Die quantitative Risikobewertung bei einem Portfolio von dichotomen Risiken mithilfe des zentralen Grenzwertsatzes

Forschung am ivwKöln Band 2/2021 Die quantitative Risikobewertung bei einem Portfolio von dichotomen Risiken mithilfe des zentralen Grenzwertsatzes Ralf Knobloch Forschung am ivwKöln, Band 2/2021 Ralf Knobloch Forschungsstelle FaRis Die quantitative Risikobewertung bei einem Portfolio von dichotomen Risiken mithilfe des zentralen Grenzwertsatzes Zusammenfassung In den Wirtschaftswissenschaften werden Risiken häufig mit dichotomen Zufallsvariablen modelliert. In der vorliegenden Arbeit wird an Fallbeispielen untersucht, unter welchen Bedingungen für das Gesamtrisiko eines inhomogenen Portfolios von stochastisch unabh ängigen dichotomen Risiken näherungsweise von einer Normalverteilung ausgegangen werden kann. Die Normalverteilung ergibt sich aus dem zentralen Grenzwert. Die Approximation mit der Normalverteilung wird dabei auch mit der Näherung durch eine zusammengeset zte PoissonVerteilung verglichen. Abstract In economics, risks are often modeled with dichotomous random variables. In the present work, case studies are used to examine the conditions under which a normal distribution can approximately be assumed for the overall risk of an inhomogeneous portfolio of stochastic independent dichotomou s risks. The normal distribution is a result of the central limit theorem. The approximation with the normal distribution is also compared to the approxim ation using a compound Poisson -distribution. Schlagwörte r: Dichotome Zufallsvariable, zentraler Grenzwertsatz, zusammengesetzte Poisson-Verteilung Keywords : dichotomous random variable, central limit theorem, compound Poisson distribution - 1 - Inhaltsverzeichnis 1. EINLEITUNG ........................................................................................................................................................ 2 2. DAS MODELL ...................................................................................................................................................... 4 3. DER HOMOGENE FALL................................................................................................................................... 5 4. DER INHOMOGENE FALL .............................................................................................................................. 6 5. FALLBEISPIEL 1: TEST AUF NORMALVERTEILUNG ......................................................................... 8 6. APPROXIMATION MIT EINER ZUSAMMENGESETZTEN POISSON-VERTEILUNG ............... 23 7. FALLBEISPIEL 2: NORMALVERTEILUNG VS. ZUSAMMENGESETZTE POISSONVERTEILUNG .................................................................................................................................................... 26 8. BETRIEBSWIRTSCHAFTLICHE ANWENDUNGSGEBIETE ............................................................. 30 9. FAZIT ................................................................................................................................................................... 32 LITERATURVERZEICHNIS ................................................................................................................................... 33 - 2 - 1. Einleitung Im quantitativen Risikomanagement werden betriebswirtschaftliche Risiken mithilfe von wahrscheinlichkeitstheoretischen Ansätzen modelliert, analysiert und zusammengefasst. Die einfachsten dabei verwendeten Modelle sind dichotome bzw. zweiwertige Zufallsvariablen. Eine dichotome Zufallsvariable steht in diesem Zusammenhang für ein Risiko mit zwei möglichen Ausgängen: Ein Ausgang modelliert den Eintritt eines Schadens mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit und einer festen Schadenhöhe. Der andere mögliche Ausgang steht für den Nichteintritt des Schadens. Formal bedeutet dies für die verwendete Zufallsvariable 𝑋𝑋: 𝑋𝑋=�𝑆𝑆,𝑝𝑝 0 , 1 −𝑝𝑝 Dabei steht 𝑆𝑆> 0 für die Schadenhöhe und 𝑝𝑝 für die Eintrittswahrscheinlichkeit. Dichotome Modelle werden z.B. bei Banken im Kreditmanagement zur Quantifizierung des jährlichen Kreditausfallrisikos verwendet. Die Eintrittswahrscheinlichkeit 𝑝𝑝 ergibt sich dabei als jährliche Ausfallwahrscheinlichkeit und die Schadenhöhe 𝑆𝑆 als der mit dem Ausfall eines Kredits verbundene Verlust des Kreditgebers. Eine weitere wichtige Anwendung findet sich in der Personenversicherungsmathematik. Sowohl in der betrieblichen Altersversorgung (bAV) als auch bei Lebensversicherungen kann mit dem Tod einer Person eine Auszahlung an die Hinterbliebenen verbunden sein. Im zweiwertigen Modell steht dann 𝑆𝑆 für den auszuzahlenden Betrag und 𝑝𝑝 für die jährliche Strebewahrscheinlichkeit einer Person. Eine ähnliche Modellierung ergibt sich für das Invaliditätsrisiko in der bAV bzw. bei Berufsunfähigkeitsversicherungen. Aber nicht nur bei Banken und Versicherungen, sondern auch bei einer Vielzahl anderen Unternehmen werden Risiken mit dichotomen Zufallsvariablen im Rahmen des quantitativen Risikomanagements modelliert. Für ein einzelnes dichotomes Risiko bzw. für eine einzelne zweiwertige Zufallsvariable ist die Bestimmung der stochastischen Kennzahlen (z.B. Erwartungswert, Standardabweichung und Value at Risk) sehr einfach. Bei einem Portfolio von dichotomen Risiken ist zwischen dem homogenen und dem inhomogenen Fall zu unterscheiden. Homogen bedeutet, dass für alle Risiken die Eintrittswahrscheinlichkeit und die Schadenhöhe identisch sind. Liegt ein homogenes Portfolio von dichotome Risiken vor, so kann das Gesamtrisiko des Portfolios mithilfe