Vereinfachter Nat Cat Modellierungsansatz zur Rückversicherungsoptimierung

Forschung am IVW Köln, 3/2014 Institut für Versicherungswesen Vereinfachter Nat Cat Modellierungsansatz zur Rückversicherungsoptimierung Maria Heep-Altiner, Sebastian Hoos Forschung am IVW Köln 3/2014 Maria Heep-Altiner, Sebastian Hoos Vereinfachter Nat Cat Modellierungsansatz zur Rückversicherungsoptimierung Zusammenfassung Für eine angemessene Modellierung von Nat Cat Risiken (beispielsweise im Zusammenhang mit einer Rückversicherungsoptimierung) verwendet man üblicherweise Event Loss Tabellen, die von professionellen externen Anbietern mit regelmäßigen Aktualisierungen zur Verfügung gestellt werden. Diese Modelle sind i. d. R. sehr kostspielig, so dass sie oft nur von Rückversicherern oder Rückversicherungsmaklern für die Anwendung auf die eigenen K undenportfolios lizenziert werden. Alternativ dazu kann mit öffentlich verfügbaren Informationen eine (wenn auch im Vergleich zu professionellen exte rnen Modellen) vereinfachte Nat Cat Modellierung durchgeführt werden, die Erkenntnisse für eine Rückversich erungsoptimierung ermöglicht. Abstract In order to model Nat Cat risks suitably (for example with respect to reinsurance optimization), event loss tables provided and regularly updated by external modelling companies are usually applied. Those models are normally quite expensive such that they are often only licensed by reinsurers or reinsurance brokers for application to their own client portfolios. Alternatively, a simplified Nat Cat modelling approach (in contrast to professional external los s event tables) can be achieved on the base of publicly available information that enables an analysis with respect to reinsurance optimization. Schlagwörter: Nat Cat Modellierung, Empirische Verteilung, Verteilungsanpassung, Kollektives Model Keywords: Nat Cat Modelling, Customized Distribution, Distribuion Fit, Frequency Severity Model Inhaltsverzeichnis 1VORBEMERKUNGEN ................................................................................................................................ 1 2PARAMETRISIERUNG ............................................................................................................................... 3 2.1SCHADENBEDARF RÜCKVERSICHERUNGSRELEVANTER EREIGNISSE ...................................................... 3 2.1.1Verteilung der Eventhöhen ................................................................................................... 3 2.1.2Verteilung der Eventanzahl .................................................................................................. 7 2.2SCHADENBEDARF INSGESAMT ............................................................................................................... 9 3MODELLANSATZ ..................................................................................................................................... 10 3.1SIMULATIONSMODELL .......................................................................................................................... 10 3.1.1Marktmodell .......................................................................................................................... 10 3.1.2Unternehmensspezifisches Modell ................................................................................... 11 3.1.3Unternehmensspezifisches Volatilitätsmodell .............................................................. 14 3.2EVENT LOSS TABELLEN ......................................................................................................................... 17 4BERECHNUNGSBEISPIELE .................................................................................................................... 19 4.1INPUT & MODELLPARAMETER.............................................................................................................. 19 4.1.1Unternehmen 1 ..................................................................................................................... 19 4.1.2Unternehmen 2 ..................................................................................................................... 20 4.2GESAMTRECHNUNG INKL. RV OPTIMIERUNG ...................................................................................... 