Ein Portfolio von inhomogenen Markov-Ketten mit Abhängigkeitsstruktur

Forschung am ivwKöln Band 2/2022 Ein Portfolio von inhomogenen Markov-Ketten mit Abhängigkeitsstruktur Ralf Knobloch Forschung am ivwKöln, Band 2/2022 Ralf Knobloch Forschungsstelle FaRis Ein Portfolio von inhomogenen Markov-Ketten mit Abhängigkeitsstruktur Zusammenfassung Markov-Ketten haben bei der Modellierung von ökonomischen Sachverhalten eine Vielzahl von Anwendungen. In den Wirtschaftswissenschaften steht oft ein Portfolio von Markov -Ketten im Mittelpunkt des Interesses, z.B. das Kreditportfolio einer Bank oder das Vertragsportfolio einer Versicherung. In den meisten Modellen wird dabei die stochastische Unabhängigkeit der unterschiedlichen Markov -Ketten vorausgesetzt. In der vorliegenden Arbeit wird ein Modell zur Berücksichtigung einer Abhäng igkeitsstruktur in einem solchen Portfolio vorgestellt. Die Abhängigkeiten werden dabei mit einer Familie von C opulas modelliert und werden bei den Übergangsmatrizen berücksichtigt. Abstract Markov chains have a variety of applications in the modeling of economic facts. In economics, the focus is often on a portfolio of Markov chains, e.g. a bank’s loan portfolio or an insurance contract portfolio. In most models, the stochastic independence of the different Markov chains is assumed. This paper presents a model for taking into account a dependency structure in such a portfolio. The dependencies are given with a family of copulas and are taken into account in the transition matrices . Schlagwörte r: Markov -Kette, Bewertete Markov-Kette, Copula Keywords : Markov Chain, Priced Markov Chain, Copula 1 Inhaltsverzeichnis 1. EINLEITUNG ................................................................................................................................. 2 2. COPULAS ..................................................................................................................................... 3 3. DAS MODELL ............................................................................................................................... 5 4. DER FALL DER STOCHASTISCHEN UNABHÄNGIGKEIT ....................................................... 8 5. BEWERTETE MARKOV-KETTEN ............................................................................................... 9 6. BEISPIEL 1: ZWEI HOMOGENE MARKOV-KETTEN MIT EINEM ABSORBIERENDEN ZUSTAND ................................................................................................................................... 11 7. BEISPIEL 2: BETRIEBLICHE ALTERSVERSORGUNG ........................................................... 18 8. BEISPIEL 3: EINE VERALLGEMEINERUNG DER BINOMIALVERTEILUNG ......................... 22 9. FAZIT UND AUSBLICK .............................................................................................................. 25 ANHANG ............................................................................................................................................. 26 LITERATURVERZEICHNIS ................................................................................................................ 30 2 1. Einleitung In den Wirtschaftswissenschaften wird die zeitliche Entwicklung von ökonomischen Größen häufig als stochastischer Prozess modelliert. Eine wichtige Klasse von stochastischen Prozessen sind Markov-Ketten. Dabei handelt es sich um stochastische Prozesse mit einer diskreten Zeitachse und bei wirtschaftswissenschaftlichen Modellen i.d.R. mit einem endlichen Zustandsraum. Bei ökonomischen Fragestellungen stehen häufig nicht nur einzelne Objekte, sondern ein Portfolio, d.h. eine Zusammenstellung von Objekten, im Mittelpunkt des Interesses. Beispiele hierfür sind der Personenbestand einer Lebensversicherung und das Kreditportfolio einer Bank. Wird für jedes Objekt die Entwicklung einer ökonomischen Größe mit einer eigenen Markov-Kette modelliert, so stellt sich die Frage, wie diese einzelnen