der der Binomialverteilung bzw. näherungsweise mithilfe des Satzes von Laplace und De Moivre, d.h. einem Spezialfall des zentralen Grenzwertsatzes, quantifiziert werden. Dabei muss neben der Homogenität der Zufallsvariablen auch deren stochastische Unabhängigkeit vorausgesetzt werden. Im Allgemeinen sind die Portfolios in der Praxis aber inhomogen. Die dabei benötigten Modelle und Berechnungsmethoden sind komplexer als im homogenen Fall. Der vorliegende Artikel geht der Frage nach, unter welchen Voraussetzungen im inhomogenen Fall der zentrale Grenzwertsatz angewendet werden kann. Dabei wird - 3 - weiterhin von stochastisch unabhängigen Risiken bzw. Zufallsvariablen ausgegangen und auf den zentralen Grenzwertsatz in der Variante mit der Lyapunov-Bedingung zurückgegriffen (vgl. [4] S.154ff und [5] S.201ff). Im Anschluss an den theoretischen Teil wird in einem Fallbeispiel aufgezeigt, wie die Normalverteilungsannahme mit den Methoden der schließenden Statistik überprüft werden kann. Dazu wird ein Datensatz zufällig erzeugt und analysiert. Von besonderem Interesse ist dabei die Anzahl der Risiken, ab der von einer Normalverteilung ausgegangen werden kann. In einem zweiten Fallbeispiel wird der Unterschied zur Approximation der Verteilung des Gesamtrisikos mit einer zusammengesetzten Poisson-Verteilung aufgezeigt. - 4 - 2. Das Modell Es sei eine Folge zweiwertiger, stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen wie folgt gegeben: 𝑋𝑋𝑖𝑖=�𝑆𝑆𝑖𝑖,𝑝𝑝𝑖𝑖 0 , 1 −𝑝𝑝𝑖𝑖, mit 𝑆𝑆𝑖𝑖∈(0, ∞) und 𝑝𝑝𝑖𝑖∈(0,1) für alle 𝑖𝑖= 1,2, … . Ferner sei für 𝑛𝑛∈𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑍𝑍𝑛𝑛=𝑋𝑋1+𝑋𝑋2+⋯+𝑋𝑋𝑛𝑛. Modelliert 𝑋𝑋𝑖𝑖 das 𝑖𝑖-te Risiko, so steht 𝑆𝑆𝑖𝑖 für den damit verbundenen festen Schadenbetrag und 𝑝𝑝𝑖𝑖 für die zugehörige Eintrittswahrscheinlichkeit. Die Zufallsvariable 𝑍𝑍𝑛𝑛 misst dann den Gesamtschaden der ersten 𝑛𝑛 Risiken. Im Mittelpunkt des Interesses stehen die Lage-, Streuungsund Risikomaße der Zufallsvariablen 𝑍𝑍𝑛𝑛. Zur Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes mit Lyapunov-Bedingung wird Folgendes vorausgesetzt: 1. inf 𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼𝑝𝑝𝑖𝑖> 0 und sup 𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼𝑝𝑝𝑖𝑖< 1 2. inf 𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼𝑆𝑆𝑖𝑖> 0 und sup 𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼𝑆𝑆𝑖𝑖<∞ - 5 - 3. Der homogene Fall Sind alle Schadenbeträge und alle Eintrittswahrscheinlichkeiten identisch, d.h. 𝑆𝑆1=𝑆𝑆2=⋯=𝑆𝑆 und 𝑝𝑝1=𝑝𝑝2=⋯=𝑝𝑝, so bezeichnen wir dies als den homogenen Fall. Unter diesen Voraussetzungen ist die Zufallsvariable 𝑌𝑌𝑛𝑛=𝑍𝑍𝑛𝑛 𝑆𝑆 wegen der stochastischen Unabhängigkeit der Zufallsvariablen 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2,…,𝑋𝑋𝑛𝑛 binomialverteilt mit den Parametern 𝑛𝑛 und 𝑝𝑝, wobei 𝑛𝑛 für die Anzahl der Versuche und 𝑝𝑝 für die Erfolgswahrscheinlichkeit steht. Die wichtigsten stochastischen Kennzahlen Erwartungswert, Standardabweichung, Value at Risk und Expected Shortfall berechnen sich dann für die Zufallsvariable 𝑍𝑍𝑛𝑛, in dem man die entsprechenden Werte der Zufallsvariablen 𝑌𝑌𝑛𝑛 mit der reellen Zahl 𝑆𝑆 multipliziert. Die Varianz von 𝑍𝑍𝑛𝑛 erhält man durch die Multiplikation der Varianz von 𝑌𝑌𝑛𝑛 mit 𝑆𝑆2. Gemäß dem Satz von Laplace und De Moivre konvergiert 𝑌𝑌𝑛𝑛−𝑛𝑛∙𝑝𝑝 �𝑛𝑛∙𝑝𝑝∙(1−𝑝𝑝) für 𝑛𝑛→∞ in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung. Daher kann für große 𝑛𝑛 die Zufallsvariable 𝑌𝑌𝑛𝑛 näherungsweise als normalverteilt mit Erwartungswert 𝑛𝑛∙𝑝𝑝 und Standardabweichung �𝑛𝑛∙𝑝𝑝∙(1−𝑝𝑝) angenommen werden. Je näher 𝑝𝑝 am Wert 0,5 liegt, desto besser ist die Approximation. Zur Verbesserung der Approximation kann bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten der Korrekturterm "0,5" wie folgt berücksichtigt: 𝑃𝑃(𝑌𝑌𝑛𝑛≤𝑦𝑦)≈F�𝑦𝑦+ 0,5 −𝑛𝑛∙𝑝𝑝 �𝑛𝑛∙𝑝𝑝∙(1−𝑝𝑝)� Dabei sei F die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Eine oft verwendete Faustregel geht davon aus, dass die Näherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung unter der Voraussetzung 𝑛𝑛∙𝑝𝑝≥10 und 𝑛𝑛∙(1 −𝑝𝑝)≥10 hinreichend gut ist. (vgl. [7] S.260ff) - 6 - 4. Der inhomogene Fall Wir betrachten jetzt den inhomogenen Fall, d.h. die Schadenbeträge und die Eintrittswahrscheinlichkeiten sind nicht identisch. Die stochastische Unabhängigkeit der Zufallsvariablen 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2,…,𝑋𝑋𝑛𝑛 wird zwar weiter vorausgesetzt, dennoch kann keine Verteilung für die Zufallsvariable 𝑍𝑍𝑛𝑛 in Form einer konkreten Verteilungsfunktion angegeben werden. Dies liegt u.a. daran, dass es bei 𝑛𝑛 dichotomen Risiken 2𝑛𝑛 mögliche Ergebnisse gibt. Aber mithilfe des zentralen Grenzwertsatzes kann die Verteilung von 𝑍𝑍 approximativ als normalverteilt angenommen werden. Man benötigt dazu den folgenden zentralen Grenzwertsatz mit Lyapunov-Bedingung (vgl. [4] S. 159 und [5] S.206f): Satz: Es seien 𝑇𝑇1,𝑇𝑇2,𝑇𝑇3, … eine Folge stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen, es sei 𝑈𝑈𝑛𝑛=𝑇𝑇1+𝑇𝑇2+…+𝑇𝑇𝑛𝑛 mit 1. 𝐸𝐸(|𝑇𝑇𝑖𝑖|) <∞ für 𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼 2. 