21 4.2.1Unternehmen 1 ..................................................................................................................... 21 4.2.2Unternehmen 2 ..................................................................................................................... 23 5FAZIT ........................................................................................................................................................... 25 LITERATURVERZEICHNIS .............................................................................................................................. 27 ABBILDUNGSVERZEICHNIS ......................................................................................................................... 28 - 1 - 1 Vorbemerkungen Für eine angemessene Modellierung von Nat Cat Risiken (beispielsweise im Zusammenhang mit einer Rückversicherungsoptimierung) verwendet man üblicherweise Event Loss Tabellen, die von professionellen externen Anbietern mit regelmäßigen Aktualisierungen zur Verfügung gestellt werden. Diese Modelle sind i. d. R. sehr kostspielig, so dass sie oft nur von Rückversicherern oder Rückversicherungsmaklern für die Anwendung auf die eigenen Kundenportfolios lizenziert werden. Alternativ dazu kann mit öffentlich (oder teilweise öffentlich) verfügbaren Informationen eine (wenn auch im Vergleich zu professionellen externen Modellen) vereinfachte Nat Cat Modellierung durchgeführt werden, die Erkenntnisse für eine Rückversicherungsoptimierung ermöglicht. So hat beispielsweise der Gesamtverband der Deutschen Versicherungswirtschaft (GDV) auf Basis vorhandener Schadeninformationen den Nat Cat Schadenbedarf für Kraftfahrt Kasko modelliert und in einer Studie für die Mitgliedsunternehmen (siehe [1] und [2]) veröffentlicht. Darüber hinaus sind diese Ergebnisse in ein EXCEL Modellierungstool eingegangen, mit dem unternehmensindividuell eine Nat Cat Schadenverteilung auf Basis der individuellen Exposurestruktur gerechnet werden kann. Alle Berechnungen erfolgen dabei in der Wertigkeit von 2008. Für alle darauf folgenden Jahre wird im Tool der nachfolgende Fortschreibungsalgorithmus SB2008 + t = SB2008 · (1 + 2,32% · t) · BIP2008 + t / BIP2008 angesetzt, wobei SB den Schadenbedarf und BIP das Bruttoinlandprodukt bezeichnet. Der GDV Ansatz geht also von einer (additiven) Inflationierung von 2,32% pro Jahr zusätzlich zur (multiplikativen) BIP Inflationierung aus. Dieser zusätzliche Inflationstrend wurde auf Basis der Daten aus der Vergangenheit geschätzt (siehe [1]). Da dieses Tool auf der Gesamtschadenverteilung beruht, können Brutto Schadenbedarfe für die Tarifierung und Eigenkapitalbedarfe gerechnet werden. Eine Nettobetrachtung hingegen kann kaum sinnvoll abgebildet werden, da eine Gesamtschadenverteilung nur die Abbildung einer Rückversicherungsquote ermöglicht. Dies entspricht aber nicht der klassischen Rückversicherungsstruktur bei Nat Cat Schäden wie beispielsweise Kumulschadenexzedenten. GDV Studien wenden sich primär an Erstversicherungsunternehmen als Mitglieder des GDV; Rückversicherungsaspekte stehen daher auch nicht im Fokus solcher Studien. Die Einschränkung auf einen Gesamtverteilungsansatz (der eine geeignete Rückversicherungsmodellierung verhindert) war bei dieser Studie allerdings nicht zwingend, da in diese Studie durchaus auch Einzelereignisse mit detaillierten Eventinformationen eingegangen sind, die den Mitgliedern zur Verfügung gestellt wurden. Hierbei handelte es sich um (im - 2 - Hinblick auf die Schadenhäufigkeit) „signifikante“ Hagelereignisse wie z. B. den sogenannten „Münchner Hagel“ von 1984. Auf Basis dieser Informationen wäre es möglich, nach entsprechender Aufbereitung zumindest für die signifikanten Hagelereignisse eine Frequency / Severity Modellierung (= kollektives Modell, siehe dazu auch [3]) durchzuführen. Dies würde die Anwendung von Kumulschadenexzedenten ermöglichen. Der verbleidende Schadenaufwand (kleinere Hagelereignisse und alle anderen Nat Cat Ereignisse wie etwa Überschwemmung) müssten nach wie vor als Basisschadenaufwand mit einer Gesamtschadenverteilung modelliert werden, auf die dann bestenfalls nur eine Vorabquote angewendet werden könnte. Derartige – im Hinblick auf die Schadenhäufigkeit als nicht signifikant deklarierte Ereignisse – sollten allerdings i. d. R. nicht oberhalb der Priorität eines Kumulschadenexzedenten liegen. Für eine Rückversicherungsoptimierung