Ausgleichsrechnungen mit Gauß Markow Modellen am Beispiel eines fiktiven Stornobestandes

Forschung am IVW Köln, 8/2014 Institut für Versicherungswesen Ausgleichsrechnungen mit Gauß Markow Modellen am Beispiel eines fiktiven Stornobestandes Maria Heep-Altiner, Philipp Münchow, Vanessa Scuzzarello Forschung am IVW Köln, 8 / 2014 Wählen Sie ein Element aus. Maria Heep-Altiner, Philipp Münchow, Vanessa Scuzzarello Forschungsstelle FaRis Ausgleichsrechnungen mit Gauß Markow Modellen am Beispiel eines fiktiven Stornobestandes Zusammenfassung Die lineare Regression ist das bekannteste Verfahren zur Fehlerausgleichung, welches relativ einfach umgesetzt werden kann. Verallgemeinerte lineare Modelle sind eine zweckmäßige Erweiterung dieses Verfahrens, können aber aufgrund ihrer hohen Komplexität i. d. R. nur mit spezieller Software gerechnet werden. Aus diesem Grund wird in dieser Arbeit anhand eines fiktiven Storno-bestandes illustriert, wie man Ausgleichsrechnungen auch mit Hilfe von Gauß Markow Modellen durchführen kann, die mittels EXCEL und Visual Basic ebenfalls noch vergleichsweise einfach umsetzbar sind. Abstract Linear Regression is a well-known algorithm for error calibration being relatively easy to execute. Generalized linear models define a suitable enlargement of this algorithm. Normally, they can only be performed with special software packages according to their high complexity. Therefore, it will be illustrated in this paper how to carry out an error equalization for virtual lapse data by Gauss Markov models being relatively easy to implement in EXCEL and Visual Basic. Schlagwörter: Ausgleichsverfahren, Gauß Markow Modelle, Stornoanalyse, Versicherungsmathematik, Versicherungswissenschaft Inhaltsverzeichnis 1VORBEMERKUNGEN ................................................................................................................................ 1 1.1ALLGEMEINER ANSATZ EINER LINEAREN REGRESSION .......................................................................... 1 1.2GEWICHTETE MODELLE .......................................................................................................................... 2 1.3MULTIPLIKATIVE MODELLE .................................................................................................................... 2 1.4CREDIBILITY MODELLE ........................................................................................................................... 3 2GAUß MARKOW MODELLE ................................................................................................................... 4 2.1ALLGEMEINER ANSATZ EINES GAUß MARKOW MODELLS ................................................................... 4 2.2GEWICHTETE MODELLE .......................................................................................................................... 5 2.3QUALITATIVE MERKMALE ....................................................................................................................... 6  2.3.1Additiver Modellansatz ......................................................................................................... 7 2.3.2Multiplikativer Modellansatz ............................................................................................... 7 2.4TECHNISCHE UMSETZUNG MIT HILFE DER CHOLESKY ZERLEGUNG ..................................................... 7 3BERECHNUNGSBEISPIEL ......................................................................................................................... 9 3.1AUFBEREITUNG DER AUSGANGSDATEN ................................................................................................ 9 3.2KONZEPTION DES MODELLAUFBAUS .................................................................................................. 10 3.3ERMITTLUNG DES OPTIMALEN PARAMETERVEKTORS .......................................................................... 12 3.4ERMITTLUNG DER AUSGLEICHSWERTE ................................................................................................. 13 4MODELLVERGLEICHE ............................................................................................................................ 