Management des Langlebigkeitsrisikos. Proceedings zum 7. FaRis & DAV Symposium am 5.12.2014 in Köln
Abstract
Die säkulare Sterblichkeitsverbesserung stellt seit langem alle Alterssicherungssysteme vor große Herausforderungen. Nicht zuletzt die Lebensversicherungswirtschaft als klassischer Anbieter von privaten Rentenversicherungen ist davon betroffen. Eine Analyse der Sterblichkeitsentwicklung kann unter ganz unterschiedlichen Blickwinkeln durchgeführt werden; einige wichtige Aspekte wurden beim 7. FaRis & DAV-Symposium vertieft behandelt.
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Forschung am IVW Köln, 8/2015 Institut für Versicherungswesen Management des Langlebigkeitsrisikos Proceedings zum 7. FaRis & DAV Symposium am 5.12.2014 in Köln Jürgen Strobel (Hrsg.)
Forschung am IVW Köln, 8 / 2015 Wählen Sie ein Element aus. Jürgen Strobel Forschungsstelle FaRis Management des Langlebigkeitsrisikos. Proceedings zum 7. FaRis & DAV Symposium am 5.12.2014 in Köln Zusammenfassung Die säkulare Sterblichkeitsverbesserung stellt seit langem alle Alterssicherungssysteme vor große Herausforderungen. Nicht zuletzt die Lebensversicherungswirtschaft als klassischer Anbieter von privaten Rentenversicherungen ist davon betroffen. Eine Analyse der Sterblichkeitsentwicklung kann unter ganz unterschiedlichen Blickwinkeln durchgeführt werden; einige wichtige Aspekte wurden beim 7. FaRis & DAVSymposium vertieft behandelt. Abstract T he improvement of the mortality is one of the biggest challenges for pension systems. Especially, life insurance as the classical supplier of private annuities is affected by this aspect. An analysis of the development of mortality can be proceeded on the base of different perspectives – some of these have been treated intensively at the 7th FaRis & DAV Symposium. Schlagwörter Langlebigkeitsrisiko, Langfristiger und kurzfristiger Sterblichkeitstrend, stochastische Projektionsmodelle, Lee-CarterModell, Methode von Heligman-Pollard, Cairns-Blake-Dowd Modell, Transfer von Langlebigkeit in Versicherungsmärkte, Transfer von Langlebigkeit in Kapitalmärkte, Longevity Swaps
III Vorwort Die säkulare Sterblichkeitsverbesserung stellt seit langem alle Alterssicherungssysteme vor große Herausforderungen. Nicht zuletzt die Lebensversicherungswirtschaft als klassischer Anbieter von privaten Rentenversicherungen ist davon betroffen. Eine Analyse der Sterblichkeitsentwicklung kann unter ganz unterschiedlichen Blickwinkeln durchgeführt werden; einige wichtige Aspekte sind beim 7. FaRis & DAV-Symposium vertieft behandelt worden. Zum einen geht es darum, die Sterblichkeitsentwicklung mathematisch zu modellieren. Besondere Bedeutung haben stochastische Projektionsmodelle für die Bevölkerungssterblichkeit gewonnen, die den langfristigen Sterblichkeitstrend quantifizieren. In jüngster Zeit kommen solche Modelle vermehrt im aktuariellen Alltag zum Einsatz, wenn es darum geht, nicht nur eine Best-Estimate-Annahme über die zukünftige Sterblichkeit, sondern auch Aussagen über die Verteilung möglicher Versorgungsoder Versicherungsleistungen zu treffen und so beispielsweise Sicherheitszuschläge und Solvenzkapital mit Blick auf Solvency II risikoadäquat zu berechnen. Eine wichtige Rolle spielen auch die Interdependenzen zwischen der Entwicklung der Langlebigkeit und dem Zinsniveau. Dazu wird untersucht, wie ein angemessenes Asset/Liability-Management in einem sich selbst finanzierenden Rentenbestand aussehen könnte. Die Ergebnisse sind auch für die betriebliche Altersversorgung von Interesse. Schließlich bleibt für den im Unternehmen verantwortlichen Praktiker die wichtige Aufgabe, die Sterblichkeitsrisiken zu managen, die bei aller Sorgfalt der Modellierung unvermeidlich verbleiben. Hier sind Rückversicherungslösungen genauso zu nennen wie Absicherungen über den Kapitalmarkt. Auch diese Thematik ist beim im Symposium aufgegriffen worden. Köln, April 2015 Jürgen Strobel
IV Autorenverzeichnis 1. Das Langlebigkeitsrisiko als versicherungstechnisches Risiko Jürgen Strobel 2. Die Sterberaten der Zukunft Stochastische Modellierung von Sterberaten für das Solvency II – SCR des Langlebigkeitsrisikos Kai Kaufhold 3. Kollektiver Risikoausgleich in einem Rentenbestand Oskar Goecke 4. Langlebigkeit Quo Vadis? Transfer von Langlebigkeit in Versicherungsund Kapitalmärkte Cord-Roland Rinke
V Inhaltsverzeichnis VORWORT ........................................................................................................................................................... III AUTORENVERZEICHNIS ................................................................................................................................. IV ABBILDUNGSVERZEICHNIS ......................................................................................................................... VII TABELLENVERZEICHNIS ................................................................................................................................. IX ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS .......................................................................................................................... X 1DAS LANGLEBIGKEITSRISIKO ALS VERSICHERUNGSTECHNISCHES RISIKO ......................... 1 1.1KOMPONENTEN DES LANGLEBIGKEITSRISIKOS ...................................................................................... 1 1.2AUSGEWÄHLTE MODELLE ZU DER STERBLICHKEITSENTWICKLUNG IM ÜBERBLICK ............................. 6 1.3LITERATURHINWEISE ............................................................................................................................. 10 2DIE STERBERATEN DER ZUKUNFT .................................................................................................... 11 2.1EINFÜHRUNG UND DEFINITIONEN ....................................................................................................... 11 2.2WAS IST TRENDRISIKO BEI STERBERATEN? .......................................................................................... 15 2.3MODELLBEISPIELE: LEE-CARTER, CAIRNS-BLAKE-DOWD .................................................................. 16 2.3.1Lee-Carter-artige Modelle................................................................................................... 17 2.3.2Cairns-Blake-Dowd Modelle .............................................................................................. 20 2.3.3Projektion der zeitabhängigen Parameter ..................................................................... 25 2.4STATISTISCHE MODELLIERUNG DES VALUE-AT-RISK .......................................................................... 26 2.4.1Value-at-Risk-Methode ....................................................................................................... 27 2.5ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK ................................................................................................. 29 2.6LITERATURHINWEISE ............................................................................................................................. 30 3KOLLEKTIVER RISIKOAUSGLEICH IN EINEM RENTENBESTAND .............................................. 31 3.1EINLEITUNG ........................................................................................................................................... 31 3.2MODELLBESCHREIBUNG ....................................................................................................................... 32 3.2.1Das Sterblichkeitsmodell .................................................................................................... 33 3.2.2Das Kapitalmarktmodell .................................................................................................... 40 3.2.3Darstellung der Asset-Liability Strategie ........................................................................ 40 3.3SIMULATIONSRECHNUNGEN ................................................................................................................ 43 3.3.1Spezialfall: Risikolose Kapitalanlage ( 0 Ziel ) ........................................................... 44 3.3.2Der allgemeine Fall: Risikobehaftete Kapitalanlage ( 0 Ziel ) ............................... 45 3.4RESÜMEE ............................................................................................................................................... 46
VI 4LANGLEBIGKEIT, QUO VADIS? ........................................................................................................... 48 4.1EINLEITUNG ........................................................................................................................................... 48 4.2LANGLEBIGKEITSRISIKEN ....................................................................................................................... 49 4.3STERBLICHKEITSVERBESSERUNGEN ...................................................................................................... 51 4.4LONGEVITY SWAP ................................................................................................................................. 54 4.5DERIVATE .............................................................................................................................................. 56 4.6WRAP UP .............................................................................................................................................. 59
VII Abbildungsverzeichnis Abbildung 1: Lebenserwartung von Neugeborenen ......................................................................... 2 Abbildung 2: Lebenserwartung von 65 – jährigen Männern und Frauen .................................. 2 Abbildung 3: Entwicklung der Sterblichkeit im Zeitablauf für ausgewählte Alter .................. 3 Abbildung 4: Entwicklung der Sterblichkeit im Zeitablauf für die Alter 30 und 60 in vergrößertem Maßstab .................................................................................................................................. 3 Abbildung 5: Logarithmische Sterbeziffer , für westdeutsche Männer .................. 12 Abbildung 6: Sterbeziffer , gegen Zeit ......................................................................................... 13 Abbildung 7: Sterblichkeitsverbesserungsraten für 70-jährige Männer ................................... 14 Abbildung 8: Sterbeziffer , für 70-jährige Männer ................................................................... 14 Abbildung 9: Sterblichkeitsverbesserungsraten im gleitenden 9-Jahres-Mittel gegen Zeit (horizontal) und Alter (vertikal) ................................................................................................................. 15 Abbildung 10: Parameterschätzungen für M1 (Lee-Carter) ........................................................... 18 Abbildung 11: Residuen (Vorzeichen) des Lee-Carter-Modells .................................................... 19 Abbildung 12: Parameterschätzungen M5 (CBD-Modell) .............................................................. 20 Abbildung 13: Residuen (Vorzeichen) des Cairns Blake Dowd-Modells ................................... 21 Abbildung 14: Parameterschätzungen für M6 (CBD mit Cohort Effect) .................................... 22 Abbildung 15: Residuen (Vorzeichen) des Modells M6 (CBD mit Cohort Effect) ................... 24 Abbildung 16: Projektion der Sterberaten mx,t für Alter x=70 mit 99,5% Konfidenz-Intervall ............................................................................................................................................................................... 26 Abbildung 17: Schematische Darstellung des Datenbestands .................................................... 28 Abbildung 18: Vergleich SCRlongevity für verschiedene Berechnungsmethoden ...................... 29 Abbildung 19: Vereinfachte Bilanz des Pensionsfonds.................................................................... 32 Abbildung 20: Stochastische Faktoren und Steuerungsparameter des Modells .................. 33 Abbildung 21: logit(1-p(x, t)) für die Basistafel 2005 und Projektionstafel 2055 der Richttafeln 2005G für Frauen sowie die lineare Approximation im CBD-Modell .................. 35 Abbildung 22: logit(1-p(x, t)) für die Basistafel 2005 und Projektionstafel 2055 der Richttafeln 2005G für Männer sowie die lineare Approximation im CBD-Modell ................. 35 Abbildung 23: Vergleich der Periodentafeln für die Basistafel 2005 und Projektionstafel 2055 der Richttafeln 2005G für Frauen und Männer sowie die Approximationen im CBDModell ................................................................................................................................................................. 36