muss man alle signifikanten (d. h. alle rückversicherungsrelevanten) Schadenereignisse geeignet modellieren. Dazu gehört einerseits eine Datenaufbereitung (Revalorisationen und Exposureangleichungen), andererseits eine Auswahl geeigneter Verteilungsmodelle. Sofern man die Verteilungen modelliert hat, kann man einen Simulationsansatz durchführen, bei dem beispielsweise eine vorgegebene Rückversicherungsstruktur modelliert wird. Für einen derartigen Ansatz benötigt man nicht notwendigerweise eine professionelle Simulationssoftware, da schon EXCEL einen Zufallszahlengenerator zur Verfügung stellt, der allerding nicht an die Qualität kommerzieller Zufallszahlengeneratoren herankommt und der im Hinblick auf das Laufzeitverhalten nicht immer optimal ist. Ein allgemeiner Nachteil von Simulationsansätzen besteht allerdings darin, dass – sofern man nicht fixierte Zufallszahlen einliest – gleiche Inputs nicht gleiche, sondern nur ähnliche Outputs erzeugen. Dies kann man „heilen“, indem man die wichtigsten Ergebnisse eines festen Simulationslaufes fixiert – im Sinne von „Event Loss Tabellen“, die allerdings nicht mit professionellen Event Loss Tabellen verwechselt werden dürfen. Dieser Ansatz verbessert nicht nur das Laufzeitverhalten, sondern liefert auch im Sinne eines Algorithmus‘ exakt gleiche Outputs bei gleichen Inputs. Die „Event Loss Tabellen“ sind aber nicht gerade klein. Darüber hinaus kostet die Fixierung natürlich auch Flexibilität im Hinblick auf notwendige Modellanpassungen. In dieser Ausarbeitung sollen solche Vorgehensmodelle am Beispiel fiktiver Daten erläutert werden, die den verfügbaren Informationen aus [1] und [2] nachempfunden sind. Dies soll den einzelnen Erstversicherungsunternehmen ermöglichen, die verfügbaren Informationen in diesem und ggf. auch anderen Fällen tiefgehender verwenden zu können. - 3 - 2 Parametrisierung Um die Auswirkungen von Kumulschadenexzedenten testen zu können, benötigt man detaillierte Informationen für alle rückversicherungsrelevanten Events, die von der Höhe her in diesen Exzedenten fallen können. Für einen Kumulschadenexzedenten nicht relevante Ereignisse können ergänzend als Gesamtschadenbedarf modelliert werden, auf den dann nur noch eine Quote angewendet werden kann. Im Folgenden werden am Beispiel der zuvor eingeführten fiktiven Daten zweckmäßige Parametrisierungen und Verteilungsanpassungen erläutert. 2.1 Schadenbedarf rückversicherungsrelevanter Ereignisse Für rückversicherungsrelevante Ereignisse sollte in jedem Fall ein Frequency / Severity Modell (kollektives Modell gemäß [3]) angepasst werden, bei dem sowohl die Eventhöhen als auch die Eventanzahlen pro Jahr modelliert werden, ggf. mit einem Modell für einen Inflationierungstrend, falls die Informationen nicht regelmäßig aktualisiert zur Verfügung stehen. 2.1.1 Verteilung der Eventhöhen Die Schadenaufwendungen der rückversicherungsrelevanten Events müssen zunächst einmal auf das aktuelle Bezugsjahr inflationiert werden. Diese Inflationierung kann additiv, multiplikativ oder in einer Kombination aus beiden Ansätzen erfolgen. Weiterhin muss eine Exposureangleichung auf das aktuelle Bezugsjahr erfolgen. Diese kann erfolgen, indem man bezogen auf eine Exposureeinheit rechnet oder die Exposures der einzelnen Jahre auf das (ggf. geschätzte) Exposure des Bezugsjahres anpasst. In der nachfolgenden Tabelle ist ein Auszug aus den derart aufbereiteten Eventschadenhöhen für die verwendeten fiktiven Beispieldaten aufgelistet. - 4 - Abbildung 1: Revalorisierte und Exposureangepasste Eventhöhen in Mio. €. Bei der Verteilungsanpassung dieser Eventschadenhöhen wurde eine stetige „customized“ Verteilung (= Histogramm) wie folgt modelliert: xEs wurden 11 Quantile übereinstimmend mit den entsprechenden Quantilen der diskreten empirischen Verteilung gewählt. xMinimum und Maximum der customized Verteilung wurden anschließend (durch Zielwertsuche) derart ermittelt, dass Mittelwert und empirische Standardabweichung der diskreten empirischen Verteilung reproduziert wurden. xDie Auswahl der 11 Quantile erfolgte derart, dass die oberen Quantile gut reproduziert wurden. Im unteren Bereich wurden die Quantile derart gewählt, dass das Minimum der empirischen Verteilung gut reproduziert wurde. Die Auswahl der 11 Quantile für den Marktschadenbedarf in Mio. € und den Schadenbedarf je einzelner