Método de los elementos de contorno en algunos problemas de interacción suelo-estructura

189 HErrOOO DE lOS ELF.J.mt-1IOS DE CONIORNO EN AIGIDS ProBLEMAS DE ~ION SUELO-FSI'RUcTURA Ji .• n,.......: ,t..._ 1 ose l..JUJ.tu..nguez fuJCtSCal Enrique Alarc6n Alvarez 2 1 E.T.S. Ing. Industriales de Sevilla 2 E. T. S. Inq. Industriales de 11 1adrid Resumen . !.Ds problemas del canportamiento sismico de estructuras masivas de gran res ponsabilidad y edificios de gran altura asi caro el clasico problema del cimiento delas maquinas vibrantes, hacen que el estudio de la interacci6n sueloestructura adquiera una gran actualidad. Estos problemas, que ~lican formas y propiedades oamplicadas, suponen siempre la n~ cesidad de utilizar un modelo numerico del medio considerado. Aqui se emplea el metodo de los elementos de contorno que dadas sus caracteristicas - resulta una alternativa muy sugestiva para modelar el suelo y que hace posible el estudio de problemas tridímensionales a un precio razonal1le. Se introduce un tipo de elementos para problenas bidimensionales , que incluye una sin gularidad de tipo logaribnico en uno de sus extrenos.Se Im.lestran distribuciones de =- tensiones obtenidas con este tipo de elementos. EL POOBLENA DE TIII'ERACCION SUELO-FSTRUCIURA Un problema dinamico que tradicionabnente ha interesado a los especialistas en mecanica - del suelo ha sido el del diseño de ci.merita - cienes para maquinas cuyo funcionamiento induce vibraciones.El problema fue abordado - originalmente de modo experimental, o utilizando modelos simples, caro el de una serie de resortes qU.e simulaban el canportamiento del suelo . A partir de los años sesenta, con la instala ci6n de centrales nucleares, la ingenieria - sismica adquirio un gran auge y con ella los problemas de oamportamiento dinamico del sue lo.Aunque originalmente se consideraron es-- tructura y suelo camo dos sistemas a estu - diar inrlependientemente, pronto se aprecio - la importancia que en la respuesta de estruc turas masivas o de grandes dimensiones ante un terremoto, tenia la naturaleza del suelo . Ello llevo a considerar suelo y estructura co :rro un solo sistema o dicho de otro modo dossistemas que se interaccionan. El problema es en general tridimensional y - dado que la geametria de la cimentación puede ser muy diversa y las propidades de los - materiales muy variables, su resolución solo puede ser abordada por metodos numericos. Solo existe solución analitica para casos particulares ccm::> el resuelto :por Veletsos y Wei (1971) .De los metodos numericos, el más - extendido con diferencia es el de los elemen tos finitos. Existen en la actualidad dos enfoques distin tos del estudio del_ sistema suelo-estructura • Uno que puede ser llamado JlEtodo directo y que se basa en la resolución mediante elaren tos finitos de el problema oampléto incluyen do tanto el suelo caro la estructura. El otro ,conocido por metodo de las subestructuras - que estudia, en el daninio de la frecuencia, el cx:xT~tX>rtarr.iento del suelo para luego estudiar la estructura soportada sobre un medio con una matriz de rigidez cuyos tenninos dependen de la frecuencia.En este segundo JlEto do una fase i.-rnport?nte es la obtenci6n de ::- las rigideces corresfOndientes a distintos :rro vimientos para distintas frecuencias,lo cual a su vez resuelve el problema del cimiento - de maquinas vibrantes. El empleo de elementos finitos en este problema se ha extendido ampliamente, pero se - han encontrado inconvenientes como la necesi dad de introducir limite a un medio infinito ,para lo cual ~7aas (1972) desarrollo los con tornos absorbentes .Adernas, el gran numero =- de elementos necesarios hace inabordables de una forma econanica los problemas tridi.Men - sionales.Debido a estos inconvenientes, se - han desarrollado otros metodos que sobre todo tratan de resol ver el problema '.;.ridirnen - sional con un costo razonable. La mayoria de los metodos estan basados en - la función de Green para carga dinámica en - la superficie de un semi espacio elastico ob tenida por Lamb(1904) .