Die Pfade einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette - Fallbeispiele aus der betrieblichen Altersversorgung

Forschung am ivwKöln Band 4/2018 Die Pfade einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette - Fallbeispiele aus der betrieblichen Altersversorgung Ralf Knobloch Forschung am ivwKöln, Band 4/2018 Ralf Knobloch Forschungsstelle FaRis Die Pfade einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette - Fallbeispiele aus der betrieblichen Altersversorgung Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit werden in drei Fallbeispielen aus dem Bereich der betrieblichen Altersversorgung die Versorgungszusagen mithilfe von bewerteten inhomogenen Markov-Ketten modelliert. Dabei liegt der Fokus auf den Pfaden der Markov-Ketten. Es wird anhand der Fallbeispiele gezeigt, wie man mithilfe der Pfade den Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsvariablen „Barwert aller zukünftigen Zahlungen“ berechnen kann. Darüber hinaus ist es auf Basis der Pfade möglich, in Bezug auf diese Zufallsvariable auch Wahrscheinlichkeiten von speziellen Ereignissen und Risikomaße – Value at Risk und Expected Shortfall – zu berechnen. Abstract In the present paper, in three case studies from the field of pensions, the pension liabilities are modeled using priced inhomogeneous Markov chains. The focus lies on the paths of the Markov chains. The case studies show how the paths can be used to calculate the expected value and the standard deviation of the random variable "present value of the cash-flow". In addition, based on the paths, it is possible to calculate probabilities of specific events and risk measures – value at risk and expected shortfall – with respect to this random variable. Schlagwörter: Betriebliche Altersversorgung, Markov-Kette, Bewertete Markov-Kette, Barwert, Value at Risk, Expected Shortfall Keywords: Pensions, Markov Chain, Priced Markov Chain, Present Value, Value at Risk, Expected Shortfall  - 1 - Inhaltsverzeichnis 1. EINLEITUNG ........................................................................................................................................ 2 2. DAS ALLGEMEINE MODELL ............................................................................................................ 3 3. BETRIEBLICHE ALTERSVERSORGUNG ....................................................................................... 4 4. FALLBEISPIEL 1: EIN RENTENBEZIEHER .................................................................................... 5 5. FALLBEISPIEL 2: EIN ARBEITNEHMER ...................................................................................... 10 6. FALLBEISPIEL 3: BESTAND MIT ZEHN PERSONEN ................................................................. 12 7. FAZIT .................................................................................................................................................. 16 LITERATURVERZEICHNIS ....................................................................................................................... 17 - 2 - 1. Einleitung Stochastische Prozesse haben in den Wirtschaftswissenschaften die vielfältigsten Anwendungen. Sie werden zur Modellierung sowohl bei klassischen betriebswirtschaftlichen Sachverhalten als auch bei speziellen Fragestellungen in den Bereichen Insurance und Finance eingesetzt. Eine der wichtigsten Modellklasse bilden die Markov-Ketten mit endlichem Zustandsraum und diskreter Zeitachse. Als Beispiele für die Anwendung dieser Modelle bei klassischen betriebswirtschaftlichen Fragestellungen seien hier die Themen Warteschlangensysteme, Lagerhaltung und (Markovsche) Entscheidungsprozesse genannt (vgl. [13]). In der Personenversicherungsmathematik werden Markov-Ketten zur Kalkulation von Barwerten, Reserven und Prämien verwendet (vgl. [10], [12], [2], [3], [5], [6], [7], [8], [9]). In