Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationsrechnungen

Forschung am IVW Köln, 5/2012 Institut für Versicherungswesen Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationsrechnungen Oskar Goecke Zusammenfassung Beim kollektiven Sparen teilt sich das gesamte Sparvermögen in zwei Teile: Zum einen in die Summe der individuellen Sparguthaben und zum anderen in ein kollektives Sparvermögen (kollektive Reserve), das nicht den einzelnen Sparer zuzurechnen ist, sondern der Ge samtheit aller Sparer. Die kollektive Reserve wird dafür verwendet, kurzfristige Wertschwankungen des angelegten Sparvermögens auszugleichen: Bei einer überdurchschnittlich guten Performance des Gesamtvermögens wird ein Teil der Kapitalerträge der kollektiven Reserve zugeführt. Bei einer schlechten Performance werden Teile der Reserve dafür verwendet, eine kontinuierliche Wertentwicklung der individuellen Guthaben sicher zu stellen. Durch den Aufund Abbau der kollektiven Reserve werden also die Schwankungen am Kapitalmarkt ausgeglichen. In [Goecke 2011] wurde ein zeitstetiges Modell für den kollektiven Sparprozess vorgestellt und analysiert. In der hier vorliegenden Arbeit untersuchen wir zeit-diskrete Versionen des Modells, die wir mit Hilfe von Monte-Carlo-Simulationen auswerten. Hierbei berechnen wir verschiedenen Rendite-Risiko-Profile des kollektiven Sparens und vergleichen diese mit entsprechenden Profilen für nicht-kollektive Anlagestrategien (Constant-Mix-, Buy-andHoldund CPPI-Strategien). Der Vergleich zeigt einen klaren komparativen Vorteil des kollektiven Sparens. Abstract Collective Saving means that the total assets under investment are split into two parts: Firstly, the sum of all individual savings and secondly, a collective reserve. The collective reserve is designed to smoothen the volatile capital market returns: If the assets perform above-average part of the capital market returns are allocated to the collective reserve. On the other hand, capital market losses can be compensated by releases from the collective reserve. In [G oecke 2011] we have presented a time continuous model of collective saving. In this paper we examine a discrete version. Using Monte-Carlo-simulation methods we derive risk-returnprofiles of collective saving processes and compare these with the corresponding profiles of non-collective saving strategies (constant-mix-, buy-and-holdand CPPIstrategies). The comparison shows a clear comparative advantage of collective saving processes. - I - Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis .......................................................................... I 1Einführung .............................................................................. 2 2Modell zur Simulation des kollektiven Sparprozesses ............ 3 2.1Simulation des Marktportfolios ...................................................... 3 2.2Simulation des Asset-Liability-Managements ................................ 4 2.2.1Modellierung des kollektiven Sparprozesses im Basismodell ..................... 4 2.2.2Basisregel (lineares ALM-Modell) ............................................................... 7 2.2.3Erweiterung des Basismodells .................................................................... 11 3Risikoprofil des kollektiven Sparen ...................................... 19 3.1Referenzmodell .............................................................................. 19 3.2Kennzahlen .................................................................................... 25 3.2.1Kennzahlen der Rendite bei Ablauf............................................................ 25 3.2.2Kennzahlen der Wertentwicklung – Auswertung der Pfade ...................... 26 3.3Untersuchung des Referenzmodells (Constant-Mix-Strategie) .... 28 3.3.1Renditeund Risiko-Kennzahlen in Abhängigkeit von der Aktienquote ... 30 3.3.2Renditeund Risiko-Kennzahlen in Abhängigkeit von Laufzeit ............... 34 3.4Kollektives Sparen ......................................................................... 38 3.4.1Untersuchung des Basismodells ................................................................. 38 3.4.2Rendite-Risiko-Profile ................................................................................ 50 3.4.3Varianten des Basismodells ........................................................................ 59 4Zusammenfassung und Ausblick .......................................... 65 Anhang: CPPI-Strategie .............................................................. 68 Literatur ...................................................................................... 70 Abbildungsund Tabellenverzeichnis ........................................ 71 Kontakt ........................................................................................ 76 Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 2 - SPARPROZESSE MIT KOLLEKTIVEM RISIKOAUSGLEICH SIMULATIONSRECHNUNGEN1 1 Einführung Diese Ausarbeitung ist eine Fortsetzung von [Goecke 2011]. Dort wurde ein zeitstetiges Modell für das kollektive Sparen entwickelt und mit Hilfe der Methoden der Theorie der Stochastischen Prozesse analysiert. Für das einfache zeitstetige lineare Modell2 lassen sich die resultierenden stochastischen Prozesse explizit darstellen; dies ermöglicht dann Aussagen über Grenzverteilungen und Ruinwahrscheinlichkeiten. Abänderungen des linearen Modells resultiert in deutlich komplexere stochastische Prozesse, die letztlich nur noch mit Monte-CarloVerfahren analysiert werden können. Ziel dieser vorliegenden Arbeit ist es, das zeitstetige lineare Modell (und deren Varianten) in ein zeit-diskretes Modell zu überführen, das dann mit Hilfe von Monte-Carlo-Simulationen untersucht werden kann. Indem wir beispielsweise eine monatliche Periodizität wählen, kommen wir auch schon einer möglichen praktischen Umsetzung des Modells des kollektiven Sparens sehr nahe. Allerdings ist es nicht Ziel dieser Arbeit, die Probleme bei der Umsetzung des kollektiven Sparens in ein marktfähiges Produkt zu erörtern. Vielmehr soll der komparative Vorteil des kollektiven Sparens gegenüber nicht-kollektiven Anlagestrategien (ConstantMix, Buy-and-Hold, CPPI) nachgewiesen werden. Auch wenn diese Arbeit als Fortsetzung der theoretischen Vorarbeiten in [Goecke 2011] zu verstehen ist, haben wir dennoch versucht, die Grundbestandteile des kollektiven Sparen im Abschnitt 2 überblicksartig darzustellen, so dass der Leser auch ohne Kenntnisse des zeitstetigen Grundmodells die zentralen Aussagen nachvollziehen kann. In Abschnitt 3 stellen wir ein Reihe von Kennzahlen zur Analyse von Sparprozessen vor. Im Wesentlichen geht es dabei um den Zusammenhang von Rendite und Risiko (das Rendite-Risiko-Profil), wobei wir verschiedene Risikokonzepte untersuchen, insbesondere solche, die den Anlegerstress abbilden sollen. Im letzten Abschnitt wird kurz auf die Problematik einer praktischen Umsetzung eingegangen sowie auf die offenen Fragen. 1 Ich bedanke mich bei Herrn Urij Dolgov, der mich bei der Erstellung zahlreicher Grafiken unterstützt hat. 2 [Goecke 2011] S. 15ff. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 3 - 2 Modell zur Simulation des kollektiven Sparprozesses 2.1 Simulation des Marktportfolios 3 Für den Kapitalmarkt legen wir das (Standard-) Black-Scholes-Modell zugrunde: Der Anleger kann sein Kapital auf zwei Anlagen verteilen, eine sichere und eine risikobehaftete Anlage. Die risikobehaftete Anlage besteht darin, dass der Anleger in das Marktportfolio M P investiert, für das gelte   ( ) ( ) M M M M t dP t P t dt dW P V   mit (0) 1 M P (Gl. 2-1) bzw.   ( ) exp M M M t P t t W P V  . mit 2 1 2 : M M M P P V  , die Drift des Marktportfolios und 0 M V !.   0 tt Wt ist hier ein StandardWiener-Prozess. Für die sichere Anlage ( ) A t gelte: ( ) ( )dA t A t dt P mit (0) 1A bzw.   ( ) expA t t P (Gl. 2-2) Der Kapitalmarkt wird somit eindeutig durch die Parameter P sicherer Zins4 M V Volatilität des Marktportfolios M P Drift des Marktportfolios bestimmt. Ferner definieren wir :M SR M r P P V   (Sharpe-Ratio). Bemerkung Ist 00 V ! , 0 P   und sei   0 ( ) t P t t ein weiteres Portfolio, für das gilt:   0 0 ( ) ( ) t dP t P t dt dW P V   mit (0) 1P , so erlaubt dieses Portfolio im obigen Black-Scholes-Modell genau dann keine Arbitrage, wenn 0 0 SR r P P V  .5 3 Für die technischer Realisierung werden zwei Standard-Programme eingesetzt: EXCEL-VBA (Version 7.0) und MATHEMATICA (Version 8.0.0.0). Beide Programme enthalten Tools zur Erzeugung von (Pseudo-) Zufallszahlen, auf die hier zurückgegriffen wird. 4 Im Folgenden werden wir, soweit nichts anderes gesagt wird, stets mit Zinsintensitäten arbeiten; ein Zins (als Zinsintensität) von 0.03 entspricht somit einem (gewöhnlichen) Jahreszins von exp(0.03)-1 = 3.0455%. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 4 - Sofern nichts anderes gesagt wird, wollen wir bei Zahlenbeispielen folgende Daten unterstellen: 3% P , 20% M V , 8% M P , 2 1 26% M M M P P V   und 0.25 M SR M r P P V  . Für die folgenden Simulationsrechnungen teilen wir den Betrachtungshorizont [0, ]T (dabei messen wir T in Jahren) in äquidistante Zeitabschnitte [0, ],[ , 2 ],[2 , 3 ],...,[ , ]T T' ' ' ' ' ' . und simulieren die zu untersuchenden stochastischen Prozesse abschnittsweise. Wir führen einige Bezeichnungen ein: PpJ: Anzahl der Perioden pro Jahr (meist PpJ =12 für Monatswerte) 1 :PpJ  ' : kleinste Zeiteinheit bei der Simulation :N T PpJ : Anzahl der Zeitabschnitte des Betrachtungshorizonts [0, ]T.   k Z : Folgen stochastisch unabhängiger normal-verteilter Zufallsvariablen mit 0 k Z  und Var k Z '. t W: (diskretisierter) Standard-Wiener-Prozess für {0, , 2 , ...}t  ' ' ; rekursiv definiert durch: 0: 0W und ( 1) : k k k W W Z '  '  für 1,2,...k . ( ) M P t : Marktportfolio zum Zeitpunkt {0, ,2 , ...}t  ' ' ; rekursiv definiert durch: (0) : 1 M P und   1 ( ) : ( ) exp M M M M k P t P t Z P V   ' '  , hierbei ist t k ' . Es gilt:   ( ) exp M M M t P t t W P V  . 2.2 Simulation des Asset-Liability-Managements 2.2.1 Modellierung des kollektiven Sparprozesses im Basismodell Zur Darstellung des kollektiven Sparprozesses gehen wir von folgendem vereinfachten Bilanzschema aus (vgl. Abb. 2-1): 5 Vgl. [Goecke 2011] S. 9f. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 5 - ABBILDUNG 2 -1: Vereinfachtes Bilanzschema Wir unterstellen, dass zum Zeitpunkt 0t bereits ein Sparerkollektiv existiert. Das Gesamtvermögen (Zeitwert der Assets) zu Beginn betrage 0 (0)P P , die Summe aller individuellen Guthaben (Versichertenguthaben) betrage 0 (0)V V ; für den kollektiven Risikoausgleich stehe eine Anfangsreserve von 0 0 0 R P V  zur Verfügung. Wir betrachten den Anlagehorizont [0, ]T und simulieren die Aktivund Passivseite der Bilanz in den Zeitpunkten 0, , 2 , ...,t T N ' ' ' . P(t): Wert der Kapitalanlage (des Portfolios) des Sparerkollektivs zum Zeitpunkt t V(t): Wert der individuellen Guthaben aller Sparer zum Zeitpunkt t R(t):= P(t) - V(t) Wert der Reserve (kollektives Guthaben) zum Zeitpunkt t. Zusätzlich definieren wir die Log-Reservequote ( ) ( ) ( ) ( ): ln ln 1 ( ) ( ) ( ) P t R t R t tV t P t P t U § · § ·   | ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ . Der Übergang von der „normalen“ Reservequote ( ) ( ) R t P t zur Log-Reservequote6 vereinfacht die Darstellung und erklärt sich insbesondere aus der Analyse des zeitstetigen Modells.7 Der kollektive Sparprozess wird durch die Regeln des Asset-Liability-Managements (ALM) beschrieben. Das ALM besteht darin, dass zu Beginn jeder Periode [ , ]t t  ' festgelegt wird: welcher Anteil ( ) [0,1]t E  der Kapitalanlagen in das Marktportfolio (Aktien) angelegt wird. Wir bezeichnen ( )t E als die Aktienquote und ( ) : ( ) M t t V E V als die Risikoexposition. 6 Im Folgenden werden wir auf das Präfix Log verzichten und mit Reservequote stets die eben definierte LogReservequote meinen. 7 [Goecke 2011] Abschnitt 2.3. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 6 - mit welchem Zins ( )t K die individuellen Versichertenguthaben fortgeschrieben werden; ( )t K bezeichnen wir als die Deklaration zum Zeitpunkt t. Man kann von einer Voraus-Deklaration sprechen, da bereits zum Zeitpunkt t die Verzinsung für die Folgeperiode feststeht. Eine Investition in V(t) kann also als eine lokal sichere Anlage betrachtet werden. Die Bestimmung der Risikoexposition ist Aufgabe des Asset-Managements. , während die Bestimmung der Deklaration bzw. der Verwendung der Reserve die Aufgabe des LiabilityManagement ist. Erfolgt beides, so wie hier dargestellt, simultan, so kann man zu Recht von ALM sprechen. Hat man die Aktienquote und die Deklaration festgelegt, so gilt:         ( ) ( ) exp ( 1 ( ) exp ( ) ( ) exp ( ) ( ) M M t t P t t W W t P t V t t V t E P V E P K '  ' '     '  ' ' (Gl. 2-3) Bemerkung: Man beachte, dass bei der so festgelegten Diskretisierung des zeitstetigen Modells im Zeitabschnitt [ , ]t t  ' das Portfolio einer Buy-and-Hold-Strategie folgt. Dies bedeutet, dass im Zeitintervall [ , ]t t ' die Aktienquote ( )t E bzw. die Risikoexposition ( )t V bezogen auf die aktuellen Marktwerte nicht konstant ist. Eine alternative Diskretisierung des zeitstetigen Modells besteht darin, für das Zeitintervall [ , ]t t  ' eine Constant-Mix-Strategie mit gleichbleibender Aktienquote/ Risikoexposition zu unterstellen. Dann gilt für die Fortschreibung des Anlagevermögens ( )P t :   ( ) exp ( ) ( )( ( ) t t P t t t W W P t P V '  ' '   mit 2 1 2 ( ) : ( ) ( ) SR t t r t P P V V   . Wird in dieser Weise fortgeschrieben, so lässt sich die Veränderung der Reservequote besonders einfach darstellen, denn es gilt dann     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t t W W U U P K V '  '  '    . Diese Diskretisierung kommt zwar dem zeitstetigen Modell näher (insbesondere sind die periodischen Wertänderungen lognormal-verteilt), sie ist aber insofern „unrealistisch“, da eine Constant-Mix-Strategie eine zeitstetige Umschichtung zwischen Aktienanlage und sicherer Anlage voraussetzt. Insbesondere wenn man das Modell auf historische Kapitalmarktdaten anwenden möchte, ist somit diese Art der Diskretisierung nicht möglich. Wählt man 1 12 ' und 1Tt, so ist bei einer Monte-Carlo-Simulation der Unterschied zwischen beiden Formen der Diskretisierung kaum wahrnehmbar. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 7 - Im Folgenden stellen wir einige Management-Regeln für das ALM des kollektiven Sparprozesses vor. Als Management-Regel verstehen wir eine Vorschrift, die zum Zeit t unter Beachtung der t-Vergangenheit (insbesondere unter Beachtung der im Zeitpunkt t beobachteten Reservequote ( )t U ) die Aktienquote ( )t E und Deklaration ( )t K festlegt. 2.2.2 Basisregel (lineares ALM-Modell) Entscheidende Steuerungsgröße der Basisregel ist die Höhe der zuletzt beobachteten Reservequote im Vergleich zur strategischen Zielreservequote. Wir definieren 0 Ziel U !: Zielreservequote; es wird unterstellt, dass die ALM-Strategie darauf abzielt, diese Reservequote (zumindest im Erwartungswert) zu erreichen. ˆ( ) : ( ) Z iel t t U U U  : Abweichung der aktuellen Reservequote von Zielreservequote. ˆ ˆ : 0 M V V V  d : strategische Risikoexposition, ˆ ˆ: M V E V bezeichnen wir entsprechend als die strategische Aktienquote. Im linearen ALM-Modell wird die Risikoexposition ( )t V und die Deklaration ( )t K an die jeweilige Abweichung von der Zielreservequote gekoppelt. Für 0, 0a T t t setzen wir   ˆ ˆ ( ) max ( ), 0t a t V V U  (Gl. 2-4) ˆ ( ) ( ) ( )t t t K P T U  , hierbei ist 2 1 2 ( ): ( ) ( ) SR t r t t P P V V   . (Gl. 2-5) Falls also ˆ( ) 0t U (d.h. Ist-Reservequote = Zielreservequote), wird die strategische Risikoexposition ˆ V gewählt und für die Deklaration gilt: 2 1 2 ˆ ˆ ( ) SR t r K P V V   . Allgemein gilt: 2 1 2 ( ) ( ) ( ) SR t r t t P P V V   ist die erwartete Rendite eines Portfolios, das im Zeitabschnitt [ , ]t t  ' einer Constant-Mix-Strategie mit einer in [ , ]t t  ' gleichbleibenden Risikoexposition von ( )t V folgt. (Gl. 2-4) beschreibt die taktische Asset-Allokation; entsprechend können wir 2 1 2 ˆˆ ˆ :SR r K P V V   als strategische Deklaration und (Gl. 2-5) als taktische Deklaration bezeichnen. Die Parameter a und T steuern die Anpassungsgeschwindigkeit mit der die Risikoexposition bzw. die Deklaration an die aktuelle Reservequote angepasst wird. Falls 0a wollen wir von einer reinen Liability-Management-Strategie (LM-Strategie) sprechen, denn die Risikoexposition und damit die Aktivseite wird in diesem Fall nicht aktiv gesteuert. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 14 - ABBILDUNG 2 -8: Volle Umschichtung in Rentenpapiere bei Unterschreitung von min U . ABBILDUNG 2 -9: Begrenzung auf die maximale Risikoexposition ABBILDUNG 2 -10: Kombination Umschichtung in Rentenpapiere und Maximierung der Risikoexposition 0% 2% 4% 6% 0% 10% 20% 30% 40% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 RQ/Aktienexp. EndeVersicherungsjahr Theta=0.1|a=0.3 0% 2% 4% 6% 0% 10% 20% 30% 40% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 RQ/Aktienexp. EndeVersicherungsjahr Theta=0.1|a=0.3 0% 2% 4% 6% 0% 10% 20% 30% 40% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 EndeVersicherungsjahr Theta=0.1|a=0.3 Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 15 - ABBILDUNG 2 -11: Verzinsung des Anlageportfolios für Regeln 2.), 3.) und die ihre Kombination. Solvabilitätsgrenze für die Deklaration Ziel dieser Modifikation ist es, die Deklaration nach oben so zu begrenzen, dass „mit großer Wahrscheinlichkeit“ eine vorgegebene Mindestreservequote nicht unterschritten wird. Diese Modifikation ist alternativ oder ergänzend zu der zuletzt besprochenen Regel (Berücksichtigung einer Mindestreservequote) Bei der Festlegung der Deklaration nach der Basisregel ist zunächst die erwartete Rendite des Portfolios bei Zugrundelegung der Risikoexposition ( )t V zu bestimmen. Wir setzen also 2 1 2 ( ): ( ) ( ) ( ) SR t t t r t P P V V   und bezeichnen mit ( )t K die laufende Deklaration; die Gesamtdeklaration ist dann ( ) extra t K K . Die folgenden Regeln beschreiben die Festlegung der laufenden Deklaration 1. ˆ ( ) ( ) ( )t t t K P T U c m  mit   max ˆ( ): min ( ), Z iel t t U U U U c  , 2.   