Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich

Forschung am IVW Köln, 1/2011 Institut für Versicherungswesen Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich Oskar Goecke Zusammenfassung Fondssparen ist dadurch gekennzeichnet, dass das Kapitalanlagerisiko des Fonds unmittelbar auf das Anteilsvermögen wirkt. Altersvorsorgesparer scheuen Kapitalmarktrisiken insbesondere kurz vor Rentenbeginn. Die Idee von With-Profit Policen (Lebensversicherungsverträgen mit Überschussbeteiligung) ist, dass die Kapitalerträge teilweise den Versicherten direkt gutgeschrieben werden und teilweise einer kollektiven Reserve zugeführt werden. Bei positiver Entwicklung am Kapitalmarkt kann so die Reserve aufgebaut werden; Verluste am Kapitalmarkt können andererseits durch Entnahmen aus der Reserve kompensiert werden. Der Aufund Abbau der kollektiven Reserve bedeutet einen Risikotransfer zwischen den Sparergenerationen. Wir stellen hier ein zeitstetiges Modell zur Analyse dieses Risikotransformationsprozesses vor. Mit Hilfe stochastischer Prozesses können wir Aussagen über Grenzverteilungen, risikoneutrale Bewertungen und Ruinwahrscheinlichkeiten herleiten. Anhand von Rendite-Risikoprofilen kann nachgewiesen werden, dass der intergenerationale Risikotransfer tatsächlich einen Nutzeneffekt hat. Abstract Mutual fund saving is characterized by the fact that the fund’s capital market risk exposure directly affects the individual assets of each saver. A person who saves money for his/ her pension is particularly concerned about capital market risks when he/ she approaches pension age. The idea of with-profit life insurance business is that the returns of the assets are partially distributed to the individual savers’ accounts and to a collective reserve (unallocated fund). When capital markets are performing well the collective reserve builds up while in times of ill performance the collective reserve is reduced in order to subsidize the individual accounts. Building up and reducing the collective reserve constitutes an intergenerational risk transfer with respect to capital market risks. We present a continuous time model to analyze this risk transformation process. We employ stochastic processes to derive statements about terminal distributions, risk neutral valuation, and ruin probabilities. By analyzing risk-return-profiles we can prove that intergenerational risk transfer actually has a positive welfare effect. - I - Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis ............................................................................ I 1 Motivation ................................................................................ 1 2 Kollektives Sparen ................................................................... 3 2.1 Der Glättungsmechanismus ............................................................. 3 2.2 Beschreibung des Kapitalmarktes ................................................... 7 2.3 Beschreibung des Deklarationsprozesse ....................................... 11 2.4 Zulässige Asset-Liability-Management Strategien ....................... 12 3 ALM-Strategien für kollektive Sparprozesse ........................ 15 3.1 Das Basismodell ............................................................................ 15 3.1.1 Bestimmung des Deklarationsprozesses ..................................................... 15 3.1.2 Bestimmung des Anlageprozesses.............................................................. 18 3.1.3 Definition des linearen Modells ................................................................. 19 3.2 Elemtare Eigenschaften des linearen Modells .............................. 20 3.3 Grenzprozesse im linearen Modell ................................................ 31 3.4 Risikoneutrale Bewertung im linearen Modell ............................. 41 3.5 Berechnung der Ruinwahrscheinlichkeit ...................................... 47 4 Glättung des Anlagerisikos .................................................... 60 4.1 Anlagerisiko bezogen auf das Endkapital ..................................... 60 4.2 Anlegerstress während der Vertragslaufzeit ................................. 69 Literaturverzeichnis ..................................................................... 84 Abbildungsund Tabellenverzeichnis ......................................... 88 - 1 - S PARPROZESSE MIT KOLLEKTIVEM R ISIKOAUSGLEICH 1 Motivation Der Lebensversicherungsvertrag ist die am weitesten verbreitete Form der kapitalgedeckten Altersvorsorge in Deutschland. Im Vergleich zu Bankund Fondssparplänen wird in aller Regel auf die Absicherung biometrischer Risiken als das wesentliche Unterscheidungsmerkmal der Lebensversicherung hingestellt. Hierbei wird vernachlässigt, dass die klassische Lebensversicherung 1 einen langfrister Sparprozess umfasst, bei dem über die Überschussbeteiligung eine Teilhabe am Anlageerfolg des Versicherers stattfindet. Durch diese Art der Teilhabe am Anlageerfolg des Anbieters unterscheidet sich die Lebensversicherung fundamental von anderen Sparformen:  Bei einem Banksparplan kommt es zu einer vollständigen Trennung zwischen dem Anlageerfolg des Anbieters und der Verzinsung des Sparvertrages. Der Sparzins wird regelmäßig an die Marktverhältnisse angepasst; die Differenz zwischen der Verzinsung des Aktivgeschäfts und dem Sparzins (Refinanzierungskosten) steht der Bank uneingeschränkt als Ertrag zur Verfügung.  Beim Fondssparen ist das gesamte Anlagevermögen zu jedem Zeitpunkt vollständig auf die Sparer verteilt – es gilt das strenge Individualprinzip. Auf diese weise partizipieren die Sparer uneingeschränkt am Anlageerfolg (oder Anlagemisserfolg) des Investmentfonds. Für den Betreiber des Investmentfonds stellen die Verwaltungsgebühren (management fees) die Erträge dar. Da sich die Verwaltungsgebühren in aller Regel am Anlagevolumen orientieren, ist die Ertragslage des Betreibers relativ unabhängig vom Anlageerfolg.  Bei einem kapitalbildenden Lebensversicherungsvertrag mit Überschussbeteiligung deutscher Prägung steht der Anlageerfolg (nach Abzug einer Erfolgsbeteiligung des Aktionärs) ähnlich wie beim Fondssparen der Gesamtheit der Sparer zu. Allerdings erfolgt die Verteilung des Anlageerfolgs nicht nach dem strengen Individualprinzip, sondern dem Grundsatz des kollektiven Risikoausgleichs. Dieser erfolgt in der Weise, dass ein Teil des Anlageerfolgs einer kollektiven Sparreserve zugeführt wird. Dies ermöglicht eine „Glättung“ der Verzinsung der 1 Mit „klassischer Lebensversicherung“ sollen hier die Verträge mit Überschussbeteiligung gemeint sein; nicht hierzu gehören fondsgebundene Lebensversicherungen. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 2 - Sparer. Die Zuführungen und Entnahmen aus der kollektiven Reserve führen zu einem Generationen-übergreifenden kollektiven Risikoausgleich bezogen auf die Kapitalmarktrisiken. Ziel dieser Untersuchung ist es, den Nutzen dieses kollektiven Risikoausgleichs aus Sicht der Sparer darzustellen. 2 Die klassische deutsche kapitalbildende Lebensversicherung mit Überschussbeteiligung ist eine Form des kollektiven Sparens; ähnliches gilt für die sogenannten „With-Profit-Policen“ wie sie insbesondere in Großbritannien angeboten werden. Um den Nutzen des kollektiven Risikoausgleichs in Bezug auf das Kapitalanlagerisiko untersuchen und darstellen zu können, ist es erforderlich, das Modell des Lebensversicherungssparens zu reduzieren auf ein einfaches Modell des kollektiven Sparen. 2 In der Literatur findet man bereits vereinzelte Ansätze; u.a. Gollier, Christian : Intergenerational risk sharing and risk taking in a pension fund, Journal of Public Economics, vol. 92, n. 5-6, June 2008, S.1463-1485; Gordon, Roger H.; Varian, Hal R.: Intergenerational risk sharing, Journal of Public Economics 37 (1988), S.185-202; Thøgersen, Øystein : Intergenerational risk sharing by means of pay-asyou-go programs – an investigation of alternative mechanisms; SNF-Report No.12/ 06; SNF-project no. 1345, Instiute for Research in Economics and Business Administration Bergen, May 2006; Consiglio, Andrea; Cocco, Flavio; Zenions, Stavros A.: Asset Liability Modeling for Particitating Plicies with Garantees, The Wharten School, University of Pennsylvania, Working Paper, Dec. 2000, revised Feb. 2001;Gullién, Monserrat; Jørgensen, Peter Løchte; Perch-Nielsen, Jens: Return Smoothing Mechanism in Life and Pension Insurance, Insurance: Mathematics and Econommics, 2006; Vol 38, Nr. 2, S.229-252; Jørgensen, Peter Løchte: Lognormal Approximation of Complex Path Complex Path-Dependant Penion Scheme Payoffs, European Journal of Finance, 2007, Vol. 13, S.595-619. Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 3 - 2 Kollektives Sparen 2.1 Der Glättungsmechanismus Um den Effekt des kollektiven Risikoausgleichs in Bezug auf das Kapitalmarktrisiko darstellen zu können, ist es erforderlich, das Modell der Lebensversicherung mit Überschussbeteiligung bzw. das Modell der With-Profit-Police zu reduzieren auf ein einfaches Modell des kollektiven Sparens. Insbesondere blenden wir die Effekte des Ausgleichs biometrischer Risiken (insbesondere Todesfallund Langlebigkeitsrisiko) aus. Des Weiteren unterstellen wir, dass der kollektive Sparprozess von einem Lebensversicherungsunternehmen (LVU) betreut wird, das selbst kein Eigenkapital stellt, keine Kosten erhebt und ausschließlich im Auftrage der Versicherten (Kollektiv der Sparer) tätig wird. Ein Versicherungsverein auf Gegenseitigkeit kommt diesem Modell recht nahe. Die Annahme, dass keine Verwaltungskosten/ Transaktionkosten anfallen, ist für das Modell nicht zwingend. Man könnte beispielsweise Verwaltungskosten/ Transaktionkosten seitens des Betreibers durch eine passende reduction in yield (Management fee auf das Anlagevermögen) berücksichtigen. An den im Folgenden dargelegten Zusammenhängen ändert dies wenig. Die Annahme, dass der Betreiber (das LVU) kein Eigenkapital bereit stellt bzw. bereit stellen muss, stellt eine deutliche Vereinfachung des Modells dar. Ist der Betreiber durch die Bereitstellung von Eigenkapital beteiligt, so wird er eine angemessene Eigenkapitalrendite erwarten. Dabei muss allerdings festgelegt werden, welche Funktion das Eigenkapital hat und welchen Risiken es ausgesetzt ist. Angesichts der Eigenkapitalquoten 3 der deutschen Lebensversicherer (ca. 1%-2%) ist aber auch klar, dass das Eigenkapital nur in sehr gegrenzt eingesetzt werden kann, um Kapitalmarktrisiken (um die geht es ja hier ausschließlich) auszugleichen. Für die Analyse des Nutzens des kollektiven Sparens ist es daher keine Einschränkung der Aussagekraft des Modells, wenn auf den Ansatz einer Eigenkapitalposition verzichtet wird. Wir reduzieren daher den Lebensversicherungsvertrag auf einen Sparvertrag mit einmaligen oder regelmäßigen Sparbeiträgen, bei dem am Ende der Laufzeit ein Versorgungskapital ausgezahlt wird. Eine Entsparphase wird zunächst nicht berücksichtigt. Das LVU (als Betreiber des kollektiven Sparprozesses) führt alle Sparbeiträge zusammen und legt die Mittel am Kapitalmarkt an. In Abhängigkeit von der Kapitalmarktentwicklung legt das LVU fest, welcher Zins den Sparern gutgeschrieben wird. Bei der 3 Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 4 - Festlegung des Guthabenzinses („Deklaration“) kann das LVU bei Bedarf auch „kollektive Mittel“ einsetzen. Die Bilanz des LVU habe folgende sehr einfache Struktur A BBILDUNG 2 -1: Vereinfachtes Bilanzschema eines Lebensversicherers Wir betrachten hier die Lebensversicherung gewissermaßen als Selbsthilfeeinrichtung, bei der das gesamte vorhandene Vermögen den Sparern gehört, wobei zu unterscheiden ist zwischen den Versicherten-Guthaben – dies ist die Summe der individuellen Ansprüche aller Versicherten – und dem Kollektiv-Guthaben – dieses Kapital gehört allen Versicherten gleichermaßen. Das LVU fungiert hierbei als Agent des Prinzipals „Versicherungskollektiv“ und agiert ausschließlich zum Nutzen des Versichertenkollektives. Das LVU entscheidet über die Zusammensetzung des Anlageportfolios und über die Aufteilung des gesamten Vermögens auf die individuellen Ansprüche (Versichertenguthaben) und den kollektiven Ansprüchen (kollektive Reserve). Die Sparer haben keine individuellen Ansprüche auf die in der kollektiven Reserve gebundenen Mittel, wohl aber sind sie Teilhaber. Sie haben Anspruch darauf, dass die kollektive Reserve bei Bedarf zu ihrem Nutzen eingesetzt wird. Eine Regel könnte beispielsweise lauten, dass jeder Sparer einen Anspruch darauf hat, dass er bei Fälligkeit des Vertrages (zu Beginn des Ruhestandes) neben seinem individuellen Versichertenguthaben ggf. einen Zusatzbetrag aus der kollektiven Reserve erhält um sicher zu stellen, dass mindestens die Summe der von ihm eingezahlten Beiträge ausgezahlt werden. Das Beispiel macht klar, dass das LVU einen fairen Interessensausgleich zwischen den Sparergenerationen anstreben muss. Die Sparergenerationen, die kurz vor Fälligkeit ihrer Verträge stehen, haben ein Interesse daran, dass die kollektive Reserve abgeschmolzen wird, während die „Jungsparer“ eher an einer Aufstockung der Reserve interessiert sind. 4 4 Weitere Ausführungen hierzu in: [Goecke 2009] S. 291ff. Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 5 - Es wird im Folgenden u.a. darum gehen, Kriterien für angemessene Entscheidungsregeln des LVU aufstellen. Ein Leitgedanke hierbei ist, dass das LVU versucht, die möglicherweise stark schwankende Wertentwicklung der Aktivseite (des Portfolios) durch Zuführungen oder Entnahmen aus der kollektiven Reserve so auszugleichen, dass die Versichertenguthaben sich halbwegs stabil entwickeln können. A BBILDUNG 2 -2: Prinzip der Ergebnisglättung Die Abbildung 2-2 illustriert den Glättungseffekt in der Zeit. Während die Wertentwicklung des Portfolios ( P t ) erheblich schwankt, steigen die Ansprüche der Versicherten ( V t ) kontinuierlich. Das kollektive Reserve ( R t ) dient gewissermaßen als Schwankungsreserve. Beim kollektiven Sparen kann also die Verzinsung der Versicherten-Guthaben höher oder niedriger ausfallen als die Portfolioverzinsung. Es ist somit denkbar, dass eine Sparergeneration zugunsten der nachfolgenden Sparergenerationen zum Aufbau kollektiven der Reserve beiträgt bzw. zu Lasten der nachfolgenden Sparergeneration die kollektive Reserve abgebaut hat. Albrecht e.a. 5 haben in zahlreichen Veröffentlichungen gezeigt, dass die Lebensversicherer in der Vergangenheit tatsächlich eine sehr stabile Verzinsung der Versichertenguthaben darstellen konnten. Auch die Lebensversicherungsunternehmen erklären eine gleichmäßig (hohe) Überschussbeteiligung als ein Ziel ihrer Unternehmenspolitik. Wir können diesen Prozess der Ergebnisglättung als Zinstransformation bezeichnen, denn der „Zins“, den das LVU mit seiner Anlagepolitik am Kapitalmarkt erzielt, wird 5 Albrecht, Peter; Maurer, Raimond; Schradin, Heinrich R.: Die Kapitalanlageperformance der Lebensversicherer im Vergleich zur Fondsanlage unter Renditeund Risikoaspekten, Karlsruhe 1999.; Albrecht, Peter : Die Kapitalanlageperformance der deutschen Lebensversicherer 1980-2006, Mannheimer Manuskripte zur Risikotheorie, Portfolio Management und Versicherungswirtschaft, Nr. 169, Mannheim 2007. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 6 - durch Aufund Abbau der kollektiven Reserve transformiert - sprich geglättet (Abbildung 2-3). A BBILDUNG 2 -3: Zinstransformation beim Lebensversicherungssparen Die Zinstransformation beim Lebensversicherungssparen umfasst also zwei Entscheidungsebenen:  Entscheidung über die Portfoliozusammensetzung  Entscheidung über den Einsatz der kollektiven Reserve. Diese beiden Entscheidungsebenen können auch mit den Begriffen Asset-Management und Liability-Management erfasst werden. Entsprechend können wir von AssetLiability-Management sprechen, wenn beide Entscheidungsebenen aufeinander abgestimmt werden. Die Entscheidung über den Einsatz der kollektiven Reserve entspricht im Wesentlichen der Entscheidung des LVU über die Festlegung der Deklaration. Mit Festlegung der Deklaration wird nämlich ein entsprechender Teil der RfB gebunden, so dass im Laufe des Geschäftsjahres dieser gebundene Teil der RfB sukzessive in das Versicherten-Guthaben umgebucht wird. Bezeichnungen: t P : Wert des Portfolios zum Zeitpunkt t t V : Wert der Versichertenguthaben zum Zeitpunkt t : t t t R P V = − : kollektive Reserve zum Zeitpunkt t : ln ln 1 t t t t t P R V P ρ     = = − −             : (log.)Reservequote zum Zeitpunkt t . Der Wert ln ( P t / V t ) entspricht näherungsweise der üblichen Reservequote R t /P t . Im Weiteren wird sich zeigen, dass die auf den ersten Blick etwa umständliche Definition der Reservequote tatsächlich die Darstellung wesentlich vereinfacht. Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 13 - Hierbei sei 1 u α − das (1α )-Quantil der Standardnormalverteilung. Die Bedingung (ALM ) können wir auch als Fundamental-Bedingung des AssetLiability-Managements der Lebensversicherung bezeichnen. Sie zeigt nämlich den funktionalen Zusammenhang zwischen den zentralen Steuerungsgrößen des ALMProzesses, der Risikoexposition ( ) t σ (Steuerungsparameter der Aktivseite) und der Deklaration ( ) t η (Steuerungsparameter der Passivseite). Beide Prozesse sind optimal aufeinander abzustimmen. Für sehr kurze Zeitabschnitte 0 ∆ → ist die Bedingung (ALM ) immer dann erfüllt, wenn zum Zeitpunkt t der Reservepuffer min ( ) 0 t ρ ρ − > ist. Wir können 2 1 2 ( ): ( ) ( ) ( ) neutral SR t t t r t η µ µ σ σ = = + − (Gl. 2-15) auch als die risikoneutrale Deklaration bezeichnen, denn wegen ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t ρ ρ µ η + ∆ − = ∆ − E entspricht in diesem Fall die erwartete der aktuellen Reservequote. In Hinblick auf praktische Anwendungen kann es sinnvoll sein zusätzlich fordern max ( )t σ σ ≤ und min ( )t η η ≥ für vorgegebene Parameter max min , σ η ∈ R . Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 14 - A BBILDUNG 2 -5: Zulässige ALM-Positionen nach (Gl. 2-16) für 1 ∆ = , 1α = 99,5% und min ( ) 12% t ρ ρ − = . Die Abbildung 2-5 illustriert den Zusammenhang zwischen Risikoexposition und Deklaration. Jeder Punkt ( ) , σ η in dem Diagramm markiert eine ALM-Position, also eine Entscheidung des LVU hinsichtlich der Asset-Seite (Risikoexposition ( ) t σ ) und der Liability-Seite (Deklaration ( ) t η ). Ausgehend von einer verfügbaren Reserve von min ( )t ρ ρ − = 10% und einem Sicherheitsniveau von 1 99,5% α − = zeigt die Abbildung den Bereich der zulässigen ALM-Positionen; er wird begrenzt durch die Solvabilitätsbedingung ( max ( )t η η ≤ ) und die Mindestverzinsung ( min ( )t η η ≥ ). Nicht alle zulässigen ALM-Positionen sind sinnvoll, denn eine hohe Deklaration kann zwar zulässig sein (d.h. die Solvabilitätsbedingung erfüllen), aber dennoch zu einem nicht vertretbaren Reserveabbau führen. Wählt nämlich das LVU bei einer ALMPosition ( ) , σ η oberhalb der reserveneutralen Deklaration ( ) neutral t η µ = , so bedeutet dies, dass im Erwartungswert die Reserve abgebaut wird und somit in der nächsten Periode das Ruinrisiko stark steigt. Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 15 - 3 ALM-Strategien für kollektive Sparprozesse 3.1 Das Basismodell Im Folgenden soll ein lineares Modell für das ALM eines Sparerkollektivs mit kollektivem Risikoauagelich eingeführt und elementare Eigenschaften hergeleitet werden. Allgemein wollen wir als ALM-Strategie einen (stochastischen) Prozess ( ) 0 ( ), ( ) t t t σ η ≥ verstehen, der folgende Eigenschaften hat 1. ( ) 0 ( ), ( ) t t t σ η ≥ ist ein t F -messbarer, previsibler Prozess 2. ( ) 0 ( ), ( ) t t t σ η ≥ ist in jedem Zeitintervall [0, ] T f.s. beschränkt 3. Die Pfade ( ) 0 ( , ) t t σ ω ≥ und ( ) 0 ( , ) t t η ω ≥ sind f.s. rechtsseitig stetig. 4. ( ) 0 t σ ≥ f.s. für alle 0 t ≥ . Eine ALM-Strategie ist also eine Vorschrift, die zu jedem Zeitpunkt 0 t ≥ unter Berücksichtigung der t-Vergangenheit die Risikoexposition der Kapitalanlagen ( ) t σ und die Deklaration (Verzinsung der Versichertenguthaben) ( ) t η für die nächste Periode [ , [ t t + ∆ festlegt. Da wir einen arbitragefreien Kapitalmarkt unterstellen, ist durch die Wahl des Risikoprozesses ( ) 0 ( ) t t σ ≥ der Driftprozess ( ) 0 ( ) t t µ ≥ eindeutig festgelegt – vgl. (Gl.2-8). 3.1.1 Bestimmung des Deklarationsprozesses Die Bedingung (ALM ) in (Gl. 2-15) zeigt, dass der Reserveprozess ( ) ( ) t ρ eine zentrale Steuerungsgröße des ALM-Prozesses ist. Wir wollen im unterstellen, dass das LVU bestrebt ist, eine bestimme strategische Zielreserve min Ziel ρ ρ ≥ zu erreichen. Hierzu wählt es in jeder Periode die ALM-Position ( ) ( ), ( ) t t σ η so aus, dass (im Erwartungswert) eine bestehende Abweichung von der Zielreserve abgebaut wird. Die Angleichung an die Zielreserve kann das LVU über die Deklaration ( ) t η steuern: Wählt das LVU eine Deklaration oberhalb bzw. unterhalb der erwarteten Portfoliorendite, d.h. ( ) ( ) t t η µ > bzw. ( ) ( ) t t η µ < , so wird im Erwartungswert die Reserve abgebaut bzw. aufgebaut. Wir konkretisieren die Strategie und definieren ˆ( ) : ( ) Ziel t t ρ ρ ρ = − als Abweichung von der Zielreserve und verlangen, dass die Abweichung von der Zielreserve im Erwartungswert gleichmäßig reduziert wird. Für ein 0 θ ≥ soll daher gelten: Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 16 - ( ) ˆ ˆ ( ) ( ) d t t dt ρ θ ρ = − E (Gl. 3-1) Wir können θ als Anpassungsgeschwindigkeit interpretieren. Dies legt wegen (Gl. 2-12) den folgenden Zusammenhang zwischen Deklaration und Reserve nahe: ˆ ( ) ( ) ( ) t t t η µ θ ρ = + . (Gl. 3-2) Damit ist allerdings die ALM-Strategie noch nicht eindeutig festgelegt, denn (Gl. 3-2) kann für jede Risikoexposition ( ) t σ erfüllt werden. Man beachte, dass wegen (ALM 1) der Renditeprozesse ( ) t µ vollständig durch ( ) t σ bestimmt ist. Proposition 3-1 Wird die Deklaration entsprechend (Gl. 3-2) an die jeweilige Reservesituation angepasst, so ist der Reserveprozess ˆ ( ) t ρ ein verallgemeinerter mean-reversion OrnsteinUhlenbeck-Prozess, 9 d.h. erfüllt die SDG : ˆ( ) ( ) ˆ( ) t t d t dt t dW ρ σθ ρ = − + (Gl. 3-3) mit der Startbedingung 0 0 ˆ ˆ (0) : Ziel ρ ρ ρ ρ = = − mit der Lösung 0 [0, ] ˆ( ) exp( ) ( )ex ˆp( ) s t t dW t s s ρ θ σρ θ   +    = −   ∫ (Gl. 3-4) ( ) 0 ˆ( ) exp ˆ ( ) t t ρ θ ρ = − E (Gl. 3-5) ( ) ( ) 2 0 ˆ Var ( ) exp( 2 ) ( ) exp(2 ) . t t t s s ds ρ θ σ θ = − ∫ E (Gl. 3-6) Beweis (Gl. 3-3) folgt unmittelbar aus (Gl. 2-11) und (Gl. 3-2). Es handelt sich um eine lineare SDG mit der eindeutigen Lösung (Gl. 3-4) – vgl. [Karatzas/ Shreve 1991] S. 360f. (Gl. 3-5) folgt unmittelbar aus (Gl. 3-4). Mit Hilfe der Ito-Isometrie (vgl. [Øksendal 2003] S. 29) erhalten wir schießlich 9 Es handelt sich also um einen mean-reverting Ornstein-Uhlenbeck-Prozess; vgl. [Øksendal 2003] S. 75. Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 17 - ( ) ( ) 2 [0, ] 0 2 ˆ Var ( ) exp( 2 ) ( )exp( ) exp( 2 ) ( ) exp(2 ) . t s t dWt t s s t s s ds ρ θ σ θ θ σ θ        = − −  = ∫ ∫ E E  Für den Zusammenhang von Deklaration und Risikoexposition folgt aus Proposition 3-1 10 [0, ] 2 2 ˆ ( ) ( ) exp( ) ( )exp ( ) . ( ) s t SR tt dWr t t s s σ σ θ σ θη µ θ ρ   = + +      +  − − ∫ (Gl. 3-7) (Gl. 3-7) verbindet die beiden Prozesse ( ) t σ und ( ) t η , also die Steuerung der Aktivund der Passivseite. Allerdings gibt (Gl. 3-7) keine Auskunft darüber, wie ( ) t σ zu wählen ist, ohne die Solvabilitätsbedingung (ALM in Gl. 2-15) zu gefährden. Wir wollen noch zeigen, dass die obige Strategie der Anpassung an eine Zielreserve eine faire Beteiligung der Sparer am Anlageergebnis darstellt. Hierzu vergleichen wir die erwartete Rendite des Anlageportfolios mit der erwarteten Rendite der Versichertenguthaben. Die erwartete Rendite des Portfolios beträgt wegen (Gl. 2-2) 00 1 ( ) 1 ln ( ) t P t s ds t P t µ     =           ∫ E ; Für die erwartete Rendite der Versichertenguthaben gilt wegen (Gl. 2-11 und Gl. 3-7): ( ) 0 00 0 1 ( ) 1 1 ˆ ln ( ) ( ) exp( ) t t V t s ds s s ds t V t t η µ θ ρ θ     = = + −           ∫ ∫ E E 0 0 1 1 exp( ) ˆ ( ) t t s ds t t θ µ ρ − − = + ∫ . Entspricht die Startreserve der Zielreserve (d.h. 0 ˆ 0 ρ = ), so stimmen die Renditen überein. Die Sparer können also bei Beginn des Sparprozesses die gleiche Rendite erwarten, die auch das LVU mit ihrem Anlagevermögen erwirtschaftet. Eine anfängliche Reservelücke (d.h. 0 Ziel ρ ρ < ) führt jedoch c.p. zu durchschnittlich niedrigeren Renditen; dies bedeutet, dass die neu hinkommende Sparergeneration die Reservelücke der bestehenden Sparergeneration ausgleichen muss. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 18 - 3.1.2 Bestimmung des Anlageprozesses Die Managementregel (Gl. 3-2) beschreibt den ALM-Prozess nicht vollständig, da bisher nicht festgelegt wurden, nach welchen Kriterien die Risikoexposition der Kapitalanlagen ( ) ( ) t σ gesteuert wird. Zur Steuerung von ( ) ( ) t σ wollen wir ein lineares Modell unterstellen; wir setzen ˆ ˆ ( ) ) ( t t a σ σ ρ = + mit Parametern ˆ 0 σ > und a ∈ R . 10 (Gl. 3-8) ˆ σ bezeichnen wir als die strategische Risikoexposition, und a die Anpassungsgeschwindigkeit der Risikoexposition. Wir wollen voraussetzen, dass die Parameter ˆ ( , ) a σ so gewählt werden, dass ˆ (0) 0 ˆ (0) a ρ σ σ + ≥ = . Dieses Modell ist motiviert durch die folgenden heuristischen Überlegungen. Hierzu betrachten wir die Solvabilitätsbedingung (ALM ) in (Gl. 2-15) und die Deklarationsregel in (Gl. 3-2) und wählen jeweils eine maximal zulässige Deklaration. Aus (Gl. 2-15) und (Gl. 3-2) folgt min ˆ ( ) ( ) ( ) ˆ ( ), ˆ ˆ ( ) ( ) ( ( ) )) ˆ (t a u t t t t t t t t α η µ θ ρ ρ ρ ρ ση σ µσ  ⇒= = + − = + + −   ∆∆ (Gl. 3-9) wobei min min ˆ: Ziel ρ ρ ρ = − , min min ˆˆ ˆ): ˆ ( , , 0 u α σ σ α ρ ρ == − ∆ > ∆ und 1 ( , , ) :a a u α α θ θ ∆   = ∆ −   ∆   = . Wir können min ˆ ˆ( , ˆ ) , α ρ σ σ = ∆ als strategische Risikoexposition bezeichnen, denn nach (Gl. 3-9) schwankt die taktische Risikoexposition ( ) t σ entsprechend der aktuellen Reserveposition um diesen Wert. Die Managementregel (Gl. 3-8) folgt also in natürlicher Weise aus den oben dargestellten Rahmenbedingungen für zulässige ALM-Strategien. 10 Der Fall a < 0 ist ökonomisch nicht sinnvoll, denn das würde bedeuten, dass bei schwacher Reserveposition die Risikoexposition ausgebaut wird. Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 19 - 3.1.3 Definition des linearen Modells Das lineare Modell des kollektiven Sparens wird durch die folgenden Parameter und Gleichungen bestimmt: : µ sicherer Marktzins : SR r Zusatzrendite pro Risikoeinheit ( ): t σ Risikoexposition zum Zeitpunkt 0 t ≥ 2 1 2 ( ): ( ) ( ) SR t r t t µ µ σ σ = + − : Rendite eine Portfolios mit Risikoexposition ( ) 0 t σ ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t d P t P t t dt t dW µ σ = + ɶ : Wertprozess des Anlagevermögens mit 0 (0) P P = ( ): t η Deklaration zum Zeitpunkt 0 t ≥ ( ) ( ) ( ) dV t V t t dt η = : Wertprozess der Versichertenguthaben mit 0 (0) V V = : Ziel ρ Zielreservequote, 0 0 0 ˆ: ln Ziel P V ρ ρ   = −     : anfängliche Reservequote 11 ( ) ˆ( ) : ln ( ) Ziel P t tV t ρ ρ   = −     : Reservequote zum Zeitpunkt 0 t ≥ , Managementregeln: ˆ 0: σ ≥ strategische Risikoexposition : a Anpassungsgeschwindigkeit der Risikoexposition an die Reserve 0: θ ≥ Anpassungsgeschwindigkeit der Deklaration an die Reserve ˆ ˆ ( ) ( ) t a t σ σ ρ = + ; hierbei müssen wir sicherstellen, dass ( ) 0 t σ ≥ für alle 0 t ≥ . ˆ ( ) ( ) ( ) t t t η µ θ ρ = + Bemerkungen: 1. Wir lassen auch den Fall 0 a < zu, wenngleich dies bedeutet, dass man bei einer schwachen Reserveposition das Anlagerisiko erhöht. 11 Wir verstehen hier die Reservequote als die Differenz der Ist-Reserve von der Zielreserve. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 20 - 2. Falls 0 a = , so wird unabhängig von der aktuellen Reserveposition die Risikoexposition der Kapitalanlagen konstant gehalten, d.h. ˆ ( )t σ σ = für alle t. Eine solche Strategie können wir als reine LM-Strategie bezeichnen, da im Unterschied zum allgemeinen linearen Modell hier ausschließlich die Deklaration, also die Passivseite an die Reserveposition angepasst wird. 3. Weiter unten werden wir zeigen, dass ( ) 0 t σ ≥ für alle 0 t ≥ bereits aus der Startbedingung 0 ˆ ˆ (0) 0 a σ σ ρ = + ≥ folgt. 