Bewertung von risikobehafteten Zahlungsströmen mithilfe von Markov-Ketten bei unterjährlicher Zahlweise

Forschung am IVW Köln, 6/2012 Institut für Versicherungswesen Bewertung von risikobehafteten Zahlungsströmen mithilfe von Markov-Ketten bei unterjährlicher Zahlweise Ralf Knobloch Zusammenfassung Zahlungsströme werden vielfach mit dem Barwert, d.h. der Summe der abgezinsten Zahlungen, bewertet. Handelt es sich dabei um Zahlungen, die nicht sicher, d.h. risikobehaftet sind, so gehen neben dem Zinssatz i.d.R. auch Wahrscheinlichkeiten in die Bewertung ein. Sowohl der Zinssatz als auch die Wahrscheinlichkeiten liegen dabei nor malerweise als Jahreswerte vor, die Zahlungen hingegen erfolgen meist unterjährlich. In der vorliegenden Arbeit wird für diesen unterjährlichen Fall ein auf der Theorie der Markov-Ketten basierendes Modell zur Barwertberechnung behandelt. Die unterjährlichen Wahrscheinlichkeiten ergeben sich dabei durch Linearisierung der Jahreswerte, als unterjährliches Zinsmodell wird die gemischte Verzinsung – alternativ mit dem relativen Zinssatz und dem konformen Zinssatz – betrachtet. Abstract Payment flows are often valued by the present value, i.e. the sum of the discounted payments. If the payments are not secure, i.e. they are fraught with risk, probabilities, apart from the interest rate, are generally considered in the evaluation, as well. Usually both the probabilities and the interest rate are given for a full year. On the other hand the payments are allocated during the year. For these cases, a model is introduced which is based on the theory of Markov Chains. The needed in-year probabilities result from a linearization of the year probabilities. For the inyear interest rates there are two alternative standard models which are handled in this paper. - 1 - Inhaltsverzeichnis 1.EINLEITUNG .............................................................................................................................................. 2 2.DAS ALLGEMEINE MODELL BEI UNTERJÄHRLICHER ZAHLWEISE ....................................................... 3 3.BEWERTUNGSFORMEL ............................................................................................................................ 6 4.LINEARISIERUNG DER ÜBERGANGSWAHRSCHEINLICHKEIT EN ........................................................... 8 5.LINEARISIERUNG DER ÜBERGANGSWAHRSCHEINLICHKEITEN UND RELATIV GEMISCHTE VERZINSUNG .......................................................................................................................................... 13 6.LINEARISIERUNG DER ÜBERGANGSWAHRSCHEINLICHKEITEN UND KONFORM GEMISCHTE VERZINSUNG .......................................................................................................................................... 16 7.AUSBLICK ............................................................................................................................................... 18 LITERATURVERZEICHNIS ................................................................................................................................ 19 KONTAKT.......................................................................................................................................................... 