max min min ( ), ( ) max ( ), ( ) ( ) DD tu t t t t D U U U K K P V § ·  m   ¨ ¸ ¨ ¸ '' © ¹ 3.   min ( ) max ( ),t t K K K m und   max ( ) min ( ),t t K K K m Zu Regel 1 (Basisregel): Durch den Übergang auf ˆ( )t U c wird der Effekt der Sonderausschüttung extra K bei überschießender Reserve berücksichtigt. Für die Reservequote nach Sonderausschüttung gilt   max ( ): min ( ),t t U U U c . 100% 120% 140% 160% 180% 200% 220% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Portfoliowert EndeVersicherungsjahr UmschichtunginSA KombinationbeiderStr. BegrenzungderAQ Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 16 - Zu Regel 2 ( D -Quantil-Maximierung): Diese Regel ist durch folgende Überlegungen motiviert. Die Deklaration für die Deklarationsperiode [ , ] D t t  ' soll so gewählt sein, dass mit sehr großer Wahrscheinlichkeit am Ende der Deklarationsperiode die Mindestreservequote min U nicht unterschritten wird. Bezeichne 1 D  das angestrebte Sicherheitsniveau, so muss Folgendes gelten: min ( ) ln 1 ( ) D D P t V t U D § · § ·  ' ! t  ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸  ' © ¹ © ¹ P Hierbei soll unterstellt werden, dass für die gesamte Deklarationsperiode [ , ] D t t  ' die Risikoexposition ( )t V beträgt. Nach einer ggf. gilt für die Reservequote zu Beginn der Periode:   max ( ) ( ) ln min ( ), ( ) P t t t V t U U U § · c ¨ ¸  © ¹ . Es gilt ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ln ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D D D D D D P t P t P t V t t t t t Z V t V t V t P t U K P V § · § ·  '  ' c  '  '  ¨ ¸ ¨ ¸  '   ' © ¹ © ¹ mit einer normalverteilten Zufallsvariablen ˆ Z mit ˆ ( ) 0Z  und ˆ Var( ) D Z ' . Somit folgt:                 min min min min min ( ) ln 1 ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ˆ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D D D D D D D D D D P t V t t t t t Z t t t Z t t t t t t t t ut D U D U P K V U D K P U U D V K P U U D V U U K P V § · § ·  ' ! t  ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸  ' © ¹ © ¹ c   '   ! t  § · c '     ! t  ¨ ¸ ¨ ¸ ' ' © ¹ § · c '     ) d ¨ ¸ ¨ ¸ ' © ¹ c  '   d ' P P P Also gilt: min 2 min 1 2 ( ) ln 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D D SR DD P t V t u t t r t t D U D U U K P V V § · § ·  ' ! t  ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸  ' © ¹ © ¹ § · c  d     ¨ ¸ ¨ ¸ '' © ¹ P (Gl. 2-6) Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 17 - (Gl. 2-6) können wir als Fundamental-Bedingung des ALM bezeichnen; diese Ungleichung zeigt den fundamentalen Zusammenhang zwischen den zentralen Steuerungsgrößen des ALM-Prozesses, nämlich der Risikoexposition ( )t V (Asset-Management) und der Deklaration ( )t K (Liability-Management).11 Zu Regel 3 (Minimal./ Maximalzins): Die Begrenzung der Deklaration bezieht sich nur auf die laufende Deklaration nicht auf die Sonderausschüttung zur Begrenzung der Reservequote. Veranschaulichung der Wirkungsweise der Managementregeln zur Deklaration ABBILDUNG 2 -12: Basisregel ABBILDUNG 2 -13: D -Quantil-Maximierung ( 9 ,5%1 9 D  ) ABBILDUNG 2 -14: Minimale Deklaration = 1,75% , Maximale Deklaration = 5% 11 Vgl. [Goecke 2011] S. 12f. Ͳ2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% Ͳ5% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Deklaration RQ/Aktienexp. EndeVersicherungsjahr Ͳ10% Ͳ5% 0% 5% 10% 15% Ͳ5% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Deklaration RQ/Aktienexp. EndeVersicherungsjahr 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Deklaration RQ/Aktienexp. EndeVersicherungsjahr Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 18 - ABBILDUNG 2 -15: Sonderausschüttung , max 18% U ABBILDUNG 2 -16: Kombination von: D -Quantil-Maximierung ( 9 ,5%1 9 D  ) und Sonderausschüttung , max 18% U ABBILDUNG 2 -17: Kombination von: D -Quantil-Maximierung (9 ,5%1 9 D  ), Sonderausschüttung mit max 18% U und min max 1,75%, 5% U U Ͳ5% 0% 5% 10% 15% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Deklaration RQ/Aktienexp. EndeVersicherungsjahr Ͳ10% Ͳ5% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Deklaration EndeVersicherungsjahr 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Deklaration EndeVersicherungsjahr Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 19 - 3 Risikoprofil des kollektiven Sparen Wir untersuchen in diesem Kapital das Rendite-Risiko-Profil für das oben dargestellte Modell des kollektiven Sparens. Hierbei werden wir vor allem Monte-Carlo-Simulationen auswerten. Die Rendite werden wir in aller Regel als Mittelwert der Renditen der beobachteten Ablaufleistungen bestimmen. Das Risiko werden wir mittels unterschiedlicher Konzepte messen; unter Rendite-Risiko-Profil verstehen wir den Zusammenhang (dargestellt als Graph) zwischen der jeweiligen Risiko-Kennzahl und der Rendite. 3.1 Referenzmodell Als Referenzmodell wählen wir die Anlage in einen Investmentfonds mit einer Constant-MixStrategie (CM-Strategie), d.h. wir unterstellen für die Wertentwicklung des Fonds:     2 1 0 0 0 0 2 ( ) exp SR t F t F t r W P V V V    mit einer gleichbleibenden Risikoexposition 0 M V V d . Wir bezeichnen 0 0 M V E V als die Aktienquote. Bemerkungen: 1. Eine Constant-Mix-Strategie hat zum Ziel, dass nach Marktwerten die Aktienquote stets konstant bleibt. Wollte man also die Constant-Mix-Strategie durch eine Mischung von sicherer Anlage und Anlage in das Marktportfolio realisieren, so müsste permanent umschichten. Vgl. hierzu die Bemerkung in Abschnitt 2.2.1. 2. Im Standard-Black-Scholes-Modell (vgl. Abschnitt 2.1) betrachten wir eine zusätzliche Kapitalanlage mit der Auszahlungsfunktion   ˆ ˆ ( ) (0)exp t X t X t W P V  . Der um die Anlagemöglichkeit X(t) erweiterte Kapitalmarkt ist genau dann arbitragefrei, wenn gilt: 2 1 2 ˆ ˆ ˆ SR r P P V V   . Falls also 2 1 2 ˆ ˆ ˆ SR r P P V V   , so kann die Kapitalanlage ( ) X t aufgrund der Vollständigkeit des Standard-Black-Scholes-Modells durch eine (dynamische) Mischung aus sicherer Anlage und Anlage in das Marktportfolio repliziert werden. Auf Grund der besonders einfachen Darstellung der Constant-Mix-Strategie kann die Verteilung der Rendite explizit angegeben werden. Im Folgenden wollen wir unter der Rendite bei Ablauf stets die Rendite (als annualisierte Zinsintensität) verstehen, nämlich 20 1 0 0 2 0 1 ( ) ( , ) : ln SR T F T F T r W T F T V P P V V § ·    ¨ ¸ © ¹ . Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 20 - Die Zufallsvariable ( , )F T P ist also normalverteilt mit   2 1 0 0 2 ( , ) SR F T r P P V V   und   2 0 Var ( , )F T T V P . Die Standardabweichung beträgt also:     0 STD ( , ) := Var ( , )F T F T T V P P .   2 1 0 0 2 ( , ) SR F T r P P V V   ist die erwartete Rendite der Ablaufleistung. Man beachte, dass die Rendite der erwarteten Ablaufleistung hiervon abweicht. Es gilt nämlich für die erwartete Ablaufleistung       0 0 ( ) exp SR F T F T r P V  und somit gilt für die Rendite der erwarteten Ablaufleistung:       0 0 ( ) 1 ( ) ln SR F T F T r T F P P V § ·  ¨ ¸ © ¹  . Für Vergleichszwecke werden wir auch eine Buy-and-Hold-Strategie (B&H-Strategie) untersuchen. Hierbei wird zu Beginn des Anlagehorizontes eine Aktienquote [0,1] E  gewählt und der Anteil E wird in das Marktportfolio und der restliche Anteil (1 E ) wird sicher angelegt. Ist 0 F das Anfangsvermögen, so gilt für das Vermögen zum Zeitpunkt T:     0 ( ) (1 ) exp( ) exp M M T F T F T T W E P E P V    Im Unterschied zur CM-Strategie ist die Rendite bei Ablauf bei der B&H-Strategie nach unten durch eine Mindestrendite beschränkt, denn für die Rendite bei Ablauf gilt:     1 ln(1 ) ( , ) ln (1 ) exp( ) exp M M T F T T T W T T E P E P E P V P     t  . Schließlich wollen wir auch das Rendite-Risiko-Profil einer Constant-Proportion-PortfolioInsurance-Strategie (CPPI-Strategie) betrachten. Wir unterscheiden hier zwei Varianten, je nachdem, ob die Aktienanlage auf das vorhandene Vermögen begrenzt ist oder nicht.12 Sowohl für die B&Halso auch für die CPPI-Strategie (in der Variante ohne Beschränkung der Aktienanlage) lassen sich die Dichtefunktionen der Rendite-Verteilungen explizit darstellen. Die folgenden Graphiken zeigen die Verteilung der Ablaufleistungen bei einer Einmalanlage von 01F für eine Laufzeit von 5 bzw. 20 Jahren. Die Dichtefunktionen der Ablaufleistung 12 Vgl. Anlage Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 21 - können für die CM-, die B&Hund auch für die CPPI-Strategie (ohne Beschränkung der Aktienanlage) explizit angegeben werden. Für die CPPI-Strategie mit Beschränkung der Aktienanlage ist in der Abbildung die (entsprechend skalierte) Häufigkeitsverteilung dargestellt, die auf der Grundlage von 50.000 Simulationen errechnet wurde. Die Abbildungen machen die Schwierigkeiten deutlich, das Rendite-Risiko-Profil einer Kapitalanlage darzustellen, selbst wenn man ausschließlich auf die Ablaufleistung Bezug nimmt und die Wertentwicklung unberücksichtigt lässt. Insbesondere mit Blick auf die CPPIStrategie13 zeigt sich, dass die erwartete Ablaufleistung nur unzureichend die Rentabilität einer Kapitalanlage widergibt. Bei einem Vervielfältiger von m= 2.5 ergibt sich bei einer Laufzeit von T = 20 Jahren eine durchschnittliche Ablaufleistung von 11.0 (vgl. Tabelle 1), dies entspricht einer Rendite von rund 12 %. Die erwartete Rendite beträgt im gleichen Beispiel allerdings nur 5.23%. 