugu. Bertan, gainera, atzeman nahi dugun erregimen ez-linealerako trantsizioa identifikatzen ikasiko dugu. 3.2.1 eta 3.2.2 ataletako kontzeptu horiek guztiak, era batean edo bestean, elkarrekin korrelazionatuta daude, eta zaila da gainerakoak alde batera uztea bakoitza bere aldetik azaltzean. Kontzeptu bakoitza banan-banan zehaztuko dugu, eta, hurrengo 3.2.3 atalean eskema laburtu bat aurkeztuko diogu irakurleari. Gainera, inplementazio arrakastatsu batek gai izan behar du erregimen lineala eta atzera-eragin homogeneoaren teknikak behar bezala errepikatzeko, eta konparazio hori 3.2.4 atalean aurkezten dugu. Azkenik, 3.2.5 atalean erabilitako metodoak kontsistenteak diren ala ez eta horien zenbakizko egonkortasuna aztertuko ditugu. Atalari ekin aurretik, puntu garrantzitsu bat azpimarratu nahi dugu. Pentsa liteke huts kuantikoak emandako hasierako baldintza gauge eremurako ezartzea, eta, ondoren, sistemaren eboluzioa higidura-ekuazio diskretuak erabiliz egitea besterik ez dela inplementazioa. Hala ere, egoera korapilatsuagoa da. Adibidez, hutsaren soluzioa inflazioaren tarte dinamiko osoan ezarriko bagenu, atzera-eragin artifizial bat eragingo genuke inflatoiaren dinamika klasikoan eta unibertsoaren hedapenean. Atzera-eragina gauge eremuaren zati klasiko kitzikatutik soilik sortzea nahi dugu. Dena den, hutseko soluzioa guztiz kenduko bagenu, gauge eremua ez da behar bezala haziko bere eboluzioaren erregimen linealean zehar. Horretaz guztiaz gain, sarea objektu finitua da, eta ezin dugu inflazioaren dinamikaren tarte osoa haren barruan egokitu. Atal osoan zehar landuko ditugun gai horiei aurrea hartu diegu sarrera paragrafo honetan, irakurleari aurrez aurre izango ditugun arazoen ideia txiki bat emateko. Gainera, landuko ditugun eta gure inplementazioan konpontzea helburu izango dugun alderdi teknikoei lehen itxura bat eman diegu horrela. 3.2.1 Gauge eremuaren hasieraketa Beti inflazioa amaitu aurretik hasiko gara sistemaren hasieraketarekin, eta Nstart deituko diogu une horri. e-fold horretan, {αΛ, V ( ϕ ) } jakin baterako, gauge eremuak inflatoiaren dinamikari eta unibertsoaren hedapenari eragiten dien atzera-eragina subdominantea izatea behar dugu. Nola jakin dezakegu ekarpen hori subdominantea dela sare bidezko simulazio batean? Galdera horri hurrengo azpiatalean helduko diogu. Oraingoz, suposatuko dugu baldintza hori mantentzen dela eta gauge eremuaren hasierako konfigurazioa nola ezarri 66 Axio Inflazioa Sare Simulazioetan behar den zehaztea izango dugu helburu. Bunch-Davisen hutsa (BDV hasieraketa) Gauge eremuaren hasieraketarako aukera bat (2.23) Bunch-Daviesen hutsa da. Helizitate osagai bakoitzaren hasierako baldintza ezartzen duen soluzioa da, Hubbleren erradioaren barruko uhin-luzeretarako. Hala ere, hasierako soluzio horren baliagarritasuna onartzeko, garrantzitsua da aztertzen ari garen sistemaren izaera ulertzea. BD soluzioak hasierako | 0 ⟩ hutseko egoera kuantikoa ezaugarritzen du ( ˆak| 0 ⟩ = 0 asebetetzen duena); aldiz, (2.5) , (2.6) eta (2.9) ekuazioak, edo zehatzago, sarean (3.41) , (3.42) eta (3.44) ekuazioak askatzean inplizituki eremu klasikoak erabiltzen ari gara. λ kiralitate bakoitzaren itxaropen kuantikoaren balioa s2 A ( τ, k) ≡ ⟨ 0 |ˆ Aλ ( τ, k) ˆ Aλ† ( τ, k) | 0 ⟩≡|Aλ ( τ, k) |2 bada, BD baldintzari s2 A−→ 1 2k dagokio. Horiek horrela, hasierako okupazio-zenbakia nk = 0 da. Hala ere, badakigu gauge eremuaren kiralitateetako bat ( λ = + gure kasuan) esponentzialki azkar haziko dela erregimen linealean zehar. Horrek, aldi berean, okupazio-zenbakia esponentzialki haztea eragiten du, nk≫ 1, eta, ondorioz, ausazko eremuen multzokako batezbestekoen bidez ordezkatu ditzakegu eremuen arteko produktuen hutseko itxarondako-balioak. Ohartu eremu kitzikatuen muga klasikoari dagokiola (ikus adibidez [147] esandakoaren froga baterako). Ondorioz, praktikan, uhin-luzerak oraindik Hubbleren erradioaren oso barrualdean dauden hasierako uneren batean, kiralitate bakoitzarentzat dagokion Fourierren anplitudearen ausazko egoera bat gauzatzen dugu. Hasiera batean, horrelako konfigurazio estokastiko klasikoak ez du lortzen, noski, gauge eremuaren izaera benetan kuantikoa ondo atzematea, eremuaren anplitudearen eta bere momentu konjugatuaren trukatzailea desagertu egiten baitira. Hala ere, gauge eremua klasiko bihurtzen da, haren kiralitate ezegonkorra esponentzialki hazten den heinean. Une horretatik aurrera, sare batean ezarritako ausazko eremu klasikoen multzo-batezbestekoen bidez hurbil daitezke itxarondako-balio kuantikoak. Eremuaren izaera kuantikoak jada ez du garrantzirik, eremu kuantikoaren trukatzailea baztergarria bihurtzen baita eremuen anplitudeekin alderatuta. Azken horrek |A ( τ, k) |2≈ |A+ ( τ, k) |2≫ 2 ×1 2k betetzen du kitzikapena jasaten duten moduen tarte finituaren barruan. Zein da helizitate-osagaien ausazko egoerak sortzeko sarean jarraitzen dugun prozedura teknikoa? Lehenik eta behin, (2.23) BD baldintza berridatziko dugu N e-fold denboraaldagairako, eta denbora konformeari dagokion τ≃ − 1 / ( aH )erlazioa erabiliko dugu inflazioaren barruan. Horri esker, gauge eremuaren eta eremu elektrikoaren 12 kiralalitateen anplitudeak honela idatz daitezke: A±(N,˜ n) = f± keik/(aH),(3.83) E±(N,˜ n) = k ag± kei[k/(aH)−π/2] ,(3.84) eta f+ k, f− k, g+ k, g− k ausazko eremu Gaussiar baten anplitude independenteak dira, zero 12 Bunch-Davis hutseko egoeran dagoen eremu elektrikoa, gauge eremuaren denbora kosmikoarekiko deribatua besterik ez da, hutseko soluzio berean dagoena, noski. Bere adierazpena eratortzeko beharrezkoa da H≃konst slow-roll baldintza onartzea. 3.2 Ereduaren inplementazioa 67 10−4 10−2 100 102 104 106 ∆(+) A(N, k)/m2 100101102 k/m 10−5 10−3 10−1 101 103 ∆(−) A(N, k)/m2 3.2 Irudia: Gauge eremuaren potentzia-espektroaren eboluzioa helizitate positiborako (goian) eta helizitate negatiborako (behean). αΛ = 15 da mihiztadura-parametroa eta potentzial koadratikoa erabili da. ∆ N = 1 . 7e-fold da espektroen arteko denbora-tartea. Kolore ezberdinek gauge eremuaren eta eremu elektrikoaren hasierako bi desfase desberdin adierazten dituzte: π/2urdin jarraituz eta 0gorri etenez. balioko batezbestekoarekin eta 1/√2kbatezbesteko koadratikoarekin.13 Ohartu N denbora a = a ( N )eta H = H ( N )aldagaietan inplizituki azaltzen dela soilik. Gainera, (3.83) - (3.84) ekuazioetako k uhin-zenbaki linealaren modulua k = | k | = kIR|˜ n| da, jarraituko espektroa era egokian imitatzeko. (3.72) adierazpena (3.76) -rekin batera erabiliz gero, (3.83) eta (3.84) fluktuazio kiralak Ai ( N, n+ ˆı/ 2) eta Ei ( N, n+ ˆı/ 2) gauge eremuaren eta eremu elektrikoaren osagai kartesiarretan bilakatu ditzakegu. Berriro azpimarratzen dugu sareko (3.76) bektore kiralak eraikitzeko erabilitako θL, φL angeluak, k L ( ˜ n )uhin-zenbaki diskretuari dagozkion angelu polar eta azimutalak direla, eta horien osagai kartesiarrak (3.69) adierazpenekoak dira. 13 Irakurleei [131,132] lanak irakurtzea gomendatzen diegu ausazko eremu Gaussiarraren inplementazioaren xehetasun teknikoetarako. 68 Axio Inflazioa Sare Simulazioetan Sareko (3.83) eta (3.84) soluzioek 14 gauge eremuaren kiralitate bakoitzaren hasierako anplitudea eta momentu konjugatua zehazten dituzte. BD soluzioaren anplitudeaz gain, soluzio horiek A± eta E± -ren arteko fase-diferentzia π/ 2izatea ezartzen dute. Hori erabakigarria da gauge eremuaren bi helizitateek behar bezala eboluziona dezaten. Ezegonkortasunak agertzen dira sisteman desfase hori, gauge eremuaren deribatutik sortzen dena, alde batera utzi eta soilik BD anplitudea kontuan hartzen bada. 3.2 irudian efektu hori erakusten dugu. Hubbleren erradioaren barruko moduetarako, k≫aH , 1D sare batean gauge eremuaren eboluzioa ebazten dugu erregimen linealean, hasierako baldintza desberdinetarako. Goiko panelean ∆ (+) A -ren eboluzioa erakusten dugu ∆ N = 1 . 7e-foldtarteetarako, eta beheko panelean, ∆ (−) A -ren eboluzioa tarte berdinetarako. (3.83) - (3.84) adierazpenetako hasierako baldintzak erabiltzen dituen soluzioa lerro urdin jarraituz irudikatzen da. Hasierako baldintza distortsionatuak dituen kasurako, lerro gorri etena erabiltzen dugu. Gauge eremuaren eta eremu elektrikoaren arteko 0fase konplexu erlatiboa du. Hasierako baldintza distortsionatuek espektroan oszilazio arraroak erakusten dituzte, eta, hortaz, fase-konfigurazio zuzen batek gauge eremuaren hasierako baldintzetan duen garrantzia ikus dezakegu. Beraz, garrantzitsua da fase-konfigurazio zuzena izatea gauge eremuaren sareko hasieraketan. Hemendik aurrera, gauge eremuaren hasieraketa-metodo hori BDV hasieraketa bezala aipatuko dugu. Kitzikatutako gauge eremua (EGF hasieraketa) Horrez gain, simulazio bat hasteko prozedura alternatibo bat ere garatu dugu, eskala infragorriko tarte baten barruan jada hutsaren gainetik kitzikatuta dauden gauge eremuarentzat eta eremu elektrikoarentzat. 2.3 ataleko eztabaidaren arabera, gauge eremuaren atzera-eragina baztergarria den bitartean, bere erregimen linealaren dinamika 1DMbM zenbakizko metodoarekin ebatz dezakegu. Beraz, BDV hasieraketaren alternatiba gisa, metodo horren bidez lortutako N = NExc start >NBD start aldiunean soluzio kitzikatuak erabil ditzakegu sareko sistemaren hasieraketarako, betiere atzera-eraginak baztergarria izaten jarraitzen badu. Jadanik kitzikatutako gauge eremuarekin simulazio bat hasteko, gauge eremuaren eta eremu elektrikoaren arteko fase erlatiboarekin lotutako fenomenoa askatu behar dugu. Lehen esan bezala, BD hutsaren soluzioak gauge eremuaren anplitudearen eta bere denboraren deribatuaren arteko fase erlatiboa π/ 2dela ezartzen du. Bestalde, A+ eremua ezegonkortasun kiralaren bidez hazten denean, bere eta dagokion denbora-deribatuaren, alegia, eremu elektrikoaren arteko fase erlatibo zero bihurtzen du. Aipatu ditugun bi konfigurazioen artean, fase leuneko trantsizio bat dago IR eskaletan kitzikatutako potentzia-espektroaren eta UV eskaletan hutsean dauden moduen artean. Fase-konfigurazio hori irudikatzeko, 3.3 irudian, A+ eta E+ eremuen arteko fase-diferentzia erlatiboa erakusten dugu, 3.2 irudiko goiko panelean neurtutako azken espektroari (urdin jarraituz) dagokiona hain zuzen ere. Fase-diferentzia hori puntu gorriak erabiliz 14Adibide honetan, anplitudea ez da ausazko Gaussiar bat, BD anplitude finkoa baizik. 3.2 Ereduaren inplementazioa 69 100101102 k/aH 0 π/4 π/2 |Arg[E+]−Arg[A+]| 3.3 Irudia: Puntu gorriekin adierazi dugu 3.2 irudiko goiko paneleko azken lerro urdinerako fasediferentzia, helizitate positiboko gauge eremuaren moduen eta eremu elektrikoaren moduen artekoari dagokiona. Nswitch = − 1 . 1aldiuneari dagokio, eta αΛ = 15 da mihiztadura-parametroa. Goiko paneleko marra beltzak jarraituak (3.89) doikuntza adierazten du ktr = 3 . 65 eta ϵ = 12 . 75 balioetarako, eta marra horizontal etenak, berriz, π/2balioaren erreferentzia zehazten du. uhin-zenbaki diskretu bakoitzean irudikatzen dugu. Ikus daiteke helizitate positiboaren osagaiaren fase erlatiboa desberdina dela kitzikatutako IR eskualdea (Hubbleren gaindiko moduak), kitzikatu gabeko eskualdearekin (Hubbleren barneko moduak) alderatuta. Azken horretan, espero bezala, π/ 2da desfasea mantentzen da. 15 Lehen esan bezala, kitzikapen esponentzialak edozein fase-diferentzia ezabatzen du. Era berean, helizitate negatiborako ariketa berdina egingo bagenu, erregimen linealean anplitudea hutseko egoeraren inguruan dagoenez, π/ 2inguruko fase-diferentzia orokor bat izango genuke uhin-zenbaki guztietarako. Horrelako konfigurazio batek hasierako baldintza hauek ditu: A+(N,˜ n) = A+ PS(k)eik/(aH),(3.85) A−(N,˜ n) = A− PS(k)eik/(aH),(3.86) E+(N,˜ n) = E+ PS(k)ei[k/(aH)−Θ(k,ktr,ϵ)π/2] ,(3.87) E−(N,˜ n) = E− PS(k)ei[k/(aH)−π/2] ,(3.88) non k = | k | = kIR|˜ n| . A± PS(k) eta E± PS(k) 1DMbM teknikaren bidez NExc start aldiunean lortutako soluzio linealen gaineko ausazko espektroak dira. Behin osagai kiralak zehaztuta, osagai kartesiarrak lortu ditzakegu BD hutseko soluziotik abiatzean egiten den bezalaxe. Θ( k, ktr, ϵ )funtzioak kitzikatutako moduen fase erlatiboaren trantsizio leuna hurbiltzeko 15Gogoratu kitzikapenari dagokion tontorra Hubbleren erradio kohigikorraren inguruan dagoela. 70 Axio Inflazioa Sare Simulazioetan balio du, Θ(k, ktr, ϵ) = 1 2"tanh ϵlog k ktr !+ 1#.(3.89) Bertan, ktr eta ϵ parametro askeak dira. 3.3 irudiak funtzioaren adibide bat erakusten du. Lerro beltz jarraituak Θ( k, ktr, ϵ )erakusten du ( ktr, ϵ ) = (3 . 65 , 12 . 75) parametroetarako. Era egokian doitzen du gorriz erakutsitako moduen arteko benetako fase-diferentzia erlatiboa. Hori dela eta, kasu honetan parametro horiekin (3.87) ezaugarrituko genuke eta hasierako baldintza gisa erabili. Egoera kitzikatu batetik abiatzen den antzeko hasieraketa prozedura bat erabiltzen da [118] lanean. Lan horretako eremu elektriko eta magnetikoen potentzia-espektroek 3.2 irudian agertzen direnen antzeko oszilazioak erakusten dituzte. Uste dugu fase erlatiboaren trantsizioa behar bezala ez egiteagatik agertzen direla oszilazio horiek. 3.2.2 Ez-linealtasunen hasiera eta tarte dinamikoa Edozein sare bidezko simulaziori dagokion funtsezko alderdi bat uhin-zenbaki tartearen edo leihoaren aukeraketa egokia da. Beharrezkoa den uhin-zenbaki leihoa ezin da aldez aurretik ziurtasun osoz zehaztu, ezin dugulako aurreikusi inflazioaren hedapena esponentziala delako eta dinamika ez-linealeko inflazioaren iraupena. 16 Beraz, αΛ mihiztadura-parametro jakin baterako, sare bidezko simulazioekin hasi aurretik, 1DMbM metodoaren bidez mihiztaduraparametro bererako atzera-eragin gabeko soluzioa aztertuko dugu. Soluzio horien bidez, parametro hauek zehaztu ditzakegu: • Sareko [ kIR, kUV ]leihoaren hipotesi arrazoitua. Behin-behineko kUV bat ezartzeko, gutxienez BD soluziorekiko nabarmen gainetik dauden gauge eremuaren moduak atzeman behar ditu. Noiz arte? eboluzioa lineala dela suposatzen bada, slow-roll inflazioaren amaierara arte. kIR -ren kasuan, 2.1 eta 2.2 irudiak aztertzen baditugu, atzera-eragina nabaria den mihiztadura-parametroetan ere, modu gehienak erregimen linealean hazten dira inflazio-fasearen tarte handi batean. Beraz, kontsideratu dezakegun kIR maximoa hurrengoa da: erregimen linealak baliozkoa izateari uzten dion unean, gauge eremuaren kitzikapenaren tontorra harrapatzeko nahikoa izango da. • Gure sare bidezko simulazioak hasteko une egokiaren zenbatespena, hots, Nstart efoldaren estimazioa slow-roll inflazioa amaitu aurretik. Hasieraketa gisa BD soluzioa baliozkoa izateko, gauge eremuaren moduak Hubbleren erradioaren aski barruan egon behar dute. Hori betetzeko hau ezartzen dugu: kIR =w×a(Nstart)H(Nstart).