0 < 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑇𝑇𝑖𝑖)<∞ für 𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼 3. Lyapunov-Bedingung: Es gibt ein 𝛿𝛿> 0, so dass lim 𝑛𝑛→∞ 1 (𝑠𝑠𝑛𝑛)2+𝛿𝛿∙�𝐸𝐸�|𝑇𝑇𝑖𝑖−𝐸𝐸(𝑇𝑇𝑖𝑖)|2+𝛿𝛿� 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 = 0 , wobei 𝑠𝑠𝑛𝑛≔�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑇𝑇1)+𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑇𝑇2)+⋯+𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑇𝑇𝑛𝑛) . Dann konvergiert 𝑈𝑈𝑛𝑛−𝐸𝐸(𝑈𝑈𝑛𝑛) 𝑠𝑠𝑛𝑛 für 𝑛𝑛→∞ in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung. Beweis: [4] S.159 und [5] S.206f □ Zur Anwendung dieses Satzes auf unser Modell mit den Zufallsvariablen 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2, … und Summen 𝑍𝑍1,𝑍𝑍2, … müssen die Bedingungen in Ziffer 1 bis 3 überprüft werden: 1. Sei 𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼: 𝐸𝐸(|𝑋𝑋𝑖𝑖|) =𝑆𝑆𝑖𝑖∙𝑝𝑝𝑖𝑖+ 0 ∙(1−𝑝𝑝𝑖𝑖)=𝑆𝑆𝑖𝑖∙𝑝𝑝𝑖𝑖<∞ 2. Sei 𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼: 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋𝑖𝑖)=𝑆𝑆𝑖𝑖2∙𝑝𝑝𝑖𝑖+ 02∙(1−𝑝𝑝𝑖𝑖)−(𝑆𝑆𝑖𝑖∙𝑝𝑝𝑖𝑖)2=𝑆𝑆𝑖𝑖2∙𝑝𝑝𝑖𝑖∙(1−𝑝𝑝𝑖𝑖) Wegen 𝑆𝑆𝑖𝑖∈(0, ∞) und 𝑝𝑝𝑖𝑖∈(0,1) folgt 0 < 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋𝑖𝑖)<∞ für 𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼 - 7 - 3. Sei 𝑛𝑛∈𝐼𝐼𝐼𝐼 und 𝛿𝛿> 0: 𝑠𝑠𝑛𝑛2=𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)+𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋2)+⋯+𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋𝑛𝑛)=�𝑆𝑆𝑖𝑖2∙𝑝𝑝𝑖𝑖∙(1−𝑝𝑝𝑖𝑖) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 ≥𝑛𝑛∙�inf 𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼𝑆𝑆𝑖𝑖�2∙inf 𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼𝑝𝑝𝑖𝑖∙�1−sup 𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼𝑝𝑝𝑖𝑖�=: 𝑛𝑛∙𝑐𝑐1 Mit den Annahmen aus Abschnitt 2 gilt: 0 < 𝑐𝑐1<∞. Daraus folgt: 𝑠𝑠𝑛𝑛2+𝛿𝛿≥𝑛𝑛1+𝛿𝛿2∙𝑐𝑐11+𝛿𝛿2> 0 Ferner gilt: �𝐸𝐸�|𝑋𝑋𝑖𝑖−𝐸𝐸(𝑋𝑋𝑖𝑖)|2+𝛿𝛿� 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 =��|𝑆𝑆𝑖𝑖−𝑆𝑆𝑖𝑖∙𝑝𝑝𝑖𝑖|2+𝛿𝛿∙𝑝𝑝𝑖𝑖+|0−𝑆𝑆𝑖𝑖∙𝑝𝑝𝑖𝑖|2+𝛿𝛿∙(1−𝑝𝑝𝑖𝑖)� 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 = =��𝑆𝑆𝑖𝑖2+𝛿𝛿∙(1−𝑝𝑝𝑖𝑖)2+𝛿𝛿∙𝑝𝑝𝑖𝑖+𝑆𝑆𝑖𝑖2+𝛿𝛿∙𝑝𝑝𝑖𝑖2+𝛿𝛿∙(1−𝑝𝑝𝑖𝑖)� 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 = ≤��𝑆𝑆𝑖𝑖2+𝛿𝛿+𝑆𝑆𝑖𝑖2+𝛿𝛿� 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 ≤2∙𝑛𝑛∙sup 𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼𝑆𝑆𝑖𝑖=: 𝑛𝑛∙𝑐𝑐2 Mit den Annahmen aus Abschnitt 2 ergibt sich: 0 < 𝑐𝑐2<∞. Insgesamt folgt daraus: 0≤1 (𝑠𝑠𝑛𝑛)2+𝛿𝛿∙�𝐸𝐸�|𝑋𝑋𝑖𝑖−𝐸𝐸(𝑋𝑋𝑖𝑖)|2+𝛿𝛿� 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 ≤1 𝑛𝑛1+𝛿𝛿2∙𝑐𝑐11+𝛿𝛿2∙𝑛𝑛∙𝑐𝑐2=𝑐𝑐2 𝑐𝑐11+𝛿𝛿2∙1 𝑛𝑛𝛿𝛿2 . Da der rechte Term für 𝑛𝑛→∞ gegen 0 konvergiert, ist die Bedingung in Ziffer 3 ebenfalls erfüllt. Als Fazit kann festgehalten werden, dass für große 𝑛𝑛 die Zufallsvariable 𝑍𝑍𝑛𝑛 als normalverteilt mit Erwartungswert �𝑆𝑆𝑖𝑖∙𝑝𝑝𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 und Standardabweichung ��𝑆𝑆𝑖𝑖2∙𝑝𝑝𝑖𝑖∙(1−𝑝𝑝𝑖𝑖) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 angenommen werden kann. Die Risikomaße Value at Risk und Expected Shortfall ergeben sich dann näherungsweise mit den für die Normalverteilung üblichen Formeln. - 14 - Modifikation des Portfolios Im Folgenden werden im vorliegenden Beispiel die Auswirkungen einer Modifikation des Portfolios analysiert. Der bisher besprochene Fall wird daher als Datenmodell 1 bezeichnet. Bei Datenmodell 2 wird zur Festlegung des Schadenbetrags und der Eintrittswahrscheinlichkeit eines Risikos jeweils die selbe Zufallszahl verwendet, so dass in diesem Fall die beiden Größen (Schadenbetrag und Eintrittswahrscheinlichkeit) perfekt positiv korreliert sind. Alle anderen Modellannahmen werden beibehalten. Das bedeutet, dass mit einem hohen Schadenbetrag auch immer eine hohe Ausfallwahrscheinlichkeit verbunden ist. In Datenmodell 3 ist es umkehrt: Ein hoher Schadenbetrag ist mit einer niedrigen Eintrittswahrscheinlichkeit verbunden. Dazu werden für beide Größen zwar jeweils die selbe Zufallszahl verwendet, aber in den zugehörigen Intervallen so umgerechnet, dass aus der Zufallszahl z.B. ein hoher Schadenbetrag und eine niedrige Eintrittswahrscheinlichkeit resultiert. Beide Größen sind in diesem Modell perfekt negativ korreliert. Alle anderen Modellannahmen werden wiederum beibehalten. Datenmodell 4 wird mit Blick auf den Satz von Laplace und De Moivre konzipiert. D.h. alle Schadenbeträge sind identisch. O.B.d.A. werden sie mit 1 angesetzt. Ferner sind - 15 - alle Eintrittswahrscheinlichkeiten ebenfalls konstant. Als konstanter Wert wird hier 0,25 gewählt. Ergebnisse Datenmodell 2 und Datenmodell 3 Bei Datenmodell 2 (perfekte positive Korrelation von Schadenbetrag und Eintrittswahrscheinlichkeit) kann bezüglich des Gesamtschadens von einer guten Annäherung an die Normalverteilung schon ab 100 Risiken ausgegangen werden, da die prozentuale Abweichung zwischen den empirischen und den theoretischen Risikomaßen ab dieser Anzahl im Promillebereich liegen und beide Testverfahren die Nullhypothese lediglich für 10 Risiken klar ablehnen. Allerdings ist anzumerken, dass die Normalverteilungshypothese bei beiden Tests auch bei 5.000 Risiken abgelehnt wird. Im Unterschied zu dem Fall mit 10 Risiken würde aber bei einem Signifikanzniveau von 𝛼𝛼=1%, bei beiden Tests die Nullhypothese nicht abgelehnt werden. Ferner zeigt das Q-Q-Diagramm bei 5.000 Risiken keine Auffälligkeiten. Hier die Q-Q-Diagramme für die Fälle mit 10, 200, 1.000 und 5.000 Risiken. - 16 - Bei Datenmodell 3 (perfekte negative Korrelation von Schadenbetrag und Eintrittswahrscheinlichkeit) kann erst bei einer höheren Anzahl von Risiken bezüglich des Gesamtschadens von einer Normalverteilung ausgegangen werden: Die prozentualen Abweichungen zwischen empirischen und theoretischen Risikomaßen liegen erst ab 500 Risiken im Wesentlichen im Promillebereich, beide Tests lehnen die Normalverteilungshypothese erst ab 200 Risiken nicht ab. Somit hängt die Anzahl der Risiken, ab der für den Gesamtschaden als Konsequenz des zentralen Grenzwertsatzes von einer Normalverteilung ausgegangen werden kann, von der Korrelation der beiden Größen Schadenbetrag und Einzelwahrscheinlichkeit ab. Einen Einfluss wird ebenfalls die Verteilung