13 In der Variante 2, bei der u.U. die Aktienanlage teilweise durch Kredite finanziert wird – vgl. Anlage. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 22 - ABBILDUNG 3 -1: Verteilung der Ablaufleistung bei einer Laufzeit von T=5 (oben) bzw. T=20 (unten) und einer Aktienquote von 0.5 E (ConstMix/ Buy&Hold) bzw. einem Hebel von m= 2.5 (CPPI Variante 1 und 2). Im Hinblick auf die Mittelwerte bzw. Median sind die 4 dargestellten Anlagestrategien in etwa vergleichbar (siehe Tabelle 1 und 2); im Hinblick auf die Verteilung der Ablaufleistung bzw. der Renditen (vgl Abb. 3-1 und 3-2) zeigen sich jedoch gravierende Unterschiede. Somit wird klar, dass eine einzige Risikokennzahl wie z.B. die Standardabweichung, ShortfallWahrscheinlichkeiten oder Quantle nur unzureichend das Rendite-Risikoprofil abbilden kann. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 23 - T = 5 T = 20 E = 25%50%75%100%25%50%75%100% Const.Mix Mittelw. 1,23681,31651,40141,49182,33963,00423,85744,9530 Median 1,22911,28401,32481,34992,28192,71833,08023,3201 Buy&Hold Mittelw. 1,24431,32681,40931,49182,60483,38764,17034,9530 Median 1,20881,25581,30291,34992,19662,57112,94563,3201 T = 5 T = 20 m = 1.01.52.02.51.01.52.02.5 CPPI (Var. 1)14 Mittelw. 1,20731,23611,26711,29373,24104,21064,56534,6165 Median 1,18751,18861,17901,16142,49852,56252,82972,8940 CPPI (Var 2) Mittelw. 1,20781,23551,26681,30233,2348 4,6845 7,074711,0155 Median 1,18801,18801,17891,16182,4980 2,4980 2,22651,8221 Tabelle 1 Mittelwert und Median der Ablaufleistung für eine Einmalanlage bei einer Laufzeit von 5 und 20 Jahren in Abhängigkeit von der Aktienquote (berechnete Werte). 14 Werte für die CPPI-Strategie (Variante 1) wurden mit Hilfe von Simulationen bestimmt (jeweils 50000 Sim. mit 250 Perioden pro Jahr) Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 30 - Risikoexposition0 V 5%10%15%20% RenditederAblaufleistung Mittelwert4,1250% 5,0000% 5,6250% 6,0000% Median4,1250% 5,0000% 5,6250% 6,0000% Standabweichung1,1180% 2,2361% 3,3541% 4,4721% 1%ͲQuantil1,5241% Ͳ0,2019% Ͳ2,1778% Ͳ4,4037% 5%ͲQuantil2,2860% 1,3220% 0,1080% Ͳ1,3560% 25%ͲQuantil3,3709% 3,4918% 3,3627% 2,9836% 75%ͲQuantil4,8791% 6,5082% 7,8873% 9,0164% 95%ͲQuantil5,9640% 8,6780% 11,1420% 13,3560% 99%ͲQuantil6,7259% 10,2019% 13,4278% 16,4037% 0%ͲShortfall0,0112% 1,2674% 4,6766% 8,9856% 1%ͲShortfall0,2594% 3,6819% 8,3961% 13,1776% 2%ͲShortfall2,8673% 8,9856% 13,9901% 18,5547% PfadͲVola195% 10% 15% 20% Tabelle 3 Renditekennzahlen für eine Einmalanlage bei einer Laufzeit von 20 Jahren in Abhängigkeit von der Aktienquote (berechnete Werte) Bei der Bestimmung der oben eingeführten Kennzahlen MDD und MRT greifen wir auf Simulationsrechnungen zurück.20 Bei einem Sparplan mit regelmäßig gleichbleibenden Sparraten werden wir grundsätzlich alle Kenngrößen mit Hilfe der Simulationsrechnungen (näherungsweise) berechnen. Wir wollen im Folgenden zunächst darstellen, wie einzelne Kennzahlen von der Risikoexposition (bzw. Aktienquote) und von der Laufzeit abhängen. Alle Berechnungen basieren auf Monte-Carlo-Simulationen. 3.3.1 Renditeund Risiko-Kennzahlen in Abhängigkeit von der Aktienquote Die folgende Abbildung zeigt einige Standard-Quantile in Abhängigkeit von der Aktienquote. Hierbei wurde eine feste Laufzeit von 20T (Jahren) mit monatlicher Anpassung ( 1 12 ' ). Bei einer Aktienquote von 75% muss der Kapitalanleger bei einer Laufzeit von 20 Jahren beispielsweise damit rechnen, dass mit rund 5%-iger Wahrscheinlichkeit die Ablaufrendite unter 0.14% wird. 19 Annualisierte Volatilität der beobachteten Monatsrenditen (Mittelwert über alle simulierten Pfade) – vgl. Abschnitt 2.2.2. 20 Der Erwartungswert des Maximum Drawdown einer geometrischen Brownschen Bewegung lässt sich explizit angeben und kann mit numerischen Methoden berechnet werden, vgl. [Magdon-Ismail e.a. 2004]. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 31 - ABBILDUNG 3 -4: Renditekennzahlen für eine Einmalanlage (oben) bzw. Sparplan (unten) bei einer Laufzeit von 20 Jahren in Abhängigkeit von der Aktienquote (50000 Simulationen). Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 32 - Einmalbeitrag Aktienquote25% 50% 75% 100% RenditederAblaufleistung Mittelwert4,13% 4,99% 5,66% 6,00% Median4,13% 4,99% 5,64% 6,03% Standabweichung1,12% 2,24% 3,36% 4,45% 1%ͲQuantil1,55% Ͳ0,18% Ͳ2,11% Ͳ4,43% 5%ͲQuantil2,30% 1,31% 0,16% Ͳ1,33% 25%ͲQuantil3,38% 3,48% 3,41% 3,00% 75%ͲQuantil4,89% 6,51% 7,91% 8,99% 95%ͲQuantil5,96% 8,69% 11,23% 13,30% 99%ͲQuantil6,74% 10,25% 13,53% 16,30% 0%ͲShortfall0,01% 1,25% 4,56% 8,91% 1%ͲShortfall0,25% 3,73% 8,19% 13,10% 2%ͲShortfall2,67% 9,12% 13,78% 18,55% Tabelle 4 Renditekennzahlen für eine Einmalanlage bei einer Laufzeit von 20 Jahren in Abhängigkeit von der Aktienquote (50000 Simulation) laufenderSparbeitrag Aktienquote25% 50% 75% 100% RenditederAblaufleistung Mittelwert4,15% 5,04% 5,78% 6,19% Median4,15% 5,07% 5,84% 6,31% Standabweichung1,25% 2,50% 3,72% 4,94% 1%ͲQuantil1,19% Ͳ0,88% Ͳ3,14% Ͳ6,02% 5%ͲQuantil2,08% 0,88% Ͳ0,43% Ͳ2,16% 25%ͲQuantil3,31% 3,37% 3,31% 2,97% 75%ͲQuantil4,99% 6,74% 8,28% 9,52% 95%ͲQuantil6,19% 9,08% 11,83% 14,10% 99%ͲQuantil7,02% 10,76% 14,22% 17,20% 0%ͲShortfall0,07% 2,36% 6,25% 10,74% 1%ͲShortfall0,69% 5,50% 10,03% 14,61% 2%ͲShortfall4,34% 11,22% 15,47% 19,41% Tabelle 5 Renditekennzahlen für einen Sparplan mit monatlich gleichbleibenden (vorschüssigen) Sparraten bei einer Laufzeit von 20 Jahren in Abhängigkeit von der Aktienquote (50000 Simulationen) Vergleicht man die Ergebnisse der Simulation in Tabelle 4 mit den berechneten Werten der Tabelle 3, so sind die relativen Unterschiede dann nicht zu vernachlässigen, wenn nur wenige Werte für die Beobachtung zur Verfügung stehen, wie zum Beispiel bei der Schätzung der 0%-Shortfall-Wahrscheinlichkeiten. Eine wenn auch geringe systematische Abweichung der Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 33 - simulierten Ergebnisse gegenüber den berechneten Werten ergibt sich auch aus dem Umstand, dass bei der Simulation keine reine Constant-Mix-Strategie verfolgt wird, sondern von Periode zu Periode eine Buy-and-Hold-Strategie gerechnet wird (vgl. Abschnitt 1.3.1). Insgesamt kann man jedoch feststellen, dass die Simulationen gute Annäherungen an die exakten Werte liefern. Bei einem Sparplan ergeben sich bei gleicher Aktienquote etwas höhere durchschnittliche Rendite bei Ablauf gegenüber einem Einmalinvestment. Vergleicht man allerdings in Abbildung 3-4 (bzw. in den Tabellen 4 und 5) die Quantile bei einer Einmalanlage mit denen eines Sparplans, so sieht man, dass sich die Quantile bei einem Sparplan etwas stärker spreizen. Somit zeigen die Berechnungen auch, dass die vermeintlichen Segnungen des Cost AverageEffekts zumindest hinterfragt werden müssen.21 Führt man Rendite und Risiko zu einem Rendite-Risiko-Profil zusammen, so zeigt sich, dass sich eine Einmalanlage und ein Sparplans kaum unterscheiden – vgl. Abbildung 3-5. ABBILDUNG 3 -5: Vergleich des Rendite-Risiko-Profils zwischen einer Einmalanlage und einem Sparplan bei einer Laufzeit von T =20 Jahren. Es werden für die Aktienquoten E = 25%, 50%, 75% und 100% jeweils die Standardabweichung und der Mittelwert der Rendite bei Ablauf in Beziehung gesetzt. (50000 Sim.) Die folgende Tabelle 6 zeigt die Risikokennzahlen des Verlaufs, nämlich Pfad-Vola, MDD und MRT, in Abhängigkeit von der Aktienquote. 21Vgl. [Albrecht/ Dus/ Maurer 2002] Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 34 -    MaxDrawdown (Mittelwert) MaxRecoveryTime inMonaten (Mittelwert) AktienͲ quote Rendite (Mittelwert) PfadͲVola22 (Mittelwert) EinmalͲ beitrag SparͲ plan EinmalͲ beitrag SparͲ plan 25%4.14%5.01%9.72%4.80%39.7911.31 50%5.09%10.01%23.73%14.51%66.1224.40 75%5.79%14.99%36.62%25.06%81.7734.82 100%6.20%19.97%48.09%35.41%93.2243,76 Tabelle 6 Pfad-Vola/ MaxDrawdown/ MaxRecovery Time bei einer Laufzeit von T= 20 Jahren in Abhängigkeit von der Aktienquote (50000 Simulationen). Bei einer Aktienquote von 50% beträgt die mittlere maximale Erholungsphase bei einem Sparprozess 24.40 Monate; ein Sparer wird also im Mittel eine Sparphase von mehr als 2 Jahren durchlaufen, ohne dass sein Versorgungskapital (trotz regelmäßiger Sparbeiträge) einen zuvor erreichten Vermögensstand wieder erreicht. 