dem in dieser Ausarbeitung verwendeten Modell gibt es neben den Zuständen der Markov-Kette eine weitere relevante Modellkomponente – die sogenannte Bewertung. Dabei wird in jedem Zeitpunkt jedem möglichen Zustand ein Zahlbetrag zugeordnet. Dies führt zum Begriff der bewerteten Markov-Kette. Darüber hinaus wird im hier behandelten Modell die zeitliche Entwicklung allgemein als inhomogen angesetzt. Im Mittelpunkt des Interesses steht der zufällige Barwert des mit der Bewertung modellierten Zahlungsstroms. Für die charakteristische Funktion bzw. die momentenerzeugende Funktion dieser Zufallsvariablen lässt sich eine geschlossene Formel herleiten. Damit ist die Verteilung des zufälligen Barwerts des Zahlungsstroms eindeutig festgelegt und mithilfe der numerischen Ableitung lassen sich der Erwartungswert und höhere Momente berechnen (vgl. [6], [7], [8], [9]). Offen jedoch ist bisher die Berechnung von Quantilen und Risikomaßen wie Value at Risk und Expected Shortfall. In der vorliegenden Ausarbeitung wird anhand von Fallbeispielen aus dem Bereich der betrieblichen Altersversorgung gezeigt, wie diese Lücke geschlossen werden kann bzw. welche rechentechnischen Probleme dabei entstehen. Die Berechnungen basieren auf einer Analyse der Pfade der zugrundeliegenden inhomogenen Markov-Kette. - 3 - 2. Das allgemeine Modell Gegeben sei eine Markov-Kette (𝑿𝑿𝒕𝒕)𝒕𝒕=𝟎𝟎,𝟏𝟏,𝟐𝟐,… mit dem endlichen Zustandsraum 𝑺𝑺={𝟎𝟎,𝟏𝟏,𝟐𝟐,…,𝑵𝑵}. Dabei steht der Zeitpunkt 𝒕𝒕 für den Beginn des (𝒕𝒕+𝟏𝟏)-ten Jahres bzw. die Zufallsvariable 𝑿𝑿𝒕𝒕 für den Zustand zu Beginn des (𝒕𝒕+𝟏𝟏)-ten Jahres, 𝒕𝒕=𝟎𝟎,𝟏𝟏,𝟐𝟐, … . Die Übergangswahrscheinlichkeiten vom Zeitpunkt 𝒕𝒕−𝟏𝟏 zum Zeitpunkt 𝒕𝒕 seien gegeben durch die (N+1)x(N+1)-Matrix 𝑸𝑸(𝒕𝒕)=�𝒒𝒒𝒋𝒋𝒋𝒋(𝒕𝒕)�𝒋𝒋,𝒋𝒋∈𝑺𝑺 , d.h. 𝒒𝒒𝒋𝒋𝒋𝒋(𝒕𝒕)≔𝑷𝑷(𝑿𝑿𝒕𝒕=𝒋𝒋|𝑿𝑿𝒕𝒕−𝟏𝟏 =𝒋𝒋), 𝒋𝒋,𝒋𝒋𝒌𝒌𝑺𝑺 und 𝒕𝒕=𝟏𝟏,𝟐𝟐, … (vgl. [2]). Da die Übergangsmatrizen explizit von dem Zeitparameter 𝒕𝒕 abhängen, heißt die Markov-Kette inhomogen (vgl. [10] S.16f, [13] S.11). Die Verteilung der Zufallsvariablen 𝑿𝑿𝒕𝒕, 𝒕𝒕=𝟎𝟎,𝟏𝟏,𝟐𝟐, …, sei gegeben durch den Zeilenvektor 𝑷𝑷𝒕𝒕=�𝑷𝑷𝒕𝒕,𝒋𝒋�𝒋𝒋∈𝑺𝑺, d.h. 𝑷𝑷(𝑿𝑿𝒕𝒕=𝒋𝒋)=𝑷𝑷𝒕𝒕,𝒋𝒋 , 𝒋𝒋∈𝑺𝑺. Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass 𝑷𝑷𝟎𝟎 vorgegeben ist und alle Wahrscheinlichkeiten, Verteilungen und Momente gegeben dieser Anfangsverteilung berechnet werden. Unter Anwendung der Chapman-Kolmogorov-Gleichung für Markov-Ketten (vgl. [10] S.14) ergibt sich für 𝒕𝒕=𝟎𝟎,𝟏𝟏,𝟐𝟐, … 𝑷𝑷𝒕𝒕=𝑷𝑷𝟎𝟎∙�𝑸𝑸(𝒔𝒔) 𝒕𝒕 𝒔𝒔=𝟏𝟏 (vgl. [2]). Für diese inhomogene Markov-Kette wird nun durch die Spaltenvektoren 𝑳𝑳𝒕𝒕=�𝑳𝑳𝒕𝒕,𝒋𝒋�𝒋𝒋∈𝑺𝑺 , 𝒕𝒕=𝟎𝟎,𝟏𝟏,𝟐𝟐, … eine Bewertung definiert, die in jedem Zeitpunkt jedem möglichen Zustand eine reelle Zahl bzw. eine Zahlung zuordnet. Die Zufallsvariable „Barwert der ersten 𝒏𝒏+𝟏𝟏 Zahlungen“ ist dann gegeben durch: 𝑩𝑩𝟎𝟎(𝒏𝒏)=��𝟏𝟏{𝑿𝑿𝒕𝒕=𝒋𝒋}∙𝒗𝒗𝒕𝒕∙𝑳𝑳𝒕𝒕,𝒋𝒋 𝑵𝑵 𝒋𝒋=𝟎𝟎 𝒏𝒏 𝒕𝒕=𝟎𝟎 Dabei sei 𝒗𝒗 der Diskontierungsfaktor für ein Jahr gegeben durch 𝒗𝒗=𝟏𝟏 𝟏𝟏+𝒓𝒓 und 𝒓𝒓>−𝟏𝟏 der zeitlich konstante Rechnungszins pro Jahr. - 4 - 3. Betriebliche Altersversorgung Zur Modellierung einer Versorgungszusage auf betriebliche Altersversorgung mithilfe einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette müssen zum einen die Übergangsmatrizen und zum anderen die Bewertungsvektoren besetzt werden. Darüber hinaus ist für die Zufallsvariable „Barwert der ersten 𝒏𝒏+𝟏𝟏 Zahlungen“ der jährliche Rechnungszins zu wählen. Da eine Zusage auf betriebliche Altersversorgung i.d.R. eine Alters-, eine Invalidenund eine Hinterbliebenenversorgung beinhaltet, basieren die Übergangsmatrizen auf einem System bestehend aus Sterbe-, Invalidisierungsund Verheiratungswahrscheinlichkeiten. Zur Modellierung der Hinterbliebenenversorgung benötigt man zusätzlich (kollektive) Altersunterschiede im Todesfall und zur Modellierung der Rentenphasen ein Alter für den Übergang in die Altersrente und ein generelles Endalter für den letztmöglichen Bezug