der beiden Größen haben. Es wird daher für die Anwendung empfohlen, bei einer Musterberechnung entweder ein für den zu untersuchenden Fall typisches Portfolio von dichotome stochastischen unabhängigen Risiken zu verwenden oder die Verteilung und die Korrelation von Schadenbetrag und Eintrittswahrscheinlichkeit vorab zu analysieren. Die Tabellen mit den Ergebnissen sind für die Datenmodelle 2 und 3 auf den beiden folgenden Seiten abgedruckt. - 17 - Datenmodell 2 Simulationsergebnisse Anzahl der Risiken Erwartungs‐ wert Standard‐ abweichung Value at Risk 5% Value at Risk 1% Expected Shortfall 5% Expected Shortfall 1% Schätzwerte 10 1.584,86 854,98 3.049,58 3.724,16 3.370,24 3.819,81 50 9.772,06 2.132,08 13.363,98 14.913,03 14.269,27 15.504,37 100 18.426,02 2.928,81 23.261,25 25.362,93 24.536,42 26.306,58 200 37.335,88 4.154,69 44.256,65 47.059,83 45.946,81 48.517,73 500 91.044,54 6.441,70 101.575,98 106.266,57 104.340,80 108.149,65 1000 176.105,91 8.983,63 190.899,57 196.774,16 194.583,76 200.272,01 5000 882.543,44 20.362,68 915.304,98 929.945,27 924.506,80 937.249,86 Theoretische 10 1.573,67 856,77 2.982,96 3.566,76 3.340,84 3.857,38 Werte 50 9.749,67 2.129,83 13.253,02 14.704,28 14.142,65 15.426,72 100 18.420,81 2.920,42 23.224,61 25.214,58 24.444,47 26.205,19 200 37.337,41 4.154,82 44.171,67 47.002,77 45.907,14 48.412,08 500 91.061,49 6.491,00 101.738,54 106.161,50 104.449,83 108.363,25 1000 176.075,67 9.011,85 190.899,25 197.039,92 194.663,50 200.096,74 5000 882.195,67 20.175,82 915.382,88 929.130,68 923.810,32 935.974,32 Abweichung 10 ‐0,71% 0,21% ‐2,18% ‐4,23% ‐0,87% 0,98% 50 ‐0,23% ‐0,11% ‐0,83% ‐1,40% ‐0,89% ‐0,50% 100 ‐0,03% ‐0,29% ‐0,16% ‐0,58% ‐0,37% ‐0,39% 200 0,00% 0,00% ‐0,19% ‐0,12% ‐0,09% ‐0,22% 500 0,02% 0,77% 0,16% ‐0,10% 0,10% 0,20% 1000 ‐0,02% 0,31% 0,00% 0,14% 0,04% ‐0,09% 5000 ‐0,04% ‐0,92% 0,01% ‐0,09% ‐0,08% ‐0,14% Datenmodell 2 Ergebnisse der statistischenTests Signifikanzniveau 5% Anzahl der Risiken Teststatistik p‐Wert Hypothese ablehnen Kolmogorov‐ 10 7,527 0,0% ja Smirnov‐ 50 0,598 86,6% nein Test 100 0,482 83,9% nein 200 0,634 81,6% nein 500 0,631 82,0% nein 1000 0,576 89,5% nein 5000 1,497 2,3% ja Anderson‐ 10 42,433 ja Darling‐ 50 0,827 nein Test 100 0,598 nein 200 0,420 nein 500 0,423 nein 1000 0,378 nein 5000 2,594 ja - 18 - Datenmodell 3 Simulationsergebnisse Anzahl der Risiken Erwartungs‐ wert Standard‐ abweichung Value at Risk 5% Value at Risk 1% Expected Shortfall 5% Expected Shortfall 1% Schätzwerte 10 952,55 587,18 2.075,88 2.593,23 2.397,89 2.891,61 50 5.126,97 1.484,02 7.708,07 8.843,16 8.426,10 9.461,83 100 10.200,58 2.044,42 13.695,70 15.212,94 14.652,48 16.114,35 200 20.838,51 2.938,63 25.840,09 28.179,83 27.220,60 29.275,62 500 51.240,48 4.539,97 58.898,12 61.916,82 60.746,77 63.420,47 1000 103.006,09 6.487,83 113.838,93 118.099,40 116.466,32 120.567,84 5000 514.525,68 14.576,96 538.370,46 548.795,42 544.673,60 553.717,91 Theoretische 10 948,92 587,26 1.914,91 2.315,07 2.160,21 2.514,27 Werte 50 5.111,83 1.487,33 7.558,34 8.571,81 8.179,60 9.076,31 100 10.182,10 2.050,59 13.555,12 14.952,39 14.411,65 15.647,95 200 20.809,61 2.944,99 25.653,83 27.660,55 26.883,95 28.659,49 500 51.193,94 4.554,21 58.685,15 61.788,39 60.587,44 63.333,18 1000 102.946,99 6.432,75 113.528,23 117.911,50 116.215,19 120.093,49 5000 514.328,23 14.404,18 538.021,67 547.836,68 544.038,30 552.722,58 Abweichung 10 ‐0,38% 0,01% ‐7,75% ‐10,73% ‐9,91% ‐13,05% 50 ‐0,30% 0,22% ‐1,94% ‐3,07% ‐2,93% ‐4,07% 100 ‐0,18% 0,30% ‐1,03% ‐1,71% ‐1,64% ‐2,89% 200 ‐0,14% 0,22% ‐0,72% ‐1,84% ‐1,24% ‐2,10% 500 ‐0,09% 0,31% ‐0,36% ‐0,21% ‐0,26% ‐0,14% 1000 ‐0,06% ‐0,85% ‐0,27% ‐0,16% ‐0,22% ‐0,39% 5000 ‐0,04% ‐1,19% ‐0,06% ‐0,17% ‐0,12% ‐0,18% Datenmodell 3 Ergebnisse der statistischenTests Signifikanzniveau 5% Anzahl der Risiken Teststatistik p‐Wert Hypothese ablehnen Kolmogorov‐ 10 7,465 0,0% ja Smirnov‐ 50 1,925 0,1% ja Test 100 1,521 2,0% ja 200 0,917 37,0% nein 500 0,807 53,3% nein 1000 0,936 34,5% nein 5000 1,206 10,9% nein Anderson‐ 10 87,279 ja Darling‐ 50 9,027 ja Test 100 4,340 ja 200 2,358 nein 500 1,120 nein 1000 1,172 nein 5000 1,454 nein - 19 - Der homogene Fall Als homogenen Fall (Datenmodell 4) betrachten wir die folgende Konstellation: 𝑆𝑆1=𝑆𝑆2=⋯=𝑆𝑆= 1 und 𝑝𝑝1=𝑝𝑝2=⋯=𝑝𝑝= 0,25, d.h. alle Schadenbeträge und alle Eintrittswahrscheinlichkeiten sind identisch. Somit steht der Gesamtschaden, d.h. die Summe der zweiwertigen Zufallsvariablen, für die Anzahl der eingetretenen Schäden. Dies entspricht der Ausgangssituation des Satzes von Laplace und De Moivre, d.h. auch hier sollte man eine Normalverteilung beobachten können. Vergleicht man die Werte für die Kennzahlen, so liegen die Abweichungen ab 500 Risiken im Promillebereich (mit Ausnahme der Standardabweichung). Bei 200 Risiken bzw. 100 Risiken gibt es lediglich beim Value at Risk bzw. beim Expected Shortfall (jeweils 1%) größere Abweichungen. Dies passt zu den Q-Q-Diagrammen: Auch hier sind bei 100 und 200 Risiken größere Abweichungen an beiden Rändern zu beobachten, wohingegen ab 500 Risiken lediglich am oberen Rand kleinere Abweichungen bzw. einzelne Ausreiser vorkommen. Allerdings lehnen die statistischen Tests die Normalverteilungshypothese erst ab 5.000 nicht ab. Dies ist sicherlich auf die Nähe der Summe der zweiwertigen Zufallsvariablen zu einer diskreten Verteilung zurückzuführen. Auf den ersten Blick passt dies nicht zu dem Ergebnis des Satzes von Laplace und De Moivre bzw. der Faustregel, dass bei Berücksichtigung des Korrekturterms 0,5 unter den Bedingungen 𝑛𝑛∙𝑝𝑝≥10 und 𝑛𝑛∙(1 −𝑝𝑝)≥10 von einer hinreichend guten Annäherung