Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Backtesting

 Forschung am IVW Köln, 7/2013 Institut für Versicherungswesen Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Backtesting Oskar Goecke    Zusammenfassung Beim kollektiven Sparen teilt sich das gesamte Sparvermögen in zwei Teile: Zum einen in die Summe der individuellen Sparguthaben und zum anderen in ein kollektives Sparvermögen (kollektive Reserve), das nicht dem einzelnen Sparer zuzurechnen ist, sondern der Gesamtheit aller Sparer. Die kollektive Reserve wird dafür verwendet, kurzfristige Wertschwankungen des angelegten Sparvermögens auszugleichen: Bei einer überdurchschnittlich guten Performance des Gesamtvermögens wird ein Teil der Kapitalerträge der kollektiven Reserve zugeführt. Bei einer schlechten Performance werden Teile der Reserve dafür verwendet, eine kontinuierliche Wertentwicklung der individuellen Guthaben sicher zu stellen. Durch den Aufund Abbau der kollektiven Reserve werden also die Schwankungen am Kapitalmarkt ausgeglichen. In [Goecke 2011] wurde ein zeitstetiges Modell für den kollektiven Sparprozess vorgestellt und analysiert. In [Goecke 2012] wurde dann das Modell anhand von MonteCarlo Simulationen getestet. In einem weiteren Schritt soll in der hier vorliegenden Arbeit ein Backtesting durchgeführt werden. Wir untersuchen, wie das Modell des kollektiven Sparens unter Zugrundelegung realer Kapitalmarktdaten sich in der Vergangenheit verhalten hätte. Hierbei vergleichen wir das Modell des kollektiven Sparens mit nicht-kollektiven Anlagestrategien. Abstract Collective Saving means that the total assets under investment are split into two parts: Firstly, the sum of all individual savings and secondly, a collective reserve. The collective reserve is designed to smoothen the volatile capital market returns: If the assets perform above-average part of the capital market returns are allocated to the collective reserve. On the other hand, capital market losses can be compensated by releases from the collective reserve. In [Goecke 2011] we have presented a time continuous model of collective saving. In [Goecke 2012] we tested our model using Monte-Carlo Simulations. In this paper we do a backtesting using real market data and compare the performance of the collective saving model in comparison with non-collective saving strategies. - I - Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis .......................................................................... I 1Einführung .............................................................................. 1 2Modell des kollektiven Sparprozesses .................................... 1 2.1Grundzüge des zeitstetigen Modells................................................ 1 2.2ALM-Strategien ............................................................................... 3 2.2.1Die Reservequote als zentrale Steuerungsgröße ........................................... 3 2.2.2Parameter der Basis-Strategie ....................................................................... 3 2.3Kapitalmarktdaten für das Backtesting ........................................... 5 2.3.1Rentenund Aktienanlage ............................................................................ 5 2.3.2Konkretisierung der ALM-Regeln für das Backtesting ................................ 9 2.4Referenzmodell .............................................................................. 10 2.4.1Darstellung des Referenzmodells ............................................................... 10 2.4.2Auswertung des Referenzmodells .............................................................. 12 2.5Modifikation der Parameter im Basismodell ................................ 17 2.5.1Änderung der Steuerungsgrößen a und b ................................................... 17 2.5.2Änderung der Start-Reservequote .............................................................. 21 2.5.3Änderung der Ziel-Aktienquote (vgl. Abbildung 14 und Tabelle 8) .......... 24 2.6Modifikation des Basismodells ..................................................... 27 3Fazit und Ausblick ................................................................ 30 Literatur ...................................................................................... 32 Abbildungsverzeichnis ................................................................ 33 Tabellenverzeichnis .................................................................... 