Bewertete inhomogene Markov-Ketten – Spezielle unterjährliche und zeitstetige Modelle

ivwKöln Institut für Versicherungswesen Forschung am ivwKöln Band 4/2016 Bewertete inhomogene Markov-Ketten - Spezielle unterjährliche und zeitstetige Modelle Ralf Knobloch Forschung am ivwKöln, Band 4/2016 Ralf Knobloch Forschungsstelle FaRis Bewertete inhomogene Markov-Ketten – Spezielle unterjährliche und zeitstetige Modelle Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wird ausgehend von einer jährlichen inhomogenen Markov-Kette durch lineare Interpolation der Übergangsmatrizen und der Einheitsmatrix sowohl eine unterjährliches als auch ein zeitstetige bewertete inhomogene Markov -Kette konstruiert. Beim unterjährlichen Modell liegt der Fokus auf der Verteilung der Zufallsvariablen „Barwert des Zahlungsstroms“ bzw. auf der zugehörigen charakteristischen Funktion und einem EDV -technischen Verfahren zur Berechnung der Momente der Zufallsvariablen. Beim zeitstetigen Modell steht neben der Konstruktion und den üblichen Ergebnissen für zeitstetige Markov -Ketten, die Verallgemeinerung des Restglieds bzw. des Invarianzsatzes im Mittelpunkt des Interesses. Abstract In the present paper it will be shown how a priced inhomogeneous Markov chain with periods less than a year and a priced inhomogeneous Markov chain in continuous time can be designed from a given inhomogeneous Markov chain with annual time periods by linear interpolation of t he transition matrices and the identity matrix. For the Markov chain with periods less than a year we focus on the distribution of the random variable “present value of the cash - flow” and on the associated characteristic function, respectively as well as a n IT method for calculating the moments of the random variable. For the Markov chain in continuous time, the construction of the process, the usual results for time -continuous Markov chains and some special results analogous to a Markov chain with periods less than a year are in the center of attention. Schlagwörter Markov -Kette, Bewertete Markov-Kette, Barwert, charakteristische Funktion Keywords Markov Chain, Priced Markov Chain, Present Value, Characteristic Function - 1 - Inhaltsverzeichnis 1. EINLEITUNG ........................................................................................................................................... 2 2. DAS JÄHRLICHE MODELL .................................................................................................................. 4 3. DAS SPEZIELLE UNTERJÄHRLICHE MODELL .............................................................................. 8 4. FALLBEISPIEL: PENSIONSVERSICHERUNGSMATHEMATIK ................................................... 14 5. DAS SPEZIELLE ZEITSTETIGE MODELL: KONSTRUKTION ..................................................... 18 6. DAS SPEZIELLE ZEITSTETIGE MODELL: BEWERTUNG ........................................................... 25 7. DAS RESTGLIED IN DER PENSIONSVERSICHERUNGSMATHEMATIK .................................. 30 8. SCHLUSSBEMERKUNG ..................................................................................................................... 32 9. ANHANG: ERGÄNZUNGEN ZU KAPITEL 5 .................................................................................... 33 LITERATURVERZEICHNIS........................................................................................................................... 36 - 2 - 1. Einleitung Markov-Ketten haben in den Wirtschaftswissenschaften die vielfältigsten Anwendungen. Zum einen werden diese Modelle bei klassischen betriebswirtschaftlichen Fragestellungen eingesetzt. Als Beispiele seien hier die Themen Wartesysteme, Lagerhaltung und (Markovsche) Entscheidungsprozesse genannt (vgl. [14]). Zum anderen findet man Anwendungen bei der Modellierung von Zahlungsströmen insbesondere in den Bereichen Insurance und Finance. Mithilfe von Markov-Ketten werden z.B. in der Personenversicherungsmathematik Barwerte, Reserven und Prämien kalkuliert (vgl. [10], [11], [6], [7], [9]). Dabei benötigt man nicht nur jährliche sondern auch unterjährliche und zeitstetige Modelle. In der Personenversicherungsmathematik werden zu Kalkulationszwecken sogenannte Sterbetafeln verwendet, diese enthalten i.d.R. eine zeitliche Dynamik. Ferner ist jeder Zustand, den eine Person annimmt, mit einer Zahlung (einer Bewertung) verbunden. Dies führt zu dem zentralen Begriff dieser Ausarbeitung, nämlich der „bewerteten (zeitlich) inhomogenen Markov-Kette“. Im vorliegenden Artikel wird ausgehend von einer jährlichen (bewerteten inhomogenen) Markov-Kette ein spezielles unterjährliches bzw. ein