20 - 2 - 1. Einleitung Bei den unterschiedlichsten ökonomischen Problemstellungen ist die Bewertung von Zahlungsströmen von zentraler Bedeutung. Einer der wichtigsten Bewertungsansätze ist dabei der Barwert des Zahlungsstroms, d.h. die Summe der abgezinsten Zahlungen. Handelt es sich um einen risikobehafteten Zahlungsstrom, so wird der Barwert i.d.R. unter Verwendung des wahrscheinlichkeitstheoretischen Instrumentariums berechnet. Bei gedächtnislosen Modellen kann er mithilfe von Markov-Ketten ermittelt werden (vgl. [5], [6]). Bei dem in [5] vorgestellten Modell kann dabei jedes beliebige Zeitraster, z.B. jährlich, quartalsweise oder monatlich, verwendet werden. Man benötigt lediglich, die dem Zeitraster entsprechenden Übergangsmatrizen. In der Praxis allerdings sind die Vorgaben i.d.R. anders. So sind z.B. in der Lebensund Pensionsversicherungsmathematik die Sterbewahrscheinlichkeiten und Invalidisierungen und damit die Übergangswahrscheinlichkeiten in den verwendeten Tafelwerken als Jahreswerte gegeben. Die Zahlungsströme hingegen basieren auf unterjährlichen Zahlungen, z.B. bei Prämienund Rentenzahlungen. Die exakte Bewertung solcher unterjährlichen Zahlungsströme erfolgt dann durch Näherungen und Anpassungen der Formeln für jährliche Zahlungen. So wird z.B. in der Lebensund Pensionsversicherungsmathematik das sogenannte Restglied zur Modellierung verwendet (vgl. [4], [8], [9]). Als weiteres grundlegendes Ergebnis ist in diesem Zusammenhang der Invarianzsatz für Anwartschaften (vgl. [10]) von zentraler Bedeutung. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Fragestellung wie das in [5] verwendete Modell auf unterjährliche Zahlungsströme angepasst werden kann. Dabei wird wie oben beschrieben von einem zugrundeliegenden jährlichen Modell ausgegangen und darauf aufbauend die unterjährliche Zahlweise eingepflegt. Daraus ergibt sich eine modifizierte Bewertungsformel für unterjährliche Zahlungsströme. Ein einfaches unterjährliches Modell für die Übergangswahrscheinlichkeiten ergibt sich aus der linearen Verteilung der Jahreswahrscheinlichkeiten, ein einfaches unterjährliches Zinsmodell aus der linearen Verteilung des Jahreszinses. In diesem speziellen linearen Fall lassen sich die Gültigkeit der in der Lebensund Pensionsversicherungsmathematik häufig verwendeten Ergebnisse bezüglich Restglied und Invarianzsatz aus der Bewertungsformel für unterjährliche Zahlungsströme ableiten. Alternativ wird als unterjährliches Zinsmodell die konform gemischte Verzinsung behandelt. - 3 - 2. Das allgemeine Modell bei unterjährlicher Zahlweise Gegeben sei zunächst das jährliche Modell, d.h. eine Markov-Kette   ,...2,1,0k k Xmit dem endlichen Zustandsraum }N,...,2,1,0{S . Dabei steht der Zeitpunkt k für den Beginn des )1k( -ten Jahres oder anders formuliert die Zufallsvariable k X steht für den Zustand zu Beginn des )1k( -ten Jahres, ,...2,1,0k  . Die Übergangswahrscheinlichkeiten vom Zeitpunkt 1k  zum Zeitpunkt k seien gegeben durch die (N+1)x(N+1)-Matrix   }N,...,1,0{j,i j,i )k(q)k(Q   , d.h. ,...2,1k ,N,...,1,0j,i ),iX|jX(P:)k(q 1kkj,i      (vgl. [5]). Dieser stochastische Prozess wird nun um äquidistante unterjährliche Zeitpunkte ergänzt. Dazu sei die Anzahl der unterjährlichen Zahlungszeitpunkte durch die natürliche Zahl Tgegeben. Wir betrachten also nun die Markov-Kette:  ,X,X,X,,X,X,X,,X,X,X T 1 2 2 T 1T 1 T 1 1 1 T 1T 0 T 2 0 T 1 0 0     . Der Zustandsraum sei auch hier gegeben durch }N,...,2,1,0{S  . Für ,...2,1k . werden die jährlichen Übergangsmatrizen vom Zeitpunkt 1k  zum Zeitpunkt k wiederum mit   }N,...,1,0{j,i j,i )k(q)k(Q   bezeichnet. Darüber hinaus seien die speziellen Übergangswahrscheinlichkeiten vom Zeitpunkt k zum Zeitpunkt T s k, ,...2,1,0k , T,1T,...,2,1,0s  wie folgt gegeben: N,...,1,0j,i ,iX|jXP:)k,s(u k T s k j,i        . Daraus ergeben sich die zugehörigen Übergangsmatrizen   }N,...,1,0{j,i j,i )k,s(u)k,s(U  , ,...2,1,0k  , T,1T,...,2,1,0s   . Insbesondere gilt: - 4 - )1k(Q)k,T(U   und E)k,0(U  , ,...2,1,0k  (E Einheitsmatrix). Für jeden Zeitpunkt T s k, ,...2,1,0k , 1T,...,2,1,0s   , sei durch den Zeilenvektor N,...,2,1,0j j, T s k T s kPP          die Verteilung der Zufallsvariablen T s k Xgegeben, d.h. N,...,2,1,0j , PjXP j, T s k T s k       . Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass 0 P vorgegeben ist und alle Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte gegeben dieser Anfangsverteilung berechnet werden. Unter Anwendung der Chapman-Kolmogorov-Gleichung für Markov-Ketten (vgl. [7] S.14, [11] S.185f) ergibt sich für T s k, ,...2,1,0k  , 1T,...,2,1,0s      k 1j 0 T s k)k,s(U)j(QPP . Beweis: Es sei  ,...3,2,1,0k  und  1T,...,2,1,0s  . Die Matrizen   }N,...,1,0{j,i j,i )0,k(q ~ )0,k(Q ~  seien gegeben durch ,...2,1k,N,...,1,0j,i),iX|jX(P:)0,k(q ~ 0kj,i      . Durch Anwendung der Chapman-Kolmogorov-Gleichung ergibt sich die Übergangsmatrix vom Zeitpunkt 0 zum Zeitpunkt T s k durch das Matrizenprodukt )k,s(U)0,k(Q ~ . Aus der Chapman-Kolmogorov-Gleichung ergibt sich ferner durch Induktion nach k:   k 1j )j(Q)0,k(Q ~ für ,...2,1,0k  . Mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit erhält man für N,...,2,1,0m  :  m0 N 0i 0 T s k 0 T s km, T s k )k,s(U)0,k(Q ~ P iX|mXP)iX(PmXPP                 - 5 - Damit ergibt sich:    k 1j 00 T s k)k,s(U)j(QP)k,s(U)0,k(Q ~ PP . □ Für jeden Zeitpunkt T s k, ,...2,1,0k , 1T,...,2,1,0s   , sei die Höhe der Zahlung zum Zeitpunkt T s k in Abhängigkeit des eingenommenen Zustands durch den Spaltenvektor T s k L festlegt: N,...,2,1,0j j, T s k T s kLL         ,,...2,1,0k  , 1T,...,2,1,0s   . Dieser Spaltenvektor wird im Folgenden Leistungsvektor genannt. - 6 - 3. Bewertungsformel Ausgehend von der in Abschnitt 2 beschriebenen Markov-Kette wird der Barwert der zukünftigen Zahlungen wie folgt definiert:             0k 1T 0s j, T s k k N 0j jX T0 L)s(vv1:),T(B T s k Dieser Barwert hänge ab von der Anzahl der unterjährlichen Zahlungen T und von der Gesamtheit der Leistungsvektoren 1T,...,2,1,0s,...,2,1,0k T s k TL         . Dabei sei v der Diskontierungsfaktor für eine Periode definiert durch i1 1 v  und 0i  der zeitlich konstante Rechnungszins pro Jahr. Ferner sei )s(v der Diskontierungsfaktor für das unterjährliche Intervall   T s k,k . Für diesen unterjährlichen Diskontierungsfaktor gibt es die unterschiedlichsten Ansätze. Am Gebräuchlichsten sind die relative Verzinsung, d.h. i T s 1 1 )s(v   , und die konforme Verzinsung, d.h. T s v)s(v . Insbesondere gilt für alle Ansätze 1)0(v  . Es sei )x(abs der Absolutbetrag einer reellen Zahl x. Unter der Bedingung              ,...,N2,1,0j 1,-T0,1,...,s ,,...2,1,0k|Labs max:L j, T s k konvergiert die Reihe 0 B wegen 1v0   und 1)s(v0   absolut:                             0k k 0k 1T 0s j, T s k k N 0j jX v1 L)1N(T L)1N(TvL)s(vv1abs T s k Daraus folgt die Konvergenz der Reihe   T0 ,TB  (vgl. [2], S.40f). Für den erwarteten Barwert ergibt sich die folgende Aussage. - 7 - Satz 1: Sei              ,...,N2,1,0j 1,-T0,1,...,s ,,...2,1,0k|Labs max:L j, T s k, so gilt:           0k 1T 0s T s k k 1j 0 k T0 L)k,s(U)j(QP)s(vv,TBE . Beweis: Wegen L ergibt durch Anwendung des Satzes der majorisierten Konvergenz (vgl. [3] S.37):                                                                                                                                   0k 1T 0s T s k k 1j 0 k 0k 1T 0s T s k T s k k 0k 1T 0s j, T s k N 0j j, T s k k 0k 1T 0s j, T s k N 0j T s k k 0k 1T 0s