VIII Abbildung 24: Mittlere fernere Lebenserwartung 65-jähriger Frauen in Abhängigkeit vom Geburtsjahr, Vergleich der Werte nach Richttafeln 2005G und des CBD-Modell (deterministisch und Quantile des stochastischen Modells) ......................................................... 37 Abbildung 25: Mittlere fernere Lebenserwartung 65-jähriger Männer in Abhängigkeit vom Geburtsjahr, Vergleich der Werte nach Richttafeln 2005G und des CBD-Modell (deterministisch und Quantile des stochastischen Modells) ......................................................... 37 Abbildung 26: Struktur des hybriden Musterbestandes (Bestand XL) für die Simulation . 38 Abbildung 27: Simulation der Bestandsentwicklung ....................................................................... 39 Abbildung 28: 1% und 5%-Quantile für die Ruinwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der Anpassungsgeschwindigkeit und der erforderlichen Reservequote. Ausgewertet wurden jeweils 10 000 Simulationsläufe. .............................................................................................. 44 Abbildung 29: Die Volatilität der Rentenanpassung in Abhängigkeit von der Anpassungsgeschwindigkeit ................................................................................................................ 45 Abbildung 30: 5%-Quantile für die Ruinwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der Anpassungsgeschwindigkeit und der erforderlichen Reservequote (0) Ziel . Ausgewertet wurden jeweils 1 000 Simulationsläufe ...................................................................... 46 Abbildung 31: Lebenserwartung und Rentenfaktoren (m/w) in GB .......................................... 48 Abbildung 32: Kapitalanlagen zur Bedeckung von Renten & Pensionen in Billionen USD49 Abbildung 33: Sterblichkeitsverbesserungen für männliche Amerikaner ............................... 51 Abbildung 34: Alterskomponenten in D (West), USA und GB ....................................................... 52 Abbildung 35: Periodenkomponenten in D (West), USA und GB ................................................ 53 Abbildung 36: Kohortenkomponenten in D (West), USA und GB ............................................... 53 Abbildung 37: Alle Komponenten in D (West), USA und GB ......................................................... 54 Abbildung 38: Historischer & projizierter Trend für Männer in GB .............................................. 54 Abbildung 39: Cash Flow eines Longevity Swaps ............................................................................. 55 Abbildung 40: Buy-Out, Buy-In und Longevity Swaps in Milliarden GBP ................................ 56 Abbildung 41: Vorgehensweise bei einem Mortality Forward ..................................................... 57 Abbildung 42: Auszahlungsstruktur des Mortality Forwards ........................................................ 57
IX Tabellenverzeichnis Tabelle 1: Die ältesten Menschen der Welt ............................................................................................ 1 Tabelle 2: Übersicht der Parameter für das CBD-Modell bei einer Kalibrierung auf der Grundlagen der Periodentafeln 20052055 der Richttafeln Heubeck 2005G ........................ 34 Tabelle 3: Wichtige Risiken bei der Altersvorsorge ........................................................................... 50 Tabelle 4: Vorund Nachteile von Rückversicherungslösungen und Derivaten .................... 59
6 1.2 Ausgewählte Modelle zu der Sterblichkeitsentwicklung im Überblick Im Folgenden wird durchgehend die folgende Bezeichnung verwendet: qx,t≔Sterbewahrscheinlichkeit eines x-jährigen im Kalenderjahr t a) Methode der Sterbetafel DAV 2004 R11 In dem „traditionellen Modell“, das bei der Herleitung der Sterbetafel DAV 2004 R zugrunde gelegt wurde, sind die Sterblichkeitsverbesserungen nur vom Alter abhängig. Dabei legen die Beobachtungen nahe, dass sich die Sterbewahrscheinlichkeiten für jedes Alter x in exponentieller Weise verringern. Konkret wird mit dem Ansatz gearbeitet: ln (q ) = - F(x) t + B(x), x,t woraus unmittelbar folgt q = exp (- F(x) t + B(x)) x,t Die Veränderungen der Sterbewahrscheinlichkeiten im Zeitablauf, also bei wachsendem t, folgen dann der Gesetzmäßigkeit qx,t+1 = exp (- F(x)) qx,t Die altersspezifischen Trendfaktoren werden dabei mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate durch lineare Regression aus den Werten ln (q ) x,t bestimmt. b) Methode von Heligman-Pollard (1980)12 Heligman und Pollard arbeiten mit einem parametrischen Ansatz, der vom Grundsatz her der Idee der früheren Sterbegesetze folgt. Die Sterbewahrscheinlichkeiten qx,t werden in einem parametrischen Ansatz dargestellt, wobei es gilt, die (große) Anzahl von Parametern geeignet an die empirischen Werte anzupassen und damit eine Extrapolation zu ermöglichen. Konkret sei von den verwendeten Varianten die nachfolgende erwähnt13: C2 t ttt x (x + B ) - E (ln(x) - ln(F )) tt x, t t t x ttt GH q=A +De + 1+K G H 11 vgl. Bauer, M. (2005), Blätter der DGVFM, S. 199 ff. 12 vgl. Heligman/ Pollard (1980) 13 vgl. Gaille, EAJ (2012), S. 49 ff.
7 wobei At,Bt,Ct,Dt,Gt ϵ 0,1 , Et, Ht>0 , 15≤Ft≤100 . Dabei hat jeder Parameter eine demografische und/oder eine biologische Bedeutung: Der erste Summand repräsentiert die Mortalitätsraten der Kindheit, der zweite Summand die Sterblichkeit der „mittleren Jahre“ einschließlich des Unfallbuckels und der dritte Summand schließlich die Mortalitätsraten der höheren Alter. Insbesondere bewirkt der Parameter Kt eine bessere Anpassung in den hohen Altern. Die Parameter der Heligman-Pollard-Funktion können mit verschiedenen funktionalen Ansätzen modelliert werden. In Frage kommen: lineare quadratische exponentielle Funktionen in Abhängigkeit von dem Betrachtungsjahr t. Diese Funktionen sind einfach strukturiert, enthalten wenige Parameter und können einfach plausibilisiert werden. Die Anpassung an die Beobachtungswerte geschieht mit normalen Kleinste-Quadrate-Ansätzen. c) Methode von Lee-Carter (1992)14 Das bekannte und gut eingeführte Lee-Carter Modell erlaubt eine Analyse stetiger Sterblichkeitsveränderungen. Modelliert werden logarithmierte Sterbewahrscheinlichkeiten anhand der folgenden Formel: x, t x x t x,t ln (q ) = a + b k + e Dabei ist n 1 a = ln (q ) xx,t nt = 1 bx altersabhängiger Intensitätsparameter kt Zeittrend (stochastisch über die Zeit variierende Variable, welche der treibende Faktor der Sterblichkeitsentwicklung ist und über die Gewichtungsfaktoren unterschiedlich stark auf die einzelnen Alter wirkt) ex,t= (normalverteilter) Fehlerterm Aus Normierungsgründen und um eine eindeutige Lösung zu erhalten, wird zusätzlich gefordert: 14 vgl. Lee, R.D., Carter, L.R. (1992), JASA, S. 659 ff.
8 ωn xt x = 0 t = 1 b = 1 und k = 0 Das Lee-Carter Modell ist mit bekannten mathematischen Methoden durchführbar (Singulärwertzerlegung, ARIMA-Prozesse) und daher sehr praktikabel, besitzt aber auch eine Reihe von Nachteilen (z.B. die zeitliche Konstanz der bx), die zu einer Vielzahl von Varianten und Weiterentwicklungen geführt haben. Analyse der wesentlichen Todesursachen 1. Partial-Cause-Elimination-Methode (Sieger 2000)15 Die Idee bei diesem Ansatz liegt darin, dass der Rückgang der Sterblichkeit untrennbar damit verbunden ist, dass die Krankheiten, die früher besonders häufig zum Tode geführt haben, entweder heilbar oder aber besser behandelbar geworden sind. Als Beispiele seien genannt: Infektionskrankheiten (Hygiene, Antibiotika), Herz-Kreislauferkrankungen (Cholesterinund Blutdrucksenker), Krebserkrankungen (operative Verfahren, Cytostatika), der Rückgang des Anteils der Raucher sowie die fortschreitende Entschlüsselung des menschlichen Genoms mit der Hoffnung, das Entstehen von Krankheiten besser zu verstehen und geeignete Diagnoseund Heilungsverfahren zu entwickeln. Damit stellt sich jeweils die Frage, welcher Effekt für die Verlängerung der Lebenserwartung zu erwarten wäre, wenn einzelne Krankheiten noch besser behandelt oder gar geheilt werden könnten. Dies stellt also einen Bruch mit der bisher unterstellten Annahme einer nicht weiter aufgegliederten säkularen Sterblichkeitsverbesserung dar und kann einen neuen Zugang zur der Analyse der Sterblichkeitsentwicklung bieten, der möglicherweise auch zu anderen Ergebnissen hinsichtlich der Verlängerung der Lebenserwartung führt. Mathematisch liegen hier im Wesentlichen deterministische Ansätze unter Zugrundelegung von Modellannahmen für die Entwicklung der Todesfälle bei definierten Krankheitsbildern zugrunde. Möglich ist beispielsweise eine Orientierung an den Methoden der DAV16. Schließlich kann man die Modellannahmen noch dahingehend differenzieren, ob die Krankheiten vollständig besiegt werden teilweise besiegt werden nur in bestimmten Fällen besiegt werden oder ob der Todeszeitpunkt lediglich um einige Jahre verschoben wird. 15 s. Sieger (2000), VW 12/2000, S.846 ff. 16 ebda.
9 2. Edwards (2014) Mit ähnlichen Grundüberlegungen kommt Edwards17 zu deutlich anderen Schlussfolgerungen. Ein Blick auf die Todesfälle in Großbritannien aufgrund von: Krebs Cardio-vaskulären Erkrankungen Atemwegserkrankungen Erkrankungen des Verdauungstrakt zeigt, dass die Anzahl der Gestorbenen aufgrund dieser Ursachen in den letzten zehn Jahren deutlich zurückgegangen ist. Weitere dramatische Verbesserungen sind entweder nicht mehr zu erwarten oder hätten keine großen Effekte mehr (z.B. weiterer Rückgang des Rauchens). Hinzu kommen absehbare negative Entwicklungen: zunehmende Verbreitung von Diabetes und Übergewicht (relativ) sinkende staatliche Gesundheitsbudgets Ausbildung multiresistenter Bakterien. Damit ist die Vermutung nicht abwegig, dass die Sterblichkeitsverbesserung sich insgesamt verlangsamen könnte. Aber auch Edwards geht davon aus, dass sich die Entwicklung für unterschiedliche Personengruppen verschieden darstellen wird. Abschließend sei der Hinweis erlaubt, dass es mittlerweile eine annähernd unüberschaubare Vielfalt von Modellen gibt, insbesondere von Modellen, die mit stochastischen Simulationen arbeiten. Eine kleine Auswahl davon wird in den nachfolgenden Beiträgen ebenso diskutiert wie die Frage, wie die versicherungstechnischen Risiken, die sich auch bei sorgfältigster Modellierung nicht vermeiden lassen, von Rückversicherungsunternehmen übernommen oder in den Kapitalmarkt transferiert werden können. 17 s. Edwards (2014), Emphasis 2014/1, S. 15 ff.