(3.90) Bertan, Hubbleren erradioaren barneko sartze-faktorea da w≫ 1. Hasierako dinamika lineala zehazteko, w = 10 balioa nahiko dela ikusi dugu aztertu ditugun kasuetan. 16 Gogoratu 2.4.1 atalean ikusi dugun bezala, dagoeneko inflazioaren e-fold gehigarriak ikusten direla atzera-eragin homogeneoko hurbilketan. 3.2 Ereduaren inplementazioa 71 •(3.47) , (3.48) eta (3.49) higidura-ekuazio linealetatik, (3.41) , (3.42) eta (3.44) sistemaren ez-linealtasun osoak atzematen dituzten ekuazioetara aldatzeko unearen zenbatespena, demagun Nswitch e-fold slow-roll inflazioa amaitu aurretik. Aurreko atalean, gauge eremuaren hasieraketarako bi aukera aurkeztu ditugu: BD hutseko soluzioarekin bi kiralitateak edo kiralitate positiboa dagoeneko kitzikatuta. BDV kasuan, Nstart aldiunean eta {kIR, kUV} parametroekin abiaraziko dugu sare bidezko simulazioa. Ondoren sistema linealki eboluzionatuko genuke Nswitch arte; eta une horretan, (3.41) , (3.42) eta (3.44) ekuazio ez-linealetara igaroko ginateke, inflatoiaren gaineko atzera-eragina arazorik gabe txertatzeko. EGF hasieraketa-metodoa aurkezteko arrazoia, zuzenean NExc start = Nswitch aldiunean hastea da. Bertan, gauge eremua dagoeneko kitzikatuta dago, eta, horrela, sare bidezko hasierako eboluzio lineala alde batera utzi dezakegu. Konputazionalki askoz garestiagoa da, 1DMbM metodoarekin alderatuta 3D sistema bat ebatzi behar dugulako. Orain ikusiko dugun bezala, Nswitch zehaztea ez da huskeria. kIR, kUV,Nstart eta Nswitch parametroak euren artean mihiztatuta daude, eta, beraz, denak kontuan izanda zehaztu behar dira. Atzera-eragin gabeko soluziotik kIR era egokian ezarri dezakegu, eta hortik Nstart ere bai. Sareko kUV ebaketa ultramorea finkatzeko, ordea, sare bidezko ondorengo dinamika ez-lineala simulatzea beharrezkoa da. Aurreko lehen puntuan aipatu dugun bezala, erabili beharreko kUV minimoak N = 0 puntuan kitzikatuta dagoen k uhin-zenbaki handiena baino handiagoa izan beharko du. Edonola ere, hurrengo kapituluetako emaitzak aurreratuz, zenbat eta sendoagoa izan atzera-eragina, orduan eta handiagoa izango da UV sentikortasuna eta zabalagoa izango da kontsideratu behar diren moduen tartea. Beraz, aurreikusi dezakegu hasierako zenbatespen hori ez dela nahikoa izango simulatuko ditugun mihiztadura-parametro handienentzat, eta UV tarte handiagoak beharko ditugu. Nswitch aldiuneari dagokionez, bere balioa zehazteko irizpide hauek bete behar ditu aldi berean: i) Gauge eremuaren kitzikapen tartearen gaineko integrala nabarmen nagusitu behar da ultramoreko guneko BD hutseko moduen ekarpenarekiko. ii) Gauge eremuaren ekarpen nagusia izan behar du, sarearen barruan harrapatzen dugun IR guneko kitzikapenak. Hortaz, sarearen barruan ez dauden eskala infragorriagoen ekarpenak baztergarria izan behar du haren aldean. iii) ρEM energia elektromagnetikoaren dentsitateak subdominantea izaten jarraitu behar du inflatoiaren ρKenergia zinetiko eta ρVpotentzialarekiko. iv) Gauge eremuaren ∝F˜ F iturri terminoak, inflatoiaren higidura-ekuazioan arbuiagarria izan behar du beste terminoekin alderatuta: αΛ a3mp| E· B| ≪ |¨ ϕ| ,3 H|πϕ| , |d2V(ϕ)/dϕ2|. 72 Axio Inflazioa Sare Simulazioetan 106 108 1010 1012 ρ/m4 αΛ= 15 K V EM αΛ= 18 0−1−2−3 N 102 104 106 0−1−2−3 N |˙πφ| 3H|πφ| m2|φ| αΛ a3mp|h~ E·~ Bi| |˙πφ| 3H|πφ| m2|φ| αΛ a3mp|h~ E·~ Bi| 3.4 Irudia: αΛ = 15 (ezker) eta 18 (eskuin) mihiztadura-parametroen Nswitch ezartzeko ariketa, atzeraeraginaren garrantzian oinarritzen dena. Goian: ρK (gorriz), ρV (beltzez) eta ρEM (morez) terminoen eboluzioa. Behean: (2.5) ekuazioko |˙πϕ| (gorriz), 3 H|πϕ| (horiz), eta m2|ϕ| (beltzez) terminoen eboluzioa, αΛ a3mp|⟨ E· B⟩| (morez) terminoarekin batera m -ri dagozkion unitatetan. Lerro more ezberdinek integrazio-tarte desberdinak adierazten dituzte: jarraitu ilunek [ kIR, kBD ], jarraitu argiek [ kIR, kUV ], etenek [kIR, kcut(N)], eta puntudunek [kmin, kcut(N)] (ikus testua lerro-motaren esanahia ulertzeko). Lerro gris eten bertikalak Nswitch denborei dagozkie. Gure baliabide konputazionalak finituak direnez, termino batzuen nagusitasun-maila αΛ mihiztadura-parametro bakoitzaren araberakoa izango da. Baldintza horiek, termino lokal ez-linealen efektua graduala izango dela bermatzen dute. Trantsizioa egin arren, hasieran baztergarriak izango dira, eta eremuek erregimen linealean jarraituko dute Nswitch ondoren epe labur baterako. (3.41) , (3.42) eta (3.44) ekuazio osoak bete arren gertatuko da efektu hori, eta denbora pasa hala dinamika gero eta ez-linealagoa bihurtuko da. Are gehiago, trantsizio progresibo horrek ahalbidetzen du gauge eremuen hasieraketa EGF metodoarekin. Kontuan hartutako mihiztadura-parametro handienentzat, gauge eremuaren ultramoreko huts kuantikoak dinamikari eragin ez diezaion, beste urrats bat kontsideratu behar 3.2 Ereduaren inplementazioa 73 da. Erregimen ez-linealaren UV sentikortasun berezia dela eta, sareko kUV uhin-zenbaki maximoak, alegia, sentikortasun espazial kohigikorrak, nahikoa handia izan behar du, erregimen horretan kitzikatuko diren modu garrantzitsu guztiak barne hartzeko. Modu horiei guztiei BD hutseko soluzioa ezartzen badiegu, atzera-eragin elektromagnetikoaren terminoei egindako ekarpen ez-klasikoa handiegia izango da, eta bilakaera ez-fisiko bati emango dio bide. Arazo horri aurre egiteko kIR < kBD < kUV ebaketa erabiltzen dugu. Horrela, [ kIR, kBD ]“IR tartean” hasierako BD baldintza finkatzen dugu erregimen linealean zehar kitzikatuko diren moduetarako. [ kBD, kUV ]“UV tartearen” kasuan, aldiz, gauge eremuaren eta eremu elektrikoaren moduei zero balioa ezartzen diegu dinamika linealean zehar, ez baitira ezegonkortasun kiralagatik kitzikatuko. [ kBD, kUV ]tarteko gauge eremuaren moduak dinamika ez-linealak bultzatuta kitzikatzen dira soilik, N>Nswitch denean hain zuzen ere. Nswitch ezartzeko aipatutako irizpideen adibide gisa, αΛ = 15 eta 18 mihiztadura kasuak aztertuko ditugu {kαΛ=15 IR /m = 0 . 1932 , kαΛ=15 BD /m = 46 . 36 } eta {kαΛ=18 IR /m = 0 . 1932 , kαΛ=18 BD /m = 10 } parametroetarako. N = 0 arteko aurretiazko analisi hori 1DMbM metodoa erabiliz egiten da. 3.4 irudiko goiko panelean, ρK (gorriz), ρV (beltzez) eta ρEM (morez) energia-dentsitateen eboluzioa irudikatzen dugu. Beheko panelean, inflatoi homogeneoaren higidura-ekuazioko terminoen balioak eta atzera-eragin elektromagnetikoaren terminoa irudikatzen ditugu: |˙πϕ| (gorriz), 3 H|πϕ| (horiz), m2|ϕ| (beltzez), eta αΛ a3mp|⟨ E· B⟩| (morez). Lerro more desberdinak integratutako ekarpen elektromagnetikoaren integrazio-tarte ezberdinei dagozkie. Lerro ilun jarraituak [ kIR, kBD ]tartean kalkulatutako ekarpenari dagozkio, eta argiak berriz [ kIR, kUV ]tartean kalkulatutakoari. Lehenengoa gure simulazioetan neurtzen dugun ekarpena da, eta bigarrena [ kBD, kUV ]tarte dinamiko osoan BD soluzioa ezarriko bagenu izango genukeena. Lerro ez-jarraituak IR kitzikapenaren ekarpen isolatuari dagozkio, gauge eremuaren hasierako BD baldintzaren gainetik dagoena. Horretarako, espektroa denborarekin hazten den kcut ( N )ebaketara arte integratzen dugu, kIR -tik kBD -ra doana. Lerro etenak [ kIR, kcut ( N )] tarteari dagozkio. Puntu bidezko lerroak, berriz, [ kmin, kcut ( N )] tarteari dagozkio. Bertan, eskala Hubbleren erradio kohigikorrak N = − 60 aldiunean gurutzatzen duen CMBko eskala da kmin . Eskala minimo horrekin gauge eremuaren kitzikapena atzeman dezakegu historia kosmiko osoan zehar. 3.5 irudian, integralei dagozkien uhin-zenbaki tarteak ikusi ditzakegu, gauge eremu kitzikatuaren gainean irudikatuta. Eremuaren zati kitzikatua bakarrik hartzen den kasuetan, hots, [ kIR, kcut ( N )] eta [ kmin, kcut ( N )], lehen tarteak eskualde gorriaren ekarpena emango du, eta bigarrenak, berriz, eskualde gorria zein urdina hartzen ditu. Bestalde, sarean izango ditugun integrazio-tarteen analogoetarako, [ kIR, kBD ]eta [ kIR, kUV ], lehenengoak eskualde gorri gehi berdea hartuko ditu, eta bigarrenak, berriz, eskualde gorri, berde eta horia. 3.4 irudira itzuliz, lehen e-foldetan αΛ = 15 mihiztadura-parametroaren kasuan (ezkerreko panela), BD hutsaren k≲kBD maiztasun altuko ekarpenak dominatuta egongo da kontribuzio elektromagnetikoa sareari dagokion leihoan (lerro more jarraituz). Inflazioaren hedapenak aurrera egin ahala, denborarekin gutxitu egiten da gorriranzko lerrakuntzaren ondorioz, eta, azkenean, inflatoiaren terminoekiko arbuiagarria izatera pasatzen da. 80 Axio Inflazioa Sare Simulazioetan kasuaren arabera. 3.6 irudiko IR moduetako espektroen arteko diferentziarako jada nabari den bariantza kosmikoaren arazoagatik gertatzen da hori. Esandakoa nabarmentzeko 1 σ desbiderapena eremu koloredunekin adierazten dugu, eta, horrela, IR moduen fluktuazioek aldakortasun hori eragiten dutela ikusi dezakegu. Eboluzioa N = 0-ra hedatuz (erregimen lineala jarraituz uneoro), batezbesteko errore erlatiboa ∼ %1ra jaisten da berriro, gailurra [ kIR, kUV ]tarteko eskaletara higitzen den heinean. Orduan, uhin-zenbaki diskretu infragorrienen pisua ez da hain esanguratsua eta metodoen arteko aldea txikiagoa da. Laburbilduz, ausazkotasunaren haziak eragindako aldeak gorabehera, era zuzenean jasotzen dugu sare bidezko simulazioetan energia elektromagnetikoaren dentsitatearen bilakaera. Ohartu Nswitch -en inguruko ∼ %10 aldea kIR txikiago bat hartuta murriztu badezakegu ere, horrek kUV nahikoa handi bat izatea eragotziko liguke, espektroaren UV kitzikapena zuzen atzemateko ondorengo erregimen ez-linealean zehar. Hurrengo kapituluan, zehatz-mehatz azalduko dugu zergatik den hori hain garrantzitsua. Are gehiago, dinamika ez-lineal bihurtzen denean espektroaren gailurra sareko tarteko eskaletara desplazatzen da, eta hasierako ausazkotasun ezberdinak dituzten simulazioen arteko aldea ∼ %1 baino hobea dela egiaztatu dugu (ikus 3.2.5.2 atala). 3.2.4.2 Atzera-eragin homogeneoa Dinamika simulatzeko dugun markoan, (3.41) , (3.42) eta (3.44) higidura-ekuaziok egokitu ditzakegu, (3.52) , (3.53) eta (3.54) ekuazio egokituen multzoa erabiliz atzera-eragin homogeneoaren hurbilketa simulatzeko sarean. Hori baliagarria izango da gure sare bidezko formulazioaren sendotasuna kontsistentea den ala ez egiaztatzeko. Izan ere, gure emaitzak literaturan [62,63,66,68,91 – 113] aurretik aurkitutako emaitzekin alderatu ahal izango ditugu. 18 Are gehiago, gure datu propioak sor ditzakegu hurrengo kapituluan atzera-eragin lokala erabiltzen duten simulazioekin alderatzeko. 3.8 irudian, sare bidezko simulazioen (berde jarraituz) eta GEF metodoaren (beltz etenez) atzera-eragin homogeneoaren arteko lehen konparaketa egiten da ξ ezegonkortasunparametrorako. Erreferentzia gisa αΛ = 15 eta αΛ = 18 mihiztadura-parametroak erabiltzen ditugu. Bi kasuetan frogatu dugu sare bidez lortutako ξ parametroaren eboluzioa oso ondo gainjartzen dela GEF metodoak emandakoarekin [106]. Gainera, αΛ = 15 mihiztadura-parametrorako atzera-eragin homogeneoan espero diren fenomeno erresonanteek eragindako oszilazio tipikoak ere ikusten dira [105]. Gainera, konparazioa energia-dentsitateetarako eta ϵH slow-roll parametrorako ere egiten dugu. 3.9 irudiko goiko panelek energia-dentsitatearen osagai normalizatuen bilakaera erakusten dute: ρK (gorriz), ρV (beltzez) eta ρEM (morez). Erdiko panelek ϵH -ren bilakaera erakusten dute, aldagai global sentikorrena bezala identifikatzen duguna, eta inflazioaren amaiera lerro bertikal batekin adierazten dugu ϵH = 1 denean. Literaturan sarritan aipatutakoarekin bat, gauge eremu kitzikatuak inflazioaren dinamikan duen 18 R. von Eckardstein, K. Schmitz eta O. Sobol-i eskerrak eman nahi dizkiegu izandako eztabaida aberasgarriarengatik eta GEF metodoaren bidezko datuak adeitasunez emateagatik 3.8 eta 3.9 irudietarako. 3.2 Ereduaren inplementazioa 81 −3−2−10123 N −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 ξ αΛ= 15 −3−2−10123 N αΛ= 18 3.8 Irudia: αΛ = 15 eta αΛ = 18 kasuetarako ezegonkortasun-parametroaren eboluzioaren konparaketa atzera-eragin homogeneorako: sare bidezko simulazioekin (lerro jarraitu berdez) eta GEF teknikarekin [106] (lerro eten beltzez). Lerro bertikalek metodo bakoitzaren inflazioaren amaiera adierazten dute. atzera-eraginak amaiera hainbat e-fold atzeratzen du. Sare bidezko simulazioetan lortutako energia-dentsitateek eta ϵH behagarriak ere atzera-eragin homogeneoan espero diren ohiko oszilazioak erakusten dituzte. Portaera bera erakusteaz gain, argi ikusten da ϵH eta ρ behagarri globalak berdinak direla atzera-eragin homogeneoa sare bidezko simulazioekin edo GEF teknikarekin aztertzen denean. Horren neurri kuantitatibo gisa, GEF eta gure simulazioen arteko ∆(ϵH)diferentzia erlatiboa kalkulatuko dugu, ∆(ϵH) = |ϵGEF H−ϵL H| ϵL H .(3.92) 3.9 irudiaren beheko panelean αΛ = 15 eta 18-ren diferentzia erlatiboa ikus daiteke. Bi metodoen arteko desberdintasunak %1 azpitik daude inflazioaren amaierarako, simulazioen arteko ausazko kasu desberdinen arteko bariazioaren ordenakoa dena. Horiek horrela, segurtasunez esan dezakegu bi teknikek eboluzioaren deskribapen baliokidea ematen dutela atzera-eragin homogeneorako. Hala ere, αΛ = 18 baino handiagoak diren mihiztaduretarako, atzera-eragin homogeneoaren sare bidezko simulazioak egitea ez da bideragarria erabiltzen dugun hasieraketa prozedurarekin. BD soluzioaren isats kuantikoa atzeraeraginean sar ez dadin, gure prozedurak modu horiek mozten ditu, zuzenean hazten baitira tokiko atzera-eragina lokala denean erregimen ez-linealerako (ikus 3.2.5.1 atala). Dena den, atzera-eragina homogeneoa den kasu hurbilduan ez dago ez-linealtasunik horretarako. Aztertu dugun beste ezaugarri interesgarri bat literaturan erakutsi ez den gauge eremuaren potentzia-espektroa da. 3.10 irudiak bi helizitateen potentzia-espektroa erakusten da: A+ (goiko panela) eta A− (beheko panela) inflazioaren amaierara arte (atzera-eragin homogeneoaren arabera). Ezaugarri nagusi gisa, ikus dezakegu helizitate bakarra hazten dela hutseko soluzioaren gainetik. Beraz, gauge eremuaren kitzikapenak guztiz kirala izaten jarraitzen du atzera-eragin homogeneoaren erregimenean. Halaber, ikusten dugu espektroek ezaugarri oszilakorrak erakusten dituztela Hubbleren barneko moduetarako. 