j, T s k N 0j jX k 0k 1T 0s j, T s k k N 0j jX m 0 k 1T 0s j, T s k k N 0j jX m m 0k 1T 0s j, T s k k N 0j jX m To L)k,s(U)j(QP)s(vvLP)s(vv LP)s(vvLjXP)s(vv L1E)s(vv L)s(vv1E L)s(vv1Elim L)s(vv1limE),T(BE T s k T s k T s k T s k □ Bemerkung 1: Setzt man in Satz 1 1T  , so erhält man wegen E)k,0(U  und 1)0(v  :       0k k k 1j 0 k 10 L)j(QPv,1BE . Dies entspricht dem Ergebnis bei jährlicher Zahlweise (vgl. [5]). - 14 -    1 isT sTi1s i T s 1 1 T sT isT i1s )s(v T sT v )s(v T s             Damit erhält man durch Anwendung von Satz 2:                            1T 0s 0010 1T 0s 00 1T 0s 10T0 isT i1s LPT,1BE v )s(v T s LP)s(v T sT v )s(v T s ,1BE,TBE □ Als Folgerung aus Satz 3 erhält man für Anwartschaften: Folgerung: Im Fall einer Anwartschaft, d.h. 0LP 00  , gilt:        T,1BE,TBE 10T0    . Beweis: Das Ergebnis ergibt sich durch Anwendung von Satz 3. □ Bemerkung 2: In der Lebensund Pensionsversicherungsmathematik ist es üblich bei der Umrechnung einer unterjährlichen in eine jährliche Zahlweise die Zahlungen mit dem Faktor T zu multiplizieren. Dies bedeutet, dass die Gesamtheit der jährlichen Leistungsvektoren 1 durch den Vektor 0 LT gegeben ist. Wegen der Linearität von Barund Erwartungswert erhält man bei dieser Definition der jährlichen Zahlungen für die Formel aus Satz 3:            1T 0s 0010T0 isT i1s T 1 LP,1BE,TBE . Für laufende Leistungen ergibt sich somit, dass in der Pensionsversicherungsmathematik übliche Restglied        1T 0s isT i1s T 1 )T(k (vgl. [10], S. 264). - 15 - Für Anwartschaften, d.h. 0LP 00  , ergibt sich mit dieser Definition der unterjährlichen Zahlungen der sogenannte Invarianzsatz (vgl. [10], S. 261), d.h. der Barwert ist bei einem zeitlich konstanten Leistungsvektor unabhängig von der Zahlweise:        10T0 ,1BE,TBE    . - 16 - 6. Linearisierung der Übergangswahrscheinlichkeiten und konform gemischte Verzinsung  Nachdem bisher der Lineariserungssansatz für die unterjährlichen Wahrscheinlichkeiten mit der relativ gemischten Verzinsung kombiniert wurde, soll als Zinsmodell jetzt die konform gemischte Verzinsung vorausgesetzt werden. Es ergeben sich somit die beiden folgenden Modellannahmen:  Für die Übergangsmatrizen )k,s(U gilt: E T sT )1k(Q T s )k,s(U    , ,...2,1,0k  , 1T,...,2,1,0s   .  Zinsmodell für den unterjährlichen Zins: T s v)s(v  . Geht man von diesen Modellannahmen aus, so erhält man die folgende Aussage. Satz 4: Es sei 0 T s kLL  , für alle ,...2,1,0k  , 1T,...,2,1,0s   , d.h. die Leistungsvektoren seien (zeitlich) konstant. Dann gilt:      2 1 00 2 1 2 10T0 1v 1v T 1 v T 1T LP 1vT vv1 ,1BE,TBE T 1 T 1 T 1 T 1 T 1                        Dabei sei die Gesamtheit der der jährlichen Leistungsvektoren 1  gegeben durch ,...2,1,0k ,LL 0k   . Beweis: Es gilt:  2 1 2 1 T 1T 0s 1T 0s 1 1T 0s 1v 1v T 1 v T 1T 1v v T 1 1v1v 1v 1v v 1v 1v v v v v T s v )s(v T s T 1 T 1 T 1 T 1 T 1 T 1 T 1 T 1 T 1 T s T s                                                             - 17 - und       2 1 2 22 1 2 1 2 1 1T 0s 1T 0s 1 1T 0s 1 1T 0s 1T 0s 1 1T 0s 1T 0s 1 1T 0s 1vT vv1 1vT v v1 vv1 1v v T 1 v T 1 v1 1v 1v)v1(1v T 1 v T 1T v1 1v 1v 1v 1v T 1 v T 1T v1 vv T s v1 v T s vvv T s v T sT v T s )s(v T sT v )s(v T s T 1 T 1 T 1 T 1 T 1 T 1 T 1 T 1 T 1 T 1 T 1 T 1 T 1 T 1 T 1 T s T s T s T s T s T s T s                                                                                                                                       Die Behauptung ergibt sich durch Anwendung von Satz 2. □ Mit Satz 4 kann man somit im Falle der konform gemischten Verzinsung die versicherungsmathematischen