spezielles zeitstetiges Modell konstruiert und analysiert. Dabei ist es entscheidend, wie die ursprünglich jährlichen Übergangswahrscheinlichkeiten auf das Jahr verteilt werden. Der hier gewählte Ansatz verteilt die Wahrscheinlichkeiten linear in dem Sinne, dass sich die Übergangsmatrix für das Intervall [ ] α+t,t für [ ] 0,1 ,INt0∈α∈ durch Interpolation der jährlichen Übergangsmatrix und der Einheitsmatrix ergibt. Nach Einführung der jährlichen Markov-Kette wird als erster Schwerpunkt das unterjährliche Modell behandelt. Hierbei werden zu Beginn die bereits bekannten Ergebnisse über die Konstruktion des Modells (vgl. [8]) und dessen Anwendung bei der Bewertung von risikobehafteten Zahlungsströmen (vgl. [7]) zusammengestellt. Anschließend wird analog zum jährlichen Modell (vgl. [9]) eine geschlossene Formel für die charakteristische Funktion des Barwerts eines risikobehafteten Zahlungsstroms hergeleitet. Damit ist das Wahrscheinlichkeitsgesetz dieses Barwerts festgelegt, denn für eine reellwertige Zufallsvariable B ist die Verteilung durch die komplexwertige Funktion () ( )( ) IRx , BxiexpEx ∈⋅⋅=ϕ eindeutig bestimmt (vgl. [3] S.92). Dabei sei 1i −= die imaginäre Einheit. Überträgt man die Formel für die charakteristische Funktion auf die momentenerzeugende Funktion, so können durch (numerisches) Ableiten analog zum jährlichen Fall (vgl. - 3 - [9]) auch höhere Momente, z.B. die Varianz und die Standardabweichung, ermittelt werden. Im zweiten Schwerpunkt steht eine spezielle zeitstetige Markov-Kette im Mittelpunkt des Interesses. Zunächst muss das spezielle Modell konstruiert bzw. seine Existenz nachgewiesen werden. Die in diesem Artikel verwendete Vorgehensweise ist klassisch und basiert wie beim unterjährlichen Modell auf dem Satz von Kolmogorov (vgl. [3] S.257ff), mit dessen Hilfe in der Wahrscheinlichkeitstheorie stochastische Prozesse konstruiert werden. Anschließend werden mehrere für das jährliche und unterjährliche Modell bereits in früheren Veröffentlichungen formulierte Ergebnisse auf das zeitstetige Modelle übertragen. Das besondere Interesse gilt dabei der Formel für den Barwert des risikobehafteten Zahlungsstroms (vgl. [5], [7]) und dem sogenannten Invarianzsatz (vgl. [12], [7]). - 4 - 2. Das jährliche Modell Gegeben sei eine Markov-Kette ( ) ,...2,1,0t t X= mit dem endlichen Zustandsraum }N ,..., 2, 1, 0 {S = . Dabei steht der Zeitpunkt t für den Beginn des )1 t (+ -ten Jahres bzw. die Zufallsvariable t X für den Zustand zu Beginn des )1t( + -ten Jahres, ,... 2 , 1 , 0 t= . Die Übergangswahrscheinlichkeiten vom Zeitpunkt 1t − zum Zeitpunkt t seien gegeben durch die (N+1)x(N+1)-Matrix ( ) }N,...,1,0{k,j jk )t(q)t(Q ∈ = , d.h. ,...2,1t ,N,...,1,0k,j ),jX|kX(P:)t(q 1ttjk ===== − (vgl. [5]). Da die Übergangsmatrizen explizit von dem Zeitparameter t abhängen, heißt die Markov-Kette inhomogen (vgl. [10] S.16f und [14] S.11). Die Verteilung der Zufallsvariablen t X , ,...2, 1,0 t= , sei gegeben durch den Zeilenvektor ( ) N,...,2,1,0j j,tt PP = = , d.h. N,...2,1,0j ,P)jX(P j,tt === . Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass 0 P vorgegeben ist und alle Wahrscheinlichkeiten, Verteilungen und Momente gegeben dieser Anfangsverteilung berechnet werden. Unter Anwendung der Chapman-Kolmogorov-Gleichung für Markov-Ketten (vgl. [10] S.14) ergibt sich für ,...2 ,1, 0t = ∏ = ⋅= t 1s 0t )s(QPP (vgl. [5]). Im späteren Verlauf des Artikels werden basierend auf dem jährlichen Modell sowohl eine spezielle unterjährliche Markov-Kette als auch eine spezielle zeitstetige MarkovKette konstruiert. Von entscheidender Bedeutung ist dabei die Verteilung der jährlichen Übergangswahrscheinlichkeiten auf das Jahr. Diese Verteilung wird mithilfe der folgenden Matrizen modelliert: ( ) E 1)1t(Q:)t,(U ⋅α−++⋅α=α . Dabei sei 0 INt∈ , ]1,0[∈α und E die Einheitsmatrix. - 5 - Da sowohl )1t(Q + als auch E stochastische Matrizen sind, gilt dies ebenfalls für die Matrix )t ,( Uα (vgl. [8]). Allerdings ist dies nicht ausreichend, um die beiden speziellen Markov-Ketten (unterjährlich und zeitstetig) zu konstruieren. Man benötigt folgende Bedingungen: (B1) )t,(U α ist invertierbar für alle 0 INt∈ und )1,0[∈α . (B2) ( ) ) t, (U)t,(U 1α ⋅β − ist eine stochastische Matrix für alle 0 INt∈ und ]1 , 0[ ,∈β α mit 10 ≤α<β≤ . In den praktischen Anwendung (z.B. in der Pensionsversicherungsmathematik) ist es oft der Fall, dass es sich bei den Übergangsmatrizen )t (Q , INt∈ , um obere Dreiecksmatrizen handelt. Setzt man dies voraus, so ist Bedingung (B1) immer gegeben. Für Bedingung (B2) lassen sich bei zwei )21N( =+ bzw. bei drei Zuständen ) 31 N( = + Voraussetzungen formulieren, unter denen sie erfüllt ist (vgl. [8] S.12ff). Mit Blick auf eine EDV-technische Umsetzung - auch bei größeren Zustandsräumen - sollte die Berechnung von ( ) )t,(U)t,(U 1α⋅β − für alle 0 INt∈ und ]1,0[, ∈βα mit 1 0≤ α<β≤ handhabbar sein. Eine Möglichkeit besteht dabei in der Anwendung der Neumannschen Reihe. Um die Gültigkeit der Neumannschen Reihe zu gewährleisten, wird folgende Bedingung formuliert: (B3) Für INt∈ seien alle Eigenwerte der Übergangsmatrix )t (Q reellwertig und nichtnegativ. Da ) t(Q eine stochastische Matrix ist, ist die Bedingung (B3) insbesondere dann erfüllt, wenn es dabei sich bei den Übergangsmatrizen um obere Dreiecksmatrizen handelt. Dies ist bei den Modellen der Personenversicherungsmathematik i.d.R. der Fall. Satz 1: a) Es sei 0 =β . Dann gilt: () )t ,(U)t,( U)t ,(U 1α= α⋅β − für alle 0 INt∈ und ]1,0(∈α . b) Es sei 10 < β< . Dann folgt aus (B3): ( ) ( ) ∑ ∞ = − +−⋅β ⋅ β β−α −⋅ β α =α⋅β 0k k k 1 )1t(QEE )t,(U)t,(U für alle 0 INt∈ und ]1,0 (∈α mit 10 ≤α<β< . - 6 - Beweis: a) Für 0 =β gilt E )t , (U =β . Somit ist die Behauptung trivialerweise erfüllt. b) Es gilt: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) )1t(QEE)1t(QE E E1)1t(QE1)1t(Q)t,(U)t,(U 1 11 +−⋅α− ⋅+−⋅β−= =⋅α−++⋅α⋅⋅β−++⋅β=α⋅β − −− Die Eigenwerte von )1t(Q + sind alle reellwertig und nichtnegativ. Damit liegen alle Eigenwerte von ( ) )1t(QE +−⋅β im Intervall )1 , 0[ . Diese Aussage erhält man wie folgt: Es sei a ein Eigenwert von ( ) )1t(QE +−⋅β . Dann gibt es einen geeigneten Vektor w mit ( ) w)1t(Qww)1t(QEwa ⋅+⋅β−⋅β=⋅+−⋅β=⋅ . Daraus folgt: w a w)1t(Q ⋅ β −β =⋅+ Somit hat )1t(Q + den Eigenwert β −β a . Da alle Eigenwerte von )1t(Q + (reellwertig und) nichtnegativ sind, erhält man wg. 0 > β die Ungleichung β≤a und damit 1a < . )1t(Q + ist eine stochastische Matrix, daher gilt nach dem Hauptsatz 2.6. in [1] 1 a≤ β −β Da 0>β , folgt daraus β≤−β a bzw. 0a ≥ . Es sei ρ das Maximum der Absolutbeträge der Eigenwerte von ( ) )1t(QE +−⋅β . Wg. 1<ρ konvergiert die Neumannsche Reihe (vgl. [2] S.264f) und es gilt: ( )( ) ( ) ∑ ∞ = −+−⋅=+− ⋅β− 0k k k 1)1t(Q Eß)1t(Q EE . Daraus folgt: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) =+−⋅⋅α−+−⋅= =+−⋅α−⋅+−⋅=α⋅β ∑∑ ∑ ∞ = + ∞ = ∞ = − 0k 1k k 0k k k 0k k k 1 )1t(QEß)1t(QEß )1t(Q EE)1t(QEß)t,(U)t,(U - 7 - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑∑ ∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = − +−⋅⋅ β β−α −⋅ β α ==+−⋅⋅ β α−β +⋅ β α−β −= =+−⋅⋅ β α−β +=+−⋅β⋅α−+= 0k k k 0k k k 1k k k 1k k 1kk )1t(QEßE)1t(QEßEE )1t(QEßE)1t(QEßE □ Für den Rest des vorliegenden Artikels wird davon ausgegangen, dass die Bedingungen (B1), (B2) und (B3) erfüllt sind. - 14 - 4. Fallbeispiel: Pensionsversicherungsmathematik In [5], [6] und [9] wird dargestellt, wie das Konzept der bewerteten inhomogenen Markov-Kette zur Modellierung in der Pensionsversicherungsmathematik bzw. in der betrieblichen Altersversorgung verwendet werden kann. Die folgenden Ausführungen knüpfen dabei an die Beispiele in [9] an. Bei diesen Beispielen erfolgt die Bewertung durch numerisches Ableiten der momentenerzeugenden Funktion bei jährlicher Zahlweise. Im folgenden Fallbeispiel wird die Vorgehensweise bei monatlicher Zahlweise anhand einer Barwertberechnung erläutert. Dazu wird das Schicksal einer Person mithilfe einer inhomogenen Markov-Kette auf Basis der in Deutschland in der Pensionsversicherungsmathematik üblicherweise verwendeten Sterbetafeln – auch Richttafeln genannt – (vgl. [4]) modelliert. Mögliche Zustände sind dabei „Arbeitnehmer/in aktiv“, „Arbeitnehmer/in ausgeschieden“, „Bezieher/in einer Invalidenrente“, „Bezieher/in einer Altersrente“ und „Bezieher/in einer Hinterbliebenenrente“. Die Übergangswahrscheinlichkeiten der Markov-Kette ergeben sich aus den biometrischen Rechnungsgrundlagen der Richttafeln. Dabei handelt es sich um eine Generationentafel, d.h. die Wahrscheinlichkeiten hängen nicht nur von Geschlecht und Alter, sondern auch vom Geburtsjahrgang ab (vgl. [4]). Die unterjährlichen Übergänge werden wie in Kapital 3 dargestellt durch eine lineare Interpolation mit der Einheitsmatrix berücksichtigt. Die Bewertung ergibt sich bei Rentenbezug aus der Höhe der Rente und wird in allen anderen Zuständen mit „null“ angesetzt. Im Folgenden werden bei einem konkreten Personenbestand und einer konkreten Versorgungsordnung für die Zufallsvariable „Barwert der Verpflichtungen“ der Erwartungswert und die Standardabweichung berechnet. Im Anschluss werden die Ergebnisse mit denen der üblichen Bewertungsmethode und mit den Ergebnissen einer Monte-Carlo-Simulation verglichen. Wir betrachten die folgende Festrentenzusage: Als Altersund Invalidenrente werden monatlich 100 €, als Hinterbliebenenrente monatlich 