Algunas aplicaciones de las curvas de Bertrand

Vol. XVI, No1, Junio (2008) Ma emá icas: 11–22 Ma emá icas: Enseñanza Uni e si a ia c Escuela Regional de Ma emá icas Uni e sidad del Valle - Colombia Algunas aplicaciones de las cu as de Be and An onio González He e a Uni e sidad de Se illa Juan Núñez Valdés Uni e sidad de Se illa Recibido Ab . 18, 2007 Acep ado Dic. 14, 2007 Abs ac This pape deals wi h Be and cu es. Some p oo s o i s main p ope ies simpli ying he habi ual ones a e shown. Some concep s o p e ious pape s by se e al au ho s, ela ing Be and cu es wi h o he di e en ypes o cu es and wi h some su aces, a e also imp o ed. Keywo ds: Be and cu es, Ruled su aces, Minimal Su aces. MSC(2000): 53A04, 53A05, 53A10. Resumen El es udio de las cu as de Be and cons i uye el obje i o p incipal del p esen e abajo. En el mismo, se dan demos aciones de algunas de sus p opiedades, que simpli ican a las ya exis en es, y se con inúan abajos p e ios de o os au o es, que elacionan es e ipo de cu as con o os ipos di e en es de cu as, pa icula men e las hélices, y con o as supe icies, pa icula men e las egladas. Palab as y ases cla es: Cu as de Be and, Supe icies egladas, Supe icies mínimas. In oducción El p oblema de encon a una cu a cuyas ec as no males p incipales ue an am- bién las ec as no males p incipales de o a cu a di e en e ue, al menos, apa- en emen e, p opues o po el ma emá ico ancés Adhéma Jean Claude Ba é de Sain -Venan (Seine-e -Ma ne, 1797 - Loi -e -Che , 1886), aunque ue inalmen e esuel o po el ambién ma emá ico ancés Joseph Louis F ançois Be and (Pa- ís 1822 - Pa ís 1900), en 1850, en su lib o i ulado T ai é élémen ai e d’algèb e, des inado cu iosamen e a alumnos de enseñanza secunda ia. Po es a azón, a es as cu as se les denomina ac ualmen e como cu as de Be and, p ecisamen e en hono de es e úl imo. No obs an e, es as cu as no suelen es a su icien emen e a adas en los ex os usuales de Geome ía Di e encial, a pesa de ene , como se e á en lo que sigue, una p o unda elación an o con o os ipos de cu as como con de e minadas supe icies. Po o a pa e, no son ampoco muy abundan es las apo aciones que exis en en la li e a u a que a en sob e ellas. El obje i o p incipal de es e abajo que se p esen a es en onces in en a palia , al menos pa cialmen e, es a si uación. Pa a ello, en la p ime a sección del mismo se ecue dan y se demues an las p incipales p opiedades de es as cu as, p esen ándose en algunos casos demos- aciones di e en es de las habi uales, que simpli ican el p ocedimien o. Es con e- nien e indica al espec o, que no es usual encon a las demos aciones de es as 12 A. González y J. Núñez p opiedades en los ex os más conocidos de Geome ía Di e encial, en los que, en su mayo ía, únicamen e apa ece la de inición de es as cu as, mien as que sus p opiedades únicamen e apa ecen como eje cicios a esol e po el lec o , no esul ando es as esoluciones, po lo gene al, i iales. En la segunda sección se comen a un mé odo de cons ucción de es e ipo de cu as a pa i de las cu as es é icas, u ilizándose