Exposureeinheit in € ist in der nachfolgenden Tabelle illustriert: Event Quantil SchadenNr. höhen Erw. 113,9 Std. 262,4 1 0,00% 11,8 8 5,00% 19,4 15 10,00% 23,1 36 25,00% 33,7 71 50,00% 55,0 106 75,00% 120,2 127 90,00% 213,8 134 95,00% 260,7 135 95,71% 260,7 136 96,43% 402,7 137 97,14% 413,3 138 97,86% 520,1 139 98,57% 533,7 140 99,29% 600,5 141 100,00% 2.973,5 - 5 - Abbildung 2: Customized Verteilungsanpassung. Im Vergleich zur empirischen Verteilung liefert diese Form einer customized Verteilungsanpassung noch einen „Auslauf“ für sehr hohe Events, die noch möglich sind, aber bisher noch nicht beobachtet wurden – wenngleich diese dann natürlich nur äußerst selten modelliert werden. Im Unterschied zu einer klassischen Anpassung beispielsweise mit einer Paretoverteilung ist dieser Verteilungsauslauf aber nach oben begrenzt. Da diese Form einer Verteilungsanpassung ziemlich viele der empirischen Quantile reproduziert, liefert sie natürlich auch relativ gute QQ-Plots der empirischen Quantile gegen die angepassten Quantile, siehe dazu die nachfolgenden Abbildungen: Abbildung 3: QQ-Plots der Eventschadenhöhen (1). Quantile Schaden Schaden Höhe Bedarf Erw. 113,9 2,65 Std. 262,4 6,11 0,00% 12,0 0,3 40,00% 45,6 1,1 50,00% 55,0 1,3 85,00% 163,9 3,8 90,00% 213,8 5,0 95,00% 260,7 6,1 95,71% 260,7 6,1 96,43% 402,7 9,4 97,14% 413,3 9,6 97,86% 520,1 12,1 98,57% 533,7 12,4 99,29% 600,5 14,0 100,00% 4.846,3 112,9 0 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 0 1.000 2.000 3.000 - 6 - Aus einer globalen Sicht weist die Anpassung eigentlich nur sehr hohe Abweichungen beim letzten „Beobachtungspunkt“ auf; dies war aber genau der gewünschte „Auslauf“ Effekt dieser Verteilungsanpassung. Abbildung 4: QQ-Plots der Eventschadenhöhen (2). Mit Ausnahme der Maxima beider Verteilungen sind die obersten Quantile aufgrund der Vorgehensweise bei der Verteilungsanpassung exakt getroffen; die meisten Eventschadenhöhen fallen jedoch deutlich niedriger aus. Abbildung 5: QQ-Plots der Eventschadenhöhen (3). Auch die weiteren oberen Quantile sind recht gut getroffen. Abweichungen (wenn auch nicht besonders markant) beobachtet man eher bei kleineren und mittleren Quantilen, die allerdings für eine Rückversicherungsoptimierung von geringerem Interesse sind. 0 250 500 750 0 250 500 750 0 50 100 150 200 250 0 50 100 150 200 250 - 13 - Y, Y* Basisschadenbedarf des Marktes bzw. VU spezifisch Bezeichnet man ebenfalls zur Vereinfachung mit P = PVU die VU individuelle Trefferwahrscheinlichkeit, dann kann man mit dieser Notation ein VU spezifisches Modell wie folgt konzipieren: N* = ∑ k ≤ N BP, k BP, k Binomial Verteilungen, P die Trefferwahrscheinlichkeit X* = X · IX I X der Eventhöhenindex Y* = Y · IY Iy der Basisschadenbedarfsindex Die Eventhöhensowie die Basisschadenbedarfsmodellierung erfolgt dabei proportional entsprechend der definierten Indizes. Bei der Modellierung der (diskreten) Eventanzahlen ist ein solch einfacher Ansatz nicht möglich; hier muss bei jedem gezogenen Event gemäß der individuellen Trefferwahrscheinlichkeit noch modelliert werden, ob ein Marktevent auch das Unternehmen trifft. Sofern dies jeweils unabhängig voneinander vorgenommen wird, gelten folgende Beziehungen: E[N*] = E[N] · P VAR[N*] = E[N] · P · (1 – P) + P2 · VAR[N] CV[N*]2 = (1/P – 1) / E[N] + CV[N]2 Sofern P ≠ 1 gilt, ist die Volatilität des VU spezifischen Eventanzahlmodells höher als diejenige des Marktmodells – desto höher, je kleiner P ist. Kombiniert man das (nichtproportionale) Modell für die Eventanzahl mit dem (proportionalen) Eventhöhenmodell, so ergeben sich für den VU spezifischen Großschadenbedarf folgende Parameter: E[S*] = E[N*] · E[X*] = E[N] · P · E[X] · IX = E[S] · IS VAR[S*] = E[N] · P · VAR[X] · IX2 + (E[X] · IX)2 · (E[N] · P · (1 – P) + P2 · VAR[N]) = (E[N] · (VAR[X] / P + E[X]2 · (1/P – 1)) + E[X]2 · VAR[N]) · IS2 = (E[N] · (VAR[X] + E[X]2) · (1/P – 1) + VAR[S]) · IS2 CV[S*]2 = (1/P – 1) · (CV[X]2 + 1) / E[N] + CV[S]2 Für P ≠ 1 ist die Volatilität des VU spezifischen Schadenbedarfs für Großschadenereignisse höher als die Volatilität des Marktschadenbedarfs. Aufgrund des rein proportionalen Modellansatzes beim Basisschadenbedarf ändert sich hier nichts an der Volatilität. Insgesamt ergibt sich also, dass die VU spezifische Volatilität ansteigt, wenn die Trefferwahrscheinlichkeit ungleich 100% ist. Der