einer Rentenzahlung. Letzteres orientiert sich an dem maximal erreichbaren Lebensalter. Es wird nur die jährliche Zahlweise behandelt, so dass keine Annahmen über unterjährliche Verzinsungen und unterjährliche Sterbewahrscheinlichkeiten getroffen werden müssen. Die Bewertungsvektoren ergeben sich aus den zugesagten Rentenhöhen. Als Standardmodell für die betriebliche Altersversorgung werden in Deutschland üblicherweise die Richttafeln von Klaus Heubeck (vgl. [1]) verwendet. Die Richttafeln enthalten ein System von Wahrscheinlichkeiten mit allen für die Besetzung der Übergangsmatrizen nötigen Werten und ein Formelwerk zur Bewertung von Versorgungszusagen. Die Richttafeln sind seit 2005 als Generationentafeln konzipiert. Der mit dem Formelwerk der Richttafeln berechnete Barwert entspricht dem Erwartungswert der oben definierten Zufallsvariablen „Barwert der ersten 𝒏𝒏+𝟏𝟏 Zahlungen“ mit einem geeigneten 𝒏𝒏. Die Modellierung mit einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette führt bezüglich des Erwartungswertes zu den gleichen Ergebnissen wie das Formelwerk der Richttafeln: In den Fallbeispielen in [6], [7], [8] und [9] weichen die Ergebnisse nur minimal voneinander ab. Zusätzlich ermöglicht die Modellierung aber auch die Berechnung höherer Momente, wie z.B. Varianz und Standardabweichung. - 5 - 4. Fallbeispiel 1: Ein Rentenbezieher Zunächst betrachten wir den Fall eines einzelnen Rentenbeziehers. Dieser erhält eine jährlich vorschüssig Rente in Höhe von 1.000 €. Die Zusage beinhaltet keine Hinterbliebenenversorgung. Der Rentenbezieher sei 74 Jahre alt. Das Endalter wird mit 100 angesetzt. Die Sterbewahrscheinlichkeiten seien wie folgt gegeben: Alter Sterbewahrscheinlichkeit Alter Sterbewahrscheinlichkeit Alter Sterbewahrscheinlichkeit 74 0,026 83 0,063 92 0,163 75 0,028 84 0,070 93 0,179 76 0,031 85 0,078 94 0,197 77 0,034 86 0,087 95 0,211 78 0,037 87 0,097 96 0,225 79 0,041 88 0,108 97 0,239 80 0,046 89 0,120 98 0,254 81 0,051 90 0,133 99 0,269 82 0,056 91 0,147 100 1,000 Zunächst wird mit den in der Personenversicherungsmathematik üblichen Methoden der erwartete Barwert der Rentenzahlungen berechnet. Der jährliche Rechnungszins sei 3%. Es wird davon ausgegangen, dass die Rentenzahlung für das Alter 74 sofort erfolgt und somit nicht mehr abgezinst wird, alle andern Rentenzahlungen sind entsprechend der Altersdifferenz abzuzinsen. Damit ergibt sich mit der Formel 𝟏𝟏 𝒍𝒍𝟕𝟕𝟕𝟕 ∙ � 𝑹𝑹𝒋𝒋∙𝒗𝒗𝒋𝒋−𝟕𝟕𝟕𝟕 ∙𝒍𝒍𝒋𝒋 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒋𝒋=𝟕𝟕𝟕𝟕 =𝟏𝟏 𝑫𝑫𝟕𝟕𝟕𝟕 ∙ � 𝑹𝑹𝒋𝒋∙𝑫𝑫𝒋𝒋 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒋𝒋=𝟕𝟕𝟕𝟕 ein erwarteter Barwert von 𝟏𝟏𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗𝟕𝟕,𝟑𝟑𝟑𝟑 €. Dabei seien wie in der Personenversicherungsmathematik üblich 𝒍𝒍𝒋𝒋 die Lebenden und 𝑫𝑫𝒋𝒋 die diskontierten Lebenden jeweils im Alter 𝒋𝒋. Ferner seien die Rentenzahlungen 𝑹𝑹𝒋𝒋 konstant gleich 1.000 für alle 𝒋𝒋=𝟕𝟕𝟕𝟕,…,𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎. Bei der Berechnung ergeben sich die folgenden (auf vier Nachkommastellen gerundeten) Zwischenergebnisse: - 6 - Alter 𝒋𝒋 Lebende 𝒍𝒍𝒋𝒋 Diskontierte Lebende 𝑫𝑫𝒋𝒋 Alter 𝒋𝒋 Lebende 𝒍𝒍𝒋𝒋 Diskontierte Lebende 𝑫𝑫𝒋𝒋 74 100.000,0000 11.221,3568 88 46.330,7775 3.437,1130 75 97.400,0000 10.611,2636 89 41.327,0535 2.976,6066 76 94.672,8000 10.013,7362 90 36.367,8071 2.543,1202 77 91.737,9432 9.420,6896 91 31.530,8888 2.140,6653 78 88.618,8531 8.835,3264 92 26.895,8481 1.772,8034 79 85.339,9555 8.260,6013 93 22.511,8249 1.440,6179 80 81.841,0173 7.691,1812 94 18.482,2082 1.148,2983 81 78.076,3305 7.123,6766 95 14.841,2132 895,2268 82 74.094,4376 6.563,4651 96 11.709,7172 685,7611 83 69.945,1491 6.015,4476 97 9.075,0308 515,9853 84 65.538,6047 5.472,3053 98 6.906,0984 381,2280 85 60.950,9024 4.941,0135 99 5.151,9494 276,1127 86 56.196,7320 4.422,9266 100 3.766,0750 195,9596 87 51.307,6163 3.920,5165 101 0,0000 0,0000 Summe 122.923,0045 Modelliert man die Rentenzahlungen mithilfe einer bewerten inhomogenen MarkovKette, so benötigt man die folgenden beiden Zustände: Zustand 0: „Der Rentenbezieher ist tot“ Zustand 1: „Der Rentenbezieher lebt“ Damit ergibt sich z.B. als dritte Übergangsmatrix 𝑸𝑸(𝟑𝟑)=�𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟑𝟑𝟏𝟏 𝟎𝟎,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗�. Der Bewertungsvektor wird einheitlich mit dem Spaltenvektor �𝟎𝟎 𝟏𝟏.