an die Normalverteilung ausgegangen werden kann, d.h. im vorliegenden Beispiel ab 𝑛𝑛=40 Risiken. Vergleicht man allerdings für nicht zu große 𝑛𝑛 die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Binomialverteilung und der entsprechenden Normalverteilung, so erkennt man, dass es gerade an den Rändern wegen der niedrigen Größenordnung der Werte zwar zu geringen absoluten aber zu hohen relativen Abweichungen kommt. Diese Abweichungen an den Rändern führen dann in Kombination mit einem großen Stichprobenumfang (hier: 𝑚𝑚=10.000) zu hohen Werten für die Teststatistiken und zur Ablehnung der Normalverteilungshypothese. Zu erwähnen ist noch, dass ausgehend von Datenmodell 1 die Annahme eines identischen Schadenbetrags eher zu einer Ablehnung der Normalverteilungshypothese führt als die Annahme einer identischen Eintrittswahrscheinlichkeit. Hier die Zusammenstellung der Ergebnisse und die Q-Q-Diagramme für das Datenmodell 4. - 20 - Datenmodell 4 Simulationsergebnisse Anzahl der Risiken Erwartungs‐ wert Standard‐ abweichung Value at Risk 5% Value at Risk 1% Expected Shortfall 5% Expected Shortfall 1% Schätzwerte 10 2,51 1,36 5,00 6,00 5,50 6,45 50 12,56 3,05 18,00 20,00 19,17 21,13 100 25,04 4,31 32,00 36,00 34,34 37,08 200 50,05 6,07 60,00 65,00 62,86 66,97 500 125,07 9,58 141,00 148,00 145,29 152,05 1000 249,96 13,54 272,00 283,00 278,66 287,14 5000 1.250,07 30,78 1.301,00 1.321,00 1.313,66 1.333,61 Theoretische 10 2,50 1,37 4,75 5,69 5,32 6,15 Werte 50 12,50 3,06 17,54 19,62 18,82 20,66 100 25,00 4,33 32,12 35,07 33,93 36,54 200 50,00 6,12 60,07 64,25 62,63 66,32 500 125,00 9,68 140,93 147,52 144,97 150,81 1000 250,00 13,69 272,52 281,85 278,24 286,50 5000 1.250,00 30,62 1.300,36 1.321,23 1.313,15 1.331,61 Abweichung 10 ‐0,40% 0,74% ‐5,00% ‐5,17% ‐3,27% ‐4,65% 50 ‐0,48% 0,33% ‐2,56% ‐1,90% ‐1,83% ‐2,22% 100 ‐0,16% 0,46% 0,37% ‐2,58% ‐1,19% ‐1,46% 200 ‐0,10% 0,82% 0,12% ‐1,15% ‐0,37% ‐0,97% 500 ‐0,06% 1,04% ‐0,05% ‐0,32% ‐0,22% ‐0,82% 1000 0,02% 1,11% 0,19% ‐0,41% ‐0,15% ‐0,22% 5000 ‐0,01% ‐0,52% ‐0,05% 0,02% ‐0,04% ‐0,15% Datenmodell 4 Ergebnisse der statistischenTests Signifikanzniveau 5% Anzahl der Risiken Teststatistik p‐Wert Hypothese ablehnen Kolmogorov‐ 10 15,930 0,0% ja Smirnov‐ 50 7,156 0,0% ja Test 100 5,328 0,0% ja 200 3,986 0,0% ja 500 2,304 0,0% ja 1000 2,410 0,0% ja 5000 0,918 36,8% nein Anderson‐ 10 230,784 ja Darling‐ 50 46,382 ja Test 100 23,877 ja 200 12,410 ja 500 5,379 ja 1000 4,097 ja 5000 0,621 nein - 21 - - 22 - Fazit Mit auf Simulationsergebnissen aufbauenden statistischen Tests und Q-QDiagrammen kann für ein konkretes Portfolio von stochastisch unabhängigen dichotomen Risiken das Vorliegen einer Normalverteilung überprüft werden. Vorsicht ist bei den statistischen Tests bezüglich des Stichprobenumfangs, d.h. bezüglich der Anzahl der Simulationsläufe, geboten. Eine hohe Anzahl von Simulationsläufen kann zu einer Ablehnung der Nullhypothese führen, obwohl nach dem Q-Q-Diagramm eine Normalverteilung naheliegend ist. Des Weiteren kann bei Anwendung der statistischen Tests ein konstanter Schadenbetrag auch bei einer großen Anzahl von Risiken zur Ablehnung der Normalverteilungsannahme führen. Die Q-Q-Diagramm vermitteln in solchen Fällen oft einen besseren Eindruck. - 23 - 6. Approximation mit einer zusammengesetzten PoissonVerteilung Im Bereich der Bankbetriebslehre hat sich eine weitere Approximation für die Verteilung des Gesamtschadens eines Portfolios von stochastisch unabhängigen dichotomen Risiken etabliert. Dabei wird die Verteilung von 𝑍𝑍𝑛𝑛 durch eine zusammengesetzte Poisson-Verteilung approximiert. Dieses Verfahren wird in Literatur als Teil des von Credit Suisse Financial Products im Jahre 1997 entwickelte CreditRisk+TM dargestellt (vgl. [6] S.442ff). Zunächst werden dazu die Schadenbeträge durch eine Grundeinheit 𝐿𝐿 dividiert und das Ergebnis ganzzahlig gerundet. Dabei wird die Grundeinheit 𝐿𝐿 so gewählt, dass der Wert 0 nicht als Ergebnis vorkommen kann. Es sei also: 𝑆𝑆𝑖𝑖∗≔𝑉𝑉𝑟𝑟𝑛𝑛𝑟𝑟𝑟𝑟𝑛𝑛�𝑆𝑆𝑖𝑖 𝐿𝐿� , 𝑖𝑖= 1, … , 𝑛𝑛 Wir betrachten nun das folgende modifizierte Modell. Es sei 𝑋𝑋𝑖𝑖∗=�𝑆𝑆𝑖𝑖∗,𝑝𝑝𝑖𝑖 0 , 1 −𝑝𝑝𝑖𝑖, für alle 𝑖𝑖= 1,2, … und 𝑍𝑍𝑛𝑛∗=𝑋𝑋1∗+𝑋𝑋2∗+⋯+𝑋𝑋𝑛𝑛∗ für 𝑛𝑛∈𝐼𝐼𝐼𝐼. Es gilt 𝑍𝑍𝑛𝑛∗∙𝐿𝐿≈𝑍𝑍𝑛𝑛 für alle 𝑛𝑛∈𝐼𝐼𝐼𝐼. Insbesondere ist 𝑍𝑍𝑛𝑛∗ eine 𝐼𝐼𝐼𝐼0-wertige Zufallsvariable, d.h. die Verteilung ist durch die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion 𝑓𝑓(𝑠𝑠)=𝐸𝐸�𝑠𝑠𝑍𝑍𝑛𝑛∗�,𝑠𝑠∈[0,1] eindeutig festgelegt. Es gilt: 𝑓𝑓(𝑠𝑠)=𝐸𝐸�𝑠𝑠𝑍𝑍𝑛𝑛∗�=𝐸𝐸�𝑠𝑠𝑋𝑋1∗+𝑋𝑋2∗+⋯+𝑋𝑋𝑛𝑛∗�=𝐸𝐸��𝑠𝑠𝑋𝑋𝑖𝑖∗ 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 �=�𝐸𝐸�𝑠𝑠𝑋𝑋𝑖𝑖∗� 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 = =��𝑠𝑠𝑆𝑆𝑖𝑖∗∙𝑝𝑝𝑖𝑖+(1−𝑝𝑝𝑖𝑖)� 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 =�exp �ln �1 + 𝑝𝑝𝑖𝑖∙�𝑠𝑠𝑆𝑆𝑖𝑖∗−1��� 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 Verwendet man die Näherung ln (1 + 𝑥𝑥)≈𝑥𝑥 (Tangente an die Funktion ln (1 + 𝑥𝑥) im Punkt 𝑥𝑥0= 0), so ergibt sich: 𝑓𝑓(𝑠𝑠)≈�exp �𝑝𝑝𝑖𝑖∙�𝑠𝑠𝑆𝑆𝑖𝑖∗−1�� 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 =exp ��𝑝𝑝𝑖𝑖∙�𝑠𝑠𝑆𝑆𝑖𝑖∗−1� 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 �= - 30 - 8. Betriebswirtschaftliche Anwendungsgebiete Beispiel 1: Kreditmanagement Das wichtigste Beispiel für dichotome Risiken im Bereich der Bankbetriebslehre ist die Modellierung des Kreditausfallrisikos (vgl. [6] S.436ff). Dabei stellt das hier vorgestellte Modell eine einfache Variante dar: Jeder Kredit kann in einem vorgegebenen Zeitraum ausfallen oder nicht, die Ausfallwahrscheinlichkeit und der Schadenbetrag sind bekannt, die Risiken sind stochastisch unabhängig. Geht man in diesem Modell bei hinreichend großen Anzahl von Krediten