VU spezifische Modellansatz modelliert VU spezifische Erwartungswerte und Standardabweichungen. - 14 - Ein Simulationsansatz kann relativ einfach erstellt werden und ist dann auch sehr flexibel im Hinblick auf die denkbaren Anwendungen. Auf der anderen Seite ist (z. B. bei EXCEL) das Laufzeitverhalten nicht immer optimal. Der größte „Nachteil“ eines Simulationsanasatzes liegt aber darin, dass bei gleichem Input keinesfalls gleiche, sondern nur „ähnliche“ Outputs herauskommen. Dies ist – gerade Nichtmathematikern gegenüber – nicht immer einfach zu kommunizieren. Gleiche Outputs bei gleichen Inputs erhält man beispielsweise, wenn man ein festes Set von Zufallszahlen einliest und verarbeitet. Dies ändert aber nichts Wesentliches am Laufzeitverhalten. Eine andere Alternative besteht darin, die wichtigsten Outputs eines Simulationslaufes zu fixieren und darauf die gewünschten Funktionalitäten anzuwenden. Dieser Ansatz soll später noch skizziert werden. 3.1.3 Unternehmensspezifisches Volatilitätsmodell Typischerweise erhöht sich die Unternehmensspezifische Volatilität im Vergleich zur Marktvolatilität aufgrund der geringeren „Ausgleichsmöglichkeiten“ (= Diversifizierung, siehe dazu auch [4]). Dabei gibt es im Wesentlichen zwei Quellen für eine Erhöhung der Volatilität (beispielsweise ausgedrückt als Variationskoeffizient): 1. Geringeres Exposure im Vergleich zum Marktexposure und 2. höhere Konzentration im Vergleich zur Marktkonzentration. Im zuvor beschriebenen Modellansatz wird eine Volatilitätserhöhung nur beim Eventanzahlmodell abgebildet, nicht aber im Eventhöhenmodell; die Größe des Exposures spielt keine Rolle. Sofern für die Trefferquote P = 1 gilt, ergibt sich kein Volatilitätseffekt. Dies ist nicht in jedem Fall realistisch, da sich auch unterschiedliche Eventhöheneffekte aus einer sehr atypischen Konzentration der Exposureeinheiten ergeben können. In diesem Abschnitt soll skizziert werden, wie man ein sinnvolles Modell für Volatilitätseffekte beim Eventhöhenmodell konzipieren kann (in Anlehnung an [5]). Dazu betrachtet man den Marktschadenbedarf für Großschadenereignisse über alle Regionalbezirke / Distrikte D: S = ∑ wD · SD =: ∑ wD · IS, D · S°D =: ∑ vD · S°D mit ∑ wD = ∑ vD = 1. Die regionalen Schadenbedarfe sind also bis auf den Regionalindex IS, D Realisationen eines durchschnittlichen Schadenbedarfs S°. Falls man also davon ausgeht, dass die Durchschnittsbedarfe S°D unabhängig und identisch verteilt sind mit den Parametern μ und σ2, dann ist die Gewichtung S erteilt mit den Parametern μ und ∑ (vD)2 · σ2, wobei 1/n ≤ ∑ (vD)2 ≤ 1 gilt. Der kleinste Werte wird bei einer Gleichverteilung und der größte Wert bei einer extremen Konzentration angenommen. Bei einer abweichenden Konzentration S* = ∑ w*D · SD = ∑ w*D · IS, D · S°D ergeben sich folgende Beziehungen: E[S*] = IS · μ mit IS = ∑ w*D · IS, D - 15 - VAR[S*] = IS2 · ∑ (v*D)2 · σ2 mit v*D = w*D · IS, D / IS Setzt man dies in Bezug zum Marktschadenbedarf S, so ergeben sich folgende Beziehungen: E[S*] = IS · E[S] VAR[S*] = IS2 · VAR[S] · (1 + k) mit (1 + k) = ∑ (v*D)2 / ∑ (vD)2 der Volatilitätseffekt bedingt durch unterschiedliche Konzentrationen. Um nicht permanent die exakte Marktverteilung nachkarten zu müssen, wird im Folgenden vereinfacht davon ausgegangen, dass die Marktverteilung in der Regel relativ gleichförmig ist und somit ∑ (vD)2 nahe bei 1/n liegt, so dass approximativ k = n · ∑ (v*D)2 – 1 angenommen werden kann. Dadurch wird k gegebenenfalls etwas überschätzt; die Formeln sind dann aber einfacher. Der Parameter k hängt nur von der Verteilung des Exposures ab und nicht von der Eventtrefferquote, wobei aber relativ einleuchtend ist, dass bei einer hohen Konzentration das Unternehmen auch seltener von signifikanten Ereignissen getroffen wird. Extrem bizarre Verteilungen (beispielweise alle Exposureeinheiten in einem Bezirk bis auf jeweils eine einzige Exposureeinheit in den anderen Zulassungsbezirken und somit P = 1) kann dieser Ansatz allerdings nicht perfekt abfangen; hier kommt jedoch so ziemlich jedes vereinfachte Modell an seine natürlichen Grenzen. Bei einer Schadensummenverteilung ergibt sich der Gesamtvolatilitätseffekt aus einem Volatilitätseffekt bei der Eventanzahl (welcher für eine Trefferquote P < 1 bereits modelliert wurde) und einem Volatilitätseffekt bei der Eventhöhe. Das zuvor