10 1.3 Literaturhinweise 1. Bauer, M.: Herleitung der DAV-Sterbetafel 2004 R für Rentenversicherungen, Blätter der DGVFM (2005), S. 199 - 313 2. Börger, Des einen Freud, des anderen Leid – Das Risiko der Langlebigkeit in der bAV, BetrAV (2014), S. 457-462 3. Carter, L.R, Lee, R.D.: Modeling and forecasting U.S. mortality, in: Journal of the American Statistical Association, 87 (1992), Issue 419, S. 659-675 4. Destatis: Sterbefälle, Lebenserwartung, https://www.destatis.de/ZahlenFakten/GesellschaftStaat/Bevölkerung/Sterbefaelle/Tabellen/Lebenserwartung.pdf?_blob=publ. , Zugriff am 10.11.2014 5. Edwards, M.: Are Impressive Longevity Improvements Softening?, Emphasis (2014), S. 15-18 6. Gaille, S.: Forecasting mortality: when academia meets practice, European Actuarial Journey (2012), S. 49-76 7. Heligman, L., Pollard, J.H.: The Age Pattern of Mortality, Journal of the Institute of Actuaries (1980), S. 49-80 8. Sieger, C.: Die zuverlässige Abschätzung der zukünftigen Lebenserwartung; Versicherungswirtschaft (2000), S. 846-849 9. Wikipedia: Liste der ältesten Menschen; http://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_ältesten_Menschen, Zugriff am 10.11.2014
11 2 Die Sterberaten der Zukunft Kai Kaufhold 2.1 Einführung und Definitionen Das Ziel dieses Vortrags ist eine Einführung in stochastische Projektionen von Sterberaten. Zukünftige Sterblichkeitstrends zu modellieren und daraus Vorhersagen über Überlebenswahrscheinlichkeit und Sterbewahrscheinlichkeit zu treffen, ist eine Herausforderung, der sich Mathematiker und Aktuare seit dem 19. Jahrhundert stellen. In den vergangen beiden Jahrzehnten hat es auf diesem Gebiet technische Entwicklungen gegeben, die sowohl die Herleitung von Rechnungsgrundlagen zweiter Ordnung (also „Best-Estimates“) erlauben als auch die Unsicherheit, mit der diese Best-Estimates behaftet sind, messbar machen. Denn Langlebigkeitsrisiko, welches Platz 4 als „Unwort“ des Jahres 2005 erreichte, ist nicht das Risiko länger zu leben, sondern das Risiko, dass sich der Aktuar bei der Projektion der Überlebenswahrscheinlichkeit irrt und deshalb die zukünftigen Leistungen an Versicherungsnehmer und Pensionäre unterbewertet. Dieses Risiko manifestiert sich, wenn durch neue Daten oder eine Verbesserung des Projektionsverfahrens klar wird, dass die bisherige Projektion das Überleben innerhalb des betreffenden Bestandes unterschätzt hat. Als Berufsstand haben wir Aktuare auf diesem Gebiet leider keine glorreiche Historie. Das ist für mich persönlich eine Motivation, bei der Vorhersage der Sterberaten der Zukunft alle technischen Möglichkeiten, die uns zur Verfügung stehen, auszunutzen und dabei gleichzeitig die gebührende Skepsis nicht zu vergessen, mit der die Ergebnisse kritisch untersucht werden müssen. Um generell ein Gefühl für die Problematik zu bekommen, betrachten wir als Beispiel die deutsche Bevölkerungssterblichkeit18. Im Fall Deutschlands gibt es durch die Wiedervereinigung einen Bruch in der Datenhistorie. Daher betrachten wir der Einfachheit halber westdeutsche Daten, und hier nur die Männer. Aber zunächst ein paar Definitionen: Die diskrete Sterbewahrscheinlichkeit , , , einer Person, im Alter zum Zeitpunkt bis zum Erreichen des Alters 1 zu sterben, ist gleich dem Verhältnis der Anzahl der Todesfälle von -jährigen Personen im betrachteten Bestand, die sich zwischen den Zeitpunkten und 1 ereignen, zur Anzahl , der zum Zeitpunkt lebenden -jährigen. Die dazugehörige Änderung der Sterbewahrscheinlichkeit , 1, , wird als Sterblichkeitsverbesserungsrate („mortality improvement [rate]“) bezeichnet. Aus Versicherungsund Bevölkerungsdaten leichter zu ermitteln ist die diskrete Sterbeziffer , , ,, wobei man das zentrale Exposure , näherungsweise aus den jeweiligen Le18 Quelle hierfür ist die „Human Mortality Database“, in der für die wichtigsten Industrieländer Bevölkerungszahlen und Todesfälle zusammengetragen sind: www.mortality.org .
12 benden am Anfang und am Ende der Zeitperiode ermittelt, oder von den am Anfang Lebenden die halbe Anzahl der Todesfälle abzieht. ,≅, , ≅ ,,. Man beschreibt das Exposure auch als Verweildauer im Bestand. Abbildung 5: Logarithmische Sterbeziffer , für westdeutsche Männer 19 Die Grafik in Abbildung 5 zeigt den natürlichen Logarithmus der Sterbeziffer für westdeutsche Männer zu verschiedenen Beobachtungszeitpunkten von 1960 bis 2010 über eine Alterspanne von 50 bis 99 Jahren. Man erkennt klar einen log-linearen Anstieg der Sterbeziffern, und ebenso dass sich in den letzten Jahrzehnten die Sterbeziffern über fast die gesamte Altersspanne gegenüber früheren Jahren verringert haben. Wenn man genauer hinschaut, erkennt man auch, dass die Veränderung der Sterbeziffer bei manchen Altersgruppen stärker war als bei anderen. Zum Beispiel hat sich die Sterblichkeit von 98-jährigen Männern über den gesamten Beobachtungszeitraum wenig verbessert, während es bei den Altersgruppen zwischen 60 und 90 zu erheblichen Verbesserungen der Sterberaten gekommen ist. Dies ist auch aus Abbildung 6 abzulesen, das dieselben Daten in anderer Darstellung zeigt. Die Sterbeziffer ist hier für einzelne Alter gegen die Zeit aufgetragen, um Trends zu verdeutlichen. Während der absolute Unterschied im höchsten Alter (80 Jahre) am größten ist, sehen wir bei den 70-jährigen die größte relative Änderung in den Sterbeziffern. Daher werden wir bei unseren weiteren Beispielen immer wieder auf diese Altersgruppe zu sprechen kommen. 19 Quelle: Human Mortality Database, www.mortality.org
13 Abbildung 6: Sterbeziffer , gegen Zeit 20 Nehmen wir zum Beispiel die Sterblichkeitsverbesserungsraten , von 70-jährigen westdeutschen Männern und betrachten diese über den Zeitraum der letzten 50 Jahre (siehe Abbildung 7). Über diesen Beobachtungszeitraum lag die durchschnittliche Verbesserungsrate bei 1,4% (eingezogene Linie). Jedoch gibt es um diesen Mittelwert eine große Streuung. 70-Jährige, die vor 1900 geboren wurden, zeigten im Schnitt eine Verschlechterung der Sterblichkeit. Demgegenüber hat diese Altersgruppe bei den ab 1930 geborenen (Jahresmarke 2000 im Abbildung 7) eine überdurchschnittliche Verbesserung der Sterblichkeitsrate erlebt. Hierbei ist zu beachten, dass bei dieser Kennziffer immer die Sterbewahrscheinlichkeiten von zwei aufeinanderfolgenden Geburtsjahrgängen miteinander verglichen werden. Erwähnenswert sind noch die beiden „Ausreißer“: im Jahr 1990 hatten 70-jährige Männer eine um 21% höhere Sterbewahrscheinlichkeit als im Jahr zuvor, während im Jahr 1991 die Sterbewahrscheinlichkeit für diese Altersgruppe wieder um 14% relativ gesunken ist. 20 Quelle: Human Mortality Database, www.mortality.org
14 Abbildung 7: Sterblichkeitsverbesserungsraten für 70-jährige Männer 21 Vergleicht man diese Darstellung wiederum mit den rohen Sterbeziffern (siehe Abbildung 8), erkennt man in der letzteren Darstellung meiner Meinung nach die verschiedenen Perioden mit ihren unterschiedlichen Trends besser. Von 1960 bis 1969 stieg die Sterblichkeit der 70-jährigen an. Zwischen 1970 und 1989 gab es eine Phase mit hoher Verbesserungsrate und seit 1991 hat sich dieser Trend ein wenig verlangsamt. Abbildung 8: Sterbeziffer , für 70-jährige Männer 22 Nun könnte man natürlich für jedes Alter eine solche Betrachtung durchführen und diesen Trend als Zeitreihe fortschreiben. Allerdings muss man sich vergegenwärtigen, dass bei ei21 Quelle: Human Mortality Database, www.mortality.org 22 Quelle: Human Mortality Database, www.mortality.org
15 ner solchen Betrachtung jeder Datenpunkt einen anderen Jahrgang beschreibt. Eine alternative Betrachtungsweise liefert eine zwei-dimensionale Darstellung der Sterblichkeitsverbesserungsraten gegen Alter und Zeit, wie im Abbildung 9. Abbildung 9: Sterblichkeitsverbesserungsraten im gleitenden 9-Jahres-Mittel gegen Zeit (horizontal) und Alter (vertikal) 23 Hier sind auf der senkrechten Achse das Alter und horizontal die Zeit aufgetragen. Wir erkennen deutlich Generationen-Effekte als diagonale Muster in den Sterblichkeitsverbesserungsraten. Dieser Effekt, dass bestimmte Geburtsjahrgänge gegenüber den vorhergehenden eine systematisch niedrigere Sterblichkeit bzw. höhere Sterblichkeitsverbesserungen zeigen, ist zum ersten Mal im U.K. erkannt worden, und wird als „Cohort Effect“ bezeichnet. Wie auch im U.K. sind es die Geburtsjahrgänge aus der Mitte der 30er Jahre, welche die höchsten Verbesserungsraten aufweisen. Einige Erklärungsversuche hierfür sind schon vorgeschlagen worden, ohne dass sich eine Theorie durchgesetzt hätte. So verlockend es wäre, darüber zu spekulieren, woher diese systematischen Effekte rühren mögen, möchte ich in diesem Vortrag davon Abstand nehmen und mich auf die Fragestellung konzentrieren, wie zukünftige Sterberaten modelliert werden können. 2.2 Was ist Trendrisiko bei Sterberaten? Wir hatten schon festgestellt, dass Langlebigkeitsrisiko nicht das Risiko ist, länger als erwartet zu leben, sondern das Risiko des Aktuars, sich bei der Bewertung zukünftiger Leistungen an Versorgungsempfänger und Rentner zu irren. Dabei sollten wir zunächst zwischen dem Risiko unterscheiden, die Überlebenswahrscheinlichkeit für verschiedene Gruppen inner23 Quelle: Human Mortality Database, www.mortality.org