Barwerte bei unterjährlichen Zahlungen auf die Barwerte bei jährlichen Zahlungen zurückführen. Allerdings hängt dabei der Faktor beim Barwert der jährlichen Zahlung nicht nur von T sondern auch von v ab. Somit gibt es bei konform gemischter Verzinsung und Linearisierung der Übergangswahrscheinlichkeiten kein dem Invarianzsatz entsprechendes Ergebnis. - 18 - 7. Ausblick In der Praxis sind risikobehaftete Zahlungsströme oft mit unterjährlicher Zahlweise gegeben. Die anzusetzenden Modellannahmen bezüglich Übergangswahrscheinlichkeiten und Zins basieren i.d.R. aber auf jährlichen Beobachtungen. Satz 1 zeigt, wie sich die diesbezügliche Erweiterung des in [5] eingeführten Modells auf die allgemeine Bewertungsformel auswirkt. Die Annahme einer linearen Verteilung der jährlichen Übergangswahrscheinlichkeiten führt im Falle von zeitlich konstanten Leistungsvektoren zu dem Ergebnis aus Satz 2. Die entstehenden Formeln lassen sich im Falle spezieller Zinsmodelle (relativ gemischte Verzinsung, konform gemischte Verzinsung) weiter konkretisieren. Dabei lässt sich im Falle der relativ gemischten Verzinsung der Bezug zu den üblichen Techniken der Lebensund Pensionsversicherungsmathematik herstellen. Insgesamt zeigt sich, dass das in [5] vorgestellte Modell zur Bewertung risikobehafteter Zahlungsströme auch mit der zusätzlichen Option einer unterjährlichen Zahlweise handhabbar bleibt. Die vorgestellten Ergebnisse können dabei als Basis für eine EDVtechnische Umsetzung dienen. Man kann sich hierbei auch von der in der Praxis häufig verwendeten relativ gemischten Verzinsung lösen und andere unterjährliche Zinsmodelle, z.B. die konform gemischte Verzinsung, verwenden. Dies gilt auch, wenn man den konstanten Jahreszins durch eine Zinsstrukturkurve ersetzen möchte. Hier könnte eine Modifikation des Ergebnisses aus Satz 1 als Basis für die Bewertung mit einer unterjährlich fortgeschriebenen Zinsstrukturkurve dienen. - 19 - Literaturverzeichnis [1] A rrenberg, Jutta Finanzmathematik, Oldenbourg Verlag, München 2011. 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Herausgeber: Verein der Förderer des Instituts für Versicherungswesen an der Fachhochschule Köln e. V. Die Schriftenreihe kann über den Verlag Versicherungswirtschaft bezogen werden (http://www.vvw.de/). Eine Übersicht aller Hefte der Schriftenreihe kann auch unter folgender Adresse abgerufen werden: http://www.f04.fh-koeln.de/fakultaet/institute/ivw/informationen/publikationen/00366/index.html Köln, August 2012 Herausgeber / Editorship: Prof. Dr. Reimers-Rawcliffe Prof. Dr. Peter Schimikowski Prof. Dr. Jürgen Strobel Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschaftswissenschaften / Faculty of Economics and Business Administration Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Web www.ivw-koeln.de Schriftleitung / Contact editor’s office: Prof. Dr. Jürgen Strobel Tel. +49 221 8275-3270 Fax +49 221 8275-3277 Mail [email protected] Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschaftswissenschaften / Faculty of Economics and Business Administration Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Gustav Heinemann-Ufer 54 50968 Köln Kontakt Autor / Contact author: Prof. Dr. Ralf Knobloch Schmalenbach Institut für Wirtschaftswissenschaften/ Institute of Business Administration Fakultät für Wirtschaftswissenschaften / Faculty of Economics and Business Administration Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Gustav Heinemann-Ufer 54 50968 Köln Tel. +49 221 8275-3425 Fax +49 221 8275-3135 Mail [email protected] ISSN (online) 2192-8479