stochastischen Prozesse zusammengefasst bzw. wie Abhängigkeiten berücksichtigt werden können. Zur Modellierung der Abhängigkeit von Zufallsgrößen im Allgemeinen gibt es mehrere Konzepte. So können Abhängigkeiten mittels bedingter Wahrscheinlichkeiten bzw. mittels bedingter Verteilungen modelliert werden. Eine klassische Vorgehensweise ist die Modellierung der Abhängigkeiten mithilfe von Korrelationskoeffizienten. Dies funktioniert aber bei einem Portfolio von stochastischen Prozessen i.d.R. nur bei auf Normalverteilungen basierenden Modellen (z.B. Brownsche Bewegung und geometrische Brownsche Bewegung). Eine solche Verteilungsannahme ist bei einer Markov-Kette aber sehr häufig nicht gegeben. Eine weitere Möglichkeit zur Modellierung von Abhängigkeiten von Zufallsgrößen ergibt sich aus der Anwendung einer Copula. Verwendet man dieses Abhängigkeitsmodell für eine Menge von Zufallsvariablen, so können der Einfluss der einzelnen Verteilungen und der Einfluss der Abhängigkeit im Modell formal getrennt werden. In der vorliegenden Arbeit wird mithilfe einer Familie von Copulas aus einem Portfolio von inhomogenen Markov-Ketten eine neue inhomogene Markov-Kette konstruiert. Die Abhängigkeiten beziehen sich dabei auf die gegebene Anfangskonstellation und die Zustandsübergänge zu den einzelnen Zeitpunkten. 3 2. Copulas Gegeben seien ݊ auf dem Intervall [0,1] gleichverteilte Zufallsvariablen ܷଵ,ܷଶ,…,ܷ௡. Die gemeinsame Verteilungsfunktion ܥ:[0,1] ௡՜[0,1] heißt Copula, d.h. es gilt: ܥ(ݑଵ,ݑଶ,…,ݑ௡)= ܲ(ܷଵ൑ݑଵ,ܷଶ൑ݑଶ,…,ܷ௡൑ݑ௡),ݑଵ,ݑଶ,…,ݑ௡א[0,1] (vgl. [8] S.4f) Da es sich bei einer Copula um eine mehrdimensionale Verteilungsfunktion handelt und die eindimensionalen Randverteilungen durch die Gleichverteilung auf dem Intervall [0,1] gegeben sind, ergeben sich u.a. die folgenden Eigenschaften (vgl. [8] S.7f und [9] S.293ff): 1. ܥ(1, … ,1, ݑ௞,1,…,1 )=ݑ௞ für alle ݇=1,2,…,݊ und ݑ௞א[0,1] 2. ܥ(ݑଵ,ݑଶ,…,ݑ௡)=0, falls es ein ݇א{1,2, … , ݊} gibt mit ݑ௞=0 3. ܥ ist rechtecksmonoton, d.h. οܥ(ݑ,ݒ]=෍(െ1)௝෍ܥ൫ݓ ଵ,(௨,௩],ெ,ݓଶ,(௨,௩],ெ,…,ݓ௡,(௨,௩],ெ൯ ெؿ{ଵ,ଶ,…,௡} |ெ|ୀ௝ ௡ ௝ୀ଴ ൒0 für alle (ݑ,ݒ]=(ݑଵ,ݒଵ]×(ݑଶ,ݒଶ]×…×(ݑ௡,ݒ௡]ؿ[0,1]௡, wobei ݓ௞,(௨,௩],ெ=൜ݑ௞, ݇אܯ ݒ௞, ݇בܯ Umkehrt kann man zeigen, dass jede Funktion ܥ:[0,1] ௡՜[0,1] mit diesen drei Eigenschaften eine Copula ist (vgl. [8] S.8f). Ferner gilt οܥ(ݑ,ݒ]=ܲ(ݑଵ<ܷଵ൑ݒଵ,ݑଶ<ܷଶ൑ݒଶ,…,ݑ௡<ܷ௡൑ݒ௡) (vgl. [8] S.8). Da es sich bei ܷଵ,ܷଶ,…,ܷ௡ um stetige Zufallsvariablen handelt kann hierbei "<" durch "൑" ersetzt werden und umgekehrt. Ein wichtiges Ergebnis ist der Satz von Sklar ([8] S.14ff). Er besagt einerseits, dass bei Vorgabe von ݊ reell-wertigen Zufallsvariablen mit den Verteilungsfunktionen ܨଵ,ܨଶ,…,ܨ௡ und einer Copula ܥ durch ܨ(ݔଵ,ݔଶ,…,ݔ௡)׷= ܥ(ܨଵ(ݔଵ),ܨଶ(ݔଶ),…,ܨ௡(ݔ௡)) , ݔଵ,ݔଶ,…,ݔ௡אܫܴ eine mehrdimensionale Verteilungsfunktion definiert wird. Umgekehrt gibt es zu jeder mehrdimensionalen Verteilungsfunktion ܨ:ܫܴ௡՜[0,1] 4 eine Copula ܥ, sodass gilt: ܨ(ݔଵ,ݔଶ,…,ݔ௡)= ܥ(ܨଵ(ݔଵ),ܨଶ(ݔଶ),…,ܨ௡(ݔ௡)) , ݔଵ,ݔଶ,…,ݔ௡אܫܴ Dabei sind ܨଵ,ܨଶ,…,ܨ௡ die Verteilungsfunktionen der eindimensionalen Randverteilungen. Ist ܨ stetig, dann ist ܥ eindeutig. Insbesondere ist die Eindeutigkeit bei diskreten Verteilungen nicht gegeben. 5 3. Das Modell Gegeben sei ein Portfolio von ݊ inhomogenen Markov-Ketten ቀܺ௧(ଵ)ቁ௧אூேబ,ቀܺ௧(ଶ)ቁ௧אூேబ,…,ቀܺ௧(௡)ቁ௧אூேబ jeweils mit dem Zustandsraum ܵ={0,1,2, … , ܰ}. Dabei sind die Übergangsmatrizen gegeben durch: ܳ(௞)(ݐ)=ቀݍ௜௝ (௞)(ݐ)ቁ௜,௝אௌ , ݐאܫܰ,݇=1,2,…,݊ D.h. es gilt ܲቀܺ௧(௞)=݆ቚܺ௧ିଵ (௞)=݅ቁ=ݍ௜௝ (௞)(ݐ) für alle ݐאܫܰ ,݇=1,2,…,݊ und ݅,݆אܵ. Zu jeder Markov-Kette gehört ferner eine Anfangsverteilung, die durch den Zeilenvektor ܲ଴(௞)=ቀ݌଴,௝ (௞)ቁ௝אௌ gegeben ist, d.h. ܲቀܺ଴(௞)=݆ቁ=݌଴,௝ (௞) für ݆אܵ und ݇=1,2,…,݊. Die Verteilung der Zufallsvariablen ܺ௧(௞) ergibt sich dann für ݇=1,2,…,݊ und ݐאܫܰ durch den Zeilenvektor: ܲ௧(௞)=ܲ଴(௞)ήෑܳ(௞)(ݑ) ௧ ௨ୀଵ (vgl. [2], [3], [4], [5], [7]) Die Verteilungsfunktion, die sich zum Zeitpunkt ݐאܫܰ für die ݇-te Markov-Kette aus den Übergangswahrscheinlichkeiten ausgehend vom Zustand ݅אܵ ergibt, sei gegeben durch: ܨ௜,௧,௞(ݔ)ؔܲቀܺ௧(௞)൑ݔቚܺ௧ିଵ (௞)=݅ቁ= ෍ݍ௜௝ (௞)(ݐ) [௫] ௝ୀଵ ,ݔאܫܴ Zur Konstruktion einer gemeinsamen Markov-Kette für das Portfolio benötigen wir zunächst den gemeinsamen Zustandsraum: ܵ௡=ܵ×ܵ×…×ܵᇣ ᇧ ᇧ ᇧ ᇤ ᇧ ᇧ ᇧ ᇥ ௡ି௠௔௟ Gegeben sei ferner eine Familie von Copulas ܥ௥,௧, ݎאܵ௡ , ݐאܫܰ und eine einzelne Copula ܥ଴. Damit wird zum einen eine abzählbare Menge von Übergangsmatrizen und zum anderen eine Anfangsverteilung für die inhomogene Markov-Kette mit Zustandsraum ܵ௡ konstruiert. 