22 Abbildung 14: Parameterschätzungen für M6 (CBD mit Cohort Effect) 31 Die Tatsache, dass weder noch Monotonie aufweisen, macht die Extrapolation dieser Parameter in die Zukunft anspruchsvoll bis schwierig. Was den Generationenterm angeht, behilft man sich in der Praxis oft damit, dass man auf Extrapolation verzichtet, weil man nur an Geburtsjahrgängen interessiert ist, für die schon Daten vorliegen und für die geschätzt werden kann. Eine Alternative ist, ab dem zuletzt „gemessenen“ Parameter eine Brownsche Bewegung anzunehmen, also im Mittel keine Änderung der Sterblichkeit für spätere Generationen relativ zum letzten geschätzten Parameter . Das oben gezeigte Verhalten des Parameters verdeutlicht, wie wichtig die Wahl des Beobachtungszeitraums ist. Nimmt man den gesamten hier verwendeten Zeitraum von 1960 bis 2010, so könnte man vielleicht annehmen, dass sich die Steigung der Sterberaten im Mittel nicht verändert, denn beschreibt im Modell M6 (CBD mit Cohort Effect) die Steigung der logistischen Geraden. Betrachtet man nur den Zeitraum von 1980 bis 2010 wäre ein fortgesetzter linearer Anstieg der Steigung am wahrscheinlichsten. Ein solches Szenario von sinkender durchschnittlicher Sterblichkeit und einer immer steiler werdenden Sterbeintensität nennt man übrigens „Mortality Compression“, denn die Altersspanne, innerhalb der die meisten Todesfälle sich ereignen, wird in diesem Szenario immer kürzer. Wie das oben beschriebene Modell M6 aufzeigt, dürften wir für deutsche Männer von 1980 bis 2010 eine 31 Quelle: Berechnungen mit Longevitas Projections Toolkit, www.longevitas.co.uk
23 solche Komprimierung der Todesfälle auf kürzer werdende Alterspannen beobachtet haben. Können wir für die Zukunft nun davon ausgehen, dass sich dieser Trend fortsetzt, oder wird die Steigung der Sterbeintensität in der Zukunft wieder abnehmen? Diese Frage ist aus dem Modell heraus nicht eindeutig zu beantworten. Mögliche Antworten sollten sich daher unter Berücksichtigung des Vorsichtsprinzips danach richten, welche Auswirkungen die Ergebnisse in der jeweiligen Anwendung haben. Durch die zusätzlichen Kohorten-Parameter haben wir also unser Modell verfeinert, aber gleichzeitig die Unsicherheit erhöht, mit denen Projektionen aus diesem Modell heraus behaftet sind. Es stellt sich daher die Frage, ob sich die Einführung der neuen Parameter gelohnt hat. Eine detaillierte Analyse wird einen quantitativen Vergleich der Modelle beinhalten, wie zum Beispiel mit Hilfe der Informationskriterien von Akaike („AIC“) oder Bayes („BIC“), die den besseren Fit über die Erhöhung der Maximum-Likelihood gegen die Anzahl der Parameter abwägen. Hier wollen wir uns aber darauf beschränken, qualitativ die Residuen zu betrachten. Für eine eingehendere Untersuchung sei wieder auf Cairns et al. (2009) verwiesen. Die Vorzeichen der Residuen des CBD-Modells M6, welches die Kohorten-Parameter einschließt, zeigen eine deutlich zufälligere Verteilung, als wir beim ursprünglichen Lee-Carter-Modell (M1) oder beim einfachen CBD-Modell (M5) beobachtet hatten (siehe Abbildung 15). Allerdings erkennen wir auch, dass besonders in den Jahren 1995 bis 2010 die lineare Altersstruktur des CBD-Modells die Sterberaten zu sehr vereinfacht, denn in manchen Altersbereichen unterschätzt das Modell die Sterberaten systematisch (Alter 70 – 80) und in manchen überschätzt es sie (Alter 80 – 95).
24 Abbildung 15: Residuen (Vorzeichen) des Modells M6 (CBD mit Cohort Effect) 32 So liegt denn die nächste Erweiterung des CBD-Modells nahe: die logistischen Sterbewahrscheinlichkeiten werden durch ein Polynom zweiten Grades modelliert, und nicht durch eine Gerade. M7: Cairns-Blake-Dowd-Modell mit Kohorten-Parameter und quadratischem Term: ln , 1, Zusätzlich zum dritten zeitabhängigen Parameter , welchen man als Krümmungskoeffizient auffassen könnte, normiert man üblicherweise diesen mittels der Varianz der Altersverteilung ∑² . Zu diesem Modell sei lediglich angemerkt, dass man wieder eine Reihe von Nebenbedingungen stellen muss, damit sich die Parameter, insbesondere die Kohorten-Parameter, eindeutig bestimmen lassen. Zusammenfassend haben wir sechs verschiedene Modelle kurz vorgestellt, die mit unterschiedlich vielen Parametern eine Beschreibung der historischen Daten zulassen. Die Güte des Fits ist gegen die Anzahl der Parameter abzuwägen, wofür es eine Reihe von quantitativen und qualitativen Kriterien gibt. Es gibt aber niemals das „beste Modell“ an sich, sondern die Aktuarin hat die Qual der Wahl, wobei vor allem der beabsichtigte Verwendungszweck des Modells im Vordergrund stehen muss. Denn die historischen Sterberaten möglichst gut zu erklären, ist nicht Selbstzweck, sondern geschieht mit dem Ziel, zukünftige Sterberaten vorherzusagen. 32 Sign(Actual – Expected), positives Vorzeichen=schwarz, negatives Vorzeichen=wie; Quelle: Berechnungen mit Longevitas Projections Toolkit, www.longevitas.co.uk,
25 2.3.3 Projektion der zeitabhängigen Parameter Bei der Verwendung der vorgestellten Modelle zur Projektion der zukünftigen Sterberaten, ist das Vorgehen im Prinzip sehr einfach. Altersabhängige Parameter werden als konstant angenommen, und zeitabhängige Parameter werden mit Hilfe von verschiedenen Hilfsmitteln der Zeitreihen-Analyse in die Zukunft projiziert. In allgemeiner Ausdrucksweise geht es bei der Zeitreihen-Analyse darum, stationäre Prozesse zu finden und stochastisch zu projizieren. Das einfachste Beispiel eines solchen Prozesses ist die Brownsche Bewegung, auch als Wiener Prozess oder Random Walk bekannt. Auf den einfachen Fall des Lee-Carter-Modells (M1) angewendet, haben wir eine Beschreibung der historischen logarithmischen Sterberaten: ln, Die zeitliche Veränderung der Sterberaten wird durch die Parameter beschrieben. Ein Random-Walk mit Drift beschreibt eine Möglichkeit, wie sich die Sterberaten von einer Periode 1 zur nächsten Periode verändern: 0, Hier ist die Drift-Konstante und ein stochastischer Fehlerterm. Wenn der Random WalkProzess die zeitliche Entwicklung des Parameters vollständig beschreibt, so wird der Fehlerterm keinerlei zeitlichen Trend mehr beinhalten. Die Prognose zukünftiger logarithmischer Sterberaten ln, über einen letzten Beobachtungszeitpunkt hinaus, ergibt sich dann aus der Projektion des Parameters : √ ln, √ Hieraus ergibt sich zum Beispiel ein 99,5%-Konfidenzintervall für die Sterberaten von exp 2.58√,exp 2.58√
26 Abbildung 16: Projektion der Sterberaten m x,t für Alter x =70 mit 99,5% Konfidenz-Intervall 33 Man erkennt klar, wie sich die Unsicherheit in der Projektion mit zunehmendem Abstand vom Ursprung der Projektion vergrößert. Das obige Beispiel war lediglich die Anwendung des einfachsten möglichen Prozesses auf das einfachste der Modelle. Im Allgemeinen wird man mehrere Klassen von stochastischen Zeitreihen-Prozessen untersuchen und denjenigen Prozess auswählen, der die zeitliche Entwicklung der Sterblichkeitsindizes am besten beschreibt. Auch hatten wir gesehen, dass es Modelle gibt, in denen mehrere Indizes gleichzeitig projiziert werden müssen. Hierfür gibt es auch eine Auswahl von Verfahren, mit denen man sich beschäftigen muss, um für seine eigenen Zwecke das best-geeignete auszuwählen. Fazit bleibt, dass es eine Vielzahl von Entscheidungen gibt, die die Aktuarin treffen muss, wenn es um die Modellwahl und die Projektion von Sterberaten geht. Das verdeutlicht die Wichtigkeit des Modellrisikos. 2.4 Statistische Modellierung des Value-at-Risk Neben dem Pricing und der Berechnung ausreichender Rückstellungen für zukünftige Leistungen im Bereich Rentenversicherung und bAV, ist eine wichtige Anwendung für die Projektion zukünftiger Sterberaten die Berechnung des notwendigen Solvenzkapitals. Insbesondere die Solvenz-Anforderung SCR longevity („Solvency Capital Requirement“) für das Erlebensfallrisiko nach Solvency II kann mit Hilfe eines (partiellen) internen Modells berechnet werden, das auf einem statistischen Modell beruht, wie wir sie oben vorgestellt haben. Die Berechnung der Solvenz-Anforderungen gemäß Solvency II erfolgt in allgemeiner Form folgendermaßen: Man ermittelt den „Net Asset Value“. das sind die zur Verfügung stehenden Eigenmittel, im Basis-Fall („best estimate“) und in einem gestressten Szenario („stressed“) 33 Quelle: Berechnungen mit Longevitas Projections Toolkit, www.longevitas.co.uk