17 4.1GEWICHTETES ADDITIVES MODELL ...................................................................................................... 17 4.2UNGEWICHTETES ADDITIVES MODELL ................................................................................................. 19 4.3GEWICHTETES MULTIPLIKATIVES MODELL ........................................................................................... 21 4.4UNGEWICHTETES MULTIPLIKATIVES MODELL ..................................................................................... 24 5FAZIT ........................................................................................................................................................... 27 LITERATURVERZEICHNIS .............................................................................................................................. 29 ABBILDUNGSVERZEICHNIS ......................................................................................................................... 30 - 1 - 1 Vorbemerkungen Die lineare Regression ist das bekannteste Verfahren zur Fehlerausgleichung, welches relativ einfach umgesetzt werden kann. Verallgemeinerte lineare Modelle sind eine zweckmäßige Erweiterung dieses Verfahrens, können aber aufgrund ihrer hohen Komplexität i. d. R. nur mit spezieller Software gerechnet werden. Aus diesem Grund wird in dieser Arbeit anhand eines fiktiven Stornobestandes illustriert, wie man Ausgleichsrechnungen auch mit Hilfe von Gauß Markow Modellen durchführen kann, die mittels EXCEL und Visual Basic noch vergleichsweise einfach umsetzbar sind. 1.1 Allgemeiner Ansatz einer linearen Regression Die allgemeine Idee bei einer linearen Regression besteht darin, dass man durch eine Datenmenge die (bzgl. eines geeigneten Beurteilungskriteriums) bestmögliche Gerade legt. Dazu betrachtet man zunächst einmal die Gleichungssysteme Y 1 = a + b · X1 + ε1 Y2 = a + b · X2 + ε2 … Yn = a + b · Xn + εn mit tY = (Y1, Y2, …, Yn) Realisationen einer Beobachtungsvariablen, tX = (X1, X2, …, Xn) Realisationen einer Erklärungsvariablen und tε = (ε1, ε2, …, εn) Realisationen einer Fehlervariablen. Gesucht werden Parameter (a, b) derart, dass die Fehlerquadrate S(a, b) = ∑ i (Yi – (a + b · Xi))2 minimal werden. Betrachtet man die Nullstellen der partiellen Ableitungen (∂/∂a) S und (∂/∂b) S, so erhält man die Bedingungen -2 · ∑ i (Yi – (a + b · Xi)) = 0  a = E[Y] – b · E[X] -2 · ∑ i (Yi – (a + b · Xi)) · Xi = 0  b = COV[X, Y] / VAR[X] mit E[Y] = 1/n · ∑ i Yi E[X] = 1/n · ∑ i Xi COV[X, Y] = E[(X – E[X]) · (Y – E[Y])] VAR[X] = COV[X, X] = E[(X – E[X])2]. Die so ermittelten Parameter (a, b) definieren eine Gerade durch die Daten derart, dass das arithmetische Mittel des Fehlers null und die Fehlervarianz minimal ist. Die Qualität der linearen Regression kann durch den Korrelationskoeffizienten - 2 - ρ X, Y = COV[X, Y] /(VAR[X] · VAR[Y])0,5 gemessen werden. Das Bestimmtheitsmaß ρ2 gibt dabei an, wieviel Prozent der Varianz der Beobachtungswerte durch das Modell erklärt werden, wobei insbesondere gilt: VAR[ε] = (1 – ρ2) · VAR[Y]. Die so ermittelte Gerade ist im Hinblick auf das gewählte Optimierungskriterium die bestmögliche Wahl. Das bedeutet aber nicht, dass eine Ausgleichung durch eine Gerade das beste Verfahren darstellt, da es möglicherweise andere als lineare Zusammenhänge gibt. Man muss also in jedem Fall die Struktur der Fehler analysieren und überprüfen, ob die Annahme eines linearen Zusammenhangs plausibel ist. Es gibt mehrere relativ simple Verallgemeinerungen dieses einfachen Ansatzes, die nachfolgend kurz erläutert werden. 1.2 Gewichtete Modelle In dem zuvor erläuterten Modell gehen alle Daten mit gleichem Gewicht 1/n in die Fehlerausgleichung ein. Häufig hat man jedoch Gewichtungen (w1, w2, …, wn), d. h. manche Datenpunkte haben ein höheres Gewicht als andere, so dass eine gute Ausgleichung in diesen Punkten wichtiger ist als in anderen Punkten. In diesem Fall ist es zweckmäßig, nicht die Fehlerquadrate S(a, b), sondern die gewichteten Fehlerquadrate S(a, b, w) = ∑ i wi · (Yi – (a + b · Xi))2 zu minimieren. Man erhält konzeptionell die gleichen Lösungen – allerdings mit den arithmetischen Mitteln, Varianzen und Kovarianzen bezüglich der auf Eins normierten Gewichte. 