Eine Darstellung von Rückversicherungsprogrammen mit Anwendung auf den Kompressionseffekt

Forschung am IVW Köln, 5/2011 Institut für Versicherungswesen Eine Darstellung von Rückversicherungsprogrammen mit Anwendung auf den Kompressionseffekt Lutz Reimers-Rawcliffe Zusammenfassung Diese Arbeit behandelt Rückversicherungsprogramme aus fakultativen und obligatorischen, proportionalen und nichtproportionalen Deckungen. Zunächst wird eine neue Darstellungsweise eingeführt, die nicht nur die Kapazitäten der Bausteine des Rückversicherungsprogramms, sondern auch die Schadenaufteilung transparent macht. Durch Skalierung der Schadenachse mittels der Verteilungsfunktion des Einzelschadens ergibt sich eine anschauliche Darstellung der jeweiligen Erwartungswerte und damit des Prämienbedarfs. Im zweiten Teil der Arbeit wird die Auswirkung nichtproportionaler fakultativer Rückversicherung auf bereits vorhandene obligatorische Rückversicherungen untersucht, insbesondere der so genannte „Kompressionseffekt“. Die Verteilung des Schadens auf die einzelnen Deckungsabschnitte wird graphisch und mit einem Zahlenbeispiel verdeutlicht. Es ergibt sich, dass ein Schadenexzedent auf den Selbstbehalt durch Kompression erheblich benachteiligt wird. Abstract This paper deals with reinsurance programmes consisting of facultative and obligatory, proportional and nonproportional covers. A new type of diagram is introduced which illustrates not only the capacities provided by the individual components of the reinsurance programme but also the allo cation of individual claims. Scaling the claims axis using the probabilistic claims size distribution results in a visual representation of the expected claims sizes and hence the pure risk premiums. In the second part of the paper the impact of non-proportional facultative reinsurance on underlying obligatory reinsurance treaties is analyzed, especially the so-called “compression” phenomenon. The allocation of individual claims to the components of the reinsurance programme is illustrated graphically and b y a numerical example. It turns out that the reinsurer of an underlying excess of loss treaty is severely disadvantaged. - 1 - Inhaltsverzeichnis 1. EINLEITUNG.................................................................................................................................................................................2 2. EINE DARSTELLUNG DER SCHADENAUFTEILUNG .........................................................................................................3 3. NOMOGRAPHISCHE DARSTELLUNG...................................................................................................................................4 4. DER KOMPRESSIONSEFFEKT .................................................................................................................................................6 4.1 PROBLEMBESCHREIBUNG 6 4.2 DIE PRÄMIENAUFTEILUNG 8 4.3 DIE KOMPRESSION EINES SCHADENEXZEDENTEN 9 4.4 FAZIT 10 LITERATURVERZEICHNIS.................................................................................................................................................................. 11 ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS........................................................................................................................................................... 11 KONTAKT.............................................................................................................................................................................................. 