3.2 Elemtare Eigenschaften des linearen Modells Proposition 3-2 Für a ∈ R definieren wir den Prozess ( ) 2 1 2 : exp t t E aW a t = − . Dann gilt: 1. ( ) 0 t t E ≥ ist ein (Exponetial-) Martingal mit der Darstellung [0, ] 1 t s s t E a E dW = + ∫ . und t t t dE aE dW = (Gl. 3-10) 2. Für 0 s t ≤ ≤ gilt [ , ] 1 t u u s s s t E E a dW E E = + ∫ (Gl. 3-11) 3. Für 0 u v s t ≤ ≤ ≤ ≤ gilt ( ) 2 exp ( ) s t u v E E a s v E E   = −       E , 1 v t u s E E E E   =       E . (Gl. 3-12) Insbesondere gilt ( ) 1 t t s E EE   = =       E E , ( ) 2 2 2 2 exp ( ) t t s s E E a t s E E     = = −         E E und ( ) 2 exp( ) s t E E a s = E . Beweis Zu 1.: Folgt mit Hilfe der Ito-Formel angewendet auf die Funktion 2 1 2 ( , ) : exp( ) f x v a x a v = + ; vgl. [Karatzas/ Shreve 1991] S. 153f.. Zu 2.: Die Zufallsvariable ( ) 2 1 2 exp t t E aW a t = − lognormal-verteilt mit ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 2 2 exp Var exp(0) 1 t t t E aW a t aW a t = − + − = = E E . Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 21 - Entsprechend folgt für 0 s t ≤ ≤ 1 t s E E   =     E . Wir betrachten den Prozess ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 0 0 0 0 : exp exp ( ) s u u u s u s uu u su E E aW a u a W W a u E + + ≥ ≥ ≥ ≥   = = − = − −       ɶ ɶ , dann folgt aus (Gl. 3-10) [0, ] [ , ] 1 1 t v t s u u v s s t s s t E E E a E dW a dW E E − − = = + = + ∫ ∫ ɶ ɶ ɶ . Zu 3.: Da 2 2 s t t v s u v s v u E E E E E E E E E E = mit stochastisch unabhängigen Faktoren, folgt ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 exp 2 ( ) ( ) exp ( ) ; s t t v s s u v s v u v s v E E E E E E E E E E E E a W W a s v a s v           = =                           = − − − = − E E E E E E entsprechend folgt 1 v t t v u s s u E E E E E E E E       = =                   E E E .  Proposition 3-3 Werden die Deklaration und die Risikoexposition entsprechend dem linearen Modell (Gl. 3-2) und (Gl. 3-8) an die jeweilige Reservesituation angepasst, und setzen wir voraus, dass 0 ˆ ˆ (0) 0 a σ σ ρ = + > , so erfüllt der Prozess ( ) 0 ( ) t t σ ≥ die folgende lineare SDG ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) t d d t t dt a t W σ θ σ σ σ = − − + (Gl. 3-13) mit der Startbedingung 0 ˆ ˆ (0) a σ σ ρ = + und der eindeutigen Lösung 0 0 0 exp( ) ˆ ( ) exp( ) (0) ˆexp( ) ˆ exp( ) 1 ; ˆ t t s t t s s t t E ds E as t E ds E θ σ θ σ θσ ρθ σ θ θ σ   = − +         = − + +       ∫ ∫ (Gl. 3-14) insbesondere ist ( ) 0 t σ ≥ für alle 0 t ≥ . Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 22 - Beweis Aus (Gl. 3-4) in Verbindung mit (Gl. 3-8) erhält man für ( ) t σ die folgende Integraldarstellung [0, ] ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) exp (( ) ( ) exp( )0) s t t a t t a s s dW σ σ ρ θ σ σ σ θ − +   − = = −       ∫ d.h. ( ) t σ erfüllt die SDG in (Gl. 3-13). Diese lineare SDG hat (Gl. 3-14) als eindeutige Lösung - vgl. [Karatzas/ Shreve] S. 360f. Da wir vorausgesetzt haben, dass ˆ 0, (0) 0 und 0 θ σ σ ≥ ≥ ≥ , folgt ( ) 0 für alle 0 t t σ ≥ ≥ .  Wir erhalten damit die folgende Darstellung des Reserveprozesses ˆ ( ) t ρ : 0 [0, 0 ] 0 ˆ ˆ ˆ exp( ) exp( ) 1 ( 0) ˆ ˆ( ) exp( ) exp( ) ( 0) ˆˆ s t t t s as t E ds a a E a t adW t s ρ σ θ σ θ θ σ ρ θ θρ σ   +        − + + − ≠        =  − =    ∫ ∫ (Gl. 3-15) Zur einfacheren Darstellung definieren die stochastischen Prozesse ( ) t X und ( ) t U : 0 exp( ) : 1 t t t s s X E ds E θ τ θ   = + +       ∫ , hierbei sei τ ∈ R (Gl. 3-16) [0, ] : t s s t U X dW = ∫ (Gl. 3-17) Proposition 3-4 1. ( ) t U ist ein Martingal mit quadratischer Variantion 2 0 [ ] t t s U X ds =∫ . 2. Es gilt: exp( ) t t X aU t τ θ = + + , exp( ) t t t dX a X dW t dt θ θ = + , ( ) [0, ] 1 exp( ) 0 exp( ) 0 t ts t a X t falls a Us dW falls a τ θ τ θ  − − ≠  = + =   ∫ (Gl. 3-18) Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 29 - ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 2 3 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) exp( ( 2 )) ( ) 2 ( ) ( ) s t s t s t s t U U U U ρ ρ θ σ σ ρ σ ρ ρ = − + + + + E E E E ( ) ( ) ( ) 4 2 2 3 2 3 0 2 2 2 2 2 2 4 0 0 ˆ ˆ ˆ ( ) 2 ( ) ( ) ˆ ˆ ( ) ( ) exp( 2 ( )) ˆ ˆ ˆ5 ( ) ( ) s t s t s s t U U U U U s t s t U U σ σ ρ ρ ρ θ σ ρ ρ   + +   = − +   + + +   E E E E E E ( ) 0 ˆ ˆ ( ) exp( ) t a t σ σ ρ θ = + − E ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ˆ ˆ Var ( ) ( ) ( ) t a t t σ ρ ρ = −E E Für 2 2 1 2 ˆ ( ): exp( 2 ) f t a t σ θ = − − und ( ) 20 ˆ ˆ ˆ ( ): exp( ) ( ) exp( ) SR g t t a r a t σ θ θ σ ρ θ = − + − − − gilt: ( ) ( ) 2 2 2 1 1 0 0 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) exp( 2 ) ( ) exp( ) exp( ) t SR t a t U a t r a t η µ σ θ ρ θ σ ρ θ = − − + − − − − E E ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t f t U U g t U η η − = − +  E E ( ) 2 4 2 2 3 2 2 Var ( ) ( ) ( ) ( ( )) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t f t U U f t g t U g t U η   = − + +    E E E E  Bemerkungen 1. Für 0 ˆ 0 ρ = gilt: ( ) 2 2 2 exp( 2 ) 1 ( 2 ) t t t X a J a θ θ − = + − E (Gl. 3-32) Begründung hierfür: Aus Proposition 3-4 erhalten wir ( ) ( ) 2 2 2 2 2 exp( ) exp( ) t t t X a U a t U t τ θ τ θ = + + + + . Da ( ) 0 t U = E folgt ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 exp( ) t t X a U t τ θ = + + E E ; aus (Gl. 3-25) folgt dann (Gl. 3-32). 2. ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 lim exp( 2 ) falls 2 t t t U a a θ θ θ →∞ − = > − E (Gl. 3-33) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 lim exp( 3 ) falls (2 )( ) t t a t U a a a θ θ θ θ →∞ − = > − − E (Gl. 3-34) ( ) ( ) 2 4 2 3 2 2 2 2 3(3 ) lim exp( 4 ) falls (2 )( )(2 3 ) t t a t U a a a a θ θ θ θ θ θ →∞ + − = > − − − E (Gl. 3-35) 3. ( ) 2 2 2 2 falls 2 2 lim Var exp( ) falls 2 . t t a a a t X a θ θ θ θ →∞ > − − =  +∞ ≤  (Gl. 3-36) Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 30 - 4. ( ) 2 2 2 2 2 ˆfalls 2 2 lim Var ( ) falls 2 t a a a t a σθ θ σ θ →∞ > − = +∞ ≤  (Gl. 3-37) 5. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ˆfalls 2 ˆ ˆ 2 lim Var ( ) lim ( ) falls 2 t t a a t t a σθ θ ρ ρ θ →∞ →∞ > − = =  +∞ ≤  E (Gl. 3-38) 6. ( ) 2 2 2 2 2 ˆ ˆfalls 2 2(2 ) lim ( ) falls 2 t a a a t a σ µ θ θ η θ →∞ − > − = −∞ ≤  E (Gl. 3-39) 7. ( ) 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 lim Var ˆ ˆ ˆ 2 ( 2 (2 ) ( ) 3 ( ) ) SR t a a r a a a a ta a σ θσ θ θ σ θ θ θ θ θ η →∞     − + +       − − − −   =−   2 2 a θ ≤ bedeutet also eine „Stop-and-go“-Strategie: Die Anpassung der Deklaration an die Reserveposition ist nicht schnell genug, um die Reserve aufzufüllen; dies hat zur Folge, dass die Risikoexposition immer heftiger gegengesteuert werden muss. Die folgende Abbildung 3-1 illustriert den Effekt. Ausgehend von einem starken Ungleichgewicht, nämlich 0 ˆ 1 ρ = + bzw. 0 ˆ 1 ρ = − kommt es bei Wahl der Steuerungsparameter ( ) 0.5, 0.4 a θ = = zu einer Stabilisierung der Reserveposition. Ist jedoch die Deklarationsanpassung gegenüber der Anpassung der Risikoexponierung zu schwach ( ) 0.5, 0.05 a θ = = , so kommt es erratischen Schwankungen der Reserveposition. Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 31 - A BBILDUNG 3 -1: Simulationspfades des Reserveprozesses ( ) ˆ ( ) :0 30 t t ρ ≤ ≤ . Dargestellt werden jeweils 20 Trajektorien des Reserveprozesses, hiervon je 10 mit dem Startwert 0 ˆ 1 ρ = + und 0 ˆ 1 ρ = − . Beim oberen Diagramm wurden folgende Parameter zugrunde gelegt: ˆ 0.1, 0.5, 0.4 a σ θ = = = (obere Grafik) bzw. ˆ 0.1, 0.5, 0.05 a σ θ = = = (untere Grafik). 3.3 Grenzprozesse im linearen Modell Die obigen Gleichungen zeigen, dass die Prozesse 0 ( ) t t X ≥ bzw. 0 ( ) t t U ≥ die wesentlichen Treiber der ALM-Prozesse ( ) ( ) t σ , ( ) ˆ ( ) t ρ und ( ) ( ) t η sind. Der Prozess Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 32 - 0 0 ˆ ( exp( ) ) t t t E ρ θ ≥ − ist ein Residualprozess, der den im Zeitablauf verschwindenen Effekt der Anfangsreserve 0 ˆ ρ darstellt. Es gilt: exp( ) 0 t t E θ − → (f.s.), jedoch wegen ( ) ( ) 2 2 (exp( ) ) exp (2 ) t t E a t θ θ − = − − E 2 exp( ) 0 (in ) t t E L θ − → 2 2 0 a θ ⇔ − > . Eine Zufallsvariable 0 X > heißt invers-Gamma ( , ) α β -verteilt mit den Parametern 0 α > , 0 β > , wenn die Zufallsvariable 1 X − Gamma1 ( , ) α β − -verteilt ist. Bezeichne ( , ) ( ) i f x α β Γ die Dichtefunktion der inversen Gamma-Verteilung, dann gilt: ( ) 1 1 ( , ) ]0, [ ( ) 1 ( ) ( ) exp i f x x x x α α β β β β α + − Γ +∞    = Γ −       Ist X invers-Gamma ( , ) α β -verteilt, so existiert das k-te Moment der Verteilung genau dann wenn k α > ; in diesem Falle gilt: ( ) ( 1)( 2) ... ( ) k k X k β α α α = − − ⋅ ⋅ − E . Proposition 3-8 Ist 2 0 2 a θ < < so konvergieren ˆ ( ), ( ), ( ) t t t σ ρ µ bzw. ( ) t η in Verteilung gegen die Zufallsvariablen ˆ , , σ ρ µ ∞ ∞ ∞ bzw. η ∞ mit den Dichtefunktionen ( , ) ( , ) ( ) i f x f x α β σ ∞ Γ = ( , ) ˆ ˆ ( , ) ( ) i f x a f ax α β ρ σ ∞ Γ = + ( ) ( ) 1 ( , ) 1 1 ( , ) 1 1 ] , [ 1 2( ) 2( ) ( , ) 1 ( ) 2( ) i i A f B A x f B A x f x x A x α β α β µ Γ Γ ∞ −∞ + − + − − =− , bzw. ( ) ( ) 2 ( , ) 2 2 ( , ) 2 2 ] , [ 2 2( ) 2( ) ( , ) 1 ( ) 2( ) i i A f B A x f B A x f x x A x α β α β η Γ Γ ∞ −∞ + − + − − =− ; Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 33 - hierbei ist ( , ) ( ) z f z α β Γ ֏ die Dichtefunktion der inversen Gamma-Verteilung mit Parametern 2 2 1 a θ α = + und 2 ˆ 2 a θσ β =; ferner sei 2 1 1 1 2 : , : SR SR A r B r µ = + = bzw. 2 1 2 2 2 ˆ : , : SR SR A r B r a a a θ θσ θ µ   = + + − = +     . Beweis Nach (Gl. 3-16) gilt ( ) 0 0 ˆ exp( ) exp( ) 1 exp ( ) ˆ tt t t s E a t X t E t s ds E ρ θ θ θ θ σ   − = − + + − −     ∫ Wir zeigen, dass ( ) 0 : exp ( ) tt t s E H t s ds E θ = − − ∫ in Verteilung gegen eine invers-Gammaverteilte Zufallsvariable konvergiert. Es gilt: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 0 2 1 2 0 exp ( ) exp ( )( ) exp ( ) exp( ) . t t t s t t t s s H a W W a t s ds a W W a s ds θ θ − = − − + − = − − − ∫ ∫ Für festes t ist ( ) 0 t t s s t W W − ≤ ≤ − ein Standard-Wiener-Prozess. Sei nun ( ) 0 t t W ≥ ein Standard-Wiener-Prozess; wir definieren die Prozesse ( ) 2 1 2 : exp t s E aW a t = − und 0 : exp( ) t t s Y E s ds θ = − ∫ , so sind für alle 0 t ≥ t H und t Y identisch verteilt. Der Prozess ( ) 0 t t Y ≥ konvergiert fast sicher gegen 0 : exp( ) t Y E t dt θ ∞ ∞ = − ∫ . 