~'bng (1975)propuso unIlEtodo para la obtenci6n de rigideces de ciJlEntaciones superficiales de forma cualquiera aunque por utilizar la soluci6n de Lamb , presenta el inconveniente· de no ser valido - Pa,ra cimentaciones enterradas e implicar una integraci6n para cada tennino de una funci6n con un polo la cual ha de ser integrada de - una forma numerica con un consmn importante de tiempo de ordenador. 1 SIMPOSIUM NACIONAL sobre MODELADO Y SIMULACION en la Industria y Servicios Públicos 190 EL MErrOOO DE IDS ELEMEN'IDS DE CONIDRNO EN - PROBLEMAS EI.AS'IDDINAMICOS Las pr:imeras ideas sobre el metcxlo fueron - presentadas por Jawson y Ponter(1963) para - problemas de potencial.Rizzo (1967)lo formulo para problemas elasticos y eruse y Rizzo (1968) lo hicieron para el caso dinámico. El metcxlo esta basado en elasticidad, en el - teorema de reciprocidad: L ti u! ds+ t bi u! dll = L t!u 1 ds+ J nbfui dll ( 1) siendo: S el contorno Q el dominio en estudio ti el vector de tracciones en el contorno ui el vector de I'OC>vimientos en el contorno b i el vector de fuerzas por unidad de vol~ men. El super indice 11 * 11 indica un estado y las - variables sin super indice pertenecen al otro. Tanando carn estado 11 * 11 el correspondiente a una carga concentrada unidad en un medio infinito, y suponiendo b.=O , se obtiene la - identidad de Scrll.glianá". u~ + f Tji ui ds = J uji t1 ds (2) S S donde u~ es el rrovimiento segun j del punto J P y Tji y uji se obtienen de ti =Tjilj y ui= =U . . 1 . siendo 1 . el vector unitario segun - ]1 J ' J la direcci6n j de aplicaci6n de la carga. Tji y Uji se obtienen de la soluci6n del p~ blema de Kelvin. La ecuaci6n(2) pude ser escrita para puntos del contorno, en cuyo caso tiene la fonna: f:_~p+J! ~ds= f Utds S S donde e es una matriz de coeficientes que - es diagOnal si el oontorno es suave. Pará problemas dinámicos, se puede estable - cer la misma. relaci6n (1) entre las Transfor rnadas de Fourier de dos estados. Se obtendran las mismas ecuaciones ( 2) y ( 3) siendo T. . y Uij los correspondientes a la soluci6n 1 Jfun damental que es en este caso la respuesta de un tredio elastico infinito a una carga arnonica ooncentrada de valor unidad .Esta solu - ci6n que fue obtenida por eruse y Hizzo(1968) en base a los Trabajos de Ik>yle (1966) ,tiene la fonna: 1 . { u .. =-- 2 tfJo .• -xr.r.} J1 aTipCs J1 ,1 ,J (4) Sevilla 7-9 Mayo 1980 r."1 -1 d¡JJ 1 d:i:" .1. •• - ----=--{ (dr - - x) (o . . ~ + r . n . ) - ]1 aiT r 1J an 11 J donde:a es un nómero entero que vale 2 si - el problema es bidimensional y 4 si es tridimensional y es la distancia al punto de aplicaci6n de la carga n es la nonnal exterior al contorno. x y ¡JJ son dos funciones que para tres d:imensiones tienen los valores si - guientes; mientras que para dos dimensiones valen: e2 iwr s x = k2 < -e--> - --2k2 s e iwr) (8) e =k ,o p p . e . e . ( 1wr )+ ~Ok (1wr)- ~k (1wr)l (9) e 1Wr1e e 1ej S S p p siendo k0, k1 y k2 las funciones de Bessel nodificadas. La eciiaci6n (3) · puec"le establecerse para cada punto del contorno y obtener asi un sistema de ecuaciones integrales.Para poder resol - ver este, se discretiza el contorrn en elementos en los que se supone un valor de ti y ui constante o con variaci6n lineal cua .... dratica etc.De ese m:::rlo cada ecuaci6n(3) se se transfonna en: ~ k !!. k + ~=1 [ J s ~ ! ds 1 !! n =t1 [ J ! n S n ~ ds] !o (10) sienQo ~ la matriz de funciones de ~onna. El conjunto de las ecuaciones para todos - los rrodos en el contorrn sera: G t = H u (11) En general habra datos e incoqnitas en t y u .Con una reordenacion de (11) se obtiene~ - k X = F (12) donde el vector x contiene las incognitas mientras que F vector conocido y K la matriz de coeficientes. - La resoluci6n ( 12) penni te obtener los valores de u y t que no se cooocián, y por medio de (2) y sus derivadas se pueden obtener el rrovimiento y las tensiones en cualquier punto interné:>. RIGIDEX:ES DE CTI1ENTI-\CIONES El meterlo de los elementos de control puede ser aplicado, tal C'aiD ha sido foilTll.llado anteriormente, a la obtenci6n de rigideces dinámicas de cimentaciones sobre un suelo que se supone elastico e isotropo. El meterlo en - canparaci6n con elementos finitos, presenta para este tipo de problemas la ventaja de re ducir en un orden la dimensi6n del problema-;- siendo preciso discretizar unicamente la interfase entre suelo y estructura y