6 Zunächst wird dazu für jedes ݐאܫܰ eine (ܰ+1 )௡×(ܰ+1 )௡-Matrix ܳ(ݐ)=(ݍ௥௦(ݐ))௥,௦אௌ೙ wie folgt definiert: Für ݐאܫܰ und ݎ,ݏאܵ௡ mit ݎ=(ݎଵ,ݎଶ,…,ݎ௡) und ݏ=(ݏଵ,ݏଶ,…,ݏ௡) sei ݍ௥௦(ݐ)ؔοܥ௥,௧൫ܨ௥భ,௧,ଵ(ݏଵെ1),ܨ௥భ,௧,ଵ(ݏଵ)൧×…×൫ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡െ1),ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡)൧. Dabei liegt den Matrizen eine geeignete Anordnung der (ܰ+1 )௡ Elemente des Zustandsraums ܵ௡ wie folgt zugrunde. Einem Element aus der Menge ܵ௡ wird eine natürliche Zahl ݆ zwischen 0 und (ܰ+1 )௡െ1 zuzuordnet: ݏ=(ݏଵ,ݏଶ,…,ݏ௡)אܵ௡՜݆=෍ݏ௞ାଵή(ܰ+1 )௞ ௡ିଵ ௞ୀ଴ Diese Zuordnung ݏ՜݆ ist eineindeutig und die natürliche Zahl ݆ korrespondiert dann mit Zeilenbzw. Spaltennummer in der jeweiligen (ܰ+1 )௡×(ܰ+1 )௡-Matrix. Zu beachten ist allerdings, dass analog zu der Nummerierung bei den Zuständen der einzelnen Markov-Ketten der erste Zustand der Zustand Nummer 0 ist. Da eine Copula rechtecksmonoton ist, gilt ݍ௥௦(ݐ)൒0. Wegen der disjunkten Zerlegung ራ൫ܨ௥భ,௧,ଵ(ݏଵെ1),ܨ௥భ,௧,ଵ(ݏଵ)൧×…×൫ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡െ1),ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡)൧ (௦భ,௦మ,…,௦೙)אௌ೙= (0,1]௡ ergibt sich für alle für ݎ=(ݎଵ,ݎଶ,…,ݎ௡)אܵ௡ ෍ݍ ௥௦(ݐ) (௦భ,௦మ,…,௦೙)אௌ೙= =෍οܥ ௥,௧൫ܨ௥భ,௧,ଵ(ݏଵെ1),ܨ௥భ,௧,ଵ(ݏଵ)൧×…×൫ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡െ1),ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡)൧ (௦భ,௦మ,…,௦೙)אௌ೙= =෍ܲቀܨ ௥భ,௧,ଵ(ݏଵെ1)<ܷଵ൑ܨ௥భ,௧,ଵ(ݏଵ),…,ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡െ1)<ܷ௡൑ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡)ቁ (௦భ,௦మ,…,௦೙)אௌ೙= =ܲ(0<ܷଵ൑1, … ,0 < ܷ௡൑1)=ܲ൫(ܷଵ,ܷଶ,…,ܷ௡)א(0,1]௡൯= =ܲ൫(ܷଵ,ܷଶ,…,ܷ௡)א[0,1]௡൯െܲ(ܷ௞= 0 für mindestens ein ݇א{1,2, … , ݊}) = =ܲ൫(ܷଵ,ܷଶ,…,ܷ௡)א[0,1]௡൯=1, dabei sind ܷଵ,ܷଶ,…,ܷ௡ die gemäß Kapitel 2 zur Copula gehörenden auf dem Intervall [0,1] gleichverteilten Zufallsvariablen. Somit handelt es sich bei der Matrix ܳ(ݐ)=(ݍ௥௦(ݐ))௥,௦אௌ೙ um eine stochastische Matrix. 7 Die Anfangsverteilung ܲ଴=൫݌଴,௦൯௦אௌ೙ der gemeinsamen Markov-Kette auf dem Zustandsraum ܵ௡ ergibt sich mithilfe des Satzes von Sklar aus den Anfangsverteilungen der einzelnen Markov-Ketten und der gegebenen Copula ܥ଴, d.h. für ݏ=(ݏଵ,ݏଶ,…,ݏ௡)אܵ௡ gilt: ݌଴,௦ؔοܥ଴൫ܨ଴,ଵ(ݏଵെ1),ܨ଴,ଵ(ݏଵ)൧×…×൫ܨ଴,௡(ݏ௡െ1),ܨ଴,௡(ݏ௡)൧ Dabei sei anlog zu oben: ܨ଴,௞(ݔ)ؔܲቀܺ଴(௞)൑ݔቁ= ෍݌଴,௝ (௞) [௫] ௝ୀଵ ,ݔאܫܴ Aus der Anfangsverteilung ܲ଴ und den Übergangsmatrizen ܳ(ݐ), ݐאܫܰ, lässt sich nun die entsprechende inhomogene Markov-Kette mit Zustandsraum ܵ௡ wie üblich konstruieren. Im Folgenden wird diese inhomogene Markov-Kette mit (ܺ௧)௧אூேబ bezeichnet. Damit gilt für ݎ=(ݎଵ,ݎଶ,…,ݎ௡),ݏ=(ݏଵ,ݏଶ,…,ݏ௡)אܵ௡ und ݐאܫܰ: ݍ௥௦(ݐ)=ܲ(ܺ௧=ݏ|ܺ௧ିଵ=ݎ)=ܲቀܺ௧(ଵ)=ݏଵ,…,ܺ௧(௡)=ݏ௡ቚܺ௧ିଵ (ଵ)=ݎଵ,…,ܺ௧ିଵ (௡)=ݎ௡ቁ und ݌଴,௦=ܲ(ܺ଴=ݏ)=ܲቀܺ଴(ଵ)=ݏଵ,…,ܺ଴(௡)=ݏ௡ቁ 14 Als ݐ-te Potenz dieser stochastischen Matrix ergibt sich nun ൮1000 1െݍ௧ݍ௧00 1െݍ௧0ݍ௧0 1െ2ݍ௧+(ݍെܽ)௧ݍ௧െ(ݍെܽ)௧ݍ௧െ(ݍെܽ)௧(ݍെܽ)௧൲ Beweis mit vollständiger Induktion: ݐ=1: trivial ݐ՜ݐ+1: Zu zeigen ist, dass sich die ݐ+1-te Potenz mit ൮1000 1െݍ௧ାଵ ݍ௧ାଵ 00 1െݍ௧ାଵ 0ݍ௧ାଵ 0 1െ2ݍ௧ାଵ+(ݍെܽ)௧ାଵ ݍ௧ାଵെ(ݍെܽ)௧ାଵ ݍ௧ାଵെ(ݍെܽ)௧ାଵ (ݍെܽ)௧ାଵ൲ ergibt. Die ersten drei Zeilen folgen aus einfachen Berechnungen, die vierte Zeile wie folgt. Erste Spalte: (1െݍെܽ)ή1+ܽή(1െݍ௧)+ܽή(1െݍ௧)+(ݍെܽ)ή(1െ2ݍ௧+(ݍെܽ)௧)= =1െݍെܽ+2ܽെ2ܽݍ௧+ݍെ2ݍ௧ାଵെܽ+2ܽݍ௧+(ݍെܽ)௧ାଵ= =1െ2ݍ௧ାଵ+(ݍെܽ)௧ାଵ Zweite und dritte Spalte: ܽήݍ௧+(ݍെܽ)ή(ݍ௧െ(ݍെܽ)௧)=ܽήݍ௧+ݍ௧ାଵെܽήݍ௧െ(ݍെܽ)௧ାଵ= =ݍ௧ାଵെ(ݍെܽ)௧ାଵ Vierte Spalte: (ݍെܽ)ή(ݍെܽ)௧=(ݍെܽ)௧ାଵ Ƒ Damit ergibt sich die Verteilung der gemeinsamen Markov-Kette zum Zeitpunkt ݐאܫܰ durch Multiplikation der Anfangsverteilung (0001 ) mit der Matrix ൮1000 1െݍ௧ݍ௧00 1െݍ௧0ݍ௧0 1െ2ݍ௧+(ݍെܽ)௧ݍ௧െ(ݍെܽ)௧ݍ௧െ(ݍെܽ)௧(ݍെܽ)௧൲ wie folgt: 15 ܲቀܺ௧(ଵ)=0,ܺ௧(ଶ)=0ቁ=1െ2ݍ௧+(ݍെܽ)௧ ܲቀܺ௧(ଵ)=1,ܺ௧(ଶ)=0ቁ=ܲቀܺ௧(ଵ)=0,ܺ௧(ଶ)=1ቁ=ݍ௧െ(ݍെܽ)௧ ܲቀܺ௧(ଵ)=1,ܺ௧(ଶ)=1ቁ=(ݍെܽ)௧ Wir betrachten nun die Zufallsvariable ܺ௧(ଵ)+ܺ௧(ଶ) und ihre Momente. Für den Erwartungswert gilt ܧቀܺ௧(ଵ)+ܺ௧(ଶ)ቁ=1ή(ݍ௧െ(ݍെܽ)௧)+1ή(ݍ௧െ(ݍെܽ)௧)+2ή(ݍെܽ)௧=2ݍ௧ und für die Varianz ܸܽݎቀܺ௧(ଵ)+ܺ௧(ଶ)ቁ=1 ଶή(ݍ௧െ(ݍെܽ)௧)+1 ଶή(ݍ௧െ(ݍെܽ)௧)+2 ଶή(ݍെܽ)௧െ(2ݍ௧)ଶ= =2ݍ௧+2 (ݍെܽ)௧െ4ݍଶ௧. Somit ist der Erwartungswert der Summe der beiden Markov-Ketten unabhängig von ܽ und daher auch unabhängig von der gewählten Abhängigkeitsstruktur bzw. von den gewählten Copulas. Dies ist wegen der Linearität der Kennzahl Erwartungswert auch nicht anders zu erwarten. Bei der Varianz hingegen ist eine Abhängigkeit von a vorhanden, dies gilt dann auch für den Korrelationskoeffizienten von ܺ௧(ଵ) und ܺ௧(ଶ) im Folgenden mit ߩ௧ bezeichnet. Dieser lässt sich mithilfe der Formel ܸܽݎቀܺ௧(ଵ)+ܺ௧(ଶ)ቁ=ܸܽݎቀܺ௧(ଵ)ቁ+ܸܽݎቀܺ௧(ଶ)ቁ+2ήටܸܽݎቀܺ௧(ଵ)ቁήටܸܽݎቀܺ௧(ଶ)ቁήߩ௧ in Verbindung mit ܧቀܺ௧(ଵ)ቁ=ܧቀܺ௧(ଶ)ቁ=0ή(1െݍ௧)+1ήݍ௧=ݍ௧ und ܸܽݎቀܺ௧(ଵ)ቁ=ܸܽݎቀܺ௧(ଶ)ቁ=0 ଶή(1െݍ௧)+1 ଶήݍ௧െݍଶ௧=ݍ௧െݍଶ௧ berechnen: ߩ௧=ܸܽݎቀܺ௧(ଵ)+ܺ௧(ଶ)ቁെܸܽݎቀܺ௧(ଵ)ቁെܸܽݎቀܺ௧(ଶ)ቁ 2ήටܸܽݎቀܺ௧(ଵ)ቁήටܸܽݎቀܺ௧(ଶ)ቁ= =2ݍ௧+2 (ݍെܽ)௧െ4ݍଶ௧െ2ή(ݍ௧െݍଶ௧) 2(ݍ௧െݍଶ௧)= =2(ݍെܽ)௧െ2ݍଶ௧ 2(ݍ௧െݍଶ௧)=(ݍെܽ)௧െݍଶ௧ ݍ௧െݍଶ௧ 16 Somit hängt auch der Korrelationskoeffizient (wie zu erwarten) von ܽ bzw. den gewählten Copulas ab. Wir betrachten nun drei Fälle mit speziellen Copulas. Dabei wird als Copula in Ziffer 2 die obere Fréchet-Hoeffding Schranke und als Copula in Ziffer 3 die untere FréchetHoeffding Schranke verwendet. (vgl. [8] S11f). 1. ܥ(ݑଵ,ݑଶ)=ݑଵήݑଶ (Unabhängigkeits-Copula [vgl. [8] S.5) Es gilt ܥ(1െݍ,1െݍ))=(1െݍ)² bzw. ܽ=1െݍെ(1െݍ)ଶ=ݍή(1 െݍ) und ݍെܽ=ݍെݍή(1 െݍ)=ݍଶ Als Korrelationskoeffizient ergibt sich: ߩ௧=(ݍെܽ)௧െݍଶ௧ ݍ௧െݍଶ௧ =(ݍ²)௧െݍଶ௧ ݍ௧െݍଶ௧ =0 Dies passt zur stochastischen Unabhängigkeit der beiden Markov-Ketten. 2. ܥ(ݑଵ,ݑଶ)=݉݅݊(ݑଵ,ݑଶ) (Comonotonicity-Copula. vgl. [8] S.5f) Hier gilt ܥ(1െݍ,1െݍ))=1െݍ bzw. ܽ=1െݍെ(1 െݍ)=0 und ݍെܽ=ݍ Als Korrelationskoeffizient ergibt sich: ߩ௧=(ݍെܽ)௧െݍଶ௧ ݍ௧െݍଶ௧ =ݍ௧െݍଶ௧ ݍ௧െݍଶ௧=1 Somit sind in diesem Fall die beiden Markov-Ketten perfekt korreliert. 3. ܥ(ݑଵ,ݑଶ)=݉ܽݔ(ݑଵ+ݑଶെ1,0) (Countermonotonicity-Copula, vgl. [8] S.6) In diesem Fall gilt ܥ(1െݍ,1െݍ)=݉ܽݔ(1െ2ݍ,0 )=൜1െ2ݍ , ݍ൑0,5 0 , ݍ>0,5 bzw. 17 ܽ=൜ݍ , ݍ൑0,5 1െݍ , ݍ>0,5 und ݍെܽ=൜0 , ݍ൑0,5 2ݍെ1 , ݍ>0,5 Als Korrelationskoeffizient ergibt sich im Fall ݍ൑0,5 ߩ௧=(ݍെܽ)௧െݍଶ௧ ݍ௧െݍଶ௧ =െݍଶ௧ ݍ௧െݍଶ௧ und im Fall ݍ>0,5 ߩ௧=(ݍെܽ)௧െݍଶ௧ ݍ௧െݍଶ௧ =(2ݍെ1)௧െݍଶ௧ ݍ௧െݍଶ௧ Dieses einfache Beispiel von zwei identischen Markov-Ketten mit jeweils zwei Zuständen – davon einer absorbierend – zeigt wie eine gewählte Copula, die Streuungen und Korrelationskoeffizienten beeinflusst. Somit ist es bei einem Portfolio von Markov-Ketten, bei dem Diversifikation von Relevanz ist, wichtig bei der Modellierung eine entsprechende Copula zu wählen. Interessiert man sich lediglich für Erwartungswerte, d.h. Durchschnitte, so spielt diese Abhängigkeitsstruktur keine Rolle. 18 7. Beispiel 2: Betriebliche Altersversorgung In einem zweiten Beispiel betrachten wir einen Kleinstbestand von vier Personen aus dem Bereich der betrieblichen Altersversorgung. Dieser Kleinstbestand sei wie folgt gegeben: Person Nr. Geschlecht Jahrgang (Geburtsdatum jeweils 01.01.) Alter am 01.01.2022 Status am 01.01.2022 1 Männlich 1981 41 Aktiver Arbeitnehmer 2 Männlich 1982 40 Aktiver Arbeitnehmer 3 Weiblich 1984 38 Aktive Arbeitnehmerin 4 Weiblich 1985 37 Aktive Arbeitnehmerin Für jede Person wird eine Modellierung als inhomogene Markov-Kette mit drei Zuständen zugrunde gelegt: Zustand ૙: aktiver Arbeitnehmer/aktive Arbeitnehmerin Zustand ૚: Invalidenrentner/-in Zustand ૛: Tod Der Zustandsraum der vier einzelnen inhomogenen Markov-Ketten ist somit jeweils durch ܵ={0,1,2} und der Zustandsraum der gemeinsamen inhomogenen MarkovKette durch ܵସ gegeben. Die Übergangswahrscheinlichkeiten sind den Heubeck-Richttafeln 2018 G (siehe [1]) entnommen, sie werden dabei als jährliche