82 Axio Inflazioa Sare Simulazioetan 10−3 10−2 10−1 100 ρ/ρtot αΛ= 15 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 H −10123 N 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 ∆(H) K V EM αΛ= 18 −10123 N 3.9 Irudia: Atzera-eragin homogeneorako sare bidezko simulazioen (lerro jarraituz) eta GEF [106] teknikaren (lerro etenez) iragarpenen arteko konparazioa αΛ = 15 (ezkerrean) eta αΛ = 18 (eskuinean) kasuetarako. Goian: energia-dentsitate totalarekiko normalizatutako energia-osagai desberdinen bilakaera. Erdian: ϵH inflazio-parametroaren eboluzioa. Behean: ϵH -ren (3.92) diferentzia erlatiboa metodoen artean. Lerro bertikalek metodo bakoitzaren inflazioaren amaiera adierazten dute. Erregimen linealean kitzikapen maximoak gutxi gorabehera Hubbleren eskalari jarraitzen dio; atzera-eragin homogeneoan, aldiz, kitzikapena izoztu egiten da eskala kohigikor finko batean, eta potentzia-espektroaren gailurra Hubbleren gaindikoa da inflazioaren amaieran. Hubbleren erradio kohigikorraren eboluzioa lerro bertikal etenez adierazten dugu, eta eskuinen dagoenak (gorrienak) inflazioaren amaiera adierazten du. Horrez gain, 3.2 Ereduaren inplementazioa 83 10−4 100 104 108 1012 ∆(+) A(N, k)/m2 αΛ= 15 100101 k/m 10−4 10−2 100 102 ∆(−) A(N, k)/m2 αΛ= 18 100101 k/m 3.10 Irudia: Gauge eremuaren helizitate positiboko (goiko panelak) eta negatiboko (beheko panelak) osagaien potentzia-espektroen eboluzioa αΛ = 15 (ezkerrean) eta αΛ = 18 (eskuinean). Atzera-eragina sare bidezko simulazioen bidez aztertu da. Kolore-gradientea moretik (lehen aldiunetatik) gorrira (azken aldiunetara) doa 0 . 5e-foldeko pausuetan Nstart -tik inflazioaren amaieraraino. Lerro eten bertikalek Hubbleren erradioaren eskala adierazten dute aldiune bakoitzerako, hurrenez hurren. αΛ = 15 mihiztadura-parametrorako, BD hutsaren gaineko kitzikapen txiki bat ikusten dugu helizitate negatiborako. Efektu hau πϕ-k zeinua aldatzen duelako gertatzen da, eta beraz ezegonkortasun-parametroaren zeinua aldatu egiten da. Horrek tarte labur batean kontrako helizitatearen kitzikapena eragiten du. 3.9 irudiko beheko ezkerreko panelean ikus daiteke ρK -ren gaineko efektu horrek, N∼ 0eta N∼ 1artekoa, denbora-tarte labur baterako irauten duela. Beraz, gauge eremuaren kitzikapenak minimoa izaten jarraitzen duen arren, atzera-eragin homogeneoan aurkako kiralitatearen kitzikapenaren adibide bat erakusten digu. Oro har, literaturako metodoek aztertzen duten atzera-eragin homogeneoa sare bidezko simulazioekin errepikatu dezakegu. Horiek horrela, ikusitakoak tesi honetan proposatutako eta erabilitako hasieraketa-tekniken, atzera-eraginaren hasieraren, ekuazio dinamiko diskretuen eta beste metodo batzuen egokitasuna erakusten du. 84 Axio Inflazioa Sare Simulazioetan 100101102 10−1 101 103 105 107 109 1011 ∆A(N, k)/m2 102 k/m 10−1 101 103 105 107 109 ∆A(N, k)/m2 3.11 Irudia: BD hutseko hasierako baldintza kUV -ra arte ezartzen den (lerro jarraitu turkesaz) eta kBD ebaketa bat aplikatu den (lerro eten beltzez) gauge eremuaren potentzia-espektro totalen eboluzioaren alderaketa. Goiko panelak [ kIR, kUV ]tarte osoa erakusten du, eta beheko panelak, berriz, ebaketaren eskuinaldeko zonaldea gertuago ikusteko aukera ematen du. Azken espektroetan ikusten ditugun distortsio txikiak Nyquisteko frekuentziari dagozkio, eta, beraz, normala da horiek azaltzea. 3.2.5 Zenbakizko egonkortasuna eta aplikatutako tekniken egokitasuna Atal honetan, inplementaziorako erabilitako tekniken eta prozesuen baliozkotasuna frogatuko dugu. Erreferentziazko adibide gisa, αΛ = 15 erabiliko dugu, inflazioan zehar arbuiagarria ez den atzera-eragina sortzen baitu. Simulazio parametroak Nstart = − 4 . 5, Nswitch = − 1 . 1, kIR/m = 0 . 1932, eta kUV/m = 107 . 08 dira, eta dimentsio bakoitzeko N = 640 puntu dituen sare bati dagozkio. Egiaztapen estandarrak egin aurretik, lehenik eta behin, aplikatzen dugun ebaketaren baliozkotasuna eta EGF hasieraketa-teknikaren egokitasuna aztertuko ditugu. 3.2 Ereduaren inplementazioa 85 3.2.5.1 Tarteko ebaketa, kBD Gauge eremuaren hasieraketarako prozeduran kBD ebaketa eskala bat sartzeak, BD isats kuantikoak unibertsoaren hedapenean eta materiaren higidura-ekuazioetan duen gehiegizko eragina ezabatzen du, 3.2.2 atalean azaldu bezala. Ebaketa beti ezartzen da moduek erregimen linealean kitzikatzeko nahikoa euskarri izan dezaten. Hurbilketa honen baliozkotasuna egiaztatzeko, [ kBD, kUV ]tarteko moduak erregimen ez-linealean behar bezala hazten direla ziurtatu behar da, hutseko soluziotik edo zero den anplitude batetik abiatzen badira ere. 3.11 irudian, modu guztiak [ kBD, kUV ]tartean zero balioarekin hasieratuko ditugun kasu bat (lerro eten beltzez) eta [ kBD, kUV ]tartean BD soluzioa mantentzen den kasu bat (lerro jarraitu urdinez) alderatzen ditugu. Horretarako ebaketaren eskala kBD/m = 20 da. Nswitch aldiunetik hasita simulatzen dugu, EGF hasieraketa-metodoarekin. Inflazio ez-lineala amaitu arte eboluzionatzen dugu, eta αΛ = 15 mihiztadura-parametroarentzat N = 0 gainditzen du. [ kBD, kUV ]tarterako ebakitako moduak, Bunch-Daviesen hutseko soluziotik abiatzean direnen erritmo berean hazten dira eta dinamika ez-linealaren ondorioz kitzikatzen direla ikusten dugu. Era berean, beheko panelean ebaketa tartea gertuagotik erakusten dugu bi kasuen arteko konparaketa zehatza eskaintzeko, eta aurreko adierazpena are gehiago frogatzeko. Horrek hasierako ebaketa baten erabilera balioztatzen du, betiere erregimen linealean hazten diren moduek BD soluzioa badute horretarako. Teknikaren baliozkotasuna erabakigarria da UV tarte zabala behar duten mihiztadura-parametro handiak simulatzeko. 3.4 irudian ikusten denez, ekarpen kuantiko osoa sartuko bagenu, pisu handiegia izango luke, eta eboluzioa faltsutuko luke. 3.2.5.2 Hasieraketa-teknikak BDV hasieraketa-metodoaren, alegia, gauge eremua BD hutsetik abiatzen den kasuaren, alternatiba gisa, EGF aukera proposatu dugu. Bertan, helizitate positiboa jada esponentzialki kitzikatu da uhin-zenbaki tarte bererako. Praktikan, gure kasuan, EGF teknika erabiltzen dugunean, Nswitch aldiunean zuzenean hasten gara, eta une horretara arteko BDV teknikak egiten duen sare bidezko erregimen linealaren eboluzioa saihesten dugu. BDV hasieraketaren kasuan, {A±, E±} eremuen soluzioak analitikoki deriba ditzakegu, eta zuzenean fase konplexuan π/ 2-ko aldea dutela lor dezakegu. Kitzikatutako konfigurazio batetik abiatzean, 1DMbM motako simulazioetatik lortzen ditugu {A±, E±} hasierako anplitudeak. Kasu horretan ez daukagu fase erlatiboei buruzko informazio analitikorik sareko hasieraketan ezartzeko. Beraz, BDV hasieraketaren aldean EGF hasieraketan ezin da zuzenean eratorri desfase erlatiboa. Izan ere, BDV metodologiarekin, Nswitch aldiunean ekuazio ez-linealetara pasatzen garenean, une horretara arteko eboluzio lineala sarean egiten da. Beraz, anplitude egokia lortzeaz haratago, Nswitch trantsizio uneko fase-banaketa ere era naturalean sortzen da sarean, sistemaren eboluzioaren beraren bidez. Horrek esan nahi du, EGF hasieraketa-metodorako, lehenik eta behin, fase konplexuaren 3D banaketa zuzen imitatzen duen egitura zehaztu behar dugula, eta, ondoren, sarean inplementatu. 3.3 irudian, fase erlatiboa zero dela erakusten dugu dagoeneko kitzikatu diren IR modu gehienentzat; aldiz, UV eskualdean, moduak oraindik BD soluzioan daude, eta desfasea π/ 2da, espero bezala. Bi konfigurazio horien artean, trantsizio leun bat dago. {αΛ, V ( ϕ ) } 86 Axio Inflazioa Sare Simulazioetan 100101 k/m 10−2 100 102 104 106 108 1010 1012 ∆A(N, k)/m2 BDV EGF αΛ= 15 3.12 Irudia: Gauge eremuaren potentzia-espektroen eboluzioaren konparaketa hasieraketa-teknika ezberdinak erabiltzen dituzten simulazioentzako: BDV (lerro jarraitu gorriz) eta EGF (lerro eten beltzez). Hasieraketa-metodo bakoitzerako bi ausazko kasu erabili ditugu, kolore eta lerro-estilo berarekin. Espektroak dagozkien hasierako unetik inflazio ez-lineala amaitu arte irudikatzen ditugu, eta lerroen artean 0 . 7 e-fold daude. BDV hasieraketa-teknikaren lehen unea NBDV start = − 4 . 5da eta EGF hasieraketa-teknikarena NEGF start =NBDV switch =−1.1. bakoitzeko, (3.89) parametroak eskuz doitzen ditugu, fase-banaketa behar bezala ezartzeko. A−helizitatearentzat, aitzitik, fase-diferentzia erlatiboa π/2balioan mantentzen da. Hurrengo galderak planteatu ditzakegu: bi hasieraketa aukerak baliokideak al dira? EGF hasieraketa, fase konplexuaren banaketa eskuz ezartzen duena, “fenomenologikoki zuzena” al da? Teknika honen balidazioaren froga gisa, 3.12 irudian, gauge eremuaren potentzia-espektroaren inflazio ez-linealaren amaierara arteko eboluzioa alderatu dugu: Nstart unean hasten den BDV hasieraketa-teknikaren (lerro jarraitu gorriz) eta Nswitch unean hasten den EGF hasieraketa-teknikaren (lerro eten beltzez) artean. Metodologia bakoitzerako bi ausazko kasu sartu ditugu kolore berberarekin. Horrela IR eskualdean ikusten den metodoen arteko desberdintasuna ausazko kasuen arteko desberdintasunaren ordena berekoa dela frogatu dezakegu. Bi teknikek espektro baliokideak sortzen dituztela ikusi dezakegu irudian. Gainera, 3.13 irudian inflazioaren amaiera kontrolatzen duen ϵH aldagai globalaren konparaketa egiten dugu bi tekniketarako. Horretarako aurreko oinarrizko lau simulazioak erabili ditugu. Goiko panelak, lehengo 3.12 irudiko kasu bakoitzeko aipatutako bi ausazko kasu desberdin erabiliz, ϵH -ren eboluzioa erakusten du. Beheko panelak kasu horien arteko desberdintasun erlatiboa erakusten du, honela definituta: ∆(ϵH) = |ϵref H−ϵH| ϵH .(3.93) Bunch-Davisetik abiatutako kasuaren lehen ausazko kasua (lerro urdinez) hartzen dugu 3.2 Ereduaren inplementazioa 87 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 H BDV Realization 1 BDV Realization 2 EGF Realization 1 EGF Realization 2 −1.0−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 N 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 ∆(H) 3.13 Irudia: Goian: ϵH parametroaren eboluzioa, Nstart aldiunean BDV teknikarekin hasten diren bi ausazko kasurako (lerro urdinez eta lerro beltzez) eta EGF teknikarekin Nswitch aldiunean hasten diren beste bi ausazko kasurako (lerro gorriz eta lerro berdez). Ohartu 3.12 irudiko kasuak direla. Behean: ϵH parametrorako diferentzia erlatiboa, goiko paneleko lehen kasuarekiko. Goiko paneleko kolore-eskema bera mantentzen dugu. erreferentzi gisa. Goiko paneleko kolore-eskema bera jarraitzen dugu. Teknika beraren ausazko kasu desberdinen eta metodo desberdinen arteko desberdintasun erlatiboak ordena berekoak dira, eta, nabarmenki, inoiz ez %1 baino handiagoak. Horrek esan nahi du, konputazionalki zorrotzagoak diren simulazio handiagoetarako, EGF hasieraketa-teknika erabil dezakegula, BDV teknikaren guztiz baliokidea baita, eta, horrela, simulazio-denbora aurreztu dezakegu. 3.2.5.3 Denbora-pausua, δN Zenbakizko egonkortasuna bermatzeko, δx bereizmen bakoitzerako δN denbora-pausu egokia ezarri behar da. Hori UV bereizmenak zehaztuko du gehienbat. 3.14 irudian δN = 10 −3 (gorriz) eta δN = 10 −4 (beltzez) simulazioetarako, BDV hasieraketa erabiliz gauge eremuaren potentzia-espektroaren eboluzioaren alderaketa erakusten dugu. Irudiak 88 Axio Inflazioa Sare Simulazioetan guztira 8 × 10 −3 e-foldeko eboluzioa erakusten du. Argi ikusi daiteke denbora-bereizmen txarrena duen simulazioa (lerro gorriz) kontrolik gabe hazten hasten dela uhin-zenbaki ultramoreenetan, eta ezegonkortasuna tarteko uhin-zenbaki gehiagotara ere hedatzen dela. Simulazioa denbora-urrats aski on batekin (lerro beltzez) egin arren, uhin-zenbaki ultramoreenetan ere hazkuntza txiki bat ikusi dezakegu. Dena den, beti azalduko da eta denbora-pausua are gehiago txikitu arren ezin da saihestu bere agerpena. Denboraurrats batzuen ondoren bere balioa maximo batean egonkortzen da, eta ez du sistemaren ondorengo bilakaera moldatzen. 100101102 k/m 10−3 102 107 1012 1017 ∆A(N, k)/m2 3.14 Irudia: Oinarrizko konfiguraziorako denbora-pauso ezberdinak dituzten bi simulazioren arteko konparaketa: δN= 10−3(gorriz) eta δN= 10−4(beltzez). Inflazioan zehar, erlazionatutako efektu bat ere agertzen da eskala-faktorearen hazkunde esponentziala dela eta. Zenbat eta lehenago hasi simulazioak, hau da, inflazioan atzerago, orduan eta azkarrago hazten da eskala-faktorea. Denbora-pausua behar bezala ezartzen ez bada, efektua 3.14 irudian erakusten denaren antzekoa da. Ezegonkortasun hori denborapausu egoki bat ezarrita kontrolatzen dugu, eskala-faktorearen bilakaera behar bezala atzematen duena eta eboluzioan ezegonkortasun ez-fisikoak ekiditen dituena. Mihiztadura-parametro handienak dituzten simulazioetan, bi alderdi horien konbinazioa gertatzen da. Alde batetik, inflazioan goiz hasi behar da, atzera-eraginak unibertsoaren hedapenean lehenago eragiten hasten delako. Bestetik, eboluzio ez-linealean mihiztaduraparametroa handiagoa bada, inflazioaren iraupena luzeago da. Azken horrek esan nahi du, sarean eskala oso ultramoreak sartu beharko ditugula, eta horrek denbora-pausuan eragingo du. Nahiz eta originalki ez ditugun denbora-bereizmena hobetzeko sartu, kBD ebaketaren eta EGF hasieraketaren erabilerak denbora-bereizmenaren eskakizuna ez hain zorrotza izaten laguntzen dute. 3.14 irudian ikusi dugunez, δN handiegi bat erabiltzearen ondorioak UVko uhin-zenbaki handienetan agertzen dira, eta ebaketak balizko hazkunde artifiziala 3.2 Ereduaren inplementazioa 89 ezeztatzen laguntzen du. Horrez gain, dagoeneko kitzikatutako eremuarekin beranduago hasteak esan nahi du, ez dugula hain goiz hasi behar inflazioan, eta, horrela, murriztu egiten da denbora-urrats txikiegia erabiltzeko eskala-faktorearen aldaketaren ondoriozko murriztapena. 3.2.5.4 Denbora-integratzaileak −1.0−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 N 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 H RK2 RK3 100101102 k/m 100 102 104 106 108 1010 1012 ∆A(N, k)/m2 3.15 Irudia: Denbora integratzaile ezberdinentzako simulazioen konparaketa: 2slsRK2 (lerro jarraitu gorriz) eta 4slsRK3 (lerro eten beltzez). Goiko panelean, ϵH aldagai globalaren eboluzioa erakusten dugu, eta beheko panelean, gauge eremuaren potentzia-espektro totalaren hazkundea. Tesi honetan bi denbora integratzaile erabili ditugu: bigarren ordenako 2-pausuko memoriabaxuko Runge-Kutta (2slsRK2) eta hirugarren ordenako 4-pausuko memoria-baxuko Runge-Kutta (4slsRK3) (ikus 3.1.2.2 atala). Emaitzetako simulazioetarako 2slsRK2 erabili dugu, O ( dN2 )ordenara zenbakizko zehaztasuna kontserbatzen duena. Hori da ekuazio diferentzial partzialen sistemetarako ordena estandarra. Hala ere, aukeraketa hori behar bezain zehatza den egiaztatzeko, 4slsRK3 ordena altuagoko integratzailearekin konparatu dugu 3.15 irudian. 2slsRK2 integratzailearen emaitzak lerro jarraitu gorriz irudikatu ditugu, eta 4slsRK3 integratzailearenak lerro eten beltzez. Goiko panelean, ϵH aldagai 4 Axioi Inflazioaren Dinamika Ez-Linealaren Emaitzak Aurreko kapituluan, atzera-eragin lokalaren barruan axioi inflazioaren erregimen ezlinealaren sare bidezko simulazioak egiteko oinarriak ezarri ditugu. Kapitulu honetan, erregimen horren baitako dinamikaren azterketa sakona egitea da gure helburua. Hala ere, emaitza ezberdinak zuzenean aurkeztu aurretik, hainbat puntu garrantzitsu argitu nahi ditugu. Aurreko kapituluetan erabilitako adibideetan bezala, potentzial koadratiko bat hautatuko dugu, V(ϕ) = 1 2m2ϕ2,(4.1) eta axioiaren masa m = 6 . 16 · 10 −6mp gisa ezartzen dugu, CMBaren tenperaturaren anisotropietara behar bezala egokitzeko [43]. Nahiz eta badakigun grabitazio-uhinen gainprodukzioa dela eta r vs. ns planoan potentzial mota hori baztertuta dagoela [44], oro har, axioi inflazio ereduaren azterketetan erabilitako erreferentziazko potentziala izan da literaturan. Beraz, konparazioak egiteko eta gure emaitzen lehen aurkezpen gisa, potentzial hori erabiltzen dugu kapitulu honetan. Gogoratu programa-aldagaiak, f∗=ω∗=m, axioiaren masarekiko definitzen ditugula. 4.1 taulan, gure analisian erabilitako αΛ mihiztadura-parametroen balioak zerrendatuko ditugu: balio nahiko txikietatik, αΛ≤ 12, non atzera-eraginak txikia izaten jarraitzen baituen, balio handiagoetara, αΛ≥ 15, zeinak inflazioan nabarmen eragiteko bezain sendoak baitiren. Kapitulu osoan zehar, unitate bateko urratsez tartekatutako mihiztadura-parametro horiek gure erreferentzia-puntu gisa balio badute ere, lehenengo atalean, dinamika xehetasun handiagoz aztertzen dugu eta doitasun hamartar handiagoko mihiztadura-parametro gehigarriak aintzat hartzen ditugu. Horri esker, zehatzago identifika dezakegu erregimen dinamikoen arteko trantsizioa. 4.1 taulan bertan, aurreko 3kapituluan eztabaidatutako printzipioei jarraituz, {N, kIR, kUV, kBD,Nstart,Nswitch} parametroen multzoa aurkezten dugu αΛ = 10–20 erreferentziazko mihiztadura-parametroetarako. Gogora dezagun BDV hasieraketa-teknikarako Nstart dela simulazioaren hasiera aldiunea, eta Nswitch dinamika ez-linealerako trantsizioa; EGF hasieraketarako, berriz, zuzenean 98 Axioi Inflazioaren Dinamika Ez-Linealaren Emaitzak αΛN(≥)kIR/m kUV/m (≥)kBD/m Nstart Nswitch 10 320 0.1932 53.54 30.91 -4.5 -1.1 11 320 0.1932 53.54 30.91 -4.5 -1.1 12 320 0.1932 53.54 30.91 -4.5 -1.1 13 320 0.1932 53.54 30.91 -4.5 -1.1 14 480 0.1932 80.31 46.36 -4.5 -1.1 15 640 0.1932 107.08 46.36 -4.5 -1.1 16 1152 0.1932 192.75 30. -4.5 -1.1 17 2048 0.1932 342.66 20. -4.5 -1.4 18 3072 0.1932 514.00 10. -4.5 -1.7 19 3072 0.1544 410.81 10. -4.75 -2.0 20 3072 0.1233 327.95 9. -5 -2.4 4.1 Taula: Gure simulazioen parametroen laburpena: αΛ dimentsiorik gabeko mihiztadura-parametroa, sarearen dimentsio bakoitzeko N gune kopurua, kIR uhin-zenbaki infragorriena, kUV uhin-zenbaki ultramoreena, kBD tarteko ebaketa eskala, simulazioa erregimen linealean zein Nstart e-foldetan hasten dugun eta Nstart dinamika ez-linealerako trantsizio e-folda. Eskala-bereizketa handiena (edo N handiena) duten kasuak bakarrik sartu ditugu mihiztadura-parametro bakoitzeko. Nswitch aldiunean hasten da. Bi metodoak baliokideak direnez (ikus 3.2.5.2 atala), konputazionalki zorrotzenak diren simulazioetan, alegia, αΛ≥ 15 baino handiagoak diren mihiztadura-parametroak dituztenetan, EGF hasieraketa-teknika erabili dugu. Horrez gain, ohartu taulan agertzen den kUV simulatutako UV uhin-zenbaki maximoari dagokiola. kIR finko baterako sarearen tamaina desberdinak hartu ditugu kontuan, kUV handituz, kasu bakoitzean ereduan fisika behar bezala atzemateko behar den bereizmenera iristeko. Horren harira, beharrezkoa da aipatzea tesi honetan zehar eskuragarri genituen baliabide konputazionalekin ez ginela gai izan gure estandarretarako erabateko konbergentzia lortzeko αΛ = 20 mihiztadura-parametroaren taulan adierazitako kUV balioarentzat. Era berean, mihiztadura-parametro bererako, kUV handiago batekin simulazio gehigarri bat exekutatu ahal izan genuen, simulazioak inflazioa amaitu aurretik huts egin zuelako 4.1 taulan ez dagoena. Aurrerago sakonduko dugu horri buruz kapituluan. Ahalik eta mihiztadura-parametrorik handienak kontuan hartzearen atzean dagoen motibazioa, detektagarritasun potentzialetik gertuen dagoen fenomenologiara ailegatzeko helburuan datza. Zer esan nahi dugu horrekin? Literaturaren arabera, mihiztaduraparametro sendo horiek dira, hain zuzen ere, detektatu daitezkeen grabitazio-uhinak edo inflazioaren dinamikan eragiteko gai diren perturbazio eskalar esanguratsuak sortu ditzaketenak. Beraz, guztiz justifikatuta dago mihiztaduraren balio hain handiak arakatzeko dugun interesa. 4.1 Erregimenen banaketa eta inflazioaren hedadura gehigarria 99 Bestalde, nabarmendu nahi dugu analisi honen ardatza inflazioren garaia dela. Nahiz eta zenbait iruditan inflazioaren amaieratik haratagoko bilakaera erakutsi, edo emaitzen arabera birberotze-aldiari buruzko zenbait ohar egin, ez da atal honen helburua inflazioaren amaieratik haratagoko dinamika ezaugarritzea. Adibidez, zein mihiztadura-parametrok eragiten duten behar adina birberotze edo erradiazioaren menderakuntzarako trantsizioa bat-batekoa den. Emaitzak aurkeztu aurretik, 3.2.5.4 atalean ikusi dugunez, azpimarratu nahi dugu egindako simulazio guztietan beti betetzen dugula Gaussen legea ∆ G∼O (10 −6 )ordenara edo hobe, eta energiaren kontserbazioa ∆ H∼O (10 −4 )ordenara edo hobe. Gainera, makinaren doitasun-baldintza betetzen duten hasierako balioetatik abiatzen gara eboluzioaren hasieran. 4.1 Erregimenen banaketa eta inflazioaren hedadura gehigarria Gure helburua dinamika erregimen ez-linealean ezaugarritzea denez, hasteko, (1.22) adierazpenean definitutako ϵH Hubbleren slow-roll parametroaren jarraipena egingo dugu. Atzera-eraginik ezean, ϵH era monotonoan handitzen da, eta bat baliora iristen da N = 0 aldiunean, hau da, inflazioaren amaiera ailegatzen da. Hala ere, erreferentziazko αΛ = 10 - 20 mihiztadura-parametroetarako, gauge eremuaren atzera-eragin lokalarengatik, ϵH ibilbide estandar horretatik aldentzea eragiten duen balioak identifikatzea interesatzen zaigu. Kasu horietan, inflazioak bere ohiko amaiera puntutik haratago jarraitzen du, eta, horren ordez, ϵH = 1 baldintza N = ∆ Nbr  = 0 aldiune baterako betetzen du. Horrek atzera-eraginak bultzatutako inflazioaren aldi luzeago bat adierazten du. 4.1 irudiko goiko panelean ϵH parametroaren eboluzioa erakusten dugu kontuan hartutako mihiztadura-parametro guztietarako. Kolore-gradienteak mihiztadura-parametroa gero eta handiagoa dela adierazten du, αΛ = 10 moretik, αΛ = 20 gorrira. Lerro eten bertikalek mihiztadura-parametro bakoitzaren inflazioaren amaiera markatzen dute, hau da, noiz den ϵH = 1 eta kolore-kode bera jarraitzen dute. Irudiak argi erakusten du nola ϵH atzera-eragin gabeko kasutik (lerro eten beltzez) desbideratzen hasten den, atzera-eragina esanguratsua bihurtzen den heinean. Aldentze hori denboran gero eta lehenago gertatzen da αΛ handitzen den heinean, eta nabarmentzekoa da gauge eremuaren atzera-eraginak gero eta eragin handiagoa duela inflazioaren dinamikan. Desbideratze horren ondoren, ϵH-k minimo lokal batera eboluzionatzen du, eta hortik monotonoki hazten da. 4.1 irudiko goiko panelean ikus dezakegu mihiztadura-parametroa handitu ahala, ϵH = 1 gurutzaketa noiz eta zenbat aldiz gertatzen den aldatu egiten dela. Horri esker 4.1 taulako mihiztadura-parametroak taldeka ditzakegu. Horretarako maximo lokala ϵH> 1zonaldean eratzen den kontuan hartzen dugu, eta, hala bada, ondoren ϵH< 1zonaldera berriro sartzen den. 4.1 irudi bereko beheko panelean, tarteko mihiztadura-parametroak hartzen ditugu kontuan, taldeak zehatzago ezaugarritzeko. Opakutasun txikiagoa duten lerro jarraituak erabiliz, tonu urdinxketatik tonu berdeagoetara doan eboluzioa erakusten dugu αΛ = 13 - 14 . 5tartean, ∆ αΛ = 0 . 25 bereizketarekin. αΛ = 13 kasurako ϵH = 1 gurutzaketa 100 Axioi Inflazioaren Dinamika Ez-Linealaren Emaitzak −202468 N 0.1 1 2 H αΛ= 10 αΛ= 11 αΛ= 12 αΛ= 13 αΛ= 14 αΛ= 15 αΛ= 16 αΛ= 17 αΛ= 18 αΛ= 19 αΛ= 20 −0.4 0 0.4 0.8 N 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 H 4.1 Irudia: Goian: ϵH = −˙ H/H2 parametroaren bilakaera 4.1 taulako simulazioetarako, αΛ = 10 baliotik (morez) αΛ = 20 baliora (gorriz) ∆ αΛ = 1 pausoekin. Lerro eten beltzaren eboluzioa atzera-eragin gabeko kasuari dagokio. Koloreztatutako lerro etenak kasu bakoitzerako inflazioaren amaierari dagozkio, eta lerro horizontal gris meheek ϵH = 1 (inflazioaren amaiera) eta ϵH = 2 (erradiazioak menderatutako garaia) adierazten dute. Behean: αΛ = 13 eta 14 . 5arteko mihiztadura-parametroentzako goiko panelaren baliokidea, lerro gardenagoekin eta ∆ αΛ = 0 . 25 pausoekin bananduta. Lerro lodi etenak αΛ = 13 . 1 (urdinez) eta αΛ = 14 . 31 (berdez) dira, eta atzera-eragin arineko erregimenaren beheeta goi-muga adierazten dute, hurrenez hurren. behin bakarrik gertatzen dela ikus dezakegu, eta hori N = 0 aldiunean gertatzen da. Gauge eremuaren atzera-eragina ez da inflazioa gehiago luzatzeko bezain sendoa, eta, horregatik, ∆ Nbr = 0 da. Balio horren inguruko mihiztadura-parametroak atzera-eragin ahularen erregimenaren zati gisa kontsideratuko ditugu. Izan ere, αΛ = 13 . 1(lerro eten 4.1 Erregimenen banaketa eta inflazioaren hedadura gehigarria 101 urdinez) baino txikiagoak diren mihiztadura-parametro guztiak talde honetakoak dira. Mihiztadura-parametroa muga horretatik gora handitu ahala, αΛ = 13 . 25,13 . 5,13 . 75, 14 eta 14 . 25, lehen gurutzaketa oraindik N = 0 inguruan gertatzen bada ere, atzeraeraginaren efektua orain sendoagoa da eta lehenago gertatzen da dinamikan. Horrek joera alderantzikatzea eragiten du eta ϵH parametroa bat baino txikiagoa den zonaldera pasatzen da berriz. Horregatik, inflazioaren hedapen estra gehigarri bat sortzen da, hau da, ∆ Nbr > 0. 1 Birsartze-prozesu hori αΛ = 14 . 31 (lerro eten berdez) arte gertatzen da, eta horrek atzera-eragin arineko erregimenaren amaiera markatzen du. Balio horretatik haratago, atzera-eragina nahikoa sendoa da N = 0 aldiunean gurutzaketarik ez gertatzeko, eta ∆ Nbr > 1luzatzeko inflazioa inolako birsarrerarik gabe. Mihiztadura-parametro talde horri atzera-eragin sendoko erregimena deritzogu. Horretan oinarrituz, aipatutako hiru erregimen desberdinak sailkatu ditzakegu mihiztaduraparametroaren indarraren arabera: •Atzera-eragin ahuleko erregimena ( αΛ≲ 13 . 1): Gauge eremuak dinamikari egiten dion ekarpena arbuiagarria da inflazioan zehar, eta sistemaren dinamikak slow-roll erregimen estandarrean bezala jokatzen du. Atzera-eraginik gabeko ibilbidearekiko desbiderapena inflazioaren ondorengo birberotzean gertatzen da, eta lehena oraindik N = 0 aldiunean amaitzen da. Inflazioaren ondorengo inflatoiaren oszilazioetan, gauge eremuaren atzera-eraginak badu bere garrantzia mihiztadura-parametroaren arabera. Mihiztadura-parametro txikiagoetarako, demagun αΛ≲ 8, inflazioaren ondorengo atzera-eragin hori arbuiagarria bihurtzen da [118]. •Atzera-eragin arineko erregimena (13 . 1 ≲αΛ≲ 14 . 31): Atzera-eraginak inflazio bidezko hedapenean duen indarra nabarmenagoa bihurtzen da, eta gero eta lehenago sumatzen da bere efektua atzera-eragin gabeko kasuarekin konparatzen badugu mihiztadura-parametroa handitu ahala. ϵH parametroak N∼ 0 . 1 - 0 . 3aldiunearen inguruan tontor bat garatzen du inflazioaren ondoren. Inflazioaren ϵH = 1 gurutzaketa, oraindik N∼ 0inguruan gertatzen da. Dena den, ondoren, sistema berriro inflazioan sartzen den fase bat dago. Birsartze hori bat dator literaturan aurretik ikusitako antzeko portaerekin [116,117]. •Atzera-eragin sendoko erregimena ( αΛ≳ 14 . 31): Aldaketa bortitzagoak ikusten dira, atzera-eragina inflazioaren barruan gertatzen baita, eta amaiera ∆ Nbr e-fold kopuru bat atzeratzen da, mihiztadura-parametroarekin hazten dena. 4.1 irudiko goiko panelean ageri diren lerro eten bertikalek erakusten dute, erregimen horretan, inflazioaren amaiera nabarmen aldatzen dela N>0balioetara. Atzera-eragin sendoko erregimenean, inflazioa luzatu egiten da ∆ Nbr ≳ 1e-fold,slow-roll inflazioaren N = 0 amaieratik haratago. ∆ Nbr balioaren eta αΛ mihiztadura-parametroaren arteko mendekotasuna 4.2 irudian ikus daiteke. Gogoratu inflazioa ez dela N = 0 baino 1 Nahiz eta joera aldaketa hobeto ikusteko ardatz horizontala ez den guztiz erakusten, eboluzioak aurrera jarraitzen du, eta, azkenean, mihiztadura-parametro guztiek ϵH= 1 zeharkatzen dute. 102 Axioi Inflazioaren Dinamika Ez-Linealaren Emaitzak gehiago luzatzen αΛ≤ 13 . 1balioetarako; beraz, ∆ Nbr = 0 finkatzen dugu mihiztaduraparametro horietarako. αΛ> 13 . 1denean, ∆ Nbr balioa era monotonoan handitzen da mihiztadura-parametroaren balioarekin. Horrek adierazten du zenbat eta handiagoa izan axioi eta gaugearen arteko mihiztadura-parametroa, orduan eta sendoagoa dela eta lehenago gertatzen dela gauge eremuaren atzera-eragina, eta, beraz, inflazioaren iraupena luzeagoa dela. Portaera hori ez dator bat atzera-eragin homogeneoaren hurbilketarako ikusten denarekin (diamante grisekin irudian). Bertan, inflazioaren luzapena ere ikusten da, baina e-fold gehigarriak beti ∆ Nbr ∼ 3 − 4ordenakoak dira kontuan hartzen ditugun mihiztadura-parametroetarako. Atzera-eragin arin eta sendoaren kasuan, ∆ Nbr balioaren hazkuntza gutxi gorabehera lineala da mihiztadura-parametroarekin, gutxienez αΛ = 19 arte. Bi doitze posible proposatzen ditugu: Lineala : ∆Nbr =m1(αΛ−13.1) ,(4.2) Berretura bidezkoa : ∆Nbr =b1(αΛ−13.1)a1.(4.3) Bertan, ( αΛ, ∆ Nbr ) = (13 . 1 , 0) finkatzen dugu bi doitzeen beheko muturreko puntu gisa, eta, horrela, ∆ Nbr = 0 balioa duen atzera-eragin ahuleko erregimenarekin bereizketa egiten dugu. m1= 0.90 ±0.01, eta a1= 0.930 ±0.03 eta b1= 1.00 ±0.04 lortzen ditugu, hurrenez hurren. Beraz, berretura bidezko doikuntzak hipotesi lineala onartzen du gutxi gorabehera, baina kurbadura arinen bat nahiago du. Doikuntza horiek eta haien erroreak 4.2 irudiko goiko panelean daude, doikuntza lineala urdinez eta berretura bidezkoa berdez. αΛ = 20 mihiztadura-parametroa, doikuntza lineal edo berretura bidezko doikuntzaren portaeretatik guztiz aldenduta dagoena, nahita kendu dugu egindako doikuntzetan. Izan ere, geroago 4.3 atalean azalduko dugun bezala, mihiztadura-parametro horretarako ez dugu lortu oraindik dinamikak simulazio bakoitzerako eskatzen dugun konbergentziakalitate irizpidea betetzea. αΛ = 20 bererako ere zirkulu huts gorri bat sartu dugu. Simulazioaren dinamika estrapolatuz lortutako balioari dagokio, ϵH = 1 lortu aurretik huts egin zuen sare handienarekin egindakoa. 