12 - 2 - 1. Einleitung Zur Darstellung eines Rückversicherungsprogrammes, das sich aus mehr als einem Vertrag zusammensetzt, ist es nahe liegend, die durch die einzelnen Verträge bereitgestellte Kapazität1 in Form einer geschichteten Säule abzubilden (z. B. [3, S. 178]). Derartige „Kapazitätssäulen“ können entweder die Aufteilung der Haftung für ein konkretes Einzelrisiko oder die Kapazitäten proportionaler oder nichtproportionaler obligatorischer Rückversicherungsverträge darstellen. Abbildung 1 zeigt ein einfaches Rückversicherungsprogramm, bestehend aus einem Summenexzedentenvertrag mit 2 Maxima zu je 1 Mio., dessen Selbstbehalt durch einen Schadenexzedentenvertrag mit Priorität 250.000 und Haftung 750.000 geschützt wird. Der Erstversicherer (EVR) stellt hier eine Kapazität von 250.000 zur Verfügung, zu der eine automatische Rückversicherungskapazität von 2.750.000 hinzukommt. Insgesamt können also Risiken bis zu einer Versicherungssumme von 3 Mio. ohne Rückgriff auf fakultative Deckungen gezeichnet werden. Bei einem Totalschaden würde der Schadenbetrag von 3 Mio. entsprechend den Kapazitäten zwischen Erstund Rückversicherern aufgeteilt. Abb. 1 Unübersichtlich werden diese „Kapazitätssäulen“, wenn es um die Darstellung komplexerer Rückversicherungsprogramme, etwa eines Schadenexzedenten für gemeinsame Rechnung von Erstversicherer und Rückversicherer eines Quotenvertrages, geht. Deshalb sind vor allem in der amerikanisch beeinflussten Literatur [1], [4], [5] zweidimensionale Darstellungen verbreitet, bei denen die proportionale Kapazität entlang der horizontalen, die nicht-proportionale Kapazität entlang der vertikalen Achse aufgegliedert wird. Für das Rückversicherungsprogramm aus Abb. 1 ergibt sich dann die Darstellung nach Abb. 2.  1UnterKapazitätwirdimFolgendendermaximaleBetragverstanden,denErstͲoderRückversichererimFalle einesEinzelrisikoschadenszuzahlenbereitsind. - 3 - Abb. 2 Hier wird insbesondere deutlich, dass der Schadenexzedent nur den Selbstbehalt des Erstversicherers schützt, während ein Schadenexzedent für gemeinsame Rechnung von Erstund Quotenrückversicherer wie in Abb. 3 aussehen würde. Abb. 3 2. Eine Darstellung der Schadenaufteilung Kapazitätsdiagramme betrachten immer nur den „worst case“ des Totalschadens eines Risikos maximaler Größe; die Aufteilung eines Teilschadens lässt sich dort nicht abbilden. Im Folgenden wird das in Abb. 1 und 2 dargestellte Rückversicherungsprogramm auf ein einzelnes Risiko mit einer Versicherungssumme von 3 Mio. angewendet. Auf der horizontalen Achse wird der Bruttoschaden2 aufgetragen, auf der vertikalen Achse die Aufteilung des Bruttoschadens zwischen Erstversicherer und den Rückversicherungsverträgen. Man erkennt in Abb. 4 deutlich die unterschiedliche Wirkungsweise der proportionalen und nichtproportionalen Rückversicherung. Der Schadenexzedent wird erst betroffen, wenn der Bruttoschaden 750.000 erreicht, da dann der proportionale Anteil des Erstversicherers von 1/3 gerade der Priorität entspricht. Die Verhältnisse am rechten Rand der Darstellung (Schaden in Höhe der Versicherungssumme!) entsprechen natürlich der Kapazitätssäule aus Abb. 1.  2UnterBruttoschadenwirdhierderSchadenausderBeteiligungdesErstversicherersamOriginalrisikovor Rückversicherungverstanden. - 4 - Abb. 4 3. Nomographische Darstellung Die Darstellung in Abbildung 4 lässt keine Rückschlüsse auf die tatsächliche Belastung der drei betroffenen Parteien zu, da die äquidistante Unterteilung der horizontalen Achse implizit alle Schadenhöhen als gleichwahrscheinlich erscheinen lässt. Einen realistischeren Eindruck erhält man, wenn die horizontale Achse entsprechend der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Schadenhöhe skaliert. Zu diesem Zweck wird über der horizontalen Achse die Inverse F–1 der Verteilungsfunktion F der Schadenhöhe aufgetragen. Für das folgende Beispiel wird (ohne Anspruch auf Realitätsnähe) für die Darstellung eine gestutzte Exponentialverteilung benutzt, bei der die Wahrscheinlichkeit für Schäden monoton mit der Höhe abnimmt. Genauer  x S S e F(x) , F (y) ln y( e ) e O O OO       1 11 11 1, wobei S die Versicherungssumme des Risikos und λ der Kehrwert des Erwartungswertes der ungestutzten Exponentialverteilung ist. In unserem Beispiel ist S = 3 Mio.; für λ wird 1/500.000 angesetzt. Projiziert man die Kurve von F–1 auf die horizontale Achse, erhält man eine (hier rot eingezeichnete) neue Skala. Zum Beispiel ist F(0,25 Mio.) | 0,394 und F(1,00 Mio.) | 0,867. Der Abstand der zu den 1,00 Mio. und 0,25 Mio. gehörenden Werten ist gerade F(1,00 Mio.) – F(0,25 Mio.) | 0,473 und entspricht einer