60 € zugesagt. Die Zahlweise sei monatlich vorschüssig, der Bewertungsstichtag der 31.12.2015 und der Rechnungszins 3%. Als Endalter (Übergang in den Zustand „Bezieher/in einer Altersrente“) wird das Alter 67 angesetzt. Der Einfachheit halber wird die Bewertung ohne Dynamik und ohne Fluktuation durchgeführt. Letzteres hat zu Folge, dass der Zustand „Arbeitnehmer/in ausgeschieden“ nicht relevant ist. Der Bestand ist wie folgt strukturiert: • Zehn Personen • Vier aktive Arbeitnehmer • Sechs Rentenbezieher: zwei Invalidenrentner, zwei Altersrentner und zwei Hinterbliebenenrentner • Fünf Frauen und fünf Männer - 15 - Jede Person wird einzeln bewertet, d.h. für jede Person werden der Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariable „Barwert der Verpflichtungen“ ermittelt. Da der Erwartungswert als stochastische Kennzahl linear ist, ergibt sich der erwartete Barwert bezogen auf den Bestand durch Addition der Einzelwerte. Setzt man die Unabhängigkeit der personenbezogenen Barwerte voraus, so berechnet sich die Varianz des Barwerts bezogen auf den Bestand durch Addition der Einzelwerte. Die Standardabweichung erhält man als Wurzel aus der Varianz. Setzt man das Konzept der bewerteten inhomogenen Markov-Kette EDV-technisch um, so sind bei der Berechnung der momentenerzeugenden Funktion zwei Besonderheiten zu beachten: • Auf die direkte Berechnung von 1 1t , 12 1 s U −             − − für INt∈ und { } 12,,2,1s 2∈ kann verzichtet werden. Die unterjährlichen Übergangsmatrizen können näherungsweise mithilfe der Neumannschen Reihe ermittelt werden. • Die Übergangswahrscheinlichkeiten für den Übergang in den Zustand „Bezieher/in von Altersrente“ werden nicht interpoliert sondern es wird davon ausgegangen, dass der Übergang exakt im Alter 67 erfolgt. Dies entspricht der Modellierung im Modell der Richttafeln. Noch zu überprüfen ist allerdings, ob die Bedingungen (B1), (B2) und (B3) aus Kapitel 2 erfüllt sind. Ordnet man die Zustände geschickt an, so handelt es sich bei den jährlichen Übergangsmatrizen um obere Dreiecksmatrizen. Da es auch stochastische Matrizen sind, ist Bedingung (B3) erfüllt. Die Bedingungen (B1) und (B2) werden mithilfe einer EDV-technischen Umsetzung in der folgenden Form überprüft: (B1)      − −1t, 12 1s U ist invertierbar für alle INt∈ und { } 12,,2,1s 2∈ . (B2)      −⋅             − − − 1t, 12 s U1t, 12 1s U 1 ist eine stochastische Matrix für alle INt∈ und { } 12,,2,1s 2∈ . Dies ist ausreichend, da zur Konstruktion der unterjährlichen Markov-Kette lediglich die Übergänge von 12 1s 1t − +− nach 12 s 1t +− für INt∈ und { } 12,,2,1s 2∈ relevant sind. Da im Rahmen der Überprüfung mit      −⋅             − − − 1t, 12 s U1t, 12 1s U 1 auch die unterjährlichen Übergangsmatrizen direkt berechnet werden, könnte auf die Näherung mit der Neumannschen Reihe verzichtet werden. Dies ist insbesondere immer der Fall, wenn die jährlichen Übergangsmatrizen obere Dreiecksmatrizen sind. - 16 - Es sei ( ) ( ) () IRx , )n , T( Bx exp En,T,xm 0∈ ⋅= , die momentenerzeugende Funktion. Dabei sei n so gewählt, dass alle Rentenzahlungen, die eine Person im Laufe ihres Lebens erhalten kann, berücksichtigt werden. Aufgrund der Systematik in den Richttafeln kann 103n = gesetzt werden. Wg. der monatlichen Zahlweise gilt 12T = . Mithilfe der üblichen numerischen Ableitungen (vgl. [15] S.43ff) ergibt sich: ( ) h2 )n,T,h(m)n,T,h(m )n ,T,x(mn,T(BE 0x x0 ⋅ −− ≈= = und () ( ) 2 2 0 x xx 2 0 h 2 )n , T, h( m)n,T,h(m h ) n, T ,0 (m2)n,T,h(m)n,T,h(m ) n ,T ,x ( m) n, T (B E −− + = = ⋅−−+ ≈ == bzw. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 0x x 0x xx 2 0 2 00 h2 )n,T,h(m)n,T ,h( m h 2)n,T,h(m)n,T,h(m )n,t,x(m )n, t,x( m )n,t(BE)n ,t( BE)n,t(BVar       ⋅ −− − −−+ ≈ ≈−= = −= == . Dabei sei 0h > hinreichend klein zu wählen. Wird h zu groß gewählt, so ist die Näherung nicht ausreichend. Wird h allerdings zu klein angesetzt, so können numerische Effekte die Ergebnisse verfälschen. Im vorliegenden Beispiel wird 6 10h − = gewählt. In der folgenden Tabelle werden die so berechneten Momente der Bewertung mit den Richttafeln und den Ergebnissen einer Monte-Carlo-Simulation gegenübergestellt. Die Monte-Carlo-Simulation wurde mit 1.000 Läufen durchgeführt, die Schätzung der Momente erfolgte mit den üblichen Methoden der deskriptiven Statistik. - 17 - Methode/Modell Bewertung/ Erwartungswert Varianz Standardabweichung Bewertete inhomogene Markov-Kette 146.328,70 253.260.314,64 15.914,15 Richttafel 146.326,56 Monte-CarloSimulation 145.887,96 249.690.562,56 15.801,60 Somit stimmen in diesem Beispiel bei monatlicher Zahlweise der Erwartungswert auf Basis einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette und die übliche Bewertung gemäß Richttafel-Modell bis auf eine minimale Abweichung überein. Zusätzlich liefert die Modellierung mit einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette die Varianz und die Standardabweichung (in Höhe von ca. 10,9% des Erwartungswertes). Die Ergebnisse auf Basis einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette passen im Wesentlichen auch zu den Ergebnissen der Monte-Carlo-Simulation. Die Abweichungen ergeben sich hier durch die Anzahl der Simulationsläufe (1.000) und die Qualität des Zufallsgenerators. - 18 - 5. Das spezielle zeitstetige Modell: Konstruktion Die folgende Konstruktion ist eine Anwendung des Satzes von Kolmogorov (vgl. [3] S.257ff). Wir betrachten wie bisher den endlichen Zustandsraum { } N,,2,1,0S 2= und die Anfangsverteilung 0 P auf dem Zustandsraum S . Gegeben sei jetzt die kontinuierliche Indexmenge [ ) ∞,0 , d.h. für den Zeitindex gilt [ ) ∞∈ ,0t . Es wird ein System von endlich-dimensionalen Randverteilungen n21 t,,t,t p2 wie folgt definiert: 1. Für [ ) ∞∈ ,0t, s mit ts ≤ sei ( ) ( ) ( ) ])t[],t[t(U)m(Q])s[],s[s(U :)t,s(t,s ]t[ 1]s[m 1 Sj,i j,i −⋅⋅−=Λ=λ ∏+= − ∈ . 2. Es sei INn∈ . Für [ ) ∞∈ ,0 t,, t,t n21 2 mit n2 1 ttt <<< 2 definieren wir ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ = −− λ⋅⋅λ⋅λ⋅λ⋅ = N 0k x,x n1n x,x 32 x,x 21 x,k 10 n21t,,t,t n1n 32 211 n21 t,tt,tt,tt,0)k(P :)x,,x,x(p 3 2 2 für Sx,,x,x n21 ∈2 . Es sei INn∈ . Es seien [ ) ∞ ∈,0t, ,t, tn2 12 mit n 21 ttt <<< 2 . Ferner seien gegeben Sx,,x,x,,x,x n1j1j21 ∈ +− 22 . Dann gilt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =λ⋅⋅λ⋅λ⋅ ⋅λ⋅λ⋅λ⋅= =λ⋅⋅λ⋅λ⋅ ⋅λ⋅λ⋅λ⋅= = − +− − +− −+− = = −+− = = = +− ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ n1n 1j1j 32 211 n1n 1j1j 32 211 n21 x,x n1n x,l 1jj l,x j1j N 0k N 0l x,x 32 x,x 21 x,k 10 x,x n1n x,l 1jj l,x j1j N 0l N 0k x,x 32 x,x 21 x,k 10 N 0l n1j1j21t,,t,t t,tt,tt,t t,tt,tt,0)k(P t,tt,tt,t t,tt,tt,0)k(P )x,x,l,x,,x,x(p 33 3 33 3 22 2 - 19 - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )x,x,x,,x,x(p t,tt,t t,tt,tt,0)k(P t,tt,tt,t t,tt,tt,0)k(P n1j1j21t,,t,t,t,t x,x n1n x,x 1j1j N 0k x,x 32 x,x 21 x,k 10 x,x n1n N 0l x,l 1jj l,x j1j N 0k x,x 32 x,x 21 x,k 10 n1j1j21 n1n 1j1j 32 211 n1n 1j1j 32 211 22 33 3 33 3 22 +− −+− = − = +− = +− − +− − +− = =λ⋅⋅λ⋅ ⋅λ⋅λ⋅λ⋅= =λ⋅⋅        λ⋅λ⋅ ⋅λ⋅λ⋅λ⋅= ∑ ∑ ∑ Dabei ergibt sich das vorletzte Gleichheitszeichen aus: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1j1j 1j1j1j ]t[ 1]t[m 1 1j1j1j 1j1j1j ]t[ 1]t[m 1 jjj jjj ]t[ 1]t[m 1 1j1j1j 1jjj1j t,t ])t[],t[t(U)m(Q])t[],t[t(U ])t[],t[t(U)m(Q])t[],t[t(U ])t[],t[t(U)m(Q])t[],t[t(U t,tt,t 1j 1j 1j j j 1j +− +++ += − −−− +++ += − += − −−− +− Λ= =−⋅⋅−= =−⋅⋅− ⋅−⋅⋅−= =Λ⋅Λ ∏ ∏ ∏ + − + − Somit ist das hier definierte System von endlich-dimensionalen Randverteilungen n21 t,,t,t p2 verträglich bezüglich des „Einschiebens eines Zeitpunktes“. Die allgemeine Verträglichkeit erhält man per Induktion. Mit dem Satz von Kolmogorov ergibt sich dann: 1. Es gibt ein eindeutiges Wahrscheinlichkeitsmaß, das zu den endlichdimensionalen Randverteilungen passt. 2. Es gibt einen stochastischen Prozess ( ) ),0 [t t Z∞∈ mit ( ) ) x,,x,x(pxZ,,xZ ,xZP n21t,, t,tnt2t1 tn21n 21 22 2 = === für alle [ ) ∞∈ ,0t,,t, tn21 2 mit n21 ttt <<< 2 und Sx,,x,x n21 ∈2 . - 20 - Dieser Prozess ( ) ),0[t t Z∞∈ erfüllt - wie es nicht anders zu erwarten ist - die MarkovEigenschaft ( ) ( ) 1ntnt1nt2t1tnt xZ|xZPxZ,,ZZ,xZ|xZP 1nn1n21n −− ======= −− 2 und ist somit eine zeitstetige Markov-Kette mit der Anfangsverteilung 0 P und den Übergangsmatrizen )t,s(Λ , [ ) ∞∈ , 0t ,s , ts ≤ . Dabei steht )t,s(Λ für den Übergang von s nach t . Bezüglich des Beweises der Markov-Eigenschaft wird auf den Anhang verwiesen. Bemerkungen: a) Gemäß [3], S.298ff, folgt aus der oben formulierten Markov-Eigenschaft ( ) ( ) 1ntnt1nt2t1tnt xZ|xZPxZ,,ZZ,xZ|xZP 1nn1n21n −− ======= −− 2 die einfache Markov-Eigenschaft im Sinne von [3], S.298, bzw. die MarkovEigenschaft gemäß von [13], S.350: ( ) ( ) ssttuutt xZ|xZPsu ,xZ|xZP ===≤== b) Es seien Sx ,x 2 1∈ und ) ,0[u, t,s ∞∈ mit t u s< < . Mit den hier verwendeten Notationen gilt ( ) 1s2tx,x xZ|xZP)t,s( 21 ===λ und die Chapman-KolmogorovGleichung kann wie folgt formuliert werden: ∑ = λ⋅λ=λ N 0k x,kk,xx,x )t,u()u,s()t,s( 2121 bzw. )t , u()u,s( )t , s( Λ⋅Λ= Λ Satz 5: Für die zeitstetige Markov-Kette ( ) ) ,0 [t t Z ∞ ∈ existieren die folgenden Grenzwerte für alle [ ) ∞∈ ,0t : ( ) )t(: h 1xZ |xZP lim x x tht 0h m= −== + +→ für alle Sx∈ ( ) )t(: h xZ|xZP lim 21xx 1t2ht 0h m= == + +→ für alle Sx,x 21 ∈ mit 21 xx ≠ Ferner gilt: a) ( ) () 21 21 x, x 1 xx )E)1] t([Q(]) t[],t[ t(U)t (−+⋅ −=m − b) Für alle Sx ,x 21 ∈ ist die