2 Gai horri buruz ere 4.3 atalean arituko gara. αΛ = 20 mihiztadura-parametroaren ∆ Nbr balioa aurreko doikuntzetatik lortuz gero, ∆ Nbr ≈ 5 . 5 − 6 . 6tartean kokatzea esperoko genuke, mihiztadura-parametro handi horren gure simulaziorik onenak ∆ Nbr ∼ 8 . 1(edo 7 . 5estrapolatutako kasurako) ematen duen bitartean. Bestalde, atzera-eragin sendoa erregimen aski bereizgarria da, atzera-eragin arinaren nahikoa ezberdina. Horregatik ∆ Nbr vs αΛ doikuntza bera, atzera-eragin sendoa gertatzen den mihiztadura-parametroetarako bakarrik egin dugu. ( αΛ, ∆ Nbr ) = (14 . 31 , 1 . 44) puntutik hasita, 3 erregimenaren beheko muturrari dagokiona, doikuntza hauek proposatzen ditugu: Lineala : ∆Nbr =m2(αΛ−14.31) + 1.44 ,(4.4) Berretura bidezkoa : ∆Nbr =b2(αΛ−14.31)a2+ 1.44 .(4.5) m2 = 0 . 79 ± 0 . 02, eta a2 = 1 . 15 ± 0 . 03 eta b2 = 0 . 65 ± 0 . 03 balioak lortzen ditugu (ohartu 2 Gogoratu N eta kUV horiek ez daudela jasota 4.1 taulan, eboluzioa amaierara arte estrapolatuz lortzen delako inflazioaren amaiera. 3αΛ= 14.31 parametroaren simulaziotik ateratako datuak, 4.1 beheko panelean dagoena. 4.1 Erregimenen banaketa eta inflazioaren hedadura gehigarria 103 10 12 14 16 18 20 αΛ 0 2 4 6 8 ∆Nbr 14 15 16 17 18 19 20 αΛ 0 2 4 6 8 ∆Nbr 4.2 Irudia: Erregimen linealarekiko inflazioan dauden ∆ Nbr e-fold gehigarrien kopurua αΛ mihiztaduraparametroarekiko. Puntu gorriak atzera-eragin lokala duten simulazioei dagozkie, eta diamante grisak, berriz, atzera-eragin homogeneoa dutenak dira. Zirkulu hutsa aparteko αΛ = 20 simulazioari dagokio, ϵH = 1 izatera iritsi ez den tarte dinamikorik handienarekin (ikus 4.3 atala). Lerro eten urdinak erlazio lineal bidez lortutako doikuntzei dagozkie, (4.2) eta (4.4) , eta lerro jarraitu berdeak berretura bidez lortutakoari, (4.3) eta (4.5) . Goian, αΛ> 13 . 1baliotik hasten da doikuntza eta behean αΛ> 14 . 31 baliotik. Kolorezko bandek doikuntza prozesutik lortutako erroreak adierazten dituzte. berriro ere αΛ = 20 baztertu dugula doikuntzarako). Doikuntza horiek eta haien erroreak goiko paneleko kolore-kode bera erabiliz 4.2 irudiko beheko panelean erakusten dira. Doikuntzei esker mihiztadura-parametro handiagoetarako, ∆ Nbr balioa zenbatetsi dezakegu, bere hazkundea proposatutako doikuntzekin estrapolatuz. αΛ = 20 − 35 balio horiek dagozkien erroreekin zerrendatu ditugu 4.2 taulan. Zenbatespen horiek eszeptizismo apur batekin hartu behar dira. Halako mihiztadura-parametro handietarako sare bidezko 104 Axioi Inflazioaren Dinamika Ez-Linealaren Emaitzak αΛ ∆Nbr lineal (4.2) berretura bidezko (4.3) lineal (4.4) berretura bidezko (4.5) 20 6.21±0.07 6.03+0.61 −0.57 5.9±0.1 5.85+0.45 −0.45 22.5 8.46±0.09 8.04+0.90 −0.83 7.9±0.2 8.88+0.81 −0.77 25 10.7±0.1 10.0+1.21 −1.08 9.9±0.2 12.06+1.20 −1.12 30 15.2±0.2 13.9+1.80 −1.67 13.8±0.3 18.75+2.11 −1.94 35 19.7±0.2 17.6+2.53 −2.16 17.8±0.4 25.76+3.15 −2.84 4.2 Taula: Aukeratutako mihiztadura-parametroetarako (4.2) - (4.5) doikuntzak estrapolatuz inflazioan zenbatetsitako e-fold gehigarrien kopurua. azterketa zorrotz batek bakarrik eman diezaguke zenbaki zuzena. Gure egungo datuetan oinarrituta, hipotesi gisa botatzen dugu hazkunde lineala mantsotu egin daitekeela, eta horrek esan nahi du 4.2 taulako gure estrapolazioak goi-muga gisa ikus daitezkeela. Hori xehetasunez ikertzeko, egun ditugun gaitasunak baino baliabide konputazional handiagoak behar dira. Arrazoi fisikoei buruzko xehetasunak 4.3 atalean azalduko ditugu. Erregimen desberdinen arteko bereizketa, eta, bereziki, atzera-eragin arineko N = 0 ondorengo inflaziora birsartzea, kualitatiboki uler daitezke ϵH energia-dentsitatearen osagaiei ezberdinetan deskonposatuz gero, ϵH=−˙ H H2= 1 + 2ρK−ρV+ρEM ρtot .(4.6) 4.3 irudian ekarpen energetiko ezberdinen eboluzioa erakusten dugu, erregimen bakoitzaren mihiztadura-parametro baterako: αΛ = 12 , 14 eta 18, (irudian ezkerretik eskuinera), eta atzera-eragin ahuleko, arineko eta sendoko erregimenei dagozkie, hurrenez hurren. Energiadentsitate ezberdinen eboluzioa irudikatzen dugu balio totalarekiko: ρK/ρtot gorriz, ρV/ρtot beltzez, ρG/ρtot urdinez eta ρEM/ρtot morez. Panel bakoitzeko lerro jarraitu gris bertikalek ϵH = 1 puntua adierazten dute, eta horiek mihiztadura-parametro bakoitzaren inflazioaren amaiera erakusten dute. 4.3 irudiko ezkerreko panelean ikusten dugu, atzera-eragin ahuleko erregimenean, energiadentsitate elektromagnetikoaren eragina ia arbuiagarria dela inflazioan. Adibidean, energia zinetikoa baino ∼ 2magnitude-orden txikiago da N = 0 aldiunean. (4.6) ekuazioan ekarpen elektromagnetikoa alde batera uzten bada, ikusten dugu 2 ρK = ρV inflazioaren amaierari dagokiola, eta bat datorrela irudian ikusitako portaerarekin eta slow-roll estandarraren amaierarekin. Erregimen honetan, inflatoiaren dinamikak ia ez du gauge eremuaren hazkundeak sortutako atzera-eraginik jasaten, eta inflazioan zehar bere higidura atzeraeragin gabeko kasuaren berdina da. Gauge eremuaren pisuaren hazkundea inflazioaren ondorengo garaian gertatzen da, N = 0 aldiunea igaro eta gero. Hor inflatoiaren gaineko atzera-eragina nabaria bihurtzen da. Era berean, ikusten dugu inflatoiaren gradienteek ez dutela garrantzirik inflazioan zehar mihiztadura-parametro ahuleko erregimenean. Hala 4.1 Erregimenen banaketa eta inflazioaren hedadura gehigarria 105 −1.0−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 N αΛ= 14 −2−1012345 N αΛ= 18 −0.4−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 N 10−3 10−2 10−1 100 ρ/ρtot K V G EM αΛ= 12 4.3 Irudia: Energia-osagai ezberdinen eboluzioa energia-dentsitate totalarekiko normalizatuta. αΛ = 12 , 14 eta 18 mihiztadura-parametroak kontsideratu ditugu, atzera-eragin ahuleko, arineko eta sendoko erregimenen adierazgarriak hurrenez hurren. Kolore bakoitzak osagai ezberdin bat adierazten du: beltza potentzialarentzat, gorria zinetikoarentzat, urdina gradienteentzat eta morea ekarpen elektromagnetikoarentzat. Lerro bertikal jarraituak inflazioaren amaierari dagozkio kasu bakoitzean. αΛ = 14 mihiztadura-parametrorako puntu eta marratxoak dituen lerroak inflazioan birsartzea gertatzen den unea erakusten du. ere, zati elektromagnetikoarekin gertatzen den bezala, garrantzia hartzen dute gero. Bi hazkundeak guztiz korrelazionatuta daudela ikus dezakegu. 4.3 irudiko erdiko panelean ikusi dezakegu atzera-eragin arineko erregimenean energiadentsitate elektromagnetikoak lehenago hartzen duela pisua dinamikan. 4.1 irudian eta 4.4 irudiko goiko panelean adierazten den bezala, erregimen honek ezaugarri interesgarri bat erakusten du: ϵH = 1 balioa N≈ 0aldiunearen inguru gertatzen da, baina, atzeraeraginaren ondorioz, beste inflazio-fase gehigarri txiki bat gehitzen da, gutxi gorabehera ∼ 1e-fold irauten duena. Inflazioa axioiaren energia zinetikoaren hazkundearen ondorio gisa amaitzen den erregimen ahularen aldean, erregimen honetan ρEM jada ezin da alde batera utzi. Lehengo ϵH = 1 gurutzaketa ρV = 2 ρK + ρEM betetzen denean gertatzen da. Ondoren, ρEM behagarriak ρK gainditzen du, eta azkena asko jaitsi eta ρG gradienteen parekoa bihurtzen da. Biek %5 inguruko ekarpena egiten diote N = 0 . 5inguruko energiadentsitate totalari. Hortik aurrera, bigarren ekarpen nagusiena ρEM da ( ρV -ren ondoren). Are gehiago, ϵH< 1zonaldean sartzen da berriz (lerro bertikal gris etenez), eta, ondorioz, unibertsoa berriro hedatzen da denbora labur batez, N = 0 . 3eta N = 1 . 3artean. Inflazioa, azkenik, ρEM ≈ρV denean amaitzen da, bigarren lerro bertikal jarraitu grisak adierazten duen gisa (ez dira berdin-berdinak, inflatoiaren energia zinetikoaren eta gradienteen baturak oraindik %10 inguruko pisua duelako). Azkenik, 4.3 irudiko eskuineko panelean, ikusten dugu atzera-eragin sendoaren kasuan, ρEM lehenago hazten dela inflazioan. Hori dela medio, inflatoiaren energia zinetikoaren parekoa bihurtzen da, eta gainditu ere egiten du, N = 0 baino lehen. Era berean, ρG gradienteen ekarpen erlatiboa gradualki hazten da ρK ekarpen zinetikoaren ∼ %50 izan arte N = 0 inguruan. Ondoren, apurka-apurka ekarpen elektromagnetikoa gero eta gehiago nagusitzen 112 Axioi Inflazioaren Dinamika Ez-Linealaren Emaitzak Irudia guztiz desberdina da kasu homogeneoarentzat (ikus 4.7 irudiko beheko eskuineko panela). Hasieran, δEM -k eremu elektriko eta magnetikoaren espektroen itxura oszilakorra islatzen du, eta 0 inguruan fluktuatzen du. Inflazioaren amaierarako, ordea, eremu elektrikoaren nagusitasun argia ikusten da kitzikatutako eskala guztietarako. Badirudi eremu magnetikoa UV eskala oso altuetan gailentzen dela bakarrik, eta, bertan, kitzikapena apenas dago BD hutseko isatsaren gainetik. Atzera-eragin sendoko slow-roll (elektro)magnetikoaren fasea eremu magnetikoak sisteman duen hazkunde nabarmenak bultzatzen duela ondorioztatzen dugu. Hazkunde hori eskalaren araberakoa da, eta, gehienbat, sarean harrapatutako eskala ertain eta UV eskaletan sostengatzen da. Horrek agerian uzten du atzera-eragin sendoko dinamikan eskala aski txikiek eta horiek harrapatzeko beharrak duten garrantzia. Dena den, eskala txikiek zeresan gutxi edo batere ez dute hurbilketa homogeneoan, inflazioaren hedapenean ez baitira inoiz kitzikatzen. 4.8 irudian, gauge eremuaren potentzia-espektroaren eboluzioa ikus dezakegu bi metodoetarako, metodo lokala (lerro jarraituz) eta homogeneoa (lerro etenez), bakoitzari dagokion ∆ Nbr aldian, 0 . 5e-foldeko hutsuneekin αΛ = 18 parametrorako. 4 Erreferentzia gisa, kasu bakoitzean inflazioaren amaierari dagokion Hubbleren erradio kohigikorra ere sartzen dugu, kasu bakoitzaren lerro mota berdinarekin. 4.8 irudiak erakusten du atzera-eragin homogeneoko gauge eremuaren potentzia gehiena IR zonaldearen erdialdean dagoela, eta, are gehiago, inflazioaren amaieran tontorra Hubbleren gaindiko eskaletan kokatzen da. Kasu lokal zinez fisikoan jarrera aurkakoa da, espektroen UV zonaldean kokatzen da tontorra, potentzia-espektroak ez diolako desplazatzeari uzten eskala txikietara inflazioaren luzapenean. Azken horren amaieran, gauge eremuaren, eta eremu magnetiko eta elektrikoaren potentzia-espektroen tontorrak Hubbleren barneko eskaletan aurkitzen dira. 4.8 irudiak azaltzen duen dinamika lokalaren eta hurbilketa homogeneoaren arteko desberdintasun nagusi bat da: inflatoiaren sektorean ez-homogeneotasunak sartuz, denborak aurrera egin ahala eskala gero eta txikiagoak bata bestearen atzetik kitzikatzeko aukera ematen duela. 4.9 irudiak inflatoiaren fluktuazioen potentzia-espektroa erakusten du αΛ = 18 kasurako atzera-eragin sendoko erregimenean. Eboluzio tartea eta pasuak 4.7 irudiko goiko ezkerreko paneleko eta 4.8 irudiko berdinak dira, eta N -tik aurrera erakusten dugu eboluzioa. Potentzia-espektroa argi eta garbi UV eskaletarantz hedatzen da, eta, beraz, sareak horiek izan behar ditu esandako UV efektua ahalbidetzeko. Energia-dentsitate totalean ekarpena apala izan arren (ikus 4.3 irudia), inflatoiaren gradienteek  ∇ϕ× E terminoaren bidez (2.6) ekuazioan zuzenean eragiten diote gauge eremuaren eboluzioari, eta termino hori, jakina, ez da aurkitzen metodo homogeneoan. Gainera, ekuazio bereko πϕ B terminoa ezin da faktorizatu inflatoiaren abiadura homogeneoaren eta eremu magnetikoaren arteko biderkaduraren produktu gisa, horren ordez kitzikatutako eskala desberdinen mihiztatutako moduen konboluzio bat adieraziko baitu. Eskalen IR-UV elikadura hori dinamikaren izaera ez-linealaren muinean dago atzera-eragin sendorako, eta potentzia UV eskaletarantz hedatzearen arduraduna da. Jarrera hori hurbilketa homogeneoak ezin du jaso. 4 Inflazioaren iraupena desberdina da bi atzera-eragin aukeren artean, eta, beraz, kolore-gradientea desberdina da horietako bakoitzarentzat: lerro solidoetan eta lerro etenetan kolore berak ez datoz bat denbora berarekin. Kasu bakoitzerako e-fold horiek 4.7 irudiko berdinak dira. 4.3 UV eskalak eta inflazioa 113 100101102 k/m 104 107 1010 1013 ∆A(N, k)/m2 αΛ= 18 4.8 Irudia: ∆Nbr tartean zehar gauge eremuaren potentzia-espektroaren eboluzioaren alderaketa, kasu lokalaren (lerro jarraituz) eta homogeneoaren (lerro etenez) artean, αΛ = 18 mihiztadura-parametrorako. Eboluzioa kolore hotzenetatik beroenetara erakusten da. Gainera, 0 . 5e-foldeko tartea dago espektroen artean, 4.7 irudian bezala. Lerro bertikalak metodo bakoitzaren inflazioaren amaierako Hubbleren erradio kohigikorrari dagozkio. 100101102 k/m 103 105 107 109 ∆φ(N, k)/m2 UV drift N= 0 N= 1 N= 2 N= 3 N= 4 N= 4.5 αΛ= 18 4.9 Irudia: Inflatoiaren potentzia-espektroa αΛ = 18 kasurako. Erakusten den eboluzioak N = 0-tik N = ∆ Nbr = 4 . 5-erako tartea hartzen du, 0 . 5e-foldekin espektroen artean. Kolore hotzenetatik beroenetarako kolore-gradientea erabiltzen dugu, 4.7 irudiko goiko panelean eremu elektriko eta magnetikoetarako egiten den bezala. 4.3 UV eskalak eta inflazioa UV eskalen anplifikazioaren ulermen sakonagoa lor daiteke gauge eremuaren potentziaespektroaren eboluzioa xehetasun gehiagorekin aztertzen bada. 4.10 irudian, gauge eremuaren ∆ A ( N, k )potentzia-espektroa dugu erregimen bakoitzeko mihiztadura-parametroen 114 Axioi Inflazioaren Dinamika Ez-Linealaren Emaitzak multzo adierazgarrirako (atzera-eragin ahula, arina eta sendoa). Lerroen arteko denboratartea 0 . 5e-foldekoa da, eta mihiztadura-parametro bakoitza inflazioaren amaierara arte erakusten da. Bunch-Davis hutseko konfiguraziotik hasten da simulazioa (kolore hotzenak) eta kitzikapena osoa izan arte mantentzen da (kolore beroenak). Garrantzitsua da kontuan hartzea inflazioak kantitate desberdin bat irauten duela mihiztadura-parametro bakoitzerako, eta, beraz, panel desberdinetako kolore berdinak ez datozela bat une berarekin: azken espektroa, gorriena, ∆ Nbr = 0,1 . 5, eta 4 . 5, balioei dagokie αΛ = 12,14, eta 18 kasuei, hurrenez hurren. Horrez gain, panel bakoitzean lerro bertikal etenez irudikatzen da aH Hubbleren eskala kohigikorra, kolore gradiente berarekin. Erreferentzia gisa, atzera-eragin gabeko inflazioaren amaierako espektroa erakusten dugu lerro eten beltzez. Atzera-eragin lokalaren kasuko aldiune hori puntuz eta marratxoz osatutako lerro batekin bereizten dugu, dagokion kolorearekin. Ohartu mihiztadura bakoitzeko kBD ebakidurak, 3.2.2 atalean aztertutako inplementazioaren eskakizunei lotuta daudela. Mihiztadura txikiagoetarako, askoz malgutasun handiagoa dugu, eta, beraz, BD isats kuantiko apur bat luzeagoa ahalbidetzea ez da arazoa. Gainera, moduak zerotik egoki haztea dinamika ez-linealari lotuta dago, eta horrek esan nahi du mihiztadura txikiagoetarako BD euskarria apur bat zabaldu behar dela, linealki hazten diren moduen tartea zabalagoa baita. 