Ein Konzept zur Berechnung von einfachen Barwerten in der betrieblichen Altersversorgung mithilfe einer Markov-Kette

Forschung am IVW Köln, 4/2011 Institut für Versicherungswesen Ein Konzept zur Berechnung von einfachen Barwerten in der betrieblichen Altersversorgung mithilfe einer Markov-Kette Ralf Knobloch Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wird für die Pensionsversicherungsmathematik eine Methode zur Berechnung von einfachen Barwerten mithilfe von Markov-Ketten dargestellt. Dabei stehen die konzeptionelle Aufbereitung und die Vorbereitung einer EDV-technischen Umsetzung im Mittelpunkt des Interesses. Abstract In this paper, a method for calculating present values in the mathematics of pension insurance by using a Markov Chain is presented. It focuses on the conceptual treatment and the preparation for an IT implementation. - 1 - Inhaltsverzeichnis 1. EINLEITUNG .......................................................................................................................................... 2 2. DAS ALLGEMEINE MODELL DER BETRIEBLICHEN ALTERSVERSORGUNG ......................................... 3 3. DER EINPERSONENFALL OHNE HINTERBLIEBENENVERSORGUNG UND FLUKTUATION .................. 5 4. DER ALLGEMEINE EINPERSONENFALL ................................................................................................ 9 5. EDV-TECHNISCHE UMSETZUNG ........................................................................................................ 11 6. AUSBLICK ............................................................................................................................................ 12 LITERATURVERZEICHNIS ............................................................................................................................. 14 - 2 - 1. Einleitung Nach dem deutschen Arbeitsrecht (§1 Abs.1 Gesetz zur Verbesserung der betrieblichen Altersversorgung – kurz BetrAVG) handelt es sich um betriebliche Altersversorgung, wenn ein Arbeitgeber einem Arbeitnehmer aus Anlass des Arbeitsverhältnisses Leistungen der Alters-, Invalidenund Hinterbliebenenversorgung zusagt. Diese Leistungen können in unterschiedlichen Durchführungswegen abgewickelt werden. Zum einen besteht die Möglichkeit einer Direktzusage, d.h. die Versorgungsverpflichtung wird vom Arbeitgeber direkt übernommen. Zum anderen besteht die Möglichkeit die Zusage auf betriebliche Altersversorgung über eine externe Versorgungseinrichtung zu übertragen. Neben dem Abschluss einer Direktversicherung bei einem Versicherungsunternehmen gibt es als externe Durchführungswege für die betriebliche Altersversorgung im deutschen Recht die Pensionskasse, die Unterstützungskasse und den Pensionsfond. (vgl. z.B. [2]) Bei der Direktzusage muss die sich ergebende Verpflichtung sowohl in der Handelsbilanz als auch der Steuerbilanz auf der Passivseite ausgewiesen werden. Zur Durchführung dieser bilanziellen Bewertungen müssen u.a. versicherungsmathematische Barwerte berechnet werden. Aber auch bei den externen Durchführungswegen besteht die Notwendigkeit der Bewertung der mit dem Versorgungsversprechen verbundenen zukünftigen Zahlungsverpflichtungen und damit zur Berechnung versicherungsmathematischer Barwerte. Dazu hat sich eine Modellierung etabliert, die davon ausgeht, dass sich das Kollektiv der Versorgungsberechtigten aus verschiedenen Gruppen, wie z.B. aktiven Arbeitnehmern oder Altersrentnern, zusammensetzt. Personen wechseln durch