1.3 Multiplikative Modelle Betrachtet man anstelle von Y1, Y2, …, Yn und X1, X2, …, Xn die logarithmierten Werte LN(Y1), LN(Y2), …, LN(Yn) und LN(X1), LN(X2), …, LN(Xn), dann ergibt sich nach Re-Transformation der linearen Regressionsgerade ein multiplikativer Zusammenhang Y i = a* · (Xi)b · ε*i In diesem Fall ist nicht mehr die Summe des re-transformierten Fehlers ε* null, sondern das Produkt ist gleich Eins. Somit stimmt auch nicht das arithmetische Mittel der Beobachtungen mit dem arithmetischen Mittel der modellierten Werte überein, sondern mit dem geometrischen Mittel. Bei Anwendungen von Gewichten ergibt sich hier entsprechend das gewichtete geometrische Mittel. Logarithmiert man nur die Beobachtungen, dann erhält man einen exponentiellen Modellansatz Y i = a* · (b*)Xi · ε*i - 3 - Dieser Modellansatz eignet sich gut bei Zeitreihenanalysen, wo die erklärende Variable ein Zeitparameter t ist, d. h. man hat dann mit Yt = a* · (b*)t · ε*t den klassischen Ansatz für multiplikative Zeittrends. 1.4 Credibility Modelle Bei manchen Zeitreihen ist der bestmögliche additive oder multiplikative Trend u. U. zu stark, so dass man – insbesondere bei sehr kleinem Bestimmtheitsmaß – für eine gute Prognose in die Zukunft nicht darauf vertrauen sollte. In diesem Fall kann man als Prognosewert den sogenannten Credibility Wert CW CW = ρ2 · RW + (1 – ρ2) · EW, RW der Regressionswert und EW der Erwartungswert ansetzen, wobei dieser Schätzer dann keine minimale Fehlervarianz hat. Dennoch hat der Schätzer andere vernünftige Eigenschaften: - Er ist erwartungstreu. - Er hat eine maximal 25% höhere Fehlervarianz als der Regressionsschätzer. - Bei kleinem Bestimmtheitsmaß stimmt er fast mit dem Erwartungswert überein. - Bei hohem Bestimmtheitsmaß stimmt er fast mit dem Regressionswert überein. Dieser Schätzwert ist somit ein guter Kompromiss zwischen dem Erwartungswert und dem Regressionswert als Schätzer. Im folgenden Abschnitt wird erläutert, wie man durch Gauß Markow Modelle weitere Verallgemeinerungen der linearen Regression erhalten kann. - 4 - 2 Gauß Markow Modelle In diesem Abschnitt wird zunächst der allgemeine Gauß Markow Ansatz kurz erläutert (siehe hierzu auch [1]), wobei im Anschluss illustriert wird, wie man mit Hilfe geeigneter Transformationen des Modells auch Gewichtungen mit einbeziehen kann. Dies ist gerade bei versicherungsmathematischen Analysen sehr zweckmäßig, da es hier häufig natürliche Gewichtungen durch Prämien, Jahreseinheiten, Exposures (wie etwa Versicherungssummen) oder Schadenanzahlen gibt. 2.1 Allgemeiner Ansatz eines Gauß Markow Modells Die zuvor erläuterte lineare Regression kann auch als Y = X · β + ε mit einem Beobachtungsvektor Y, einer (n x m) Designmatrix X, einem Parametervektor β und einem Fehlervektor ε dargestellt werden, wobei für die Designmatrix 1 X1 X = … … 1 Xn und für den Parametervektor tβ = (a, b) gilt. In einer konsequenten Matrixschreibweise gilt für die Quadrate der Fehler die Darstellung S(β) = t(Y – X · β) · (Y – X · β) = ( tY · Y – 2 · tβ · tX · Y + tβ · tX · X · β) Für den Vektor der ersten partiellen Ableitungen (∂/∂β) S gilt dann die Beziehung (∂/∂β) S = -2 · (tX · Y – tX · X · β) = 0, woraus dann für das Minimum die Gleichung tX · X · β = tX · Y bzw. für den geschätzten (besten) Parametervektor β° = (tX · X)-1 · (tX · Y) folgt, sofern die Matrix X Maximalrang hat. Aus dieser Gleichung erhält man sofort eine Beziehung tX · (Y – X · β°) = tX · ε = 0. Sofern also die Designmatrix X den Offsetvektor tO = (1, 1, …, 1) als Spalte enthält (was bei der linearen Regression der Fall ist), dann ergibt sich für die Summe der Abweichungen zwischen den Beobachtungen und den modellierten Werten die Beziehung ∑ i 1 · (Yi – (β°1 · 1 + β°2 · Xi, 2 + … + β°m · Xi, m) = ∑ i εi = 0, - 5 - d. h. die modellierten Werte sind erwartungstreu und die Bedingung der kleinsten Quadrate korrespondiert zu der Bedingung einer minimalen Fehlervarianz. Unter der Annahme eines normalverteilten Fehlers (z. B. bei Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes) ist der so geschätzte Parametervektor β° dann auch ein Maximum Likelihood Schätzer. Bei anderen Verteilungsannahmen gilt das nicht unbedingt; hier muss man ggf. mit anderen Methoden wie beispielsweise