pa a ello la base de Sabban ampoco excesi amen e habi ual en los ex os de esa disciplina. Es a cons ucción es á basada en un abajo p e io de Kasap ( éanse [5, 6]) y en o os abajos p e ios de a ios au o es, como pueden se Izumiya y Takeuchi, y Osman, Han- dan y Mahmu . Los dos p ime os elacionan es e ipo de cu as con o os ipos di e en es, como las cu as es é icas, las hélices, las cu as pa alelas, las e olu as y las e ol en es ( éase [4]) y con las supe icies egladas ( éase [3]). Los es úl- imos ci ados abajan sob e supe icies egladas en el espacio idimensional de Minkowski ( éase [7]). Finalmen e, se u ilizan en la úl ima sección algunas p opiedades de es as cu - as, en pa icula su elación con las hélices ci cula es, pa a p oba que el helicoide ec o es, además del plano, la única supe icie mínima, que es además eglada. En el abajo se hace uso de las de iniciones y esul ados p opios de un cono- cimien o elemen al de la Geome ía Di e encial de Cu as y Supe icies. Pa a una isión comple a de los mismos, el lec o puede consul a [2] o [1], po ejemplo. 1 Cu as de Be and En es a sección se ecue da la de inición de cu as de Be and y se p ueban sus p opiedades más impo an es. Algunas de las demos aciones que se mues an simpli ican bas an e las que en escasas ocasiones, po lo gene al, apa ecen en algunos ex os de Geome ía Di e encial. De inición 1.1. Una cu a pa ame izada egula (no necesa iamen e po la lon- gi ud de a co) α:I−→ R3,α=α( ), con k( )6= 0 yτ( )6= 0, ∈I, se dice cu a de Be and si exis e una cu a egula β:I−→ R3,β=β( ), de o ma que las no males de αyβen ∈Ison iguales. En es e caso, se dice que βes una ep esen ación de Be and (o cu a asociada) de α, y se puede esc ibi : β( ) = α( ) + unα( ). Las p opiedades más conocidas de es as cu as de Be and son las siguien es: P oposición 1.2. La dis ancia en e pun os homólogos de dos cu as de Be and es cons an e. Demos ación. Sea α:I→R3, α =α(s)una cu a alabeada egula que supon- d emos pa ame izada na u almen e. Si αes de Be and, exis e pa a cada s∈I el homólogo del pun o α(s), que designa emos po β(s). Como β(s)pe enece a la no mal p incipal a αen α(s), enemos que: β(s) = α(s) + u(s)nα(s)(1) Algunas aplicaciones de las cu as de Be and 13 donde u(s)deno a, en alo absolu o, la dis ancia en e pun os homólogos. Tene- mos así que βes una cu a asociada a α. Pa a p oba que la dis ancia en e pun os homólogos es cons an e e emos que la unción u(s)es cons an e, pa a ello comp oba emos que u0(s) = 0 ∀s∈I. De i ando en (1) y eniendo en cuen a las Ecuaciones de F ene , se ienen: β0(s) = α(s) + u0(s)nα(s) + u(s)˙ nα(s) = α(s) + u0(s)nα(s) + u(s)[−κα(s) α(s) + τα(s)bα(s)] = [1 −u(s)κα(s)] α(s) + u0(s)nα(s) + τα(s)u(s)bα(s)(2) Mul iplicando aho a la exp esión (2) po nα(s)y eniendo en cuen a que dicho ec o es p opo cional a nβ(s), y po an o o ogonal a β0(s), ob enemos: 0 = u0(s) =⇒u(s)cons an e. Nó ese que es necesa io exigi la condición de se αuna cu a alabeada (es deci , τ( )6= 0 con ∈I) en la De inición 1 pa a que se ga an ice la dependencia con inua de pun os