Funktion )t(t 21xx m→ rechtsstetig für [ ) ∞∈ ,0t . - 21 - c) Für alle Sx,x 21 ∈ ist die Funktion )t(t 21xx m→ linksstetig für [ ) ∞∈ ,0t \ 0 IN . Für den Beweis benötigt man zunächst die folgenden Ergebnisse. Lemma: Gegeben seien die stochastischen nxn-Matrizen 2,A,A,A 21 und die stochastischen nxn-Matrizen 2,B,B,B 21 mit AAlim k k = ∞→ und BBlim k k = ∞→ . a) ( ) BABAlim kk k ⋅=⋅ ∞→ . b) Es seien 2,A,A,A 21 invertierbare Matrizen. Dann gilt: ( ) 1 1 k kAAlim − − ∞→ = . Beweis (Lemma): a) Für eine nxn-Matrizen C sei           =∑ = n 1 jij icmax :C . Mit [1], Seite 9, gilt: 0BBAA BBABAA BABABABA BABABABABABA k kk kkk kkkk kkkkkk  →−+−≤ −⋅+⋅−≤ ⋅−⋅+⋅−⋅≤ ⋅−⋅+⋅−⋅=⋅−⋅ ∞→ Damit folgt ebenfalls mit [1], Seite 9, die Behauptung. b) Wg. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 k k 1 k k k k 1 kk kA limAAlimAlimAAlimE− ∞→ − ∞→∞→ − ∞→ ⋅=⋅=⋅= folgt die Behauptung. □ Beweis (Satz 5): Es sei [ ) ∞∈ ,0t . Es 0h > hinreichend klein, so dass ] ht[]t [+= . Dann gilt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () )E)1]t([Q (])t[],t[ t(UhE )E)1]t([ Q(h])t[ ],t[t(U]) t[],t[t (U ]) t[],t [ht(U]) t[],t[t(U ])h t[], ht[ht( U])t[],t[t (Uht,t 1 1 1 1 −+ ⋅−⋅+= = −+⋅+−⋅ −= =−+ ⋅−= = ++−+⋅− =+Λ − − − − Damit folgt - 22 - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x,x 1 x,x 1 0h x,x 1 0h x,x 0h tht 0h xx )E)1]t([Q(])t[],t[t(U)E)1]t([Q(])t[],t[t(Ulim h 1)E)1]t([Q(])t[],t[t(Uh1 lim h 1ht,t lim h 1xZ|xZP lim)t( −+⋅−=−+⋅−= = −−+⋅−⋅+ = = −+λ == −== =m −− +→ − +→ +→ + +→ für alle Sx∈ und () ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 121 21 2 1 2 1 x ,x 1 x,x 1 0h x , x 1 0 h x, x 0h 1t 2h t 0h x x )E )1] t([Q( ])t[ ],t[ t(U)E) 1]t([ Q(]) t[],t[t(U lim h ) E )1 ]t ([ Q( ])t [ ],t [t ( Uh lim h h t ,t lim h x Z| xZ P lim )t ( −+⋅ −=−+ ⋅−= = −+ ⋅ −⋅ = = + λ = = = =m − − +→ − + → + → + + → für alle Sx,x 21 ∈ . Somit erhält man zusammengefasst: ( ) ( ) 21 21 x ,x 1 xx ) E)1 ]t([Q (])t[],t[t( U)t (−+ ⋅−= m− für alle [ ) ∞∈ ,0t und Sx,x 21 ∈ . Die Rechtsstetigkeit ergibt wie folgt: () ( ) () ])t [],t [t( UE ]) t[ t 1( )1] t([Q ])t[t ( E ])t [h t1( )1] t ([ Q ]) t[ h t(lim E ])ht[ h t 1 () 1 ]h t([Q ])ht[ h t ( lim ] h t[ ], ht [ht (U lim 0h 0h 0h −= ⋅ + −++ ⋅− = =⋅ +− −++ ⋅ −+ = = ⋅+ + − −+ + +⋅+ − + = = ++ −+ +→ +→ +→ Mit Lemma 1 erhält man: ( ) ( ) 11 0h ]t[],t[t(U]ht[],ht[ht(Ulim −− +→ −=++−+ . Daraus folgt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )E)1]t([Q(])t[],t[t(U)E)1]t([Q(])t[],t[ht(Ulim )E)1]ht([Q(])ht[],ht[ht(Ulim 11 0h 1 0h −+⋅−=−+⋅−+= =−++⋅++−+ −− +→ − +→ Somit ist die Rechtsstetigkeit bewiesen. Die Linksstetigkeit für [ ) ∞∈ ,0t \ 0 IN ergibt sich analog, da ]t[]ht[ =+ für 0h < mit hinreichend kleinem Betrag. □ - 23 - Bemerkung: Das folgende Beispiel zeigt, dass die Funktion )t(t 21xx m→ an der Stelle IN t∈ eine Unstetigkeitsstelle haben kann. Es sei INt∈ und ) t( Q invertierbar mit () E) 1t ( Q) t( Q E1− +≠ −− . Wg. t]t[ = erhält man: ( ) ( ) E)1t(Q)E)1t(Q(E )E ) 1t (Q ( )t ,0 ( U) E) 1 ]t([Q(])t[],t[t(U 11 −+=−+⋅ = = −+ ⋅ =− +⋅− − − Für 0h < mit hinreichend kleinem Betrag gilt 1 t1]t[]ht[ − = −=+ . Damit ergibt sich: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E)1t(Q)t(QE)E)t(Q()t(Q)E)t(Q()1t,1(U )E)t(Q()1t,1tht(Ulim )E)1]ht([Q(])ht[],ht[ht(Ulim 111 1 0h 1 0h −+≠−=−⋅=−⋅−= =−⋅−+−+= =−++⋅++−+ −−− − −→ − −→ Als Standardergebnis aus der Theorie der zeitstetigen Markov-Ketten lassen sich auch hier die Vorwärtsund die Rückwärtsgleichung formulieren. Bezüglich der Beweise wird auf den Anhang verwiesen. Satz 6: Es gilt die Kolmogorovsche Vorwärtsgleichung, d.h.: ( ) ( ) ( ) ∑ = + +→ m⋅=== ==−== N 0k x k1st 1s2t1s2ht 0h )t(xZ|kZP h xZ|xZPxZ|xZP lim 2 für alle [ ) ∞∈ ,0t,s mit ts < und Sx,x 21 ∈ . Satz 7: Es gilt die Kolmogorovsche Rückwärtsgleichung, d.h.: ( ) ( ) ( ) ∑ = + +→ ==⋅m−= ==−== N 0k s2tkx 1s2t1hs2t 0h kZ|xZP)s( h xZ|xZPxZ|xZP lim 1 für alle [ ) ∞∈ ,0t,s mit ts < und Sx,x 21 ∈ . Mit der Bezeichnung ( ) Sx,x x x 21 2 1)t(:)t( ∈ m=Μ lassen sich die Gleichung wie folgt darstellen (vgl. [10] S.18f). - 30 - 7. Das Restglied in der Pensionsversicherungsmathematik In der Pensionsversicherungsmathematik bzw. der betrieblichen Altersversorgung wird zur Berücksichtigung der unterjährlich vorschüssigen Zahlweise i.d.R. das Restglied gemäß Invarianzsatz (vgl. [12]) verwendet. Dabei wird dieses Restglied von den Bewertungsfaktoren einer laufenden Leibrente vom Jahresbetrag 1 in Abzug gebracht. Das gleiche Ergebnis erhält man in dem hier verwendeten unterjährlichen Markov-Modell (vgl. Satz 3). Bei T-facher Zahlung und einem jährlichen Rechnungszins 0r > hat das Restglied ohne die Berücksichtigung einer Rentendynamik die Gestalt: ( ) ∑ − =⋅ + + ⋅ ⋅1 T 0s r sT r 1 