Vol. XVI, No1, Junio (2008)
Ma emá icas: 11–22 Ma emá icas:
Enseñanza Uni e si a ia
c
Escuela Regional de Ma emá icas
Uni e sidad del Valle - Colombia
Algunas aplicaciones de las cu as de Be and
An onio González He e a
Uni e sidad de Se illa
Juan Núñez Valdés
Uni e sidad de Se illa
Recibido Ab . 18, 2007 Acep ado Dic. 14, 2007
Abs ac
This pape deals wi h Be and cu es. Some p oo s o i s main p ope ies simpli ying he
habi ual ones a e shown. Some concep s o p e ious pape s by se e al au ho s, ela ing Be and
cu es wi h o he di e en ypes o cu es and wi h some su aces, a e also imp o ed.
Keywo ds: Be and cu es, Ruled su aces, Minimal Su aces.
MSC(2000): 53A04, 53A05, 53A10.
Resumen
El es udio de las cu as de Be and cons i uye el obje i o p incipal del p esen e abajo. En el
mismo, se dan demos aciones de algunas de sus p opiedades, que simpli ican a las ya exis en es,
y se con inúan abajos p e ios de o os au o es, que elacionan es e ipo de cu as con o os
ipos di e en es de cu as, pa icula men e las hélices, y con o as supe icies, pa icula men e
las egladas.
Palab as y ases cla es: Cu as de Be and, Supe icies egladas, Supe icies mínimas.
In oducción
El p oblema de encon a una cu a cuyas ec as no males p incipales ue an am-
bién las ec as no males p incipales de o a cu a di e en e ue, al menos, apa-
en emen e, p opues o po el ma emá ico ancés Adhéma Jean Claude Ba é de
Sain -Venan (Seine-e -Ma ne, 1797 - Loi -e -Che , 1886), aunque ue inalmen e
esuel o po el ambién ma emá ico ancés Joseph Louis F ançois Be and (Pa-
ís 1822 - Pa ís 1900), en 1850, en su lib o i ulado T ai é élémen ai e d’algèb e,
des inado cu iosamen e a alumnos de enseñanza secunda ia. Po es a azón, a
es as cu as se les denomina ac ualmen e como cu as de Be and, p ecisamen e
en hono de es e úl imo.
No obs an e, es as cu as no suelen es a su icien emen e a adas en los ex os
usuales de Geome ía Di e encial, a pesa de ene , como se e á en lo que sigue,
una p o unda elación an o con o os ipos de cu as como con de e minadas
supe icies. Po o a pa e, no son ampoco muy abundan es las apo aciones que
exis en en la li e a u a que a en sob e ellas. El obje i o p incipal de es e abajo
que se p esen a es en onces in en a palia , al menos pa cialmen e, es a si uación.
Pa a ello, en la p ime a sección del mismo se ecue dan y se demues an las
p incipales p opiedades de es as cu as, p esen ándose en algunos casos demos-
aciones di e en es de las habi uales, que simpli ican el p ocedimien o. Es con e-
nien e indica al espec o, que no es usual encon a las demos aciones de es as
12 A. González y J. Núñez
p opiedades en los ex os más conocidos de Geome ía Di e encial, en los que,
en su mayo ía, únicamen e apa ece la de inición de es as cu as, mien as que
sus p opiedades únicamen e apa ecen como eje cicios a esol e po el lec o , no
esul ando es as esoluciones, po lo gene al, i iales.
En la segunda sección se comen a un mé odo de cons ucción de es e ipo de
cu as a pa i de las cu as es é icas, u ilizándose pa a ello la base de Sabban
ampoco excesi amen e habi ual en los ex os de esa disciplina. Es a cons ucción
es á basada en un abajo p e io de Kasap ( éanse [5, 6]) y en o os abajos
p e ios de a ios au o es, como pueden se Izumiya y Takeuchi, y Osman, Han-
dan y Mahmu . Los dos p ime os elacionan es e ipo de cu as con o os ipos
di e en es, como las cu as es é icas, las hélices, las cu as pa alelas, las e olu as
y las e ol en es ( éase [4]) y con las supe icies egladas ( éase [3]). Los es úl-
imos ci ados abajan sob e supe icies egladas en el espacio idimensional de
Minkowski ( éase [7]).
Finalmen e, se u ilizan en la úl ima sección algunas p opiedades de es as cu -
as, en pa icula su elación con las hélices ci cula es, pa a p oba que el helicoide
ec o es, además del plano, la única supe icie mínima, que es además eglada.
En el abajo se hace uso de las de iniciones y esul ados p opios de un cono-
cimien o elemen al de la Geome ía Di e encial de Cu as y Supe icies. Pa a una
isión comple a de los mismos, el lec o puede consul a [2] o [1], po ejemplo.
1 Cu as de Be and
En es a sección se ecue da la de inición de cu as de Be and y se p ueban sus
p opiedades más impo an es. Algunas de las demos aciones que se mues an
simpli ican bas an e las que en escasas ocasiones, po lo gene al, apa ecen en
algunos ex os de Geome ía Di e encial.
De inición 1.1. Una cu a pa ame izada egula (no necesa iamen e po la lon-
gi ud de a co) α:I−→ R3,α=α( ), con k( )6= 0 yτ( )6= 0, ∈I, se dice
cu a de Be and si exis e una cu a egula β:I−→ R3,β=β( ), de o ma
que las no males de αyβen ∈Ison iguales. En es e caso, se dice que βes
una ep esen ación de Be and (o cu a asociada) de α, y se puede esc ibi :
β( ) = α( ) + unα( ).
Las p opiedades más conocidas de es as cu as de Be and son las siguien es:
P oposición 1.2. La dis ancia en e pun os homólogos de dos cu as de Be and
es cons an e.
Demos ación. Sea α:I→R3, α =α(s)una cu a alabeada egula que supon-
d emos pa ame izada na u almen e. Si αes de Be and, exis e pa a cada s∈I
el homólogo del pun o α(s), que designa emos po β(s). Como β(s)pe enece a
la no mal p incipal a αen α(s), enemos que:
β(s) = α(s) + u(s)nα(s)(1)
Algunas aplicaciones de las cu as de Be and 13
donde u(s)deno a, en alo absolu o, la dis ancia en e pun os homólogos. Tene-
mos así que βes una cu a asociada a α.
Pa a p oba que la dis ancia en e pun os homólogos es cons an e e emos que
la unción u(s)es cons an e, pa a ello comp oba emos que u0(s) = 0 ∀s∈I.
De i ando en (1) y eniendo en cuen a las Ecuaciones de F ene , se ienen:
β0(s) = α(s) + u0(s)nα(s) + u(s)˙
nα(s)
= α(s) + u0(s)nα(s) + u(s)[−κα(s) α(s) + τα(s)bα(s)]
= [1 −u(s)κα(s)] α(s) + u0(s)nα(s) + τα(s)u(s)bα(s)(2)
Mul iplicando aho a la exp esión (2) po nα(s)y eniendo en cuen a que dicho
ec o es p opo cional a nβ(s), y po an o o ogonal a β0(s), ob enemos:
0 = u0(s) =⇒u(s)cons an e.
Nó ese que es necesa io exigi la condición de se αuna cu a alabeada (es
deci , τ( )6= 0 con ∈I) en la De inición 1 pa a que se ga an ice la dependencia
con inua de pun os homólogos, ya que en caso de no con empla se es a exigencia,
la p oposición an e io no se ía álida. Como ejemplo de es o que decimos, bas a ía
oma como cu a αmedia ci cun e encia cen ada en el o igen y como cu a β
una cu a conexa que uese la unión de a ios ozos de ci cun e encias cen adas
ambién en el o igen, cada uno de esos ozos con di e en e adio, y de o as cu as
que conec asen en e sí esos ozos.
P oposición 1.3. El ángulo que o man las angen es en pun os homólogos de
dos cu as de Be and es cons an e.
Demos ación. Sea α:I→R3,α=α(s)una cu a alabeada egula pa ame i-
zada na u almen e (en adelan e, CARPN). Si suponemos que αes de Be and,
enemos que exis e o a cu a β:I0→R3,β=β(σ)(que ambién supond e-
mos pa ame izada na u almen e) e i icando que pa a cada s∈Iexis e σ∈I0
al que nα(s) = ±nβ(σ). Sean α(s0)yβ(σ0)dos pun os homólogos. Se p oba á
que el ángulo que o man los ec o es α(s0)y β(σ0)es cons an e iendo que el
p oduc o escala de dichos ec o es es cons an e, y ello se ha á p obando que la
de i ada de al p oduc o es nula:
d
ds( α(s0)· β(σ0)) = d α(s0)
ds β(σ0) + α(s0)d β(σ0)
ds
=κα(s0)nα(s0) β(σ0) + α(so)d β(σ0)
dσ dσ
ds σ=σ0
=κα(s0)nα(s0) β(σ0) + dσ
ds σ=σ0
κβ(σ0) α(s0)nβ(σ0)
14 A. González y J. Núñez
Aho a bien, po se α(s0)yβ(σ0)pun os homólogos, los ec o es nα(s0)ynβ(σ0)
son p opo cionales, y po ello α(s0)⊥nα(s0)knβ(σ0)y lo mismo pa a β(σ0), de
donde si sigue el esul ado.
Co ola io 1.4. Dadas dos cu as de Be and (asociadas), el ángulo que o man
los planos osculado es en pun os homólogos es cons an e.
Demos ación. Po la p oposición an e io , sabemos que el ángulo que o man los
ec o es angen es a las cu as en pun os homólogos es cons an e, pe o además,
po la de inición de cu a de Be and, sabemos que el ángulo que o man los ec-
o es no males p incipales ambién es cons an e, pudiendo ale 0 o π(nα=±nβ).
Como el ec o bino mal iene de e minado uní ocamen e po los ec o es angen-
e y no mal p incipal, enemos que los ec o es bino males, en pun os homólogos,
o man un ángulo cons an e, po lo que los planos osculado es (ca ac e izados po
dicho ec o ) o man un ángulo cons an e.
Teo ema 1.5 (Teo ema de Ca ac e ización de cu as de Be and).Una cu a
con unciones de o sión y cu a u a no nulas en cada pun o es de Be and si y
sólo si exis e una elación lineal en e dichas unciones.
Demos ación de la condición necesa ia. Sea α:I−→ R3,α=α(s)una CARPN
que, po hipó esis, suponemos de Be and. Como imos en la demos ación de
la p oposición 1, una cu a asociada a αes de la o ma β(s) = α(s) + unα(s). Si
σes el pa áme o na u al de β, enemos que:
β(σ) α(s) = dβ(σ)
dσ α(s) = dβ(s)
ds
ds
dσ α(s) = ds
dσ(1 −uκα(s)) = cos θ
que es cons an e pa a cie os syσ.
Po o a pa e
|sen θ|=| β(σ)∧ α(s)|
=
ds
dσ[(1 −uκα(s)) α(s)−uτα(s)bα(s)] ∧ α(s)]=
ds
dσuτα(s)
Como suponemos τα6= 0, llamando A=1−uκα(s)
uτα(s)≡c e, ob enemos de las dos
elaciones an e io es que:
1−uκα(s)
uτα(s)=A
u=⇒uκα(s) + Aτα(s)=1.
Ob enemos así, una elación lineal en e o sión y cu a u a.
Demos ación de la condición su icien e. Dada la cu a α:I−→ R3,α=α(s)
CARPN, suponemos que exis e una elación lineal en e sus unciones de cu a u a
y o sión:
Aκα(s) + Bτα(s) = 1.
Algunas aplicaciones de las cu as de Be and 15
Sea β:I−→ R3,β=β(s)dada po la exp esión β(s) = α(s) + Anα(s). Ve emos
que es a cu a es asociada a αy que po an o αes de Be and. Pa a ello
se á su icien e e que el ec o nα(s)es p opo cional a nβ(s). Se a a pues de
comp oba que nα(s)es o ogonal a los ec o es β0(s)yβ0(s)∧β00(s). Pues o que
el ec o β0(s) iene dado po :
β0(s) = [1 −Aκα(s)] α(s) + Aτα(s)bα(s)
es ob io que és e es pe pendicula a nα(s). Si además usamos la elación de la
que pa imos po hipó esis, ob enemos:
β0(s) = τα(s)[B α(s) + Abα(s)]
y po de i ación:
β00(s) = τ0
α(s)[B α(s) + Abα(s)] + τα(s)[Bκα(s)−Aτα(s)]nα(s).
Pa a e que nα(s)⊥(β0(s)∧β00(s)) obse amos que:
(nα(s)β0β00) = 
0 1 0
τα(s)B0τα(s)A
τ0
α(s)B τα(s)[Bκα(s)−Aτα(s)] Aτ0
α(s)
= 0,
lo que p ueba el ase o. 
Co ola io 1.6. Sea αuna cu a con o sión y cu a u a no nulas. Son equi a-
len es:
a) αes una hélice ci cula . b) αposee in ini as cu as asociadas. c) α
posee dos cu as asociadas.
Demos ación. a=⇒bSuponemos que la cu a α=α(s)es una hélice ci cula ,
po lo que κα(s) = κ0yτα(s) = τ0. Pa a cada uque omemos exis e un B6= 0
al que uκ0+Bτ0= 1. Po an o, el eo ema de ca ac e ización nos asegu a la
exis encia de in ini as cu as asociadas a α.
b=⇒cT i ial.
c=⇒aSupongamos que exis en dos cu as dis in as asociadas a αdadas po :
β(s) = α(s) + unα(s), γ(s) = α(s) + u0nα(s)
Po an o, po el eo ema de ca ac e ización, enemos que exis en ByB0, uní o-
camen e de e minados po uyu0 espec i amen e, que e i ican:
uκα(s) + Bτα(s) = 1,
u0κα(s) + B0τα(s)=1.
De i ando el sis ema an e io se ob iene:
uκ0
α(s) + Bτ0
α(s) = 1,
u0κ0
α(s) + B0τ0
α(s)=1.

16 A. González y J. Núñez
En onces, como β(s)es dis in a de γ(s),u6=u0y po an o B6=B0, de donde
se deduce que an o κ0
α(s)como τ0
α(s)son nulos y po an o κα(s)yτα(s)son
cons an es, hecho que ca ac e iza a las hélices ci cula es.
P oposición 1.7. Toda cu a plana es de Be and y posee in ini as cu as aso-
ciadas.
Demos ación. P ocedemos del mismo modo que en la condición su icien e del
eo ema de ca ac e ización. Dada α:I−→ R3,α=α(s)una CARPN cuya
unción de o sión es nula en odo pun o, de inimos la cu a β=β(s)como:
β(s) = α(s) + unα(s)
siendo ucons an e.
Comp oba emos aho a que pa a cualquie a que sea el alo de u, la cu a β
es asociada a α. Pa a ello e emos que el ec o nα(s)es o ogonal a β0(s)y a
β0(s)∧β00(s). Lo p ime o es ob io, pues β0(s) = [1−uκα(s)] α(s)po se τα(s)=0
∀s∈I. Si aho a de i amos β0(s) enemos:
β00(s) = −uκ0
α(s) α(s) + κα(s)[1 −uκα(s)]nα(s).
Finalmen e, es inmedia o comp oba que β0(s)∧β00(s)es o ogonal a nα(s) iendo
que el p oduc o mix o (nα(s)β0(s)β00(s)) es nulo.
Po an o, pa a cada alo de uob enemos una cu a asociada a αy po an o,
és a es de Be and.
Teo ema 1.8 (Teo ema de Schell).El p oduc o de las o siones de dos cu as de
Be and en pun os homólogos, es cons an e y no nega i o.
Demos ación. Sea α:I−→ R3,α=α(s)una CARPN. Como suponemos que
αes de Be and, exis e un escala A al que la cu a β(s) = α(s) + Anα(s)es
asociada a α. Pa a e que τα(s)τβ(s)es cons an e, calculamos la exp esión de
τβ(s).
Podemos supone desde el p incipio que τα(s)6= 0, ya que en caso con a io el
eo ema se e i ica i ialmen e, pues o que τατβ= 0 es cons an e y no nega i o.
Si suponemos τα(s)6= 0, podemos aplica la condición necesa ia del eo ema de
ca ac e ización, y en onces enemos la elación Aκα(s) + Bτα(s)=1,pa a un
cie o Bno nulo. Busquemos en onces la exp esión de τβ:
β0=τα[B α+Abα], β00 =τ0
α[B α+Abα] + τα[Bκα−Aτα]nα
β000 = [τ00
αB−κατα(Bκα−Aτα)] α
+ [2τ0
αBκα−3Aτατ0
α+Bκ0
ατα]nα
+ [Aτ00
α+τ2
α(Bκα−Aτα)]bα
Algunas aplicaciones de las cu as de Be and 17
β0∧β00 =τ2
αB[Bκα−Aτα]bα−τ2
αA[Bκα−Aτα] α
kβ0∧β00k2=τ4
α[Bκα−Aτα]2[B2+A2]
{β0, β00, β000}={β000, β0, β00}=β000(β0∧β00)
=−Aτ2
α(Bκα−Aτα)[τ00
αB−κατα(Bκα−Aτα)]
=Bτ2
α(Bκα−Aτα)[τ00
αA−τ2
α(Bκα−Aτα)]
Po an o:
τβ={β0, β00, β000}
kβ0∧β00k2=−A(τ00
αB−κατα(Bκα−Aτ) + B(Aτ00
α+τ2
α(Bκα−Aτα)
τ2
α(Bκα−Aτα)(A2+B2)
=τα
1
z }| {
(Aκα+Bτα)(Bκα−Aτ)
τ2
α(Bκα−Aτα)(A2+B2)=1
τα
1
(A2+B2)
Po an o τατβ=1
A2+B2, que es cons an e y no nega i o.
Co ola io 1.9. El signo de las o siones de dos cu as asociadas es el mismo.
Demos ación. Inmedia a, en i ud del Teo ema de Schell.
2 Mé odo pa a cons ui cu as de Be and
El obje i o de es e apa ado es mos a un mé odo, ideado po Kasap y Ku uoglu
[6], que pe mi e cons ui cu as de Be and a pa i de cu as es é icas, así como
demos a que oda cu a de Be and puede ob ene se po es e mé odo.
Comenzamos eco dando algunas de iniciones ya conocidas e in oduciendo
o as más no edosas:
De inición 2.1. Se denomina cu a es é ica a oda cu a alabeada con enida
en e amen e en una supe icie es é ica (que coincide con la es e a oscula iz a la
cu a en odo pun o).
No malmen e, al a a se las cu as es é icas de cu as alabeadas, pod ía usa -
se la base de F ene { ,n,b}, Sin emba go, en el caso pa icula de es as cu as,
puede supone se sin pé dida de gene alidad que el adio de la supe icie es é ica
es la unidad, po lo que el ec o de posición de cada pun o se á módulo 1 y o -
ogonal al ec o angen e. Es a p opiedad nos si e pa a de ini una nue a base
según:
De inición 2.2. Sea γ:I−→ S2una cu a es é ica pa ame izada po la longi ud
de a co σ. Sea (σ) = ˙γ(σ)y de inamos el ec o s(σ)como s(σ) = γ(σ)∧ (σ).
Se de ine la base o ied o de Sabban en cada pun o de γcomo {γ(σ), (σ),s(σ)},
que es cla amen e o ono mal ( éase [8]).
18 A. González y J. Núñez
Una ez ob enida la base de Sabban podemos de i a sus componen es, ob e-
niéndose así unas ecuaciones simila es a las de F ene -Se e pa a cu as es é icas.
Teo ema 2.3. En las condiciones de la de inición an e io , se ienen:



˙γ= ,
˙
=−γ+κgs,
˙
s=−κg ,
donde κgdeno a la cu a u a geodésica de γen S2.
Demos ación. Po una pa e, se ienen:
kγk= 1 =⇒γ˙γ= 0 De i ando
=⇒γ¨γ=−1.k˙γk= 1 =⇒˙γ¨γ= 0.κg=
{˙γ, ¨γ, γ}={¨γ, γ, ˙γ}= ¨γ(γ∧˙γ) = ¨γs.
1) Po de inición, ˙γ= . 2) Como que emos exp esa el ec o ˙
en unción de la
base de Sabban, imponemos que ˙
=λγ +µ +νsy mul iplicamos la exp esión
po γ, ys espec i amen e, ob eniéndose:
λ=˙
γ= ¨γγ =−1, µ =˙
= ¨γ˙γ= 0, ν =˙
s = ¨γs=κg.
Po an o, ˙
=−γ+κgs. 3) Po de inición, s=γ∧ , po lo que:
˙
s=˙
(γ∧ ) = ˙γ∧ +γ∧˙
= ∧ +γ∧(−γ+κgs) = κgγ∧s=−κgs∧γ=−κg
Cen ándonos ya en nues o obje i o, amos a encon a , dada una cu a es é ica,
una cu a que sea de Be and, y después p oba emos que oda cu a de Be and
puede halla se a pa i de es e p ocedimien o.
P oposición 2.4. Sea γ:I−→ S2una CARPN es é ica con pa áme o na u al
σ. Se de ine la cu a ˜γsegún:
˜γ(σ) = aZσ
σ0
γ(τ)dτ +aco θZσ
σ0
s(τ)dτ +c
donde ayθson cons an es eales y ces una cons an e ec o ial. En onces, en
es as condiciones, la cu a ˜γes de Be and.
Demos ación. P oba emos el esul ado calculando las unciones de cu a u a y
o sión de la cu a ˜γy comp obando que exis e una elación de dependencia lineal
en e ambas.
˜γ0=a(γ+ co θs)−→ k˜γ0k=pa2+a2co 2θ= a2
sen2θ
˜γ00 =a˙γ+aco θ˙
s=a(1 −co θκg)
˜γ000 =−aco θ˙κg +a(1 −co θκg)(−γ+κgs)
Algunas aplicaciones de las cu as de Be and 19
˜γ0∧˜γ00 =a2(1 −co θκg)s+a2co 2θ(co θ−1)γ
k˜γ0∧˜γ00k2=a4(1 −co θκg)2(1 + co 2θ) = a4(1 −co θκg)2
sen2θ
k˜γ0k3=εa3
sen3θdonde ε=±1
{˜γ0,˜γ00,˜γ000}=
a0aco θ
0a(1 −co θκg) 0
−a(1 −co θκg)−aco θ˙κga(1 −co θκg)κg
=a3(1 −co θκg)2κg+a3(1 −co θκg)2co θ
=a3(1 −co θκg)2(κg+ co θ)
Aplicando aho a las ó mulas pa a la cu a u a y la o sión en unción de cualquie
pa áme o, se ienen:
˜κ=k˜γ0∧˜γ00k
k˜γ0k3=εsen2θ(1 −κgco θ)
a˜τ={˜γ0,˜γ00,˜γ000}
k˜γ0∧˜γ00k2=sen2θ(κg+ co θ)
a.
De las exp esiones an e io es se sigue que a(ε˜κ+co θ˜τ)=1y po an o, ˜γes una
cu a de Be and.
Teo ema 2.5. Toda cu a de Be and puede cons ui se a pa i de una cu a
es é ica siguiendo el mé odo desc i o en la p oposición an e io .
Demos ación. Si ˜γ:I−→ R3,˜γ= ˜γ(s)una CARPN es de Be and, el eo ema
de ca ac e ización nos asegu a la exis encia de dos núme os eales no nulos A y
B ales que A˜κ(s) + B˜τ(s) = 1. Tomamos a=Ayco θ=B/a. Sabemos, po la
demos ación del eo ema de ca ac e ización, que A≥0, po lo que suponemos
a > 0y escogemos ε=±1 al que εsen θ
a>0. En base a lo an e io , de inimos
en onces la cu a es é ica:
γ(s) = ε(sen θ˜
(s)−cosθ˜
b(s)).
Demos a emos que ˜γ(s)es una cu a de Be and co espondien e a γ(s)median e
el mé odo desc i o an es:
γ0(s) = ε(sen θ˜κ(s) + cosθ˜τ(s))˜
n(s) = εsen θ
a˜
n(s); kγ0(s)k=εsen θ
a
Si deno amos po σal pa áme o na u al de γ, ob enemos dσ
ds =εsen θ
a. Po o a
pa e:
aγ(s)dσ
ds =aε(sen θ˜
(s)−cosθ˜
b(s))εsen θ
a= sen θ(sen θ˜
(s)−cosθ˜
b(s))