das Eintreten eines biologischen Ereignisses (z.B. Erreichen der Altersgrenze, Invalidität oder Tod) die Gruppe innerhalb des Kollektivs. Zur Berechnung der versicherungsmathematischen Barwerte für die betriebliche Altersversorgung findet man in der Literatur und in der Praxis im Wesentlichen zwei Methoden. Die erste Methode berechnet die Barwerte direkt als Erwartungswert der zukünftigen Zahlungen (vgl. [7] S. 48ff, [4] S. 494ff). Die zweite Methode verwendet ein lineares Gleichungssystem zur Bewertung der Zahlungsverpflichtungen (vg. [7], S.78ff]. In der vorliegenden Arbeit wird ein Konzept dargestellt, mit dem man sowohl bei Anwartschaften als auch bei laufenden Leistungen versicherungsmathematische Barwerte mithilfe einer Markov-Kette berechnen kann. Die vorgestellte Modellierung kann als Basis für eine EDV-technische Umsetzung verwendet werden. Zur Modellierung der betrieblichen Altersversorgung mit Markov-Prozessen vergleiche auch [6] S. 291ff. - 3 - 2. Das allgemeine Modell der betrieblichen Altersversorgung Im allgemeinen Modell der betrieblichen Altersversorgung besteht das Kollektiv aus mehreren Gruppen: den aktiven Arbeitnehmern, den ausgeschiedenen Arbeitnehmern, den Altersrentnern, den Invalidenrentnern und den Hinterbliebenenrentnern. Die Zusammenhänge der einzelnen Gruppen und die möglichen Übergänge sind in der folgenden Grafik zusammengefasst. Aktiver Ausgeschiedener Arbeitnehmer Arbeitnehmer Invalidenrentner Altersrentner Hinterbliebenenrentner Ohne Anspruch (vgl. [7] S.57 und S.66 bzw. [4] S.508) - 4 - Man erkennt, dass ein aktiver Arbeitnehmer zwar in alle Gruppen direkt oder auch über Umwege wechseln kann, aber das Modell keine Reaktivierung von Arbeitnehmern z.B. aus der Invalidität oder nach dem Ausscheiden aus dem Arbeitsverhältnis vorsieht. Am Ende landet jeder Versorgungsanspruch in dem Zustand „Ohne Anspruch“. Das in der Grafik beschriebene Modell wird in der Pensionsversicherungsmathematik wie folgt formalisiert (vgl. [7] S.47 bzw. [4] S.492f): aa x q : Wahrscheinlichkeit, dass ein x-jähriger aktiver Arbeitnehmer als Aktiver im Altersintervall [ ) 1x,x + stirbt. x i : Wahrscheinlichkeit, dass ein x-jähriger aktiver Arbeitnehmer im Altersintervall [ ) 1x,x + invalide wird. x s : Wahrscheinlichkeit, dass ein x-jähriger aktiver Arbeitnehmer im Altersintervall [ ) 1x,x + ausscheidet. i x q : Wahrscheinlichkeit, dass ein x-jähriger Invalidenrentner im Altersintervall [ ) 1x,x + stirbt. r x q : Wahrscheinlichkeit, dass ein x-jähriger Altersrentner im Altersintervall [ ) 1x,x + stirbt. w x q : Wahrscheinlichkeit, dass ein x-jähriger Hinterbliebenenrentner im Altersintervall [ ) 1x,x + stirbt. oF,aa x q : Wahrscheinlichkeit, dass ein x-jähriger ausgeschiedener Arbeitnehmer als ausgeschiedener Arbeitnehmer im Altersintervall [ ) 1x,x + stirbt. oF x i : Wahrscheinlichkeit, dass ein x-jähriger ausgeschiedener Arbeitnehmer im Altersintervall [ ) 1x,x + invalide wird. - 5 - x h : Wahrscheinlichkeit, dass ein x-jähriger Mann, bei Tod im Altersintervall [ ) 1x,x + verheiratet ist. )x(y : Alter der Hinterbliebenen am Beginn des Todesjahres des Mannes, bei Tod im Altersintervall [ ) 1x,x + . Dabei wird das Alter x versicherungstechnisch (d.h. durch normale Rundung) ermittelt. Bei einer männlichen Person wird dieses versicherungstechnische Alter wie in den obigen Definitionen mit x , bei einer weiblichen Person mit y bezeichnet. )x(y ist das versicherungstechnische Alter der Witwe zu Beginn des Todesjahres