s T 1 . Lässt man die Anzahl der unterjährlichen Zahlungen gegen unendlich laufen, so konvergiert dieses Restglied gegen das entsprechende Restglied des zeitstetigen Modells. D.h. es gilt ()( ) )r 1 ln(r r r 1 ds rs 1 ) r 1( s rs T r 1s T 1 lim 2 1 0 1T 0 s T+− ⋅ + = ⋅+ + ⋅ = ⋅+ +⋅ ⋅∫ ∑ − = ∞→ . Beweis: Es sei rs1 )r1(s :)s(f ⋅+ +⋅ = , ]1,0[s∈ . Nähert man das Integral ∫⋅+ +⋅ 1 0 ds rs 1 )r1(s durch Untersummen, so ergibt sich: ∑∑ ∫− = ∞→ − = ∞→ ⋅+ +⋅ ⋅=⋅= ⋅+ +⋅ 1T 0s T 1T 0s T 1 0rs1 )r1(s T 1 lim)s(f T 1 limds rs1 )r1(s . Die Behauptung folgt aus Satz 9. □ Verwendet bei der Konvergenz anstelle der Untersummen die Obersummen, so gilt analog ( ) ( ) )r 1ln(r r r1 ds rs1 )r1(s rsT r1s T 1 lim 2 1 0 T 1s T+−⋅ + = ⋅+ +⋅ = ⋅+ +⋅ ⋅∫ ∑ = ∞→ Dies bedeutet, dass beim unterjährlichen Modell die vorschüssige Zahlweise durch die nachschüssige Zahlweise ersetzt wird. - 31 - Diese Konvergenzaussage wird durch das folgende Zahlenbeispiel verdeutlicht. Der jährliche Rechnungszins sei % 6 , d.h. 06 , 0 r= . Anzahl der unterjährlichen Perioden Restglied bei vorschüssiger Zahlweise Restglied bei nachschüssiger Zahlweise 1 0,0000 1,0000 3 0,3420 0,6753 12 0,4680 0,5513 50 0,4997 0,5197 100 0,5047 0,5147 1.000 0,5092 0,5102 5.000 0,5096 0,5098 10.000 0,5097 0,5098 zeitstetiges Modell 0,5097 0,5097 - 32 - 8. Schlussbemerkung Im vorliegenden Artikel wird gezeigt, wie ausgehend von einer jährlich inhomogenen Markov-Kette durch lineare Interpolation der Übergangsmatrizen und der Einheitsmatrix sowohl eine unterjährliche als auch eine zeitstetige inhomogene Markov-Kette nach dem gleichen Prinzip konstruiert werden kann. Fügt man eine Bewertung hinzu, so ergibt im unterjährlichen Fall aus Satz 4 ein Verfahren zur Ermittlung der Momente der Zufallsvariablen „Barwert des Zahlungsstroms“. Die Vorgehensweise kann - wie im Fallbeispiel zur Pensionsversicherungsmathematik dargestellt - EDV-technisch umgesetzt werden. Es ergibt sich somit eine Alternative zu den z.B. in der betrieblichen Altersversorgung etablierten Berechnungsmethoden. Als Anwendung der zeitstetigen Markov-Kette ergibt sich ein tieferes Verständnis bezüglich des Restglieds der Pensionsversicherungsmathematik. In [9] wird im Fallbeispiel 3 dargestellt wie man die Momente der Zahlungen eines speziellen Jahres bzw. die Korrelation zwischen den Zahlungen zweier Jahre bei jährlicher Zahlweise bestimmen kann. Auch im unterjährlichen Fall ist dies auf Basis von Satz 4 möglich. Eine Anwendung wäre der Vergleich dieser Kennzahlen mit den entsprechenden Werten einer Monte-Carlo-Simulation des Zahlungsstroms. Solche Prognoserechnungen werden z.B. im Bereich der betrieblichen Altersversorgung durchgeführt. Im Unterschied zum unterjährlichen Fall wird bei der zeitstetigen Markov-Kette in der vorliegenden Arbeit kein Ergebnis erzielt, dass analog zu Satz 4, die Verteilung des der Zufallsvariablen „Barwert des Zahlungsstroms“ eindeutig bestimmt und somit ein Verfahren zur Berechnung der Momente liefert. Ein möglicher Zugang könnte eine Grenzwertbetrachtung sein. Dazu müsste man in Satz 4 den Limes ∞→T bilden, d.h. bei der EDV-technischen Umsetzung mit einer hinreichend großen Anzahl von äquidistanten unterjährlichen Zahlungszeitenpunkten arbeiten. - 33 - 9. Anhang: Ergänzungen zu Kapitel 5 Beweis Markov-Eigenschaft: Es seien INn∈ , [ ) ∞∈ ,0t,,t ,t n21 2 mit n21 ttt <<< 2 , Sx,,x,x n21 ∈2 und ( ) 0xZ,,ZZ,xZP 1nt2t1t 1n21 >=== − − 2 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () 1ntnt 1nt nt1nt N 0k x,k 1n0 N 0k x,x n1n x,k 1n0 N 0k x,k 1n0 N 0k x,k 1n0 x,x n1n x,x n1n N 0k x,x 1n2n x,x 21 x,k 10 N 0k x,x 1n2n x,x 21 x,m 10 x,x n1n N 0k x,x 1 n2n x,x 21 x,k 10 N 0k x,x n1n x,x 21 x,k 10 1nt2t1t nt2t1t 1nt2t1tnt xZ|xZP )xZ(P )xZ,xZ(P t,0)k(P t ,tt,0)k(P t ,0)k(P t ,0)k(Pt,t t,t t,tt,t t,0)k(P t ,tt,tt,0)k(Pt, t t,tt,tt,0) k(P t,tt,tt,0)k(P )xZ,...,xZ,xZ(P )xZ,...,xZ,xZ(P xZ,,ZZ,xZ|xZP 1nn 1n n1n 1 n n1n1n 1n 1nn1n n1n 1n2 n211 1n2 n211n1n 1n2n211 n1n211 1n21 n21 1n21n − − − = − = −− = − = −− − = −− = −−− = −− = − − − === = == = = λ⋅ λ⋅λ⋅ = = λ⋅ λ⋅⋅λ =λ= = λ⋅⋅⋅λ⋅λ⋅ λ⋅⋅λ⋅λ⋅⋅λ = = λ⋅ ⋅λ⋅λ⋅ λ⋅⋅λ⋅λ⋅ = = === === = ===== − − − − −− − − − − − − −− − −− − − − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 3 3 3 3 2 □ - 34 - Beweis Kolmogorovsche Vorwärtsgleichung: Es seien [ ) ∞∈ ,0t,s mit ts < und Sx,x 21 ∈ . () ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ = + +→ ≠ = + +→ + +→ ≠ = + +→ = + +→ + + → m ⋅=== ===⋅ −== + ==⋅ == = === ⋅ − == + +==⋅ = = = =        = =−==⋅== ⋅ = = ==−== N 0k x k1st 1s2t 2t2ht 0h N xk 0k 1st t2ht 0 h 1s2 t 2 t2 ht 0h N xk 0 k1st t 2 ht 0h 1 s 2t N 0 k1stt2 h t 0 h 1 s2t1s 2h t 0 h )t (xZ|kZP xZ|xZP h 1xZ| xZP lim xZ|kZP h