Wahrscheinlichkeiten angesetzt. Der betrachtete Zeitraum beginnt am 01.01.2022 (ݐ=0). Im Fall der Invalidität erfolgt eine jährlich vorschüssige Zahlung von 100 Geldeinheiten. Eine Todesfallleistung ist nicht vorgesehen. Da alle vier Personen als aktiver Arbeitnehmer bzw. als aktive Arbeitnehmerin starten, gilt unabhängig von der Wahl der Copula ܥ଴ für die Anfangsverteilung: ܲቀܺ଴(ଵ)=0,ܺ଴(ଶ)=0,ܺ଴(ଷ)=0,ܺ଴(ସ)=0ቁ=ܲቀܺ଴(ଵ)൑0, ܺ଴(ଶ)൑0, ܺ଴(ଷ)൑0, ܺ଴(ସ)൑0ቁ= 19 =ܥ଴൬ܲቀܺ଴(ଵ)൑0ቁ,ܲቀܺ଴(ଶ)൑0ቁ,ܲቀܺ଴(ଷ)൑0ቁ,ܲቀܺ଴(ସ)൑0ቁ൰=ܥ଴(1,1,1,1)=1 Zur Modellierung der Abhängigkeitsstruktur bei der Konstruktion der Übergangsmatrizen wird für alle Zeitpunkte ݐ=1,2,… und Zustände ݎאܵସ die gleiche Copula ܥణ aus der Gumbel-Familie (vgl. [8] S.73) gewählt, d.h. ܥ௥,௧(ݑଵ,ݑଶ,ݑଷ,ݑସ)=ܥణ(ݑଵ,ݑଶ,ݑଷ,ݑସ)=exp൮െ൭෍(െln (ݑ௞))ణ ସ ௞ୀଵ ൱ଵణ ൗ൲ mit ߴ൒1. Im Fall ߴ=1 entspricht dies der stochastischen Unabhängigkeit der vier Markov-Ketten. Wir betrachten zunächst die Anzahl der Personen in den einzelnen Zuständen und definieren dazu für ݐ= 0,1,2, … die folgenden Zufallsvariablen bzw. Zählvariablen: ܣ௧ؔ “Anzahl der aktiven Arbeiternehmer/-innen zum Zeitpunkt ݐ“ ܫ௧ؔ “Anzahl der Invalidenrentner/-innen zum Zeitpunkt ݐ“ ܶ௧ؔ “Anzahl der bis zum Zeitpunkt ݐ Verstorbenen“ Selbstverständlich gilt zu jedem Zeitpunkt ܣ௧+ܫ௧+ܶ௧=4. Zu den Zeitpunkten ݐ=1 (01.01.2023), ݐ=2 (01.01.2024), ݐ=5 (01.01.2027) und ݐ=10 (01.01.2032) werden der Erwartungswert und die Standardabweichung der drei Zufallsvariablen ܣ௧,ܫ௧ und ܶ௧ berechnet und dabei der Parameter ߴ alternativ mit folgenden Werten angesetzt: ߴ=1,ߴ=1,2,ߴ=1,5,ߴ=2,ߴ=5,ߴ=10,ߴ=50. Dabei steht ߴ=1 für den Fall der stochastischen Unabhängigkeit, je höher der Wert des Parameters desto größer ist die positive Abhängigkeit der vier Markov-Ketten untereinander. Die Ergebnisse der Berechnungen sind im Anhang beigefügt. Die Werte des Erwartungswertes hängen dabei nicht von der Wahl des Parameters ߴ ab. Dies begründet sich mit der Linearität der Kennzahl Erwartungswert. Die Standardabweichung hingegen steigt bei allen drei Variablen mit zunehmendem Wert des Parameters ߴ. D.h. je größer die positive Abhängigkeit der vier Markov-Ketten untereinander desto höher die Volatilität der Anzahl der Personen in den drei betrachteten Zuständen. Mit anderen Worten, die Planbarkeit dieser betrieblichen Altersversorgung nimmt mit zunehmender positiver Abhängigkeit bzw. mit steigendem ߴ ab. Mithilfe der Varianz der Summe von jeweils zwei der drei Zufallsvariablen ܣ௧,ܫ௧ und ܶ௧ können die paarweisen Korrelationskoeffizienten berechnet werden. Dazu wird die allgemeine Formel für die Varianz der Summe zweier Zufallsvariablen ܺ und ܻ nach dem Korrelationskoeffizienten aufgelöst: 20 ܸܽݎ(ܺ+ܻ)=ܸܽݎ(ܺ)+ܸܽݎ(ܻ)+2ήඥܸܽݎ(ܺ)ήඥܸܽݎ(ܻ)ήߩ௑௒ ֜ߩ௑௒=ܸܽݎ(ܺ+ܻ)െܸܽݎ(ܺ)െܸܽݎ(ܻ) 2ήඥܸܽݎ(ܺ)ήඥܸܽݎ(ܻ) Die Ergebnisse befinden sich ebenfalls im Anhang. Hier gibt es für die oben angeführten Konstellationen bezüglich Zeitpunkt ݐ und Parameter ߴ kein einheitliches Bild: Die negativen Korrelationskoeffizienten zwischen ܣ௧ und ܫ௧ erhöhen sich betragsmäßig leicht bei steigendem ߴ. Ein ähnliches Bild ergibt sich für die negativen Korrelationskoeffizienten zwischen ܣ௧ und ܶ௧. Allerdings erhöhen sich diese nur am Anfang und fallen ab ߴ=2 wieder. Die im Fall ߴ=1 leicht negativen Korrelationskoeffizienten zwischen ܫ௧ und ܶ௧ drehen mit steigendem ߴ ins Positive, steigen zunächst und fallen anschließend wieder, bleiben aber positiv. Nun werden die Zahlungsverpflichtungen bei Eintritt der Invalidität mit dem Barwert zum Zeitpunkt 01.01.2022 (ݐ=0) bewertet. Berücksichtigt werden dabei Zahlungen vom 01.01.2022 bis 01.01.2033 (ݐ= 11). Da jedoch alle vier Personen am 01.01.2022 aktive Arbeitnehmer/-innen sind, kommen erst Zahlungen ab 01.01.2023 zum Tragen. Mit der in Abschnitt 5 eingeführten Notation ist die relevante Zufallsvariable Barwert gegeben durch ܤଵଵ=෍ݒ௧ή෍1{௑೟ୀ௦}ή ௦אௌ೙ ଵଵ ௧ୀ଴ ܮ௧,௦. Als jährlicher Zinssatz wird dabei 2% angesetzt. In Abhängigkeit des Parameters ߴ ergeben sich für den Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsvariablen ܤଵଵ folgende Ergebnisse. Dabei erfolgen die Berechnungen näherungsweise mit dem in Abschnitt 5 dargestellten Verfahren, d.h. mithilfe der numerischen Ableitung (ݔ=10 ି଺) der momentenerzeugenden Funktion: ߴ Erwartungswert Standardabweichung 1 84,901196 226,452128 1,2 84,901196 269,228445 1,5 84,901196 308,648579 2 84,901196 346,214015 5 84,901196 407,535323 10 84,901196 423,929414 50 84,901196 432,842865 21 Auch hier zeigt sich, dass der Erwartungswert des Barwerts unabhängig ist von der gewählten Abhängigkeitsstruktur bzw. Copula. Wohingegen der Streuung gemessen in der Standardabweichung mit zunehmendem ߴ, d.h. mit zunehmender positiver Abhängigkeit der vier Markov-Ketten untereinander, steigt und somit die Planbarkeit abnimmt. Wir betrachten nun die Korrelationskoeffizienten der Barwerte ܤଵଵ (ଵ),ܤଵଵ (ଶ),ܤଵଵ (ଷ) und ܤଵଵ (ସ) der vier Markov-Ketten untereinander. Selbstverständlich gilt: ܤଵଵ=ܤଵଵ (ଵ)+ܤଵଵ (ଶ)+ܤଵଵ (ଷ)+ܤଵଵ (ସ). Berechnet werden diese Korrelationskoeffizienten mit der gleichen Methode wie die Korrelationskoeffizienten bei den obigen Zählvariablen (Auflösen der Varianzformel). Bei einem jährlichen Zinssatz von 2% ergeben sich folgende Werte: Korrelationskoeffizient zwischen ߴ ܤଵଵ (ଵ) und ܤଵଵ (ଶ) ܤଵଵ (ଵ) und ܤଵଵ (ଷ) ܤଵଵ (ଵ) und ܤଵଵ (ସ) ܤଵଵ (ଶ) und ܤଵଵ (ଷ) ܤଵଵ (ଶ) und ܤଵଵ (ସ) ܤଵଵ (ଷ) und ܤଵଵ (ସ) 1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1,2 0,1165 0,1346 0,1334 0,1374 0,1364 0,1671 1,5 0,2511 0,2789 0,2754 0,2851 0,2820 0,3405 2 0,4117 0,4342 0,4267 0,4443 0,4379 0,5178 5 0,7648 0,7238 0,7047 0,7405 0,7252 0,8198 10 0,8802 0,8090 0,7799 0,8293 0,8068 0,9067 50 0,9514 0,8572 0,8093 0,8874 0,8492 0,9562 Man erkennt, wie die Korrelationskoeffizienten ausgehend von dem Wert 0 bei ߴ=1 (stochastische Unabhängigkeit) gemeinsam steigen und bei ߴ=50 relativ nahe bei 1 (perfekte positive Korrelation) liegen. Da es sich bei den Zufallsvariablen um Barwerte handelt, erhält man bei einer Änderung des jährlichen Zinssatzes andere Werte für die Korrelationskoeffizienten. Bei einem jährlichen Zinssatz von z.B. 3% statt 2% ändern sich diese im vorliegenden Beispiel in der vierten Nachkommastelle. 22 8. Beispiel 3: Eine Verallgemeinerung der Binomialverteilung Gegeben seien ݊ homogene Markov-Ketten mit dem Zustandsraum ܵ={0,1}, den Übergangsmatrizen ܳ(௞)(ݐ)=ܳ=ቀ1െ݌ ݌ 01 ቁ ,ݐאܫܰ,݇=1,2,…,݊,݌א(0,1), den Anfangsverteilungen ܲ଴(௞)=(10 ) , ݇=1,2,…,݊, und den Bewertungen ܮ଴(௞)=ቀ0 0ቁ,ܮଵ(௞)=ቀ0 1ቁ,݇=1,2,…,݊. Ferner sei ܥ଴ eine beliebige Copula für die Anfangsverteilung und ܥ௥,ଵ(ݑଵ,ݑଶ,…,ݑ௡)=ݑଵήݑଶή…ήݑ௡, ݑଵ,ݑଶ,…,ݑ௡א[0,1] für ݎ=(00…0 )אܵ௡. Diese Copula entspricht der stochastischen Unabhängigkeit (vgl. Abschnitt 4). Alle nicht explizit erwähnten Modellannahmen seien beliebig. Wählt man als Zinssatz 0%, so ist die Zufallsvariable ܤଵ=෍ݒ௧ή෍1{௑೟ୀ௦}ή ௦אௌ೙ܮ௧,௦ ଵ ௧ୀ଴ =෍1{௑೟ୀ௦}ή ௦אௌ೙ܮଵ,௦ binomialverteilt mit den Parametern ݊אܫܰ und ݌א(0,1). Beweis: Zum Beweis berechnen wir die charakteristische Funktion von ܤଵ. Es sei ݔאܫܴ. ߮ଵ(ݔ)=ܧ(exp(݅ήݔήܤଵ)) =෍൭ܲ଴ήܷ(0, ݔ)ήෑ൫ܳ(ݐ)ήܷ(ݐ,ݔ)൯ ଵ ௧ୀଵ ൱௦ ௦אௌ೙ Wegen ܮ଴ (௞)=ቀ0 0ቁ,݇=1,2,…,݊, gilt ܷ(0, ݔ)=ܧ. Damit ergibt sich: ߮ଵ(ݔ)=෍(ܲ଴ήܳ(1) ήܷ(1, ݔ))௦ ௦אௌ೙ Ferner hat man ܲቀܺ଴(ଵ)=0,ܺ଴(ଶ)=0,…,ܺ଴(௡)=0ቁ=ܲቀܺ଴(ଵ)൑0, ܺ଴(ଶ)൑0, … , ܺ଴(௡)൑0ቁ= =ܥ଴൬ܲቀܺ଴(ଵ)൑0ቁ,ܲቀܺ଴(ଶ)൑0ቁ,…,ܲቀܺ଴(௡)൑0ቁ൰=ܥ଴(1,1, … ,1)=1, 23 d.h. ܲ଴=(100…0 ). Somit ist von dem Produkt ܳ(1) ήܷ(1, ݔ) nur die erste Zeile relevant. Es seien ݎ=(00…0 )אܵ௡ und ݏ=(ݏଵ,ݏଶ,…,ݏ௡)אܵ௡. Der zugehörige Eintrag in der ersten Zeile der Matrix ܳ(1) berechnet sich mit den Überlegungen aus Abschnitt 4 wie folgt: ݍ௥௦(1)=ܲቀܺଵ(ଵ)=ݏଵ,…,ܺଵ(௡)=ݏ௡ቚܺ଴(ଵ)=0,…,ܺ଴(௡)=0ቁ= =ෑܲቀܺଵ(௞)=ݏ௞ቚܺ଴(௞)=0ቁ ௡ ௞ୀଵ =݌σ௦ೖ ೙ ೖసభ ή(1 െ݌)௡ିσ௦ೖ ೙ ೖసభ Bei der Matrix ܷ(1, ݔ) handelt es sich um eine Diagonalmatrix mit den Einträgen ݑ௦௦(1, ݔ)=exp൫ ݅ήݔήܮଵ,௦൯=exp൭ ݅ήݔή෍ݏ௞ ௡ ௞ୀଵ ൱. Es sei ݎ=(00…0 )אܵ௡. Man erhält mit klassischen kombinatorischen Überlegungen und dem binomischen Lehrsatz: ߮ଵ(ݔ)=෍൫ݍ௥௦(1)ήݑ௦௦(1, ݔ)൯௦ ௦אௌ೙= =෍ቌ݌σ௦ೖ ೙ ೖసభ ή(1െ݌)௡ିσ௦ೖ ೙ ೖసభ ήexp ൭݅ήݔή෍ݏ௞ ௡ ௞ୀଵ ൱ቍ௦ ௦אௌ೙= =෍ቀ݊݇ቁή݌௞ ௡ ௞ୀ଴ ή(1െ݌)௡ି௞ήexp(݅ήݔή݇)= =෍ቀ݊݇ቁή൫݌ήexp(݅ήݔ)൯௞ ௡ ௞ୀ଴ ή(1െ݌)௡ି௞=(݌ήexp(݅ήݔ)+(1െ݌))௡ Dies ist die charakteristische Funktion der Binomialverteilung mit den Parametern ݊ und ݌. Die Behauptung folgt dann aus dem Eindeutigkeitssatz (vgl. [9] S.388). Ƒ Möchte man nun eine Zufallsvariable als Summe von ݊ dichotomen Zufallsvariablen, jeweils mit der Verteilungsfunktion ܨ(ݔ)=൝0ݔ<0 1െ݌ 0൑ݔ<1 1ݔ൒1 30 Literaturverzeichnis [1] Herrmann, Richard; Heubeck, Klaus Heubeck-Richttafeln 2018 G,Textband und Programm Heurika 4,Verlag: Heubeck-Richttafeln-GmbH, Köln 2018. [2] Knobloch, Ralf Bewertung von risikobehafteten Zahlungsströmen mithilfe von Markov-Ketten, In: Forschung am ivwKöln, Band 3/2011, Köln 2012, http://nbnresolving.de/urn:nbn:de:hbz:832-cos-98 (Stand 28. Dezember 2021). [3] Knobloch, Ralf Bewertung von risikobehafteten Zahlungsströmen mithilfe von Markov-Kette bei unterjährlicher Zahlweise, In: Forschung am ivwKöln, Band 6/2012, Köln 2012, http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hbz:832-cos-204 (Stand 28. Dezember 2021). [4] Knobloch, Ralf Konstruktion einer unterjährlichen Markov-Kette aus einer jährlichen Markov-Kette, In: Forschung am ivwKöln, Band 6/2013, Köln 2013, http://nbnresolving.de/urn:nbn:de:hbz:832-cos-402 (Stand 28. Dezember 2021). [5] Knobloch, Ralf Momente und charakteristische Funktion des Barwerts einer bewerteten inhomogenen Markov-KetteAnwendung bei risikobehafteten Zahlungsströmen, In: Forschung am ivwKöln, Band 5/2015, Köln 2015, http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hbz:832-cos-816 (Stand 28. Dezember 2021). [6] Knobloch, Ralf Der Barwert der Rentenzahlungen aus einer betrieblichen Versorgungszusage, Der Aktuar 2016, Heft 4, S. 210 – 213. [7] Knobloch, Ralf Die Pfade einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette - Fallbeispiele aus der betrieblichen Altersversorgung, In: Forschung am ivwKöln, Band 4/2018, http://nbnresolving.de/urn:nbn:de:hbz:832-cos4-6459 (Stand 28. Dezember 2021). [8] Mai, JanFrederik; Scherer, Matthias Simulating Copulas, Imperial College Press, London 2012. 31 [9] Schmidt, Klaus D. Maß und Wahrscheinlichkeit, Springer Verlag, Heidelberg 2009. [10] Waldmann, KarlHeinz; Stocker, Ulrike M. Stochastische Modelle, 2. Auflage, Springer Verlag, Heidelberg 2013. Impressum Diese Veröffentlichung erscheint im Rahmen der Online-Publikationsreihe „Forschung am ivwKöln“. Eine vollständige Übersicht aller bisher erschienenen Publikationen findet sich am Ende dieser Publikation und kann hier abgerufen werden. Forschung am ivw Köln, 2/2022 ISSN (online) 2192 -8479 Ralf Knobloch: Ein Portfolio von inhomogenen Markov-Ketten mit Abhängigkeitsstruktur Köln, Februar 2022 Schriftleitung / editor’s office: Prof. Dr. Ralf Knobloch S chmalenbach Institut für Wirtschaftswissenschaften / Schmalenbach Institute of Business Administration Fakultät für Wirtschafts - und Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Technische Hochschule Köln / University of Applied Sciences Gustav Heinemann -Ufer 54 50968 Köln Mail ralf.knobloch@th -koeln.de Herausgeber der Schriftenreihe / Series Editorship: Prof. Dr. Michael Fortmann Prof. Dr. Ralf Knobloch Prof. Dr. Michaele Völler Kontakt Autor / Contact author: Prof. Dr. Ralf Knobloch S chmalenbach Institut für Wirtschaftswissenschaften / Schmalenbach Institute of Business Administration Fakultät für Wirtschafts - und Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Technische Hochschule Köln / University of Applied Sciences Gustav Heinemann -Ufer 54 50968 Köln Mail ralf.knobloch@th -koeln.de Publikationsreihe „Forschung am ivwKöln“ Die Veröffentlichungen der Online-Publikationsreihe "Forschung am ivwKöln" (ISSN: 2192-8479) werden üblicherweise über Cologne Open Science (Publikationsserver der TH Köln) veröffentlicht. Die Publikationen werden hierdurch über nationale und internationale Bibliothekskataloge, Suchmaschinen sowie andere Nachweisinstrumente erschlossen. Alle