27 nach Ablauf eines Jahres ab Bilanzstichtag. Die Differenz im Net Asset Value ∆ ergibt dann die Solvenz-Anforderung: , ∆ , ∆ Im Fall des Erlebensfallrisikos kann man vereinfachend davon ausgehen, dass innerhalb eines Jahres keine gravierenden „Schäden“ auftreten, die zum Unterschied zwischen Best-Estimate und gestresstem Fall beitragen. Dann ist die Differenz im Net Asset Value näherungsweise gleich dem Unterschied zwischen den für Best-Estimate und Stress ermittelten Rückstellungen . Gehen wir beispielsweise von einfachen lebenslangen Renten ä aus, so betrachten wir einfach einen Bestand von verschiedenen solcher Renten für verschiedene Alter ∈ 60,65,70,75,80,85,90 und drücken die Solvenz-Anforderung als Prozentsatz der Rente im Basisfall (best-estimate, 50%-Quantil) aus: , ä,.% ä,% 1100% Zur Berechnung des gestressten Rentenbarwerts ä,.% gibt es zurzeit drei gängige Verfahren: Berechnung nach Solvency II Standard-Formell, Pfad-Methode und Value-at-Risk-Methode. Bei der Standard-Formel in der Solvency II-Umsetzungsrichtline wird der gestresste Barwert ermittelt, indem die Best-estimate-Annahmen für die Sterbewahrscheinlichkeit um einen Faktor von 20% verringert werden. , , 1, 20% Die Pfad-Methode ist nichts anderes als die Umsetzung eines Projektions-Modells, wie wir sie oben gesehen haben, wobei die projizierten Zeitreihen mit der Untergrenze des 99,5%- Konfidenz-Intervalls versehen werden. .% 2.58√ Bei der Value-at-Risk-Methode handelt es sich um eine stochastische Simulation, die wir im Folgenden beschreiben. 2.4.1 Value-at-Risk-Methode Wie oben besprochen, geht es bei der Berechnung der Solvenzkapital-Anforderung nach Solvency II darum, zu modellieren, wie sich das Risiko über einen 1-jährigen Zeithorizont
28 entwickeln kann. Beim Erlebensfallrisiko ist wie besprochen das Risiko weniger, dass innerhalb eines Jahres weniger Leistungsempfänger sterben, sondern dass sich aus der Entwicklung der Sterberaten eine geänderte Rechnungsgrundlage für die Rückstellungen ergibt. Dies lässt sich simulieren, indem man anhand eines stochastischen Modells für Sterblichkeit die Bestandsdaten ein Jahr fortschreibt. Man simuliert sozusagen die Todesfälle eines Jahres und erhält daraus einen neuen Bestand zum Jahresende. Dieses zusätzliche Jahr an Information fügt man nun zu den Daten hinzu, aus denen man seine Rechnungsgrundlagen ursprünglich ermittelt hatte, und berechnet die Rechnungsgrundlagen mit den neuen Daten von neuem. Abbildung 17: Schematische Darstellung des Datenbestands Der Sachverhalt ist in Abbildung 17 schematisch dargestellt. Im Grunde simuliert man einen um ein Jahr erweiterten Datenbestand, aus dem man eine neue Rechnungsgrundlage mittels desselben statischen Modells herleitet. Für diese neue Projektion ergibt sich ein neuer Best-Estimate-Pfad % für die Zeitreihe und die dazugehörigen Sterbewahrscheinlichkeiten, aus dem sich jeweils der Rentenbarwert für alle Alter ermitteln lässt. Diesen Prozess wiederholt man immer wieder, und gewinnt so eine Verteilung der möglichen Best-Estimate Rentenbarwerte, die sich aus einem zusätzlichen Jahr an Informationen ergeben. Das 99,5%-Quantil dieser Verteilung ist dann der Value-at-Risk für Langlebigkeitsrisiko. In Abbildung 18 werden die Ergebnisse der drei verschiedenen Verfahren gegenübergestellt. Hierbei ist vor allem interessant, wie das so ermittelte Risiko vom Alter abhängt. Beim Schock-Verfahren nach der Solvency II-Standard-Formel sehen wir, dass das Risiko scheinbar bei den höchsten Altern am höchsten ist. Das liegt daran, dass die höchsten Alter die höchste Sterbewahrscheinlichkeit haben, und der prozentuale Schock dort den größten Ausschlag gibt. Projiziert man mit Hilfe eines stochastischen Modells für die Sterberaten Pfade für zukünftige Sterberaten, so erkennt man klar, dass das Risiko bei den jüngsten Altern am größten
29 ist, weil diese die längsten Lebenserwartung haben und die zukünftigen Sterbewahrscheinlichkeiten eine größere Unsicherheit haben, je weiter sie in die Zukunft projiziert werden. Die Value-at-Risk-Methode hat ein ähnliches Verhalten für die verschiedenen Alter. Allerdings sind hier die ältesten Rentner mit einem etwas höheren Risiko behaftet. Der Grund hierfür ist, dass für diese hohen Alter am wenigsten Daten vorliegen und daher das Schätzrisiko hier am größten ist. Denn die Value-at-Risk-Methode berücksichtigt vor allem das Schätzrisiko. Durch das eine simulierte Jahr an Bestandsinformationen wird die ParameterSchätzung des statistischen Sterblichkeits-Modells „gestört“ und die Parameter werden dann neu geschätzt. Abbildung 18: Vergleich SCR longevity für verschiedene Berechnungsmethoden 34 2.5 Zusammenfassung und Ausblick Wir haben in diesem Vortrag gesehen, dass es eine ganze Reihe von verschiedenen Modellen gibt, mit deren Hilfe man die Sterberaten der Zukunft projizieren kann. Alle diese Modelle haben sowohl Vorals auch Nachteile. Daher kann man nie von einem „besten Modell“ sprechen, sondern muss sich auf sein aktuarielles Urteilsvermögen verlassen und bei der Wahl des Modells vor allem den Zweck der Anwendung und das Vorsichtsprinzip im Auge behalten. Stochastische Modelle für Sterberaten sind statistische Modelle, die historische Daten in einer vereinfachten Weise beschreiben, und die zeitliche Veränderung mittels einer möglichst kleinen Anzahl von Zeitreihen darstellen. Diese Zeitreihen können dann mit stochastischen Methoden in die Zukunft fortgeschrieben werden und liefern so die Sterberaten der Zukunft. Bei der Projektion von Sterberaten liegt also sowohl Modellrisiko vor als auch das 34 Quelle: Berechnungen mit Longevitas Projections Toolkit, www.longevitas.co.uk
30 stochastische Risiko, zukünftige Sterberaten vorherzusagen. Außerdem sind die statistischen Modelle zusätzlich mit Parameter-Risiko behaftet, weil die Parameter, die die Modelle beschreiben, auf Grundlage eines endlichen Datenbestands geschätzt werden müssen. Dieses Schätzrisiko fließt bei der Value-at-Risk-Methode für Langlebigkeitstrend-Risiko ein, einem Verfahren zur Bestimmung des Trendrisikos, welches im United Kingdom start verbreitet ist. Der Vortrag hat eine Reihe von wichtigen Bereichen ausgelassen, die für die Sterberaten der Zukunft auch von Bedeutung sind. So muss man zum Beispiel sichergehen, dass man die heutigen Sterbewahrscheinlichkeiten korrekt behandelt, insbesondere unter Berücksichtigung des Risikos heterogener Bestände. Heterogen sind Bestände hinsichtlich der Sterbewahrscheinlichkeit vor allem, weil verschiedene sozio-ökonomische Bevölkerungsgruppen ein stark abweichendes Todesfallrisiko aufweisen. Für Periodentafeln gibt es schon sehr differenzierte Verfahren, diese heterogenen Bestände zu analysieren und angemessene Periodentafeln zu erstellen. Was die Sterblichkeitstrends der verschiedenen Bevölkerungsgruppen angeht, steht die Forschung heute allerdings noch am Anfang. Einige Multi-PopulationModelle sind schon vorgeschlagen worden, aber die langfristige Divergenz oder Konvergenz verschiedenläufiger Trends ist noch nicht schlüssig nachgewiesen, geschweige denn modelliert. Die Projektion zukünftiger Sterberaten ist ein faszinierendes, mathematisch anspruchsvolles Thema, welches über unsere Branche hinaus von großer Bedeutung ist. Hoffentlich hat der Vortrag auch Ihr Interesse geweckt, denn wir können jede Aktuarin und jeden Aktuar gebrauchen, der an dieser Herausforderung mitarbeitet. 2.6 Literaturhinweise Cairns, A.J.G., Blake, D. and Dowd, K. (2006) A two-factor model for stochastic mortality with parameter uncertainty: theory and calibration, Journal of Risk and Insurance, 73, 687-718 Cairns, A.J.G., Blake, D., Dowd, K., Coughlan, G.D., Epstein, D., Ong, A., and Balevich, I. (2009). A quantitative comparison of stochastic mortality models using data from England and Wales and the United States, North American Actuarial Journal, 13(1), 1-35 Lee, R. D., and Carter, L. (1992). Modeling and forecasting US mortality. Journal of the American Statistical Association, 87, 659-671 Richards, S. J., Kaufhold, K., Rosenbusch, S. (2013). Creating Portfolio-specific mortality tables: a case study. European Actuarial Journal 3 (2), 295-319
31 3 Kollektiver Risikoausgleich in einem Rentenbestand Oskar Goecke 3.1 Einleitung Gegenstand des 7. FaRis & DAV-Symposiums ist das Management des Langlebigkeitsrisikos. Daher soll zu Beginn einmal die Frage gestellt werden: Wer trägt eigentlich das Langlebigkeitsrisiko? Betrachten wir zunächst das Langlebigkeitsrisiko in der gesetzlichen Rentenversicherung. Durch das Rentenreformgesetz 1999 wurde zunächst der sogenannte Demografiefaktor eingeführt35, der dann durch den Nachhaltigkeitsfaktor ersetzt wurde.36 Der Demografiefaktor sah eine explizite Koppelung der Rentenanpassungen an die Lebenserwartung vor; der Nachhaltigkeitsfaktor nimmt zwar nicht direkt Bezug auf die Lebenserwartung, hat aber ebenfalls den Effekt, dass eine steigende Lebenserwartung der Rentner zu einer Minderung der Rentenanpassungen führt. Somit wird das Langlebigkeitsrisiko letztlich von den Rentnern selbst getragen. In der Lebensversicherung scheint es auf den ersten Blick so zu sein, dass das Langlebigkeitsrisiko vom Versicherer getragen wird. Das ist aber nur bedingt richtig, denn die Versicherungsnehmer müssen die in die Beitragskalkulation vorgesehenen Sicherheitszuschläge zahlen. Darüber hinaus sind die Sicherheitsmittel eines Lebensversicherers zum weitaus überwiegenden Teil kollektiven Ursprungs, wurden also von der Versichertengemeinschaft aufgebaut. Selbst wenn das Langlebigkeitsrisiko durch eine Rückversicherungslösung ausgelagert wurde, so muss letztlich das Versichertenkollektiv die erforderlichen Prämien tragen. Das echte Eigenkapital eines Lebensversicherers ist in aller Regel kaum ausreichend, um substanzielle Risiken wie das Langlebigkeitsrisiko oder das Kapitalanlagenrisiko auszugleichen. Faktisch müssen also in jedem Alterssicherungssystem die Kernrisiken (u.a. das Langlebigkeitsrisiko) vom Kollektiv der Versicherten selbst getragen werden. Wenn immer das Langlebigkeitsrisiko ausgelagert oder von einem Eigenkapitalgeber übernommen wird, bedeutet dies eine Mehrbelastung für das Versichertenkollektiv, etwa in Gestalt einer Risikoprämie oder in Gestalt einer zusätzlichen Entlohnung des eingesetzten Eigenkapitals. Wenn aber eine Auslagerung des Langlebigkeitsrisikos (ähnliches gilt für das Kapitalanlagerisiko) letztlich von den Rentnern selbst finanziert werden muss, so sollte es im Interesse der Rentner sein, dass das Langlebigkeitsrisiko vom Kollektiv unmittelbar selbst getragen wird. Gegenstand der folgenden Untersuchung ist es daher zu prüfen, in welchem Maße ein Rentenbestand die Kernrisiken, nämlich das Langlebigkeitsrisiko und das Kapitalanlagerisiko selbst tragen kann. Ein Rentenbestand, der sich vollständig aus sich selbst heraus finanzieren muss, muss sich selbst Regeln auferlegen, welche Mittel als Renten ausgeschüttet und welche Mittel für spätere Renten zurückgehalten werden müssen. Wir werden im Folgenden 35 Rentenreformgesetz 1999 (BGBl. 1997 I S. 2998) 36 Vgl. § 68 Abs. 4 SGB VI; eingeführt durch Gesetz zur Sicherung der nachhaltigen Finanzierungsgrundlagen der gesetzlichen Rentenversicherung (BGBl. 2004 I S. 1791)