3.3.2 Renditeund Risiko-Kennzahlen in Abhängigkeit von Laufzeit Für die folgenden Berechnungen unterstellen wir eine gleichbleibende Aktienquote von 50% und untersuchen die Abhängigkeit der Rendite-/ Risiko-Kennzahlen von der Laufzeit T des Vertrages, jeweils für den Fall einer Einmalanlage und eines Sparplans mit konstanten Sparraten. Wir betrachten zunächst die Quantile in Abhängigkeit zur Laufzeit. In Abb. 3-6 wurde auf der x-Achse die Restlaufzeit eingetragen, um deutlich zu machen, dass für einen Sparer (Investor) die Unsicherheit hinsichtlich Rendite (bezogen auf die Restlaufzeit) zunimmt. Dies ist die Motivation für sogenannte Life-Cycle-Strategien, bei der zum Ende des Investitionszeitraums die Risikoexposition zurückgefahren wird. Abbildung 3-6 bzw. Tabellen 7 und 8 zeigen allerdings auch den Glättungseffekt in der Zeit: Je länger der Anlagehorizont, desto besser lässt sich die Ablaufrendite abschätzen. Die Unterschiede zwischen einer Einmalanlage und einem Sparplan sind nicht sehr ausgeprägt. 22 Annualisierte Volatilität der beobachteten Monatsrenditen (Mittelwert über alle simulierten Pfade) – vgl. Abschnitt 2.2.2. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 35 - ABBILDUNG 3 -6: Quantile der Ablaufrendite für eine Einmalanlage (oben) bzw. Sparplan (unten) bei Aktienquote von 50% in Abhängigkeit von der Restlaufzeit T (50000 Simulationen). Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 36 - Einmalanlage MittelͲ Quantile Twert1%5%25%Median75%95%99% 15.03% Ͳ18.22% Ͳ11.33% Ͳ1.76% 4.95% 11.85% 21.55%28.53% 24.98% Ͳ11.34% Ͳ6.69% 0.18% 4.95% 9.75% 16.73%21.50% 34.99% Ͳ8.39% Ͳ4.50% 1.07% 4.97% 8.92% 14.51%18.45% 55.02% Ͳ5.31% Ͳ2.32% 2.01% 5.02% 8.00% 12.37%15.43% 75.04% Ͳ3.74% Ͳ1.17% 2.46% 5.01% 7.61% 11.27%13.89% 105.00% Ͳ2.29% Ͳ0.18% 2.88% 5.00% 7.13% 10.14%12.32% 155.00% Ͳ1.01%0.71% 3.26% 4.99% 6.76% 9.24%11.07% 205.00% Ͳ0.18%1.34% 3.48% 5.00% 6.51% 8.70%10.25% 305.00%0.72%1.98% 3.76% 4.99% 6.23% 8.01%9.30% 405.01%1.29%2.41% 3.93% 5.01% 6.08% 7.61%8.68% Tabelle 7 Kennzahlen zur Rendite bei Ablauf (Einmalbeitrag, konstante Aktienquote: 50%) in Abhängigkeit von der Laufzeit (50000 Simulationen). SparplanmitgleichbleibendenmonatlichenvorschüssigenRaten MittelͲ Quantile Twert1%5%25%Median75%95%99% 15.06% Ͳ21.11% Ͳ13.45% Ͳ2.62% 4.97% 12.73% 23.78%31.65% 25.02% Ͳ13.64% Ͳ8.26% Ͳ0.42% 5.01% 10.48% 18.32%23.70% 35.04% Ͳ10.34% Ͳ5.92% 0.54% 5.10% 9.52% 15.86%20.25% 55.07% Ͳ6.96% Ͳ3.38% 1.68% 5.09% 8.46% 13.42%16.84% 75.07% Ͳ5.15% Ͳ2.05% 2.21% 5.08% 7.99% 12.07%14.99% 105.07% Ͳ3.41% Ͳ0.84% 2.67% 5.10% 7.50% 10.86%13.24% 155.05% Ͳ1.87%0.22% 3.10% 5.09% 7.03% 9.77%11.69% 205.06% Ͳ0.82%0.92% 3.39% 5.09% 6.74% 9.10%10.73% 305.05%0.24%1.68% 3.71% 5.08% 6.42% 8.32%9.65% 405.05%0.92%2.16% 3.91% 5.07% 6.23% 7.84%8.97% Tabelle 8 Kennzahlen zur Rendite bei Ablauf (Sparplan, konstante Aktienquote: 50%) in Abhängigkeit von der Laufzeit (50000 Simulationen). Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 37 - EinmalanlageSparplan StdͲ ShortfallͲWahrsch. StdͲ ShortfallͲWahrsch. Tabw.<0%<1%<2%abw.<0%<1%<2% 110.04%31.05%34.65%38.56% 11.34% 32.89% 36.18%39.58% 27.10%24.16%28.88%33.86% 8.07% 26.70% 30.97%35.39% 35.80%19.49%24.64%30.47% 6.63% 22.46% 27.20%32.34% 54.46%12.93%18.38%24.95% 5.09% 15.91% 21.01%26.95% 73.79%9.07%14.33%21.35% 4.30% 11.76% 17.07%23.44% 103.14%5.58%10.13%16.94% 3.57% 7.93% 12.91%19.61% 152.60%2.66%6.25%12.45% 2.91% 4.34% 8.33%14.76% 202.24%1.21%3.56%8.99% 2.49% 2.24% 5.32%11.03% 301.84%0.33%1.50%5.10% 2.02% 0.72% 2.50%6.77% 401.59%0.10%0.59%2.86% 1.73% 0.24% 1.11%4.11% Tabelle 9 Kennzahlen zur Rendite bei Ablauf (Einmalbeitrag bzw. Sparplan mit gleichbleibenden Sparraten, konstante Aktienquote 50%) in Abhängigkeit von der Laufzeit (50000 Simulationen). Abhängigkeit der Risikokennzahlen von der Laufzeit Schließlich wollen wir noch für das Referenzmodell der Const-Mix-Strategie die Risikokennzahlen (Pfad-Vola, MaxDrawdown und MaxRecoveryTime) in Abhängigkeit von der Laufzeit darstellen. Wir gehen hier jeweils von einer gleichbleibenden Aktienquote von 50% aus – vgl. Abb. 3-7 und Tabelle 10. Die Tabelle 10 zeigt dabei, dass für kurze Laufzeiten die Pfad-Vola niedriger ist als der theoretische Wert (vgl. Tabelle 3); dies erklärt sich aus der Tatsache, dass wir bei den Simulationen 12 Teilperioden pro Jahr zugrunde legen; dies ist für kurze Laufzeiten eine verhältnismäßig grobe Unterteilung. ABBILDUNG 3 -7: MaxDrawdown und MaxRecoveryTime bei einer Aktienquote von 50% in Abhängigkeit von der Laufzeit T (50000 Simulationen). Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 38 -   PfadͲVola (Mittelwert) MaxDrawdown (Mittelwert) MaxRecoveryTime (Mittelwert) T EinmalͲ beitrag SparplanEinmalͲ beitrag Sparplan 19.78%7.10% 0.00% 6.19 0.00 29.91%10.22% 0.31% 11.68 0.29 39.94%12.31% 1.55% 16.63 1.17 59.98%15.10% 4.08% 25.21 3.22 79.99%17.13% 6.06% 32.68 5.63 109.99%19.31% 8.46% 42.40 9.61 1510.00%21.83% 11.79% 55.51 16.76 2010.01%23.67% 14.45% 66.19 24.31 3010.01%26.30% 18.54% 82.94 39.15 4010.01%28.12% 21.64% 95.42 53.13 Tabelle 10 Pfad-Vola/ MaxDrawdown / MaxRecoveryTime bei einer gleichbleibenden Aktienquote von 50% in Abhängigkeit von der Laufzeit (50000 Simulationen). 3.4 Kollektives Sparen 3.4.1 Untersuchung des Basismodells Allen Berechnungen legen wir das in Abschnitt 2.1. dargestellte Kapitalmarktmodell zugrunde, wobei wir das Modell mit 0.03, 0.2, 0.25 M SR r P V kalibrieren. Des Weiteren wählen wir 1 12 ' , d.h. wir werten die Kapitalmarktentwicklung monatlich aus und erlauben eine monatliche Anpassung der Asset-Allokation und der Deklaration. Das Basismodell wird eindeutig durch die Managementparameter T , a, ˆ V , Z iel U sowie die Startreserve (0) U bestimmt. Basismodell mit reiner LM-Strategie Wir betrachten zunächst den Fall 0a , d.h. es wird lediglich die Deklaration angepasst während die Risikoexposition konstant gehalten wird. Dies bedeutet, dass die Kapitalanlage der Aktivseite einer Constant-Mix-Strategie folgt. Ferner nehmen wir an, dass die Deklaration monatlich (d.h. 12DpJ ) erfolgt. Wir unterstellen 0 Z iel U U - zum Startzeitpunkt gehen wir also von einer ausgeglichenen Reserveposition aus. Da die Wahl der Deklaration nicht von der absoluten Höhe der Reserve, Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 39 - sondern von ˆ( ) ( ) Z iel t t U U U  abhängt, ist im Basismodell die Simulation unabhängig von der Wahl von Z iel U , solange zum Startzeitpunkt jeweils 0 Z iel U U gilt. Wir untersuchen zunächst den Einfluss der (gleichbleibenden) Risikoexposition ˆ V , was einer Aktienquote von ˆ ˆ M V E V entspricht. Einmalbeitrag Risikoexpos.ˆ V 0.050.10.150.2 Aktienquoteˆ E 25%50%75%100% RenditederAblaufleistung Mittelwert4.15%5.00% 5.60% 5.99% Median4.16%5.01% 5.60% 6.02% Standabweichung1.01%2.01% 3.04% 4.00% 1%ͲQuantil1.73%0.33% Ͳ1.51% Ͳ3.45% 5%ͲQuantil2.49%1.72% 0.63% Ͳ0.64% 25%ͲQuantil3.47%3.65% 3.56% 3.36% 75%ͲQuantil4.82%6.35% 7.63% 8.69% 95%ͲQuantil5.80%8.26% 10.56% 12.65% 99%ͲQuantil6.49%9.80% 12.81% 15.57% 0%ͲShortfall0.00%0.69% 3.23% 6.92% 1%ͲShortfall0.11%2.27% 6.29% 10.70% 2%ͲShortfall1.77%6.71% 11.72% 15.93% PfadͲVola0.55%1.09% 1.64% 2.20% Tabelle 11 Renditekennzahlen für eine Einmalanlage (kollektives Sparen) bei einer Laufzeit von T = 20 Jahren in Abhängigkeit von der Aktienquote (a= 0, 0.4 T , 10.000 Simulationen) Man kann zeigen, dass im zeitstetigen Modell im Fall a= 0 die Rendite der Ablaufleistung bei einer Einmalanlage normalverteilt ist mit23   2 1 2 1 ( ) 1 exp( ) ˆ ˆ ln (0) (0) SR Ziel V T T r T V T T P V V U U § · § ·       ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹      21 exp( ) 1 exp( ) ˆ 1 ( ) Var ln 1 (0) 2 T T V T T V T T T T V T § ·    § · § ·  ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ © ¹ . 23 Vgl. [Goecke 2011] Proposition 4.1 Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 46 - EinmalanlagelaufenderSparbeitrag strateg.AQˆ E 50% 50% 50% 50% 50%50% Anpassungspar.a0.6 0.6 0.6 0.6 0.60.6 Anpassungspar. T 0.2 0.3 0.4 0.2 0.30.4 durchschnittl.AQ43.3%% 45.4% 46.6% 43.3%% 45.4%46.6% RenditederAblaufleistung Mittelwert4.63% 4.67% 4.79% 4.62% 4.68%4.82% Median3.96% 4.06% 4.29% 3.80% 3.93%4.17% Standabweichung2.27% 2.36% 2.40% 2.59% 2.68%2.73% 1%ͲQuantil1.89% 1.54% 1.22% 1.65% 1.27%0.92% 5%ͲQuantil2.24% 2.01% 1.84% 2.01% 1.75%1.56% 25%ͲQuantil3.05% 3.01% 3.06% 2.83% 2.79%2.84% 75%ͲQuantil5.53% 5.71% 6.00% 5.57% 5.82%6.19% 95%ͲQuantil9.45% 9.40% 9.47% 10.11% 10.14%10.23% 99%ͲQuantil12.36% 12.80% 12.30% 13.82% 13.78%13.42% 0%ͲShortfall0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00%0.01% 1%ͲShortfall0.00% 0.06% 0.43% 0.00% 0.30%1.33% 2%ͲShortfall1.95% 4.86% 6.89% 4.82% 8.54%10.05% PfadͲVola270.79% 1.03% 1.26% 0.79% 1.03%1.26% Tabelle 17 Renditekennzahlen bei einer Laufzeit von T = 20 Jahren in Abhängigkeit vom Anpassungsparameter {0.2, 0.3, 0.4} T  – kollektives Sparen (10000 Sim.)28 EinmalanlagelaufenderSparbeitrag strateg.AQˆ E 50%50%50%50%50%50% Anpassungspar.a0.60.60.60.60.60.6 Anpassungspar. T 0.20.30.40.20.30.4 MaxDrawdown Mittelwert0.00%0.07%0.69%0.00%0.00%0.00% Median0.00%0.24%0.87%0.00%0.00%0.00% MaxRecoveryTime Mittelwert0.009.3724.620.000.000.01 Median0.006.0020.00000 Tabelle 18 MaxDrawdown und Max RecoveryTiem während des Anlagezeitraumes von 20 Jahren (10000 Sim.). 