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎� angesetzt. Da im vorliegenden Beispiel die Rentenzahlungen maximal für 27 Jahre laufen, ist zur Berücksichtigung aller Zahlungen 𝒏𝒏=𝟐𝟐𝟕𝟕 ausreichend. Damit wird formal als letztes Alter 101 berücksichtigt, obwohl in diesem Alter keine Zahlung mehr erfolgen kann. Berechnet man unter diesen Annahmen die momentenerzeugende Funktion der Zufallsvariablen 𝑩𝑩𝟎𝟎(𝟐𝟐𝟕𝟕) und leitet diese numerisch ab (vgl. in [6], [7], [8], [9]), so erhält man als Erwartungswert ebenfalls 𝟏𝟏𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗𝟕𝟕,𝟑𝟑𝟑𝟑 € und als Standardabweichung 𝟕𝟕.𝟕𝟕𝟗𝟗𝟕𝟕,𝟑𝟑𝟕𝟕 €. - 13 - Dabei ist bei einer Person ein Pfad relevant, wenn er eine positive Wahrscheinlichkeit hat. Setzt man die (stochastische) Unabhängigkeit der Personenschicksale voraus, so müssen für die Verteilung der Zufallsvariablen „Barwert aller zukünftigen Zahlungen“ bezogen auf den Bestand, alle Kombinationen von relevanten Pfaden der Einzelpersonen berücksichtigt werden. Es ergeben sich dann für den Bestand ca. 4,39·1035 relevante Pfade. Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades berechnet sich dabei wegen der Unabhängigkeit der Personenschicksale durch die Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten der zehn zugehörigen Pfade der einzelnen Personen. Da aber bei einer solchen Anzahl von Pfaden die EDV-technische Umsetzung mit Blick auf die Rechenzeit schnell an ihre Grenzen stößt, werden im vorliegenden Fallbeispiel die Ausgänge der Zufallsvariablen „Barwert aller zukünftigen Zahlungen“ für die Einzelpersonen durch Rundung zu Klassen zusammengefasst. Dadurch reduziert sich bezogen auf den Bestand die Anzahl der relevanten Pfade erheblich. Mit der so berechneten Verteilung werden dann für die Zufallsvariable „Barwert aller zukünftigen Zahlungen“ bezogen auf den Bestand die Kennzahlen Erwartungswert, Standardabweichung, Value at Risk zum Niveau 5% und Expected Shortfall zum Niveau 5% berechnet. Die Ergebnisse sind in der nachfolgenden Tabelle zusammengestellt. Dabei ergibt sich der Wert für den Erwartungswert der Zufallsvariablen „Barwert aller zukünftigen Zahlungen“ bei der Methode „Numerisches Ableiten der momentenerzeugenden Funktion“ wegen der Linearität des Erwartungswertes durch Addition der Einzelwerte. Wegen der Unabhängigkeit der Personenschicksale, lässt sich bei dieser Methode die Varianz ebenfalls durch Addition der Einzelwerte berechnen. Die Standardabweichung ergibt sich dann als Wurzel aus der Varianz. Berechnet man für die Momente Erwartungswert und Varianz die Einzelwerte analog zu den Fallbeispielen 1 und 2 über die jeweiligen aus den Pfaden abgeleiteten Wahrscheinlichkeiten und addiert anschließend die Einzelwerte, so erhält man bezogen auf den Bestand für den Erwartungswert 123.673 und für die Standardabweichung 13.176. - 14 - Methode Numerisches Ableiten der momentenerzeugenden Funktion Verteilung mit Klassenbildung durch Runden auf 5.000 Verteilung mit Klassenbildung durch Runden auf 3.000 Verteilung mit Klassenbildung durch Runden auf 2.000 Erwartungswert 123.673 122.662 123.551 123.420 Standardabweichung 13.176 13.956 13.483 13.382 Value at Risk Niveau 5% 145.000 144.000 144.000 Expected Shortfall Niveau 5% 149.581 149.440 149.031 Anzahl der relevanten Pfade 84.707.280 6.696.500.580 ca. 2,54·1011 Rechenzeit in std:min:sek (DelphiProgramm) 