homólogos, ya que en caso de no con empla se es a exigencia, la p oposición an e io no se ía álida. Como ejemplo de es o que decimos, bas a ía oma como cu a αmedia ci cun e encia cen ada en el o igen y como cu a β una cu a conexa que uese la unión de a ios ozos de ci cun e encias cen adas ambién en el o igen, cada uno de esos ozos con di e en e adio, y de o as cu as que conec asen en e sí esos ozos. P oposición 1.3. El ángulo que o man las angen es en pun os homólogos de dos cu as de Be and es cons an e. Demos ación. Sea α:I→R3,α=α(s)una cu a alabeada egula pa ame i- zada na u almen e (en adelan e, CARPN). Si suponemos que αes de Be and, enemos que exis e o a cu a β:I0→R3,β=β(σ)(que ambién supond e- mos pa ame izada na u almen e) e i icando que pa a cada s∈Iexis e σ∈I0 al que nα(s) = ±nβ(σ). Sean α(s0)yβ(σ0)dos pun os homólogos. Se p oba á que el ángulo que o man los ec o es α(s0)y β(σ0)es cons an e iendo que el p oduc o escala de dichos ec o es es cons an e, y ello se ha á p obando que la de i ada de al p oduc o es nula: d ds( α(s0)· β(σ0)) = d α(s0) ds β(σ0) + α(s0)d β(σ0) ds =κα(s0)nα(s0) β(σ0) + α(so)d β(σ0) dσ dσ ds σ=σ0 =κα(s0)nα(s0) β(σ0) + dσ ds σ=σ0 κβ(σ0) α(s0)nβ(σ0) 14 A. González y J. Núñez Aho a bien, po se α(s0)yβ(σ0)pun os homólogos, los ec o es nα(s0)ynβ(σ0) son p opo cionales, y po ello α(s0)⊥nα(s0)knβ(σ0)y lo mismo pa a β(σ0), de donde si sigue el esul ado. Co ola io 1.4. Dadas dos cu as de Be and (asociadas), el ángulo que o man los planos osculado es en pun os homólogos es cons an e. Demos ación. Po la p oposición an e io , sabemos que el ángulo que o man los ec o es angen es a las cu as en pun os homólogos es cons an e, pe o además, po la de inición de cu a de Be and, sabemos que el ángulo que o man los ec- o es no males p incipales ambién es cons an e, pudiendo ale 0 o π(nα=±nβ). Como el ec o bino mal iene de e minado uní ocamen e po los ec o es angen- e y no mal p incipal, enemos que los ec o es bino males, en pun os homólogos, o man un ángulo cons an e, po lo que los planos osculado es (ca ac e izados po dicho ec o ) o man un ángulo cons an e. Teo ema 1.5 (Teo ema de Ca ac e ización de cu as de Be and).Una cu a con unciones de o sión y cu a u a no nulas en cada pun o es de Be and si y sólo si exis e una elación lineal en e dichas unciones. Demos ación de la condición necesa ia. Sea α:I−→ R3,α=α(s)una CARPN que, po hipó esis, suponemos de Be and. Como imos en la demos ación de la p oposición 1, una cu a asociada a αes de la o ma β(s) = α(s) + unα(s). Si σes el pa áme o na u al de β, enemos que: β(σ) α(s) = dβ(σ) dσ α(s) = dβ(s) ds ds dσ α(s) = ds dσ(1 −uκα(s)) = cos θ que es cons an e pa a cie os syσ. Po o a pa e |sen θ|=| β(σ)∧ α(s)| = ds dσ[(1 −uκα(s)) α(s)−uτα(s)bα(s)] ∧ α(s)]= ds dσuτα(s) Como suponemos τα6= 0, llamando A=1−uκα(s) uτα(s)≡c e, ob enemos de las dos elaciones an e io es que: 1−uκα(s) uτα(s)=A u=⇒uκα(s) + Aτα(s)=1. Ob enemos así, una elación lineal en e o sión y cu a u a. Demos ación de la condición su icien e. Dada la cu a α:I−→ R3,α=α(s) CARPN, suponemos