des Mannes. Die entsprechende Bezeichnung des versicherungstechnischen Alters des Witwers ist )y(x . Hängen die Wahrscheinlichkeiten nur vom Alter und vom Geschlecht ab, so handelt es sich um eine Periodentafel. Gibt es darüber hinaus eine Abhängigkeit vom Geburtsjahrgang, so spricht man von einer Generationentafel. In der betrieblichen Altersversorgung haben sich in Deutschland die Richttafeln von K. Heubeck durchgesetzt. Bis ins Jahr 2005 wurde dabei eine Periodentafel, die Richttafeln 1998 bzw. die Vorgängerversion die Richttafeln 1983, verwendet. Bei dem heute in der Praxis verwendeten Modell - den Richttafeln 2005 G - handelt es sich um eine Generationentafel (vgl. [4]). 3. Der Einpersonenfall ohne Hinterbliebenenversorgung und Fluktuation In dem in Abschnitt 2 beschriebenen allgemeinen Modell der betrieblichen Altersversorgung hängen die Wahrscheinlichkeiten nur vom aktuellen versicherungsmathematischen Alter ab. Es spielt dabei z.B. für die Invalidensterblichkeit keine Rolle, wie lange die Person schon invalide ist. Daher ist es sinnvoll zur Modellierung eine MarkovKette zu verwenden. Da die Wahrscheinlichkeiten für die Übergänge von einem zum anderen Zustand aber vom jeweiligen Alter abhängen, handelt es sich um eine inhomogene Markov-Kette. Das Ziel ist es, mithilfe der in [5] dargestellten Ergebnisse versicherungsmathematische Barwerte zu berechnen. Die Verwendung von MarkovProzessen zur Berechnung von versicherungsmathematischen Barwerten für die betriebliche Altersversorgung findet man auch in der Literatur wieder. So wird z.B. in [6] S.291ff die Berechnung von Anwartschaftsbarwerten in der Pensionsversicherungsmathematik mithilfe von Markov-Modellen ausgeführt. In diesem Abschnitt sei eine Person mit einer Zusage auf Altersund Invalidenversorgung gegeben. Eine Hinterbliebenenversorgung ist nicht zugesagt. Eine Fluktuation, d.h. ein - 6 - vorzeitiges Ausscheiden aus dem Unternehmen ist in diesem einfachen Modell nicht vorgesehen. Das Geschlecht wird als männlich angenommen, somit wird das Alter am Bewertungsstichtag im Folgenden mit x bezeichnet. Für die Person gibt es die folgenden Zustände in denen sie sich befinden kann. Zustand Nummer 0: Die Person ist tot und es bestehen somit keinerlei Zahlungsverpflichtungen mehr. Zustand Nummer 1: Die Person ist aktiver Arbeitnehmer und im Unternehmen tätig. Zustand Nummer 2: Die Person bezieht Invalidenrente. Zustand Nummer 3: Die Person bezieht Altersrente. Es sei n X der Zustand, in dem sich die Person am Ende des n -ten Jahres befindet, ,...2,1,0n = . Dann ist ( ) ,...2,1,0n n X = die zugehörige Markov-Kette mit dem Zustandsraum }3,2,1,0{S = . Die 4x4 Übergangsmatrizen ))n(q()n(Q j,i = , ,...3,2,1n = , seien wie folgt gegeben. Dabei sei x das Alter der Person im Zeitpunkt 0 (Bewertungszeitpunkt), A das frühste mögliche Eintrittsalter in die Unternehmung, E das Endalter der Finanzierung bzw. der Übergang in die Altersrente und Ω das letzte mögliche Alter überhaupt. Die Definition der Übergangswahrscheinlichkeiten erfolgt dabei auf Basis der Modellierung in [4] S.505. Übergänge aus Zustand 0: ,...3,2,1n , 3,2,1j ,0:)n(q ,...3,2,1n ,1:)n(q j,0 0,0 === == - 7 - Übergänge aus Zustand 1: 1E1nx ,0)n(q)n(q)n(q,1)n(q 1E1nxA , q5,01 q5,0 iq )n(q1:)n(q 1E1nx , q5,01 q1 iiq1:)n(q 1E1nx A,0:)n(q 1E1nx A,0:)n(q 2E1nxA , q5,01 q1 i:)n(q 1E1nx ,0:)n(q 2E1nxA ,iq1:)n(q 3,12,11,10,1 i1nx i1nx 1nx aa 1nx 3 1j j,10,1 i1nx i1nx 1nx1nx aa 1nx 3,1 3,1 2,1 i1nx i1nx 1nx2,1 