27 Annualisierte Volatilität der beobachteten Monatsrenditen (Mittelwert über alle simulierten Pfade) – vgl. Abschnitt 2.2.2. 28 Da die Einmalanlage und der Sparplan auf der Basis des selben Simulationslaufens ausgewerten wurden, stimmen die durchschnittlichen Aktienquoten und die Pfad-Volatilitäten überein. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 47 - Abhängigkeit der Rendite-/Risiko-Kennzahlen von der Laufzeit Wir wollen nun noch die Abhängigkeit von der Laufzeit T darstellen. Hierbei legen wir für das kollektve Sparen die folgenden Parameter zugrunde: 0 ˆ0.1, 0.15 Ziel V U U , sowie 0.3 T und 0.6a . Bei dieser Wahl der Parameter ist die Ruinwahrscheinlichkeit sehr gering und liegt selbst bei 40-jähriger Laufzeit unter 0.5% (vgl. Tabelle 22). ABBILDUNG 3 -10: Quantile der Ablaufrendite für eine Einmalanlage (oben) und eine Sparplan (unten) kollektives Sparen ( 0 ˆ0.1, 0.15 Ziel V U U , 0.3 T , a = 0.6), 10000 Sim.) Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 48 - Einmalanlage MittelͲ Quantile Twert1%5%25%Median75%95%99% 14.92%1.59%2.30% 3.51% 4.65% 6.03% 8.47%10.56% 24.87%1.13%1.79% 3.06% 4.39% 6.10% 9.75%12.73% 34.82%0.96%1.60% 2.86% 4.19% 6.12% 10.34%13.62% 54.81%0.92%1.52% 2.69% 4.00% 6.03% 11.02%14.78% 74.75%1.02%1.57% 2.68% 3.91% 5.95% 10.96%14.77% 104.78%1.17%1.70% 2.77% 3.94% 5.93% 10.76%14.69% 154.72%1.37%1.86% 2.92% 4.06% 5.85% 9.96%13.71% 204.67%1.49%1.98% 2.99% 4.10% 5.71% 9.44%12.59% 304.67%1.77%2.23% 3.20% 4.23% 5.66% 8.72%11.01% 404.72%1.98%2.45% 3.39% 4.36% 5.68% 8.23%10.44% Tabelle 19 Kennzahlen zur Rendite bei Ablauf in Abhängigkeit von der Laufzeit (Einmalanlage. 0 ˆ0.1, 0.15, 0.3, 0.6 Ziel a V U U T . 10.000 Sim.). laufenderSparbeitrag MittelͲ Quantile Twert1%5%25%Median75%95%99% 14.89%0.93%1.67% 3.13% 4.48% 6.25% 9.47%12.02% 24.82%0.56%1.21% 2.65% 4.12% 6.25% 10.98%14.83% 34.77%0.47%1.06% 2.36% 3.87% 6.26% 11.73%16.02% 54.72%0.52%1.03% 2.27% 3.68% 6.03% 12.36%16.97% 74.73%0.60%1.11% 2.30% 3.67% 5.99% 12.41%16.77% 104.77%0.81%1.32% 2.47% 3.77% 6.04% 11.73%16.23% 154.66%1.05%1.55% 2.62% 3.83% 5.81% 10.78%14.91% 204.72%1.23%1.75% 2.80% 4.00% 5.96% 10.20%13.79% 304.71%1.55%2.05% 3.08% 4.18% 5.80% 9.23%12.01% 404.73%1.78%2.27% 3.27% 4.29% 5.80% 8.62%10.86% Tabelle 20 Kennzahlen zur Rendite bei Ablauf in Abhängigkeit von der Laufzeit (Sparplan. 0 ˆ0.1, 0.15, 0.3, 0.6 Ziel a V U U T . 10.000 Sim.). Hier wird die besondere Charakteristik des kollektiven Sparens deutlich; während nämlich bei einem Fondssparen (Constant-Mix-Strategie) zum Ende des Anlagezeitraums sich der Quantils-Trichter öffnet (vgl. Abb. 3-6) ist er beim kollektiven Sparen nahezu gleichbleibend eng (Abb. 3-10, die Skalierung wurde aus Gründe der Vergleichbarkeit gegenüber der Abb. 3-6 beibehalten). Dies ist aus Sicht der Sparer ein erwünschter Effekt, da er zum Ende der Laufzeit immer weniger die Möglichkeit hat, sich auf eine Veränderung seines Versorgungsniveaus einzustellen. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 49 - EinmalanlagelaufenderSparbeitrag StdͲ ShortfallͲWahrsch. StdͲ ShortfallͲWahrsch. Tabw.<0%<1%<2%abw.<0%<1%<2% 11.91%0.00%0.15% 2.70% 2.40% 0.03% 1.13%8.28% 22.46%0.00%0.57% 7.04% 3.05% 0.06% 3.20%14.80% 32.77%0.00%0.94% 10.12% 3.36% 0.08% 4.44%18.78% 52.98%0.00%1.01% 11.89% 3.54% 0.06% 4.57%20.13% 73.02%0.00%1.14% 11.33% 3.53% 0.01% 3.75%18.95% 102.89%0.00%0.54% 9.74% 3.34% 0.00% 2.00%16.15% 152.60%0.00%0.17% 7.16% 2.96% 0.00% 0.85%12.07% 202.38%0.00%0.07% 5.04% 2.71% 0.00% 0.29%8.78% 302.02%0.00%0.00% 2.45% 2.26% 0.00% 0.04%4.41% 401.79%0.00%0.00% 1.14% 2.00% 0.00% 0.00%2.21% Tabelle 21 Kennzahlen zur Rendite bei Ablauf in Abhängigkeit von der Laufzeit (0 ˆ0.1, 0.15, 0.3, 0.6 Ziel a V U U T , 10000 Sim.).     PfadͲVola MaxDrawdown (Mittelwert) MaxRecoveryTime (Mittelwert) T RuinͲ Wahrsch.EinmalͲ anlage laufender SparbeiͲ trag EinmalͲ anlage laufender SparbeiͲ trag 10,00%0.42% 0.00% 0.00% 0.040.00 20,00%0.54% 0.01% 0.00% 0.310.00 30,02%0.61% 0.01% 0.00% 0.800.00 50,04%0.71% 0.03% 0.00% 1.970.00 70,04%0.79% 0.05% 0.00% 3.090.00 100,12%0.88% 0.08% 0.00% 4.790.00 150,19%0.96% 0.13% 0.00% 7.220.00 200,20%1.04% 0.17% 0.00% 9.280.00 300,29%1.12% 0.23% 0.00% 12.700.02 400,42%1.17% 0.28% 0.00% 15.310.19 Tabelle 22 Risikokennzahlen in Abhängigkeit von der Laufzeit ( ˆ0.1 V , 0 Z iel U U = 0.15, 0.3 T , a= 0.6, 10000 Sim.) Vergleicht man die Werte der Tabellen 21 und 22 mit den korrespondierenden Werten für eine Const-Mix-Strategie (Tabellen 9 und 10), so zeigt sich die Überlegenheit des kollektiven Sparens – zumindest im Hinblick auf die hier verwendeten Risikokennzahlen. Betrachtet man die Standardabweichung der Ablaufrendite, so zeigt sich, dass bei langen Dauern, das kollektive Sparen keinen Vorteil bringt, dass aber zum Ende des Sparprozesses, also bei kürzeren Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 50 - Laufzeiten bei kollektiven Sparen die Standardabweichung sinkt, während bei der Const-MixStrategie diese steigt. 3.4.2 Rendite-Risiko-Profile Zur Illustration des Zusammenhangs von Rendite und Risiko wollen wir im Folgenden diverse Anlagestrategien in einem Rendite-Risiko-Diagramm darstellen. Hierbei beschränken wir uns auf den Fall der Einmalanlage und wählen als Rendite-Kennzahl jeweils den Mittelwert der beobachteten Renditen. Als Risiko-Kennzahl wählen wir alternativ: die Standardabweichung der beobachteten Renditen bei Ablauf Volatilität des Rendite-Pfades (Pfad-Vola) (Mittelwert der beobachteten Pfad-Volas) Maximum Drawdown während der Laufzeit (Mittelwert der beobachteten MDDs) Maximum Recovery Time während der Laufzeit (Mittelwert der beobachteten MRTs) Zunächst vergleichen wir die Rendite-Risiko-Profile der Constant-Mixder Buy-and-Holdund der CPPI-Strategie, jeweils für T = 5 und T = 20 Jahre. Für die Constant-Mixund die Buy-and-Hold-Strategie wurden jeweils Aktienquoten von 10%. 20%. …. 100% zugrunde gelegt. Für die CPPI-Strategie wurde als Zielkapital 100% des Anlagebetrages unterstellt und (laufzeitabhängig) unterschiedliche Vervielfältiger gewählt.29 T=5ConstantͲMixͲStrategie AktienͲ quoteRenditeSTDVolaMDDMRT 03%0 0 0 0 10%3.48%0.90% 2.00% 1.61% 8.9 20%3.93%1.79% 4.00% 4.71% 16.4 30%4.32%2.69% 5.99% 8.15% 20.8 40%4.69%3.58% 7.98% 11.65% 23.4 50%5.02%4.50% 9.97% 15.11% 25.2 60%5.27%5.38% 11.96% 18.53% 26.6 70%5.52%6.25% 13.94% 21.85% 27.6 80%5.72%7.14% 15.93% 25.03% 28.5 90%5.89%8.04% 17.92% 28.10% 29.3 100%6.00%8.98% 19.91% 31.16% 29.9 Tabelle 23 Rendite-Risiko-Profil. Const-Mix-Strategie. T=5 Jahre (50000 Sim.) 29 Der Grad des gewählten Risikos bei einer CPPI-Strategie statt wie hier über den Vervielfältiger alternantiv über das Zielkapital steuern; zur Beschreibung der CPPI-Strategie siehe Anhang. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 51 - T=5BuyͲandͲHoldͲStrategie AktienͲ quoteRenditeSTDVolaMDDMRT 03%0 0 0 0 10%3.53%1.12% 2.23% 2.04% 10.1 20%3.98%2.15% 4.36% 5.38% 18.2 30%4.39%3.13% 6.42% 8.88% 22.7 40%4.71%3.99% 8.40% 12.39% 25.2 50%5.07%4.85% 10.36% 15.76% 26.7 60%5.31%5.69% 12.27% 19.04% 27.8 70%5.55%6.47% 14.19% 22.23% 28.5 80%5.73%7.26% 16.09% 25.32% 29.1 90%5.87%8.08% 18.00% 28.28% 29.6 100%5.98%8.91% 19.92% 31.19% 30.0 Tabelle 24 Rendite-Risiko-Profil. Buy&Hold-Strategie. T= 5 Jahre (50000 Sim.) T=5CPPIͲStrategie(Variante1) Hebel RenditeSTDVolaMDDMRT 03%0 0 0 0 0.43.28%0.54% 1.16% 0.62% 4.5 0.83.57%1.19% 2.42% 2.27% 11.0 1.23.86%1.92% 3.77% 4.42% 16.3 1.64.11%2.75% 5.20% 6.89% 20.4 2.04.35%3.61% 6.68% 9.47% 23.9 2.44.55%4.42% 8.05% 11.86% 26.6 2.84.67%4.99% 9.21% 13.81% 28.8 3.24.75%5.47% 10.09% 15.26% 30.7 3.64.81%5.86% 10.75% 16.41% 32.3 4.04.84%6.15% 11.25% 17.24% 33.6 Tabelle 25 Rendite-Risiko-Profil. CPPI-Strategie. T=5 Jahre, Zielwert=100%, H ebel  {0.4, 0.8, …, 4.0} (50000 Sim.) T=20ConstantͲMixͲStrategie AktienͲ quoteRenditeSTDVolaMDDMRT 03%0 0 0 0 10%3.48%0.45% 2.01% 2.33% 15.0 20%3.92%0.90% 4.01% 7.06% 32.6 30%4.33%1.35% 6.01% 12.51% 46.3 40%4.67%1.79% 8.01% 18.13% 57.4 50%4.98%2.22% 10.00% 23.74% 66.1 60%5.27%2.67% 12.00% 29.11% 73.3 70%5.53%3.10% 13.99% 34.08% 79.1 80%5.72%3.56% 15.99% 39.15% 84.5 Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 52 - 90%5.88%4.05% 17.98% 43.84% 89.3 100%6.00%4.46% 20.00% 48.08% 93.6 Tabelle 26 Rendite-Risiko-Profil. Const-Mix-Strategie.T= 20 Jahre (50000 Sim.) T=20BuyͲandͲHoldͲStrategie AktienͲ quoteRenditeSTDVolaMDDMRT 03%0 0 0 0 10%3.68%0.99% 3.11% 5.76% 24.9 20%4.17%1.60% 5.58% 12.08% 43.9 30%4.55%2.07% 7.70% 17.69% 57.7 40%4.87%2.49% 9.63% 22.88% 68.2 50%5.15%2.86% 11.45% 27.65% 75.7 60%5.37%3.19% 13.17% 32.09% 81.6 70%5.60%3.52% 14.88% 36.41% 85.6 80%5.75%3.80% 16.54% 40.49% 88.9 90%5.90%4.14% 18.23% 44.32% 91.4 100%5.99%4.46% 19.97% 48.11% 93.6 Tabelle 27 Rendite-Risiko-Profil. Buy&Hold-Strategie. T= 20 Jahre (50000 Sim.) T=20CPPIͲStrategie(Variante1) Hebel RenditeSTDVolaMDDMRT 03%0 0 0 0 0.23.46%0.44% 1.90% 2.14% 14.1 0.43.90%0.96% 3.96% 7.00% 32.6 0.64.33%1.52% 6.13% 12.93% 48.1 0.84.71%2.12% 8.35% 19.16% 61.2 1.05.03%2.69% 10.59% 25.39% 72.3 1.25.27%3.23% 12.73% 31.05% 81.7 1.45.44%3.63% 14.40% 35.16% 89.4 1.65.51%3.85% 15.53% 37.85% 94.6 1.85.58%4.05% 16.26% 39.59% 98.4 2.05.64%4.17% 16.79% 40.76% 100.3 2.45.62%4.29% 17.28% 42.23% 103.8 2.85.66%4.38% 17.55% 42.97% 104.8 3.25.61%4.39% 17.66% 43.49% 105.7 3.65.60%4.45% 17.71% 43.85% 106.4 4.05.64%4.49% 17.80% 44.04% 105.9 Tabelle 28 Rendite-Risiko-Profil. CPPI-Strategie. T=20 Jahre. Zielendwert=100%. H ebel {0.2,0.4,..., 2.0, 2.4, ...., 4.0}(50000 Sim.) Die folgenden Abbildungen illustrieren die Daten der oben stehenden Tabellen. Bei der Constant-Mixund Buy-and-Hold-Strategie markieren die Punkte der Grafik die Aktienquoten von Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 53 - 10% bis 100%. Bei einer Aktienquote von 100% fallen die Strategien Constant-Mix und Buyand-Hold zusammen. Die Punkte der Grafiken der CPPI-Strategie markieren unterschiedliche Werte für den Hebel, nämlich m= 0.2, 0.4, …, 4.0. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 54 - ABBILDUNG 3 -11: Rendite-Risiko-Profile für eine Einmalanlage; die Ordinate zeigt den Mittelwert der beobachteten Renditen bei Ablauf des Anlagezeitraum von T = 5 Jahren (jeweils 50000 Sim.). Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 55 - ABBILDUNG 3 -12: Rendite-Risiko-Profile für eine Einmalanlage; die Ordinate zeigt den Mittelwert der beobachteten Renditen bei Ablauf des Anlagezeitraum von T = 5 Jahren (jeweils 50000 Sim.). Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 62 - sichtigung einer unteren Interventionsgrenze (hier: min 0.02 U ). Die Abbildungen zeigen das Risiko-Profil bezogen auf die Standardabweichung der Rendite bei Ablauf und der Volatilität des Rendite-Pfades. Auf eine Darstellung der Risikokennzahlen MaxDrawdown und MaxRecoveryTime kann verzichtet werden, da bei einem Garantiezins von Null ein Sparplan im Hinblick auf diese beiden Kennzahlen risikolos ist. ABBILDUNG 3 -15: Rendite-Risiko-Profile für eine Einmalanlage; die Ordinate zeigt den Mittelwert der beobachteten Renditen bei Ablauf des Anlagezeitraum von T = 5 Jahren (obere Zeile) bzw. T = 20 (untere Zeile). Beschränkung der Reservequote nach oben Der Nutzen aus dem kollektiven Sparen resultiert aus der Möglichkeit, die kolektive Reserve aufoder abzubauen. Je nach Kapitalmarktentwicklung müssen daher teileweise hohe Reserven aufgebaut werden. Die folgende Abbildung zeigt die Verteilung der Schlussreservequote bei einer Laufzeit von T= 20 Jahren beim kollektiven Sparen unter Zugrundelegung der Basisregel mit folgenden Parametern: a = 0.6, 0.3 T , ˆ0.1 V , und 00.15 Ziel U U . Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 63 - ABBILDUNG 3 -16: Verteilung der Reservequote bei Ablauf nach T = 20 Jahren (kollektives Sparen, 0 ˆ 0.6, 0.3, 0.1, 0.15 Ziel a T V U U ): Basisregel (ohne Beschränkung) und modifizierte Regel mit max 0.20 U (jeweils 10000 Sim.) Die durchschnittliche Reservequote bei Ablauf beträgt bei der Basisregel (d.h. ohne Beschränkung der Reservequote nach oben) 14.96%, dies entspricht in etwa der Zielreservequote. Bei den 10000 Simulationen, denen das obige Histogramm zugrunde, wurde ein maximale Reservequote von über 100%31 beobachtet – vgl. Tabelle 35. Eine Begrenzung der Reservequote nach oben32 führt jedoch dazu, dass die Anpassungsregeln des Basismodells (Gl. 2-4 und Gl. 2-5) nicht mehr gewährleisten, dass im Durchschnitt die Zielreservequote (hier 0.15 Ziel U ) erreicht wird. Wird beispielsweise ab einer Reservequote von max 0.20 U die Reserve durch eine Sonderausschüttung abgebaut, so führt dies zu einer durchschnittlichen Schlussreservequote von 9,72% U ; die angestrebte Zielreservequote wird somit nicht erreicht. 31 Man beachte, dass einer (log-) Reservequote von 100% einer „üblichen“ Reservequote von 1/e-1§63% entspricht. 32 Im obigen Histogramm werden auch im Falle der modifizierten Regel Reservequoten von über 20% beobachtet; dies liegt daran, dass nach einer Sonderausschüttung (die die Reservequote zu Beginn der Periode auf 20% begrenzt) innerhalb der Periode die Reserve wieder angestiegen sein kann. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 64 - ohneBeͲ schränkungmax 0.6 U max 0.4 U max 0.2 U  ReservequotebeiAblauf(T=20) Mittelwert14,96% 14,17% 12,45%9,72% Median10,39% 10,08% 9,69%8,63% Standabweichung28,55% 27,03% 24,06%20,36% 1%ͲQuantil1,87% 1,68% 1,69%1,60% 5%ͲQuantil3,08% 2,99% 2,98%2,77% 25%ͲQuantil6,30% 6,13% 5,93%5,60% 75%ͲQuantil18,07% 17,75% 16,12%13,13% 95%ͲQuantil44,76% 41,46% 32,43%20,19% 99%ͲQuantil65,82% 57,23% 41,95%24,17% beobachtetesMinimum0,55% 0,25% 0,48%0,36% beobachtetesMaximum102,20% 74,47% 54,34%31,17% Ruinwahrscheinlichkeit0,25% 0,28% 0,26%0,19% RenditebeiAblauf  Mittelwert4,72% 4,75% 4,81%4,71% korrigierterMittelwert334,72% 4,71% 4,68%4,45% Median4,14% 4,12% 4,23%4,53% Standardabweichung2,37% 2,44% 2,37%1,80% PfadͲVola1,04% 1,32% 2,03%2,71% MaxDrawdown0,16% 0,17% 0,17%0,20% MaxRecoveryTime9,10 9,54 9,6510,92 Tabelle 35 Kennzahlen zur Verteilung der Schlussreservequote (vgl. Abb. 3-16), der Rendite bei Ablauf sowie Risikokennzahlen in Abhängigkeit von der Reservebegrenzung max U . Somit bewirkt die Begrenzung der Reserve (im Durchschnitt) einen Abbau der Reserveposition (von anfänglich 015% U auf 9,72% U ); dies wiederum bedeutet eine systematische Umverteilung zugunsten der individuellen Guthaben. Die ausgewiesene mittlere Rendite wird also gestützt durch den Reserveabbau. Korrigiert man die mittleren Renditen um diesen Effekt, so ergibt sich insgesamt eine geringe Verschlechterung der Renditen gegenüber der Basisregel ohne Beschränkung der Reserve nach oben. Dies wiederum ist auch plausibel, da durch die Begrenzung der Reserve nach oben aufgrund der Regel (Gl. 2-4) die Risikoexposition niedriger ausfällt und somit (im Durchschnitt) auch niedrigere Renditen erzielt werden können. 33 ergibt sich als: nicht-korr. Mittelwert abzgl. 1/20 des durchschnittlichen Reserveabbaus Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 65 - 4 Zusammenfassung und Ausblick Die oben durchgeführten Simulationsrechnungen dienen vor allem der Veranschaulichung der Wirkungsweise des kollektiven Sparprozesses. Die Ergebnisse des zeitstetigen Modells, das in [Goecke 2011] vorgestellt wurde, werden durch die Monte-CarloSimulation bestätigt bzw. ergänzt. Folgendes konnte nachgewiesen werden: xDas kollektive Sparen bewirkt einen deutlich messbaren Zusatznutzen für den Sparer. Der Zusatznutzen kann auch als Entlohnung für die Vertragstreue aufgefasst werden. xDas Sparerkollektiv kann aus eigener Kraft „Garantien“ generieren: Bei einer Zielaktienquote von 50% kann bei einer Ruinwahrscheinlichkeit von 0,82% (bei 20 Jahren Laufzeit !) eine 0-Zins-Garantie (mit monatlichem Lock-in!) gewährt werden – vgl. Tabelle 32. xDer Risikoausgleich im Kollektiv erlaubt eine ungleich höhere Risikoexposition als bisher im klassischen Lebensversicherungsgeschäft üblich. xDie Möglichkeit Reserven aufund abzubauen ist Grundvoraussetzung für das kollektive Sparen. Bei einer Zielaktienquote von 50% (und der damit verbundene Zielreservequote von 0.15 Ziel U 34 - vgl. Tabellen 14-16) ist eine Begrenzung der Reservequote auf max 0.4 U 35 ohne substanzielle Schwächung des Ausgleichsmechanismus möglich (vgl. Tabelle 35). Alle Berechnungen basieren allerdings auf einem sehr einfachen Kapitalmarktmodell (vgl. Abschn. 2-1). Vor allem zwei Annahmen sind problematisch: xEs wird ein fester sicherer Zins unterstellt. Tatsächlich ist weder der kurzfristige (Geldmarkt-) Zins noch der langfristige Zins für sichere Staatsanleihen konstant. In den letzten Jahrzehnten konnte man im DM/ Euro-Raum enormen Schwankungen bei den kurzund langfristigen Zinsen beobachten.36 xFür die Wertentwicklung des Marktportfolios (bzw. eines breit gestreuten Aktienportfolios) wird eine geometrische Brownsche Bewegung unterstellt. Für einen Zeithorizont von mehreren Jahrzehnten ist dies eine eher unrealistische Annahme, da hierbei makroökonomische Zusammenhänge vollständig ausgeblendet werden. So zeigen Analysen des langfristigen Kurs-Gewinn-Verhältnisses 34 Dies entspricht einer Reservequote (im üblichen Sinne) von 1-Exp(-0.15) = 13,9%. 35 dies entspricht einer Reservequote (im üblichen Sinne) von 33,0%. 36 Zwischen 04.1974-05.2012: Minimum/Maximimum Geldmarkt: 0.25% (05.2012)/ 15.78% (07.1973) bzw. für 9-10jährige Inhaberschuldverschreibungen: 1.5% (05.2012)/ 11.0% (07.1974). Quelle: Deutsche Bundesbank Zeitreihen BBK01.SU0101 und BBK01.WU8608. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 66 - (KGV), dass das KGV eine Mean-Reversion-Tendenz zeigt,37 insbesondere also nicht „gedächnislos“ ist. Dies bedeutet, dass die nach dem dargestellten Simulationsverfahren generierten Pfade nur sehr eingeschränkt die ökonomische Realität darstellen können. Allerdings geht es im Kern bei den obigen Simulationsrechnungen weniger darum, die ökonomische Realität zu simulieren als vielmehr darum zu zeigen, wie sich Schwankungen der Kapitalmärkte auf das System des kollektiven Sparens auswirken. Sollten Aktien bzw. breit gestreute Aktienportfolios (über das KGV) eine Mean-Reversion-Eigenschaft haben, so ist im Übrigen anzunehmen, dass der oben beschriebene kollektive Risikoausgleich noch leistungsfähiger ist. Das kollektive Sparen ist ein adaptiver Prozess: Die Verzinsung der Sparer kann nicht systematisch falsch (zu hoch oder zu niedrig) sein, da die Reservequote in gewisser Weise als eine Kontroll-Instanz fungiert. Der Deklarationsprozess in (Gl. 2-5) setzt eine Schätzung der erwarteten Portfolioverzinsung voraus. Im Black-Scholes-Modell ist der Schätzwert klar bestimmt, nämlich 2 1 2 ( ) ( ) ( ) SR t r t t P P V V   , in der Realität tritt an die Stelle von ( )t P ein bester Schätzer der Performance unter Berücksichtigung der Anlagestruktur. Vor der Aufgabe, die zukünftige 1-Jahres-Performance eines Anlageportfolios zu schätzen, stehen alle Unternehmen, die nach IFRS ihre (Netto-) Verpflichtung aus einer betrieblichen Altersversorgung bewerten müssen.38 Die Vorarbeiten in [Goecke 2011] und die obigen Untersuchungen fokussieren auf einem theoretischen Ansatz, das lineare ALM-Modell. Viele Fragen theoretischer, vor allem aber praktischer Natur bedürfen weiterer Untersuchungen: Theorie des Kollektiven Sparens: xEntwicklung geeigneter Kriterien für ein „optimales“ ALM xVerallgemeinerung des Kapitalmarktmodells xUntersuchung des Problems der Anfangsreserve39 xEinbeziehung der Rentenphase unter Berücksichtigung einer zufälligen Lebensdauer xBerücksichtigung von Eigenkapital: Welche Funktion soll das Eigenkapital übernehmen und welche Entlohnung wäre angemessen? Fragen der praktischen Umsetzung des Kollektiven Sparens: 37 Vgl. [Shiller 2005], [Shiller 2012], [Albrecht/ Kantar/ Xiao 2003] 38 Vgl. IAS 19, Para. 105f. 39 Startet ein Kollektiv mit der Anfangsreserve von 0 und soll in 20Jahren eine Zielreserve von 15% erreicht warden, so muss jeder Sparer im Durchschnitt auf 15%/20, also rund 0.75% Rendite verzichten. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 67 - xWelche (aufsichts-) rechtlichen Rahmenbedingungen sind für die Einrichtung eines Fonds für kollektives Sparen erforderlich? xIn einem System des kollektivenSparens ist ein jederzeitiger Rückkauf von individuellen Guthaben zu Zeitwerten ausgeschlossen. Was ist ein adäquater Rückkaufswert bzw. wie kann bei einem Rückkauf eine Spekulation gegen das Kollektiv vermieden werden? xWie könnte ein passendes Organisationsmodell aussehen? Insbesondere stellt sich die Frage nach einer transparenten Durchführung des Modells. xIst ein kollektives Sparmodell marktfähig? Die kapitalgedeckte Altersversorgung ist für viele attraktiv, weil sie hier individuell vorsorgen können und nicht wie bei der Gesetzlichen Rentenversicherung an einem kollektiven/ sozialen Ausgleich teilnehmen. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 68 - Anhang: CPPI-Strategie Wir beschränken uns hier auf ein einfaches CPPI-Modell und unterstellen für den Kapitalmarkt das oben beschriebene einfache Black-Scholes-Kapitalmarktmodell mit einer sicheren Anlage mit gleichbleibendem Zins P und einer Aktienanlage   ( ) (0) exp M M M M t P t P t W P V  mit 2 1 2 M M SR M r P P V V   . Ausgehend von einem festen Anlagehorizont [0, ]T wird festgelegt, welchen Anteil 0 [ ! des Anfangsinvestments 0 F zum Ablauf des Anlagezeitraums mindestens zur Verfügung stehen soll. Investiert man zum Zeitpunkt :0t t T d d einen Betrag von   0 ( ): exp ( )F t F T t [ P   in die sichere Anlage, so ergibt dies zum Ablaufzeitpunkt T ein Endvermögen von 0 F [ . Ist ( )F t das Anlagevermögen zum Zeitpunkt t, so bezeichnet man ( ) ( )F t F t als das Cushion. Ist ( ) ( ) 0F t F t  t, so bedeutet dies, dass das aktuelle Vermögen ausreicht, um das angestrebte Zielvermögen 0 F [ sicher zu erreichen. Die CPPI-Strategie besteht nun darin, zu jedem Zeitpunkt ein m-faches (m> 0) des jeweiligen Cushion in das Marktportfolio anzulegen. m bezeichnet man auch als Hebel oder Vervielfältiger der CPPI-Strategie. Für die Folgeperiode wird also der Betrag   ( ) ( )m F t F t in das Marktportfolio und der Rest   ( ) ( ) ( ) F t m F t F t  sicher angelegt. Hier sind zwei Varianten zu unterscheiden. Bei der Standardvariante (Variante 1) ist der Aktienanteil auf das Fondsvermögen beschränkt, d.h. in das Marktportfolio wird tatsächlich nur     ( ), ( ) ( ) M in F t m F t F t investiert. In der Variante 2 (CPPI ohne Beschränkung) wird auf diese Beschränkung verzichtet; dies bedeutet, dass dann der das aktuelle Fondsvermögen überschießende Aktienanteil durch Kredit (zum sicheren Zins P ) finanziert wird. Man kann zeigen, dass im zeitstetigen Modell bei beiden Varianten gilt:40 0 ( )F T F [ t (fast sicher), sofern 0 0 (0) exp( )F F T F [ P  d . Man beachte, dass für 1md beide Varianten übereinstimmen. Für die Variante 2 lässt sich das Endvermögen explizit darstellen. Es gilt:41 40 Vgl. [Cipollini 2008] Theorem 3.3 41 Vgl. [Cipollini 2008] Theorem 3.3 Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 69 -     ( ) 0 0 0 ( ) exp( ) exp m M T F T F F F T m W [ [ P P V     . wobei ( ) 2 1 2 : ( ) m M SR M m r m P P V V   . Dies entspricht also einer Buy-and-Hold-Strategie mit einem „gehebelten“ Marktportfolio. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 70 - Literatur [Albrecht/ Dus/ Maurer 2002] Albrecht, Dus, Maurer, Ruckpaul: Cost AverageEffekt: Fakt oder Mythos, Mannheimer Heft zur Risikotheorie, Portfolio Management und Versicherungswirtschaft, Nr. 140, 10/2002; http://insurance.bwl.uni-mannheim.de/ download /extern /mm/mm140.pdf [Albrecht/ Kantar/ Xiao 2003] Albrecht, Peter; Kantar, Cemil; Xiao, Yanying: Mean Reversion-Effekte auf dem deutschen Aktienmarkt: Statistische Analysen der Entwicklung des DAX-KGV, Arbeitspapier No. 04-08 des Sonderforschungsbereichs 504, Universität Mannheim 2003, www.sfb504.uni-mannheim.de/publications/dp04-08.pdf, download vom 30.12.2005. [Bacon 2008] Bacon. Carl R.: Practical Portfolio Performance Measurement and Attribution; 2nd edition. John Wiley & Sons. Ltd. Chichester (England) 2008. [Cipollini 2008] Cipollini. Alessandro Paolo Luigi. Capital Protection: Modeling the CPPI Portfolio (August 2008); http://ssrn.com/abstract [Goecke 2011] Goecke. Oskar: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich; Institut für Versicherungswesen. Forschungsstelle FaRis. Working Paper 01/2011. http://www.fh-koeln.de/faris. [Magdon-Ismail e.a. 2004] Magdon-Ismail. Malik; Atiya. Amir F.; Abu-Mostafa. Yaser S.; Pratap. Amrit: On the Maximum Drawdown of a Brownian Motion; Journal of Applied Probability (2004) Volume 41 (1), S. 147-161. [Shiller 2005] Shiller, Robert J: Irrational Exuberance; 2nd edition, Princeton University Press, 2005. [Shiller 2012] Shiller, Robert J: Aktualisierte Datenbasis zu [Shiller 2005]: Download verfügbar unter: www.econ.yale.edu/~shiller/data/ie_data.xls. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationen - 71 - Abbildungsund Tabellenverzeichnis ABBILDUNG 2 -1: VEREINFACHTES BILANZSCHEMA 5 ABBILDUNG 2 -2: ENTWICKLUNG DES MARKTPORTFOLIOS UND DES GELDMARKTPORTFOLIOS -LOGARITHMISCHE SKALA 9 ABBILDUNG 2 -3: STRATEGIE 1 (0, 0.1a T ) 10 ABBILDUNG 2 -4: STRATEGIE 2 (0, 0.6a T ) 10 ABBILDUNG 2 -5: STRATEGIE 3 (0.3, 0.1a T ) 10 ABBILDUNG 2 -6: STRATEGIE 4 (0.3, 0.6a T ) 11 ABBILDUNG 2 -7: MONATLICHE VS. JÄHRLICHE DEKLARATION FÜR STRATEGIE 1 ( 0, 0.1)a T , AUSWIRKUNGEN AUF DIE DEKLARATION UND DIE RESERVEQUOTE12 ABBILDUNG 2 -8: VOLLE UMSCHICHTUNG IN RENTENPAPIERE BEI UNTERSCHREITUNG VON min U . 14 ABBILDUNG 2 -9: BEGRENZUNG AUF DIE MAXIMALE RISIKOEXPOSITION 14 ABBILDUNG 2 -10: KOMBINATION UMSCHICHTUNG IN RENTENPAPIERE UND MAXIMIERUNG DER RISIKOEXPOSITION 14 ABBILDUNG 2 -11: VERZINSUNG DES ANLAGEPORTFOLIOS FÜR REGELN 2.), 3.) UND DIE IHRE KOMBINATION. 15 ABBILDUNG 2 -12: BASISREGEL 17 ABBILDUNG 2 -13: D -QUANTIL-MAXIMIERUNG (9 ,5%1 9 D  ) 17 ABBILDUNG 2 -14: MINIMALE DEKLARATION = 1,75% , MAXIMALE DEKLARATION = 5%17 ABBILDUNG 2 -15: SONDERAUSSCHÜTTUNG , max 18% U 18 ABBILDUNG 2 -16: KOMBINATION VON: D -QUANTIL-MAXIMIERUNG (9 ,5%1 9 D  ) UND SONDERAUSSCHÜTTUNG , max 18% U 18 ABBILDUNG 2 -17: KOMBINATION VON: D -QUANTIL-MAXIMIERUNG (9 ,5%1 9 D  ), SONDERAUSSCHÜTTUNG MIT max 18% U UND min max 1,75%, 5% U U 18 ABBILDUNG 3 -1: VERTEILUNG DER ABLAUFLEISTUNG BEI EINER LAUFZEIT VON T=5 (OBEN) BZW. T=20 (UNTEN) UND EINER AKTIENQUOTE VON 0.5 E (CONSTMIX/ BUY&HOLD) BZW. EINEM HEBEL VON M= 2.5 (CPPI VARIANTE 1 UND 2). 22 ABBILDUNG 3 -2: VERTEILUNG DER RENDITE DER ABLAUFLEISTUNG BEI EINER LAUFZEIT VON T=5 (OBEN) BZW. T=20 (UNTEN) UND EINER AKTIENQUOTE VON 0.5 E (CONSTMIX/ BUY&HOLD) BZW. EINEM HEBEL VON M= 2.5 (CPPI VARIANTE 1 UND 2). 24 ABBILDUNG 3 -3: ZUR ILLUSTRATION DER KENNZAHLEN MAXIMUM DRAWDOWN UND MAXIMUM RECOVERY TIME WÄHREND DER LAUFZEIT (T= 240 MONATE) 28