aus, so kann die Verteilung des Gesamtschadens je nach Größenordnung der Eintrittswahrscheinlichkeiten mit der Normalverteilung oder mit einer zusammengesetzten Poisson-Verteilung approximiert werden. Quantile bzw. Risikomaße können dann einfach ermittelt werden. Darauf aufbauend wird das Kreditausfallrisiko, z.B. in Form des unexpected loss, quantifiziert. Beispiel 2: Risikoverlust bei einer Pensionskasse Eine Pensionskasse ist einer der Durchführungswege für betriebliche Altersversorgung in Deutschland. Dabei stellt sich regelmäßig die Frage nach den jährlichen Risikoverlusten für die einzelnen Elemente einer Zusage (Hinterbliebenenversorgung, Invalidenversorgung, …). Auch hier handelt es sich um dichotome Risiken: Der Versorgungsfall tritt im Laufe eines Jahres ein oder er tritt nicht ein. Betrachtet man zur Analyse oder Prognose der Risikoverluste lediglich die Anzahl der Versorgungsfälle (z.B. beim Vergleich Anzahl der beobachteten und Anzahl der erwarteten Versorgungsfälle), so ähnelt dies eher Datenmodell 4 im Fallbeispiel 1 ,da der Schadenbetrag einheitlich mit 1 angesetzt wird. Wird das im Versorgungsfall fällige Kapital bzw. der Barwert einer im Versorgungsfall fälligen Rente in die Analyse einbezogen, so entspricht die Problemstellung Datenmodell 1 im Fallbeispiel 1. Bei einer Pensionskasse liegt die Anzahl der Risiken (Personen) häufig im vierstelligen Bereich und es ist ferner üblich, von stochastisch unabhängigen Risiken auszugehen. Zu erwähnen ist noch, dass die jährlichen Eintrittswahrscheinlichkeiten der Versorgungsfälle bedeutend geringer sind als in der Fallbeispiel 1. Die Sterbeund Invalidiesierungswahrscheinlichkeiten sind alters-, geschlechtssowie jahrgangsabhängig und liegen in den stark besetzten Altern im Promilleund unteren Prozentbereich. Beispiel 3: Betriebswirtschaftliches Risikomanagement Im betriebswirtschaftlichen Risikomanagement werden Risiken häufig mit einer Eintrittswahrscheinlichkeit und einem festen Schadenbetrag, d.h. dichotom, modelliert. Dies ist sinnvoll bei ereignisorientierten Risiken, bei denen davon ausgegangen wird, dass sie einmal im Jahr mit einer Wahrscheinlichkeit eintreten können und einen - 31 - bestimmten monetären Schaden zur Folge haben (vgl. [3] S.15ff). Hat man mehrere dieser Risiken und sind diese stochastisch unabhängig, so stellt sich auch hier die Frage, ob eine Normalverteilung zur Quantifizierung des gemeinsamen Schadens verwendet werden kann. Kritisch ist in diesem Beispiel – im Unterschied zu den beiden vorherigen Beispielen – die Anzahl der Risiken. I.d.R. werden im Rahmen des betriebswirtschaftlichen Risikomanagements nur die wesentlichen Risiken bewertet. Ferner werden häufig Abhängigkeitsstrukturen in die Analyse einbezogen. - 32 - 9. Fazit In dem vorliegenden Artikel wird zunächst die Frage, ob bzw. ab welcher Anzahl bei einem Portfolio von stochastisch unabhängigen dichotomen Risiken zur Risikoquantifizierung eine Normalverteilung verwendet werden kann, aus zwei Perspektiven beleuchtet: Theorie und schließende Statistik. Aus Sicht der Theorie lässt sich zeigen, dass unter relativ einfachen Bedingungen der zentrale Grenzwertsatz angewendet werden kann und somit der Gesamtschaden für eine große Anzahl von Risiken annähernd normalverteilt ist. Erzeugt man im Rahmen einer Monte-Carlo-Situation fiktive Datensätze, so kann mit mithilfe von statistischen Methoden die Normalverteilungshypothese getestet werden. Q-Q-Diagramme und der Vergleich von empirischen und theoretischen Kennzahlen bilden hier eine sehr gute Ergänzung bzw. Alternative. Es zeigt sich u.a., dass im homogenen Fall die beiden Perspektiven nicht zum gleichen Ergebnis führen: So liefert der Satz von Laplace und De Moivre im Datenmodell 4 eine hinreichend gute Näherung ab 40 Risiken, die Monte-Carlo-Simulation mit den statistischen Tests, den Q-Q-Diagrammen und dem Vergleich der Kennzahlen aber erst ab 5.000 bzw. 500 Risiken. Als zweites Verfahren zur Quantifizierung des Gesamtrisikos wird alternativ die Approximation mithilfe einer zusammengesetzten Poisson-Verteilung betrachtet. Die Beispiele zeigen, dass bei Eintrittswahrscheinlichkeiten, die näher an 50% liegen, bezogen auf die Risikomaße die Normalverteilungs-Approximation vorzuziehen ist, bei kleineren Eintrittswahrscheinlichkeiten hingegen die Approximation mithilfe einer zusammengesetzten Poisson-Verteilung. Die einfache Form der Modellierung von Risiken mit zweiwertigen Zufallsvariablen findet man in verschiedenen Bereichen der Betriebswirtschaftslehre. Wendet man die Verfahren aus den Fallbeispielen an, so kann man in konkreten Fällen analysieren, ob die Normalverteilungsannahme für den Gesamtschaden gerechtfertigt und somit eine formelmäßig einfache Risikoquantifizierung möglich ist. Im vorliegenden Artikel wird generell von der stochastischen Unabhängigkeit der dichotomen Risiken ausgegangen. Gibt es Abhängigkeiten zwischen den Risiken, so können diese z.B. mithilfe einer Korrelationsmatrix oder einer Copula modelliert werden. Es stellt sich dann die Frage, ob in diesem Fall ebenfalls näherungsweise eine vereinfachte Quantifizierung des Gesamtschadens möglich ist. - 33 - Literaturverzeichnis [1] Arrenberg, Jutta Analyse multivariater Daten mit SPSS, Books on Demand, Norderstedt 2019. [2] Cottin, Claudia; Döhler, Sebastian Risikoanalyse, 2. Auflage, Wiesbaden: Springer 2013. [3] Gleißner, Werner; Wolfrum, Marco Risikoaggregation und Monte-Carlo-Simulation, Springer-Verlag, Wiesbaden 2019. 