35 - 1 - SPARPROZESSE MIT KOLLEKTIVEM RISIKOAUSGLEICH BACKTESTING 1 Einführung In [Goecke 2011] wurde ein zeitstetiges Modell des kollektiven Sparens vorgestellt und analysiert. Mit Hilfe umfangreicher Monte Carlo Simulationen wurde in [Goecke 2012] eine zeitdiskrete Version des Modells des kollektiven Sparens untersucht und mit nichtkollektiven Sparformen vergleichen. Anhand abgeleiteter Rendite-Risiko-Profile konnte ein komparativer Vorteil des kollektiven Sparens gegenüber individuellem Sparen nachgewiesen werden. Im Folgenden soll untersucht werden, wie das kollektive Sparmodell unter Zugrundelegung realer Kapitalmarktdaten in der Vergangenheit im Vergleich mit anderen Sparformen abgeschnitten hätte. 2 Modell des kollektiven Sparprozesses 2.1 Grundzüge des zeitstetigen Modells Ausgangspunkt ist das folgende einfache Bilanzschema - vgl. Abbildung 1. Das Gesamtvermögen des Sparerkollektivs P(t) besteht aus einem kollektiven Anteil R(t) und einem individuellen Anteil V(t). Der individuelle Anteil umfasst die Summe aller Sparguthaben der einzelnen Sparer im Kollektiv. Der kollektive Anteil, auch als kollektive Reserve bezeichnet, repräsentiert Vermögensansprüche des Gesamtkollektivs, ohne dass der einzelne Sparer auf einen konkret zu bestimmenden Anteil Anspruch hätte. ABBILDUNG 1: Vereinfachtes Bilanzschema Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 2 - Wir treffen die Annahme, dass die Summe der zufließenden Sparbeiträge exakt der Summe der ausgezahlten Sparguthaben entspricht. Hierbei unterstellen wir, dass sowohl die zufließenden Sparbeiträge als auch die abfließenden (fälligen) Sparguthaben in der Bilanzposition V(t) gegengebucht werden, so dass die Saldierung von zufließenden und abfließenden Mitteln reserveneutral erfolgt. Dies bedeutet, dass die Wertentwicklung des Gesamtvermögens P(t) ausschließlich vom Kapitalanlageergebnis abhängt. Der kollektive Sparprozess wird von einem ALM-Manager1 gesteuert. Wir unterstellen, dass der ALM-Manager selbstlos für das Sparerkollektiv tätig wird und bestrebt ist, das Vermögen möglichst ertragreich anzulegen. Zur Steuerung des kollektiven Sparprozesses stehen ihm zu jedem Zeitpunkt zwei Steuerungsparameter (,)   zur Verfügung. Mit 0   bezeichnen wir die Risikoexposition und gehen davon aus, dass mit steigender Risikoexposition eine höhere Renditeerwartung verbunden ist - vgl. Abbildung 2. In einem Black-Scholes Kapitalmarktmodell würde man  als die Volatilität der Kapitalanlagen interpretieren;  = 0 bedeutet dann, dass die Kapitalanlage sicher ist. ABBILDUNG 2: Rendite-Risiko-Profil des Kapitalmarkts Der zweite Steuerungsparameter ist die Deklaration  . Der Deklarationssatz  legt fest, wie die individuellen Guthaben fortgeschrieben werden. Hierbei interpretieren wir  als Zinsintensität; d. h. ist als  die zum Zeitpunkt t gewählte Deklaration, so gilt () ()Vt e Vt     bzw. 1() ln () Vt Vt       . Wir können das Paar (,)   als ALM-Position bezeichnen, denn die Wahl von  legt die Asset-Allokation fest, während  die Verpflichtungsseite (Liabilities) bestimmt. Man beachte hier das Prinzip der Vorausdeklaration, denn mit der Festlegung der 1 Selbstverständlich meinen wir mit „Manager“ sowohl einen männlichen also auch einen weiblichen Manager. Aus Gründen der besseren Lesbarkeit beschränken wir uns auf die grammatikalisch männliche Form. Ebenso meinen wir mit Sparern auch Sparerinnen. Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 3 - ALM-Position zum Zeitpunkt t steht die Größe ()Vt   bereits fest, während ()Pt für 0   stochastisch ist. 2.2 ALM-Strategien 2.2.1 Die Reservequote als zentrale Steuerungsgröße Unter einer ALM-Strategie wollen wir ein Regelwerk verstehen, das es dem ALMManager erlaubt, zum jedem Zeitpunkt t (unter Berücksichtigung der bis zum Zeitpunkt t gemachten Erfahrungen) die ALM-Position (Asset-Allokation und Deklaration) für das nächsten Zeitintervall dt (bzw.  t) festzulegen. Die wichtigste Steuerungsgröße des ALM-Prozesses ist die Reservequote. Mehr aus technischen Gründen definieren zunächst die logarithmische Reservequote (logReservequote). Beobachten wir zum Zeitpunkt t die Bilanzgrößen P(t), V(t) und R(t) = P(t) - V(t), so setzen wir:  () () () (): ln ln ln1 () () () Pt Pt Rt tRQt Vt Pt              , wobei () (): () Rt RQ t Pt  die übliche Reservequote darstellt. Es gilt () 0 () 0tRQt    und für kleine Werte von () R Qt gilt () ()tRQt   . Für 1RQ  gilt  . Im Grunde ist es egal, ob man auf die log-Reservequote oder die „normale“ Reservequote abstellt. Für das zeitstetige Modell stellt sich aber heraus, dass der Übergang zur logReservequote die Darstellung erheblich vereinfacht. Insbesondere kann man zeigen, dass unter sehr plausiblen Annahmen der stochastische Prozess   0 ()t t   eine besonders einfache Darstellung hat. Wir werden daher