4.10 irudiko panel guztiek erakusten dute, Hubbleren eskala kohigikoraren desplazamendua jarraitzen duela potentzia-espektroen anplifikazio maximoaren posizioak inflazioan, baita inflazioaren atzera-eragin sendoaren ondoriozko hedapen gehigarrian ere. αΛ = 12 (goiko panela) eta 14 (erdiko panela) gisako mihiztadura “txikien” eboluzioak iragarpen linealaren desbideraketa gutxi erakusten dute N = 0-ra gerturatzen diren heinean (lerro gorriz αΛ = 12 eta horiz αΛ = 14). Hala ere, lehenengoan inflazioa, N = 0-n amaitzen den bitartean, bigarrenaren ezaugarria inflazioan berriro sartzen dela da, N = 0 . 3-tik N = 1 . 3ra. Erdiko panelean ikusten den bezala, birsartze-fasean slow-roll elektromagnetikori jarraitzen dio dinamikak, espektroak hazten jarraitzen du eta UV eskala zabalagoetarantz desplazatzen da (lerro laranjaz eta gorriz). Bide batez, kBD ebaketa eskalaren eskuineko eskualdea ez da kitzikatzen kasu honetan. Atzera-eragin sendoko erregimenean (4.10 irudiaren beheko panela), ikus dezakegu beste bi mihiztadura ez hain sendoetan ikusitakotik aldentzen dela gauge eremuaren espektroaren eboluzioa. Kasu honetan, eta lehen azaldu bezala, dinamika ez-lineala garrantzitsua bihurtzen da N = 0 baino lehen, eta, beraz, N = 0 aldiuneko (lerro puntudun berde argiz) espektro fisikoa desbideratu egiten da analisi linealetik (lerro eten beltzez) lortutako espektrotik. Une horretatik aurrera dator slow-roll inflaziotik haratagoko inflazio gehigarria. Hori argi ikus daiteke irudian, Hubbleren eskala kohigikorra UV eskaletarantz mugitzen baita abiadura gutxi gorabehera konstantean (eskala logaritmikoekiko). Potentzia-espektroaren gailurrak ere higidura hori jarraitzen du. Erregimen honetan, kBD ebaketa artifiziala baino altuagoak diren moduak nabarmen kitzikatzen dira eta gero eta nagusiagoak dira inflazio gehigarrian.5 4.10 irudian erakusten den bezala, atzera-eragin arin ( αΛ = 14), bai sendoak ( αΛ = 5 3.2.2 atalean azaldu bezala, mihiztadurarik altuenek hasierako ebaketa bat behar dute eboluzio klasikoa ez faltsutzeko BD isats kuantikoaren ekarpenarekin. Are gehiago, 3.2.5.1 atalean prozedura horren baliozkotasuna erakusten dugu dinamikaren erregimen ez-linealean aski hazten diren moduetarako. 4.3 UV eskalak eta inflazioa 115 10−3 100 103 106 109 1012 ∆A(N, k)/m2 αΛ= 12 10−3 100 103 106 109 1012 ∆A(N, k)/m2 αΛ= 14 100101102 k/m 10−3 100 103 106 109 1012 ∆A(N, k)/m2 αΛ= 18 4.10 Irudia: ∆ A ( N, k )gauge eremuaren potentzia-espektroaren eboluzioa αΛ = 12 (goiko panela), 14 (erdiko panela) eta 18 (beheko panela) mihiztaduretarako. Espektroen arteko tartea 0 . 5e-foldeko da, kolore urdinenetatik gorrienetara. Inflazioaren amaierari dagokion azken espektroa ∆ Nbr = 0,1 . 5, eta 4 . 5dira αΛ = 12 , 14 , eta 18 kasuetarako, hurrenez hurren. Konparaketa egiteko, irudiko uhin-zenbaki tartea αΛ = 18 kasuak beharrezkoa duen UV maximoa barne hartzeko ezartzen da. Hubbleren eskala kohigikorraren eboluzioa lerro bertikal etenez erakusten da, espektroen kolore-kode berarekin. Lerro beltz etenak atzera-eragin gabeko kasuaren inflazio amaierako espektroak dira. Puntu eta marratxo dun lerro koloredunak une berean lortutako espektroei dagozkie, baina erregimen ez-linealerako. 18), inflazio estandarretik haratagoko e-foldak eragiten dituzte. Hala ere, atzera-eragin arinaren simulazioak hasierako kBD ebaketaren gainetik dagoen tarte dinamiko handixeagoa 116 Axioi Inflazioaren Dinamika Ez-Linealaren Emaitzak besterik behar ez duen bitartean, atzera-eragin sendoaren simulazioan, kBD baino askoz handiagoak diren UV eskalak kitzikatzen dira inflazioaren luzapen aipagarrian, eta, noski, garrantzitsuak bihurtzen dira dinamikan uhin-zenbaki horiek. Oro har, erabakigarria da tarte dinamiko zabala kontsideratzea azpiko fisika zehaztasunez atzemateko, eta atzeraeragin sendoan hori oso zorrotza bihurtzen da, efektu ez-linealek beharrezko moduen tartea UV zonaldeetara asko handitzen baitute. Hori azpimarratzeko, 4.10 irudiko hiru panelak uhin-zenbaki tarte komun baterako irudikatu ditugu k/m ∈ [0 . 193 , 391 . 497]. Hiru paneletatik mihiztadura handienak behar duen gutxieneko tarteari dagokio, hots, αΛ= 18-k behar duenari dagokio. Kostu konputazionalari dagokionez, atzera-eragin sendoko dinamika da alde handiz garestiena. Simulazioaren hasieratik IR eta UV eskala garrantzitsuak jaso behar dira, eta mihiztadura-parametroa handitu ahala tarte hori zabalagoa da. Horregatik, gero eta sare handiagoak behar dira. Izan ere, ezin da aurreikusi a priori inflazioaren amaieran espektroaren gailurra zein azken UV eskalatan finkatuko den. Horiek horrela, zehatz-mehatz eztabaidatuko ditugu orain atzera-eragin sendoko erregimenaren UV sentikortasun berezia eta dinamika zehaztasunez jasotzeko behar diren neurri gehigarriak sarean. UV sentikortasuneta bereizmen-probak Atzera-eragin lokaleko erregimenean gauge eremuaren espektroen gailurra (eremu elektriko eta magnetikoen potentzia-espektroena adibidez), beti geratzen da Hubbleren erradio kohigikorraren barruan. Hori kasu homogeneoaren kontrakoa da, non tontorra Hubbleren gaindiko eskaletan mantentzen den inflazioaren amaierara arte (gogoratu 4.8 irudia). Beraz, atzera-eragin lokala zehaztasunez deskribatzeko funtsezko baldintza da Hubbleren barneko moduen estaldura nahikoa ziurtatzea sarean. 4.10 irudiaren beheko panelak erakusten du, ordea, atzera-eragin sendoaren adibide den αΛ = 18 kasuarentzat, Hubbleren aH eskala kohigikorra ia magnitude-ordena bat hazten dela. Beraz, tarte txikiagoa uzten du Hubbleren eskalaren eta sarearen UV uhin-zenbaki maximoaren arteko moduen sorta nahikoa zabala estaltzeko. 4.11 irudian, potentzia-espektroen konparazioa erakusten da αΛ = 18 kasurako, tamaina desberdineko sareentzako. Horiek denek bolumen kohigikor komuna dute, baina UV bereizmena handitzen dugu. kIR/m = 0 . 1932 eta N = 320, 430, 540, 640, 800, 1200, 1600, 2340 eta 3072 balioak dituzten simulazioei dagozkie, kUV/m =53.54, 71.95, 90.35, 107.98, 133.85, 200.78, 267.71, 391.51, eta 514.00 kasuei dagozkienak, hurrenez hurren. Goiko panelean, espektroak N = 0-n ebaluatzen dira; beheko panelean, berriz, bereizmen finena duen simulazioaren ( N = 3072) inflazioaren amaieran ebaluatzen dira. Kolore bakoitzak kUV/kIR erlazio desberdinak adierazten ditu. Panelen arteko konparaketak erakusten du N = 0 aldiunean, hau da, sistema oztaozta ez-lineal bilakatu denean, simulazio guztiak bat datozela espektroak UV bereizmen guztietarako ondo atzemanda dauden aldiunean. Hala ere, sistemak atzera-eragin sendoko erregimenean sakonki aurrera egin ahala, espektroak elkarrengandik desbideratzen dira, UV estalduraren arabera. Izan ere, “UV langa” efektua nabaria da simulazio txikienetan, modu 4.3 UV eskalak eta inflazioa 117 100101 100 102 104 106 108 1010 ∆A(N, k)/m2 ∼277 ∼372 ∼468 ∼554 ∼693 ∼1039 ∼1386 ∼2026 ∼2660 αΛ= 18 101102 k/m 1012 1013 1014 ∆A(N, k)/m2 Convergence kUV/kIR 4.11 Irudia: αΛ = 18-rako konbergentzia-azterketa. Gauge eremuaren potentzia-espektroak uhin-zenbaki kohigikorrarekiko N = 0 aldiunean (goiko panela) eta simulazio handienari dagokion inflazioaren amaieran (beheko panela). Kolore ezberdinek eskalen bereizketa ezberdina duten simulazioak adierazten dituzte, etiketetan adierazten den bezala. altuagoetarako euskarri ezak horiek “estutu” eta espektroak k txikiagoetara bultzatuko balitu bezala. UV problematika horrek espektroaren gailurraren anplitudea zein kokapena distortsionatzen ditu, eta efektu ez-fisikoak sortzen ditu. UV euskarri eza zenbat eta zorrotzagoa izan (kurba urdinxkak), distortsioa orduan eta handiagoa da. Bereizmena handitu ahala (kurba moreetatik gorrixketara), simulazio batek harrapa ditzakeen UV moduen tartea handitu egiten da, eta espektroen konbergentzia bat ikusten hasten gara inflazioaren amaieran, kurbarik gorriena beltzarekin gainjartzen baita ia. UV estaldura zuzen baten egokitasuna ez zaio aplikatzen soilik gauge eremuaren espektroaren formari. Unibertsoaren hedapenerako gure ikuspegia autokontsistentea den heinean, gauge eremuaren eboluzioan gertatzen den aldaketa orok ezinbestean eragingo du inflazioaren eboluzioan, batez ere slow-roll (elektro)magnetikoaren erregimenean. Hori da, 118 Axioi Inflazioaren Dinamika Ez-Linealaren Emaitzak hain zuzen ere, 4.12 irudiak erakusten duena. Bertan, ϵH -ren eboluzioa (goiko panelak) eta inflazioaren e-fold gehigarrien kopurua (erdiko panelak) UV-IR erlazioarekiko marrazten ditugu, αΛ = 18 (ezkerreko panelak) eta αΛ = 20 (eskuineko panelak) kasuetarako. Aurreko irudiko kolore-eskema bera erabiltzen dugu. αΛ = 18 adibideak erakusten du inflazioaren luzatzea ez dela monotonoa eskalen bereizketarekiko, joera gorakorra erakusten baitu kUV/kIR ∼ 500 arte, eta balio asintotikoranzko portaera beherakorra bereizmen hobeagoetarako (konbergentzia adierazten duena). Ondorioz, mihiztadura-parametro jakin baten simulazioaren UV estaldura nahikoa ez bada, dinamika orokorra faltsua izango da eta emaitza ez-fisikoak lortuko dira. 4.12 irudiko beheko ezkerreko panelean, era alternatibo batean erakusten dugu efektu hori espektroetan. Kasu bakoitzean simulazio bakoitzerako desberdina den inflazioa amaitzen den unea aukeratzen dugu. Horrez gain, espektroak k/ ( aH )-ren funtzioan irudikatu ditugu, espektroen maximoaren posizioaren hierarkia nabarmentzeko Hubbleren eskala kohigikorrarekiko. Panelak argi erakusten du, eskalen bereizketa dinamikorik okerrena duten simulazioetarako, gauge eremuaren kitzikapen nagusia ez dela Hubbleren erradio kohigikorraren barruan geratzen. Adibidez, αΛ = 18-ko bereizmen txarrenerako, zertxobait kanpoan dago. Tarte dinamikoa handitu ahala, leku gehiago dago ultramorean, eta tontorra pixkanaka egokitzen da dagokion benetako eskalara. Nahiko konbergentzia ona lortzen da kUV/kIR ≳ 2000-ko eskala bereizketa duten kasuetan, alegia, dimentsio bakoitzeko N≳ 2300 puntu dituzten sareetan. Nahiz eta bereizmen handieneko kasuen artean espektroen gainjartzea perfektua ez izan, haien desadostasun erlatiboak % O (1)-eko aldaketak baino ez dira inflazioaren amaieran. Atzera-eragin sendoko UV sentikortasunaren arazo garrantzitsu bat hau da: jasotzen dugun fisika fidagarria izateko, ezin dugula aurretiaz jakin zenbat bultzatu behar dugun sarearen UV eskala. Inflazio osteko dinamikaren simulazio tradizionaletan (Higgs eremuaren Eredu Estandarra [149 – 151], defektu topologikoak [7,8,139,152 – 160], edo birberotzea/aurreberotzea [141,161 – 169]), unibertsoaren hedapena ez da esponentziala, denboraren berretura bat izan ohi da, eta Minkowskiri badagokio desagertu egiten da hedapena. Hortaz, kasu horietan bereizmen on batek, simulazio jakin batean kitzikatutako espektroen UV isatsa zein ondo harrapatzen duen adierazten du, eta kasu horietan, isatsa kitzikapenaren gailurrarekin alderatuta arbuiagarria izan ohi da. Hala ere, atzera-eragin sendoko slow-roll (elektro)magnetiko bidezko inflazioaren simulazioetan, espantsio esponentzialaren ondorioz IR eskaletatik UV eskaletara doan etengabeko fluxua dela eta, UV estaldura on edo txar baten arteko aldeak fisika egiazki harrapatzea edo ez dakar. Lan honetan aztertu ditugun mihiztaduraren balio handientzat, bereizmen eskas batek espektroen gailurraren posizioa O(0.1) faktore baten bidez lekuz alda dezake, bere anplitudea artifizialki ≲O (10) faktore baten bidez igotzen duen bitartean (ikus adibidez 4.11 irudiaren beheko panela). Oraindik konbergentziarik lortzen ez den kasu baten adibide argigarri gisa, αΛ = 20 balioetarako kantitate garrantzitsu berak marrazten ditugu 4.12 irudiko eskuineko paneletan. 6 bereizmen ezberdineko simulazioak ditugu, kUV/kIR ∼ 692 kasutik (urdinez) eta kUV/kIR ∼ 3150 kasura (beltzez) artekoak, eta N = 800 eta N = 3648 arteko kutxa-tamainei dagozkie, 4.3 UV eskalak eta inflazioa 119 0246 N 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 H Convergence αΛ= 18 ∼277 ∼372 ∼468 ∼554 ∼693 ∼1039 ∼1386 ∼2026 ∼2660 500 1000 1500 2000 2500 kUV/kIR 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 ∆Nbr kUV/kIR 10−1100101 k/(aH) 1012 1014 1016 ∆A(N, k)/m2 −202468 N 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 H αΛ= 20 ∼692 ∼1039 ∼1385 ∼2026 ∼2660 ∼3159 1000 1500 2000 2500 3000 kUV/kIR 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 ∆Nbr kUV/kIR 10−1100 k/(aH) 1014 1015 1016 1017 ∆A(N, k)/m2 4.12 Irudia: Goiko paneletan: ϵH -ren eboluzioa IR-UV ratio gero eta handiagoa duten simulazioetarako (ikus etiketak kolore ordena ulertzeko). Erdiko paneletan:e-fold kopuru gehigarria bereizmen bakoitzeko. Beheko paneletan:gauge eremuaren potentzia-espektroen alderaketa. Kasu bakoitzean inflazioaren amaieran atera dugu espektroa eta k/ ( aH )-rekiko irudikatu. Ezkerrean αΛ = 18 erakusten dugu eta eskuinean αΛ= 20. 120 Axioi Inflazioaren Dinamika Ez-Linealaren Emaitzak hurrenez hurren. Ohartu bereizmen onena duen simulazioak ez zuela lortu ϵH = 1 lortzea (gutxi gorabehera ϵH∼ 0 . 6-n geratu zen). 6 Hala ere, informazio gisa sartu dugu hemen. Bere eboluzioa estrapolatzeko (lerro etenak), hutsegin zuen aldiunetik haratago ibilbideak simulazioaren joera berdina jarraitzen duela suposatzen dugu, hurrengo erresoluzio altuenarenarekin (lerro gorria) hain zuzen ere. Estrapolazio horretatik lortutako ∆ Nbr balioa puntu beltz huts gisa sartuko dugu erdiko panelean. Gainera, estrapolatutako balio hori 4.2 irudiko puntu gorri hutsa da, eta gainerako mihiztadura-parametroen doikuntzaren joeratik gertuago dago. Nahiz eta ϵH guztiek atzera-eraginaren hasierako fasean konbergitu, − 2 ≲N≲ 2, ibilbideak dibergitzen hasten dira inflazioaren amaierarantz. Bereizmen txarrena duten simulazioak ( kUV/kIR txikiena dutenak) lehenago desbideratzen dira, bereizmen hobea dutenek konbergentzia mantentzen duten bitartean N∼ 3 . 5arte. Ondoren denek dibergitzen dute. Fenomenologikoki, ϵH ibilbidean plateau baten agerpena identifikatu dugu, benetako ibilbidetik (aldapatsuagoa) aldentzen dena. UV estaldura eskasa duten simulazioen ezaugarri bereizgarri da. Bereizmena handitu ahala, plateaua apurka-apurka desagertuz doa. Izatez, plateaua bereizmen oso eskaseko simulazio batean lehen aldiz agertzen denean, UV estaldura hobetzen dugun heinean, ∆ Nbr -k hasieran goranzko joera erakusten duela ikusten dugu. Gehiago handitu ahala, bere joera aurkakoa bilakatzen den bereizmen kritiko batera iristen da. Bereizmena are gehiago handitzean, ∆ Nbr murrizten hasten da, balio konstante batera iritsi arte, konbergentziari dagokiona (ikus efektu hori 4.12 irudian αΛ= 18 kasurako). Gure baliabide konputazional mugatuak direla eta, ezin izan ditugu simulazioak abiarazi beharrezko IR-UV banaketarekin αΛ = 20 kasurako. Gure ustez, αΛ = 20 balioetarako benetako eboluzioa αΛ = 18 balioetarako irudikatutakoaren antzeko hazkunde leun baten bidezkoa izan daiteke. Dena den, gure egungo datuek 4.12 irudian ageri diren kurbak/puntuak baino ez dituzte deskribatzen, eta horrek iradokitzen du apenas iristen garela joera aldaketa markatzen duen puntu kritikora. Azkenik, 4.12 irudiko beheko eskuineko panelean, UV bereizmenaren faltak αΛ = 20-rentzat eragindako distortsio espektralak ikus daitezke. Kolore-eskema bera erabiliz, ∆ A ( N, k ) irudikatu dugu aldiune honetan bereizmen guztietarako: ϵH = 1 bereizmen txikieneko simulazioan gertatzen den N unean, alegia, inflazio luzapen laburrena duen kasuan, ∆ Nbr ∼ 6 . 