Publikationen sind auch kostenlos abrufbar unter www.ivw-koeln.de. 2022 1/2022 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2021 2021 4/2021 Institut für Versicherungswesen: Risiko im Wandel als Herausforderung für die Versicherungswirtschaft 3/2021 Völler, Müller-Peters: InsurTech Karte ivwKöln 2021 - Beiträge zu InsurTechs und Innovation am ivwKöln 2/2021 Knobloch: Die quantitative Risikobewertung bei einem Portfolio von dichotomen Risiken mithilfe des zentralen Grenzwertsatzes 1/2021 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2020 2020 7/2020 Müller-Peters, Schmidt, Völler: Revolutionieren Big Data und KI die Versicherungswirtschaft? 24. Kölner Versicherungssymposium am 14. November 2019 6/2020 Schmidt: Künstliche Intelligenz im Risikomanagement. Proceedings zum 15. FaRis & DAV Symposium am 6. Dezember 2019 in Köln 5/2020 Müller-Peters: Die Wahrnehmung von Risiken im Rahmen der Corona-Krise 4/2020 Knobloch: Modellierung einer Cantelli-Zusage mithilfe einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette 3/2020 Müller-Peters, Gatzert: Todsicher: Die Wahrnehmung und Fehlwahrnehmung von Alltagsrisiken in der Öffentlichkeit 2/2020 Völler, Müller-Peters: InsurTech Karte ivwKöln 2020 - Beiträge zu InsurTechs und Innovation am ivwKöln 1/2020 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2019 2019 5/2019 Muders: Risiko und Resilienz kollektiver Sparprozesse – Backtesting auf Basis deutscher und USamerikanischer Kapitalmarktdaten 1957-2017 4/2019 Heep-Altiner, Berg: Mikroökonomisches Produktionsmodell für Versicherungen. Teil 2: Renditemaximierung und Vergleich mit klassischen Optimierungsansätzen. 3/2019 Völler, Müller-Peters: InsurTech Karte ivwKöln 2019 - Beiträge zu InsurTechs und Innovation am ivwKöln 2/2019 Rohlfs, Pütz, Morawetz: Risiken des automatisierten Fahrens. Herausforderungen und Lösungsansätze für die Kfz-Versicherung. Proceedings zum 14. FaRis & DAV-Symposium am 7.12.2018 in Köln. 1/2019 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2018 2018 7/2018 Goecke: Resilience and Intergenerational Fairness in Collective Defined Contribution Pension Funds 6/2018 Miebs: Kapitalanlagestrategien für die bAV – Herausforderungen für das Asset Management durch das Betriebsrentenstärkungsgesetz. Proceedings zum 13. FaRis & DAV Symposium am 8. Dezember 2017 in Köln 5/2018 Goecke, Heep-Altiner, Knobloch, Schiegl, Schmidt (Hrsg.): FaRis at ICA 2018 – Contributions to the International Congress of Actuaries 2018 in Berlin. Beiträge von FaRis Mitgliedern zum Weltkongress der Aktuare vom 4. bis zum 8. Juni 2018 in Berlin 4/2018 Knobloch: Die Pfade einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette - Fallbeispiele aus der betrieblichen Altersversorgung 3/2018 Völler, Müller-Peters: InsurTech Karte ivwKöln 1/2018 - Beiträge zu InsurTechs und Innovation am ivwKöln 2/2018 Schmidt, Schulz: InsurTech. Proceedings zum 12. FaRis & DAV Symposium am 9. Juni 2017 in Köln 1/2018 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2017 2017 8/2017 Materne, Pütz: Alternative Capital und Basisrisiko in der Standardformel (non-life) von Solvency II 7/2017 Knobloch: Konstruktion einer unterjährlichen Markov-Kette aus einer jährlichen Markov-Kette - Eine Verallgemeinerung des linearen Ansatzes 6/2017 Goecke, Oskar (Hrsg.): Risiko und Resilienz. Proceedings zum 11. FaRis & DAV Symposium am 9. Dezember 2016 in Köln 5/2017 Grundhöfer, Dreuw, Quint, Stegemann: Bewertungsportale - eine neue Qualität der Konsumenteninformation? 4/2017 Heep-Altiner, Mehring, Rohlfs: Bewertung des verfügbaren Kapitals am Beispiel des Datenmodells der „IVW Privat AG“ 3/2017 Müller-Peters, Völler: InsurTech Karte ivwKöln 1/2017 - Beiträge zu InsurTechs und Innovation am ivwKöln 2/2017 Heep-Altiner, Müller-Peters, Schimikowski, Schnur (Hrsg.): Big Data für Versicherungen. Proceedings zum 21. Kölner Versicherungssymposium am 3. 11. 2016 in Köln 1/2017 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2016