verallgemeinerten linearen Modellen arbeiten. Die zuvor skizzierte Designmatrix für die lineare Regression kann jetzt beispielsweise sehr leicht um weitere Terme wie folgt ergänzt werden: 1 X1 X 12 … X1k X = … … … … … 1 Xn X n2 … Xnk Eine Gauß Markow Ausgleichung liefert hier das bestmögliche Polynom k-ten Grades. Durch Logarithmieren kann man auch multiplikative Zusammenhänge modellieren – etwa bei Annahme von lognormalverteilten Zufallsvariablen. Allerdings minimiert man dann den Fehler nicht in der normalen Darstellung, sondern nur in der transformierten Darstellung. In diesem Fall ergibt sich die Erwartungstreue nur im Hinblick auf das geometrische Mittel. 2.2 Gewichtete Modelle Für die Optimierung unter Berücksichtigung einer Gewichtung kann man zunächst einmal das transformierte Modell V · Y = V · X · β + V · ε, mit einer beliebigen Transformationsmatrix V betrachten. Sofern der transformierte Fehler t(V · ε) · (V · ε) = tε · (tV · V) · ε minimiert werden soll, ergibt sich eine Lösung β° = (tX* · X*)-1 · (tX* · Y*) mit X* = V · X und Y* = V · Y. Falls V eine Diagonalmatrix ist, gilt tV = V bzw. tV · V = V2. Bei einer Gewichtung w1, …, wn ergibt sich dann für W = Diag( … wi …) = Diag(… wi0,5 …)2 = V2 für die gewichteten Fehlerquadrate tε · W · ε = tε · V2 · ε = tε · (tV · V) · ε ein modifizierter Optimierungsansatz β° = (tX · W · X)-1 · (tX · W · Y) = (tX* · X*)-1 · (tX* · Y*). - 6 - Bei diesem Modell werden die quadratischen Abweichungen des transformierten Fehlervektors tε* = (v1 · ε1, …., vn · εn) minimiert. Sofern die Designmatrix X einen Offsetvektor enthält, wird dieser in der transformierten Designmatrix X* zu einem Vektor t(v1, …, vn), so dass die Summe der Fehler jetzt nicht mehr null ist. Für die Fehlerabweichungen gelten die Beziehungen ∑ i vi · ε*i = ∑ i vi2 · εi = ∑ i wi · εi = 0 ∑ i (ε*i)2 = ∑ i vi2 · εi2 = ∑ i wi · εi2 = minimal. Sofern die Gewichte auf Eins normiert sind, sind die modellierten Werte also im Hinblick auf den gewichteten Erwartungswert erwartungstreu bei minimaler (gewichteter) Fehlervarianz. 2.3 Qualitative Merkmale Bei qualitativen Merkmalen ergibt sich ein anderer Aufbau für die Designmatrix. Hierzu betrachtet man mi,j definiert als die j-te Ausprägung des i-ten Merkmals. Setzt man eine Offsetvariable für eine Basisausprägung für jedes Merkmal mi, dann ist die Designmatrix wie folgt definiert: 1 … … … X = … … δi, j, k … 1 … … … mit δi, j, k = (mi(k) = mi,i) · 1 für mi(k) die Ausprägung des i-ten Merkmals des Beobachtungswerts Yk (mit Ausnahme der Basisausprägungen, die in der Offsetvariablen abgebildet sind). Der Gauß Markow Ansatz entspricht jetzt einem Gleichungssystem Yk = β0 + ∑ βi, j · δi, j, k + εk. Bei einem multiplikativen Modell ergibt sich das Gleichungssystem LN(Yk) = β0 + ∑ βi,j · δi, j, k + εk bzw. Yk = f0 · ∏ fi, j, k · Ek mit fi, j, k = 1 falls mi(k) ≠ mi,i und Ek = EXP(εk). Dieser Ansatz soll in dieser Arbeit für die Stornowahrscheinlichkeiten Yk = STk / JEmax, k für STk die Anzahl der Stornos und JEmax, k die (maximalen) Jahreseinheiten in der k-ten Zelle diskutiert werden. Hierbei ist zu beachten, dass man für eine korrekte Einschätzung der Stornowahrscheinlichkeiten nicht die Jahreseinheiten bis zum Stornozeitpunkt, sondern die im konkreten Jahr maximal möglichen Jahreseinheiten ansetzt. (Für eine präzise Herleitung siehe [2].) - 13 - Abbildung 5: Cholesky Zerlegung – gewichtetes additives Modell (1). Der zweite Teil der der Cholesky Zerlegung tX* · X* = C · tC in die obere Dreiecksmatrix tC zusammen mit der Lösung des Gleichungssystems tC · β* = z ist nachfolgend abgebildet: Abbildung 6: Cholesky Zerlegung – gewichtetes additives Modell (2). Die hier dargestellte Cholesky Zerlegung wurde explizit in EXCEL auf Basis einer fest vorgegebenen Struktur gerechnet. Das Verfahren kann aber relativ einfach mit Visual Basic dynamisiert werden. 3.4 Ermittlung der Ausgleichswerte Durch Anwendung von β° auf X* erhält man jetzt die modellierten Werte für den transformierten Beobachtungsvektor Y*, die man dann wieder auf die Ausgangswerte zurück transformieren kann. Wie bereits erläutert ist der gewichtete Fehlererwartungswert für die transformierten Werte null, siehe dazu auch den nachfolgenden Auszug aus den Ergebnissen. Ziel Lösung Offset 2012 2011 2010 2009 25 35 55 75 111195%105% t X* · Y* Hilfsw. 