beschriebene Modell für die Eventhöhen kann man jetzt erweitern, indem man beispielsweise X* = X · IX · I* setzt, I* Lognormalverteilt mit den Parametern 1 und τ 2 sowie unabhängig zu X, so dass man VAR[X*] = IX2 · (VAR[X] · (1 + τ 2) + E[X]2 · τ2) = I X2 · VAR[X] · (1 + τ 2 · (1 + CV[X]-2)) = I X2 · VAR[X] · (1 + δ) erhält, wobei δ > 0 sowie δ = δP, k gilt. Für τ = 0 und damit auch δ = 0 ergibt sich die bereits erläuterte Multiplikation mit dem Eventhöhenindex IX ohne zusätzlichen Volatilitätseffekt bei den Eventhöhen. Im Folgenden sollen die Beziehungen zwischen δ, k und P illustriert werden. Zunächst einmal gilt wie zuvor IS = IX · P. Weiterhin gilt für die unternehmensindividuelle Eventanzahl E[N*] = P · E[N] VAR[N*] = P2 · VAR[N] · (1 + λ) mit λ = λP = (1/P – 1) · E[N] / VAR[N]. Sämtliche Überlegungen kann man jetzt wie folgt zusammenfassen: E[S*] = IS · E[N] · E[X] VAR[S*] = P2 · IX2 · (1 + k) · (E[N] · VAR[X] + E[X]2 · VAR[N]) - 16 - = E[N*] · VAR[X*] + E[X*]2 · VAR[N*] = P · IX2 · (1 + δ) · E[N] · VAR[X] + P2 · IX2 · (1 + λ) · E[X]2 · VAR[N] Diesen Ausdruck kann man nun wie folgt nach dem Volatilitätseffekt δ für die Eventhöhen auflösen: (1 + δ) = P · ((1+ k) + (k – λ) · E[X]2 · VAR[N] / (E[N] · VAR[X]), wobei P · λ · E[X]2 · VAR[N] / (E[N] · VAR[X]) = (1 – P) / CV[X]2 gilt. Somit kann man wie folgt zusammenfassen: δ = P – 1 + P · k · (1 + E[N] · (CV[N]2 / CV[X])2) – (1 – P) / CV[X]2 = P · k · (1 + E[N] · CV[N]2 / CV[X]2) – (1 – P) · (1 + 1/CV[X]2) = P · k · (1 + a) – (1 – P) · (1 + b) Der erste Term in dieser Gleichung ist immer positiv, der zweite Term ist immer negativ, wobei die Parameter a und b nur von den Verteilungsparametern der Eventanzahl und der Eventhöhe abhängen. Insgesamt soll δ ≥ 0 gelten. Für P = 1 ergibt sich der Volatilitätseffekt bei der Eventhöhe ausschließlich aus der Konzentration der Exposureeinheiten und den Verteilungsparametern der Eventanzahl und der Eventhöhe. Für P < 1 muss aufgrund der Definition in jedem Fall k > 0 gelten, d. h. es muss P · k · (1 + a) ≥ (1 – P) · (1 + b) gelten. Mit den Parametrisierungen des vorliegend Modells ergeben sich für folgende Werte: E[N] = 5,52 CV[N] = 43,1% CV[X] =230,4% 1 + a = 1 + 5,52 · (43,1% / 230,4%)2 = 1,194 1 + b = 1 + 1 / 230,4%2 = 1,188 Auf Basis dieser Werte ergeben sich die nachfolgenden Ungleichungen: k ≥ (1/P – 1) · (1 + b) / (1 + a) ≥ (1/P – 1) · 0,996 P ≥ (1 + 1,004 · k)-1 Bei insgesamt n Regionalbezirken / Distrikten gilt k ≤ n – 1, woraus dann eine Mindestabschätzung für P resultiert. Geht man davon aus, dass jeder Bezirk von mindestens einem Event getroffen wird, so gilt im vorliegenden Fall P ≥ 1/141 und man muss nur überprüfen, ob die Ungleichung 1/141 ≥ (1 + 1,004 · k)-1 bzw. 140 ≤ 1,004 · k ≤ 1,004 · (n – 1) bzw. n ≥ 0,996 · 140 – 1 - 17 - erfüllt ist, was bei mehr als 139 Regionalbezirken immer der Fall ist. Bei weniger Regionalbezirken kann man in jedem Fall δ = max (P · k · (1 + a) – (1 – P) · (1 + b); 0) setzen. Für δ = 0 wird dann nur die im vorherigen Abschnitt beschriebene Volatilitätsanpassung für die Eventanzahl durchgeführt. Die zuvor gerechneten Ungleichungen zeigen, dass es bei ausreichend vielen Regionalbezirken / Distrikten n einen hierzu zulässigen Konzentrationsparameter k* ≥ k mit k* ≤ kmax = n – 1 gibt. Der hier beschriebene Volatilitätsansatz für die Eventhöhen ist in den Beispielrechnungen im nächsten Kapitel nicht abgebildet. 3.2 Event Loss Tabellen Um alle Funktionalitäten und Modelle so wie zuvor skizziert rechnen zu können, muss man für einen (ausreichend großen!) Simulationslauf pro Simulation i mit N(i) simulierten Marktevents folgende Werte festhalten: xEventschadenhöhen X(i, j) pro Exposureeinheit für alle j ≤ N(i), xZufallszahlen Z(i, j) für alle j ≤ N(i) für die Anwendungen der Binomialverteilungen xBasisschadenbedarfe Y(i). Für jedes individuelle Unternehmen mit Trefferwahrscheinlichkeit P kann man dann folgende VU spezifischen Werte pro Simulation i (im Sinne einer festen Formel) rechnen: B P(i, j) = (Z(i, j) ≥ 1 – P) · 1 Indikator, ob das Event j das VU getroffen hat. S*(i, j) = X(i, j) · IX · BP(i, j) · EXP VU spezifische Eventhöhe für das Event j. S*(i) = ∑ S*(i, j) VU spezifischer Großschadenbedarf Y*(i) = Y(i) · IY · EXP VU spezifischer Basisschadenbedarf. Sofern man also die benötigten Ergebnisse in einer festen Datei abgespeichert hat, kann man