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Eine vollständige Übersicht aller bisher erschienenen Publikationen findet sich am Ende dieser Publikation und kann hier abgerufen werden. Forschung am ivw Köln, 2/2021 ISSN (online) 2192 -8479 Ralf Knobloch: Die quantitative Risikobewertung bei einem Portfolio von dichotomen Risiken mithilfe des zentralen Grenzwertsatzes Köln, Januar 2021 Schriftleitung / editor’s office: Prof. Dr. Ralf Knobloch S chmalenbach Institut für Wirtschaftswissenschaften / Schmalenbach Institute of Business Administration Fakultät für Wirtschafts - und Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Technische Hochschule Köln / University of Applied Sciences Gustav Heinemann-Ufer 54 50968 Köln Mail ralf.knobloch@th -koeln.de Herausgeber der Schriftenreihe / Series Editorship: Prof. Dr. Ralf Knobloch Prof. Dr. Peter Schimikowski Marcel Berg Kontakt Autor / Contact author: Prof. Dr. Ralf Knobloch S chmalenbach Institut für Wirtschaftswissenschaften / Schmalenbach Institute of Business Administration Fakultät für Wirtschafts - und Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Technische Hochschule Köln / University of Applied Sciences Gustav Heinemann-Ufer 54 50968 Köln Mail ralf.knobloch@th -koeln.de Publikationsreihe „Forschung am ivwKöln“ Die Veröffentlichungen der Online-Publikationsreihe "Forschung am ivwKöln" (ISSN: 2192-8479) werden üblicherweise über Cologne Open Science (Publikationsserver der TH Köln) veröffentlicht. Die Publikationen werden hierdurch über nationale und internationale Bibliothekskataloge, Suchmaschinen sowie andere Nachweisinstrumente erschlossen. Alle Publikationen sind auch kostenlos abrufbar unter www.ivw-koeln.de. 2021 1/2021 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2020 (im Erscheinen) 2020 7/2020 Müller-Peters, Schmidt, Völler: Revolutionieren Big Data und KI die Versicherungswirtschaft? 24. Kölner Versicherungssymposium am 14. November 2019 6/2020 Schmidt: Künstliche Intelligenz im Risikomanagement. Proceedings zum 15. FaRis & DAV Symposium am 6. Dezember 2019 in Köln 5/2020 Müller-Peters: Die Wahrnehmung von Risiken im Rahmen der Corona-Krise 4/2020 Knobloch: Modellierung einer Cantelli-Zusage mithilfe einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette 3/2020 Müller-Peters, Gatzert: Todsicher: Die Wahrnehmung und Fehlwahrnehmung von Alltagsrisiken in der Öffentlichkeit 2/2020 Völler, Müller-Peters: InsurTech Karte ivwKöln 2020 - Beiträge zu InsurTechs und Innovation am ivwKöln 1/2020 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2019 2019 5/2019 Muders: Risiko und Resilienz kollektiver Sparprozesse – Backtesting auf Basis deutscher und USamerikanischer Kapitalmarktdaten 1957-2017 4/2019 Heep-Altiner, Berg: Mikroökonomisches Produktionsmodell für Versicherungen. Teil 2: Renditemaximierung und Vergleich mit klassischen Optimierungsansätzen. 3/2019 Völler, Müller-Peters: InsurTech Karte ivwKöln 2019 - Beiträge zu InsurTechs und Innovation am ivwKöln 2/2019 Rohlfs, Pütz, Morawetz: Risiken des automatisierten Fahrens. Herausforderungen und Lösungsansätze für die Kfz-Versicherung. Proceedings zum 14. FaRis & DAV-Symposium am 7.12.2018 in Köln. 1/2019 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2018 2018 7/2018 Goecke: Resilience and Intergenerational Fairness in Collective Defined Contribution Pension Funds 6/2018 Miebs: Kapitalanlagestrategien für die bAV – Herausforderungen für das Asset Management durch das Betriebsrentenstärkungsgesetz. Proceedings zum 13. FaRis & DAV Symposium am 8. Dezember 2017 in Köln 5/2018 Goecke, Heep-Altiner, Knobloch, Schiegl, Schmidt (Hrsg.): FaRis at ICA 2018 – Contributions to the International Congress of Actuaries 2018 in Berlin. Beiträge von FaRis Mitgliedern zum Weltkongress der Aktuare vom 4. bis zum 8. Juni 2018 in Berlin 4/2018 Knobloch: Die Pfade einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette - Fallbeispiele aus der betrieblichen Altersversorgung 3/2018 Völler, Müller-Peters: InsurTech Karte ivwKöln 1/2018 - Beiträge zu InsurTechs und Innovation am ivwKöln 2/2018 Schmidt, Schulz: InsurTech. Proceedings zum 12. FaRis & DAV Symposium am 9. Juni 2017 in Köln 1/2018 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2017 2017 8/2017 Materne, Pütz: Alternative Capital und Basisrisiko in der Standardformel (non-life) von Solvency II 7/2017 Knobloch: Konstruktion einer unterjährlichen Markov-Kette aus einer jährlichen Markov-Kette - Eine Verallgemeinerung des linearen Ansatzes 6/2017 Goecke, Oskar (Hrsg.): Risiko und Resilienz. Proceedings zum 11. FaRis & DAV Symposium am 9. Dezember 2016 in Köln 5/2017 Grundhöfer, Dreuw, Quint, Stegemann: Bewertungsportale - eine neue Qualität der Konsumenteninformation? 4/2017 Heep-Altiner, Mehring, Rohlfs: Bewertung des verfügbaren Kapitals am Beispiel des Datenmodells der „IVW Privat AG“ 3/2017 Müller-Peters, Völler: InsurTech Karte ivwKöln 1/2017 - Beiträge zu InsurTechs und Innovation am ivwKöln 2/2017 Heep-Altiner, Müller-Peters, Schimikowski, Schnur (Hrsg.): Big Data für Versicherungen. Proceedings zum 21. Kölner Versicherungssymposium am 3. 11. 