11,931 0,583 0,405 -0,007 -2,201 0,332 0,246 0,104 0,316 0,070 0,364 -0,279 -0,103 -0,155 0,078 2113,372 11,931 177 442,507 0,583 34 70 435,174 0,405 35 -17 68 429,675 -0,007 38 -18 -24 66 320,010 -2,201 39 -19 -24 -36 56 615,425 0,332 49 0 1 0 0 79 800,341 0,246 66 1 1 -1 -3 -41 75 277,842 0,104 24 0 0 -1 -1 -15 -29 51 105,006 0,316 8 1 0 0 -1 -5 -10 -11 34 827,352 0,070 69 0 1 -2 0 1 -1 1 2 86 1320,853 0,364 108 0 -1 2 0 -1 0 1 -2 1 86 517,187 -0,279 45 000010-10 1-177 324,353 -0,103 28 -1 -1 3 0 -1 -2 -3 -2 0 2 0 64 163,011 -0,155 14 0000-1-110 1-10048 784,015 0,078 65 0 0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 -2 0 -19 83 Ziel Lösung Offset 2012 2011 2010 2009 25 35 55 75 111195%105% Hilfsw . Beta 0,078 -0,012 -0,016 -0,021 -0,039 0,009 0,006 0,004 0,010 0,001 0,004 -0,004 -0,002 -0,003 0,001 11,931 0,078 177 34 35 38 39 49 66 24 8 69 108 45 28 14 65 0,583 -0,012 070-17-18-190101 000-1 00 0,405 -0,016 0068-24-241100 1-10-1 00 -0,007 -0,021 00066-360-1-10-2203 00 -2,201 -0,039 0000560-3-1-1 0000 00 0,332 0,009 0000079 -41 -15 -5 1 -1 1 -1 -1 -1 0,246 0,006 00000075 -29 -10 -1 0 0 -2 -1 -1 0,104 0,004 000000051-11 1 1-1-3 1-1 0,316 0,010 0 000000034 2-20-2 00 0,070 0,001 0 0000000086110 10 0,364 0,004 0 00000000 086 -1 2 -1 0 -0,279 -0,004 0 00000000 0077 0 0 -2 -0,103 -0,002 0 00000000 00064 0 0 -0,155 -0,003 0 00000000 000048 -19 0,078 0,001 0 00000000 0000 083 - 14 - Abbildung 7: Auszug aus den modellierten Werten – gewichtetes additives Modell. Alternativ wurde auch ein gewichtetes multiplikatives Modell gerechnet, wobei sich dabei nur der Beobachtungsvektor geändert hat; Gewichtung und Designmatrix blieben gleich. In der nachfolgenden Abbildung sind die Ergebnisse (nach Re-Transformation durch die Exponentialfunktion) hierfür aufgelistet. Jahr Alter Geschl. Verh. Beamter Y* X* ∙ β°ε*STW° Abw. 0,067 0,000 0,003 0,000 0,003 2013 18 0 0 0 0,913 0,601 0,312 0,078 0,041 2013 18 0 0 0 0,000 0,200 -0,200 0,075 -0,075 2013 18 0 0 0 0,612 0,518 0,095 0,079 0,014 2013 18 0 0 0 0,367 0,209 0,158 0,077 0,058 2013 18 0 0 0 0,535 0,138 0,396 0,074 0,212 2013 18 0 0 0 0,000 0,220 -0,220 0,078 -0,078 2013 18 0 0 1 0,224 0,333 -0,109 0,075 -0,025 2013 18 0 0 1 0,000 0,102 -0,102 0,072 -0,072 2013 18 0 0 1 0,000 0,239 -0,239 0,076 -0,076 2013 18 0 0 1 0,000 0,103 -0,103 0,073 -0,073 2013 18 0 0 1 0,000 0,070 -0,070 0,070 -0,070 2013 18 0 0 1 0,459 0,161 0,297 0,074 0,136 2013 18 0 1 0 0,566 0,729 -0,163 0,083 -0,018 2013 18 0 1 0 0,000 0,264 -0,264 0,080 -0,080 2013 18 0 1 0 0,262 0,638 -0,376 0,083 -0,049 2013 18 0 1 0 0,241 0,335 -0,094 0,081 -0,023 2013 18 0 1 0 0,562 0,139 0,423 0,078 0,238 2013 18 0 1 0 0,000 0,201 -0,201 0,082 -0,082 2013 18 0 1 1 0,499 0,474 0,025 0,079 0,004 2013 18 0 1 1 0,000 0,076 -0,076 0,076 -0,076 2013 18 0 1 1 0,676 0,354 0,322 0,080 0,073 2013 18 0 1 1 0,371 0,208 0,163 0,077 0,061 2013 18 0 1 1 0,000 0,002 -0,002 0,075 -0,075 2013 18 0 1 1 0,000 0,078 -0,078 0,078 -0,078 - 15 - Abbildung 8: Auszug aus den modellierten Werten – gewichtetes multiplikatives Modell. Zwar ist auch beim gewichteten multiplikativen Modell die gewichtete Fehlersumme gleich null und die gewichtete Fehlervarianz minimal. Da durch die Logarithmierung aber auch sehr weit nach unten gehende negative Werte auftreten, ist die Fehlervarianz deutlich höher als beim gewichteten additiven Modell. Beim multiplikativen Modell ist wie bereits erläutert nach der Re-Transformation der gewichtete Erwartungswert der Abweichungen nicht mehr null. Im vorliegenden Beispiel ist aufgrund der sehr hohen Fehlervarianz bei den Logarithmen nach Anwendung der Exponentialfunktion die Abweichung sogar erheblich, was auf eine eher „bescheidene“ Modelleignung hindeutet. Sofern man das multiplikative Modell dennoch wählen möchte, muss man die modellierten Stornowahrscheinlichkeiten anpassen, damit man zumindest Erwartungstreue erhält, siehe dazu die nachfolgende Abbildung. Jahr Alter Geschl. Verh. Beamter Y* X* ∙ β°ε*STW° Abw. -3,807 0,000 6,208 0,019 0,004 2013 18 0 0 0 -16,328 -21,063 4,735 0,064 0,055 2013 18 0 0 0 -30,460 -14,378 -16,083 0,004 -0,004 2013 18 0 0 0 -15,462 -20,671 5,209 