eine Rückversicherungsstruktur als eine feste Formel anwenden und bekommt bei gleichen Inputs auch immer gleiche Outputs. Da man ausreichend viele Simulationen (z. B. 20.000) für aussagekräftige Ergebnisse braucht, sind die Outputdateien mit den Event Loss Tabellen u. U. sehr groß. Aus diesem Grund wurden bei der Eventmodellierung die Poisson Verteilung derart modifiziert, dass die Eventanzahl auf 15 begrenzt wurde. Unter Modellierungsgesichtspunkten war dies unerheblich, verringerte aber die Größe der Outputdatei signifikant. Sofern man mit einer festen Ergebnisdatei arbeitet, begrenzt man andererseits auch die Flexibilität der Anwendungen. Größere Modelländerungen sind hier nicht ohne weiteres durchführbar. Hier benötigt man ggf. wieder einen neuen Simulationslauf mit einer geänderten Outputstruktur. In der folgenden Tabelle sind die Vorund Nachteile unterschiedlicher Lösungsansätze noch einmal zusammengefasst. - 18 - Lösungsansatz Vorteile Nachteile Freier Simulationsansatz xHohe Flexibilität xEinfache Programmierung xLaufzeitverhalten xKeine Ergebnisidentität Fester Zufallszahleninput xFlexibilität xErgebnisidentität xLaufzeitverhalten xZusatzprogrammierung Feste Outputtabelle xBessere Laufzeiten xErgebnisidentität xWeniger Flexibilität xZusatzprogrammierung xDateigröße Ein freier Simulationsansatz kann am schnellsten umgesetzt werden und erfordert keine zusätzlichen Programmkomponenten. Da nichts fixiert ist, ist die Flexibilität natürlich auch am besten. - 19 - 4 Berechnungsbeispiele In diesem Abschnitt soll anhand von zwei Berechnungsbeispielen das zuvor erläuterte unternehmensspezifische Modell illustriert werden 4.1 Input & Modellparameter Um die Wirkungsweise zu beschreiben, sollen zwei Unternehmen mit jeweils einem Exposure von 250,0 Tsd. betrachtet werden, wobei VU 1 eine kleine Kopie des Gesamtmarktes und VU 2 ein regional stark in einigen sehr risikoexponierten Bezirken konzentriertes Unternehmen sein soll. Für diese beiden Beispielunternehmen wurden folgende Indizes ermittelt: VU 1 VU 2 VU Events in % der Gesamtevents 100,00% 20,00% VU Eventhöhenindex 100,00% 500,00% VU Basisschadenbedarfsindex 100,00% 100,00% Alle Berechnungen sollen ausgehend von den Werten des Basisjahres mit einer Inflationsanpassung von 119,4% auf das aktuelle Jahr erfolgen. Für beide Unternehmen ist der Großschadenbedarfsindex 100%, wobei sich im ersten Fall dieser Wert aus vielen Events mit durchschnittlicher Belastung (bezogen auf die insgesamt gleichförmig verteilten Exposureeinheiten) und im zweiten Fall aus wenigen Events mit extremer Belastung (bezogen auf die in sehr stark risikoexponierten Gebieten konzentrierten Exposureeinheiten) zusammensetzt. Somit sollten für beide Unternehmen die Erwartungswerte, nicht aber die Standardabweichungen gleich sein, siehe dazu die nachfolgenden Berechnungen. 4.1.1 Unternehmen 1 Für das erste Unternehmen ergeben sich alle Verteilungsparameter proportional zu den Marktverhältnissen, insbesondere gilt für die VU Events: E[N*] = 5,52 · 100% = 5,52 STD[N*] = (5,52 · 100% · (1 – 100%) + 100%2 · 2,382)1/2 = 2,38 Für die Eventschadenhöhen in T€ bei einem Exposure von 250,0 Tsd. ergeben sich die nachfolgenden Parameter in der aktuellen Wertigkeit: E[X*] = 2,65 · 119,4% · 100% · 250,0 = 792,3 STD[X*] = 6,11 · 119,4% · 100% · 250,0 = 1.825,3 - 20 - Gemäß der Formeln für das kollektive Modell ergeben sich die nachfolgenden Parameter für den Großschadenbedarf von Unternehmen 1 in T€: E[S*] = 5,52 · 792,3 = 4.376,7 STD[S*] = (5,52 · 1.825,32 + 792,32 · 2,382)1/2 = 4.686,9 Beim Basisschadenbedarf unterscheiden sich die beiden Unternehmen nicht. Für den Variationskoeffizienten des Großschadenbedarfs ergibt sich ganz allgemein aus den Formeln für das kollektive Modell CV[S*]2 = CV[X*]2 / E[N*] + CV[N*]2. Aufgrund des proportionalen Ansatzes stimmt der Variationskoeffizient von X* immer mit dem Variationskoeffizienten des Marktes überein. Der Variationskoeffizient des Großschadenbedarfs wird also nur von den Modelleigenschaften von N* beeinflusst; die Unternehmensgröße spielt keine Rolle. Bei Einbeziehung des zuvor erläuterten Volatilitätsfaktors für die VU spezifische Exposurekonzentration würde sich ggf. auch für dieses Unternehmen ein veränderter Variationskoeffizient ergeben. 