2016 in Köln 1/2017 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2016 2016 13/2016 Völler: Erfolgsfaktoren eines Online-Portals für Akademiker 12/2016 Müller-Peters, Gatzert: Todsicher: Die Wahrnehmung und Fehlwahrnehmung von Alltagsrisiken in der Öffentlichkeit (erscheint 2017) 11/2016 Heep-Altiner, Penzel, Rohlfs, Voßmann: Standardformel und weitere Anwendungen am Beispiel des durchgängigen Datenmodells der „IVW Leben AG“ 10/2016 Heep-Altiner (Hrsg.): Big Data. Proceedings zum 10. FaRis & DAV Symposium am 10. Juni 2016 in Köln 9/2016 Materne, Pütz, Engling: Die Anforderungen an die Ereignisdefinition des Rückversicherungsvertrags: Eindeutigkeit und Konsistenz mit dem zugrundeliegenden Risiko 8/2016 Rohlfs (Hrsg.): Quantitatives Risikomanagement. Proceedings zum 9. FaRis & DAV Symposium am 4. Dezember 2015 in Köln 7/2016 Eremuk, Heep-Altiner: Internes Modell am Beispiel des durchgängigen Datenmodells der „IVW Privat AG“ 6/2016 Heep-Altiner, Rohlfs, Dağoğlu, Pulido, Venter: Berichtspflichten und Prozessanforderungen nach Solvency II 5/2016 Goecke: Collective Defined Contribution Plans - Backtesting based on German capital market data 1955 - 2015 4/2016 Knobloch: Bewertete inhomogene Markov-Ketten - Spezielle unterjährliche und zeitstetige Modelle 3/2016 Völler (Hrsg.): Sozialisiert durch Google, Apple, Amazon, Facebook und Co. – Kundenerwartungen und –erfahrungen in der Assekuranz. Proceedings zum 20. Kölner Versicherungssymposium am 5. November 2015 in Köln 2/2016 Materne (Hrsg.): Jahresbericht 2015 des Forschungsschwerpunkts Rückversicherung 1/2016 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2015 2015 11/2015 Goecke (Hrsg.): Kapitalanlagerisiken: Economic Scenario Generator und Liquiditätsmanagement. Proceedings zum 8. FaRis & DAV Symposium am 12. Juni 2015 in Köln 10/2015 Heep-Altiner, Rohlfs: Standardformel und weitere Anwendungen am Beispiel des durchgängigen Datenmodells der „IVW Privat AG“ – Teil 2 9/2015 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds 8/2015 Strobel (Hrsg.): Management des Langlebigkeitsrisikos. Proceedings zum 7. FaRis & DAV Symposium am 5.12.2014 in Köln 7/2015 Völler, Wunder: Enterprise 2.0: Konzeption eines Wikis im Sinne des prozessorientierten Wissensmanagements 6/2015 Heep-Altiner, Rohlfs: Standardformel und weitere Anwendungen am Beispiel des durchgängigen Datenmodells der „IVW Privat AG‘‘ 5/2015 Knobloch: Momente und charakteristische Funktion des Barwerts einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette. Anwendung bei risikobehafteten Zahlungsströmen 4/2015 Heep-Altiner, Rohlfs, Beier: Erneuerbare Energien und ALM eines Versicherungsunternehmens 3/2015 Dolgov: Calibration of Heston's stochastic volatility model to an empirical density using a genetic algorithm 2/2015 Heep-Altiner, Berg: Mikroökonomisches Produktionsmodell für Versicherungen 1/2015 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2014 2014 10/2014 Müller-Peters, Völler (beide Hrsg.): Innovation in der Versicherungswirtschaft 9/2014 Knobloch: Zahlungsströme mit zinsunabhängigem Barwert 8/2014 Heep-Altiner, Münchow, Scuzzarello: Ausgleichsrechnungen mit Gauß Markow Modellen am Beispiel eines fiktiven Stornobestandes 7/2014 Grundhöfer, Röttger, Scherer: Wozu noch Papier? Einstellungen von Studierenden zu E-Books 6/2014 Heep-Altiner, Berg (beide Hrsg.): Katastrophenmodellierung - Naturkatastrophen, Man Made Risiken, Epidemien und mehr. Proceedings zum 6. FaRis & DAV Symposium am 13.06.2014 in Köln 5/2014 Goecke (Hrsg.): Modell und Wirklichkeit. Proceedings zum 5. FaRis & DAV Symposium am 6. Dezember 2013 in Köln 4/2014 Heep-Altiner, Hoos, Krahforst: Fair Value Bewertung von zedierten Reserven 3/2014 Heep-Altiner, Hoos: Vereinfachter Nat Cat Modellierungsansatz zur Rückversicherungsoptimierung 2/2014 Zimmermann: Frauen im Versicherungsvertrieb. Was sagen die Privatkunden dazu? 1/2014 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2013 2013 11/2013 Heep-Altiner: Verlustabsorbierung durch latente Steuern nach Solvency II in der Schadenversicherung, Nr. 11/2013 10/2013 Müller-Peters: Kundenverhalten im Umbruch? Neue Informationsund Abschlusswege in der KfzVersicherung, Nr. 10/2013 9/2013 Knobloch: Risikomanagement in der betrieblichen Altersversorgung. Proceedings zum 4. FaRis & DAV-Symposium am 14. Juni 2013 8/2013 Strobel (Hrsg.): Rechnungsgrundlagen und Prämien in der Personenund Schadenversicherung - Aktuelle Ansätze, Möglichkeiten und Grenzen. Proceedings zum 3. FaRis & DAV Symposium am 7. Dezember 2012 7/2013 Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Backtesting 6/2013 Knobloch: Konstruktion einer unterjährlichen Markov-Kette aus einer jährlichen Markov-Kette 5/2013 Heep-Altiner et al. (Hrsg.): Value-Based-Management in Non-Life Insurance 4/2013 Heep-Altiner: Vereinfachtes Formelwerk für den MCEV ohne Renewals in der Schadenversicherung 3/2013 Müller-Peters: Der vernetzte Autofahrer – Akzeptanz und Akzeptanzgrenzen von eCall, Werkstattvernetzung und Mehrwertdiensten im Automobilbereich 2/2013 Maier, Schimikowski (beide Hrsg.): Proceedings zum 6. Diskussionsforum Versicherungsrecht am 25. September 2012 an der FH Köln 1/2013 Institut für Versicherungswesen (Hrsg.): Forschungsbericht für das Jahr 2012 2012 11/2012 Goecke (Hrsg.): Alternative Zinsgarantien in der Lebensversicherung. Proceedings zum 2. FaRis & DAV-Symposiums am 1. Juni 2012 10/2012 Klatt, Schiegl: Quantitative Risikoanalyse und -bewertung technischer Systeme am Beispiel eines medizinischen Gerätes 9/2012 Müller-Peters: Vergleichsportale und Verbraucherwünsche 8/2012 Füllgraf, Völler: Social Media Reifegradmodell für die deutsche Versicherungswirtschaft 7/2012 Völler: Die Social Media Matrix - Orientierung für die Versicherungsbranche 6/2012 Knobloch: Bewertung von risikobehafteten Zahlungsströmen mithilfe von Markov-Ketten bei unterjährlicher Zahlweise 5/2012 Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationsrechnungen 4/2012 Günther (Hrsg.): Privat versus Staat - Schussfahrt zur Zwangsversicherung? Tagungsband zum 16. Kölner Versicherungssymposium am 16. 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