Wahrscheinlichkeit von 47,3% dafür, dass die Höhe eines eingetretenen Schadens zwischen 0,25 Mio. und 1 Mio. liegt. Da die Höhe des Einzelschadens auf der vertikalen Achse dargestellt wird, entspricht die Fläche unter der Kurve dem Erwartungswert der Schadenhöhe. - 5 - Abb. 5 Abbildung 6 zeigt das Rückversicherungsprogramm aus Abbildung 4 in nomographischer Darstellung. Die Flächen der einzelnen Deckungsabschnitte entsprechen nun den Schadenerwartungswerten der drei Risiko tragenden Parteien und damit dem Verhältnis der Nettorisikoprämien3. Abb. 6 Eine genauere Berechnung ergibt folgende Erwartungswerte: Summenexzedent: 328,4 Tsd. 66,7% Schadenexzedent: 35,0 Tsd. 7,1% Erstversicherer: 129,2 Tsd. 26,2% Brutto: 492,5 Tsd. 100,0%  3NettorisikoprämieistdiezurDeckungderSchädenbenötigtePrämie,alsoohneZuschlägefürKosten,Gewinn usw. - 6 - Hieraus lässt sich natürlich nicht schließen, dass dem Rückversicherer des Schadenexzedenten 7,1% der Originalprämie zustehen; diese enthält Zuschläge für Kosten, Gewinn usw., könnte aber auch unteroder oberhalb der versicherungstechnisch angemessenen Prämie liegen. Der Rückversicherer des Schadenexzedenten müsste vielmehr den Erwartungswert des Einzelschadens (35.000) mit der erwarteten Schadenanzahl multiplizieren und seine eigenen Zuschläge addieren. In der Praxis wird dieser theoretisch korrekte Ansatz jedoch nicht benutzt, da für ein gegebenes Risiko weder die Schadenhöhenverteilung noch die erwartete Schadenanzahl mit akzeptabler Genauigkeit bekannt sind. 4. Der Kompressionseffekt 4.1 Problembeschreibung „One of the big topics that seem to surface from year to year is the ’compression’ of net and treaty structures by non-proportional facultative solutions“ [5]. Das hier angesprochene Thema wurde seit den späten 1990er Jahren diskutiert, als Rückversicherer neben dem traditionellen proportionalen auch nicht-proportionalen fakultativen Rückversicherungsschutz für Einzelrisiken anboten. Da diese Deckungen bereits bestehende, darunter liegende obligatorische Rückversicherungen in Form einer „Kompression“ beeinflussen und als Verstoß gegen das Schicksalsteilungsprinzip angesehen werden können, wurden die Schadenund Prämienaspekte in internen Diskussionen aber auch in Veröffentlichungen ausführlich behandelt [4], [5]. Zur besseren Veranschaulichung der durch den Kompressionseffekt veränderten Schadenaufteilung wird zunächst wieder die übersichtlichere Darstellungsweise aus Abb. 4 aufgegriffen, die ja auf einer Gleichverteilung der Schadenhöhe beruht. Das Beispielrisiko hat einen PML 4 von 100 Mio., und der Erstversicherer verfügt über einen Summenexzedenten mit einer Kapazität von 4 Maxima zu je 10 Mio. PML. Demnach hat er neben seinem Selbstbehalt von 10 Mio. und der Kapazität des Summenexzedenten von 40 Mio. noch einen fakultativen Bedarf von 50 Mio., der in Abb. 7 und 8 zunächst einmal traditionell proportional abgedeckt wird.  4InderindustriellenFeuerversicherungwirdderPML(probablemaximumumloss=wahrscheinlicherHöchstͲ schaden)derRisikoverteilungdortzugrundegelegt,woeinSchadeninHöhederVersicherungssummeunwahrͲ scheinlichist. - 7 - Abb. 7 Abb. 8 Unabhängig von seiner Höhe wird jeder Bruttoschaden – wie auch die Originalprämie – im Verhältnis 50% zu 40% zu 10% unter den drei Parteien aufgeteilt. Abb. 9 Wird statt dessen eine nicht-proportionale fakultative Kapazität in Form eines Deckungsabschnitts 50 Mio. nach 50 Mio. oberhalb des Summenexzedenten gekauft, verändert sich das Bild sowohl für den Selbstbehalt des Versicherers als auch für den Summenexzedenten (Abbildung 9). Zwar werden die Kapazitäten von 10 Mio. bzw. 40 Mio. nicht überschritten, doch Schäden bis zum Ansatzpunkt der nicht-proportionalen fakultativen Deckung (50 Mio.) treffen Selbstbehalt und Summenexzedent in einer gegenüber der traditionellen Situation (Abb. 8) verdoppelten Höhe. Deren Kapazitäten werden also bereits bei einem Teilschaden in Höhe von 50% des PML ausgeschöpft. Dies ist der so genannte Kompressionseffekt, der eigentlich aus Sicht des Erstversicherers und des obligatorischen Rückversicherers ein Aufblähungseffekt ist.