kZ|xZP lim xZ | xZ P h 1 x Z| x ZP lim xZ|kZP h kZ | xZ P lim xZ |x Z PxZ|kZPkZ |x Z P h 1 lim h x Z|xZPxZ| x ZP lim 2 2 2 □ - 35 - Beweis Kolmogorovsche Rückwärtsgleichung: Es seien [ ) ∞∈ ,0t,s mit ts < und Sx,x 21 ∈ . Zunächst erhält man mit dem Lemma zu Satz 5: ( ) () () () () ( ) 1s 2 t x ,x ]t [ 1] s[ m 1 x ,x ]t[ 1]s[m 1 0h x, x ]t[ 1]s[m 1 0 h x ,x ]t[ 1]hs[m 1 0h 1hs2 t 0 h xZ |x Z P]) t[ ],t[ t( U) m (Q ]) s[ ],s [ s(U ]) t[ ],t[ht(U)m(Q])s[],s [ hs ( Ulim ])t [], t[t(U)m(Q])s[],s [h s( U lim ])t [], t [t (U ) m(Q])hs[],hs [ hs (U lim xZ| x ZP lim 2 1 21 2 1 21 = ==        − ⋅ ⋅ −= =        −+⋅⋅− += =        −⋅⋅−+ = =        − ⋅ ⋅++−+ = === ∏ ∏ ∏ ∏ + = − += − +→ += − +→ ++= − + → + + → Damit folgt: ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ = ≠ = + + → + + → + + + → = +++ +→ + + → == ⋅m−= = = = ⋅ == − == − ⋅= == =        == ⋅ ==− == ⋅= = == −== N 0k s2 tkx N x k0k 1s hs 0h h s2t 0 h 1 s1 h s 1 hs 2t 0h N 0k 1 s hs hs2 t1h s2t 0h 1 s2 t1h s 2t 0h kZ |xZP) s( h xZ |k ZP limk Z |x ZPlim h xZ|x Z P1 xZ |x Z Plim x Z| k ZP kZ|xZ P xZ |xZP h 1 lim h x Z| x ZPx Z| xZ P lim 1 1 □ - 36 - Literaturverzeichnis [1] Fritz, FranzJosef; Huppert, Bertram; Wilems, Wolfgang Stochastische Matrizen, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1979. 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Eine vollständige Übersicht aller bisher erschienenen Publikationen findet sich am Ende dieser Publikation . Forschung am ivw Köln, 4/2016 ISSN (online) 2192-8479 Knobloch: Bewertete inhomogene Markov-Ketten – Spezielle unterjährliche und zeitstetige Modelle Köln, Februar 2016 Schriftleitung / editor’s office: Prof. Dr. Jürgen Strobel Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschafts - und Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Technische Hochschule Köln / University of Applied Sciences Gustav Heinemann -Ufer 54 50968 Köln Tel. +49 221 8275-3270 Fax +49 221 8275-3277 Mail juergen.strobel@th -koeln.de Web www.th-koeln.de Herausgeber der Schriftenreihe / Series Editorship: Prof. Dr. Lutz Reimers -Rawcliffe Prof. Dr. Peter Schimikowski Prof. Dr. Jürgen Strobel Kontakt Autor / Contact author: Prof. Dr. Ralf Knobloch S chmalenbach Institut für Wirtschaftswissenschaften / Schmalenbach Institute of Business Administration Fakultät für Wirtschafts - und Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Technische Hochschule Köln / University of Applied Sciences Gustav Heinemann -Ufer 54 50968 Köln Mail [email protected] Publikationsreihe „Forschung am ivwKöln“ Kostenlos abrufbar unter www.ivw-koeln.de. Mehrheitlich sind diese Online-Publikationen auch über den Schriftenserver Cologne Open Science verfügbar. 2016 6/2016 Heep-Altiner, Rohlfs, Dağoğlu, Pulido, Venter: Berichtspflichten und Prozessanforderungen nach Solvency II 5/2016 Goecke: Collective Defined Contribution Plans - Backtesting based on German capital market data 1955 - 2015 4/2016 Knobloch: Bewertete inhomogene Markov-Ketten - Spezielle unterjährliche und zeitstetige Modelle 3/2016 Völler (Hrsg.): Sozialisiert durch Google, Apple, Amazon, Facebook und Co. – Kundenerwartungen und –erfahrungen in der Assekuranz. Proceedings zum 20. Kölner Versicherungssymposium am 5. November 2015 in Köln 2/2016 Materne (Hrsg.): Jahresbericht 2015 des Forschungsschwerpunkts Rückversicherung 1/2016 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2015 2015 11/2015 Goecke (Hrsg.): Kapitalanlagerisiken: Economic Scenario Generator und Liquiditätsmanagement. Proceedings zum 8. FaRis & DAV Symposium am 12. Juni 2015 in Köln 10/2015 Heep-Altiner, Rohlfs: Standardformel und weitere Anwendungen am Beispiel des durchgängigen Datenmodells der „IVW Privat AG“ – Teil 2 9/2015 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds 8/2015 Strobel (Hrsg.): Management des Langlebigkeitsrisikos. Proceedings zum 7. FaRis & DAV Symposium am 5.12.2014 in Köln 7/2015 Völler, Wunder: Enterprise 2.0: Konzeption eines Wikis im Sinne des prozessorientierten Wissensmanagements 6/2015 Heep-Altiner, Rohlfs: Standardformel und weitere Anwendungen am Beispiel des durchgängigen Datenmodells der „IVW Privat AG‘‘ 5/2015 Knobloch: Momente und charakteristische Funktion des Barwerts einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette. Anwendung bei risikobehafteten Zahlungsströmen 4/2015 Heep-Altiner, Rohlfs, Beier: Erneuerbare Energien und ALM eines Versicherungsunternehmens 3/2015 Dolgov: Calibration of Heston's stochastic volatility model to an empirical density using a genetic algorithm 2/2015 Heep-Altiner, Berg: Mikroökonomisches Produktionsmodell für Versicherungen 1/2015 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2014