6. Simulazio txikienek (kolore hotzez) ez dute nahikoa leku espektroaren UV isatsean. Bereizmena handitzen dugun heinean, modu altuagoak eskuragarri geratzen dira UV eskualdean, eta kitzikapenak modu naturalean egokitzen du potentzia eskala horietan. Konbergentzia osoa eta behin betiko emaitzak lortzeko, ezinbestekoa da kitzikapena Hubbleren erradio kohigikorraren barruan ondo egokituta egotea. αΛ = 18 kasuan lortu arren, ez gara iritsi αΛ = 20-rako hori izatera gure baliabide konputazionalekin. Hori dela eta, uste dugu αΛ = 20-rako eskalak askoz gehiago bereizi behar direla konbergentzia lortzeko. 6Horregatik, ez dago 4.1 taulan. 4.4 Kiralitatearen desoreka eta zeharkakotasuna 121 4.4 Kiralitatearen desoreka eta zeharkakotasuna Axioi inflazioaren izaera kirala bere ezaugarri nagusienetako bat bezala hartu izan da. Nahiz eta Hubbleren barneko eskaletan oreka kirala berrezartzeko efektuak espero diren aurreberotze edo birberotzean [114,125], tradizionalki beti espero izan da gauge eremuaren kitzikapena inflazioan zehar maximoki kirala izatea. Gainera, literaturak ez du gauge eremuaren A∥ luzetarako osagaiaren hazkundeagatik gertatu daitekeen zeharkakotasunaren hausturaren inolako berririk ematen. Atal honetan, alderdi horiek xehetasun osoz landuko ditugu, eta kiralitatearen desorekari eta zeharkakotasunari dagokienez, ikusten ditugun emaitza berrien azalpen fisikoa emango dugu. 4.13 irudiak, ezkerreko panelean, bi helizitateen potentzia-espektroen eboluzioa erakusten du, ∆ (+) A ( N, k )lerro solidoz eta ∆ (−) A ( N, k )lerro etenez, k/m -rekiko irudikatuta. Eskuineko panelean, helizitate espektral erlatiboaren diferentzia erakusten dugu,7 H(N, k) = ∆(+) A(N, k)−∆(−) A(N, k) ∆(+) A(N, k)+∆(−) A(N, k),(4.8) αΛ = 12 (goiko panelak), 14 (erdiko panelak) eta 18 (beheko panelak) mihiztaduretarako eboluzioa konparatzen dugu, atzera-eragin ahul, arin eta sendoko erregimenen adierazgarri, hurrenez hurren. Espektroen artean, denbora tarteak 0.5 e-foldekoa da; helizitate espektral erlatiboaren diferentziaren kasuan, ordea, maiztasuna 0.05 e-foldetara handitzen dugu, eboluzioa hobeto jarraitzeko. Atzera-eragin ahularen kasuan, A+ ( N, k )osagaia esponentzialki hazten dela ikusten dugu, eta A− ( N, k )kontrako helizitatea hutsean geratzen da bitartean. Hori dagokion eskuineko panelean islatzen da: inflazioaren amaierarako H ( N, k ) ≃ 1betetzen da moduak Hubbleren gaindikoak edo barnekoak diren kontuan hartu gabe. Espektroen UV zatian bertan, H ( N, k ) → 0da, sarearen barnean bi helizitateak oraindik hutsean dauden moduak daudelako ( k > 10 m ezkerreko panelean). Portaera hori bat dator aurreko konparazioekin, batez ere 4.3 irudian agertzen den osagai energetikoaren bilakaerarekin edo 4.10 irudiko gauge eremuaren espektroarekin αΛ = 12 mihiztadura bererako. Azken horretan, erregimen linealaren iragarpenetik desbiderapen minimoa ikusten da inflazioan zehar. Atzera-eragin arinaren kasuan (erdiko panelak), aldaketa nabarmena antzematen da. Hasiera batean, espero bezala, helizitate positiboa bakarrik hazten da, helizitate negatiboa kitzikatu gabe geratzen den bitartean. Hala ere, N = 0 baino lehenagoko ez-linealtasunen hasieran, ∆ (−) A ( N, k )hazten hasten da. Hazkunde hori hasieran oso arina da, eta N = 0 aldiunean ϵH = 1-era lehen aldiz ailegatzean (lerro gris etena), A− ( N, k )-en kitzikapena oso subdominantea da A+ ( N, k )kitzikapenaren aldean. Hala ere, inflazioan birsartzerakoan, aparteko 1 . 5e-foldetan (irudiko azken hiru lerroak), ∆ (−) A ( N, k )asko hazten da, eta ∆ (+) A ( N, k )-en azpitik geratu arren, eskala jakin batzuetan magnitudean alderagarria bihurtzen da. Efektu hori argi eta garbi hautematen da eskuineko panelean. Bertan, N = 0-tik aurrera (lerro laranjak) H -ren balio baxuagoetaranzko eboluzio argia ikusi 7 Testuinguru honetan H delakoa Hubbleren parametroaren denbora konformeko H = a′/a -ren desberdina da. 128 Axioi Inflazioaren Dinamika Ez-Linealaren Emaitzak laplacetar hobetuak, eta 8 N3 puntu total N3 puntuko sare batek estalitako eskalen fisika atzemateko. Gure emaitzek, aldiz, erakusten dute aldaketa horiek ez direla beharrezkoak sare bidezko diskretizazioaren eraikuntza gauge aldaezina bada eta eskala-bereizketa aski zabala bada. Simulazioen parametroei dagokienez, [171,172] lanetan eskalari dagokionez bi erregimen desberdin aztertzen dira: inflazioaren amaieratik gertu eta CMBaren eskala garrantzitsuetan. Lehenengoarentzat, aukeratutako sareen tamaina ( N∼ 256) ez dela nahikoa argudiatzen dugu, gauge eremuaren atzera-eragin sendoko eregimenean beharrezkoa den eskala banaketa zabalagoa baita. Hori garrantzitsua da batez ere αΛ = 25 bezalako balioentzat. Gainera, simulazioak inflazioa amaitu aurretik gelditzen dira lan horietan, eta funtsezko ezaugarri ez-linealak galtzen dituzte horrela. Adibidez, [173] lanean, αΛ = 18 kasurako emaitza batzuk kualitatiboki gure lehenengo [1] lanekoekin ados egon arren, aztertutako tarte dinamikoak mugatua izaten jarraitzen du. Behagarriei dagokienez, bai [171,172], bai [173] lanek perturbazio eskalarren fenomenologia aurkezten dute. Hala ere, kurbaduraren perturbazioen erauzketa gutxi gorabeherako metodoetan oinarritzen da, eta baliteke horiek dinamika ez-linealaren eragina guztiz ez jasotzea. Bereziki, ikusten dugun inflazioaren hedapen gehigarriak eragina izan dezake [171,172] lanen CMBaren inguruko eskalen ondorioetan. Gai hori sakonago aztertuko da azken kapituluan. Ondorio gisa, gure emaitzek argi erakusten dute axioi inflazioan atzera-eragin sendoaren deskribapen zehatza egiteko azterketa guztiz ez-homogeneoa behar dela. Horrek F˜ F terminoaren fluktuazio espazialak eta inflatoiaren gradienteen presentzia barne hartzen ditu. Emaitza horiek potentzial koadratikoarekiko espezifikoak diren edo unibertsalak diren galde daiteke. Hori dela eta, hurrengo kapituluan beste potentzialetara zabaltzen dugu gure azterketa. 5 Potentzialaren Eragina Axioi Inflazioan: Azterketa Konparatiboa Kapitulu honetan, potentzial koadratikorako aurrez lortutako emaitza berriak hartuko ditugu oinarri, eta eremu bakarreko inflazio-potentzialen multzo zabalago batera hedatuko dugu gure analisia. Hasteko, kasu koadratikotik haratago joateko beharra motibatzen dugu, eta gure azterketarako hautatutako potentzialak sartzen ditugu. Konfigurazio horri esker, emaitzak potentzial desberdinen bidez aurkeztu eta alderatu ditzakegu bi ikuspegi osagarrietatik. Lehenik eta behin, potentzial guztien portaera aztertzen dugu, atzera-eragin lokalaren metodoaren arabera, eta horrek aukera ematen digu haien portaera dinamikoa alderatzeko, unibertsaltasunak aurkitzeko, baina baita haien arteko desberdintasunak ere. Bigarrenik, sistemaren dinamika potentzial bakoitzerako konparatzen dugu, atzera-eragin lokalaren eta atzera-eragin homogeneoaren hurbilketa pean. Kapitulu honetan aipatuko ditugun potentzialen izenak ingelesez utziko ditugu, irakurleak errazago identifika ditzan. Gainera, ingelesez egon arren ez dugu letra etzanik erabiliko. 5.1 Eremu bakarreko inflazio-potentzialak 2.1 atalean, inflazioaren potentzialari bide ematen dion UV osoa den teoria bat formulatzearen garrantzia aurkeztu dugu. Izan ere, zuzenketa kuantikoak saihesteko testuinguru horren barruan sortu zen Natural inflation jatorrizko proposamena [50], axioi motako partikula batekin ereduaren inflatoi gisa. Are gehiago, ϕF ˜ F terminoa [62] lanean txertatzeko jatorrizko motibazioa, axioiaren desintegrazio-konstantea Planck eskalaren azpitik mantentzeko beharretik sortu zen, f < mp . Horrela, eredua egokiagoa bihurtzen da energia altuko fisika ereduen eraikuntzaren ikuspegitik, eta, gainera, behaketen murrizketak asetzen jarraitzen du. Zentzu horretan, tesi honetan inflazioaren potentzialen eraikuntza teorikoan sakontzen ez badugu ere, bai adierazten dugu ϕF ˜ F axioi inflazioaren dinamika tradizionalki jatorrizko V ( ϕ ) ∼ 1 −cos(ϕ/f) potentzial naturalarekin eta bereziki V ( ϕ ) ∼ϕ2 monomio potentzial 130 Potentzialaren Eragina Axioi Inflazioan: Azterketa Konparatiboa 0.94 0.96 0.98 1.00 Primordial tilt (ns) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Tensor-to-scalar ratio (r0.002) Convex Concave TT,TE,EE+lowE+lensing TT,TE,EE+lowE+lensing +BK15 TT,TE,EE+lowE+lensing +BK15+BAO Natural inflation Hilltop quartic model αattractors Power-law inflation R2inflation V∝φ2 V∝φ4/3 V∝φ V∝φ2/3 Low scale SB SUSY N∗=50 N∗=60 5.1 Irudia: ( ns, r )planoko inflazioko parametroen gaineko murrizketak. Planck 2018 datuetatik eratorri dira hainbat datu multzorekin konbinatuta. Profil koloredunak %68 eta %95 konfiantza-mailei dagozkie: TT, TE, EE + lowE + lensing (grisez), + BK15 (gorriz), eta + BK15 + BAO (urdinez). Inflazio-ereduen hainbat klaseren iragarpenak ageri dira: Natural inflation (morez), Hilltop quartic (berde urdinxkez), α -attractors (horiz), power-law inflation (lerro etena beltzez), R2 inflation (berde-kare kolorez), V ( ϕ ) ∝ϕn monomio potentzialak n = 2 (urre kolorez), 4 / 3(laranjaz), 1(gorri ilunez), eta 2 / 3low-scale SUSYbreaking inflation (marroiz). Iragarpen bakoitza N∗ = 50 (zirkulu txikiagoekin) eta N∗ = 60 (zirkulu handiagoekin) zenbakietarako erakusten da. Lerro beltz diagonalek horizontearen gurutzaketatik gertu potentzial ganbil eta ahurrak dituzten ereduak bereizten dituzte. kaotiko 1 sinpleenekin, aztertu dela. Erabilera hori aurreko kapituluko geure emaitzetan edo tesi honetan zehar aurkeztutako beste erreferentzia batzuetan ikusi daiteke (ikus [1,2,68,94,97,98,102,105,106,114 – 118,123,170 – 175], adibidez). Eredu horiek, ordea, ez dituzte hobesten, edo baztertu ere egiten dituzte, egungo CMBaren behaketek. Baieztapen horren froga gisa, 5.1 irudian Planck 2018 [43] emaitzen r vs ns diagrama sartu dugu, inflazioaren askotariko potentzial multzoa duena. 2 Gogoratu ns indize espektrala dela eta r eskalar-tentsore arrazoia, eta lehenak espektro eskalarraren inklinazioa neurtzen du eta bigarrenak espektro tentsorialaren eta espektro eskalarraren arteko erlazioa. Normalean k∗ = 0 . 002 Mpc−1 eskalan egiten da ebaluazioa (ikusi 1.5.2 eta 1.5.3 atalak kantitate horien xehetasunetarako). Aldagai horietarako, kolorezko profilek %68 (barrukoa) eta %95 (kanpokoa) konfiantza-mailak adierazten dituzte CMBko datu multzoen konbinazio ezberdinetarako: profil grisei Planck TT, TE, EE + lowE + lensing dagozkie; profil 1 Aurrerago ikusiko dugu, kapitulu honetan ere simulazioak egiten ditugula potentzial koadratikoarentzat (Chaotic Inflation), baina gainerakoekin alderatzeko egokia den mihiztadura-parametro sorta baten barruan. 2 Ohartu Planck 2018 [43] lanaren emaitzak adibide gisa erabiltzen ditugula. BICEP3 [44] laneko datuen hobekuntzek r -ren gaineko murrizketak are gehiago gogortzen dituzte, Atacama Cosmology Telescope (ACT) argitaratutako [45,46] lan berriek, tesi honen amaiera aldera argitaratuak, behaketek onartutako inflazioaren potentzialen paisaia partzialki birmolda dezakete. 5.1 Eremu bakarreko inflazio-potentzialak 131 gorrietan BK15 (BICEP2/Keck Array 2015) datu multzoak gehitzen dituzte; eta profil urdinetarako BAO (barioien oszilazio akustikoak) datu multzoa sartzen da. Inflazio-potentzial desberdinak r vs ns planoan lerro beltz sendo batekin banatzen dira euren forma ahur edo ganbilaren arabera, eta eredu bideragarrienak lehengo kategorian kokatzen direla ikusi dezakegu. Gehien hobetsitako kasuak plateau motako potentzialak dira, hala nola Starobinsky inflation (irudian R2 gisa etiketatuta) [34,176 – 178], α -attractors [179 – 183] eta Hilltop [184,185]. Oraindik grabitazio-uhin primordialen detekziorik egin ez denez, %95 konfiantza-mailan r∼ 0 . 056 goi-muga baino ezin da jarri. Horrek esan nahi du r hori baino balio txikiagoak iragartzen dituzten ereduak hobetsita daudela. Bereziki, Starobinsky inflation eta α -attractors margen handiarekin bat datoz behaketekin. Bestalde, lehen aipatu bezala, Natural inflation ez dago hain hobetsita, eta f axioiaren desintegrazio-konstantearen balio espezifikoak baino ez dira bateragarriak egungo murrizketekin. V ( ϕ ) ∼ϕn formako monomio potentzialek (Chaotic inflation), aldiz, r balio handiak iragartzen dituzte eta datuek gure V∼ϕ2 erreferentzia-kasua baimendutako eremutik kanpo kokatzen dute. Beste eredu batzuk, hala nola power-law inflation [186 – 188] eta low-scale spontaneously broken SUSY [189,190], erabat joeratik kanpo daude eta egungo mugek nabarmen baztertzen dituzte. Behaketek ezarritako murrizketa horien ondorioz, kapitulu honetan ϕF ˜ F axioi inflazioko ohiko eredu horietatik haratago joan nahi dugu, hots, Natural inflation eta potentzial koadratikoetatik (Chaotic inflation) haratago joan nahi dugu teorikoki ondo motibatutako eremu bakarreko potentzial klase zabalago batekin. 3 Egin dugun aukeraketa motibazio teorikoek zein egokitasun fenomenologikoak gidatu dute. 4 Ereduen askotariko paisaia bildu nahi dugu, supergrabitatea eta soken teoria bezalako funtsezko teorietan sustraitutakoak barne, baita inflazioaren dinamikako funtsezko ezaugarriak jasotzen dituzten eraikuntza fenomenologikoak ere. 5.1 taulak hautatutako ereduen laburpena jasotzen du: dagozkien izen eta ereduaren araberako parametroekin. Azken horiek, atzera-eragin gabeko inflazioa amaitu baina 60 e-fold aurreko anplitudea Planckenarekin bat etortzeko zehaztu dira [117,161]. Gainera, taulak potentzialen bertsio adimentsionala ere badu, dagokion energiaeskala bereizgarriarekin ( f∗ ) eta oinarrizko denbora-eskalarekin ( ω∗ ). Hautespen horri esker, potentzialaren formak eta egiturak atzera-eragin sendoko erregimenean duten efektuei buruzko ikerketa sakona egin daiteke. Irakurleak gure hautaketari buruz gehiago jakin dezan, ondorengo zerrendan 5.1 taulako potentzialen jatorriaren eta oinarrizko ezaugarrien laburpena egiten dugu: • Chaotic: Originalki [191] lanean garatua, Chaotic inflation ereduak inflazio dinamikaren gauzatze sinpleenetako bat adierazten du, eta V ( ϕ ) ∝ϕn bezalako monomio potentzialek ezaugarritzen dute. Nahiz eta Plancken datuek eredu horiek baztertu dituzten eskalar-tentsore arrazoi handiak aurresaten dituztelako, literaturan asko aztertu dira eta inflazioaren teoriaren garapen historikoan giltzarri izaten jarrai3 Ohartu ildo horretako analisi bera egin zela [116,117] lanetan, baina potentzialaren eragina kasu horretan aurreberotzearen eraginkortasunari eta grabitazio-uhinen sorkuntzari begira aztertu zen. 4 Zentzu horretan, aipatzekoa da [111] lanean gai hori lantzen dela behaketa baldintzak ad hoc betetzen dituen eraikitako potentzial batekin. 