im Folgenden stets auf die logReservequote abstellen, sie wird bei der Formulierung der ALM-Strategien eine Schlüsselgröße sein. 2.2.2 Parameter der Basis-Strategie Der ALM-Manager verfolgt eine strategische Risikoexposition ˆ0   und eine strategische Reservequote Z iel RQ - wie setzen :ln(1 ) Z iel Ziel RQ    . In Abhängigkeit von der im Zeitpunkt t beobachteten Reservequote ()t  legt er die taktische Risikoexposition ()t  fest und zwar nach folgender Regel  ˆ () () Z iel tat    , (ALM-Regel 1) Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 4 - wobei hier a die Anpassungsgeschwindigkeit bestimmt, von der wir annehmen, dass sie konstant ist. Wählen wir 0a  , so bedeutet dies, dass die Risikoexposition unabhängig von der aktuelle Reservesituation stets unverändert bleibt. Plausibel ist es sicherlich 0a anzunehmen, denn fällt die aktuelle Reserve hinter die Zielreserve, so liegt es nahe, dass der ALM-Manager vorsichtiger anlegt. Allerdings ist auch festzuhalten, dass 0a zu einer prozyklischen Asset-Allokation führt. Die Deklaration ist bestimmt durch das Ziel, die Versicherungsnehmer fair am Kapitalertrag des Gesamtportfolios zu beteiligen. Wir unterstellen daher, dass - sofern die IstReservequote der Zielreservequote entspricht - die Deklaration sich an der erwarteten Rendite des Portfolios orientiert. Bezeichnen wir also mit   ()t  die erwartete Portfoliorendite (genauer: die Drift), so ist   ()t   zu wählen. Allerdings erfolgt auch hier eine Anpassung an die Reservequote:     () () () Z iel ttbt    ; (ALM-Regel 2) hierbei ist b ein konstanter Parameter. Der Parameter b steuert den Risikoausgleich zwischen den einzelnen Sparergenerationen. Ist nämlich 0b und () Z iel t    , so wird die aktuelle Deklaration reduziert und die Reserveposition wird (im Erwartungswert) gestärkt. Eine Reduktion der Deklaration bedeutet jedoch, dass die Sparergeneration, deren Verträge kurz vor der Fälligkeit stehen, den Reserveaufbau finanziert, der ausschließlich den nachfolgenden Sparergenerationen zugute kommt. Schließlich müssen wir auch festlegen, welche Struktur die Startbilanz hat bzw. wie hoch die anfängliche Reservequote (0)RQ bzw. die anfängliche log-Reservequote  0ln 1 (0)RQ    bzw. ist. Sind die Parameter ˆ ,,, Ziel ab   und die Stochastik des Kapitalmarktes gegeben, so ist mit Vorgabe des Startreserve 0  das kollektive Modell eindeutig bestimmt. Für die Fortschreibung der Assets gilt: 2   ˆ () () Z iel tat    ,     ln () () () t dPt tdt tdW    , und für die Liabilities gilt:     () () () Z iel ttbt    ,   ln () ()dVt tdt  . Hieraus folgt für die Fortschreibung der log-Reservequote: 2 Eine detaillierte Beschreibung des zeitstetigen Modell findet sich in [Goecke 2011]. Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 5 -   () () ln () () () () t Pt dt d t tdt tdW Vt      . 2.3 Kapitalmarktdaten für das Backtesting 2.3.1 Rentenund Aktienanlage Für das Backtesting legen wir zwei Anlageformen zugrunde: Eine Anlage in ein Rentenportfolio mit deutschen Staatsanleihen, repräsentiert durch den Rentenindex REXP,3 und eine Anlage in ein Aktienportfolio, repräsentiert durch den Aktienindex DAX.4 Zeitreihen mit den monatlichen Endständen liegen für den REXP ab Januar 1967 und für den DAX ab 1987 vor. Die Deutsche Bundesbank veröffentlicht auch DAX-Werte für die Zeit vor 1987. Diese wurden allerdings auf Grundlage des (Kurs-)Indexes der Börsenzeitung zurückgerechnet. Insbesondere werden bei dieser Rückrechnung Dividendenzahlungen und andere Vorteile aus dem Aktienbesitz nicht berücksichtigt. Da wir mit Hilfe der DAX-Zeitreihe jedoch die Performance eines gut gemischten Aktienportfolios repräsentieren wollen, müssen die rückgerechneten DAX-Werte korrigiert werden. Wir stützen uns im Folgenden auf die von Stehle, Huber und Meier 5 berechneten korrigierten DAX-Werte. Die Abbildung 3 zeigt die Wertentwicklung einer Investition vom Betrag 1 zum Monatsultimo Januar 1967 in den jeweiligen Index bzw. bei monatlich revolvierender Anlage als Monatsgeld. Man erkennt, dass die Korrektur des DAX nach Stehle, Huber und Meier für die Zeit vor 1987 einen gravierenden Einfluss hat. Die sichere Anlage (hier revolvierende Anlage als 1-Monatsgeld) ist nahezu durchgängig ungünstiger als die Anlage in den Rentenindex. Somit bestätigt diese Auswertung die Grundannahme, dass sich Risiko lohnt. 3 ISIN: DE0008469115. Es handelt sich um einen Performance-Index, der von der Deutschen Börse AG berechnet wirdvgl. http://dax-indices.com/DE/MediaLibrary/Document/REX_L_3_10_d.pdf. Datenreihe steht in der Zeitreihendatenbank der Deutschen Bundesbank als Zeitreihe BBK01.WU3141 zur Verfügung. 4 ISIN: DE0008469008. Es handelt sich um einen Performance-Index, der von der Deutschen Börse AG berechnet wirdvgl. http://dax-indices.com/DE/MediaLibrary/Document/Equity_L_6_19_d.pdf. Datenreihe steht in der Zeitreihendatenbank der Deutschen Bundesbank als Zeitreihe BBK01.WU046A zur Verfügung. 5 [Stehle e.a. 1996]; hier insbesondere Tabelle 3 S. 296. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 6 - ABBILDUNG 3A-B: Wertentwicklung verschiedener Anlagenformen. Zugrunde gelegt wurde ein Investment vom Betrage 1 zum Monatsende Januar 1967. Untere Abbildung verwendet eine logarithmische Skala. Die Abbildung 4A-F zeigen, dass bei langfristigen Sparprozessen ein gewisser Risikoausgleich zu beobachten ist. Während bei 10-jährige Spardauer der DAX-Sparer noch befürchten musste, nach Ablauf von 10 Jahren weniger ausgezahlt zu bekommen als die Summe der Sparbeiträge, besteht dieses Risiko bei 20und 30-jährigen Verträgen nicht. Bei 20-jähriger Spardauer ist die Ablaufrendite beim DAX-Sparplan bisweilen sogar niedriger als bei einer Geldmarktanlage. Bei 30-jähriger Spardauer ist fast durchgängig das Endergebnis eines DAX-Sparplans besser als eines REXP-Sparplans. und durchgängig deutlich besser als eine Geldmarktanlage. Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 13 - REXP-Anlage. Bei 30-jährigem Anlagehorizont ist Standardabweichung beim kollektiven Sparen niedriger als bei einer REXP-Anlage. REXP DAX_korr kollektives Sparen Anlagedauer: 1 Jahr Mittelwert 6,90% 10,31% 8,96% Minimum -5,02% -55,09% 0,05% Maximum 19,49% 85,33% 24,22% Standardabweichung 4,97% 23,62% 5,29% Anlagedauer: 2 Jahre Mittelwert 6,81% 8,69% 8,98% Minimum -2,38% -36,41% 1,25% Maximum 15,19% 54,11% 20,86% Standardabweichung 3,58% 16,72% 4,73% Anlagedauer: 3 Jahre Mittelwert 6,82% 8,09% 8,96% Minimum -0,39% -31,68% 1,90% Maximum 14,23% 45,01% 19,71% Standardabweichung 2,91% 13,29% 4,17% Anlagedauer: 5 Jahre Mittelwert 6,87% 7,87% 8,97% Minimum 2,92% -13,83% 3,64% Maximum 12,67% 31,64% 17,09% Standardabweichung 2,04% 9,64% 3,14% Anlagedauer: 10 Jahre Mittelwert 7,04% 8,25% 9,10% Minimum 4,35% -3,07% 5,56% Maximum 8,88% 17,86% 12,14% Standardabweichung 1,10% 5,07% 1,92% Anlagedauer: 20 Jahre Mittelwert 7,23% 9,29% 9,52% Minimum 5,87% 5,49% 8,43% Maximum 8,31% 16,01% 11,52% Standardabweichung 0,61% 2,48% 0,90% Anlagedauer: 30 Jahre Mittelwert 7,20% 9,34% 9,46% Minimum 6,44% 6,45% 8,78% Maximum 7,75% 11,09% 9,90% Standardabweichung 0,37% 0,80% 0,25% Tabelle 1: Ablaufrenditen (als Jahreszins) bei einer Einmalanlage mit unterschiedlichen Anlagedauern; Vergleich Referenzmodell mit REXP und DAX_korr. Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 14 - Die in Tabelle 1 dargestellten Kennzahlen beziehen sich jeweils auf die Ablaufrendite. In Anlehnung an [Goecke 2012] wollen auch Risikokennzahlen analysieren, die den Renditeverlauf widerspiegeln - vgl. Abbildung 8 und Tabelle 2: Pfad-Volatilität: Annualisierte Volatilität des Zinspfades auf der Grundlage der monatlichen Zinsintensitäten. Maximum Drawdown: Der größte Wertverlust, den ein Anleger der entsprechenden Anlageform hinnehmen musste. Maximum Recovery Time: Längste Zeitspanne während dessen ein Anleger keinen Wertzuwachs erfahren hat. ABBILDUNG 8: Maximum Drawdown und Maximum Recovery Time am Beispiel einer DAX-Einmalanlage zum 1.2.1967 in Höhe von 1. REXP DAX_korr kollektives Sparen Feb. 1967 - Feb. 2013 Pfad-Volatilität 3,66% 19,99% 1,48% Maximum Drawdown -6,98% -68,29% -0,27% Maximum Recovery Time 18 Monate 86 Monate 10 Monate Tabelle 2: Risikokennzahlen der Renditeverlaufs; Vergleich Referenzmodell mit REXP und DAX_korr. Sparpläne Es soll nun untersucht werden, wie sich im Referenzmodell Sparpläne mit gleichbleibenden Sparraten verhalten - vgl. Abbildung 9A-F. Dargestellt sind wie in Abbildung Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 15 - 4A-E die Ablaufleistungen bzw. die Renditen bei Ablauf für 10-/ 20und 30-jährige Sparverträge mit einer monatlich vorschüssigen Sparrate von 100€. Augenfällig ist, wie des beim kollektiven Sparprozess zu einem Risikoausgleich zwischen den Sparergenerationen kommt. Aufeinander folgende Sparergenerationen haben erzielen nahezu gleiche Ablaufleistungen bzw. Renditen. Trotz der rund 50%-igen Aktienquote haben die Sparer im kollektiven Sparmodell faktisch kein Timing-Risiko. Dieser Glättungseffekt ist natürlich am ausgeprägtesten bei langen Spardauern. Bis auf wenige Ausnahmen bei 10-jährigen Sparverträgen, schneiden die Kollektivsparer durchweg besser ab als sicherheitsorientierte REXP-Sparer - vgl. Tabelle 3 Die mittlere Rendite bei 10-, 20und 30-jährigen Sparplänen ist beim kollektiven Sparen mehr als 2 Prozentpunkte größer als bei REXP-Sparpläne und sogar knapp größer ist als bei DAX-Sparplänen. Der Renditeabstand zwischen dem besten und dem schlechtesten Renditeergebnis sinkt mit steigender Spardauer. Bei einer 30-jährigen Spardauer beträgt der Renditeabstand beim kollektiven Sparen und beim REXPSparplan rund 2 Prozentpunkte; bei einem DAX-Sparplan sind es über 7 Prozentpunkte. Diese erhebliche Renditedifferenz bei einem reinen Aktiensparplan ist eine Erklärung dafür, dass Aktiensparpläne als risikoreich empfunden werden, obwohl die minimale Rendite (6,21%) immer noch über der Rendite eines REXP-Sparplan (6,08%) liegt. - 16 - ABBILDUNG 9A-E: Ablaufleistungen (obere Reihe) und Renditen (untere Reihe) für 10-/ 20-/ und 30-jährigen Sparplänen -vgl. Abbildung 4; Vergleich Referenzmodell/ REXP/ DAX_korr. - 17 - REXP DAX_korr kollektives Sparen 10-jähriger Sparvertrag Mittelwert 7,01% 8,88% 9,07% Minimum 3,88% -5,91% 5,55% Maximum 9,32% 23,09% 14,15% 20-jähriger Sparvertrag Mittelwert 7,08% 9,55% 9,71% Minimum 5,28% 2,67% 7,59% Maximum 8,37% 16,70% 12,00% 30-jähriger Sparvertrag Mittelwert 7,04% 9,62% 9,73% Minimum 6,08% 6,21% 8,54% Maximum 8,04% 13,61% 10,73% Tabelle 3: Ablaufrenditen bei 10-/ 20und 30-jährigen Sparverträgen mit gleichbleibender Sparrate; Vergleich Referenzmodell mit REXP und DAX_korr. 2.5 Modifikation der Parameter im Basismodell 2.5.1 Änderung der Steuerungsgrößen a und b Im Referenzmodell haben wir a = 0,6 und b = 0,3 gesetzt. Diese Parameter regeln, wie schnell die Risikoexposition und die Deklaration an die geänderte Reservequote angepasst werden. Je kleiner die Parameter sind, desto größer ist die Gefahr, dass die Reserven vollständig aufgezehrt werden. In Tabelle 4 sind die Eckdaten zusammen gefasst, die Daten des Referenzmodells sind grau unterlegt. Variation des Parameters a (vgl. Tabelle 4 und Abbildung 10) Eine Erhöhung des Anpassungsparameters a führt zu einer Erhöhung aller dargestellten Größen (mit Ausnahme der minimalen Aktienquote). Eine Anpassungsrate von a = 0 bedeutet zwar eine bessere Stabilität der Deklaration (dies äußert sich in einer niedrigeren Volatilität), führt aber dazu, dass das anfängliche Reservepolster nicht ausreicht, um eine Unterfinanzierung („Ruin“), () ()Pt Vt  , zu verhindern. Eine Asset-Allokation der „ruhigen Hand“ ist also nur möglich, wenn enorme Reserven zur Verfügung stehen. Andererseits ist ein Wert von a über 0,5 ohne nennenswerten Einfluss auf die minimale Reservequote. Allerdings erlaubt eine erhöhte Anpassungsgeschwindigkeit der Risikoexposition auch eine im Durchschnitt höhere Aktienquote und damit eine (durchschnittlich) höhere Rendite. - 18 - Steuerungsparameter Reservequote RQ Aktienquote  Deklaration  Rendite bei Anlagehorizont = 20 Jahre in Prozent in Prozent in Prozent in Prozent in Prozent ˆ  a b Z iel RQ 0 RQ Min Max  Min Max  Min Vola Min Max  50% 0 0,3 20 20 -8,29 44,65 21,37 50,00 50,00 50,00 -0,40 1,08 6,74 10,11 8,53 50% 0,1 0,3 20 20 -4,56 47,34 21,48 36,61 70,91 51,37 -0,34 1,15 6,85 10,26 8,60 50% 0,2 0,3 20 20 -1,70 50,29 21,58 26,00 97,58 52,91 -0,28 1,21 6,94 10,33 8,63 50% 0,3 0,3 20 20 0,41 53,10 22,08 17,15 100 54,79 -0,22 1,32 7,35 10,71 8,88 50% 0,4 0,3 20 20 1,90 55,13 22,69 9,21 100 56,13 -0,19 1,42 7,92 11,13 9,15 50% 0,5 0,3 20 20 2,66 55,71 23,21 0,96 100 56,87 -0,15 1,46 8,20 11,33 9,34 50% 0,6 0,3 20 20 2,55 56,07 23,63 0 100 57,28 -0,13 1,48 8,43 11,52 9,52 50% 0,7 0,3 20 20 2,64 56,29 23,88 0 100 57,45 -0,11 1,50 8,59 11,61 9,61 50% 0,8 0,3 20 20 2,84 56,42 24,13 0 100 57,63 -0,09 1,51 8,69 11,74 9,72 50% 0,9 0,3 20 20 3,13 56,67 24,37 0 100 57,81 -0,14 1,53 8,80 11,90 9,85 50% 1,0 0,3 20 20 3,27 57,28 24,63 0 100 58,04 -0,14 1,54 8,90 12,09 9,98 Tabelle 4: Parameter und Eckdaten des Referenzmodells mit Variation des Parameters a - 19 - ABBILDUNG 10: Variation des Parameters a Variation des Parameters b (vgl. Tabelle 5 und Abbildung 11) Der Anpassungsparameters b beeinflusst unmittelbar die Deklaration, je größer b desto größer sind auch die Schwankungen der Deklaration (vgl. Abbildung 11, unteres Schaubild). Wie zu erwarten erhöht eine zu geringe Anpassung der Deklaration die Gefahr, dass die Reservequote unter Null fällt. Anders als der Parameter a bewirkt ein Anstieg von b eine Reduktion der maximalen Reservequote; dies ist plausibel, denn bei einer hohen Reservequote führt ein höherer Anpassungssatz der Deklaration zu einem schnelleren Abbau der Reserve. - 20 - Steuerungsparameter Reservequote RQ Aktienquote  Deklaration  Rendite bei Anlagehorizont = 20 Jahre in Prozent in Prozent in Prozent in Prozent in Prozent ˆ  a b Z iel RQ 0 RQ Min Max  Min Max  Min Vola Min Max  50% 0,6 0 20 20 -5,89 65,98 21,70 0 100 48,56 0,15 0,67 5,02 7,75 6,92 50% 0,6 0,1 20 20 -1,96 63,26 24,24 0 100 56,55 0,07 0,85 6,58 9,17 8,19 50% 0,6 0,2 20 20 0,75 59,06 24,02 0 100 57,08 -0,03 1,17 7,63 10,57 8,98 50% 0,6 0,3 20 20 2,55 56,07 23,63 0 100 57,28 -0,13 1,48 8,43 11,52 9,52 50% 0,6 0,4 20 20 3,99 54,15 23,20 0 100 57,20 -0,22 1,76 8,63 12,11 9,84 50% 0,6 0,5 20 20 5,22 52,41 22,87 0 100 57,23 -0,31 1,99 8,74 12,63 10,13 50% 0,6 0,6 20 20 6,29 51,15 22,55 2,55 100 57,09 -0,40 2,17 8,86 12,93 10,33 50% 0,6 0,7 20 20 7,24 49,87 22,24 5,61 100 56,73 -0,49 2,31 8,93 13,04 10,40 50% 0,6 0,8 20 20 7,78 48,67 22,01 7,35 100 56,36 -0,59 2,44 8,97 13,16 10,47 50% 0,6 0,9 20 20 8,24 47,57 21,82 8,86 100 56,00 -0,69 2,57 8,99 13,27 10,53 50% 0,6 1,0 20 20 8,66 46,53 21,65 10,24 100 55,63 -0,79 2,68 9,00 13,33 10,55 Tabelle 5: Parameter und Eckdaten des Referenzmodells mit Variation des Parameters b - 21 - ABBILDUNG 11: Variation des Parameters b 2.5.2 Änderung der Start-Reservequote Ausgehend vom Referenzmodell mit (0) 20% Ziel RQ RQ   variieren wir (0)RQ unter Beibehaltung der Ziel-Reservequote 20% Ziel RQ  - vgl. Tabelle 6. Z iel RQ (0)RQ (0) Z iel   20%0%‐22,3144% 20%5%‐17,1850% 20%10%‐11,7783% 20%15%‐6,0625% 20%20%0,0000% 20%25%6,4539% 20%30%13,3531% 20%35%20,7639% 20%40%28,7682% 20%45%37,4693% 20%50%47,0004% Tabelle 6: (0) Z iel    in Abhängigkeit von der Start-Reservequote RQ(0) Die taktische Risikoexposition und die Deklaration hängen in der Basisstrategie (vgl. ALM-Regel 1 und ALM-Regel 2 in Abschnitt 2.2.2) nicht von der absoluten Größe der Oskar Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - 22 - log-Reservequote ()t  sondern nur von der Differenz 1 () ln 1() Z iel Ziel RQ t R Qt        ab. Das gilt somit auch für die Fortschreibung der Assets und der Liabilities. Dies bedeutet, dass bei sonst gleichen Steuerungsgrößen ( ˆ ,,ab  ) die ()t  - und ()t  -Pfade nur vom Startwert 1 (0) ln 1(0) Z iel Ziel RQ RQ        abhängen. ABBILDUNG 12: Anpassung der Reservequote an die Ziel-Reservequote bei einer Start-Reservequote von 0%, 20% bzw. 50%. Abbildung 12 zeigt, wie ausgehend von einer Start-Reservequote von 0, 20% und 50% das Basismodell auf das Referenzmodell einschwingt. Dargestellt ist nur der Zeitraum der ersten 10 Jahre; in den späteren Jahren ist der Unterschied zwischen den einzelnen Startpositionen vernachlässigbar. Insofern ist es auch nicht verwunderlich, dass die Höhe der Startreserve nur einen geringen Einfluss auf die Werte hat (vgl. Tabelle 7 und Abbildung 13). Der Grund hierfür ist darin zu sehen, dass insbesondere in der Anfangsphase (1961 bis 1970 - vgl. Abbildung 3B) das Aktieninvestment überproportionale Ergebnisse lieferte, und so problemlos die Reserveposition an die Zielreserve angepasst werden konnte. Allerdings ist zu beachten, dass die ersten Sparergenerationen den Reserveaufbau (bei RQ(0) = 0%) durch Renditeverzicht finanzieren müssen bzw. vom Reserveabbau (bei RQ(0) = 50%) profitieren. Betrachtet man die Rendite eines Sparplans mit gleichbleibenden Sparraten und einer Laufzeit von 360 Monaten, so beträgt die Ablaufrendite 8,47% (bei RQ(0) = 0%), 8,75% (bei RQ(0) = 20%) und 9,14% (bei RQ(0) = 50%). - 29 - Steuerungsparameter Reservequote RQ Aktienquote  Deklaration  Rendite bei Anlagehorizont = 20 Jahre in Prozent in Prozent in Prozent in Prozent in Prozent imin ˆ  a b Z iel RQ 0 RQ Min Max  Min Max  Min Vola Min Max  ./. 50% 0,6 0,3 20 202,55 56,07 23,63 0 100 57,28 -0,13 1,48 8,43 11,52 9,52 ./. 50% 0,6 0,3 20 20 3,73 58,24 23,78 0 100 56,86 -0,14 1,65 8,35 11,88 9,60 1% 50% 0,6 0,3 20 20 3,73 58,24 23,68 0 100 56,51 0,00 1,64 8,35 11,88 9,60 2% 50% 0,6 0,3 20 20 3,73 58,24 23,48 0 100 55,86 0,08 1,61 8,34 11,87 9,60 3% 50% 0,6 0,3 20 20 3,73 58,24 23,21 0 100 54,93 0,17 1,57 8,33 11,85 9,60 4% 50% 0,6 0,3 20 20 3,73 58,24 22,80 0 100 53,67 0,25 1,53 8,31 11,83 9,59 Tabelle 9: Parameter und Eckdaten des Referenzmodells (1. Datenzeile, monatliche Deklaration ohne Mindestzins) im Vergleich zur Modifikation des Basismodells (Zeilen 2 bis 6: mit jeweils jährlicher Deklaration und unterschiedlichem Mindestzins imin) - 30 - 3 Fazit und Ausblick Wir konnten für das theoretische Modell (Basismodell) unterlegt durch umfangreiche Monte-Carlo-Simulationen (vgl. [Goecke 2011 und 2012]) den komparativen Vorteil des kollektiven Sparens nachweisen. Das theoretische Modell basiert auf einem sehr einfachen Black-Scholes-Kapitalmarkt-Modell. Eine wesentliche Komponente in diesem Modell ist die Annahme, dass Aktienanlagen einer geometrischen Brownschen Bewegung folgen. Das bedeutet unter anderem, dass von einem Zeitpunkt t aus getrachtet die zukünftige Kursentwicklung nur vom Zustand in diesem Zeitpunkt abhängt. Wenn also von t aus betrachtet rückblickend ein Aktien-Boom beobachtet wurde, so ist in der Black-Scholes-Welt die Wahrscheinlichkeit, dass der Boom weitergeht genauso hoch wie die Wahrscheinlichkeit einer Korrektur. Ebenso würde man nach einer BaissePhase keinen Grund sehen, warum eine Korrektur nach oben wahrscheinlicher ist als eine Fortsetzung der Baisse. Es gibt aber sehr deutliche Hinweise, dass Kapitalmärkte zu Übertreibungen neigen.11 Schaut man sie die Zeitreihe des DAX an, so wird man auch den Eindruck haben, dass die Boomphase von 1996-2000 und die Baisse von 2000-2003 übertriebene Marktreaktionen abbilden. Wenn also das theoretische Modell die ökonomische Realität möglicherweise nicht adäquat abbildet, so liegt es nahe, die tatsächlich in der Vergangenheit beobachten Marktdaten für die Analyse des kollektiven Sparens heranzuziehen. Die obigen Berechnungen zeigen, dass auch für die realen Marktdaten das kollektive Sparen nutzenstiftend ist. Es ist sogar so, dass das Backtesting das kollektive Sparmodell noch vorteilhafter erscheinen lässt als die Monte-Carlo-Analysen auf Grundlage des theoretischen Kapitalmarktmodells. Ganz überraschend ist das nicht, denn falls der Kapitalmarkt eine MeanReversion Eigenschaft hat,12 so ist natürlich ein kollektiver Risikoausgleich zwischen den Sparergeneration noch effizienter. Man muss sich aber auch vergegenwärtigen, dass das Backtesting nur einen einzigen Entwicklungspfad für Kapitalmärkte nachzeichnet. Es ist selbstverständlich denkbar, dass das kollektive Sparmodell rein zufällig in der Vergangenheit so gut abgeschnitten hätte. Will man diese Kritik ausräumen, so bedarf es weiterer Analysen. Wünschenswert wäre sicher auch ein Backtesting für andere Kapitalmärkte, z.B. den US-amerikanischen oder japanischen. Selbst wenn man eine Vielzahl von realen Kapitalmärkten untersucht, wenn man die theoretischen Kapitalmarkt-Modelle verfeinert und detailliertere MonteCarlo-Simulationen durchführt und immer wieder die Vorteilhaftigkeit des kollektiven Sparens herausarbeiten könnte, so bliebe doch die Ungewissheit, ob alles das, was wir in der Vergangenheit beobachten haben und in die Modelle haben einfließen lassen, 11 Vgl. [Shiller 2001] 12 Vgl. [Albrecht/ Kantar 2003] und [Albrecht e.a. 2004] Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 31 - auch in Zukunft Gültigkeit hat. Die Zukunft ist nämlich nicht verpflichtet, sich an die Spielregeln der Vergangenheit zu halten! - 32 - Literatur [Albrecht/ Kantar 2003] Albrecht, Peter; Kantar, Cemil: Random Walk oder Mean Reversion? Eine statistische Analyse auf fundamentaler Basis für den deutschen Aktienmarkt, Mannheimer Manuskripte zur Risikotheorie, Portfolio Management und Versicherungswirtschaft, Nr. 149, Mannheim 09/2003. [Albrecht e.a. 2004] Albrecht, Peter; Kantar, Cemil; Xiao, Yanying: Mean Reversion Effekte am dem deutschen Aktienmarkt: Statistische Analysen der Entwicklung des DAX-KGV, Mannheimer Manuskripte zur Risikotheorie, Portfolio Management und Versicherungswirtschaft, Nr. 157, Mannheim 04/2004. [Goecke 2011] Goecke. Oskar: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich; Institut für Versicherungswesen. Forschungsstelle FaRis. Working Paper 01/2011; als Download verfügbar unter: http://opus.bsz-bw.de/fhk/volltexte/2012/3/ [Goecke 2012] Goecke. Oskar: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich; Institut für Versicherungswesen. Forschungsstelle FaRis. Working Paper 05/2012; als Download verfügbar unter: http://opus.bsz-bw.de/fhk/volltexte/2012/12/ [Shiller 2005] Shiller, Robert J.: Irrational Exuberance, 2nd edition, Princeton University Press 2005. [Stehle e.a. 1996] Stehle, Richard; Huber, Rainer; Meier, Jürgen: Rückberechnung des DAX für die Jahre 1955 bis 1987, Kredit und Kapital 29 (1996), S. 277-304. Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 33 - Abbildungsverzeichnis ABBILDUNG 1: VEREINFACHTES BILANZSCHEMA 1 ABBILDUNG 2: RENDITE-RISIKO-PROFIL DES KAPITALMARKTS 2 ABBILDUNG 3A-B: WERTENTWICKLUNG VERSCHIEDENER ANLAGENFORMEN. ZUGRUNDE GELEGT WURDE EIN INVESTMENT VOM BETRAGE 1 ZUM MONATSENDE JANUAR 1967. UNTERE ABBILDUNG VERWENDET EINE LOGARITHMISCHE SKALA. 6 ABBILDUNG 4A-F: ABLAUFLEISTUNG (OBERE REIHE) UND RENDITE (UNTERE REIHE) 10-/ 20UND 30-JÄHRIGER SPARPLÄNE MIT MONATLICH VORSCHÜSSIGER SPARRATE VON 100€. AUF DER ABSZISSE IST JEWEILS DAS FÄLLIGKEITSDATUM DES SPARVERTRAGES ABGETRAGEN. AUSGEHEND VOM FRÜHESTEN BEGINN (1.2.1967) WIRD DER ERSTE SPARPLAN ENDE JANUAR 1977 BZW. 1987 BZW. 1997 FÄLLIG. 