la superficie libre del rnism:>.Asi pues, frente al me todo de rlong ofrece la posibilidad de tratar ci.mentaciones enterradas y produce unas integrales cuyo valor es mucho más facilmente oe_ tenido numericarrente. En su contra habria que decir ~Je requiere la discretizaci6n de la - superficie libre del suelo aunque en el caso de cimentaciones superficiales, si se hace - la hipotesis usual de "sm:x>th footing" tan solo es preciso discretizar la interfase entre suelo y estructura.Esto último es facilmente demostrable analizando la naturaleza - de los terminas Hij Y Uij • En problemas de c±mentaciones enterradas,a~ que es preciso discretizar la superficie libre del suelo, con solo considerar la zona - proxirna al cimiento se obtienen buenos resu.!_ tados.En la figura 1 se puede apreciar la r~ pida convergencia al incrementar la cantidad de sunerficie libre discretizada. 5 "-~-RCirrentaci6n enterrada 3 Rigidez al giro a0 =0.01 2 E/IFO.S --- Jacub 1· n 2B 38 48 59 68 fig. 1 Importancia de la cantidad de suelo libre discretizado 191 Utilizando el metodo con elementos constantes en el caso trid.i.rrensiona1, uno de los autores ( Dcminguez 1977) obtw:x::> los que - creernos son los primeros resultados de va - riaci6n con frecuencia de las rigideces dinámicas para cimentaciones rectangulares - enterradas. En los problemas de rigideces de cimentaci~ nes aparecen tensiones de valor infinito en las esquinas , los elanentos constantes dan un valor medio de la tensi6n y es por ello por lo que para obtener una mejor representaci6n de la distribuci6n de las tensiones en las proximidades de las esquinas, se ha implementado un elemento singular para dos dimensiones.El caso tridimensional concep - tualmente no presenta diferencias de consideraci6n. ELENEN'IDS u:x;ARITMICOS Estos elementos incluyen, con la utiliza ·· ci6n de una funci6n de forma de tipo logari bnico, la existencia de una singularidad en tensiones en uno de sus extremos . Sn la figura 2 se representa un elemento cün un nodo en el centro y una coordenada natural t,:. 1 2 a) t---·· e ·-i f~=-1 ~=1 b) ~------------4--------~ 1 2 e) 1 2 Figura 2. Elanento logaribnico La tensi6n , ya sea normal·· o tangencial , so bre el elemento se representa de la forma: ti = [1+ ln( 1 !t,: ) ]ti_ (13) cuando la singularidad se encuentra en el - extremo 1 (figura 2.b ) y de la forma: ti=[ 1+ ln( 1 :t,: >] ti_ (14) 1 SIMPOSIUM NACIONAL sobre MODELADO Y SIMULACION en la Industria y Servicios Públicos 192 cuando la sigularidad esta en el extraro 2 ( figura 2.C), siendo t~ constante a lo largo del elarento. En fonna 1 general: t. =N t~ ('15) 1 1 La integral a lo largo de estos elementos - sera: [ J u1j N ]tj_ sn (16) con lo que el programa de calculo no traba - jara en estos elarentos con t . sino con el - "factor de concentración" t~ 1 • 1 El problana. de implementación es ahora la -- integración a lo largo de los elernentos,de - tenninos a::m:> el de la ecuación 16 que :i.mpli can una singularidad en un extraro en el caso general y dos una en un extraro y otra =- en el centro si se esta integrando en el - elemento donde se ha aplicado la carga. Las integraciones se haceñ r:or una canbinación de integrales analiticas y númericas cuando la carga esta aplicada en el propio elemento donde se integra y de fonna núrnerica cuando se integra sobre un elemento distinto al que se ha aplicado la carga.Las integraciones númericas llevan a cabo utilizando la fonna propuesta r:or St:>::Oud y Secrest (1966) para funciones subintegrando que incluyen un logaritm::> con una singularidad.Es precisamente el :p:Jder utilizar estas formulas lo que llevo a utilizar como función - de fo:r.lJ!q singular un logari tm::> en vez de - (1+~)-1/2 y (1-~)-1/2 que se ajustan más a la evolución real de las tensiones en los - extraros de la cimentación. RESUL'IruX>S En trabajos previos , se ha evaluado la influencia de la cantidad de superficie libre del suelo discretizada sobre la rigidez obtenida; siendo esta nruy pequeña para ciJ~ taciones superficiales.Consecuentemente solo se ha considerado la discretización - de la interfase suelo-estructura para la ob tención de la rigidez y distribución de t~ siones bajo cimientos superficiales y alargados que pueden