00:02:10 00:06:49 02:54:42 Für den Erwartungswert und die Standardabweichung erhält man im vorliegenden Beispiel bei der Klassenbildung durch Runden auf 2.000 bzw. auf 3.000 hinreichend genaue Ergebnisse. Dabei liefert die Rundung auf 3.000 für den Erwartungswert eine bessere Näherung als die Rundung auf 2.000. Jedoch ist der Unterschied minimal. Beide Werte haben eine Abweichung vom exakten Wert von weniger als 0,25%. Rundet man auf 5.000, so ist das Ergebnis für den Erwartungswert mit einer Abweichung unter 1% immer noch sehr gut. Die Standardabweichung jedoch hat mit 5,9% eine relativ hohe Abweichung vom exakten Wert. Der Vorteil der Berechnungen mit den auf den relevanten Pfaden basierenden Wahrscheinlichkeiten liegt aber darin, dass neben den Momenten auch Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen und Risikomaße (Value at Risk und Expected Shortfall) berechnet werden können. Allerdings ist die Rechenzeit für die Rundung auf 2.000 bei der hier verwendeten Softbzw. Hardware relativ hoch. Die anderen beiden Berechnungen (Rundung auf 5.000 und Rundung auf 3.000) haben zwar geringere Rechenzeiten, dafür verliert man bei den Ergebnissen aber an Genauigkeit. - 15 - Die Beurteilung der mit der Zusage verbundenen biometrischen Risiken kann auf Basis der Risikomaße erfolgen. Dabei steht der über den erwarteten Barwert der zukünftigen Zahlungen hinausgehende Aufwand, d.h. die Differenz von Risikomaß und Erwartungswert, im Fokus. Verwendet man den exakt berechneten Erwartungswert und die Risikomaße auf Basis der Rundung auf 2.000, so ergibt sich für den „unerwarteten“ Aufwand auf Basis des Value at Risk ein Wert von 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟕𝟕.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟐𝟐𝟑𝟑.𝟗𝟗𝟕𝟕𝟑𝟑=𝟐𝟐𝟎𝟎.𝟑𝟑𝟐𝟐𝟕𝟕 und auf Basis des Expected Shortfalls eine Wert von 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟗𝟗.𝟎𝟎𝟑𝟑𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟐𝟐𝟑𝟑.𝟗𝟗𝟕𝟕𝟑𝟑=𝟐𝟐𝟗𝟗.𝟑𝟑𝟗𝟗𝟑𝟑. Bewertet man die biometrischen Risiken mit dem unerwarteten Aufwand für jede der zehn Personen einzeln und addiert diese Bewertungen, so ergibt auf Basis des Value at Risk ein Wert von 𝟗𝟗𝟑𝟑.𝟑𝟑𝟗𝟗𝟗𝟗 und auf Basis des Expected Shortfall ein Wert von 𝟕𝟕𝟐𝟐.𝟎𝟎𝟑𝟑𝟗𝟗. Der Unterschied zwischen der Risikobewertung für den Bestand und der Summe der Bewertung der Einzelrisiken ist dabei auf den Diversifikationseffekt zurückzuführen. - 16 - 7. Fazit In der vorliegenden Ausarbeitung wird in einfachen Fallbeispielen aus der betrieblichen Altersversorgung die Zusage mithilfe einer inhomogenen Markov-Kette modelliert. Dabei steht die Zufallsvariable „Barwert aller zukünftigen Zahlungen“ und deren Verteilung im Mittelpunkt des Interesses. Durch eine Betrachtung der einzelnen Pfade der inhomogenen Markov-Kette ist es möglich, neben den üblichen Momenten (wie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung) auch Wahrscheinlichkeiten von speziellen Ereignissen und Risikomaße zu berechnen. Wegen der hohen Anzahl der Pfade erfordert dies aber den Einsatz von EDVtechnischen Methoden. Bei Beständen kann dabei – wie in Fallbeispiel 3 – ein Verfahren zur Reduktion der Rechenzeit erforderlich sein. In der betrieblichen Altersversorgung benötigt man zur Modellierung einer Versorgungszusage i.d.R. mehr Zustände als in den vorliegenden Fallbeispielen. Darüber hinaus ist in Fallbeispiel 3 die Anzahl der Personen mit zehn – im Vergleich zu den in der Praxis üblichen Bestandsgrößen – sehr niedrig. So dass es im Allgemeinen weiterer EDV-technischer Entwicklungen bedarf, wenn man diese hier vorgestellten Methoden in der Praxis einsetzen möchte. - 17 - Literaturverzeichnis [1] Heubeck, Klaus Richttafeln 2005G,Textband und Programm Heurika 2,Verlag: Heubeck-Richttafeln-GmbH, Köln 2005. [2] Knobloch, Ralf Bewertung von risikobehafteten Zahlungsströmen mithilfe von Markov-Ketten, In: Forschung am ivwKöln, Band 3/2011, Köln 2012, http://nbnresolving.de/urn:nbn:de:hbz:832-cos-98 (Stand 01. 