38 beobachtete Lebenserwartung von der der Gesamtbevölkerung abweicht. Je kleiner der Bestand ist, desto ausgeprägter ist das idiosynkratische Risiko. Zur Veranschaulichung betrachten wir drei unterschiedlich große Musterbestände mit gleicher Struktur: BestandXL –vgl. Abbildung 12 mit 100 000 Personen des Alters 65.41 BestandL: gleiche Struktur wie BestandXL, jedoch mit 10 000 Personen des Alters 65 BestandS: gleiche Struktur wie BestandXL, jedoch mit 100 Personen des Alters 65. Abbildung 26: Struktur des hybriden Musterbestandes (Bestand XL) für die Simulation Zur Illustration des idiosynkratischen und des systematischen Risikos simulieren wir jeweils 20 Simulationspfade für die nächsten 50 Jahre. Das idiosynkratische Risiko wird durch die drei unterschiedlich großen Bestände abgebildet und das systematische Risiko durch unterschiedliche Niveaus von (0%, 2% und 4%). Abbildung 27 stellt die Simulation der Bestandsentwicklung (einschl. Neuzugang) für 50 Jahre für die Bestände BestandXL, BestandL und BestandS für verschiedene Niveaus von dar. Die gebrochene Linie zeigt jeweils die deterministische Hochrechnung, wenn man die Rechnungsgrundlagen der Richttafeln 2005G zugrunde legt. Abbildung 27 zeigt somit, dass für den großen und mittelgroßen Bestand (BestandXL und BestandL) das idiosynkratische Risiko vernachlässigbar ist. Lediglich bei dem kleinen Bestand (BestandS) sind für 0 Abweichungen der einzelnen Simulationspfade erkennbar. Andererseits wird deutlich, welche Auswirkungen das systematische (nicht diversifizierbare) Risiko hat. 41 Die Anzahl der Personen der übrigen Altersgruppen wurde so festgelegt, dass der Bestand ohne Berücksichtigung der Sterblichkeitsverbesserung im steady-state Zustand wäre.
39 Abbildung 27: Simulation der Bestandsentwicklung
- 40 - 3.2.2 Das Kapitalmarktmodell Für den Kapitalmarkt unterstellen wir ein einfaches Black-Scholes Modell. Dies bedeutet, dass für die Asset-Allokation eine sichere Kapitalanlage („Bonds“) und eine risikobehaftete Kapitalanlage („Aktienanlage“) zur Verfügung stehen. Beide Anlagen können beliebig gemischt werden, Transaktionskosten der Assetallokation werden vernachlässigt. Modellierung der Kapitalanlagen: sichere Anlage: () () dA t dt At , hierbei ist der sichere Zins (Zinsintensität) Aktienanlage: () () () M MMt dS t rdtdW St Für die folgenden Simulationsrechnungen verwenden wir die Kalibrierung: 0.02, 0.25, 0.2 MM r Die Asset-Managerin legt zu Beginn jeden Jahres die Risikoexposition () [0, ] M t für das Folgejahr fest. Das Verhältnis ()/ M t können wir als Aktienquote interpretieren.42 Bei einer Risikoexposition von ()t für den Zeitraum [, 1]tt beträgt die erwartete Rendite des Portfolios 2 1 2 () () M rt t . 3.2.3 Darstellung der Asset-Liability Strategie In unserem Modell unterstellen wir, dass der Pensionsfonds zur Steuerung der Kapitalanlagen und der Verpflichtungen zu Beginn jeden Jahres zweierlei festlegt: die AssetAllokation durch Festlegung der Risikoexposition (t) am Kapitalmarkt die Rentenanpassung 1 (): ln / tt trr Hierbei unterstellen wir, dass die Rentenanpassung erst zum Zeitpunkt t+1 erfolgt. Die Rentenanpassung stellt also eine Vorausdeklaration dar, denn die Veränderungen der Sterblichkeit und die Entwicklung des Kapitalmarktes innerhalb des Jahres [, 1]tt haben keinen Einfluss auf die ab t+1 fällig Rente. Auf Grundlage der Beobachtungen bis zum Zeitpunkt t werden zu Beginn des Jahres [t, t+1] die Deckungsrückstellungen für den gesamten Rentenbestand ermittelt. Die Gesamtdeckungsrückstellung sei mit V(t) bezeichnet. Die Berechnung erfolgt auf Grundlage eines festen Rechnungszinses 0.02 und der aktuellen Generationentafeln, sowie unter 42 Wir unterstellen in dem Modell, dass das Verhältnis von sichere Anlage und Aktienanlage innerhalb des jährlichen Anlagehorizontes wertmäßig stets konstant ist. Diese Constant-Mix-Strategie verlangt allerdings ein permanentes Umschichten von sicherer Anlage und Aktienanlage.
- 41 - Berücksichtigung des aktuellen Rentenniveaus rt . Die Deckungsrückstellung V(t) wird verglichen mit P(t), dem (Zeit-) Wert der Kapitalanlagen zu Beginn des Jahres [t, t+1]. Wir setzen () (): ln () Pt tVt und bezeichnen dies als die (logarithmische) Reservequote. Man beachte, dass () 0 () ()tPtVt und () () () () () () () Pt Vt Pt Vt t Pt Vt . Die Asset-Liability Strategie bestehe nun darin, die (log.) Reservequote möglichst auf dem Niveau einer vorgegebenen Zielreservequote Ziel zu halten. Ferner wird eine Ziel-Risikoexposition Ziel am Kapitalmarkt angestrebt. Die Größen Ziel und Ziel können wir als strategische ALM – Zielgrößen bezeichnen. Die Festlegung der tatsächlichen Risikoexposition und der Rentenanpassung können wir als taktische ALM-Entscheidung bezeichnen. Die taktische ALM-Entscheidung hängt davon ab, inwieweit die tatsächliche von der Zielreservequote abweicht. Wir wählen daher (): () Z iel ut t als (stochastische) Kontrollvariable. Die taktische ALM-Entscheidung lässt sich dann wie folgt darstellen: taktische Asset Allokation: (): () Ziel taut Rentenanpassung: 2 1 2 (): () () ()tttut , wobei a(u) und (u) reellwertige Funktionen darstellen. Wir betrachten im Folgenden nur den Spezialfall () 0au . In diesem Fallen können wir von einer reinen Liability Management Strategie sprechen, da hierbei nur die Verbindlichkeiten gesteuert werden. Wir haben dann folgende Darstellung () Z iel t und 2 1 2 (): () Ziel Ziel tut . Bei der Regel zur Rentenanpassung ist zu beachten, dass 2 1 2 Z iel Ziel die erwartete Portfoliorendite darstellt. Somit ist 2 1 2 Ziel Ziel die erwartete Überrendite. Ist dann () 0ut , so wird die Überrendite für die Finanzierung der Rentenanpassung verwendet. Falls () () 0 Ziel ut t , wenn also die aktuelle Reservequote hinter die Zielreservequote zurückfällt, wird man plausiblerweise annehmen, dass ein Teil der Überrendite zur Stärkung der Reserveposition verwendet wird, dass also () 0ut . Zur formalen Darstellung der Funktion ()uu sind einige Definitionen erforderlich:
- 42 - (,,)axts: Barwert einer Leibrente (jährlich vorschüssig) für eine zum Zeitpunkt t xjährige Person; die Berechnung beruht auf Beobachtungen bis zum Zeitpunkt s. Wir unterstellen einen gleichbleibenden Rechnungszins μ. () x Lt: Anzahl der zum Zeitpunkt t x-jährigen Personen des Rentenbestandes für zx (): () x xz Lt L t : Gesamtzahl der Rentner zum Zeitpunkt t (): ( ,,) () tx xz Vt r axtt L t : zum Zeitpunkt t berechnete Deckungsrückstellung, basierend auf den Beobachtungen bis zum Zeitpunkt t. ()Pt : Zeitwert des Portfolios zum Zeitpunkt t – nach Zugang der Neurentner und vor Auszahlung der fälligen Renten. () ( ,, 1) () tz EP t f r a z t t L t : Einmalbeitrag der zum Zeitpunkt t in das Rentenkollektiv eintretende Generation von Neurentner. Man beachte, dass die Einmalprämie auf Grundlage des Rentenbarwertes berechnet wird, der die Sterblichkeitsentwicklung bis zum Zeitpunkt t-1 berücksichtigt. Den Faktor f können wir als Sicherheitsfaktor interpretieren – wir unterstellen 1 f . Da wir einen deterministischen Neuzugang unterstellen und bereits zum Zeitpunkt t-1 die Rentenhöhe rt festgelegt wird, kann EP(t) bereits zum Zeitpunkt t-1 bestimmt werden. Von einem rechnungsmäßigem Verlauf wollen wir sprechen, wenn die tatsächliche Sterblichkeitsentwicklung der erwarteten entspricht und wenn die tatsächliche Portfoliorendite der erwarteten entspricht. Entsprechend bezeichnen wir mit () (1) e Pt bzw. () (1) e Vtden Wert des Portfolios zum Zeitpunkt t+1 bei rechnungsmäßigem Verlauf; die Berechnung erfolgt auf Grundlage der Beobachtungen bis zum Zeitpunkt t. Entsprechend bezeichnen wir () () () (1) (1):ln (1) e e e Pt tVt als die „erwartete“ Reservequote bei rechnungsmäßigem Verlauf. Hierbei ist zu beachten, dass im Allgemeinen () (1)() (1) e tt t E. Des Weiteren definieren wir einige Kenngrößen, die die Struktur des Bestandes charakterisieren.