1,1 1nx aa 1nx 1,1 −>−+==== −≤−+≤ ⋅− ⋅ ⋅+=−= −=−+ ⋅− − ⋅+−−= −<−+≤= −=−+≤= −≤−+≤ ⋅− − ⋅= −=−+= −≤−+≤−−= −+ −+ −+ −+ = −+ −+ −+−+ −+ −+ −+ −+ −+ −+ ∑ Übergänge aus Zustand 2: 1E1nx ,0)n(q)n(q,1)n(q 1E1nxA ,q )n(q1:)n(q 1E1nx ,q1:)n(q 1E1nx A,0:)n(q 1E1nx ,0:)n(q 2E1nxA ,q1:)n(q ,...3,2,1n ,0:)n(q 3,22,20,2 i 1nx 3 1j j,20,2 i 1nx 3,2 3,2 2,2 i 1nx 2,2 1,2 −>−+=== −≤−+≤=−= −=−+−= −<−+≤= −=−+= −≤−+≤−= == −+ = −+ −+ ∑ - 14 - Literaturverzeichnis [1] Gerber, Hans U. Lebensversicherungsmathematik, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1986. [2] Kemper, Kurt; Kisters-Kölkes, Margarete; Berenz, Klaus; Huber, Brigitte BetrAVG Kommentar zum Betriebsrentegesetz, 4. Auflage, Luchterhand 2010. [3] Koller, Michael Stochastische Modelle in der Lebensversicherung, 2. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2010. [4] Heubeck, Klaus; Herrmann, Richard; D’Souza, Gabriele Die Richttafel 2005 G - Modell, Herleitung, Formeln -, Blätter der DGVFM, Band XXVII, Heft 3, S. 473-517. [5] Knobloch, Ral f Bewertung risikobehafteter Zahlungsströme mithilfe von Markov-Ketten. In: Forschung am IVW Köln 3/2011, Köln 2011,www.fh-koeln.de/faris (Stand 27. Juli 2011). [6] Milbrodt, Hartmut; Helbig, Manfred Mathematische Methoden der Personenversicherungsmathematik, Walter de Gruyter, Berlin New York 1999. [7] Neuburger, Edgar (Hrsg.) Mathematik und Technik betrieblicher Pensionszusagen, Schriftenreihe Angewandte Versicherungsmathematik Heft 25, Verlag Versicherungswirtschaft e.V., Karlsruhe 1997. [8] Neuburger, Edga r Skript zur Mathematik der Pensionsversicherung, www.neuburger.com/Skript.html (Stand 27. Juli 2011). Kontakt/Impressum Diese Veröffentlichung erscheint im Rahmen der OnlinePublikationsreihe „Forschung am IVW Köln“ . Alle Veröffentlichungen dieser Reihe können unter www.ivw-koeln.de oder unter http://opus.bsz-bw.de/fhk/index.php?la=de abgerufen werden. Eine weitere Publikationsreihe ist die Schriftenreihe des Instituts für Versicherungswesen der Fachhochschule Köln . Herausgeber: Verein der Förderer des Instituts für Versicherungswesen an der Fachhochschule Köln e. V. Die Schriftenreihe kann über den Verlag Versicherungswirtschaft bezogen werden (http://www.vvw.de/). Eine Übersicht aller Hefte der Schriftenreihe kann auch unter folgender Adresse abgerufen werden: http://www.f04.fh-koeln.de/fakultaet/institute/ivw/informationen/publikationen/00366/index.html Köln, Oktober 2011 Herausgeber / Editorship: Prof. Dr. Reimers-Rawcliffe Prof. Dr. Peter Schimikowski Prof. Dr. Jürgen Strobel Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschaftswissenschaften / Faculty of Economics and Business Administration Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Web www.ivw-koeln.de Schriftleitung / Contact editor’s office: Prof. Dr. Jürgen Strobel Tel. +49 221 8275-3270 Fax +49 221 8275-3277 Mail [email protected] Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschaftswissenschaften / Faculty of Economics and Business Administration Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Gustav Heinemann-Ufer 54 50968 Köln Kontakt Autor / Contact author: Prof. Dr. Ralf Knobloch Institut für Betriebswirtschaftslehre / Institute of Business Administration Fakultät für Wirtschaftswissenschaften / Faculty of Economics and Business Administration Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Gustav Heinemann-Ufer 54 50968 Köln Tel. +49 221 8275-3425 Fax +49 221 8275-3135 Mail [email protected] ISSN (online) 2192-8479