4.1.2 Unternehmen 2 Für das zweite Unternehmen ist insbesondere das Eventanzahlmodell nicht proportional, wobei sich hier folgende Parameter ergeben: E[N*] = 5,52 · 20% = 1,10 STD[N*] = (5,52 · 20% · (1 – 20%) + 20%2 · 2,382)1/2 = 1,05 Der Variationskoeffizient für die Eventanzahl ist deutlich höher als beim ersten Unternehmen. Für die Eventhöhen gelten folgende Parameter: E[X*] = 2,65 · 119,4% · 500% · 250,0 = 3.961,7 STD[X*] = 6,11 · 119,4% · 500% · 250,0 = 9.126,4 Aus den Formeln für das kollektive Modell ergeben sich folgende Parameter für den Großschadenbedarf: E[S*] = 1,10 · 3.961,7 = 4.376,7 STD[S*] = (1,10 · 9.126,42 + 3.961,72 · 1,052)1/2 = 10.462,0 Zum Vergleich sind in der nachfolgenden Tabelle noch einmal die gerechneten Parameter für beide Unternehmen gegenüber gestellt. EW STD VK Anzahl der Events VU 1 VU 2 5,52 1,10 2,38 1,05 43,1% 95,4% - 21 - EW STD VK Eventschadenhöhe VU 1 VU 2 792,3 3.961,7 1.825,3 9.126,4 230,4% 230,4% Großschadenbedarf VU 1 VU 2 4.376,7 4.376,7 4.686,9 10.462,0 107,1% 239,0% Beim zweiten Unternehmen beobachtet man weniger Ereignisse, die das Unternehmen (bezogen auf die gesamten Exposureeinheiten) aber stärker treffen. Die Volatitiltät des Großschadenbedarfs ist deutlich höher als beim ersten Unternehmen. Dies hat insbesondere Auswirkungen bei Rückversicherungslösungen, da beim zweiten Unternehmen – trotz insgesamt gleichen Erwartungswerten wie beim ersten Unternehmen – Rückversicherungslayer eher getroffen werden als im ersten Fall. Derartige Auswirkungen kann man aber nur mit Simulationsansätzen einschätzen. 4.2 Gesamtrechnung inkl. RV Optimierung Beide Unternehmen haben einen erwarteten Großschadenbedarf von 4.376,7 T€, aber ein unterschiedliches Frequency / Severity Profil. Da das zweite Unternehmen im Schnitt nur etwas mehr als ein Event pro Jahr mit einer mittleren Schadenhöhe von etwas unter 4 Mio. € beobachtet, wird ein Kumulschadenexzedent 25 Mio. xs 5 Mio. in diesem Fall durchaus häufiger getroffen. Dies soll im Folgenden am Beispiel einer einzelnen Simulation der Brutto und der Nettoaufwände illustriert werden: 4.2.1 Unternehmen 1 Zunächst einmal muss der Brutto Großschadenaufwand simuliert werden, insbesondere die Anzahl der Events und die jeweilige Eventschadenhöhen. - 22 - Abbildung 9: Simulierte Anzahl der Events für VU 1. Für die Eventanzahl wurde die (relativ hohe) Zufallszahl 95,00% gezogen, so dass in einem solchen Jahr 10 Events anfallen. Das erste Unternehmen wird von allen diesen Unternehmen genauso getroffen wie auch der gesamte Markt. Für diese Events müssen nun (bezogen auf den Eventhöhenindex des Unternehmens) die jeweiligen Eventhöhen gezogen werden. Abbildung 10: Simulierte Eventschadenhöhen für VU 1. Gezogene Zufallszahl 95,00% EW VU 5,52 STD VU 2,38 NP(XN) P(X=N) Gesamt Events 00,4% 0,4% 12,6% 2,2% 1 28,7% 6,1% 1 320,0% 11,2% 1 435,5% 15,5% 1 552,6% 17,1% 1 668,4% 15,8% 1 780,9% 12,5% 1 889,5% 8,6% 1 994,7% 5,3% 1 10 97,7% 2,9% 1 Eventanzahl Inflation. 119,4% EW Gesamt 4.376,75 STD Gesamt 4.686,91 Gezogene Schadenhöhe Zufallszahl Brutto 91,2% 1.568,1 53,6% 461,4 62,6% 654,5 82,4% 1.084,4 85,4% 1.167,8 93,2% 1.695,8 55,8% 507,0 66,4% 736,5 76,9% 965,7 77,9% 986,8 Eventhöhe Impressum Diese Veröffentlichung erscheint im Rahmen der Online-Publikationsreihe „Forschung am IVW Köln“. Alle Veröffentlichungen dieser Reihe können unter www.ivw-koeln.de oder hier abgerufen werden. Forschung am IVW Köln, 3/2014 Heep -Altiner, Hoos: Vereinfachter Nat Cat Modellierungsansatz zur Rückversicherungsoptimierung Köln, Mai 2014 ISSN (online) 2192 -8479 Herausgeber der Schriftenreihe / Series Editorship: Prof. Dr. Lutz Reimers -Rawcliffe Prof. Dr. Peter Schimikowski Prof. Dr. Jürgen Strobel Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschafts - und Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sci ences Web www.ivw-koeln.de Schriftleitung / Contact editor’s office: Prof. Dr. Jürgen Strobel Tel. +49 221 8275 -3270 Fax +49 221 8275 -3277 Mail [email protected] Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschafts - und Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Gustav Heinemann -Ufer 54 50968 Köln Kontakt Autor / Contact author: P rof. Dr. Maria Heep-Altiner Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschafts - und Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Gustav Heinemann -Ufer 54 50968 Köln Tel. +49 221 8275 -3449 Fax +49 221 8275 -3277 Mail [email protected]