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[6] Knobloch, Ralf Momente und charakteristische Funktion des Barwerts einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette-Anwendung bei risikobehafteten Zahlungsströmen, In: Forschung am ivwKöln, Band 5/2015, Köln 2015, http://nbnresolving.de/urn:nbn:de:hbz:832-cos-816 (Stand 01. April 2018). - 18 - [7] Knobloch, Ralf Bewertete inhomogene Markov-Ketten – Spezielle unterjährliche und zeitstetige Modelle, In: Forschung am ivwKöln, Band 4/2016, Köln 2016, http://nbnresolving.de/urn:nbn:de:hbz:832-cos4-3416 (Stand 01. April 2018). [8] Knobloch, Ralf Der Barwert der Rentenzahlungen aus einer betrieblichen Versorgungszusage, Der Aktuar 2016, Heft 4, S. 210 – 213. [9] Knobloch, Ralf Konstruktion einer unterjährlichen Markov-Kette aus einer jährlichen Markov-Kette - Eine Verallgemeinerung des linearen Ansatzes, In: Forschung am ivwKöln, Band 7/2017, Köln 2017, http://nbnresolving.de/urn:nbn:de:hbz:832-cos4-5535 (Stand 01. April 2018). [10] Koller, Michael Stochastische Modelle in der Lebensversicherung, 2. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2010. [11] Kriele, Marcus; Wolf, Jochen Wertorientiertes Risikomanagement von Versicherungsunter-nehmen, Springer ‐ Verlag, Berlin Heidelberg 2012 [12] Milbrodt, Hartmut; Helbig, Manfred Mathematische Methoden der Personenversicherung, De Gruyter, Berlin New York 1999. [13] Waldmann, KarlHeinz; Stocker, Ulrike M. Stochastische Modelle, 2. Auflage, Springer Verlag, Heidelberg 2013. Impressum Diese Veröffentlichung erscheint im Rahmen der Online-Publikationsreihe „Forschung am ivwKöln“. Eine vollständige Übersicht aller bisher erschienenen Publikationen findet sich am Ende dieser Publikation und kann hier abgerufen werden. Forschung am ivw Köln, 4/2018 ISSN (online) 2192 -8479 Ralf Knobloch: Die Pfade einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette – Fallbeispiele aus der betrieblichen Altersversorgung Köln, April 2018 Schriftleitung / editor’s office: Prof. Dr. Jürgen Strobel Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschafts - und Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Technische Hochschule Köln / University of Applied Sciences Gustav Heinemann -Ufer 54 50968 Köln Tel. +49 221 8275-3270 Fax +49 221 8275 -3277 Mail [email protected] Web www.th -koeln.de Herausgeber der Schriftenreihe / Series Editorship: Prof. Dr. Lutz Reimers -Rawcliffe Prof. Dr. Peter Schimikowski Prof. Dr. Jürgen Strobel Kontakt Autor / Contact author: Prof. Dr. Ralf Knobloch S chmalenbach Institut für Wirtschaftswissenschaften / Schmalenbach Institute of Business Administration Fakultät für Wirtschafts - und Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Technische Hochschule Köln / University of Applied Sciences Gustav Heinemann -Ufer 54 50968 Köln Mail ralf.knobloch@th -koeln.de Publikationsreihe „Forschung am ivwKöln“ Die Veröffentlichungen der Online-Publikationsreihe "Forschung am ivwKöln" (ISSN: 2192-8479) werden üblicherweise über Cologne Open Science (Publikationsserver der TH Köln) veröffentlicht. Die Publikationen werden hierdurch über nationale und internationale Bibliothekskataloge, Suchmaschinen sowie andere Nachweisinstrumente erschlossen. Alle Publikationen sind auch kostenlos abrufbar unter www.ivw-koeln.de. 2018 3/2018 Völler, Müller-Peters: InsurTech Karte ivwKöln 1/2018 - Beiträge zu InsurTechs und Innovation am ivwKöln 2/2018 Schmidt, Schulz: InsurTech. Proceedings zum 12. FaRis & DAV Symposium am 9. Juni 2017 in Köln 1/2018 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2017 2017 8/2017 Materne, Pütz: Alternative Capital und Basisrisiko in der Standardformel (non-life) von Solvency II 7/2017 Knobloch: Konstruktion einer unterjährlichen Markov-Kette aus einer jährlichen Markov-Kette - Eine Verallgemeinerung des linearen Ansatzes 6/2017 Goecke, Oskar (Hrsg.): Risiko und Resilienz. Proceedings zum 11. FaRis & DAV Symposium am 9. Dezember 2016 in Köln 5/2017 Grundhöfer, Dreuw, Quint, Stegemann : Bewertungsportale - eine neue Qualität der Konsumenteninformation? 