- 43 - () :() t t rLt Vt : Die Liquiditätsquote gibt an, welcher Anteil der Verpflichtungen sofort fällig ist. 1 () (1)(,1,) :(1) tz te rLt azt t Vt : Anteil des Neuzugangs an der erwarteten Deckungsrückstellung () (1) :ln () () e t Vt t Vt : Wachstum der Verpflichtungen, neutralisiert um die Rentenanpassung. Setzt man nun 1 exp( ) (,):ln1 exp( (1 ) ) tZielt t tZiel t u uuf , () Z iel t und 2 1 2 (): ( , ()) Ziel M Ziel t tr ut , so gilt: () (1) () () e Z iel ttt und 11 (1) (1 )() Z iel t t ttXY mit den stochastischen Termen 1() (1) ln (1) te Pt XPt und 1() (1) ln (1) te Vt YVt . Somit hat der stochastische Prozess ()t die mean-reverting Eigenschaft. Die Störterme Xt+1 und Yt+1 verschwinden bei einem rechnungsmäßigem Verlauf. Bei einem rechnungsmäßigen Verlauf verkürzt sich der Abstand zwischen Istund Zielreserve um den Faktor . Der Faktor steuert somit die Intensität, mit der die laufenden Renten an die geänderte Reservesituation angepasst wird; wir können also als Anpassungsgeschwindigkeit interpretieren. 3.3 Simulationsrechnungen Auf der Grundlage des obigen Modells führen wir Simulationsrechnungen durch. Als Anfangsbestand wählen wir den oben beschriebenen BestandXL und unterstellen einen gleichbleibenden (deterministischen) Neuzugang von () 100000 z Lt für den gesamten Hochrechnungszeitraum von n = 50 Jahren.
- 44 - 3.3.1 Spezialfall: Risikolose Kapitalanlage ( 0 Ziel ) Wir betrachten zunächst den Fall 0 Ziel , d.h. wir klammern zunächst das Kapitalanlagerisiko aus. Wir legen bei den Berechnungen folgende Annahmen zugrunde: 0.02 , exp( ) Z iel f und (0) Z iel . Der Rechnungszins entspricht also der Portfoliorendite und die Generation der Neurentner zahlt einen Sicherheitszuschlag entsprechend der Zielreservequote. Dieser Sicherheitszuschlag trägt also zur Stabilisierung der Reservequote bei. Zunächst untersuchen wir den Zusammenhang zwischen der Zielreservequote und dem Anpassungsparameter in Bezug auf die „Ruinwahrscheinlichkeit“. Von Ruin wollen wir sprechen, wenn zu irgendeinem Zeitpunkt () ()Vt Pt. Die folgende Abbildung zeigt, bei welchen Kombinationen (, ) Z iel die Ruinwahrscheinlichkeit ein Niveau von 1% bzw. 5% in 50 Jahren nicht übersteigt. Abbildung 28: 1% und 5%-Quantile für die Ruinwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der Anpassungsgeschwindigkeit und der erforderlichen Reservequote. Ausgewertet wurden jeweils 10 000 Simulationsläufe. Den Parameter können wir als Risikomaß für die Stabilität der Rente interpretieren. Ist nämlich =0, sind die Renten konstant; mit steigendem nimmt auch die Volatilität der Rentenzahlungen zu. Die Abbildung zeigt somit die risikoabsorbierenden Eigenschaft der kollektiven Reserve; je höhe die Startbzw. Zielreservequote ist, desto stabiler kann man die Renten halten.
- 45 - Die Abbildung 29 zeigt den funktionalen Zusammenhang von Anpassungsgeschwindigkeit und der Volatilität der Rentenanpassungen. Dies rechtfertigt die Interpretation von als Risikokennzahl für die Rentenstabilität. Abbildung 29: Die Volatilität der Rentenanpassung in Abhängigkeit von der Anpassungsgeschwindigkeit 3.3.2 Der allgemeine Fall: Risikobehaftete Kapitalanlage ( 0 Ziel ) Falls 0 Ziel so beeinflusst zusätzlich das Kapitalanlagerisiko die Bilanz des Pensionsfonds. Die folgende Abbildung (Abbildung 30) folgt der Darstellung in Abbildung 28, allerdings werden die Simulationsrechnungen für verschiedene Aktienquoten (AQ = 0%, 5%, 10,…, 35%, diese Aktienquoten entsprechen 0, 0.01, 0.02, ..., 0.07 Ziel ) durchgeführt.
- 46 - Abbildung 30: 5%-Quantile für die Ruinwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der Anpassungsgeschwindigkeit und der erforderlichen Reservequote (0) Ziel . Ausgewertet wurden jeweils 1 000 Simulationsläufe Vergleicht man die Abbildung 28 und Abbildung 30, so sieht man, dass das Kapitalanlagerisiko zumindest in Bezug auf die Ruinwahrscheinlichkeit stärkeren Einfluss hat als das Langlebigkeitsrisiko. Der fundamentale Unterschied ist jedoch, dass das Kapitalanlagerisiko durch Wahl der Risikoexposition gesteuert werden kann. Die Modellrechnungen legen nahe, dass eine Aktienquote von über 20% eine sehr hohe Reservequote erfordert. Bei diesen Berechnungen ist jedoch zu berücksichtigen, dass ein reines Liability-Management unterstellt wurde, dass also die Risikoexposition nicht an die Reservesituation angepasst wird. 3.4 Resümee Untersucht wurde die Frage, wie ein reiner Rentenbestand in Bezug auf das Langlebigkeitsrisiko gesteuert werden kann. Bei Rentenbeginn muss der Aktuar (oder die Aktuarin) unter Berücksichtigung aller verfügbaren Informationen berechnen, welcher Kapitalbetrag erforderlich ist, um hieraus eine lebenslängliche Renten für den Einzelnen bzw. für die Generation der Neurentner zu finanzieren. Bei dieser Berechnung fließen insbesondere Annahmen hinsichtlich der künftigen Sterblichkeit ein. Da jedoch die tatsächliche Sterblichkeit von der erwarteten abweicht, stellt sich die Frage, wie diese Abweichungen ausgeglichen werden können. Das hier vorgestellte Modell sieht eine Steuerung des Langlebigkeitsrisikos über entsprechende Rentenanpassungen vor. Wenn die tatsächliche Lebenserwartung systematisch unterschätzt wurde, so muss dies durch systematisch niedrigere Rentenanpassungen ausgeglichen. Umgekehrt führt eine Überschätzung der Lebenserwartung dazu, dass die entsprechende Rentengeneration mehr eingezahlt hat als
- 47 - erforderlich. Eine systematische Überdotierung muss durch systematisch höhere Rentenanpassungen ausgeglichen werden. Stets führen also Abweichungen zwischen erwarteter und tatsächlicher Lebenserwartung zur Notwendigkeit, die Renten entsprechend anzupassen. Wir stellen ein Modell vor, wie diese Rentenanpassungen generationengerecht durchgeführt werden kann. Modellrechnungen zeigen, dass ein moderat großer Bestand das Langlebigkeitsrisiko absorbieren kann.
- 54 - Abbildung 37: Alle Komponenten in D (West), USA und GB In der Abbildung 38 ist eine Trend Projektion (über die letzte Sterbetafel hinaus) mit dem Tool CMI_2013 illustriert: Abbildung 38: Historischer & projizierter Trend für Männer in GB Die Trendprojektion fügt sich vergleichsweise „harmonisch“ in die historischen Beobachtungen ein; Kohorteneffekte bleiben weiterhin deutlich erkennbar. 4.4 Longevity Swap Bei einem Longevity Swap handelt es sich von der Grundidee her um eine Rentenversicherung gegen laufende Beiträge, insbesondere wird eine variable Rentenzahlung (floating leg) gegen eine fixe Rentenzahlung inklusive einer Gebühr (fixed leg) getauscht.