ser estudiados con un m:xie lo bidimensional. - Utilizando dos elementos logari tndcos en - los extraros , se ha obtenido la distribu - ción de tensiones bajo una cimentación super ficial. - En la figur~ 3 se representa la distribución de la parte real de la tensión bajo el cimiento cuando se le da a este un rnovimiento vertical con frecuencia 0.5 rad/seg . Puesto que el rrodelo de elarentos con un - solo nodo en el centro es inCCJr~Pattl'"Jle, apa recen escalones entre los los distintos ele rrentos constantes as1 ccm:> entre estos y los singulares de los extreros.En esta figura - as1 cx::m:> en la 4 donde se representa la dis tribución de la parte real de la tensionescuando la frecuencia es 2. rad/seg, se pueSevilla 7-9 Mayo 1980 de apreciar CCI1'0 los elarentos singulares se ha obtenido una repre3entaci6n de esta más - prox.ima. a la realidad. 1.&) = 0.5 D = 0\ Fig. 3. Tensiones oorresrxmdientes a un r:ovi.r!liento vertical. los resultados previos han sido obtenidos considerando el suelo c::aro un medio isotiopo y elastico. w = 2. D = 0% 2. Fig.4.Tensiones Correspondientes a un movimiento vertical. Debido a que todo el calculo implica· el traba.jo oon n1ineros oc:mplejos, pues sianpre exi~ te un anortiguamiento ¡:or radiación, la presencia de un anortiguamiento histeretioo del material se oonsidera oon solo utilizar un - Imdulo de elasticidad transversal canplejo. La utilización de los elementos singulares, no solo pennite una mejor representación de las tensiones, sino que oonsecuentemente hace :posible obtener unos valores de la rigidez · nuy proxim::>s a los reales c:x:mJ un n1lnero nuy pequeño de elementos. En la Tabla 1 se pre5e!!_ tan los valores obtenidos para la rigidez de giro oonsiderando 8 y 4 elementos: dos de - ellos singulares o todos oonstantes. Se puede apreciar una mucho menor variación de la rigidez al reducir a 4 el ntírero de elementos en el caso en que dos de estos sean singulares. Tabla 1 . Rigidez Vertical 8 elementos 2.189+0.453i 2.27+0.478i 4 elementos 1.965+0.387i -Tbdos los ele mentos oons = tan tes 2.249+0.472i -Dos elementos singulares w=o.S rad/seg G=1+o.1i En la figura 5 se representa la distrihlción de las tensiones bajo la ci.nentación cuando se da a esta un giro unidad. CCN::LUSIONES · Se ha implementado un ti¡:o de elementos singulares que mejora sensiblemente la repre5e!!_ tación de las tensiones bajo el cimiento. Se ha ccnprobado que la representación es - buena aún cuando los elementos singulares - sean grandes: estando limitado su tamaño CXIl'O en el caso oonstante :por la representacien del IlDVimiento en el caso de que . este - sea de giro y :por la longitud de onda. Cruse, T.A. y Rizzo, F .J., "A Direct Fonnul~ tion and Nurrerical Solution of the Ge neral Transient Elastodynamic Probleiñ. I", Journal of l4athanatical Analysis and Applications, 22, 1968. Daninguez, J. Dynamic Stiffness of Rectangular Foundations" •. Re:port R 78-20 .Department of Civil Engineering .MIT .1978 t.)= 1.5 D = 0\ 193 Figura 5. Tensiones Correspondientes a un ~ vimiento de giro. Jawson,. l.IJ,Ponter,.A. "An Integral Fquation Solutíon of _the Torsion Problem". Proc. Roy.Soc. Ser.A, 273-1963 Lamb H. "On the Propagation of Trem:>rs over the Surface of an Ela,stic Solic, "Philosophical Trans .Royal Society of I.Dñdon, Series A~203,1904 Stroud ,A. y Secret. "Ga.ussian Quadrature For ... mulas'' Prentice Ha.ll.N.Y.-1966 veletsos ,.A, S. y ~i, Y. T. , "Lateral and Ro .,... · cking Vibration of Footing, "Journal - of the So;tl Mechanics and Foundation$ Division,. hOCE, 97,1971. wass G. :"Linear two-dimensional of soil d~ ' mies problems in sani-infinite layer," Tesis,u. of cal., Berkeley ,1972 W:>ng,H.L,, "Dynamic Soil-structure Interac - tion, "EERL-75....01, Tesis, California - 1 SIMPOSIUM NACIONAL sobre MODELADO Y SIMULACION en la Industria y Servicios Públicos 194 - - - Inst:..t.ute of Technology, 1975 In the present paper, the application of the Boundary · Integral Fquation riethod to the - oamputation of dynamic foundation stiffnesses is considered. Resul ts are obtained using a special type of elarent, including a singularity, that has been implemented. Sare stress distributions under t.he foundations are smm. Sevilla 7-9 Mayo 1980