132 Potentzialaren Eragina Axioi Inflazioan: Azterketa Konparatiboa Izena V(ϕ)Konstanteak ˜ V(˜ ϕ)Ereduaren eskalak Monodromy µ3qϕ2+ϕ2 c−ϕcϕc=mp/10 q˜ ϕ2+ 1 −1f∗=ϕc µ= 6.0·10−4mpω∗=µ3/2/√ϕc Starobinsky V01−exp −|ϕ| v2v= 10mp/31−e−|˜ ϕ|2f∗=v V0= 6.2·10−10m4 pω∗=√V0/v Hilltop V01−|ϕ| v42v= 8mp1−˜ ϕ42f∗=v V0= 5.7·10−11m4 pω∗=√V0/v Chaotic 1 2m2ϕ2m= 6.16 ·10−6mp1 2˜ ϕ2f∗=ω∗=m Natural V01 + cos ϕ vv=√8πmp1 + cos ˜ ϕf∗=v V0= 5.9·10−10m4 pω∗=√V0/v α-attractor(2) Λ4 2tanh2|ϕ| M M= 8.79mp1 2tanh2|˜ ϕ|f∗=M Λ=7.16 ·10−3mpω∗= Λ2/M α-attractor(4) Λ4 4tanh4|ϕ| M M= 8.22mp1 4tanh4|˜ ϕ|f∗=M Λ=8.47 ·10−3mpω∗= Λ2/M 5.1 Taula: Lan honetarako simulatutako ereduetan erabilitako potentzialen forma eta eskala. ˜ V ( ˜ ϕ ) programa-aldagaietan adierazita ere sartzen dugu, eta f∗ energia-eskala tipikoaren eta ω∗ funtsezko denbora-eskalaren definizioa kasu bakoitzean. 0mp2mp3mp4mp φ 0 4·10−11 8·10−11 1.2·10−10 1.6·10−10 2·10−10 2.4·10−10 2.8·10−10 V(φ)/m4 p Monodromy Starobinsky Hilltop Chaotic Natural α-attractor(2) α-attractor(4) 5.2 Irudia: Kontuan hartutako potentzial guztien irudikapena. Gauge eremuaren atzera-eragina nabarmena izaten hasten den inflatoi eremuaren eskala garrantzitsuen inguruan erakusten ditugu. Izarrak Nini aldiuneari dagozkio kasu bakoitzean simulatutako αΛ sendoenerako (ikus 5.2 taula). Karratuak inflatoiaren eremuaren balioak dira N = 0 aldiunean, alegia, atzera-eragin gabeko inflazioaren amaieran. 5.1 Eremu bakarreko inflazio-potentzialak 133 tzen dute. Potentzial hori erreferentzia gisa hartzen dugu, gainerakoekin zuzenean alderatu ahal izateko. • Natural: Natural inflation axioietan oinarritutako lehen eredua izan zen, [192] lanean proposatua. Potentzialak forma periodikoa du eta berez apurtutako simetria globalek sortzen dute. Plancken datuekin bateragarria izateko, axioiaren desintegrazio-konstanteak Plancken eskalen gaindiko behar du [51], eta horrek ereduaren sendotasun teorikoa zalantzan jartzen du. ϕF ˜ F mihiztadura axiala [62] lanean eredua behaketarekin uztartzeko proposatu zen hasiera batean, Plancken eskalen azpiko desintegrazio-konstanteak ahalbidetzeko. • Monodromy: Axion Monodromy inflation eredua [53] lanean proposatu zen. Sokateoriak motibatutako inflatoiaren eremuaren balio handiko higidurak ahalbidetzen dituzten eredu multzo bat dira. Forma ezberdineko potentzialak sortzen ditu mekanismoak: forma linealak, zatikiak diren berreturak edo forma modulatuak. • Starobinsky: R2 inflation bezala ere ezagutzen da [34], eta Einstein-Hilbert ekintzan R2 termino bat gehitzetik sortzen da, inflazioan nagusi dena. Eraldaketa konforme baten bidez, teoria hori Einsteinen teoria estandar gisa idatz daiteke: eremu eskalar kanoniko batekin eta potentzial esponentzialki lau batekin [177,178]. •α -attractor( 2n ): α -attractor inflazioaren eredu super-konformeen klase bat osatzen dute [179,180]. α parametroa dute ezaugarri, eta inflatoiaren eremu espazioaren kurbadura kontrolatzeaz gain, inflazio iragarpenen unibertsaltasuna zuzentzen du. α txikientzat, portaera unibertsala erakusten du ereduak, ns eta r zenbakietarako behaketekin bateragarriak diren iragarpenekin. Klase honetako bi potentzial partikular kontsideratu ditugu T eredu izeneko azpimultzo batetik, eta biek tangente hiperbolikoaren potentzia bikoitien forma dute. Beste α -attractor batzuk E eredu gisa sailkatzen dira [179 – 181,193]. Haien forma esponentzial negatiboen araberakoa da, eta kasu partikular bat da talde horren barruan Starobinsky inflation eredua. • Hilltop: Inflazio mota hau, lehen aldiz [184] lanean proposatu zena, inflazioa potentzialaren maximo lokal batetik gertu gertatzen den eredu guztiei egiten die erreferentzia orokorki. Horregatik eremuaren balio txikiko dinamika izan ohi du. Eredu horiek potentzial laua dute ezaugarri, jatorritik gertu, eta malda handitu egiten da eremua urruntzen den heinean. Tesian [194] lanean proposatutako forma jakin bat aztertu dugu. 5.2 irudian, kontuan hartu ditugun potentzial guztien formaren konparazioa erakusten da gure simulazioek jasotako eskalen inguruan. Kontuan izan behar da minimoa ϕ = 0-tik urrun dutenak desplazatu egin ditugula konparazioak egiteko. Izarrak erabiliz eremu eskalarraren Nini hasierako uneko balioa adierazten dugu, kontuan hartutako mihiztaduraparametro handienerako (ikus hurrengo atala mihiztadura sendoenen balio espezifikoetarako eta dagozkien hasieraketa-uneetarako). Era berean, karratuak erabiltzen ditugu atzeraeragin gabeko inflazioaren amaiera adierazteko, hots, N= 0. 134 Potentzialaren Eragina Axioi Inflazioan: Azterketa Konparatiboa 0 mp 2mp 3mp 4mp 5mp φ 10−2 10−1 100 101 V 0 mp 2mp 3mp 4mp 5mp φ |ηV| Monodromy Starobinsky Hilltop Chaotic Natural α−attractor(2) α−attractor(4) 5.3 Irudia: Aztertutako potentzial bakoitzerako ϵV (ezkerrean) eta |η|V (eskuinean) slow-roll parametroen irudia. Potentzial bakoitzeko karratuak eta izarrek 5.2 irudiko e-fold berdinak adierazten dituzte. Potentzialen konparazioan gehiago sakontzeko, ϵV eta ηV slow-roll parametroen eboluzioa gehitu dugu 5.3 irudian. Gogoan izan (1.33) eta (1.34) gisa definitzen direla, eta eskalarekiko independentea den makurdurari eta potentzialaren ahurtasunari buruzko informazioa ematen dutela. Irudiak zenbait ereduren arteko antzekotasun nabarmenak erakusten ditu, bereziki profil koadratikoa erakusten dutenak, hau da, Natural, Chaotic, eta α -attractor(2), bi parametro garrantzitsuetan oso ondo lerrokatzen direlako. Gure simulazioek barne hartzen duten tartearen barruan, hau da, 5.3 irudian izarrak eta kutxak adierazitako tartean, hiru eredu horiek efektu konparagarriak sortzea espero dugu. Hala ere, aurretiazko azterketa horrek ez du nahikoa informazio ematen gainerako potentzialen antzeko portaera aurreikusteko, haien ezaugarriak nabarmenago aldentzen baitira parametro-espazio beraren barruan. 5.2 Sare bidezko inplementaziorako simulazio-parametroak Aurkeztutako potentzial multzorako, atzera-eragin sendoaren (SBR ingelesezko sigletan) barruan dauden mihiztadura-parametroen sistemaren dinamika aztertzea dugu helburu. Horretarako, potentzial bakoitzerako αΛ muga balioa ezarri behar dugu, atzera-eragin arineko erregimenetik atzera-eragin sendora trantsizioa markatzen duena. Hemendik aurrera SBR-limite deituko diogu. Horiek horrela, aurreko kapituluan potentzial koadratikorako 4.1irudiko beheko panelean egindakoaren antzera, potentzial bakoitzarentzat αΛ balio minimoa identifikatu behar dugu. Horrek inflazio zonaldetik irten gabe, ∆Nbr >0e-fold gehigarriei emango die bide atzera-eragin gabeko kasuarekin konparatuta. 5.4 irudian, 5.2 taulako 7 potentzialen emaitza erakusten dugu. Bertan, ϵH -ren eboluzioa irudikatzen dugu N e-fold kopuruarekiko, kasu bakoitzean SBR-limitea ezartzen duen αΛ mihiztadurarako. SBR-limitea ezartzen dugu gailurraren maximoak (puntu koloredunak) 5.2 Sare bidezko inplementaziorako simulazio-parametroak 135 012345 N 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 H Monodromy Starobinsky Hilltop Chaotic Natural α−attractor(2) α−attractor(2) 5.4 Irudia: ϵH -ren eboluzioa potentzial bakoitzerako SBR-limite bezala ezarri dugun αΛ baliorako, denak 5.2 taulan bilduta. Kasu bakoitzean, ϵH -ren lehen gailurreko puntu maximoan puntu koloredun bat gehitzen dugu. ϵH= 1.00 ±0.05 eskualdea eremu gris batekin adierazten dugu. ϵH = 1 . 00 ± 0 . 05 balioan daudela aurkitu nahian. SBR-limitea guk ezarri dugun muga artifiziala denez, emandako balioak behar bezain zehatzak direla uste dugu, eta ez ditugu digitu hamartar gehiago sartzen αΛ balioan. 5.2 taulan, potentzial bakoitzerako ezarri dugun SBR-limitearen balioa sartu dugu. Gure interesa potentzial bakoitzak atzera-eragin sendoko erregimenean duen portaeran zentratzen denez, SBRko αΛ balio multzo bat aztertuko dugu: SBR-limiteari dagokiona, eta +%5,+1%0,+%15 eta +%20 igoerak kontuan hartzen dituena. Aukeraketa hori SBR-limitearen αΛ potentzial batetik bestera desberdina delako egiten dugu. Kopuru erlatiboetan handituz, termino erlatiboetan konparaketa era fidagarriagoan egiteko gai gara. Mihiztadura-parametro horien erregimen ez-lineala simulatzeko, 3kapituluan ezarritako prozedura berari jarraituko diogu. Horretarako, beharrezko tarte dinamikoa kontu handiz ezarriko dugu eta erregimen ez-linealaren hasiera egoki identifikatuko dugu. Kasu honetan, behar den simulazio kopurua dela eta, EGF hasieraketa-teknika erabiltzen dugu (ikus 3.2.1 atala). Horrela, kitzikatutako gauge eremu batetik zuzenean abiatu gaitezke 5.2 taulan potentzial eta mihiztadura bakoitzerako ezarritako Nini hasierako unerako. Eboluziorako (3.41) , (3.42) eta (3.44) sare bidezko ekuazio osoak erabiltzen ditugu. Taula berean sartzen dira, aipatutako errezeta jarraituz, sareek dimentsioko zenbat N gune dituzten, uhin-luzera handienari lotutako ˜ kIR = kIR/ω∗ sareko dimentsiorik gabeko uhin-zenbakia, eta txikienari lotutako ˜ kUV =kUV/ω∗. 136 Potentzialaren Eragina Axioi Inflazioan: Azterketa Konparatiboa Potentziala αΛ˜ kIR ˜ kUV Nini N Monodromy SBR-lim. : 18.9 +5% : 19.8 +10% : 20.8 +15% : 21.7 +20% : 22.7 0.1 41.569 -0.6 480 0.1 41.569 -0.7 480 0.1 41.569 -0.8 480 0.1 62.354 -0.9 720 0.1 96.995 -0.9 1120 Starobinsky SBR-lim. : 17.8 +5% : 18.7 +10% : 19.6 +15% : 20.5 +20% : 21.4 0.2 83.138 -0.9 480 0.2 83.138 -1.0 480 0.3 187.061 -0.9 720 0.3 299.298 -1.0 1152 0.3 299.298 -1.0 1152 Hilltop SBR-lim. : 20.8 +5% : 21.8 +10% : 22.9 +15% : 23.9 +20% : 25.0 0.9 374.123 -0.7 480 0.9 374.123 -0.8 480 0.9 561.184 -0.9 720 0.9 897.895 -1.0 1152 0.9 872.954 -1.0 1120 Chaotic SBR-lim. : 14.25 +5% : 15.0 +10% : 15.7 +15% : 16.4 +20% : 17.1 0.3 124.708 -0.9 480 0.3 124.708 -1.0 480 0.4 249.415 -1.0 720 0.4 399.065 -1.0 1152 0.4 387.979 -1.0 1120 Natural SBR-lim. : 14.9 +5% : 15.6 +10% : 16.4 +15% : 17.1 +20% : 17.9 0.2 83.138 -1.0 480 0.2 83.138 -1.2 480 0.3 187.061 -1.2 720 0.3 299.298 -1.2 1152 0.3 349.181 -1.2 1344 α-attractor(2) SBR-lim. : 15.2 +5% : 16.0 +10% : 16.7 +15% : 17.5 +20% : 18.2 0.3 124.798 -0.9 480 0.3 187.061 -1.0 480 0.4 249.415 -1.0 720 0.4 399.065 -1.0 1152 0.4 387.979 -1.0 1120 α-attractor(4) SBR-lim. : 12.6 +5% : 13.2 +10% : 13.9 +15% : 14.5 +20% : 15.1 0.1 41.569 -1.0 480 0.1 99.766 -1.1 1152 0.1 133.022 -1.3 1536 0.1 133.022 -1.5 1536 0.1 133.022 -1.5 1792 5.2 Taula: Potentzial bakoitzerako erabilitako sareko parametroen bilduma. Simulatutako αΛ mihiztaduraparametroak SBR-limiteari dagozkio eta +5%,+10%,+15%, eta +20% gehikuntzak limitetik horretatik gora. 5.3 Emaitzak 137 5.3 Emaitzak Atal honetan, gure potentzialen eta mihiztadura-parametroen multzorako, atzera-eragin sendoaren analisiaren emaitzen berri emango dugu. Atal hau bi azpiataletan banatuko dugu. 5.3.1 atalean, lehenik eta behin, potentzial desberdineko simulazioen emaitzak aurkezten ditugu, eta haien arteko konparazio sistematiko bat egiten dugu. Ondoren, 5.3.2 atalean, konparaketa hau luzatzen dugu atzera-eragin homogeneoaren hurbilketaren emaitzak sartzeko, eta, horrela, teknika horren baliozkotasun tartea ebaluatzeko. Ohartu hiru erreferentziazko potentzial erabiltzen ditugula emaitzak aurkezteko: Natural, Monodromy, eta α -attractor(4). Atalean zehar ikusiko dugunez, gainerako potentzialek hiru horietako baten antza dute gehienbat, eta, beraz, egokiak dira behatutako joerak erakusteko. 5.3.1 Dinamika atzera-eragin sendoko erregimenean Aurreko kapituluan konturatu gara, potentzial koadratikorako atzera-eragin sendoko erregimenean dinamikak ezaugarri adierazgarri bat duela: inflazioaren luzapen gehigarri nabaria. Fase hori, inflatoiaren energia potentzialetik gauge sektorera energia eraginkorraren etengabeko transferentziari esker mantentzen da. Horren ondorioz, energia-dentsitateari egiten zaion ekarpen elektromagnetikoa gero eta nagusiagoa da inflatoiaren zati zinetikoaren aldean. Azken horrek ez-homogeneotasunen sorkuntza ez-arbuiagarria erakusten du, gradienteen energia-dentsitate gisa. Energia-hierarkia berri hori da inflazioan e-fold gehigarriak agertzearen erantzulea. Inflazioak aurrera egiten du ekarpen elektromagnetikoa potentzialaren parekoa bihurtu arte, eta, ondorioz, inflazioa erabat berotutako unibertso batekin amaitzen da. Erregimen berri horri axioi inflazioaren slow-roll elektromagnetikoa izena eman diogu lehen. 5.5 irudiko ezkerreko paneletan, ekarpen totalarekiko normalizatutako sistemaren, energiadentsitateari egindako ekarpenen bilakaera erakusten dugu SBR+%10 mihiztadurak dituzten hiru erreferentziazko potentzialentzat: potentziala (beltzez), zinetikoa (gorriz), gradientea (urdinez) eta elektromagnetikoa (morez). Balio kuantitatibo espezifikoez haratago, ikusten dugu eredu desberdinen arteko adostasun kualitatibo ona dagoela, eta, gainera, 4kapituluan aurkeztutako eta aurreko paragrafoan laburbildutako emaitzekin ere bai. Zehazki, atzera-eragina hasi ondoren, slow-roll elektromagnetikoaren ondorioz inflazioaren aldi gehigarria dago (horren amaiera lerro beltz bertikal bat erabiliz adierazita). Era berean, kasu guztiek erakusten dute aldi horretan gradienteen energia zinetikoaren parekoa bihurtzen dela. Are gehiago, amaieran gainditu egiten du eta gutxi gorabehera energia totalaren %10 eskuratu dezake ereduaren arabera. 5.5 irudiko eskuineko paneletan, energia elektromagnetikoaren dentsitate totalaren bilakaera erakusten dugu (lerro jarraitu morez), eta osagai magnetiko (lerro eten laranjaz) eta elektrikoetan (lerro eten berdez) deskonposatzen da erreferentziazko potentzial bakoitzerako. Irudian ikusten dugun beste ezaugarri garrantzitsu bat, slow-roll elektromagnetikoaren erregimenean energia-dentsitate magnetikoaren ekarpena elektrikoaren gainetik nagusitzen dela da. Hiru kasuetan, sistema ρE dominante batekin hasten da, eta murrizten doa atzeraeragina esanguratsua bihurtzen denean, eta, azkenean, ekarpen magnetikoak gainditzen du.