4/2017 Heep-Altiner, Mehring, Rohlfs: Bewertung des verfügbaren Kapitals am Beispiel des Datenmodells der „IVW Privat AG“ 3/2017 Müller-Peters, Völler: InsurTech Karte ivwKöln 1/2017 - Beiträge zu InsurTechs und Innovation am ivwKöln 2/2017 Heep-Altiner, Müller-Peters, Schimikowski, Schnur (Hrsg.): Big Data für Versicherungen. Proceedings zum 21. Kölner Versicherungssymposium am 3. 11. 2016 in Köln 1/2017 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2016 2016 13/2016 Völler: Erfolgsfaktoren eines Online-Portals für Akademiker 12/2016 Müller-Peters, Gatzert: Todsicher: Die Wahrnehmung und Fehlwahrnehmung von Alltagsrisiken in der Öffentlichkeit (erscheint 2017) 11/2016 Heep-Altiner, Penzel, Rohlfs, Voßmann: Standardformel und weitere Anwendungen am Beispiel des durchgängigen Datenmodells der „IVW Leben AG“ 10/2016 Heep-Altiner (Hrsg.): Big Data. Proceedings zum 10. FaRis & DAV Symposium am 10. Juni 2016 in Köln 9/2016 Materne, Pütz, Engling: Die Anforderungen an die Ereignisdefinition des Rückversicherungsvertrags: Eindeutigkeit und Konsistenz mit dem zugrundeliegenden Risiko 8/2016 Rohlfs (Hrsg.): Quantitatives Risikomanagement. Proceedings zum 9. FaRis & DAV Symposium am 4. Dezember 2015 in Köln 7/2016 Eremuk, Heep-Altiner: Internes Modell am Beispiel des durchgängigen Datenmodells der „IVW Privat AG“ 6/2016 Heep-Altiner, Rohlfs, Dağoğlu, Pulido, Venter: Berichtspflichten und Prozessanforderungen nach Solvency II 5/2016 Goecke: Collective Defined Contribution Plans - Backtesting based on German capital market data 1955 - 2015 4/2016 Knobloch: Bewertete inhomogene Markov-Ketten - Spezielle unterjährliche und zeitstetige Modelle 3/2016 Völler (Hrsg.): Sozialisiert durch Google, Apple, Amazon, Facebook und Co. – Kundenerwartungen und – erfahrungen in der Assekuranz. Proceedings zum 20. Kölner Versicherungssymposium am 5. November 2015 in Köln 2/2016 Materne (Hrsg.): Jahresbericht 2015 des Forschungsschwerpunkts Rückversicherung 1/2016 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2015 2015 11/2015 Goecke (Hrsg.): Kapitalanlagerisiken: Economic Scenario Generator und Liquiditätsmanagement. Proceedings zum 8. FaRis & DAV Symposium am 12. Juni 2015 in Köln 10/2015 Heep-Altiner, Rohlfs: Standardformel und weitere Anwendungen am Beispiel des durchgängigen Datenmodells der „IVW Privat AG“ – Teil 2 9/2015 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds 8/2015 Strobel (Hrsg.): Management des Langlebigkeitsrisikos. Proceedings zum 7. FaRis & DAV Symposium am 5.12.2014 in Köln 7/2015 Völler, Wunder: Enterprise 2.0: Konzeption eines Wikis im Sinne des prozessorientierten Wissensmanagements 6/2015 Heep-Altiner, Rohlfs: Standardformel und weitere Anwendungen am Beispiel des durchgängigen Datenmodells der „IVW Privat AG‘‘ 5/2015 Knobloch: Momente und charakteristische Funktion des Barwerts einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette. Anwendung bei risikobehafteten Zahlungsströmen 4/2015 Heep-Altiner, Rohlfs, Beier: Erneuerbare Energien und ALM eines Versicherungsunternehmens 3/2015 Dolgov: Calibration of Heston's stochastic volatility model to an empirical density using a genetic algorithm 2/2015 Heep-Altiner, Berg: Mikroökonomisches Produktionsmodell für Versicherungen 1/2015 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2014 2014 10/2014 Müller-Peters, Völler (beide Hrsg.): Innovation in der Versicherungswirtschaft 9/2014 Knobloch: Zahlungsströme mit zinsunabhängigem Barwert 8/2014 Heep-Altiner, Münchow, Scuzzarello: Ausgleichsrechnungen