Konstruktion einer unterjährlichen Markov-Kette aus einer jährlichen Markov-Kette - Eine Verallgemeinerung des linearen Ansatzes

Forschung am ivwKöln Band 7/2017 Konstruktion einer unterjährlichen Markov-Kette aus einer jährlichen Markov-Kette - Eine Verallgemeinerung des linearen Ansatzes Ralf Knobloch Forschung am ivwKöln, Band 7/2017 Ralf Knobloch Forschungsstelle FaRis Konstruktion einer unterjährlichen Markov-Kette aus einer jährlichen Markov -Kette - Eine Verallgemeinerung des linearen Ansatzes Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wird ausgehend von einer jährlichen inhomogenen Markov-Kette eine unterjährliche bewertete inhomogene Markov-Kette konstruiert. Die Konstruktion der unterjährlichen Übergangsmatrizen basiert auf der Taylorreihe der Potenzfunktion bzw. deren Partialsummen. Dieser Ansatz ist eine Verallgemeinerung des Falls, dass die unterjährlichen Übergangsmatrizen durch Interpolation der jährlichen Übergangsmatrizen und der Einheitsmatrix definiert werden. Anschließend liegt der Fokus der Arbeit auf der Verteilung der Zufallsvariablen „Barwert des Zahlungsstroms“ bzw. auf der zugehörigen charakteristischen Funktion, einem EDV-technischen Verfahren zur Berechnung der Momente der Zufallsvariablen und dessen Anwendung in zwei Fallbeispielen. Abstract In the present paper it will be shown how a priced inhomogeneous Markov chain with periods less than a year can be designed from a given inhomogeneous Markov chain with annual time periods. The construction is based on the Taylor series and their partial sums of the power function. This approach is a generalization of the case, where the transition matrices are given by linear interpolatio n of the yearly transition matrices and the identity matrix. Afterwards we focus on the distribution of the random variable “present value of the cash - flow” and on the associated characteristic function, respectively, as well as an IT method for calculatin g the moments of the random variable and its application for two case studies. Schlagwörter : Markov -Kette, Bewertete Markov-Kette, Barwert, charakteristische Funktion Keywords : Markov Chain, Priced Markov Chain, Present Value, Characteristic Function - 1 - Inhaltsverzeichnis 1. EINLEITUNG ........................................................................................................................................ 2 2. DAS JÄHRLICHE MODELL ............................................................................................................... 4 3. SPEZIELLE PARTIALSUMMEN UND REIHEN VON MATRIZEN ................................................. 5 4. KONSTRUKTIONSVORAUSSETZUNGEN .................................................................................... 15 5. KONSTRUKTION DES UNTERJÄHRLICHEN MODELLS ........................................................... 16 6. BEWERTETE INHOMOGENE MARKOV-KETTEN ....................................................................... 17 7. FALLBEISPIEL 1: KREDITAUSFALL ............................................................................................. 24 8. FALLBEISPIEL 2: BETRIEBLICHE ALTERSVERSORGUNG ..................................................... 27 9. FAZIT .................................................................................................................................................. 30 LITERATURVERZEICHNIS ....................................................................................................................... 31 - 2 - 1. Einleitung Stochastische Prozesse haben in den Wirtschaftswissenschaften die vielfältigsten Anwendungen. Sie werden zur Modellierung sowohl bei klassischen betriebswirtschaftlichen Sachverhalten als auch bei speziellen Fragestellungen in den Bereichen Insurance und Finance eingesetzt. Eine der wichtigsten Modellklasse bilden die Markov-Ketten, d.h. gedächtnislose stochastische Prozesse mit diskretem Zustandsraum. Die Zeitachse der Markov-Ketten kann dabei entweder diskret oder stetig modelliert werden. Bezüglich der zeitlichen Dynamik werden in den Wirtschaftswissenschaften sowohl homogene als auch inhomogene Modelle eingesetzt. Als Beispiele für die Anwendung von Markov-Ketten bei klassischen betriebswirtschaftlichen Fragestellungen seien hier die Themen Warteschlangensysteme, Lagerhaltung und (Markovsche) Entscheidungsprozesse genannt (vgl. [14]). In der Personenversicherungsmathematik werden Markov-Ketten zur Kalkulation von Barwerten, Reserven und Prämien verwendet (vgl. [12], [13], [6], [7], [8], [10], [11]). Die in den Wirtschaftswissenschaften verwendeten Modelle basieren oft auf jährlichen Beobachtungen und werden daher i.d.R. zunächst als stochastische Prozesse in diskreter Zeit modelliert, bei denen der Abstand zwischen zwei Zeitpunkten als ein Jahr interpretiert wird. Die Modelle werden anschließend verfeinert und bei unterjährlichen Fragestellungen angewendet. Ein Beispiel dafür ist die Modellierung von Zahlungsströmen in der Finanzund in der Versicherungsmathematik. Die Zahlungen im Kontext von Banken und Versicherungen erfolgen in der Praxis, z.B. bei Rentenzahlungen oder bei der Tilgung eines Kredits, meist unterjährlich (z.B. monatlich oder quartalsweise). Bei der Anwendung auf unterjährliche Fragestellungen ist es wichtig, wie die ursprünglich jährlichen Übergangswahrscheinlichkeiten auf das Jahr verteilt werden. Sei z.B. Q die Übergangsmatrix des t -ten Jahres und [ ] α +−− 1 t,1t mit ( ) 1,0∈α ein zum Jahresanfang beginnendes Teilintervall des t -ten Jahres, so wäre – in Analogie zu den Zinsmodellen der Finanzmathematik – die Potenz α Q ein sinnvoller Ansatz für die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten dieses Teilintervalls. Diese Potenz kann aber nur in Sonderfällen definiert werden. Und selbst in einfachen Fällen, in denen α Q definiert werden kann, ist nicht gewährleistet, dass es sich dann um eine stochastische Matrix handelt. So existiert zwar für stochastische Matrizen mit der Ordnung 3x3 , die zugleich obere Dreiecksmatrizen sind, die Wurzel (d.h. die Potenz mit 5,0 =α ), diese muss aber keine stochastische Matrix sein (vgl. [9]). Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Übergangswahrscheinlichkeiten linear über das Jahr zu verteilen, d.h. die Übergangsmatrix des Intervalls [ ] α+−− 1t, 1t durch Interpolation der jährlichen Übergangsmatrix und der Einheitsmatrix anzusetzen (vgl. [11]). - 3 - Die in dem vorliegenden Artikel gewählte Methode zur Verteilung basiert für ( ) 1,0∈α auf der Taylorentwicklung der reellwertigen Funktion α →xx an der Stelle 1x 0 = . Die Übergangsmatrix für das Intervall [ ] α+− −1t ,1t wird durch das Einsetzen der jährlichen Übergangsmatrix in die Taylorreihe bzw. alternativ in die m -te Partialsumme definiert. Es zeigt sich, dass die Verwendung der 1 -ten Partialsumme der oben beschriebenen linearen Verteilung der Übergangswahrscheinlichkeiten entspricht. Bei der hier dargestellten Vorgehensweise muss aber – insbesondere bei der Verwendung der Taylorentwicklung – nachgewiesen oder vorausgesetzt werden, dass es sich dann bei den Ergebnissen um stochastische Matrizen handelt. Die so konstruierte unterjährliche Markov-Kette wird im zweiten Teil des Artikels mit einer Bewertung versehen, d.h. zu jedem Zeitpunkt wird in Abhängigkeit des jeweiligen Zustands eine Leistung definiert. Im Mittelpunkt des Interesses steht anschließend der Barwert dieser Bewertung bezogen auf ein endliches Zeitintervall. Somit befindet man sich z.B. im Kontext der klassischen finanzmathematischen Aufgabenstellung „Berechnung des Barwerts eines endlichen Zahlungsstroms“. Da der Barwert hier als Zufallsvariable im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie angesetzt wird, stellt sich die Frage nach der Verteilung. Es ist zwar nicht möglich, die Verteilungsfunktion darzustellen, es kann aber eine Formel für die charakteristische Funktion hergeleitet werden. Gemäß Eindeutigkeitssatz ist dies als Ergebnis gleichwertig, da die charakteristische Funktion einer Zufallsvariablen deren Verteilung eindeutig festlegt (vgl. [3]). Das hier vorgestellte Modell wird in der Literatur auch als bewertete Markov-Kette bezeichnet. Es hat in den Wirtschaftswissenschaften eine Vielzahl von Anwendungen. Beispielsweise wird es bei Lagerhaltungsmodellen eingesetzt, dabei steht die Bewertung für die mit der Lagerhaltung verbundenen Kosten (Bestellkosten, Lagerkosten und Fehlmengenkosten). In anderen ökonomischen Anwendungen modelliert die Bewertung zustandsabhängige Gewinne (vgl. [14] S.45ff). In der Finanzund Versicherungsmathematik werden bewertete Markov-Ketten zur Modellierung risikobehafteter Zahlungsströme verwendet. Analog zur charakteristischen Funktion kann auch eine Formel für die momentenerzeugende Funktion des Barwerts der Bewertung hergeleitet werden. Mithilfe der Differentialrechnung können aus der momentenerzeugenden Funktion die höheren Momente dieser Zufallsvariablen berechnet werden. Zum Abschluss dieses Artikels werden daher in zwei Fallbeispielen bei den unterschiedlichen unterjährlichen Verteilungen die Momente „Erwartungswert“ und „Standardabweichung“ analysiert bzw. verglichen. - 4 - 2. Das jährliche Modell Gegeben sei eine Markov-Kette ( ) ,... 2 ,1 ,0 t t X= mit dem endlichen Zustandsraum }N,...,2,1,0{S = . Dabei steht der Zeitpunkt t für den Beginn des )1t( + -ten Jahres bzw. die Zufallsvariable t X für den Zustand zu Beginn des )1t( + -ten Jahres, ,...2, 1 ,0 t= . Die Übergangswahrscheinlichkeiten vom Zeitpunkt 1t − zum Zeitpunkt t seien gegeben durch die (N+1)x(N+1)-Matrix ( ) S k,j jk )t(q)t(Q ∈ = , d.h. ,...2,1t ,Sk,j ),jX|kX(P:)t(q 1ttjk =∈=== − (vgl. [6]). Da die Übergangsmatrizen explizit von dem Zeitparameter t abhängen, heißt die Markov-Kette inhomogen (vgl. [12] S.16f, [14] S.11). Die Verteilung der Zufallsvariablen t X , ,...2 ,1 , 0t = , sei gegeben durch den Zeilenvektor ( ) S j j ,tt PP ∈ = , d.h. Sj ,P)jX( Pj,t t∈== . Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass 0 P vorgegeben ist und alle Wahrscheinlichkeiten, Verteilungen und Momente gegeben dieser Anfangsverteilung berechnet werden. Unter Anwendung der Chapman-Kolmogorov-Gleichung für Markov-Ketten (vgl. [12] S.14) ergibt sich für ,...2,1,0t = ∏ = ⋅= t 1s 0t )s(QPP (vgl. [6]). - 5 - 3. Spezielle Partialsummen und Reihen von Matrizen Im Verlauf des Artikels werden basierend auf dem jährlichen Modell – wie in der Einführung ausgeführt – unterjährliche Markov-Ketten konstruiert. Von entscheidender Bedeutung ist dabei die Verteilung der jährlichen Übergangswahrscheinlichkeiten auf das Jahr. Mit Blick auf die Potenz α Q , ( ) 1,0∈α , einer stochastischen Matrix Q werden die unterjährlichen Übergangsmatrizen – analog zur Neumannschen Reihe – über eine Reihe bzw. über eine endliche Summe definiert. Wir betrachten zunächst für ( ) 1,0∈α die Taylorreihe der reellwertigen Funktion IRx,x)x(f ∈= α an der Stelle 1x 0 = . Diese ergibt sich mit ( ) ( ) ( ) ( ) ∑∑ ∏∑ ∞ = ∞ = − = ∞ = −⋅        α =−⋅−α⋅=− ⋅ 0u u 0u u 1u 0v0u u )u( 1x u 1xv !u 1 1x !u )1(f , dabei ist ∏ = +−α =        α u 1v v 1v : u der verallgemeinerte Binomialkoeffizient. Für 2x0 ≤≤ gilt ( ) α ∞ = =− ⋅        α ∑ x 1x u 0u u . In den Fällen 2x > und 0x < divergiert die Reihe. Beides folgt aus dem Konvergenzverhalten der Binomialreihe (vgl. [5] S.382f). Setzt man q1 x−= , so erhält man insbesondere für 1q0 ≤≤ die Gleichung ( ) α ∞ = − =−⋅        α ∑)q1( q u 0 u u . Für 1 q0 < ≤ ist die Konvergenz absolut, dies ergibt sich durch Anwendung des Quotientenkriteriums für Reihen (vgl. [5] S.205f). Im Folgenden sei Q eine stochastische Matrix und E die Einheitsmatrix. Beide Matrizen seien von der Ordnung (N+1)x(N+1). Dabei werden die Zeilen und Spalten der beiden Matrizen in Anlehnung an den Zustandsraum des jährlichen Modells mit N,,1,0  durchnummeriert. Zunächst setzen wir die beiden Matrizen in die m -te Partialsumme der Taylorreihe ein und erhalten die Matrix ( ) ∑ = α−⋅        α =m 0u u m, EQ u :Q , ( ) 1,0∈α , INm∈ . - 6 - Die Einträge der Matrix Q m,α werden mit ij m, q α bezeichnet. Beispiele: a) Es sei () 1 ,0 ∈ α und 1 m= . Es gilt ( ) ( ) ( ) E)1(QEQEEQ 1 EQ 0 QQ 10 1,m, ⋅α−+⋅α=−⋅α+=−⋅        α +−⋅        α ==αα , d.h. Q und E werden linear interpoliert. Da Q und E beides stochastische Matrizen sind, hat auch Q 1,α keine negativen Einträge. Für die Zeilensumme der i -ten Zeile ergibt sich ( ) 1e)1(qe)1(qq N 0j ij N 0j ij N 0j ijij N 0j ijm, =⋅α−+⋅α=⋅α−+⋅α= ∑∑∑∑ ==== α . Somit ist Q 1,α immer eine stochastische Matrix. b) Es sei 2N = , d.h. betrachten 3x3-Matrizen. Ferner 2 1 =α und 2m = . Die stochastische Matrix Q sei gegeben durch           − −− = 10 0 c c1 0 ba ba 1 Q mit ]1 , 0 [ c , b,a ∈ und 1b a≤+ . Somit ergibt sich () ( ) ( )           − ⋅+⋅−−⋅ −⋅−− + =−           − −− =− =− 0 00 cc0 ca ba bca baa)b a ( E Q 000 cc 0 ba ba EQ EEQ 22 222 2 1 0 und man erhält - 7 - ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                   +−− ⋅−⋅+ + ⋅+⋅+ + + − + − = =−⋅−−⋅+= =−⋅         +−⋅         +−⋅         == α 100 8 c 2 c 8 c 2 c 10 8 cabab 2 b 8 cabaa 2 a 8 )ba( 2 ba 1 EQ 8 1 EQ 2 1 E EQ 22 1 EQ 12 1 EQ 02 1 QQ 22 222 21 210 2, 2 1m, Wie betrachten zwei Fälle: 5, 0 c ,1 b , 0 a= == :           == α 100 28125,071875,00 625,00375,0 QQ 2, 2 1m, 5, 0c ,0b ,1 a= == :          − == α 100 28125,071875, 00 0625,06875,0375,0 QQ 2, 2 1m, Im ersten Fall ist Q 2, 2 1 eine stochastische Matrix, im zweiten Fall nicht. Somit ist selbst bei stochastischen Matrizen, die als obere Dreiecksmatrizen gegeben sind, nicht gewährleistet, dass Q m ,α eine stochastische Matrix ist. Da dies aber zur der Konstruktion der unterjährlichen Markov-Ketten notwendig ist, wird später u.a. vorausgesetzt, dass Q m,α eine stochastische Matrix ist. Setzt man die stochastische Matrix Q und die Einheitsmatrix E in die Taylorreihe ein, so ergibt sich formal der Ausdruck ( ) ∑ ∞ = ∞ α −⋅        α = 0u u , EQ u :Q , ( ) 1,0∈α . Die Einträge der Matrix Q ,∞ α werden mit ij,q ∞α bezeichnet. Es stellt sich dann direkt die Frage nach der Konvergenz der Reihe bezogen auf die Einträge in den Matrizen. Die folgenden Beispiele zeigen, dass die Konvergenz nicht immer gegeben ist. Beispiele: Es sei () 1 ,0∈α . a) Für EQ = ist die Konvergenz trivial, da ( ) u EQ − für 1u ≥ die Nullmatrix ist. b) Es sei        − =10 qq1 Q mit 1q0 ≤≤ . Dann gilt für INu∈ - 14 - Bemerkung: Es sei INm∈ . Analog zur Definition der Matrix Q m, α mit ( ) 1,0∈α lässt sich auch hier die Matrix Q m ,α mit ( ) 0,1−∈α durch ( ) ∑ = α− ⋅        α =m 0u u m, EQ u :Q definieren. Allerdings gelten die analogen Aussagen zu Satz 2 in diesem Fall nicht, wie das folgende einfache Beispiel zeigt. Es seien 1 m= und )1,0(∈α . Es gilt: ( ) ( ) ,E)EQ(E )EQ()EQ()EQ(E)EQ(E)EQ(EQ Q 22 22 1,1, ≠−⋅α−= =−⋅α−−⋅α+−⋅α−=−⋅α+⋅−⋅α−=⋅αα− sofern 2 )E Q( − nicht die Nullmatrix ist. Somit ist Q m , α− im Allgemeinen nicht die inverse Matrix zu Q m, α . - 15 - 4. Konstruktionsvoraussetzungen Es seien INT∈ und { } ∞∪∈INm fest. Dabei steht T für die Anzahl der unterjährlicher Zeitpunkte des im nächsten Kapitel eingeführten Modells. Ein endliches m bedeutet, dass die im letzten Kapitel eingeführte m -te Partialsumme zur Konstruktion der unterjährlichen Markov-Ketten verwendet wird. Im Falle ∞=m wird die Potenzreihe zugrunde gelegt. Für beide Ansätze werden die Voraussetzungen wie folgt formuliert werden: (B1) )t(Q m ,α ist für alle INt∈ und alle      − ∈α T 1T ,, T 2 , T 1 eine invertierbare stochastische Matrix. (B2) ( ) )t(Q)t(Q m, 1 m, α − β ⋅ ist für alle INt∈ und alle      − ∈βα T 1T ,, T 2 , T 1 , mit 10 <α<β< eine stochastische Matrix. Bisher wurde )t(Q m,α gemäß dem vorherigen Kapitel lediglich für )1, 0(∈ α definiert. Benötigt werden die Matrizen aber auch für 0 =α und 1 =α . Setzt man E :)t( Q m ,0 = , so sind trivialerweise (B1) für 0 = α und (B2) für 0=β erfüllt. Ferner wird (B2) durch die Setzung )t(Q:)t(Q m,1 = ausgeweitet. Insgesamt werden die Voraussetzungen wie folgt modifiziert: (B1) )t( Q m,α ist für alle INt∈ und alle      − ∈α T 1T ,, T 2 , T 1 ,0  eine invertierbare stochastische Matrix. (B2) ( ) )t(Q)t(Q m, 1 m, α − β ⋅ ist für alle INt∈ und alle      − ∈ βα T T , T 1T , , T 2 , T 1 ,0 , mit 1 0≤α<β≤ eine stochastische Matrix. - 16 - 5. Konstruktion des unterjährlichen Modells Es seien INT∈ und { } ∞∪∈INm . Dabei gibt der Parameter m vor, ob die unterjährlichen Übergangsmatrizen auf Basis der m -ten Partialsumme oder im Fall ∞=m auf Basis der Potenzreihe angesetzt werden. Der Parameter T gibt die Anzahl der unterjährlichen äquidistanten Zeitpunkte an. Die Konstruktionsvoraussetzungen (B1) und (B2) seien erfüllt. Die Konstruktion der unterjährlichen Markov-Kette erfolgt mit Satz 4 aus ([9]). Danach ist ausreichend, ein System von unterjährlichen Übergangsmatrizen zu definieren, so dass das Produkt der unterjährlichen Übergangsmatrizen die jeweilige jährliche Übergangsmatrix ergibt. Der Beweis für dieses Konstruktionsprinzip basiert auf dem Satz von Kolmogorov ([3] S.257f). Vorgegeben sei ein äquidistantes unterjährliches Zeitraster:  T 2 2, T 1 2, T 0 2 2, T 1T 1 , T 2 1 , T 1 1 , T 0 1 1, T 1 T ,, T 2 , T 1 , T 0 0+++= − ++ ++ = − = Die Menge der Zeitpunkt lässt sich wie folgt parametrisieren:      == − + − , 2 ,1 t; T, 1s T 1 s 1 t Definiere in Anlehnung an die Notation von [9] Satz 4 für T,, 2,1 s= und ,2,1t = die folgenden Übergangsmatrizen: )t(Q)t(Q:)m,T,t,s(R m, T s 1 m, T 1s ⋅         = − − Dann gilt für alle ,2,1t = : )t(Q)t(QE)t(Q)t(Q)t(Q)t(Q)m,T,t,s(R 1 m, T T 1 m, T 0 T 1s m, T s 1 m, T 1s T 1s =⋅=⋅         =⋅         = − − = − − = ∏∏ Somit existiert eine unterjährliche Markov-Kette  ,Y,Y,Y,,Y,Y,Y,,Y,Y,Y T 1 2 2 T )1T( 1 T 1 1 1 T )1T( T 2 T 10 + − + + − mit der Anfangsverteilung 0 P und den unterjährlichen Übergangsmatrizen ( ) ( ) m,T,t,sr)m,T,t,s(R j,i = , d.h. )m, T,t,s(rlYk YP k,l T 1 T s 1t T s 1t =       == −+− +− für alle { } N,...,2,1,0k,l ∈ , T,,2,1 s= und ,2,1t = . - 17 - 6. Bewertete inhomogene Markov-Ketten Es seien wie im letzten Kapitel INT∈ und { } ∞∪∈INm . Gegeben sei ferner die im letzten Kapitel konstruierte unterjährliche Markov-Kette T,1,s , ,...2,1t T )1s( 1t Y == − +−       . Für diesen stochastischen Prozess wird nun durch die Spaltenvektoren N,...,2,1,0j j, T )1s( 1t T )1s( 1t LL = − +− − +−       = , ,...2,1t = , T,...,2,1s = , eine Bewertung definiert, d.h. jeder Kombination aus Zustand N,,2,1,0j = und Zeitpunkt T )1s( 1t − +− , ,... 2 ,1 t= , T,...,2,1s = , wird eine reelle Zahl zugeordnet. Der stochastische Prozess T,1,s , ,...2,1t T )1s( 1t Y == − +−       wird dann als bewertete inhomogene Markov-Kette bezeichnet. Der Barwert der Bewertung für die ersten n Jahre, wird durch ∑∑∑ == − +− − =     =⋅−⋅⋅= − +− n 1 t T 1s j, T )1s( 1t 1t N 0j jY 0L)1s(vv1:)n,T(B T )1s( 1t definiert. Dabei sei v der Diskontierungsfaktor für ein Jahr gegeben durch r1 1 v+ = und 0r > der zeitlich konstante Rechnungszins pro Jahr. Ferner sei )1s(v − der Diskontierungsfaktor für das unterjährliche Intervall      − +T 1s t,t . Für den unterjährlichen Diskontierungsfaktor gibt es die unterschiedlichsten Ansätze. Die beiden Gebräuchlichsten sind die lineare Verzinsung, d.h. r T 1s 1 1 ) s(v ⋅ − + = , und die exponentielle Verzinsung, d.h. T 1s )r1( 1 )s(v − + = . Der lineare Ansatz führt in Kombination mit der jährlichen Verzinsung mit Zinseszins zur relativ gemischten Verzinsung, der exponentielle Ansatz zur konformen Verzinsung (vgl. [1]). - 18 - Wir betrachten nun die charakteristische Funktion der Zufallsvariable )n,T(B 0 und führen dafür die folgende Notation ein: ( ) ( )( ) IRx , )n,T(BxiexpE:m,n,T,x 0 ∈⋅⋅=ϕ Dabei sei 1i −= die imaginäre Einheit. Es gilt der folgende Hauptsatz: Hauptsatz: Die Matrix )x,1t,1s(V −− sei für ,2,1t = , T,,1s = und IRx∈ definiert als (N+1)x(N+1)-Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen      ⋅−⋅⋅⋅ − +− − j, T )1s( 1t 1t L)1s(vvxiexp , N, ,2 , 1, 0j  = . Dann gilt für alle IRx∈ , INn∈ , INT∈ und { } ∞∪∈INm : ( ) ( )( ) ( ) ( ) )x,1n,1T(V)m,T,n,s(R)x,1n,1s(V )m,T,t,s(R)x,1t,1s(V P )n,T(BxiexpEm,n,T,x j N 0j 1T 1s 1n 1t T 1s 0 0 ∑∏ ∏ ∏ =− = − = =               −−⋅⋅−− ⋅⋅−−⋅ =⋅⋅=ϕ Dabei sind die unterjährlichen Übergangsmatrizen gemäß letztem Kapitel gegeben durch )t (Q) t(Q ) m , T, t, s (R m , T s 1 m, T 1s ⋅         = − − . Für den Beweis wird das folgende elementare Ergebnis der Matrizenrechnung benötigt. Hilfssatz: Es seien gegeben die (N+1)x(N+1)-Matrizen ( ) }N,...,1,0{k,j jk )t(a)t(A ∈ = , ,3,2,1t = und der Vektor ( ) N10 zzzz = . Für { } ,3,2n∈ gilt: ∑ ∏∏ = − = − = − + ⋅=        ⋅N 0l,,l 1n 1t lll l 1n 1t 1n1 1kk1 n )t(az)t(Az  . Beweis: Induktion nach n - 19 - :2n = () () ∑∏ = − = ⋅=                     ⋅= ⋅ =        ⋅N 0l ll l l NN 0N N000 N10 l l 12 1t 1 2 11 1 2 2 )1 (a z ) 1 (a ) 1( a )1(a )1 (a zz z )1 ( Az )t ( Az      :1nn +→ ⋅⋅=+⋅⋅= =+⋅        ⋅=        ⋅⋅=        ⋅ ∑ ∏∑ ∑ ∏ ∑ ∏∏∏ = == = − = = − = − == − ++ − + + ++ N 0l,l,,l n 1t lll N 0l ll N 0l,,l 1n 1t lll N 0l ll l 1n 1t l 1n 1t l n 1t n1n1 1kk1 n 1nn 1n1 1kk1 n 1nn n1n1n )t(az)1n(a)t(az )1n(a)t(Az)n(A)t(Az)t(Az  □ Beweis des Hauptsatzes: Im Fall 1Tn =⋅ , d.h. 1n = und 1T = , ist die Behauptung trivialerweise erfüllt. Es sei also 1Tn >⋅ . Zunächst wird die Menge relevanten unterjährlichen Zeitpunkte durchnummeriert, d.h. wir betrachten statt der Parametrisierung      == − +− T,1 s;n, ,2, 1t T 1s 1t  als Menge der Zeitpunkte {} Tn ,1T n, ,2 ,1 ⋅ −⋅ . Gibt man den Zeitpunkt in der durchnummerierten Variante an, so lässt sich wie folgt die parametrisierte Darstellung berechnen: Es sei { } Tn,1Tn,,2,1k ⋅−⋅∈  , dann entspricht dies T 1)k(s 1 )k( t− +− mit 1 T 1k )k ( t+      − = und 1 T T 1k T 1 k )k(s +⋅             − − − = . Damit werden folgende Notationen eingeführt: ( ) T 1)k(s 1)k(t k Y:Z − +− = (Markov-Kette) )m,T),k(t),k(s(R: )k(Q ~= (Übergangswahrscheinlichkeiten) ( ) T 1)k(s 1)k(t k L:L ~ − +− = (Bewertung) )1)k(s(vv:)k(w 1)k(t −⋅= − (Abzinsungsfaktoren) )x,1)k(t,1)k(s(V:)x,k (V ~−−= - 20 - () () () { } () () () ()() () () ( ) () ( ) () )x, 1n, 1T( V)m, T,n ,s(R )x, 1n, 1s(V ) m, T,t ,s (R )x,1 t, 1s( V P )x ,T n( V ~ )k (Q ~ ) x, k( V ~ P ) x, T n ( V ~ )k ( Q ~ ) x ,k ( V ~ P ) x, Tn ( V ~ ) k ( Q ~ )x , k( V ~ P ) x, Tn ( V ~ ) k ( Q ~ ) x , k ( V ~ P L ~ ) T n ( w x iexp ) k ( q ~ L ~ ) k ( w x i exp P )k ( q ~ PL ~ )k (w x iexp l Z, , lZ ,l Z PL ~ ) k (w x iexp L ~ ) k ( w1 xi exp E L ) 1 s ( v v 1x iexp E ) n, T( B xi exp E: m, n ,T ,x Tn l Tn T nT n T n Tn Tn Tn T n T n T n 1 T n2 1 1 kk 1 T n Tn T n 2 1 1k k 1 T n T n 2 1 1 k k k 1 1 k k1 T n2 1 k T n2 1 k k T ) 1s ( 1t N 0l 1T 1 s 1 n 1 t T 1s 0 N 0l l 1 Tn 1k 0 N 0 lll l 1 T n 1 k 0 N 0 ll l N 0 l, , l, l 1 T n 1 kll l , 0 l l N 0 l , , l , l 1T n 1 kl l l , 0 l , T n N 0 l , , l , l 1 T n 1 kl l l , k l, 0 1T n 1k ll l ,0 N 0l ,, l ,l Tn 1 kl ,k N 0 l, , l, lT n Tn 22 1 1 Tn 1k l, k Tn 1 kj, k N 0j j Z n 1 t T 1 sj, T ) 1 s( 1 t 1 t N 0 jj Y 0 ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ − + − ∑∏ ∏∏ ∑∏ ∑ ∏ ∑ ∑ ∏ ∑∏ ∑∏ ∏ ∑∏ ∑∑ ∑∑ ∑∑∑ =− = − = = = −⋅ = = − ⋅ = = = − ⋅ = = −⋅ = ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = = ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ == = == − +− − =     =               − −⋅⋅− − ⋅⋅− −⋅ = =        ⋅ ⋅⋅ ⋅= = ⋅ ⋅        ⋅⋅ = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ⋅⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅= = = = =⋅        ⋅ ⋅ ⋅= =                ⋅ ⋅⋅ ⋅= =                ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅⋅ = = ⋅⋅ =ϕ       □ - 21 - Mithilfe des Hauptsatzes lassen sich Folgerungen für die momentenerzeugende Funktion und den Erwartungswert der beschränkten Zufallsvariablen )n,T(B 0 formulieren. Folgerung 1: Es sei seien IRu∈ , INn∈ , INT∈ und { } ∞∪∈INm . Für die momentenerzeugende Funktion der Zufallsvariablen )n,T(B0 gilt mit den Notationen des Hauptsatzes: ( ) ( )( ) ( ) ( ) )ui,1n,1T(V)m,T,n,s(R)ui,1n,1s(V )m,T,t,s(R)ui,1t,1s(V P )n,T(BuexpE:m,n,T,uM j N 0j 1T 1s 1n 1t T 1s 0 0 ∑∏ ∏ ∏ =− = − = =               ⋅−−−⋅⋅⋅−−− ⋅⋅⋅−−−⋅ = ⋅= Beweis: Wegen der Beschränktheit von ) n, T( B 0 existiert die Funktion )m , n, T, u (M für alle IRu∈ . Der Beweis der Behauptung erfolgt analog zum Beweis des Hauptsatzes. Weitet man den Definitionsbereich der charakteristischen Funktion auf die komplexen Zahlen aus, so folgt die Behauptung aus () ( ) m, n,T,uim,n,T,u M⋅−ϕ= . □ Folgerung 2: Es seien IRu∈ , IN n∈ , INT∈ und {} ∞ ∪∈INm . Für den Erwartungswert der Zufallsvariablen )n,T(B 0 gilt: ( ) ( ) L)t(Q )k(QP)1 s(vv)n, T(BE n 1t T 1s T 1s 1t m, T 1s 1t 1k 0 1-t 0∑∑ ∏ = = − +− − − = ⋅⋅⋅⋅− ⋅= Beweis: Mit den Notationen aus dem Beweis des Hauptsatzes gilt: ( ) ( ) ∏∑ ∏ −⋅ == ⋅ = + ⋅ ⋅⋅⋅⋅= 1 Tn 1k lll,0 N 0l,,l,l T n 1k l,k )t(q ~ PL ~ )k(wuexpm,n,T, uM 1kk1 Tn21 k  - 22 - Damit folgt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑∑ ∏ ∑∑ ∏ ∑∑ ∏∏∏ ∑ ∏∑ ∑ ∏ ∑ ∑ ∑ ∏∏ ∑ ∑ ∑ ∏∏ ∑ ∑ ∏∑ ∑∏ ∑ ∏∑∏ = = − +− − − = − = = − +− − − − = − = = − +− − = − = − = − ⋅ = − = ⋅ = = − = ⋅ = = = −⋅ = − = ⋅ = = = −⋅ = − = ⋅ = = −⋅ == ⋅ = −⋅ = == ⋅ = ⋅ = −⋅ = ⋅⋅⋅⋅−⋅= =⋅⋅⋅⋅⋅−⋅= =⋅⋅⋅⋅−⋅= =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= =         ⋅⋅⋅⋅= =⋅⋅⋅⋅= =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= =        ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= = ′ = + ⋅⋅ + ⋅+ ++ ⋅ + ⋅ + ⋅ + n 1t T 1s T 1s 1t m, T 1s 1t 1k 0 1t n 1t T 1s T 1s 1t m, T 1s 1 m,0 1t 1k 0 1t n 1t T 1s T 1s 1t 1s 1j 1t 1k 1T 1j 0 1t Tn 1j j 1j 1k 0 Tn 1j N 0l,,l,l l,j 1j 1k lll,0 Tn 1j N 0l,,l,l N 0l ll 1Tn jk l,j 1j 1k lll,0 Tn 1j N 0l,,l,l N 0l,,l 1Tn jk lll,j 1j 1k lll,0 Tn 1j N 0l, ,l,l 1Tn 1k lll,jl,0 N 0l,,l,l Tn 1j l,j 1Tn 1k lll,0 N 0l,,l,l 0u Tn 1k l,k Tn 1j l,j 1Tn 1k lll,0 0 L)t(Q )k(QP)1s(vv L)t(Q)t(Q)k(QP)1s(vv L)m,T,t,j(R)m,T,k,j(RP)1s(vv L ~ )k(Q ~ P)j(w1L ~ )k(q ~ P)j(w )k(Q ~ L ~ )k(q ~ P)j(w )k(q ~ L ~ )k(q ~ P)j(w )k(q ~ L ~ P)j(wL ~ )j(w)k(q ~ P L ~ )k(wuexpL ~ )j(w)k(q ~ P m,n,T,0M)n,T(BE j21 j1kk1 j21 Tn Tnj j1kk1 j21 Tn1j 1kkj1kk1 Tn21 1kkj1 Tn21 j1kk1 Tn21 kj1kk1       □ Bemerkungen: a) Durch Ableiten der momentenerzeugende Funktion können auch höhere Momente berechnet werden. Allgemein gilt ( ) ( ) ( ) m,n,T,0M )n,T(BE (k) k 0 = . In konkreten Anwendungen können daher mithilfe der numerischen Ableitung höhere Momente EDV-technisch berechnet werden. Dies gilt insbesondere für die Varianz bzw. die Standardabweichung ([10], [11]). - 23 - b) Wählt man eine andere als die hier vorgestellten unterjährlichen Verteilungen der jährlichen Übergangswahrscheinlichkeiten, so müssen für die Gültigkeit des Hauptsatzes zum einen die Produkte der unterjährlichen Übergangsmatrizen die entsprechenden jährlichen Übergangsmatrizen ergeben und zum anderen Bedingungen analog zu (B1) und (B2) erfüllt sein. - 30 - 9. Fazit Geht man von einer jährlichen inhomogenen Markov-Kette aus, so erscheint zur Definition von unterjährlichen Übergangsmatrizen ein linearer Ansatz am Einfachsten, d.h. die Interpolation der jährlichen Übergangsmatrizen und der Einheitsmatrix. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, dass diese Methodik verallgemeinert werden kann. Von zentraler Bedeutung ist dabei die Taylorreihe der Potenzfunktion α →xx für [ ] 1,0∈α bzw. deren Partialsummen. Durch Einsetzen der Übergangsmatrizen in diese Taylorreihe bzw. diese Partialsummen ergeben sich weitere Möglichkeiten zur Definition unterjährlicher Übergangsmatrizen. Der oben genannte Fall der linearen Interpolation entspricht dann der Verwendung der ersten Partialsumme, d.h. dem Fall dass der Parameter m den Wert 1 annimmt. In den beiden Beispielen zeigt sich, dass der Fall 2m ≥ EDV-technisch umgesetzt werden kann, dass aber die wirtschaftliche Bedeutung sehr gering ist. Der Barwert der Zahlungsströme verändert sich sowohl bei der Anwendung Kreditausfall als auch bei der Anwendung Betriebliche Altersversorgung nur minimal. - 31 - Literaturverzeichnis [1] Arrenberg, Jutta Finanzmathematik, 3. Auflage, De Gruyter Oldenbourg Verlag, Berlin 2015. [2] Forster,Otto Analysis 1, 4. Auflage, Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1983. [3] Gänssler, Peter; Stute, Winfried Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1977. [4] Heubeck, Klaus Richttafeln 2005G,Textband und Programm Heurika 2,Verlag: Heubeck-Richttafeln-GmbH, Köln 2005. [5] Heuser, Harro Lehrbuch der Analysis Teil 1, 7. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. [6] Knobloch, Ralf Bewertung von risikobehafteten Zahlungsströmen mithilfe von Markov-Ketten, In: Forschung am IVW Köln, Band 3/2011, Köln 2012, http://nbnresolving.de/urn:nbn:de:hbz:832-cos-98 (Stand 01. August 2017). [7] Knobloch, Ralf Ein Konzept zur Berechnung von einfachen Barwerten in der betrieblichen Altersversorgung mithilfe einer MarkovKette, In: Forschung am IVW Köln, Band 4/2011, Köln 2012, http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hbz:832-cos-100 (Stand 01. August 2017). [8] Knobloch, Ralf Bewertung von risikobehafteten Zahlungsströmen mithilfe von Markov-Kette bei unterjährlicher Zahlweise, In: Forschung am IVW Köln, Band 6/2012, Köln 2012, http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hbz:832-cos-204 (Stand 01. August 2017). [9] Knobloch, Ralf Konstruktion einer unterjährlichen Markov-Kette aus einer jährlichen Markov-Kette, In: Forschung am IVW Köln, Band 6/2013, Köln 2013, http://nbnresolving.de/urn:nbn:de:hbz:832-cos-402 (Stand 01. August 2017). [10] Knobloch, Ralf Momente und charakteristische Funktion des Barwerts einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette-Anwendung bei risikobehafteten Zahlungsströmen, In: Forschung am IVW Köln, Band 5/2015, Köln 2015, http://nbnresolving.de/urn:nbn:de:hbz:832-cos-816 (Stand 01. August 2017). - 32 - [11] Knobloch, Ralf Bewertete inhomogene Markov-Ketten – Spezielle unterjährliche und zeitstetige Modelle, In: Forschung am ivwKöln, Band 4/2016, Köln 2016, http://nbnresolving.de/urn:nbn:de:hbz:832-cos4-3416 (Stand 01. August 2017). [12] Koller, Michael Stochastische Modelle in der Lebensversicherung, 2. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2010. [13] Milbrodt, Hartmut; Helbig, Manfred Mathematische Methoden der Personenversicherung, De Gruyter, Berlin New York 1999. [14] Waldmann, Karl-Heinz; Stocker, Ulrike M. Stochastische Modelle, 2. Auflage, Springer Verlag, Heidelberg 2013. [15] Westermann, Thomas Mathematik für Ingenieure 6. Auflage, ergänzende Kapitel, Springer Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, http://www.home.hskarlsruhe.de/~weth0002/buecher/mathe/downloads/kap18.pdf (Stand 01. August 2017). Impressum Diese Veröffentlichung erscheint im Rahmen der Online-Publikationsreihe „Forschung am ivwKöln“. Eine vollständige Übersicht aller bisher erschienenen Publikationen findet sich am Ende dieser Publikation und kann hier abgerufen werden. Forschung am ivw Köln, 7/2017 ISSN (online) 2192 -8479 Ralf Knobloch: Konstruktion einer unterjährlichen Markov-Kette aus einer jährlichen MarkovKette - Eine Verallgemeinerung des linearen Ansatzes Köln, Oktober 2017 Schriftleitung / editor’s office: Prof. Dr. Jürgen Strobel Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschafts - und Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Technische Hochschule Köln / University of Applied Sciences Gustav Heinemann -Ufer 54 50968 Köln Tel. +49 221 8275-3270 Fax +49 221 8275 -3277 Mail [email protected] Web www.th -koeln.de Herausgeber der Schriftenreihe / Series Editorship: Prof. Dr. Lutz Reimers -Rawcliffe Prof. Dr. Peter Schimikowski Prof. Dr. Jürgen Strobel Kontakt Autor / Contact author: Prof. Dr. Ralf Knobloch S chmalenbach Institut für Wirtschaftswissenschaften / Schmalenbach Institute of Business Administration Fakultät für Wirtschafts - und Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Technische Hochschule Köln / University of Applied Sciences Gustav Heinemann -Ufer 54 50968 Köln Mail ralf.knobloch@th -koeln.de Publikationsreihe „Forschung am ivwKöln“ Die Veröffentlichungen der Online-Publikationsreihe "Forschung am ivwKöln" (ISSN: 2192-8479) werden üblicherweise über Cologne Open Science (Publikationsserver der TH Köln) veröffentlicht. Die Publikationen werden hierdurch über nationale und internationale Bibliothekskataloge, Suchmaschinen sowie andere Nachweisinstrumente erschlossen. Alle Publikationen sind auch kostenlos abrufbar unter www.ivw-koeln.de. 2017 6/2017 Goecke, Oskar (Hrsg.): Risiko und Resilienz. Proceedings zum 11. FaRis & DAV Symposium am 9. Dezember 2016 in Köln 5/2017 Grundhöfer, Dreuw, Quint, Stegemann : Bewertungsportale - eine neue Qualität der Konsumenteninformation? 4/2017 Heep-Altiner, Mehring, Rohlfs: Bewertung des verfügbaren Kapitals am Beispiel des Datenmodells der „IVW Privat AG“ 3/2017 Müller-Peters, Völler: InsurTech Karte ivwKöln 1/2017 - Beiträge zu InsurTechs und Innovation am ivwKöln 2/2017 Heep-Altiner, Müller-Peters, Schimikowski, Schnur (Hrsg.): Big Data für Versicherungen. Proceedings zum 21. Kölner Versicherungssymposium am 3. 11. 2016 in Köln 1/2017 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2016 2016 13/2016 Völler: Erfolgsfaktoren eines Online-Portals für Akademiker 12/2016 Müller-Peters, Gatzert: Todsicher: Die Wahrnehmung und Fehlwahrnehmung von Alltagsrisiken in der Öffentlichkeit (erscheint 2017) 11/2016 Heep-Altiner, Penzel, Rohlfs, Voßmann: Standardformel und weitere Anwendungen am Beispiel des durchgängigen Datenmodells der „IVW Leben AG“ 10/2016 Heep-Altiner (Hrsg.): Big Data. Proceedings zum 10. FaRis & DAV Symposium am 10. Juni 2016 in Köln 9/2016 Materne, Pütz, Engling: Die Anforderungen an die Ereignisdefinition des Rückversicherungsvertrags: Eindeutigkeit und Konsistenz mit dem zugrundeliegenden Risiko 8/2016 Rohlfs (Hrsg.): Quantitatives Risikomanagement. Proceedings zum 9. FaRis & DAV Symposium am 4. Dezember 2015 in Köln 7/2016 Eremuk, Heep-Altiner: Internes Modell am Beispiel des durchgängigen Datenmodells der „IVW Privat AG“ 6/2016 Heep-Altiner, Rohlfs, Dağoğlu, Pulido, Venter: Berichtspflichten und Prozessanforderungen nach Solvency II 5/2016 Goecke: Collective Defined Contribution Plans - Backtesting based on German capital market data 1955 - 2015 4/2016 Knobloch: Bewertete inhomogene Markov-Ketten - Spezielle unterjährliche und zeitstetige Modelle 3/2016 Völler (Hrsg.): Sozialisiert durch Google, Apple, Amazon, Facebook und Co. – Kundenerwartungen und – erfahrungen in der Assekuranz. Proceedings zum 20. Kölner Versicherungssymposium am 5. November 2015 in Köln 2/2016 Materne (Hrsg.): Jahresbericht 2015 des Forschungsschwerpunkts Rückversicherung 1/2016 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2015 2015 11/2015 Goecke (Hrsg.): Kapitalanlagerisiken: Economic Scenario Generator und Liquiditätsmanagement. Proceedings zum 8. FaRis & DAV Symposium am 12. Juni 2015 in Köln 10/2015 Heep-Altiner, Rohlfs: Standardformel und weitere Anwendungen am Beispiel des durchgängigen Datenmodells der „IVW Privat AG“ – Teil 2 9/2015 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds 8/2015 Strobel (Hrsg.): Management des Langlebigkeitsrisikos. Proceedings zum 7. FaRis & DAV Symposium am 5.12.2014 in Köln 7/2015 Völler, Wunder: Enterprise 2.0: Konzeption eines Wikis im Sinne des prozessorientierten Wissensmanagements 6/2015 Heep-Altiner, Rohlfs: Standardformel und weitere Anwendungen am Beispiel des durchgängigen Datenmodells der „IVW Privat AG‘‘ 5/2015 Knobloch: Momente und charakteristische Funktion des Barwerts einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette. Anwendung bei risikobehafteten Zahlungsströmen 4/2015 Heep-Altiner, Rohlfs, Beier: Erneuerbare Energien und ALM eines Versicherungsunternehmens 3/2015 Dolgov: Calibration of Heston's stochastic volatility model to an empirical density using a genetic algorithm 2/2015 Heep-Altiner, Berg: Mikroökonomisches Produktionsmodell für Versicherungen 1/2015 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2014 2014 10/2014 Müller-Peters, Völler (beide Hrsg.): Innovation in der Versicherungswirtschaft 9/2014 Knobloch: Zahlungsströme mit zinsunabhängigem Barwert 8/2014 Heep-Altiner, Münchow, Scuzzarello: Ausgleichsrechnungen mit Gauß Markow Modellen am Beispiel eines fiktiven Stornobestandes 7/2014 Grundhöfer, Röttger, Scherer: Wozu noch Papier? Einstellungen von Studierenden zu E-Books 6/2014 Heep-Altiner, Berg (beide Hrsg.): Katastrophenmodellierung - Naturkatastrophen, Man Made Risiken, Epidemien und mehr. Proceedings zum 6. FaRis & DAV Symposium am 13.06.2014 in Köln 5/2014 Goecke (Hrsg.): Modell und Wirklichkeit. Proceedings zum 5. FaRis & DAV Symposium am 6. Dezember 2013 in Köln 4/2014 Heep-Altiner, Hoos, Krahforst: Fair Value Bewertung von zedierten Reserven 3/2014 Heep-Altiner, Hoos: Vereinfachter Nat Cat Modellierungsansatz zur Rückversicherungsoptimierung 2/2014 Zimmermann: Frauen im Versicherungsvertrieb. Was sagen die Privatkunden dazu? 1/2014 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2013 2013 11/2013 Heep-Altiner: Verlustabsorbierung durch latente Steuern nach Solvency II in der Schadenversicherung, Nr. 11/2013 10/2013 Müller-Peters: Kundenverhalten im Umbruch? Neue Informationsund Abschlusswege in der KfzVersicherung, Nr. 10/2013 9/2013 Knobloch: Risikomanagement in der betrieblichen Altersversorgung. Proceedings zum 4. FaRis & DAV-Symposium am 14. Juni 2013 8/2013 Strobel (Hrsg.): Rechnungsgrundlagen und Prämien in der Personenund Schadenversicherung - Aktuelle Ansätze, Möglichkeiten und Grenzen. Proceedings zum 3. FaRis & DAV Symposium am 7. Dezember 2012 7/2013 Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Backtesting 6/2013 Knobloch: Konstruktion einer unterjährlichen Markov-Kette aus einer jährlichen Markov-Kette 5/2013 Heep-Altiner et al. (Hrsg.): Value-Based-Management in Non-Life Insurance 4/2013 Heep-Altiner: Vereinfachtes Formelwerk für den MCEV ohne Renewals in der Schadenversicherung 3/2013 Müller-Peters: Der vernetzte Autofahrer – Akzeptanz und Akzeptanzgrenzen von eCall, Werkstattvernetzung und Mehrwertdiensten im Automobilbereich 2/2013 Maier, Schimikowski (beide Hrsg.): Proceedings zum 6. Diskussionsforum Versicherungsrecht am 25. September 2012 an der FH Köln 1/2013 Institut für Versicherungswesen (Hrsg.): Forschungsbericht für das Jahr 2012 2012 11/2012 Goecke (Hrsg.): Alternative Zinsgarantien in der Lebensversicherung. Proceedings zum 2. FaRis & DAV-Symposiums am 1. Juni 2012 10/2012 Klatt, Schiegl: Quantitative Risikoanalyse und -bewertung technischer Systeme am Beispiel eines medizinischen Gerätes 9/2012 Müller-Peters: Vergleichsportale und Verbraucherwünsche 8/2012 Füllgraf, Völler: Social Media Reifegradmodell für die deutsche Versicherungswirtschaft 7/2012 Völler: Die Social Media Matrix - Orientierung für die Versicherungsbranche 6/2012 Knobloch: Bewertung von risikobehafteten Zahlungsströmen mithilfe von Markov-Ketten bei unterjährlicher Zahlweise 5/2012 Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationsrechnungen 4/2012 Günther (Hrsg.): Privat versus Staat - Schussfahrt zur Zwangsversicherung? Tagungsband zum 16. Kölner Versicherungssymposium am 16. Oktober 2011 3/2012 Heep-Altiner/Krause: Der Embedded Value im Vergleich zum ökonomischen Kapital in der Schadenversicherung 2/2012 Heep-Altiner (Hrsg.): Der MCEV in der Lebensund Schadenversicherung - geeignet für die Unternehmenssteuerung oder nicht? Proceedings zum 1. FaRis & DAV-Symposium am 02.12.2011 in Köln 1/2012 Institut für Versicherungswesen (Hrsg.): Forschungsbericht für das Jahr 2011 2011 5/2011 Reimers-Rawcliffe: Eine Darstellung von Rückversicherungsprogrammen mit Anwendung auf den Kompressionseffekt 4/2011 Knobloch: Ein Konzept zur Berechnung von einfachen Barwerten in der betrieblichen Altersversorgung mithilfe einer Markov-Kette 3/2011 Knobloch: Bewertung von risikobehafteten Zahlungsströmen mithilfe von Markov-Ketten 2/2011 Heep-Altiner: Performanceoptimierung des (Brutto) Neugeschäfts in der Schadenversicherung 1/2011 Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich