Método de los elementos de contorno en algunos problemas de interacción suelo-estructura

189 HE OOO DE lOS ELF.J.m -1IOS DE CONIORNO EN AIGIDS P oBLEMAS DE ~ION SUELO-FSI'RUc- TURA Ji .• n,.......: , ..._ 1 ose l..JUJ. u..nguez uJC SCal En ique Ala c6n Al a ez 2 1 E.T.S. Ing. Indus iales de Se illa 2 E. T. S. Inq. Indus iales de 11 1ad id Resumen . !.Ds p oblemas del canpo amien o sismico de es uc u as masi as de g an es ponsabilidad y edi icios de g an al u a asi ca o el clasico p oblema del cimien o de- las maquinas ib an es, hacen que el es udio de la in e acci6n suelo- es uc u a ad- quie a una g an ac ualidad. Es os p oblemas, que ~lican o mas y p opiedades oamplicadas, suponen siemp e la n~ cesidad de u iliza un modelo nume ico del medio conside ado. Aqui se emplea el me odo de los elemen os de con o no que dadas sus ca ac e is icas - esul a una al e na i a muy suges i a pa a modela el suelo y que hace posible el es- udio de p oblemas idímensionales a un p ecio azonal1le. Se in oduce un ipo de elemen os pa a p oblenas bidimensionales , que incluye una sin gula idad de ipo loga ibnico en uno de sus ex enos.Se Im.les an dis ibuciones de =- ensiones ob enidas con es e ipo de elemen os. EL POOBLENA DE TIII'ERACCION SUELO-FSTRUCIURA Un p oblema dinamico que adicionabnen e ha in e esado a los especialis as en mecanica - del suelo ha sido el del diseño de ci.me i a - cienes pa a maquinas cuyo uncionamien o in- duce ib aciones.El p oblema ue abo dado - o iginalmen e de modo expe imen al, o u ili- zando modelos simples, ca o el de una se ie de eso es qU.e simulaban el canpo amien o del suelo . A pa i de los años sesen a, con la ins ala ci6n de cen ales nuclea es, la ingenie ia - sismica adqui io un g an auge y con ella los p oblemas de oampo amien o dinamico del sue lo.Aunque o iginalmen e se conside a on es-- uc u a y suelo camo dos sis emas a es u - dia in lependien emen e, p on o se ap ecio - la impo ancia que en la espues a de es uc u as masi as o de g andes dimensiones an e un e emo o, enia la na u aleza del suelo . Ello lle o a conside a suelo y es uc u a co : o un solo sis ema o dicho de o o modo dos- sis emas que se in e accionan. El p oblema es en gene al idimensional y - dado que la geame ia de la cimen ación pue- de se muy di e sa y las p opidades de los - ma e iales muy a iables, su esolución solo puede se abo dada po me odos nume icos. Solo exis e solución anali ica pa a casos pa icula es ccm::> el esuel o :po Vele sos y Wei (1971) .De los me odos nume icos, el más - ex endido con di e encia es el de los elemen os ini os. Exis en en la ac ualidad dos en oques dis in os del es udio del_ sis ema suelo-es uc u a • Uno que puede se llamado JlE odo di ec o y que se basa en la esolución median e ela en os ini os de el p oblema oamplé o incluyen do an o el suelo ca o la es uc u a. El o o ,conocido po me odo de las subes uc u as - que es udia, en el daninio de la ecuencia, el cx:xT~ X> a .ien o del suelo pa a luego es u- dia la es uc u a sopo ada sob e un medio con una ma iz de igidez cuyos enninos de- penden de la ecuencia.En es e segundo JlE o do una ase i.- npo ?n e es la ob enci6n de ::- las igideces co es Ondien es a dis in os : o imien os pa a dis in as ecuencias,lo cual a su ez esuel e el p oblema del cimien o - de maquinas ib an es. El empleo de elemen os ini os en es e p o- blema se ha ex endido ampliamen e, pe o se - han encon ado incon enien es como la necesi dad de in oduci limi e a un medio in ini o ,pa a lo cual ~7aas (1972) desa ollo los con o nos abso ben es .Ade nas, el g an nume o =- de elemen os necesa ios hace inabo dables de una o ma econanica los p oblemas idi.Men - sionales.Debido a es os incon enien es, se - han desa ollado o os me odos que sob e o- do a an de esol e el p oblema '.;. idi nen - sional con un cos o azonable. La mayo ia de los me odos es an basados en - la unción de G een pa a ca ga dinámica en - la supe icie de un semi espacio elas ico ob enida po Lamb(1904) .~'bng (1975)p opuso un- IlE odo pa a la ob enci6n de igideces de ci- JlEn aciones supe iciales de o ma cualquie- a aunque po u iliza la soluci6n de Lamb , p esen a el incon enien e· de no se alido - Pa, a cimen aciones en e adas e implica una in eg aci6n pa a cada ennino de una unci6n con un polo la cual ha de se in eg ada de - una o ma nume ica con un consmn impo an e de iempo de o denado . 1 SIMPOSIUM NACIONAL sob e MODELADO Y SIMULACION en la Indus ia y Se icios Públicos 190 EL ME OOO DE IDS ELEMEN'IDS DE CONIDRNO EN - PROBLEMAS EI.AS'IDDINAMICOS Las p :ime as ideas sob e el me cxlo ue on - p esen adas po Jawson y Pon e (1963) pa a - p oblemas de po encial.Rizzo (1967)lo o mu- lo pa a p oblemas elas icos y e use y Rizzo (1968) lo hicie on pa a el caso dinámico. El me cxlo es a basado en elas icidad, en el - eo ema de ecip ocidad: L i u! ds+ bi u! dll = L !u 1 ds+ J nb ui dll ( 1) siendo: S el con o no Q el dominio en es udio i el ec o de acciones en el con o no ui el ec o de I'OC> imien os en el con o no b i el ec o de ue zas po unidad de ol~ men. El supe indice 11 * 11 indica un es ado y las - a iables sin supe indice pe enecen al o o. Tanando ca n es ado 11 * 11 el co espondien e a una ca ga concen ada unidad en un medio in- ini o, y suponiendo b.=O , se ob iene la - iden idad de Sc ll.glianá". u~ + Tji ui ds = J uji 1 ds (2) S S donde u~ es el o imien o segun j del pun o J P y Tji y uji se ob ienen de i =Tjilj y ui= =U . . 1 . siendo 1 . el ec o uni a io segun - ]1 J ' J la di ecci6n j de aplicaci6n de la ca ga. Tji y Uji se ob ienen de la soluci6n del p~ blema de Kel in. La ecuaci6n(2) pude se esc i a pa a pun os del con o no, en cuyo caso iene la onna: :_~p+J! ~ds= U ds S S donde e es una ma iz de coe icien es que - es diagOnal si el oon o no es sua e. Pa á p oblemas dinámicos, se puede es able - ce la misma. elaci6n (1) en e las T ans o nadas de Fou ie de dos es ados. Se ob end an las mismas ecuaciones ( 2) y ( 3) siendo T. . y Uij los co espondien es a la soluci6n 1 J un damen al que es en es e caso la espues a de un edio elas ico in ini o a una ca ga a no- nica ooncen ada de alo unidad .Es a solu - ci6n que ue ob enida po e use y Hizzo(1968) en base a los T abajos de Ik>yle (1966) , iene la onna: 1 . { u .. =-- 2 Jo .• -x . .} J1 aTipCs J1 ,1 ,J (4) Se illa 7-9 Mayo 1980 ."1 -1 d¡JJ 1 d:i:" .1. •• - ----=--{ (d - - x) (o . . ~ + . n . ) - ]1 aiT 1J an 11 J donde:a es un nóme o en e o que ale 2 si - el p oblema es bidimensional y 4 si es idimensional y es la dis ancia al pun o de aplica- ci6n de la ca ga n es la nonnal ex e io al con o no. x y ¡JJ son dos unciones que pa a es d:imensiones ienen los alo es si - guien es; mien as que pa a dos dimensiones alen: e2 iw s x = k2 < -e--> - --2- k2 s e iw ) (8) e =k ,o p p . e . e . ( 1w )+ ~Ok (1w )- ~k (1w )l (9) e 1W 1e e 1ej S S p p siendo k0, k1 y k2 las unciones de Bessel nodi icadas. La eciiaci6n (3) · puec"le es ablece se pa a cada pun o del con o no y ob ene asi un sis ema de ecuaciones in eg ales.Pa a pode esol - e es e, se disc e iza el con o n en ele- men os en los que se supone un alo de i y ui cons an e o con a iaci6n lineal cua .... d a ica e c.De ese m::: lo cada ecuaci6n(3) se se ans onna en: ~ k !!. k + ~=1 [ J s ~ ! ds 1 !! n = 1 [ J ! n S n ~ ds] !o (10) sienQo ~ la ma iz de unciones de ~onna. El conjun o de las ecuaciones pa a odos - los odos en el con o n se a: G = H u (11) En gene al hab a da os e incoqni as en y u .Con una eo denacion de (11) se ob iene~ - k X = F (12) donde el ec o x con iene las incogni as mien as que F ec o conocido y K la ma iz de coe icien es. - La esoluci6n ( 12) penni e ob ene los alo- es de u y que no se cooocián, y po medio de (2) y sus de i adas se pueden ob ene el o imien o y las ensiones en cualquie pun- o in e né:>. RIGIDEX:ES DE CTI1ENTI- CIONES El me e lo de los elemen os de con ol puede se aplicado, al C'aiD ha sido oilTll.llado an- e io men e, a la ob enci6n de igideces di- námicas de cimen aciones sob e un suelo que se supone elas ico e iso opo. El me e lo en - canpa aci6n con elemen os ini os, p esen a pa a es e ipo de p oblemas la en aja de e duci en un o den la dimensi6n del p oblema-;- siendo p eciso disc e iza unicamen e la in- e ase en e suelo y es uc u a y la supe - icie lib e del nism:>.Asi pues, en e al me odo de long o ece la posibilidad de a a ci.men aciones en e adas y p oduce unas in e- g ales cuyo alo es mucho más acilmen e oe_ enido nume ica en e. En su con a hab ia que deci ~Je equie e la disc e izaci6n de la - supe icie lib e del suelo aunque en el caso de cimen aciones supe iciales, si se hace - la hipo esis usual de "sm:x> h oo ing" an solo es p eciso disc e iza la in e ase en- e suelo y es uc u a.Es o úl imo es acil- men e demos able analizando la na u aleza - de los e minas Hij Y Uij • En p oblemas de c±men aciones en e adas,a~ que es p eciso disc e iza la supe icie li- b e del suelo, con solo conside a la zona - p oxi na al cimien o se ob ienen buenos esu.!_ ados.En la igu a 1 se puede ap ecia la ~ pida con e gencia al inc emen a la can idad de sune icie lib e disc e izada. 5 "-~-R- Ci en aci6n en e ada 3 Rigidez al gi o a0 =0.01 2 E/IFO.S --- Jacub 1· n 2B 38 48 59 68 ig. 1 Impo ancia de la can idad de suelo lib e disc e izado 191 U ilizando el me odo con elemen os cons an- es en el caso id.i. ensiona1, uno de los au o es ( Dcminguez 1977) ob w:x::> los que - c ee nos son los p ime os esul ados de a - iaci6n con ecuencia de las igideces di- námicas pa a cimen aciones ec angula es - en e adas. En los p oblemas de igideces de cimen aci~ nes apa ecen ensiones de alo in ini o en las esquinas , los elanen os cons an es dan un alo medio de la ensi6n y es po ello po lo que pa a ob ene una mejo ep esen- aci6n de la dis ibuci6n de las ensiones en las p oximidades de las esquinas, se ha implemen ado un elemen o singula pa a dos dimensiones.El caso idimensional concep - ualmen e no p esen a di e encias de consi- de aci6n. ELENEN'IDS u:x;ARITMICOS Es os elemen os incluyen, con la u iliza ·· ci6n de una unci6n de o ma de ipo loga i bnico, la exis encia de una singula idad en ensiones en uno de sus ex emos . Sn la igu a 2 se ep esen a un elemen o cün un nodo en el cen o y una coo denada na u- al ,:. 1 2 a) ---·· e ·-i ~=-1 ~=1 b) ~------------4--------~ 1 2 e) 1 2 Figu a 2. Elanen o loga ibnico La ensi6n , ya sea no mal·· o angencial , so b e el elemen o se ep esen a de la o ma: i = [1+ ln( 1 ! ,: ) ] i_ (13) cuando la singula idad se encuen a en el - ex emo 1 ( igu a 2.b ) y de la o ma: i=[ 1+ ln( 1 : ,: >] i_ (14) 1 SIMPOSIUM NACIONAL sob e MODELADO Y SIMULACION en la Indus ia y Se icios Públicos 192 cuando la sigula idad es a en el ex a o 2 ( igu a 2.C), siendo ~ cons an e a lo la go del ela en o. En onna 1 gene al: . =N ~ ('15) 1 1 La in eg al a lo la go de es os elemen os - se a: [ J u1j N ] j_ sn (16) con lo que el p og ama de calculo no aba - ja a en es os ela en os con . sino con el - " ac o de concen ación" ~ 1 • 1 El p oblana. de implemen ación es aho a la -- in eg ación a lo la go de los ele nen os,de - enninos a::m:> el de la ecuación 16 que :i.mpli can una singula idad en un ex a o en el ca- so gene al y dos una en un ex a o y o a =- en el cen o si se es a in eg ando en el - elemen o donde se ha aplicado la ca ga. Las in eg aciones se haceñ :o una canbinación de in eg ales anali icas y núme icas cuando la ca ga es a aplicada en el p opio elemen- o donde se in eg a y de onna nú ne ica cuando se in eg a sob e un elemen o dis in- o al que se ha aplicado la ca ga.Las in e- g aciones núme icas lle an a cabo u ilizan- do la onna p opues a :o S :>::Oud y Sec es (1966) pa a unciones subin eg ando que in- cluyen un loga i m::> con una singula idad.Es p ecisamen e el :p:Jde u iliza es as o mu- las lo que lle o a u iliza como unción - de o: .lJ!q singula un loga i m::> en ez de - (1+~)-1/2 y (1-~)-1/2 que se ajus an más a la e olución eal de las ensiones en los - ex a os de la cimen ación. RESUL'I uX>S En abajos p e ios , se ha e aluado la in luencia de la can idad de supe icie li- b e del suelo disc e izada sob e la igidez ob enida; siendo es a n uy pequeña pa a ciJ~ aciones supe iciales.Consecuen emen e solo se ha conside ado la disc e ización - de la in e ase suelo-es uc u a pa a la ob ención de la igidez y dis ibución de ~ siones bajo cimien os supe iciales y ala - gados que pueden se es udiados con un m:xie lo bidimensional. - U ilizando dos elemen os loga i ndcos en - los ex a os , se ha ob enido la dis ibu - ción de ensiones bajo una cimen ación supe icial. - En la igu ~ 3 se ep esen a la dis ibución de la pa e eal de la ensión bajo el ci- mien o cuando se le da a es e un no imien o e ical con ecuencia 0.5 ad/seg . Pues o que el odelo de ela en os con un - solo nodo en el cen o es inCCJ ~Pa l'"Jle, apa ecen escalones en e los los dis in os ele en os cons an es as1 ccm:> en e es os y los singula es de los ex e os.En es a igu a - as1 cx::m:> en la 4 donde se ep esen a la dis ibución de la pa e eal de la ensiones- cuando la ecuencia es 2. ad/seg, se pue- Se illa 7-9 Mayo 1980 de ap ecia CCI1'0 los ela en os singula es se ha ob enido una ep e3en aci6n de es a más - p ox.ima. a la ealidad. 1.&) = 0.5 D = 0 Fig. 3. Tensiones oo es xmdien es a un :o i. !lien o e ical. los esul ados p e ios han sido ob enidos conside ando el suelo c::a o un medio iso iopo y elas ico. w = 2. D = 0% 2. Fig.4.Tensiones Co espondien es a un mo i- mien o e ical. Debido a que odo el calculo implica· el a- ba.jo oon n1ine os oc:mplejos, pues sianp e exi~ e un ano iguamien o ¡:o adiación, la p e- sencia de un ano iguamien o his e e ioo del ma e ial se oonside a oon solo u iliza un - Imdulo de elas icidad ans e sal canplejo. La u ilización de los elemen os singula es, no solo penni e una mejo ep esen ación de las ensiones, sino que oonsecuen emen e ha- ce :posible ob ene unos alo es de la igidez · nuy p oxim::>s a los eales c:x:mJ un n1lne o nuy pequeño de elemen os. En la Tabla 1 se p e5e!!_ an los alo es ob enidos pa a la igidez de gi o oonside ando 8 y 4 elemen os: dos de - ellos singula es o odos oons an es. Se puede ap ecia una mucho meno a iación de la i- gidez al educi a 4 el n í e o de elemen os en el caso en que dos de es os sean singula- es. Tabla 1 . Rigidez Ve ical 8 elemen os 2.189+0.453i 2.27+0.478i 4 elemen os 1.965+0.387i -Tbdos los ele men os oons = an es 2.249+0.472i -Dos elemen os singula es w=o.S ad/seg G=1+o.1i En la igu a 5 se ep esen a la dis ihlción de las ensiones bajo la ci.nen ación cuando se da a es a un gi o unidad. CCN::LUSIONES · Se ha implemen ado un i¡:o de elemen os sin- gula es que mejo a sensiblemen e la ep e5e!!_ ación de las ensiones bajo el cimien o. Se ha ccnp obado que la ep esen ación es - buena aún cuando los elemen os singula es - sean g andes: es ando limi ado su amaño CXIl'O en el caso oons an e :po la ep esen a- cien del IlDVimien o en el caso de que . es e - sea de gi o y :po la longi ud de onda. C use, T.A. y Rizzo, F .J., "A Di ec Fonnul~ ion and Nu e ical Solu ion o he Ge ne al T ansien Elas odynamic P obleiñ. I", Jou nal o l4a hana ical Analysis and Applica ions, 22, 1968. Daninguez, J. Dynamic S i ness o Rec angu- la Founda ions" •. Re:po R 78-20 .De- pa men o Ci il Enginee ing .MIT .1978 .)= 1.5 D = 0 193 Figu a 5. Tensiones Co espondien es a un ~ imien o de gi o. Jawson,. l.IJ,Pon e ,.A. "An In eg al Fqua ion So- lu íon o _ he To sion P oblem". P oc. Roy.Soc. Se .A, 273-1963 Lamb H. "On he P opaga ion o T em:> s o e he Su ace o an Ela,s ic Solic, "Philosophi- cal T ans .Royal Socie y o I.Dñdon, Se- ies A~203,1904 S oud ,A. y Sec e . 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