13 Falls 0 θ > , so konvergiert t Y Y ∞ → (in 1 L ). Um dies zu zeigen, betrachten wir für 0 s t < ≤ : 13 Die f.s. Konvergenz ist gegeben sobald 2 1 2 0 a θ + > - vgl. [Matsumoto/ Yor 2005a], S. 314. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 34 - exp( ) exp( ) t t s x s t s s Y Y E x dx s E Y θ θ − − = − = − ∫ mit 0 : exp( ) r r x Y E x dx θ = − ∫ und ( ) 2 1 2 : exp ( ) x s x s E a W W a x + = − − . Hierbei sind s E und t s Y − stochastisch unabhängig. Somit erhalten wir ( ) ( ) ( ) 1 exp( ( )) exp( ) exp( ) t s s t s t s Y Y s E Y s θ θ θ θ − − − − − = − = −E E E ( ) lim sup 0 t s st s Y Y →∞ ≥ ⇒− = E für 0 θ > . Falls 2 0 2 a θ < < , so gilt konvergiert t Y Y ∞ → (in 2 L ), denn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 0 0 2 2 0 0 exp( 2 ) 2exp (2 ) exp( ( )) 2exp (2 ) exp( ) exp( ( )) t s s t s y t s x y y t s Y Y s E Y a s E E x y dxdy a s a x x y dxdy θ θ θ θ θ − − − − = − = − − − + = − − − + ∫ ∫ ∫ ∫ E E E E  ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2exp (2 ) falls )exp ( ) falls 1 exp( ( )) 1 exp( (2 )( )) ( ) (2 )( ) 2exp( 1 1 ( ) t s a t s a a a t s a s a st s a θ θ θ θ θ θ θθ θ θ θ θ θ   − − − − − − − −   −   − − ≠     =     − − =  − −   −− + −    Das Doppelintegral ist für alle t s ≥ nach oben beschränkt; somit folgt für 2 2 a θ < : ( ) 2 lim sup ( ) 0 t s st s Y Y →∞ ≥ − = E Nach einem Ergebnis von Milevsky 14 ist die Zufallsvariable Y ∞ invers-Gamma-verteilt mit Parameter 2 2 1 a θ α = + und 2 2 a β ′=. Für die Dichtefunktion ( , ) f Y x ∞ der Verteilung von Y ∞ gilt also ( ) 1 1 ]0, [ ( , ) 1 ( ) ( ) expf Y x x x x α β β β α + − ∞ ∞ ′ ′    ′ = Γ −       . 14 Vgl. [Milevsky 1999], S. 150. Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 35 - Nach (Gl.3-20) gilt für 0 a ≠ , ( ) 0 : exp ( ) tt t s E H t s ds E θ = − − ∫ ( ) 0 ˆ ˆ ( ) exp( ) , t t t H a t E σ θσ θ ρ θ = + + − ˆ ( ) ˆ ( ) , t t a σ σ ρ − = und für 2 2 a θ < konvergiert exp( ) 0 t t E θ − → in 2 L . Setzen wir ( ) 0 ˆ ˆ ( ): exp( ) t t S t Y a t E θσ θ ρ θ = + + − , ˆ ( ) ( ): S t R t a σ − = so gilt: 2 ˆ ( ) : L S t Y σ θ σ ∞ ∞ → = und 2 ˆ ˆ ( ) : L R t a σ σ ρ ∞ ∞ − → = , und für alle 0 t ≥ sind ( ) t σ und ( ) S t bzw. ˆ ( ) t ρ und ( ) R t identisch verteilt. σ ∞ ist invers-Gamma-verteilt mit den Parametern 2 2 1 a θ α = + und 2 ˆ 2 ˆ : a θσ β θσ β ′ = = . Für die Dichtefunktion ( , ) f x σ ∞ bzw. ˆ ( , ) f x ρ ∞ gilt dann: ]0, [ ( , ) ( , ) 1 ( ) ( ) i f x x f x α β σ ∞ ∞ Γ = und ˆ ] 0[ ( , ) ˆ ˆ ( , ) 1 ( ) ( ) a x i f x x a f ax σ α β ρ σ ∞ + > Γ = + . Wir betrachten nun die Grenzverteilungen von ( ) t µ und ( ) t η . Es gilt: ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) SR SR t r t r A t B µ µ σ σ = + − − = − − und ( ) 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 ˆ ( ) ( ) ( ) SR SR t r t r A t B a a a θ θ σ θ η µ σ σ       = + + − − − + = − −             Somit ist ( ) t µ bzw. ( ) t η identisch verteilt wie ( ) 2 1 1 1 2 ( ) A S t B − − bzw. ( ) 2 1 2 2 2 ( ) A S t B − − . Da 2 2 ( ) ( ) S t in L σ ∞ → konvergiert ( ) t µ in Verteilung gegen ( ) 2 1 1 1 2 : A B µ σ ∞ ∞ = − − und ( ) t η gegen ( ) 2 1 2 2 2 : A B η σ ∞ ∞ = − − . mit den Dichtefunktionen ( ) ( ) 1 ( , ) 1 1 ( , ) 1 1 ] , [ 1 2( ) 2( ) ( , ) 1 ( ) 2( ) i i A f B A x f B A x f x x A x α β α β µ Γ Γ ∞ −∞ + − + − − =− . bzw. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 36 - ( ) ( ) 2 ( , ) 2 2 ( , ) 2 2 ] , [ 2 2( ) 2( ) ( , ) 1 ( ) 2( ) i i A f B A x f B A x f x x A x α β α β η Γ Γ ∞ −∞ + − + − − =− .  Bemerkungen 1. Für 0 a = ist ˆ ( ) t ρ für alle 0 t ≥ normalverteilt mit ( ) 0 ˆ( ) exp ˆ ( ) t t ρ θ ρ = − E und ( ) 2 1 exp( 2 ) ˆˆ Var ( ) 2 t t θ ρ σ θ − − = . Somit konvergiert ˆ ( ) t ρ in Verteilung gegen eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert 0 und Standardabweichung ˆ 2 σ θ . Man kann sich davon überzeugen, dass 2 2 0 ˆ lim ( , ) exp ˆ ˆ a f x x ρσ σ θ θ π ∞ → = −       . Entsprechend 2 0 2 lim ( , ) exp ˆ ( ) ˆ ˆ a f x x ησ θ θ σ π µ ∞ → − −   =     . 2. Wegen (Gl. 3-34) bzw. (Gl. 3-35) konvergieren die Prozesse (außer in trivialen Fällen) nicht punktweise. 3. Es gilt: ( ) ˆ 1 β σ σ α ∞ = = − E , ( ) 2 2 2 2 2 ˆ ( 1)( 2) 2 a β θ σ σ α α θ ∞ = = − − − E , ( ) 2 2 2 ˆ Var 2 a a σ σ θ ∞ = − ( ) ˆ 0 ρ ∞ = E , ( ) 2 2 2 ˆ ˆ 2 a σ ρ θ ∞ = − E , ( ) ( ) 2 2 1 2 2 ˆ ˆ 2 a a µθ µ η σ ∞ ∞ == − − E E ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 Vˆ ˆ ˆ 22 ar 2 3 SR a a r a a a a a σ θσ θ θ θ µσ θ θ θ ∞=       − +     − −   − − −   ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 22 2 22 2 Va ˆ ˆ ˆ 22 2 3 r ( )( ) SR a a r a a a a a a σ θσ θ ηθ σ θ θ θ θ θ ∞       − + +     − −   − − −  =  Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 37 - 4. Da ( ) 2 1 1 1 2 ( ) ( ) t A t B µ σ = − − gilt 2 1 12 ( ) SR t A r µ µ ≤ = + für alle 0. t ≥ Somit ist ( , ) 0 f x µ ∞ = für 1 x A ≥ ; allerdings gilt 1 lim ( , ) x A f x µ ∞ → = +∞ . Entsprechend gilt ( , ) 0 f x η ∞ = für 2 x A ≥ ; allerdings gilt 2 lim ( , ) x A f x η ∞ → = +∞ . 5. Darstellung der Dichtefunktionen a) σ ∞ A BBILDUNG 3-2: Dichtefunktion der Verteilung von σ ∞ für ˆ 0.03; 0.25; 0.1; 0.4 SR r µ σ θ = = = = und {0.1, 0.2, ... ,1.0} a ∈ . 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 5 10 15 20 0.2 0.3 a = 0.1 a = 1.0 Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 38 - A BBILDUNG 3-3: Dichtefunktion der Verteilung von σ ∞ für ˆ 0.03; 0.25; 0.1; 0.2 SR r a µ σ = = = = und {0.1, 0.2, ... ,1.0} θ ∈ . b) ˆ ρ ∞ A BBILDUNG 3-4: Dichtefunktion der Verteilung von ˆ ρ ∞ für ˆ 0.03; 0.25; 0.1; 0.4 SR r µ σ θ = = = = und { 0.2, 0.0, 0.2, 0.4, 0.6,0.8} a ∈ − . 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 5 10 15 20 25  0.3  0.2  0.1 0.1 0.2 0.3 2 4 6 8 10 a = -0.2 0.0 a = 0.8 0.6 0.4 0.2 θ = 0.1 0.2 0.3 0.4 θ = 1.0 Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 45 - ( ) 2 1 2 00 ( ) 1 ˆ ˆ lim ln SR T V T r T V π σ σ →   = −     (Gl. 3-43) Dies bedeutet, dass zum Ende der Vertragslaufzeit der Sparer die volle Zusatzrendite aus dem Risiko ˆ σ der Kapitalanlagen risikofrei vereinnahmen kann, sofern die Reservesituation des Sparerkollektivs ausgeglichen ist. Ist 0 a > , so ist ˆ ( ) T ρ unter P bzw. Q´ nicht normalverteilt. Somit lässt sich auch nicht ohne weiteres eine einfache Formel für ( ) ( ) V T π herleiten. Die Darstellung in (Gl. 336) ermöglicht aber ein einfaches Monte-Carlo-Simulationsverfahren zur (näherungsweisen) Berechnung von ( ) ( ) V T π . Es gilt (vgl. Gl. 3-3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) 2 ( ) ( ) t t SR t SR SR SR t d t t t t t t t a a t t t dt t dW dt t dW t t r dt dt a dW a a r dt r ar dt a dW θ ρ θ ρ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ρ θ ρ ρ ρ ρ ρ θ ρ ρσ = − + ′ = − + + − ′ = − + + + + + −   ′ = − + − − + ++   Somit erfüllt ˆ ( ) t ρ bzgl. t W ′ die (nichtlineare) SDG ( ) ( ) 12 2 2 ˆ ˆ ˆ ( ) ˆˆ ( ( )) ( ) t t ad t b b dt t d t a W ρ ρρ ρσ + ′ = + + + (Gl. 3-44) mit 1 ˆ ˆ : ( ) SR b r σ σ = − und 2 (ˆ : 2 ) SR ab r σ θ −= − . Da wir im allgemeinen linearen Modell mit a > 0 keine explizite Formel für den fairen Preis ( ) exp( ) ( ) t t V t µ − Q ֏ E zur Verfügung haben, wollen wir zumindest mit Hilfe von Monte-Carlo-Simulationen die Werte näherungsweise bestimmen. Aus der SDG leitet sich in naheliegender Weise ein diskretes Verfahren zur Simulation von ( ) ( ) 0 0 ˆ ˆ ( ) exp( ) exp( ( ) V T V T π ρ ρ ′ = − Q E ab. Wir untersuchen den Einfluss den Anpassungsparameters a auf den Wert von ( ) ( ) V T π . Für 0 0 ˆˆ 0,25; 0; 1; 10; 0,05und 0,2/ 0,4/ 0,6 SR r V T ρ σ θ = = = = = = ergeben sich bei jeweils 10.000 Simulation mit einer Schrittweite von 1000 T ∆ = folgende Werte: Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 46 - A BBILDUNG 3-11: Hedgekosten des Glättungseffekts; Darstellung des Graphen von ( ) exp( ) ( ) a t V t µ − Q ֏ E für 0 0 ˆˆ 10, 1, 0, 5% t V ρ σ = = = = , 0,2 / 0,4 / 0,6 θ = . Für a = 0 könnte wir die Näherungswerte aus der Simulation mit den exakten Werten unmittelbar vergleichen: Näherung exakter Wert relativer Fehler Theta = 0,2 1,04740219 1,04738963 1,20E-05 Theta = 0,4 1,02644852 1,02644778 7,22E-07 Theta = 0,6 1,01782464 1,01782400 6,33E-07 Der vernachlässigbare relative Fehler für a = 0 ist allerdings keine Gewähr für die Güte der Approximationen für a > 0! Aufgrund des quadratischen Terms (für a > 0) in der SDG (Gl. 3-40) können sich nämlich auch bei kleinen Schrittweiten ∆ instabile Simulationen ergeben. 16 16 Führt man für die obige Fallkonstellationen die Simulationen mit einer Schrittweite von 1/1000 durch, so ergeben sich keine wesentlich anderen Werte. Bei den Simulationsrechnungen wurden varianzminimierende Techniken verwendet (vgl. [Seydel] S.99 ff.). Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 47 - 3.5 Berechnung der Ruinwahrscheinlichkeit Ruinwahrscheinlichkeit Wir wollen von Ruin sprechen, wenn ˆ 0 ( ) 0 ( ) t t t Ziel R P V t t ρ ρ ρ = − < ⇔ < ⇔ < − . Ruin bedeutet also, dass bei sofortiger Liquidation das vorhandene Vermögen nicht ausreicht, um alle individuellen Ansprüche zu befriedigen. Ruin in diesem Sinne bedeutet also nicht das Ende des kollektiven Sparprozeses; wegen (Gl. 3-5) wird lediglich die Deklaration herabgesetzt - ggf. kommt es zu einer negativen Deklaration – d.h. die Versichertenansprüche werden reduziert. Wir wollen von einem „Beinahe-Ruin“ sprechen, wenn min ( )t ρ ρ < , d.h. min ˆ( ) Ziel t ρ ρ ρ < − . Wir betrachten zunächst den Fall 0 a = , d.h. ˆ ( )t σ σ = für alle [0, ] t T ∈ . Dann haben wir für den Reserveprozess folgende Darstellung (vgl. Proposition 3-4): ( ) 0 ˆ ˆ ˆ exp( ) t t t M ρ θ ρ σ = − + mit [0, ] : exp( ) s t t dW M s θ = ∫ ; das Martingal ( ) t M hat die quadratische Variation [ ] 0 exp(2 ) 1 exp(2 ) 2 t t t M s ds θ θθ − = = ∫ . Wir definieren zwei Kenngrößen, nämlich 0 0 0 ˆ :ˆ ˆ Ziel c ρ ρ ρ σ σ − = = : relativer Reserveüberschuss zu Beginn :ˆ Ziel min b ρ ρ σ − =: strategischen Reservepuffer . Proposition 3-10 Sei a = 0 und T > 0, dann gilt für die Ruinwahrscheinlichkeit im Zeitraum [0, ] T : ( ) ( ) 0 min ( ) 1 ( ) für alle [0, ] min s T t T W t g s s S ρ ρ ≤ ≤ < = − ≤ ∈P P , (Gl. 3-45) Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 48 - hierbei ist 0 ( ): 1 2c g s bs θ += + , exp(2 ) : 1 2 T T S θ θ = − und ( ) s W ist ein StandardWiener-Prozess. Beweis Es gilt: ( ) ( ) 0 0 ˆ min ( ) min ( ) ( ) min Ziel min t T t T t t ρ ρ ρ ρ ρ ≤ ≤ ≤ ≤ < = < − −P P ( ) ˆ 1 ( ) ( ) für alle [0, ] Ziel min t t T ρ ρ ρ = − ≥ − − ∈ P ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 ( ) für alle [0, ] 1 für ˆˆ alle [0, ex ] p( ) exp( ) Ziel mit n t t T t t M M c b t T ρ σ ρ ρθ θ −= − ≥ − − ∈ = − ≥ − ∈ + + P P Durch eine Änderung der „Ablaufgeschwindigkeit“ kann wird das Martigal ( ) t M zu einem Standard-Wiener-Prozess: 17 Setzt man ( ) ln 1 2 ( ): 2 s t s θ θ + = , so gilt [ ] ( )t s M s = und ( ) : s t s W M= ist ein Standard-Wiener-Prozess bzgl. der Filtration ( ) : s t s = G F . Hieraus ergibt sich für 1 exp( 2 ( ) ) 2 1 T S t T T θ θ − − = = : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 exp( ) exp( ( min ( ) 1 für alle [0, ] 1 für alle [0, ] 1 für alle [0, ] 1 für alle [0, ] )) ( ) ( ) min t t s s T T s t T T t t T s S s S s S M c b t M c b t s W g s W g s θ θ ρ ρ ≤ ≤ < = − ≥ − ∈ = − ≥ − ∈ = − + ≥ − ∈ = − ≤ ∈ + P P P P P Hierbei haben wir ausgenutzt, dass s W und s W − identisch verteilt sind. Wir können annehmen, dass 0 0 b c+ ≥ , da andernfalls 0 min ρ ρ < .  17 Time-Change for MartigalesTheorem, vgl. [Karatzas/ Shreve] S. 174 Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 49 - Die Ruinwahrscheinlichkeit hängt also (bei gegebenem Zeithorizont T und Anpassungsgeschwindigkeit θ ) vom relativen Reserveüberschuss zu Beginn 0 c und dem strategischen Reservepuffer b ab. In der Abbildung 3-12 sind beispielhaft zwei Standard-Wiener-Prozesse dargestellt, mit der Barrierefunktion 0 2( 1) g s b c s θ + + = mit 0.5, 2 b θ = = und 0 0 c = . Dem Intervall [0; 2] s ∈ entspricht das Zeitintervall ln(3) 1,[0 0 6 ; ] 98 t ≈ ∈ . Um den Ruinfall in der Abbildung illustrieren zu können, wurde ein relativ niedriger Wert für b gewählt. A BBILDUNG 3-12: Zwei Pfade eines Standard-Wiener-Prozesses mit Barriere g(s) Numerische Berechnung der Ruinwahrscheinlichkeit Proposition 3-10 erlaubt es nun, die Ruinwahrscheinlichkeit zumindest näherungsweise zu bestimmen. Statt der speziellen Funktion 0 2( 1) g s b c s θ + + = können wir das Problem etwas allgemeiner darstellen. Sei :g + + → R R eine 2-mal differenzierbare Funktion mit (0) 0, ( ) 0 ( ) 0g g x und g x für alle x + ′ ′′ > > < ∈ R . Für 0 s ≥ sei Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 50 - ( ) ( ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s g t g s g s t s g s sg s t g s ′ ′ ′ = + − = − + die Tangente an die Funktion ( ) x g x ֏ an der Stelle s. In Abhängigkeit von der Funktion g(x) definieren wir Stoppzeiten: inf { : ( ) ( )} t W t g t τ = = und für 0 : inf { : ( ) ( )} s s s t W t g t τ ≥ = = . τ ist der Zeitpunkt, in dem der Wiener-Prozess erstmalig den Graphen ( ) x g x ֏ trifft und τ s ist der Zeitpunkt, in dem der Wiener-Prozess erstmalig den Graphen der Tangenten ( ) s x g x ֏ trifft; vgl. Abb. 3-13. Lemma 3-11 Ist t c bt + ֏ eine Gerade und ist ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) z t t W t z W t ≥ ≥ = + ein Wiener-Prozess, der von z ∈ R aus startet, so gilt für die Verteilung der Stoppzeit { } ( ) : inf : ( ) zz t W t c bt τ = = + : ( ) ( ) 2 3 ( ) 2 exp 2 2 z c z c z by dy y dy y τπ −   − − + ∈ = −       P. (Gl. 3-46) Beweis (vgl. [Karatzas/ Shreve] S. 196f.)  A BBILDUNG 3-13: Illustruation zum Lemma 3-10 Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 51 - Bemerkungen 1. ( ) 2 3 2 0 lim exp 0 2 2 y c z c z by yy π − →   − − + − =       . 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) für alle [0, ] 1 z z W t c bt t S S τ ≤ + ∈ = − ≤ P P ( ) 2 3 2 0 1 exp 2 2 S c z c z bx x dx x π −   − − + = − −       ∫ (Gl. 3-47) 3. Wendet man das obige Lemma für ( ) ( ), ( ) 0 c g s s g s b g s und z ′ ′ = − = = an, so erhält man: ( ) ( ) 2 3 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) exp 2 2 s g s g s s y g s s g s dy y dy y τπ −   ′ − − ′ − ∈ = −       P (Gl. 3-48) Zur Vorbereitung auf die nächste Propostion sei :g + + → R R eine 2-mal differenzierbare Funktion mit (0) 0, ( ) 0 ( ) 0g g x und g x für alle x + ′ ′′ > > < ∈ R und für 0 s ≥ sei ( ) ( ): ( ) ( ) s t g t g s g s t s ′ = + − ֏ die Tangente an den Graph der Funktion ( ) x g x ֏ an der Stelle s. Ferner setzen wir ( ): ( ) ( ) s c x g x g s x ′ = − . ( ) s c x können wir geometrisch deuten als den den Schnittpunkt mit der Ordinaten-Achse der Geraden, die parallel zur Tangente verläuft und durch den Punkt ( ) , ( ) x g x verläuft. Insbesondere gilt ( ) ( ) ) ( s s c s g t g s t + ′ = . Wie oben bezeichne inf { : ( ) ( )} t W t g t τ = = den Zeitpunkt des erstens Treffens des Wiener-Prozesses auf die Funktion g(t). Schließlich bezeichne ( ) u ψ die Dichte der Verteilung der der Stoppzeit τ , also ( ) ( ) 0 0 ( ) x x x du u du τ τ ψ ≤ = ∈ = ∫ ∫ P P . Eine explizite Formel für die Dichte können wir nicht herleiten, jedoch eine charakterisierende Intergralgleichung. Proposition 3-12 Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 52 - Definiere die Funkionen :[0, ] s F s → R und { } 2 : ( , ) :0 s G x y x y s∈ ≤ < ≤ → R R ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ): exp exp 2 2 s s c s y g s g s g s s y F y y y y y − −     ′ ′ + − − = − = −             und ( ) ( ) 2 3 2 2 3 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( , ): ( ) exp ( ) 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) exp ( ) ( ) 2( ) s s s s s s s s c s c x g s y x c s c x G x y y x c s y x g x g x g s y x g x g x y x g s g s s y x − −   ′ − + − − = − −     −     ′ − + − − = − −     ′ − −   . Dann erfüllt ( ) x ψ die folgende Volterasche Integralgleichung erster Art mit Kern ( , ) s G x y : 0 ( ) ( ) ( , ) y s s F y x G x y dx ψ = ∫ für alle 0 y s < ≤ (Gl. 3-49) Beweis von Proposition 3.12 Wie oben definieren wir die Stoppzeiten inf { : ( ) ( )} t W t g t τ = = und für inf { : ( ) ( )} s s t W t g t τ = = . Da für 0 y s < ≤ ( ) ( ) s g y g y ≤ , folgt { } { } { } s s y y y τ τ τ ≤ = ≤ ∩ ≤ und somit ( ) ( ) ( ) 0 , ( ) y s s s y y y y x x dx τ τ τ τ τ ψ ≤ = ≤ ≤ = ≤ = ∫ P P P . Bezeichne ( ) ( ) g x W t einen in ( ) g x startenden Wiener-Prozess; wir betrachten die Stoppzeit { } ( ) ˆ : inf : ( ) ( ) g x s t W t g x t τ = = + ; dies ist der Zeitpunkt, zu dem ein Wiener-Prozess, der im Punkt g(x) startet, die Gerade ( ) s t g x t + ֏ trifft – vgl. Abbildung 3-14. Aufgrund der starken Markov-Eigenschaft des Wiener-Prozesses gilt für 0 x y s < ≤ ≤ ( ) ( ) ˆ s y x y x τ τ τ ≤ = = ≤ − P P , Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 53 - A BBILDUNG 3-14: Die Stoppzeiten ˆ , s und τ τ τ . Für ( ) ( ) ( ) s c x g x g s x ′ = − folgt mit Hilfe von Lemma 3-10: ( ) ( ) ( ) 2 3 2 0 ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) exp 2 2 s y x s s y x y x g x g x g s u g x g x u du u τ τ τ π −− ≤ = = ≤ −   ′ − + − = −       ∫ P P ( ) 2 3 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) exp 2 2 y x s s s s c s c x g s u c s c x u du u π −−   ′ − + − = −       ∫ Somit folgt: ( ) ( ) ( ) 0 , ( ) y s s s y y y y x x dx τ τ τ τ τ ψ ≤ = ≤ ≤ = ≤ = ∫ P P P . ( ) 2 3 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) exp 2 2 y y x s s s s c s c x g s u c s c x x u du dx u ψπ −−   ′ − + − = −      ∫ ∫ Andererseits gilt: Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 54 - ( ) ( ) 2 3 2 0 ( ) ( ) ( ) exp 2 2 y s s s c s u g s c s y u du u τπ −   ′ + ≤ = −      ∫ P . Somit erfüllt die Funktion ( ) x ψ für alle 0 y s ≤ ≤ die Integralgleichung: ( ) ( ) 2 3 2 0 0 2 3 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) exp 2 2 ( ) ( ) ( ) exp 2 2 y y x s s s s y s s c s c x g s u c s c x x u du dx u c s u g s c s u du u ψπ π −− −   ′ − + −−         ′ + = −      ∫ ∫ ∫ Differenziert man beide Seiten nach y , so erhält man: ( ) 2 3 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) exp 2 2 y y x s s s s c s c x g s v d c s c x x v dv dx dy v ψπ −−     ′ − + −   −            ∫ ∫ ( ) ( ) 2 3 2 0 2 3 2 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) exp 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim exp 2 2 y s s s s s s s s h c s c x g s y x c s c x x y x dx y x c s c x g s h c s c y y h h ψπ ψπ − − →   ′ − + − − = − −     −     ′ − + − + ⋅ −      ∫ ( ) 2 3 2 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) exp 2( ) 2 y s s s s c s c x g s y x c s c x x y x dx y x ψπ −   ′ − + − − = − −     −   ∫ und ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) exp exp 2 2 2 2 y s s s s c s u g s c s y g s d c s c s u du y dy u y π π − −       ′ ′ + +   − = −                   ∫ Hieraus folgt die Behauptung.  Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 61 - ( ) [ 0 0, ] exp( ) ˆ1 exp( 1 ˆ) ˆ( ) s T TT T s dW T θ ρ θ σ µ − = + − − − − + ∫ . Insbesondere ist ( ) D T η normalverteilt mit ( ) 0 exp( ) 1 ˆ ( ) ˆ D T T T θ η µ ρ − − = +E und ( ) ( ) ( ) ( ) 2 20 2 2 1 exp( ) 3 exp( ) ˆ Var ( ) 1 exp( ( )) 1 . ˆ 2 T D T T T T s T T T σ σ θ θ η θ θ − − − −   = − − − = −     ∫ Wir bestimmen nun für den Fall 0 a ≠ Erwartungswert und Varinaz von ( ) D T η . Mit den Bezeichnungen aus Abschnitt 3.2 [0, ] : t s s t U X dW = ∫ und 0 exp( ) : 1 t t t s s X E ds E θ τ θ   = + +       ∫ für 0 ˆ : ˆ a ρ τ σ = gilt nach Proposition 3-4 ( ) 0 ˆ ˆ ˆ ( ) exp( ) t t t U ρ θ σ ρ = − + 2 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) t b t a t µ µ θ ρ ρ = + − − , 2 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) t b t a t η µ ρ ρ = + − mit 2 1 2 ˆ ˆ ˆ : SR r µ µ σ σ = + − und ˆ : ( ) SR b a r θ σ = + − . Wir setzen abkürzend 0 exp( ) 1 für 0 ( ): exp( ) für 0 t t t J s ds t αα α α α α −  ≠  = =   =  ∫ und 2 2 1 02 exp( ) 1 falls 0 ( ): ( ) falls 0 t t s t t J J ds t α α α α α α α − −  ≠  = =   =  ∫ . Proposition 4-1 ( ) 2 2 20 ˆˆ ˆ ( ) ( 2 ) 2 D T a T J a Restterm T σ η µ θ ρ = − − +E (Gl. 4-4) Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 62 - mit 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 : fa ˆ ˆ ( ) ( 2 ) 2 ˆ 2 ˆ 2 1 exp( ) ˆexp( ) 1 2 lls ˆ falls . SR R T S T Restterm r a J a a J a a a r T a T a a T a a T a a T θ θσ θ σ θ ρ θ θ σ σ θ ρθ − −     + + − +     − −     − − −   − + + −   = ≠      =   Beweis Mit Hilfe der Darstellung aus Proposition 3-7 erhalten wir ( ) ( ) 2 2 2 10 2 ˆ ˆ ˆ ( ) exp( 2 ) ( ) ... t t a t U η µ σ θ ρ = − − + E E Wegen ( ) ( ) 20 2 exp(2 ) 2 ... ˆ ( ) t t U t J a θ θ ρ +−= E folgt ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 ˆ 1ˆ ( ) ( ) ( 2 ) 2ˆ T T D t Restt a T t J a T rm T e σ η η µ θ ρ = = − − + ∫ ∫ E E Die Berechnung des Restterms ist einfach, aber etwas mühsam; es ergibt sich 2 2 0 2 2 ˆ ˆ ( ) ( 2 ) 2 ˆ 2 T T SR J a a J a a Restterm a a r T a T θ θσ θ σ θ ρ θ θ − −     = + + − +     − −      Bemerkung: Die erwarteten Renditen stimmen also bei ausgeglichener Anfangsreserve (d.h. 0 ˆ 0 ρ = ) überein; weicht die Anfangsreserve allerdings von der Zielreserve ab, so ergibt sich bei einer Investition in das Versichertenguthaben eine Zusatzrendite (falls 0 ˆ 0 ρ > ) bzw. ein Minderrendite (falls 0 ˆ 0 ρ < ). Falls 2 2 a θ > , so gilt ( ) 2 2 2 ˆ ˆ lim ( ) 2 )(2 D T a T a σ η µ θ →∞ = − − E Wird also die Risikoexposition jeweils an die Reserveposition (Aktienquote) angepasst, so ergibt ein eine geringere erwartete Rendite als bei einer reinen LM-Strategie, bei der nur die Deklaration an die Reserve angepasst wird. Hierbei ist zu beachten, dass die Grenzverteilung von ( ) ( ) t t η →∞ für 0 a ≠ schief ist. Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 63 - Proposition 4-2 Ist 0 a = , so gilt ( ) ( ) ( ) 2 1 exp( ) 3 exp( ) Var ( ) ˆ 1 . 2 D T T TT T θ θ ησ θ   − − − − = −     (Gl. 4-5) Ist 0 a ≠ , so gilt ( ) 4 4 2 2 2 2 0 0 ˆ 2 Var ( ) ( , ) ( 2 ) 4 T t D t a T h s t dsdt J a T T σ η θ = − − ∫∫ (Gl. 4-6) mit ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ): ( ) ( ) ( ) ( ) s t s t s s t s f s f t U U U U f s g t U h s t f t g s U U g s g t U − +  =+ +   E E E E E E und ( ) 2 2 2 10 2 ˆ ˆ ˆ ( ) exp( 2 ) und ( ) exp( ) exp( ) f t a t g t t b a t σ θ σ θ ρ θ = − − = − − − . Beweis Wir setzen ( ) ( ): ( ) ( ) t t t η η η = − E , ( ) 2 2 : t t t U U U = − E , dann gilt (vgl. Proposition 3-7): ( ) ( ) ( ) t t t f t U g t U η = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 Var ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) D D D T T t T T T t dt s t dsdt T T η η η η η η = −       = =         ∫ ∫∫ E E E E Für s t ≤ folgt dann ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s t s t s t s t s t f s f t U U f s g t U U g s f t U U g s g t U U η η = + + + E E E E E ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s t s t s s t s f s f t U U U U f s g t U g s f t U U g s g t U = − + + + E E E E E E  Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 64 - Mit Hilfe der Gleichungen in Präposition 4-2 lässt sich somit ( ) Var ( ) D T η explizit darstellen. Das Doppelintegral kann explizit ausgerechnet werden, da ( , ) h s t als Polynom der Argumente exp( ) s und exp( ) t dargestellt werden kann. Das Rendite-Risiko-Profil Wir wollen nun das Anlagerisiko und die zu erwartende Rendite miteinander in Beziehung setzen. In unserem einfachen Kapitalanlagemodell (vgl. Abschnitt 2.2) ergibt sich bei einer Constant-Mix-Strategie bei einer Anlage vom Betrage 1 und einer Laufzeit von T ein Endvermögen von ˆ ˆ ( ) exp( ) T P T T W µ σ = + , wobei 2 1 2 ˆ ˆ ˆ : SR r µ µ σ σ = + − . Hierbei ist ˆ 0 σ ≥ die gewählte Risikoexposition. Die erwartete (Jahres-)Rendite beträgt dann ( ) 2 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ln ( ) SR P T r T µ µ σ σ   = = + −     E , und die annualisierte Volatität der Rendite beträgt ( ) 1 ˆ Var ln ( )T P T T σ   =     . Die erwartete Rendite und die annualisierte Volatilität stehen also unabhängig von der Laufzeit in einem festen funktionalen Zusammenhang (vgl. Abb 2-5). Wir vergleichen nun die ConstantMixStrategie mit einer Anlage in das Versichertenguthaben. Hierbei wollen wir in unserem linearen Modell zunächst eine reine LMStrategie (d.h. 0 a = ) betrachten. Die erwartete Rendite bei einer Anlage von 1 beträgt dann ( ) ( ) 0 1 1 exp( ) ˆ ˆ ln ( ) ( ) D T V T T T T θ η µ ρ − −   = = +     E E , und die annualisiere Volatilität ( ) ( ) 1ˆ Var ln ( ) Var ( ) ( , ) D T V T T T g T T η σ θ   = =     Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 65 - mit ( )( ) 1 exp( ) 3 exp( ) ( , ): 1 2 T T g T T θ θ θθ − − − − = − für 0 T θ ≠ und ( , ): 0 g T θ = für 0 T θ = . ( , ) g T θ können wir als Dämpfungfaktor interpretieren, denn er gibt an, in welchem Verhältnis die Volatilität der Ablaufrendite durch die Zwischenschaltung der kollektiven Reserve gemindert wird. Zu Beginn der Vertragslaufzeit (d.h. bei hoher Restlaufzeit T ) ist der Dämpfungseffekt gering, denn es gilt für 0 θ > : lim ( , ) 1 T g T θ →∞ = . Mit fortschreitender Vertragsdauer bzw. sinkender Restlaufzeit nimmt der Dämpfungseffekt zu, denn es gilt 0 lim ( , ) 0 T g T θ → = . Aus Sicht eines Altersvorsorgesparers ist dies ein sehr erwünschter Effekt, da mit näher rückendem Rentenbeginn das Sicherheitsbedürfnis zunimmt. A BBILDUNG 4 -1: Dämpfungseffekt bezogen auf die Ablaufrendite in Abhängigkeit von der Restlaufzeit des Vertrages; a=0, ˆ 10% σ = , 0 ˆ 0 ρ = , {0.1,0.2,...,0.5} θ ∈ In den folgenden Abbildungen wollen wir das Rendite-Risiko-Profil im ( , ) σ µ - Diagramm illustrieren: σ steht hierbei für das Risiko der Anlage, gemessen als annualierte Volatilität und µ steht für die erwartete Rendite, gemessen als stetiger Jahreszins. Als Referenzkurve dient die arbitragefreie Kapitalmarktkurve (vgl. Abschnitt Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 66 - 2.2); sie entspricht dem Rendite-Risiko-Profil des Investments mit einer Constant-MixStrategie, bei der zu jedem Zeitpunkt die Aktienquote (bezogen auf die aktuellen Marktwerte) konstant sind. Wenn wir eine reine LM-Strategie unterstellen (a = 0; das Portfoliorisiko wird nicht angepasst), so ist ( ) D T η normalverteilt; dies bedeutet, dass wir die Risikoprofile miteinander vergleichen können. Die Abbildung 4.2. zeigt die Wirkung des Glättungsfaktors θ auf das Rendite-RisikoProfil; bei einem niedrigen Wert für θ ändert sich die Deklaration nur sehr träge. Allerdings ist zu beachten, dass für niedrige Werte vo θ auch die Ruinwahrscheinlichkeit zunimmt. A BBILDUNG 4 -2: Rendite-Risiko-Profil, LM-Strategie (a = 0), T = 5 und {0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5} θ ∈ . Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 67 - A BBILDUNG 4 -3: Rendite-Risiko-Profil, LM-Strategie (a= 0) 0.4 θ = und {1, 2,5,10,30} T ∈ . In Abbildung 4.3 ist die Abhängigkeit des Rendite-Risiko-Profils vom Anlagehorizont T dargestellt; für einen langen Anlagehorziont ist der Glättungseffekt bezogen auf die Rendite schwach. In den obigen Darstellungen wurde unterstellt, dass 0 a = und 0 ˆ 0 ρ = . Wir untersuchen nun den Effekt der Parameter a und 0 ˆ ρ auf das Rendite-Risikoprofil. Für 0 a ≠ ist allerdings zu beachten, dass die ( ) D T η nicht normalverteilt ist und somit das hier dargestellte Rendit-Risiko-Profil nur bedingt geeignet ist, den Zusammenhang von Rendite und Risiko zu vergleichen. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 68 - A BBILDUNG 4 -4: Rendite-Risiko-Profil, 0.4 θ = , 5 T = , 0 ˆ 0 ρ = und {0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4} a ∈ . A BBILDUNG 4 -5: Rendite-Risiko-Profil, 0.4 θ = , 20 T = , 0 a = und 0 ˆ { 0.1, 0.05, 0, 0.05, 0.1} ρ ∈ − − . Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 69 - 4.2 Anlegerstress während der Vertragslaufzeit Im letzten Abschnitt haben wir das Anlagerisiko auf die Rendite bei Ablauf des Vertrages (d.h. zu Beginn der Rentenbezugs) untersucht. Implizit wird also unterstellt, dass der Altersvorsorgesparer ausschließlich auf den Zeitpunkt des Ablaufs des Vertrages fokussiert ist. Wir wollen nun den Anlegerstress während der Vertragslaufzeit analysieren. Hierzu vergleichen wir die Constant-Mix-Strategie mit der Volatilität einer Anlage in das Versichertenportfolio ( ) 0 ( ) t T V t ≤ ≤ . Der Wertprozess ( ) ( ) 0 0 ˆ ( ) ( , ) t t P t P t σ ≥ ≥ = einer Constant-Mix-Strategie mit der gleichbleibenden Risikoexposition ˆ σ wird im Black-Scholes-Modell durch die folgende SDG beschrieben: ( ) ˆ ˆ ( ) ( ) t dP t P t dt dW µ σ = + (mit Drift 2 1 2 ˆ ˆ ˆ : SR r µ µ σ σ = + − ). ˆ σ können wir also als den (gleichbleibenden) Anlegerstress interpretieren. Im Vergleich hierzu ist der Wertprozess ( ) 0 ( ) t T V t ≤ ≤ lokal sicher, also stressfrei, denn ( ) ( ) ( ) dV t V t t dt η = . Gleichwohl handelt es sich langfristig nicht um eine sichere Anlage, denn wegen ˆ ( ) ( ) ( ) t t t η µ θρ = + führt eine schwankende Reserve zu schwankenden Deklarationen. Die folgende Abbildung 4-6 soll zunächst den „Glättungsprozess“ illustrieren: Betrachtet wird die Wertentwicklung einer Einmalanlage vom Betrag 1. Ist der Sparer unmittelbar am Anlageerfolg beteiligt, so führen Wertschwankungen am Kapitalmarkt unmittelbar zu gleichgerichteten Wertänderungen des Sparkapitals. Investiert der Sparer hingegen in das Versichertenguthaben, so werden Wertschwankungen durch Einschaltung der kollektiven Reserve dedämpft – die Wertentwickung erfolgt daher gleichmäßig. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 70 - A BBILDUNG 4 -6: Illustration des Glättungseffekts; unterstellt wird das lineare Modell mit 0 ˆ ˆ 3%, 0.25, 0.4, 0, 0.2, 0 SR r a µ θ σ ρ = = = = = = Wir wollen zunächst ein sinnvolles Schwankungsmaß für den Deklarationsprozess ( ) ( ) t η definieren. Wir setzen ( ) ( ) ( ) 22 2 0 0 1 1 ( ): ( ) ( ) ( ) ( ) T T D D Stress T t T dt t dt T T T η η η η η   = − = −     ∫ ∫ E E E . (Gl. 4-7) ( ) Stress T η ist das stetige Analogon zur Standardabweichung einer stochastischen Zeitreihe; ( ) 0 Stress T η = genau dann wenn ( ) t η f.s. konstant ist. ( ) Stress T η ist also ein sinnvolles Schwankungsmaß für den Deklarationsprozess. Bemerkung: Dieses Schwankungsmaß kann nicht ohne weiteres auf die Anlage in ein Constant-MixPortfolio übertragen werden, da man nicht sinnvoll eine momentane Verzinsung definieren, sondern jeweils nur für einen Zeitabschnitt 0 ∆> die (annualisierte) Rendite bestimmen kann: ( ) ˆ 1 ( ) ˆ ( ) ln ( ) t t P t x t W W P t σ µ ∆ −∆   = = + −   ∆ − ∆ ∆   , (Gl. 4-8) Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 77 - ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 2 2 2 3 2 (1 2 ) exp( ) 1 3 2 2 4exp( ) 4exp( ( )) ( ) ˆ 2 1 e exp( 2 ) 1 exp (2 ) 1 2exp( ) 1 exp( 1 exp p( ) ˆ( ) x T T T T T T T T T T T T T T T VStress T T θ θ σ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ρθ ∆    − + + − ∆ − − +    ∆ ∆ ∆      =           + ∆       − − − − − ∆ + − −   ∆         + − − ∆ + + −∆   ∆ ∆   + − − − + ( )( ) ( ) ) exp( ) 1 1 exp( ) 1 exp( ) TT T θ θ θ θ   ∆ − − − −     ∆ + ∆   (Gl. 4-14) ( ) ( ) 22 2 0 ˆ1 exp( ) 1 exp( 2 ) 2 1 1 1 2 2 1 exp( ) 1 exp( ) ˆ2 2 ( ) T T T T T T T T T Stress T T T σ θ θ θ θ θ θ θ ρ θ η θ       =           − − − −   − − −   +     − − − −   − + −     (Gl. 4-15) ( ) 2 2 ˆ lim ( ) 1 exp( ) 1 T VStress T σ θ θ ∆ →∞ =∆ − −∆   −   ∆   (Gl. 4-16) ( ) 2 2 l m 2 i ˆ ( ) T Stress T θ ησ →∞ = (Gl. 4-17)  Berechnung des Glättungseffekts Geht man davon aus, dass der Anleger nur einmal jährlich die Performance seiner Kapitalanlage überprüft, so werden wir 1 ∆= setzen. Wir setzen ( ) ( ) 2 2 0 0 ( ) 1 1 ˆ ( , , , ): ( ) ( ) ˆ ( ) T D Stress T T g a T t dt T PStress T T T η θ ρ η η σ ∆ ∆ ∆ = = − − ∆ ∫ E E ; (Gl. 4-18) Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 78 - 24 3 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ . 2 ( ) (2 ( ) ˆ ( , , ): li ) 3 m( 2 ) ) ( T SR a Stress T g a P a ar a a a a Stres T a s θσ θ σ θ θ θ η θ θ θ σ θ ∆→∞ ∆   ∆  + − +       − − −  =− = −    (Gl. 4-19) Hierbei ist zu beachten, dass 0 ˆ ( , , , ) g a T θ ρ ∆ im Allgemeinen auch von der Sharpe-Ratio SR r abhängt. Im Fall a=0 gilt: ( ) 0 2 2 2 0 exp( 2 )(2 ) 8exp( ˆ ( 0 ) 6 5 2 ˆ 4 ( , ) , , )g T T T a T T T A T T θ θ θ θ θ θρ θ ρ ∆ ∆ − + − − + + − ∆ = − + = ; (Gl. 4-20) wobei ( ) ( ) 2 1 exp( ) exp( )(2 ) 2 :ˆ2 ( ) T T T T AT T θ θ θ θ σ − − − + + − ∆ =− ∆ Wir können ˆ ( , , , , ) SR g r a T θ ρ ∆ bzw. ( , , ) SR g r a θ ∆ als Stressreduktions-Faktor interpretieren; der Faktor gibt an, um wieviel Prozent der Stress durch den kollektiven Risikoausgleich gemindert wird. Hierbei ist zu beachten, dass die tatsächliche Stressreduktion durch den Glättungsmechanismus noch etwas stärker ist, denn es gilt für T ∆ < . 0 ( ) ( ) ˆ ( , , , ) ( ) ( ) VStress T Stress T g a T PStress T PStress T η θ ρ ∆∆ ∆ ∆ < = ; (Gl. 4-21) Für die numerische Auswertung wollen wir nunmehr stets 1 ∆ = unterstellen. Als Referenzmodell wählen wir: 0 ˆ 0.25, 0, 0, 0.4, 30 SR r a T ρ θ = = = = = ; dann gilt ( )( ) 1 12 0 1 exp( ) 3 exp( ) exp( 2 ) 5 ˆ ( 0, , 0, 2 2( 1) 2 1 )( ) T T T T T gT TT a θ θ ρ θ θ θ θ − − − − − − + − = = + − = und 1 0 ˆ ( 0, , 0) 2 g a θ ρ θ = == Wir betrachten zunächst die Abhängigkeit von der Laufzeit T des Vertrages – vgl. Abb. 4-8. Bei kurzen Vertragsdauern ist der stressreduzierende Effekt besonders ausgeprägt Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 79 - A BBILDUNG 4 -8: Stressreduktion im lineare Modell: Stressreduktion in Abhängigkeit von T ( 0 ˆ 0; 0.4; 0 a θ ρ = = = ). Abbildung 4 -9: Stressreduktion im lineare Modell: Stressreduktion in Abhängigkeit von θ ( 0 ˆ 0; 0; 30 .a T bzw T ρ = = = = ∞ ) 0 ˆ ( , , , ) g a T θ ρ =∞ 0 ˆ ( , , , ) g a T θ ρ Laufzeit T 0 ˆ ( , , , ) g a T θ ρ =∞ 0 ˆ ( , , , ) g a T θ ρ Anpassungsgeschwindikeit θ Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 80 - A BBILDUNG 4 -10: Stressreduktion im lineare Modell: Stressreduktion in Abhängigkeit von a für 0.25 SR r = bzw. 0.35 SR r = ( 0 ˆ 0.4; 0; 30 .T bzw T θ ρ = = = = ∞ ) Rendite-Risiko-Profil Wir wollen abschließend noch das Risikoprofil einer Constant-Mix-Anlage mit der Anlage in einen kollektiven Sparprozess vergleichen. Als Risikokennzahl wählen wir hier den oben definierten Anlegerstress, wobei wir als Beobachtungsintervall 1 ∆ = wählen. Dies bedeutet, dass der Anleger einmal pro Jahr seine Kapitalanlage überprüft. Im Folgenden gehen wir von einer Einmalanlage vom Betrage 1 und einem festen Anlagehorizont T aus. Dann ergibt sich für eine Constant-Mix-Anlage mit gleichbleibender Risikoexposition ˆ 0 σ > ein Endvermögen von ( ) P T und eine erwartete Rendite von ( ) 2 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ln ( ) SR P T r T µ µ σ σ   = = + −     E , und ein einen Anlegerstress von 1 1 1 1 ˆ ˆ ( ) T PStress T T T σ σ ∆= −   = − =   ∆   . Durchläuft nun ˆ σ das Intervall [0, ] M σ , so können wir 0 ˆ ( , , , 30), 0.25 SR g a T r θ ρ = = 0 ˆ ( , , , ), 0.25 SR g a T r θ ρ = ∞ = 0 ˆ ( , , , ), 0.35 SR g a T r θ ρ = ∞ = 0 ˆ ( , , , 30), 0.35 SR g a T r θ ρ = = a Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 81 - 2 1 2 ˆ 0 1 ˆ ˆ ˆ , M SR Tr T σ σ σ µ σ σ ≤ ≤   −+ −       als das Rendite-Risiko-Profil einer Constant-Mix-Anlage interpretieren. Bis auf den Faktor 1 T T − entspricht das Rendite-Risiko-Profil dem „Anlageuniversum“ im hier unterstellen einfachen Kapitalmarktmodell (vgl. Abbildung 2-4). Betrachtet man die Kapitalmarktparameter µ (sicherer Zins) und SR r (Sharpe-Ratio) als gegeben, so hängt das Rendite-Risikoprofil lediglich von ˆ σ und T ab. Bei einer Anlage in ein kollektives Sparvermögen ergibt sich im linearen Modell eine erwartete Rendite von (vgl. Proposition 4-1) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 exp ( 2 ) 1 ( 2 ) ˆˆ ˆ ( ) 2 2 D a t a t a T Restterm T a θ θ σ η µ ρ θ − − − − = − + ⋅ − E und einen Anlegerstress von ( ) 2 0 1 ( ) ( ) ( ) T D Stress T t T dt T η η η   = −     ∫ E . (Gl. 4-22) Das Rendite-Risiko-Profil ( ) ( ) ˆ 0 ( ), ( ) M D Stress T T σ σ η η ≤ ≤ E von Kapitalmarktparametern sicherer Zins ( µ ) und der Sharpe-Ratio ( SR r ), dem Anlagehorizont (T), der Risikoexposition ˆ σ , dem Reservepuffer zu Beginn ( 0 ˆ ρ ) und den Steuerungsparametern a und θ ab. Bei unseren Vergleichsrechnungen unterstellen wir folgendes Basisszenario: µ = 0.03 SR r = 0.25 M σ = 0.2 T = 30 ∆ = 1 0 ˆ ρ = 0 θ = 0.4 a = 0 Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 82 - A BBILDUNG 4 -11: Rendite-Risiko-Profil: Vergleich Constant-Mix-Portfolio vs. Kollektiv-Sparen; Basisszenario ( 0 a = ) mit verschiedenen θ -Werten. A BBILDUNG 4 -12: Rendite-Risiko-Profil: Vergleich Constant-Mix-Portfolio vs. Kollektiv-Sparen; Basisszenario ( 0.4 θ = ) mit verschiedenen a-Werten. Risiko: PStress/ Stress η Constant-Mix 0.6 θ = 0.4 θ = 0.2 θ = Risiko: PStress/ Stress η Constant-Mix a = 0.4 a = 0.2 a = 0 Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 83 - A BBILDUNG 4 -13: Rendite-Risiko-Profil: Vergleich Constant-Mix-Portfolio vs. Kollektiv-Sparen; Basisszenario ( 0, 0.4 a θ = = ) mit verschiedenen Werte für den anfänglichen Reservepuffer 0 ˆ ρ . Die obigen Abbildungen verdeutlichen nochmals den Nutzen eines kollektiven Sparprozesses in Bezug auf das Rendite-Risiko-Verhältnis. Stellt man wie hier auf den Anlegerstress ab, so wird der Vorteil des kollektiven Sparens noch deutlicher als wenn man wie in Abschnitt 4.1 lediglich auf die Volatilität der Ablaufrendite abstellt. Risiko: PStress/ Stress η Constant-Mix 0 ˆ ρ = + 0.1 0 ˆ ρ = 0 0 ˆ ρ = - 0.1 Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 84 - Literaturverzeichnis [Albrecht 1992] Albrecht, Peter: Zur Risikotransformationstheorie der Versicherung: Grundlagen und ökonomische Konsequenzen, Karlsruhe 1992. [Albrecht/ Dus/ Maurer/ Ruckpaul 2003] Albrecht, Peter; Dus, Ivica; Maurer, Raimond; Ruckpaul, Ulla: Langfristiger Sparplan versus Einmalanlage: Probable Minimum Wealth und Shortfallrisiken, Mannheimer Manuskripte zur Risikotheorie, Portfolio Management und Versicherungswirtschaft, Nr. 144, Mannheim Feb. 2003. 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