0,042 0,052 2013 18 0 0 0 -5,457 -14,850 9,393 0,004 0,131 2013 18 0 0 0 -2,344 -15,230 12,887 0,000 0,285 2013 18 0 0 0 -32,563 -16,606 -15,957 0,003 -0,003 2013 18 0 0 1 -13,351 -18,652 5,301 0,015 0,035 2013 18 0 0 1 -16,282 -9,712 -6,570 0,001 -0,001 2013 18 0 0 1 -36,407 -14,540 -21,868 0,010 -0,010 2013 18 0 0 1 -16,282 -9,738 -6,543 0,001 -0,001 2013 18 0 0 1 -11,513 -9,574 -1,939 0,000 0,000 2013 18 0 0 1 -3,396 -15,920 12,524 0,001 0,210 2013 18 0 1 0 -24,263 -19,115 -5,148 0,115 -0,051 2013 18 0 1 0 -38,184 -16,094 -22,090 0,008 -0,008 2013 18 0 1 0 -25,762 -19,726 -6,036 0,076 -0,041 2013 18 0 1 0 -11,779 -20,182 8,403 0,008 0,051 2013 18 0 1 0 -2,051 -13,452 11,401 0,001 0,315 2013 18 0 1 0 -28,201 -12,956 -15,244 0,005 -0,005 2013 18 0 1 1 -14,941 -21,611 6,670 0,027 0,056 2013 18 0 1 1 -11,513 -6,286 -5,227 0,002 -0,002 2013 18 0 1 1 -8,339 -17,810 9,471 0,018 0,135 2013 18 0 1 1 -5,334 -16,975 11,641 0,002 0,136 2013 18 0 1 1 -0,364 -0,284 -0,080 0,000 0,000 2013 18 0 1 1 -11,513 -6,723 -4,790 0,001 -0,001 - 16 - Abbildung 9: Auszug aus den angepassten Werten – gewichtetes multiplikatives Modell. Die Modifizierung der Modellwerte liefert erwartungstreue Werte mit vergleichsweise geringer Fehlervarianz, wobei hier aber keine Interpretation als Maximum Likelihoodschätzer möglich ist. In dieser Hinsicht passt das Gauß Markow Modell nur wirklich gut bei einem additiven Modell. Jahr Alter Geschl. Verh. Beamter STW° Abw. STW° mod Abw. mod 0,019 0,004 27,7% 0,006 2013 18 0 0 0 0,064 0,055 0,082 0,037 2013 18 0 0 0 0,004 -0,004 0,006 -0,006 2013 18 0 0 0 0,042 0,052 0,054 0,040 2013 18 0 0 0 0,004 0,131 0,005 0,129 2013 18 0 0 0 0,000 0,285 0,000 0,285 2013 18 0 0 0 0,003 -0,003 0,004 -0,004 2013 18 0 0 1 0,015 0,035 0,020 0,031 2013 18 0 0 1 0,001 -0,001 0,001 -0,001 2013 18 0 0 1 0,010 -0,010 0,013 -0,013 2013 18 0 0 1 0,001 -0,001 0,001 -0,001 2013 18 0 0 1 0,000 0,000 0,000 0,000 2013 18 0 0 1 0,001 0,210 0,001 0,210 2013 18 0 1 0 0,115 -0,051 0,147 -0,083 2013 18 0 1 0 0,008 -0,008 0,010 -0,010 2013 18 0 1 0 0,076 -0,041 0,096 -0,062 2013 18 0 1 0 0,008 0,051 0,010 0,048 2013 18 0 1 0 0,001 0,315 0,001 0,315 2013 18 0 1 0 0,005 -0,005 0,006 -0,006 2013 18 0 1 1 0,027 0,056 0,035 0,048 2013 18 0 1 1 0,002 -0,002 0,002 -0,002 2013 18 0 1 1 0,018 0,135 0,023 0,130 2013 18 0 1 1 0,002 0,136 0,002 0,136 2013 18 0 1 1 0,000 0,000 0,000 0,000 2013 18 0 1 1 0,001 -0,001 0,002 -0,002 - 17 - 4 Modellvergleiche Im Abschnitt zuvor wurden die Berechnungen für ein gewichtetes additives Gauß Markow Modell von Stornowahrscheinlichkeiten erläutert und ein erster Vergleich mit einem gewichteten multiplikativen Modell vorgenommen. In diesem Abschnitt wird ergänzend dazu eine intensive Diskussion der Modelleigenschaft durchgeführt, insbesondere für das  additive bzw. multiplikative Modell und das  gewichtete bzw. ungewichtete Modell. Dabei werden Kriterien zur Beurteilung der Modellqualität eingeführt und diskutiert. 4.1 Gewichtetes additives Modell Das gewichtete additive Modell ist im Hinblick auf die gewählte Gewichtung erwartungstreu, so dass keine Modifikation in dieser Hinsicht nötig ist. Die wichtigsten Resultate dieses Modells sind nachfolgend zusammengefasst: Gewichteter Fehlererwartungswert 0,000 Gewichtete Fehlervarianz 0,003 Abweichung Erwartungstreue in % 0,0% Minimum modellierte Werte 3,1% Maximum modellierte Werte 9,4% Fehlervarianz modellierte Werte 0,003 Korrelation transformierte Werte 66,4% Korrelation Ausgangswerte 10,0% Korrelation Ausgangswerte gewichtet 26,3% Die gewichtete Fehlervarianz ist vergleichsweise klein, wobei beim additiven Modell kein Unterschied zwischen der Fehlervarianz des transformierten und des Beobachtungswertes vorliegt. Die modellierten Werte für die Stornowahrscheinlichkeiten liegen innerhalb einer sehr kleinen Bandbreite. Bei den transformierten Werten (für die die Ausgleichung ja durchgeführt wurde) ist die Korrelation zwischen transformierten Beobachtungen und den ausgeglichenen Werten recht hoch; die Korrelation zwischen den Beobachtungswerten und den zurück transformierten ausgeglichenen Werten ist mit 26,3% aber nicht besonders ausgeprägt. In der nachfolgenden Abbildung sind die beobachteten Werte gegen die