mit Gauß Markow Modellen am Beispiel eines fiktiven Stornobestandes 7/2014 Grundhöfer, Röttger, Scherer: Wozu noch Papier? Einstellungen von Studierenden zu E-Books 6/2014 Heep-Altiner, Berg (beide Hrsg.): Katastrophenmodellierung - Naturkatastrophen, Man Made Risiken, Epidemien und mehr. Proceedings zum 6. FaRis & DAV Symposium am 13.06.2014 in Köln 5/2014 Goecke (Hrsg.): Modell und Wirklichkeit. Proceedings zum 5. FaRis & DAV Symposium am 6. Dezember 2013 in Köln 4/2014 Heep-Altiner, Hoos, Krahforst: Fair Value Bewertung von zedierten Reserven 3/2014 Heep-Altiner, Hoos: Vereinfachter Nat Cat Modellierungsansatz zur Rückversicherungsoptimierung 2/2014 Zimmermann: Frauen im Versicherungsvertrieb. Was sagen die Privatkunden dazu? 1/2014 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2013 2013 11/2013 Heep-Altiner: Verlustabsorbierung durch latente Steuern nach Solvency II in der Schadenversicherung, Nr. 11/2013 10/2013 Müller-Peters: Kundenverhalten im Umbruch? Neue Informationsund Abschlusswege in der KfzVersicherung, Nr. 10/2013 9/2013 Knobloch: Risikomanagement in der betrieblichen Altersversorgung. Proceedings zum 4. FaRis & DAV-Symposium am 14. Juni 2013 8/2013 Strobel (Hrsg.): Rechnungsgrundlagen und Prämien in der Personenund Schadenversicherung - Aktuelle Ansätze, Möglichkeiten und Grenzen. Proceedings zum 3. FaRis & DAV Symposium am 7. Dezember 2012 7/2013 Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Backtesting 6/2013 Knobloch: Konstruktion einer unterjährlichen Markov-Kette aus einer jährlichen Markov-Kette 5/2013 Heep-Altiner et al. (Hrsg.): Value-Based-Management in Non-Life Insurance 4/2013 Heep-Altiner: Vereinfachtes Formelwerk für den MCEV ohne Renewals in der Schadenversicherung 3/2013 Müller-Peters: Der vernetzte Autofahrer – Akzeptanz und Akzeptanzgrenzen von eCall, Werkstattvernetzung und Mehrwertdiensten im Automobilbereich 2/2013 Maier, Schimikowski (beide Hrsg.): Proceedings zum 6. Diskussionsforum Versicherungsrecht am 25. September 2012 an der FH Köln 1/2013 Institut für Versicherungswesen (Hrsg.): Forschungsbericht für das Jahr 2012 2012 11/2012 Goecke (Hrsg.): Alternative Zinsgarantien in der Lebensversicherung. Proceedings zum 2. FaRis & DAV-Symposiums am 1. Juni 2012 10/2012 Klatt, Schiegl: Quantitative Risikoanalyse und -bewertung technischer Systeme am Beispiel eines medizinischen Gerätes 9/2012 Müller-Peters: Vergleichsportale und Verbraucherwünsche 8/2012 Füllgraf, Völler: Social Media Reifegradmodell für die deutsche Versicherungswirtschaft 7/2012 Völler: Die Social Media Matrix - Orientierung für die Versicherungsbranche 6/2012 Knobloch: Bewertung von risikobehafteten Zahlungsströmen mithilfe von Markov-Ketten bei unterjährlicher Zahlweise 5/2012 Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationsrechnungen 4/2012 Günther (Hrsg.): Privat versus Staat - Schussfahrt zur Zwangsversicherung? Tagungsband zum 16. Kölner Versicherungssymposium am 16. Oktober 2011 3/2012 Heep-Altiner/Krause: Der Embedded Value im Vergleich zum ökonomischen Kapital in der Schadenversicherung 2/2012 Heep-Altiner (Hrsg.): Der MCEV in der Lebensund Schadenversicherung - geeignet für die Unternehmenssteuerung oder nicht? Proceedings zum 1. FaRis & DAV-Symposium am 02.12.2011 in Köln 1/2012 Institut für Versicherungswesen (Hrsg.): Forschungsbericht für das Jahr 2011 2011 5/2011 Reimers-Rawcliffe: Eine Darstellung von Rückversicherungsprogrammen mit Anwendung auf den Kompressionseffekt 4/2011 Knobloch: Ein Konzept zur Berechnung von einfachen Barwerten in der betrieblichen Altersversorgung mithilfe einer Markov-Kette 3/2011 Knobloch: Bewertung von risikobehafteten Zahlungsströmen mithilfe von Markov-Ketten 2/2011 Heep-Altiner: Performanceoptimierung des (Brutto) Neugeschäfts in der Schadenversicherung 1/2011 Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich