189
HE OOO
DE
lOS
ELF.J.m -1IOS
DE
CONIORNO
EN
AIGIDS
P oBLEMAS DE
~ION
SUELO-FSI'RUc-
TURA
Ji
.•
n,.......:
, ..._
1
ose
l..JUJ. u..nguez
uJC SCal
En ique
Ala c6n
Al a ez
2
1
E.T.S.
Ing.
Indus iales
de
Se illa
2
E.
T.
S.
Inq.
Indus iales
de
11
1ad id
Resumen . !.Ds
p oblemas
del
canpo amien o
sismico
de
es uc u as
masi as
de
g an
es
ponsabilidad
y
edi icios
de
g an
al u a
asi
ca o
el
clasico
p oblema
del
cimien o
de-
las
maquinas
ib an es,
hacen
que
el
es udio
de
la
in e acci6n
suelo-
es uc u a
ad-
quie a
una
g an
ac ualidad.
Es os
p oblemas,
que
~lican
o mas
y
p opiedades
oamplicadas,
suponen
siemp e
la
n~
cesidad
de
u iliza
un
modelo
nume ico
del
medio
conside ado.
Aqui
se
emplea
el
me odo
de
los
elemen os
de
con o no
que
dadas
sus
ca ac e is icas
-
esul a
una
al e na i a
muy
suges i a
pa a
modela
el
suelo
y
que
hace
posible
el
es-
udio
de
p oblemas
idímensionales
a
un
p ecio
azonal1le.
Se
in oduce
un
ipo
de
elemen os
pa a
p oblenas
bidimensionales
,
que
incluye
una
sin
gula idad
de
ipo
loga ibnico
en
uno
de
sus
ex enos.Se
Im.les an
dis ibuciones
de
=-
ensiones
ob enidas
con
es e
ipo
de
elemen os.
EL
POOBLENA
DE TIII'ERACCION SUELO-FSTRUCIURA
Un
p oblema
dinamico
que
adicionabnen e
ha
in e esado
a
los
especialis as
en
mecanica
-
del
suelo
ha
sido
el
del
diseño
de
ci.me i a -
cienes
pa a
maquinas
cuyo
uncionamien o
in-
duce
ib aciones.El
p oblema
ue
abo dado
-
o iginalmen e
de
modo
expe imen al,
o
u ili-
zando modelos
simples,
ca o
el
de
una
se ie
de
eso es
qU.e
simulaban
el
canpo amien o
del
suelo
.
A
pa i
de
los
años
sesen a,
con
la
ins ala
ci6n
de
cen ales
nuclea es,
la
ingenie ia
-
sismica
adqui io
un
g an
auge
y
con
ella
los
p oblemas
de
oampo amien o
dinamico
del
sue
lo.Aunque
o iginalmen e
se
conside a on
es--
uc u a
y
suelo
camo
dos
sis emas
a
es u
-
dia
in lependien emen e,
p on o
se
ap ecio
-
la
impo ancia
que
en
la
espues a
de
es uc
u as
masi as
o
de
g andes
dimensiones
an e
un
e emo o,
enia
la
na u aleza
del
suelo
.
Ello
lle o
a
conside a
suelo
y
es uc u a
co
: o
un
solo
sis ema
o
dicho
de
o o
modo
dos-
sis emas
que
se
in e accionan.
El
p oblema
es
en
gene al
idimensional
y -
dado
que
la
geame ia
de
la
cimen ación
pue-
de
se
muy
di e sa
y
las
p opidades
de
los
-
ma e iales
muy
a iables,
su
esolución
solo
puede
se
abo dada
po
me odos
nume icos.
Solo
exis e
solución
anali ica
pa a
casos
pa icula es
ccm::>
el
esuel o
:po
Vele sos
y
Wei (1971)
.De
los
me odos
nume icos,
el
más -
ex endido
con
di e encia
es
el
de
los
elemen
os
ini os.
Exis en
en
la
ac ualidad
dos
en oques
dis in
os
del
es udio
del_
sis ema
suelo-es uc u a
•
Uno
que
puede
se
llamado
JlE odo
di ec o
y
que
se
basa
en
la
esolución
median e
ela en
os
ini os
de
el
p oblema
oamplé o
incluyen
do
an o
el
suelo
ca o
la
es uc u a.
El
o o
,conocido
po
me odo
de
las
subes uc u as
-
que
es udia,
en
el
daninio
de
la
ecuencia,
el
cx:xT~ X> a .ien o
del
suelo
pa a
luego
es u-
dia
la
es uc u a
sopo ada
sob e
un
medio
con
una
ma iz
de
igidez
cuyos
enninos
de-
penden
de
la
ecuencia.En
es e
segundo JlE o
do
una
ase
i.- npo ?n e
es
la
ob enci6n
de
::-
las
igideces
co es Ondien es
a
dis in os
: o
imien os
pa a
dis in as
ecuencias,lo
cual
a
su
ez
esuel e
el
p oblema
del
cimien o
-
de
maquinas
ib an es.
El
empleo
de
elemen os
ini os
en
es e
p o-
blema
se
ha
ex endido
ampliamen e,
pe o
se
-
han
encon ado
incon enien es
como
la
necesi
dad
de
in oduci
limi e
a
un
medio
in ini o
,pa a
lo
cual
~7aas
(1972)
desa ollo
los
con
o nos
abso ben es
.Ade nas,
el
g an
nume o
=-
de
elemen os
necesa ios
hace
inabo dables
de
una
o ma
econanica
los
p oblemas
idi.Men -
sionales.Debido
a
es os
incon enien es,
se
-
han
desa ollado
o os
me odos
que
sob e
o-
do
a an
de
esol
e
el
p oblema
'.;. idi nen -
sional
con
un
cos o
azonable.
La
mayo ia
de
los
me odos
es an
basados
en
-
la
unción
de
G een
pa a
ca ga
dinámica
en
-
la
supe icie
de
un
semi
espacio
elas ico
ob
enida
po
Lamb(1904)
.~'bng
(1975)p opuso
un-
IlE odo
pa a
la
ob enci6n
de
igideces
de
ci-
JlEn aciones
supe iciales
de
o ma
cualquie-
a
aunque
po
u iliza
la
soluci6n
de
Lamb
,
p esen a
el
incon enien e·
de
no
se
alido
-
Pa, a
cimen aciones
en e adas
e
implica
una
in eg aci6n
pa a
cada
ennino
de
una
unci6n
con
un
polo
la
cual
ha
de
se
in eg ada
de
-
una
o ma
nume ica
con
un
consmn
impo an e
de
iempo
de
o denado .
1 SIMPOSIUM
NACIONAL
sob e
MODELADO
Y
SIMULACION
en
la
Indus ia
y
Se icios
Públicos
190
EL
ME OOO
DE
IDS
ELEMEN'IDS
DE
CONIDRNO
EN
-
PROBLEMAS
EI.AS'IDDINAMICOS
Las
p :ime as
ideas
sob e
el
me cxlo
ue on
-
p esen adas
po
Jawson
y
Pon e (1963)
pa a
-
p oblemas
de
po encial.Rizzo
(1967)lo
o mu-
lo
pa a
p oblemas
elas icos
y
e use
y
Rizzo
(1968)
lo
hicie on
pa a
el
caso
dinámico.
El
me cxlo
es a
basado
en
elas icidad,
en
el
-
eo ema
de
ecip ocidad:
L
i
u!
ds+
bi
u!
dll = L
!u
1
ds+
J
nb ui
dll ( 1)
siendo:
S
el
con o no
Q
el
dominio
en
es udio
i
el
ec o
de
acciones
en
el
con o no
ui
el
ec o
de
I'OC> imien os
en
el
con o no
b i
el
ec o
de
ue zas
po
unidad
de
ol~
men.
El
supe
indice
11
*
11
indica
un
es ado
y
las
-
a iables
sin
supe
indice
pe enecen
al
o o.
Tanando
ca n
es ado
11
*
11
el
co espondien e
a
una
ca ga
concen ada
unidad
en
un
medio
in-
ini o,
y
suponiendo
b.=O ,
se
ob iene
la
-
iden idad
de
Sc ll.glianá".
u~
+
Tji
ui
ds
= J
uji
1
ds
(2)
S S
donde
u~
es
el
o imien o
segun
j
del
pun o
J
P y
Tji
y
uji
se
ob ienen
de
i
=Tjilj
y
ui=
=U
. . 1 .
siendo
1 .
el
ec o
uni a io
segun
-
]1
J ' J
la
di ecci6n
j
de
aplicaci6n
de
la
ca ga.
Tji
y
Uji
se
ob ienen
de
la
soluci6n
del
p~
blema
de
Kel in.
La
ecuaci6n(2)
pude
se
esc i a
pa a
pun os
del
con o no,
en
cuyo
caso
iene
la
onna:
:_~p+J!
~ds=
U ds
S S
donde
e
es
una
ma iz
de
coe icien es
que
-
es
diagOnal
si
el
oon o no
es
sua e.
Pa á
p oblemas
dinámicos,
se
puede
es able
-
ce
la
misma.
elaci6n
(1)
en e
las
T ans o
nadas
de
Fou ie
de
dos
es ados.
Se
ob end an
las
mismas
ecuaciones
(
2)
y ( 3)
siendo
T.
. y
Uij
los
co espondien es
a
la
soluci6n
1
J un
damen al
que
es
en
es e
caso
la
espues a
de
un
edio
elas ico
in ini o
a
una
ca ga
a no-
nica
ooncen ada
de
alo
unidad
.Es a
solu
-
ci6n
que
ue
ob enida
po
e use
y
Hizzo(1968)
en
base
a
los
T abajos
de
Ik>yle (1966)
, iene
la
onna:
1 . {
u ..
=--
2
Jo
.•
-x . .}
J1
aTipCs
J1
,1
,J
(4)
Se illa
7-9
Mayo 1980
."1 -1
d¡JJ
1
d:i:"
.1.
••
-
----=--{
(d
- -
x)
(o
. .
~
+ . n . ) -
]1
aiT
1J
an
11 J
donde:a
es
un
nóme o
en e o
que
ale
2
si
-
el
p oblema
es
bidimensional
y 4
si
es
idimensional
y
es
la
dis ancia
al
pun o
de
aplica-
ci6n
de
la
ca ga
n
es
la
nonnal
ex e io
al
con o no.
x y
¡JJ
son
dos
unciones
que
pa a
es
d:imensiones
ienen
los
alo es
si
-
guien es;
mien as
que
pa a
dos
dimensiones
alen:
e2
iw
s
x =
k2
< -e--> -
--2-
k2
s e
iw )
(8)
e
=k
,o
p p
. e . e .
( 1w
)+
~Ok
(1w )-
~k
(1w )l
(9)
e
1W 1e
e
1ej
S S p p
siendo
k0, k1 y k2
las
unciones
de
Bessel
nodi icadas.
La
eciiaci6n
(3)
·
puec"le
es ablece se
pa a
cada
pun o
del
con o no
y
ob ene
asi
un
sis ema
de
ecuaciones
in eg ales.Pa a
pode
esol
-
e
es e,
se
disc e iza
el
con o n
en
ele-
men os
en
los
que
se
supone
un
alo
de
i
y
ui
cons an e
o
con
a iaci6n
lineal
cua
....
d a ica
e c.De
ese
m::: lo
cada
ecuaci6n(3)
se
se
ans onna
en:
~
k
!!.
k +
~=1
[ J s
~
!
ds
1
!!
n
= 1
[ J !
n S
n
~
ds]
!o
(10)
sienQo
~
la
ma iz
de
unciones
de
~onna.
El
conjun o
de
las
ecuaciones
pa a
odos
-
los
odos
en
el
con o n
se a:
G = H u (11)
En
gene al
hab a
da os
e
incoqni as
en
y u
.Con
una
eo denacion
de
(11)
se
ob iene~
-
k X = F (12)
donde
el
ec o
x
con iene
las
incogni as
mien as
que
F
ec o
conocido
y K
la
ma iz
de
coe icien es.
-
La
esoluci6n
(
12)
penni
e
ob ene
los
alo-
es
de
u y
que
no
se
cooocián,
y
po
medio
de
(2)
y
sus
de i adas
se
pueden
ob ene
el
o imien o
y
las
ensiones
en
cualquie
pun-
o
in e né:>.
RIGIDEX:ES
DE
CTI1ENTI- CIONES
El
me e lo
de
los
elemen os
de
con ol
puede
se
aplicado,
al
C'aiD
ha
sido
oilTll.llado
an-
e io men e,
a
la
ob enci6n
de
igideces
di-
námicas
de
cimen aciones
sob e
un
suelo
que
se
supone
elas ico
e
iso opo.
El
me e lo
en
-
canpa aci6n
con
elemen os
ini os,
p esen a
pa a
es e
ipo
de
p oblemas
la
en aja
de
e
duci
en
un
o den
la
dimensi6n
del
p oblema-;-
siendo
p eciso
disc e iza
unicamen e
la
in-
e ase
en e
suelo
y
es uc u a
y
la
supe -
icie
lib e
del
nism:>.Asi
pues,
en e
al
me
odo
de
long
o ece
la
posibilidad
de
a a
ci.men aciones
en e adas
y
p oduce
unas
in e-
g ales
cuyo
alo
es
mucho más
acilmen e
oe_
enido
nume ica en e.
En
su
con a
hab ia
que
deci
~Je
equie e
la
disc e izaci6n
de
la
-
supe icie
lib e
del
suelo
aunque
en
el
caso
de
cimen aciones
supe iciales,
si
se
hace
-
la
hipo esis
usual
de
"sm:x> h
oo ing"
an
solo
es
p eciso
disc e iza
la
in e ase
en-
e
suelo
y
es uc u a.Es o
úl imo
es
acil-
men e
demos able
analizando
la
na u aleza
-
de
los
e minas
Hij
Y
Uij
•
En
p oblemas
de
c±men aciones
en e adas,a~
que
es
p eciso
disc e iza
la
supe icie
li-
b e
del
suelo,
con
solo
conside a
la
zona
-
p oxi na
al
cimien o
se
ob ienen
buenos
esu.!_
ados.En
la
igu a
1
se
puede
ap ecia
la
~
pida
con e gencia
al
inc emen a
la
can idad
de
sune icie
lib e
disc e izada.
5
"-~-R-
Ci en aci6n
en e ada
3
Rigidez
al
gi o
a0
=0.01
2
E/IFO.S
---
Jacub
1·
n
2B
38
48
59
68
ig.
1
Impo ancia
de
la
can idad
de
suelo
lib e
disc e izado
191
U ilizando
el
me odo
con
elemen os
cons an-
es
en
el
caso
id.i. ensiona1,
uno
de
los
au o es
( Dcminguez 1977)
ob w:x::>
los
que
-
c ee nos
son
los
p ime os
esul ados
de
a
-
iaci6n
con
ecuencia
de
las
igideces
di-
námicas
pa a
cimen aciones
ec angula es
-
en e adas.
En
los
p oblemas
de
igideces
de
cimen aci~
nes
apa ecen
ensiones
de
alo
in ini o
en
las
esquinas
,
los
elanen os
cons an es
dan
un
alo
medio
de
la
ensi6n
y
es
po
ello
po
lo
que
pa a
ob ene
una
mejo
ep esen-
aci6n
de
la
dis ibuci6n
de
las
ensiones
en
las
p oximidades
de
las
esquinas,
se
ha
implemen ado
un
elemen o
singula
pa a
dos
dimensiones.El
caso
idimensional
concep
-
ualmen e
no
p esen a
di e encias
de
consi-
de aci6n.
ELENEN'IDS u:x;ARITMICOS
Es os
elemen os
incluyen,
con
la
u iliza
··
ci6n
de
una
unci6n
de
o ma
de
ipo
loga i
bnico,
la
exis encia
de
una
singula idad
en
ensiones
en
uno
de
sus
ex emos
.
Sn
la
igu a
2
se
ep esen a
un
elemen o
cün
un
nodo
en
el
cen o
y
una
coo denada
na u-
al
,:.
1 2
a)
---··
e
·-i
~=-1
~=1
b)
~------------4--------~
1 2
e)
1 2
Figu a
2.
Elanen o
loga ibnico
La
ensi6n
,
ya
sea
no mal·· o
angencial
,
so
b e
el
elemen o
se
ep esen a
de
la
o ma:
i
= [1+
ln(
1
! ,:
)
] i_
(13)
cuando
la
singula idad
se
encuen a
en
el
-
ex emo
1
( igu a
2.b
) y
de
la
o ma:
i=[
1+
ln(
1
: ,:
>]
i_ (14)
1 SIMPOSIUM
NACIONAL
sob e
MODELADO Y SIMULACION
en la Indus ia y
Se icios
Públicos
192
cuando
la
sigula idad
es a
en
el
ex a o
2 (
igu a
2.C),
siendo
~
cons an e
a
lo
la go
del
ela en o.
En
onna
1
gene al:
.
=N
~
('15)
1 1
La
in eg al
a
lo
la go
de
es os
elemen os
-
se a:
[ J u1j N
] j_
sn
(16)
con
lo
que
el
p og ama
de
calculo
no
aba
-
ja a
en
es os
ela en os
con
.
sino
con
el
-
" ac o
de
concen ación"
~
1
•
1
El
p oblana.
de
implemen ación
es
aho a
la
--
in eg ación
a
lo
la go
de
los
ele nen os,de
-
enninos
a::m:>
el
de
la
ecuación
16
que
:i.mpli
can
una
singula idad
en
un
ex a o
en
el
ca-
so
gene al
y
dos
una
en
un
ex a o
y
o a
=-
en
el
cen o
si
se
es a
in eg ando
en
el
-
elemen o
donde
se
ha
aplicado
la
ca ga.
Las
in eg aciones
se
haceñ
:o
una
canbinación
de
in eg ales
anali icas
y
núme icas
cuando
la
ca ga
es a
aplicada
en
el
p opio
elemen-
o
donde
se
in eg a
y
de
onna
nú ne ica
cuando
se
in eg a
sob e
un
elemen o
dis in-
o
al
que
se
ha
aplicado
la
ca ga.Las
in e-
g aciones
núme icas
lle an
a
cabo
u ilizan-
do
la
onna
p opues a
:o
S :>::Oud
y
Sec es
(1966)
pa a
unciones
subin eg ando
que
in-
cluyen
un
loga i m::>
con
una
singula idad.Es
p ecisamen e
el
:p:Jde
u iliza
es as
o mu-
las
lo
que
lle o
a
u iliza
como
unción
-
de
o: .lJ!q
singula
un
loga i
m::>
en
ez
de
-
(1+~)-1/2
y
(1-~)-1/2
que
se
ajus an
más a
la
e olución
eal
de
las
ensiones
en
los
-
ex a os
de
la
cimen ación.
RESUL'I uX>S
En
abajos
p e ios
,
se
ha
e aluado
la
in luencia
de
la
can idad
de
supe icie
li-
b e
del
suelo
disc e izada
sob e
la
igidez
ob enida;
siendo
es a
n uy
pequeña
pa a
ciJ~
aciones
supe iciales.Consecuen emen e
solo
se
ha
conside ado
la
disc e ización
-
de
la
in e ase
suelo-es uc u a
pa a
la
ob
ención
de
la
igidez
y
dis ibución
de
~
siones
bajo
cimien os
supe iciales
y
ala -
gados
que
pueden
se
es udiados
con
un
m:xie
lo
bidimensional.
-
U ilizando
dos
elemen os
loga i
ndcos
en
-
los
ex a os
,
se
ha
ob enido
la
dis ibu
-
ción
de
ensiones
bajo
una
cimen ación
supe
icial.
-
En
la
igu ~
3
se
ep esen a
la
dis ibución
de
la
pa e
eal
de
la
ensión
bajo
el
ci-
mien o
cuando
se
le
da
a
es e
un
no imien o
e ical
con
ecuencia
0.5
ad/seg
.
Pues o
que
el
odelo
de
ela en os
con
un
-
solo
nodo
en
el
cen o
es
inCCJ ~Pa l'"Jle,
apa
ecen
escalones
en e
los los
dis in os
ele
en os
cons an es
as1
ccm:>
en e
es os
y
los
singula es
de
los
ex e os.En
es a
igu a
-
as1
cx::m:>
en
la
4
donde
se
ep esen a
la
dis
ibución
de
la
pa e
eal
de
la
ensiones-
cuando
la
ecuencia
es
2.
ad/seg,
se
pue-
Se illa
7-9
Mayo 1980
de
ap ecia
CCI1'0
los
ela en os
singula es
se
ha
ob enido
una
ep e3en aci6n
de
es a
más -
p ox.ima. a
la
ealidad.
1.&)
=
0.5
D =
0
Fig.
3.
Tensiones
oo es xmdien es
a
un
:o i. !lien o
e ical.
los
esul ados
p e ios
han
sido
ob enidos
conside ando
el
suelo
c::a o
un
medio
iso iopo
y
elas ico.
w =
2.
D =
0%
2.
Fig.4.Tensiones
Co espondien es
a
un
mo i-
mien o
e ical.
Debido a
que
odo
el
calculo
implica·
el
a-
ba.jo oon n1ine os oc:mplejos,
pues
sianp e
exi~
e
un
ano iguamien o
¡:o
adiación,
la
p e-
sencia
de
un
ano iguamien o
his e e ioo
del
ma e ial
se
oonside a
oon
solo
u iliza
un
-
Imdulo
de
elas icidad
ans e sal
canplejo.
La
u ilización
de
los
elemen os
singula es,
no
solo
penni e
una
mejo
ep esen ación
de
las
ensiones,
sino
que
oonsecuen emen e
ha-
ce
:posible
ob ene
unos
alo es
de
la
igidez
·
nuy
p oxim::>s a
los
eales
c:x:mJ
un
n1lne o
nuy
pequeño
de
elemen os.
En
la
Tabla
1
se
p e5e!!_
an
los
alo es
ob enidos
pa a
la
igidez
de
gi o
oonside ando
8 y 4
elemen os:
dos
de
-
ellos
singula es
o
odos
oons an es.
Se
puede
ap ecia
una mucho meno
a iación
de
la
i-
gidez
al
educi
a 4
el
n í e o
de
elemen os
en
el
caso
en
que
dos
de
es os
sean
singula-
es.
Tabla
1 .
Rigidez
Ve ical
8
elemen os
2.189+0.453i
2.27+0.478i
4
elemen os
1.965+0.387i
-Tbdos
los
ele
men os
oons
=
an
es
2.249+0.472i
-Dos
elemen os
singula es
w=o.S
ad/seg
G=1+o.1i
En
la
igu a
5
se
ep esen a
la
dis ihlción
de
las
ensiones
bajo
la
ci.nen ación
cuando
se
da
a
es a
un
gi o
unidad.
CCN::LUSIONES
·
Se
ha
implemen ado
un
i¡:o
de
elemen os
sin-
gula es
que
mejo a
sensiblemen e
la
ep e5e!!_
ación
de
las
ensiones
bajo
el
cimien o.
Se
ha
ccnp obado
que
la
ep esen ación
es
-
buena
aún
cuando
los
elemen os
singula es
-
sean
g andes:
es ando
limi ado
su
amaño
CXIl'O
en
el
caso
oons an e
:po
la
ep esen a-
cien
del
IlDVimien o
en
el
caso
de
que
.
es e
-
sea
de
gi o
y :po
la
longi ud
de
onda.
C use,
T.A. y
Rizzo,
F
.J.,
"A
Di ec
Fonnul~
ion
and
Nu e ical
Solu ion
o
he
Ge
ne al
T ansien
Elas odynamic
P obleiñ.
I",
Jou nal
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l4a hana ical
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1968.
Daninguez,
J.
Dynamic
S i ness
o
Rec angu-
la
Founda ions"
•. Re:po R
78-20
.De-
pa men
o
Ci il
Enginee ing
.MIT .1978
.)=
1.5
D =
0
193
Figu a
5.
Tensiones
Co espondien es
a
un
~
imien o
de
gi o.
Jawson,. l.IJ,Pon e ,.A. "An
In eg al
Fqua ion
So-
lu íon
o
_ he
To sion
P oblem".
P oc.
Roy.Soc.
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P opaga ion
o
T em:> s
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Ela,s ic
Solic,
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cal
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Socie y
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Quad a u e
Fo
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en
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Públicos

194
- - -
Ins :.. .u e
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1975
In
he
p esen
pape ,
he
applica ion
o
he
Bounda y
·
In eg al
Fqua ion
ie hod
o
he
-
oampu a ion
o
dynamic
ounda ion
s i ness-
es
is
conside ed.
Resul
s
a e
ob ained
using
a
special
ype
o
ela en ,
including
a
sin-
gula i y,
ha
has
been
implemen ed.
Sa e
s ess
dis ibu ions
unde
.he
ounda ions
a e
smm.
Se illa
7-9
Mayo 1980