modellierten Werte für die transformierten Werte geplottet (wobei im Idealfall alle Werte auf der Gerade Y = X liegen sollten). Darüber hinaus ist die zu den Daten gehörende Regressionsgerade in die geplotteten Daten eingefügt worden. - 18 - Abbildung 10: Beobachtung vs. Modell – gewichtetes additives Modell (1). Bei den transformierten Werten lässt sich ein deutlicher Zusammenhang erkennen, der nach Rück-Transformation aber deutlich weniger markant hervortritt, siehe dazu auch die nachfolgende Abbildung. Abbildung 11: Beobachtung vs. Modell – gewichtetes additives Modell (2). - 19 - Die Häufung der Beobachtungswerte bei null liegt daran, dass sehr häufig kein Storno beobachtet wurde, beispielsweise bei sehr wenigen Jahreseinheiten. Bei einem gewichteten Modell ist bei diesen Datenpunkten die Modellanpassung relativ beliebig, da sie ja gerade nicht ins Gewicht fällt. Die Beobachtungswerte bei 100% ergaben sich durch die Begrenzung der fiktiv erzeugten Werte, die teilweise über 100% lagen, wenn sich z. B. ein Storno auf 0,4 Jahreseinheiten bezieht. Da die meisten Beobachtungswerte unter 40% liegen und die Kumulierung bei 0% keine weitere Aussagekraft hat als dass der Bestand zu gering war, ist nachfolgend noch einmal für die rück-transformierten Werte der Plot im Bereich von 5% bis 40% dargestellt. Abbildung 12: Beobachtung vs. Modell – gewichtetes additives Modell (3). Man kann einen leichten Trend im unteren Bereich bis ca. 15% erkennen, der aber nicht sehr spezifisch ist. 4.2 Ungewichtetes additives Modell Die wichtigsten Eckdaten des ungewichteten additiven Modells sind nachfolgend zusammengefasst: Fehlererwartungswert 0,000 Fehlervarianz 0,013 Abweichung Erwartungstreue in % 0,0% Minimum modellierte Werte 2,1% Maximum modellierte Werte 10,4% Fehlervarianz modellierte Werte 0,013 Korrelation transformierte Werte 13,6% - 20 - Die Fehlervarianz fehlt deutlich höher aus als beim gewichteten Modell, wobei die modellierten Werte etwas deutlicher spreizen, aber immer noch in einer überschaubaren Bandbreite liegen. Da hier keine Transformation durchgeführt wurde, unterscheiden sich die verschiedenen Korrelationen nicht, so dass hier nur ein Wert angegeben wurde. Die Korrelation ist deutlich kleiner als zuvor. Die beobachteten versus modellierten Werte sind in der nachfolgenden Abbildung geplottet, wobei die Regressionsgerade in die geplotteten Daten eingefügt wurde. Die Häufung bei null ergibt sich wieder aus den vorinitialisierten Werten. Abbildung 13: Beobachtung vs. Modell – ungewichtetes additives Modell (1). Für eine bessere Übersicht ist wieder auch der Bereich von 5% bis 40% dargestellt ist, siehe dazu die nachfolgende Abbildung. - 21 - Abbildung 14: Beobachtung vs. Modell – ungewichtetes additives Modell (2). Der Zusammenhang ist noch unspezifischer und weniger bis gar nicht erkennbar als beim gewichteten Modell. 4.3 Gewichtetes multiplikatives Modell Zunächst einmal sind auch für dieses Modell die wichtigsten Kenngrößen nachfolgend zusammengefasst: Gewichteter Fehlererwartungswert 0,000 Gewichtete Fehlervarianz 6,208 Abweichung Erwartungstreue in % 27,7% Minimum modellierte Werte 0,0% Maximum modellierte Werte 27,8% Fehlervarianz modellierte Werte 0,006 Korrelation transformierte Werte 48,4% Korrelation Ausgangswerte 3,3% Korrelation Ausgangswerte gewichtet 12,0% Die gewichtete Fehlervarianz für die Modellvariable ist jetzt deutlich höher als bei den additiven Modellen, da nach dem Logarithmieren jetzt auch sehr stark negative Werte auftreten, insbesondere durch die Gewichtung. Aufgrund dieser hohen Varianz bei den (gewichteten) Logarithmen weicht das Modell sehr stark von der Erwartungstreue ab, so dass man entsprechend modifizieren muss. Nach der Modifikation ist die Fehlervarianz bei den Stornowahrscheinlichkeiten allerdings wieder sehr gering. - 22 - Abbildung 15: Beobachtung vs. Modell – gewichtetes multiplikatives Modell (1). Bei den transformierten Werten ergibt sich eine erhöhte (wenn auch nicht besonders hohe) Korrelation, wobei der Zusammenhang in den geplotteten Daten durchaus erkennbar ist, siehe auch die obige Abbildung. Die modifizierten modellierten Werte spreizen deutlich stärker als bei den additiven Modellen, wobei jetzt der Wert null