- 55 - Das EVU leistet dabei die erwartete Rentenzahlung (inklusive der Gebühr als Ausgleich für das abgegebene Risiko) an das RVU, welches die tatsächliche Rentenzahlung übernimmt. Der Ausgleich erfolgt über einen Nettoabgleich der Zahlungsströme. Dies liefert einen Schutz vor den finanziellen Auswirkungen, wenn die Rentner länger leben als erwartet. Abbildung 39: Cash Flow eines Longevity Swaps Wichtige Überlegungen bei den Vertragsvereinbarungen sind eine genaue Definition der abgedeckten Leistungen und des Preises (beispielsweise als strukturierte Gebühr oder Pauschalgebühr) sowie die Behandlung von Datenfehlern (mit der Konsequenz von Neuberechnungen der Prämien oder Preisanpassungen) bei einer ersten Datenbereinigung. Weiterhin umfassen die Vertragsvereinbarungen Mindestanforderungen an die Verwaltung, Sicherheiten und Kündigungsbestimmungen. In der Abbildung 40 ist das Marktvolumen für Transaktionen von Rentenblöcken in Großbritannien illustriert. Tats.Zahlungen Erw.Zahlung(FixedLeg) Prämie+fee(FixedLeg+Gebühr) Rückversicherer erhältDifferenz, wenn >0 Zedenterhält Differenz, wenn >0
- 56 - Abbildung 40: Buy-Out, Buy-In und Longevity Swaps in Milliarden GBP 45 Seit 2008 machen Longevity Swaps in GB einen hohen Anteil am Marktvolumen aus, teilweise von mehr als 50%. 4.5 Derivate Longevity Swaps stellen auf die individuelle Performance eines einzelnen Portfolios ab mit entsprechendem Verwaltungsaufwand. Bei Index-Lösungen werden Forwards auf allgemeine Indizes angeboten, wobei man zwischen q-forwards (bezogen auf eine Sterblichkeitsrate) und s-forwards (bezogen auf eine Überlebensrate) unterscheidet. Ein q-forward bezeichnet ein Kapitalmarktinstrument für die Übertragung von Langlebigkeitsoder Sterblichkeitsrisiko durch Austausch in bar der realisierten Sterberate einer Bevölkerung zu einem späteren Zeitpunkt gegen eine feste Sterberate, die zu Beginn vereinbart wurde. Q-forwards sind die Basis, aus der viele andere, komplexere Derivate konstruiert werden können. Ein s-forward bezeichnet ein Kapitalmarktinstrument, bei dem ein Austausch in bar der realisierten Überlebensrate einer bestimmten Bevölkerung gegen eine feste Überlebensrate, die zu Beginn vereinbart wurde, erfolgt. Dies definiert einen Grundbaustein für Longevity Swaps, die von Pensionsfonds und (Rück)Versicherern ver45 Quelle: LCP Pension Buy-Ins, Buy-Outs and Longevity Swaps 2008 – 2013, current market data for 2014 from www.artemis.bm. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 LongevitySwap Buy‐In/Buy‐Out nur H1
- 57 - wendet werden. Die Swaps umfassen im Wesentlichen ein Bündel von S-Forwards mit unterschiedlichen Laufzeiten. Dies wird auch als tpx-Forward bezeichnet. In der Abbildung 41 ist die Vorgehensweise bei einem Mortality Forward illustriert. Abbildung 41: Vorgehensweise bei einem Mortality Forward Mortality Forwards laufen i. d. R. über einen Zeitraum von 10 Jahren und werden derzeit nur als OTC Geschäft angeboten, siehe dazu die Abbildung 42 mit der Auszahlungsstruktur eines Mortality Forwars. Abbildung 42: Auszahlungsstruktur des Mortality Forwards Zedenten (Verkäufer) Rückversicherer (Käufer) Floating NotionalxRealisierte Sterblichkeitsrate Fix NotionalxAusübungspreis CapFloor Ausübungspreis Nettozahlung amEnde der Laufzeit Realisierte IndexSterblichkeit Käufer zahlt Verkäufer zahlt 0 0246810 Tenor Ausübungs‐ preis
- 58 - Die Auszahlung erfolgt als Ausübungspreis abzüglich der realisierten Sterberate. Es gibt kein übertragenes Basisrisiko, nur das systematische Risiko. Während der Laufzeit des Vertrages wird ein Index veröffentlicht. Ist die Sterberate höher als erwartet, so muss der Verkäufer zahlen, ist die Sterblichkeit geringer als erwartet, dann muss der Käufer zahlen. Es gibt eine feste Laufzeit des Handels. Eine derartige Lösung könnte attraktiv sein aufgrund der Einsparungen bei den Kapitalkosten, obwohl die Abdeckung ziemlich teuer ist. Beispiel Im November 2004 wurde ein EIB / BNP Longevity Bond angekündigt, der allerdings nie verkauft wurde. Nachfolgend sind kurz Aufbau und Probleme der angedachten Konstruktion illustriert: • Ankündigung und versuchter Verkauf durch die European Investment Bank • BNP Paribas war der Verkäufer, das Langlebigkeitsrisiko wurde rückversichert • ₤ 540 Mio. bei 25 Jahre Laufzeit (die möglicherweise zu kurz war) • Amortisierende Anleihe • Variierende Zahlungen, die an den einen Index, der das Überleben einer Kohorte widerspiegelt, gebunden sind (Englische und walisische Männer im Alter von 65 Jahren) • Erforderliche Investition von den Käufern • Kosten zur Absicherung ca. 20-30 Basispunkte • Kreditrisiko (Bank, Rückversicherer) • Cross-Currency Zinsswap zwischen der beteiligten EIB und BNP: EIB zahlt floating Euro und erhält fixe Sterling • Sollte ein indirekter Cashflow-Hedge sein Eine mögliche Index Lösung für zukünftige Wert Absicherung könnte wie folgt aussehen: • BW Absicherung für ein synthetisches Portefeuille – abgestimmt auf ein tatsächliches Portefeuille durch die Festsetzung der – Sterblichkeit im Verhältnis zur Bevölkerung sowie der – Diskontfaktoren und Fälligkeit. • Festlegung einer Priorität (Attachment Point) und einer Haftung (Detachment Point = Priorität + Haftung) mit Auszahlung = MAX (0, MIN (BW – Priorität; Haftung),
- 59 - wobei BW der Barwert ist zum Zeitpunkt der Auszahlung mit den verfügbaren Daten und dem vereinbarten Projektionsverfahren (zum Beispiel automatisierter LeeCarter). • Direkter Value-Hedge. Dieser Ansatz ist potenziell billiger als ein Longevity Swap, aber das Langlebigkeitsrisiko für ein konkretes Portfolio ist nicht vollständig abgedeckt, ein Basisrisiko bleibt. Die Life & Longevity Markets Association (LLMA) ist eine Organisation mit dem Ziel, einen liquiden gehandelten Markt für Langlebigkeitsund Sterblichkeitsrisiken zu ermöglichen. Es gibt einen LLMA index (2012 eingeführt) mit Sterblichkeitsraten und Lebenserwartungen für die USA, England & Wales, den Niederlanden und Deutschland, Standards für qForwards und s-Forwards sowie ein Rahmenwerk für die Preisbestimmung. 4.6 Wrap Up Die Vorund Nachteile von Rückversicherungslösungen und Derivaten sind in der Tabelle 4 zusammengestellt. Rückversicherung Vollständiger Risikotransfer durch Schadenübernahme Deckung bis zum natürlichen Auslauf Beendigung nur durch zusätzliche Vereinbarung Ggf. höhere Prämie Rechnungslegung als (Rück-) Versicherung Direkte Auswirkung auf Solvenz durch anerkannte Methode Derivat Signifikantes Basisrisiko verbleibt Abgekürzte Deckung Ggf. einfacher zu beenden (bei ausreichender Liquidität) Gebühr nur für das systematische Risiko Mark-to-market oder Mark-to-model erforderlich Auswirkung auf Solvenz ist mit der Aufsicht abzustimmen Tabelle 4: Vorund Nachteile von Rückversicherungslösungen und Derivaten Das Volumen des Langlebigkeitsmarktes erhöht sich stetig im Laufe der Zeit. Neue Produkte zu Pensionen und Renten entstehen, die ein teilweise sehr detailliertes Verständnis der Schlüsselfaktoren für die Sterblichkeit erfordern. Der Longevity Swap ist ein Standardrückversicherungsprodukt in Großbritannien mit einer direkten Cashflow Absicherung, die alle Risiken abdeckt (systematische und unsystematische). Einige Index-Lösungen wurden bereits gezeichnet und viele mehr sind derzeit in Entwicklung. Solvency II wird dafür sorgen, dass auch Deckungen angeboten werden, die speziell auf Solvency II-Regelungen abstellen.
Impressum Diese Veröffentlichung erscheint im Rahmen der Online-Publikationsreihe „Forschung am IVW Köln“. Alle Veröffentlichungen dieser Reihe können unter www.ivw-koeln.de oder hier abgerufen werden. Forschung am IVW Köln, 8/2015 Strobel (Hrsg.): Management des Langlebigkeitsrisikos. Proceedings zum 7. FaRis & DAV Symposium am 5.12.2014 in Köln. Köln, April 2015 ISSN (online) 2192-8479 Herausgeber der Schriftenreihe / Series Editorship: Prof. Dr. Lutz Reimers-Rawcliffe Prof. Dr. Peter Schimikowski Prof. Dr. Jürgen Strobel Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschaftsund Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Web www.ivw-koeln.de Schriftleitung / editor’s office: Prof. Dr. Jürgen Strobel Tel. +49 221 8275-3270 Fax +49 221 8275-3277 Mail [email protected] Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschaftsund Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Gustav Heinemann-Ufer 54 50968 Köln Herausgeber der Publikation / Editor: Prof. Dr. Jürgen Strobel Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschaftsund Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Gustav Heinemann-Ufer 54 50968 Köln Tel. +49 221 8275-3270 Fax +49 221 8275-3277 Mail [email protected]
Zuletzt erschienen im Rahmen von „Forschung am IVW Köln“ 2015 Völler, Wunder: Enterprise 2.0: Konzeption eines Wikis im Sinne des prozessorientierten Wissensmanagements, Nr. 7/2015 Heep-Altiner, Rohlfs: Standardformel und weitere Anwendungen am Beispiel des durchgängigen Datenmodells der „IVW Privat AG‘‘, Nr. 6/2015 Knobloch: Momente und charakteristische Funktion des Barwerts einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette. Anwendung bei risikobehafteten Zahlungsströmen, Nr. 5/2015 Heep-Altiner, Rohlfs, Beier: Erneuerbare Energien und ALM eines Versicherungsunternehmens, Nr. 4/2015 Dolgov: Calibration of Heston's stochastic volatility model to an empirical density using a genetic algorithm, Nr. 3/2015 Heep-Altiner, Berg: Mikroökonomisches Produktionsmodell für Versicherungen, Nr. 2/2015 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2014, Nr. 1/2015 2014 Müller-Peters, Völler (beide Hrsg.): Innovation in der Versicherungswirtschaft, Nr. 10/2014 Knobloch: Zahlungsströme mit zinsunabhängigem Barwert, Nr. 9/2014 Heep-Altiner, Münchow, Scuzzarello: Ausgleichsrechnungen mit Gauß Markow Modellen am Beispiel eines fiktiven Stornobestandes, Nr. 8/2014 Grundhöfer, Röttger, Scherer: Wozu noch Papier? Einstellungen von Studierenden zu E-Books, Nr. 7/2014 Heep-Altiner, Berg (beide Hrsg.): Katastrophenmodellierung - Naturkatastrophen, Man Made Risiken, Epidemien und mehr. Proceedings zum 6. FaRis & DAV Symposium am 13.06.2014 in Köln, Nr. 6/2014 Goecke (Hrsg.): Modell und Wirklichkeit. Proceedings zum 5. FaRis & DAV Symposium am 6. Dezember 2013 in Köln, Nr. 5/2014 Heep-Altiner, Hoos, Krahforst: Fair Value Bewertung von zedierten Reserven, Nr. 4/2014 Heep-Altiner, Hoos: Vereinfachter Nat Cat Modellierungsansatz zur Rückversicherungsoptimierung, Nr. 3/2014 Zimmermann: Frauen im Versicherungsvertrieb. Was sagen die Privatkunden dazu?, Nr. 2/2014 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2013, Nr. 1/2014