7 ABBILDUNG 5: WERTENTWICKLUNG EINES DAXUND REXP-SPARVERTRAGES (03.1973 - 03.2003) MIT 360 MONATSRATEN VON JE 100€. 8 ABBILDUNG 6: VERLAUF DER RESERVEQUOTE, AKTIENQUOTE UND DEKLARATION IM REFERENZMODELL. 11 ABBILDUNG 7: KUMULIERTE VERZINSUNG DER JEWEILS LETZTEN 12 MONATE; VERGLEICH DER GUTHABENVERZINSUNG REFERENZMODELL/ REXP/ DAX_KORR.12 ABBILDUNG 8: MAXIMUM DRAWDOWN UND MAXIMUM RECOVERY TIME AM BEISPIEL EINER DAX-EINMALANLAGE ZUM 1.2.1967 IN HÖHE VON 1. 14 ABBILDUNG 9A-E: ABLAUFLEISTUNGEN (OBERE REIHE) UND RENDITEN (UNTERE REIHE) FÜR 10-/ 20-/ UND 30-JÄHRIGEN SPARPLÄNEN -VGL. ABBILDUNG 4; VERGLEICH REFERENZMODELL/ REXP/ DAX_KORR. 16 ABBILDUNG 10: VARIATION DES PARAMETERS A 19 ABBILDUNG 11: VARIATION DES PARAMETERS B 21 ABBILDUNG 12: ANPASSUNG DER RESERVEQUOTE AN DIE ZIEL-RESERVEQUOTE BEI EINER START-RESERVEQUOTE VON 0%, 20% BZW. 50%. 22 ABBILDUNG 13: VARIATION DER START-RESERVEQUOTE RQ(0) BEI GLEICHBLEIBENDER ZIEL-RESERVEQUOTE 20%  Ziel RQ . 24 ABBILDUNG 14: VARIATION ZIEL-AKTIENQUOTE 26 ABBILDUNG 15: BESTIMMUNG VON (0) Ziel RQ RQ, SO DASS DIE MINIMALE RESERVEQUOTE NICHT UNTER NULL FÄLLT. 27 - 34 - ABBILDUNG 16: VERLAUF DER DEKLARATION, VERGLEICH REFERENZMODELL MIT MONATLICHER DEKLARATION MIT VARIANTEN DES BASISMODELL MIT JÄHRLICHER DEKLARATION UND EINEM JÄHRLICHEN MINDESTZINS VON 0% (KAPITALERHALT) UND 4%. EBENFALLS ÜBERRASCHEND IST, DASS SELBST EIN HOHER GARANTIEZINS VON BIS ZU 4% DIE RESERVESITUATION NICHT NACHHALTIG SCHWÄCHT. 28 ABBILDUNG 17: VERLAUF DER RESERVEQUOTE, VERGLEICH REFERENZMODELL MIT MONATLICHER DEKLARATION MIT VARIANTEN DES BASISMODELL MIT JÄHRLICHER DEKLARATION UND EINEM JÄHRLICHEN MINDESTZINS VON 0% (KAPITALERHALT) UND 4%. 28 Lebensversicherung als kollektiver Sparprozess Oskar Goecke - 35 - Tabellenverzeichnis TABELLE 1: ABLAUFRENDITEN (ALS JAHRESZINS) BEI EINER EINMALANLAGE MIT UNTERSCHIEDLICHEN ANLAGEDAUERN; VERGLEICH REFERENZMODELL MIT REXP UND DAX_KORR. 13 TABELLE 2: RISIKOKENNZAHLEN DER RENDITEVERLAUFS; VERGLEICH REFERENZMODELL MIT REXP UND DAX_KORR. 14 TABELLE 3: ABLAUFRENDITEN BEI 10-/ 20UND 30-JÄHRIGEN SPARVERTRÄGEN MIT GLEICHBLEIBENDER SPARRATE; VERGLEICH REFERENZMODELL MIT REXP UND DAX_KORR. 17 TABELLE 4: PARAMETER UND ECKDATEN DES REFERENZMODELLS MIT VARIATION DES PARAMETERS A 18 TABELLE 5: PARAMETER UND ECKDATEN DES REFERENZMODELLS MIT VARIATION DES PARAMETERS B 20 TABELLE 6: (0) Z iel   IN ABHÄNGIGKEIT VON DER START-RESERVEQUOTE RQ(0) 21 TABELLE 7: PARAMETER UND ECKDATEN DES REFERENZMODELLS MIT VARIATION DER ANFÄNGLICHEN RESERVEQUOTE (0)RQ BEI GLEICHBLEIBENDER ZIELRESERVEQUOTE 20% Ziel RQ . 23 TABELLE 8: PARAMETER UND ECKDATEN DES REFERENZMODELLS MIT VARIATION DER ZIEL-AKTIENQUOTE; DIE MAXIMALE AKTIENQUOTE WURDE AUF 200% DER ZIELAKTIENQUOTE UND 100% BEGRENZT. 25 TABELLE 9: PARAMETER UND ECKDATEN DES REFERENZMODELLS (1. DATENZEILE, MONATLICHE DEKLARATION OHNE MINDESTZINS) IM VERGLEICH ZUR MODIFIKATION DES BASISMODELLS (ZEILEN 2 BIS 6: MIT JEWEILS JÄHRLICHER DEKLARATION UND UNTERSCHIEDLICHEM MINDESTZINS IMIN) 29 Impressum Diese Veröffentlichung erscheint im Rahmen der Online-Publikationsreihe „Forschung am IVW Köln“ . A lle Veröffentlichungen dieser Reihe können unter www.ivw-koeln.de oder unter http://opus.bsz-bw.de/fhk/index.php?la=de abgerufen werden. Eine weitere Publikationsreihe ist die Schriftenreihe des Instituts für Versicherungswesen der Fachhochschule Köln . Herausgeber: Verein der Förderer des Instituts für Versicherungswesen an der Fachhochschule Köln e. V. Die Schriftenreihe kann über den Verlag Versicherungswirtschaft bezogen werden (http://www.vvw.de/). Eine Übersicht aller Hefte der Schriftenreihe kann auch unter folgender Adresse abgerufen werden: http://www.f04.fh-koeln.de/fakultaet/institute/ivw/informationen/publikationen/00366/index.html Köln, April 2013 Herausgeber der Schriftenreihe / Series Editorship: Prof. Dr. Reimers-Rawcliffe Prof. Dr. Peter Schimikowski Prof. Dr. Jürgen Strobel Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschaftsund Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Web www.ivw-koeln.de Schriftleitung / Contact editor’s office: Prof. Dr. Jürgen Strobel Tel. +49 221 8275-3270 Fax +49 221 8275-3277 Mail [email protected] Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschaftsund Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Gustav Heinemann-Ufer 54 50968 Köln Kontakt Autor / Contact author: Prof. Dr. Oskar Goecke Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschaftsund Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Gustav Heinemann-Ufer 54 50968 Köln Tel. +49 221 8275-3278 Fax +49 221 8275-3277 Mail [email protected] ISSN (online) 2192-8479