als Minimum auch ziemlich nah erreicht wird. Die gewichtete Korrelation ist ähnlich gering wie beim ungewichteten additiven Modell und deutlich geringer als bei den transformierten Werten, für die die Ausgleichung ja durchgeführt wurde. Die geplotteten Werte für die beobachteten Ausgangswerte mit den rücktransformierten (und im Hinblick auf Erwartungstreue angepassten) Ausgleichswerten sind in der nachfolgenden Abbildung dargestellt. - 29 - Literaturverzeichnis [1] Koch: Parameterschätzungen und Hypothesentests in linearen Modellen. Dümmler, Bonn, 1980. [2] Scuzzarello: Stornoanalyse bei einem Schadenversicherungsbestand. Master Arbeit, Institut für Versicherungswesen, Fakultät für Wirtschaftsund Rechtswissenschaften, Fachhochschule Köln, Köln, 2014. [3] Kahlenberg: Storno und Profitabilität in der Privathaftpflichtversicherung. Eine Analyse unter Verwendung von univariaten und bivariaten verallgemeinerten linearen Modellen. Aachen, Shaker Verlag, 2005. - 30 - Abbildungsverzeichnis Abbildung 1: Auszug aus der komprimierten Beobachtungsdatei. ...............................................10 Abbildung 2: Auszug aus den transformierten Werten – gewichtetes additives Modell. .....11 Abbildung 3: Auszug aus der transformierten Designmatrix – gewichtetes Modell. ..............12 Abbildung 4: Transformierte Lösungsmatrix – gewichtetes additives Modell. .........................12 Abbildung 5: Cholesky Zerlegung – gewichtetes additives Modell (1). ........................................13 Abbildung 6: Cholesky Zerlegung – gewichtetes additives Modell (2). ........................................13 Abbildung 7: Auszug aus den modellierten Werten – gewichtetes additives Modell. ...........14 Abbildung 8: Auszug aus den modellierten Werten – gewichtetes multiplikatives Modell. 15 Abbildung 9: Auszug aus den angepassten Werten – gewichtetes multiplikatives Modell. 16 Abbildung 10: Beobachtung vs. Modell – gewichtetes additives Modell (1). .............................18 Abbildung 11: Beobachtung vs. Modell – gewichtetes additives Modell (2). .............................18 Abbildung 12: Beobachtung vs. Modell – gewichtetes additives Modell (3). .............................19 Abbildung 13: Beobachtung vs. Modell – ungewichtetes additives Modell (1). .......................20 Abbildung 14: Beobachtung vs. Modell – ungewichtetes additives Modell (2). .......................21 Abbildung 15: Beobachtung vs. Modell – gewichtetes multiplikatives Modell (1). .................22 Abbildung 16: Beobachtung vs. Modell – gewichtetes multiplikatives Modell (2). .................23 Abbildung 17: Beobachtung vs. Modell – gewichtetes multiplikatives Modell (3). .................23 Abbildung 18: Beobachtung vs. Modell – ungewichtetes multiplikatives Modell (1). ............24 Abbildung 19: Beobachtung vs. Modell – ungewichtetes multiplikatives Modell (2). ............25 Abbildung 20: Beobachtung vs. Modell – ungewichtetes multiplikatives Modell (3). ............26 Impressum Diese Veröffentlichung erscheint im Rahmen der Online-Publikationsreihe „Forschung am IVW Köln“. Alle Veröffentlichungen dieser Reihe können unter www.ivw-koeln.de oder hier abgerufen werden. Forschung am IVW Köln, 8/2014 Heep-Altiner, Münchow, Scuzzarello: Ausgleichsrechnungen mit Gauß Markow Modellen am Beispiel eines fiktiven Stornobestandes Köln, September 2014 ISSN (online) 2192-8479 Herausgeber der Schriftenreihe / Series Editorship: Prof. Dr. Lutz Reimers-Rawcliffe Prof. Dr. Peter Schimikowski Prof. Dr. Jürgen Strobel Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschaftsund Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Web www.ivw-koeln.de Schriftleitung / Contact editor’s office: Prof. Dr. Jürgen Strobel Tel. +49 221 8275-3270 Fax +49 221 8275-3277 Mail [email protected] Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschaftsund Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Gustav Heinemann-Ufer 54 50968 Köln Kontakt Autor / Contact author: Prof. Dr. Maria Heep-Altiner Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschaftsund Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Gustav Heinemann-Ufer 54 50968 Köln Tel. +49 221 8275-3449 Fax +49 221 8275-3277 Mail [email protected]