que exis e una elación lineal en e sus unciones de cu a u a y o sión: Aκα(s) + Bτα(s) = 1. Algunas aplicaciones de las cu as de Be and 15 Sea β:I−→ R3,β=β(s)dada po la exp esión β(s) = α(s) + Anα(s). Ve emos que es a cu a es asociada a αy que po an o αes de Be and. Pa a ello se á su icien e e que el ec o nα(s)es p opo cional a nβ(s). Se a a pues de comp oba que nα(s)es o ogonal a los ec o es β0(s)yβ0(s)∧β00(s). Pues o que el ec o β0(s) iene dado po : β0(s) = [1 −Aκα(s)] α(s) + Aτα(s)bα(s) es ob io que és e es pe pendicula a nα(s). Si además usamos la elación de la que pa imos po hipó esis, ob enemos: β0(s) = τα(s)[B α(s) + Abα(s)] y po de i ación: β00(s) = τ0 α(s)[B α(s) + Abα(s)] + τα(s)[Bκα(s)−Aτα(s)]nα(s). Pa a e que nα(s)⊥(β0(s)∧β00(s)) obse amos que: (nα(s)β0β00) =  0 1 0 τα(s)B0τα(s)A τ0 α(s)B τα(s)[Bκα(s)−Aτα(s)] Aτ0 α(s) = 0, lo que p ueba el ase o.  Co ola io 1.6. Sea αuna cu a con o sión y cu a u a no nulas. Son equi a- len es: a) αes una hélice ci cula . b) αposee in ini as cu as asociadas. c) α posee dos cu as asociadas. Demos ación. a=⇒bSuponemos que la cu a α=α(s)es una hélice ci cula , po lo que κα(s) = κ0yτα(s) = τ0. Pa a cada uque omemos exis e un B6= 0 al que uκ0+Bτ0= 1. Po an o, el eo ema de ca ac e ización nos asegu a la exis encia de in ini as cu as asociadas a α. b=⇒cT i ial. c=⇒aSupongamos que exis en dos cu as dis in as asociadas a αdadas po : β(s) = α(s) + unα(s), γ(s) = α(s) + u0nα(s) Po an o, po el eo ema de ca ac e ización, enemos que exis en ByB0, uní o- camen e de e minados po uyu0 espec i amen e, que e i ican: uκα(s) + Bτα(s) = 1, u0κα(s) + B0τα(s)=1. De i ando el sis ema an e io se ob iene: uκ0 α(s) + Bτ0 α(s) = 1, u0κ0 α(s) + B0τ0 α(s)=1. 16 A. González y J. Núñez En onces, como β(s)es dis in a de γ(s),u6=u0y po an o B6=B0, de donde se deduce que an o κ0 α(s)como τ0 α(s)son nulos y po an o κα(s)yτα(s)son cons an es, hecho que ca ac e iza a las hélices ci cula es. P oposición 1.7. Toda cu a plana es de Be and y posee in ini as cu as aso- ciadas. Demos ación. P ocedemos del mismo modo que en la condición su icien e del eo ema de ca ac e ización. Dada α:I−→ R3,α=α(s)una CARPN cuya unción de o sión es nula en odo pun o, de inimos la cu a β=β(s)como: β(s) = α(s) + unα(s) siendo ucons an e. Comp oba emos aho a que pa a cualquie a que sea el alo de u, la cu a β es asociada a α. Pa a ello e emos que el ec o nα(s)es o ogonal a β0(s)y a β0(s)∧β00(s). Lo p ime o es ob io, pues β0(s) = [1−uκα(s)] α(s)po se τα(s)=0 ∀s∈I. Si aho a de i amos β0(s) enemos: β00(s) = −uκ0 α(s) α(s) + κα(s)[1 −uκα(s)]nα(s). Finalmen e, es inmedia o comp oba que β0(s)∧β00(s)es o ogonal a nα(s) iendo que el p oduc o mix o (nα(s)β0(s)β00(s)) es nulo. Po an o, pa a cada alo de uob enemos una cu a asociada a αy po an o, és a es de Be and. Teo ema 1.8 (Teo ema de Schell).El p oduc o de las o siones de dos cu as de Be and en pun os homólogos, es cons an e y no nega i o. Demos ación. Sea α:I−→ R3,α=α(s)una CARPN. Como suponemos que αes de Be and, exis e un escala A al que la cu a β(s) = α(s) + Anα(s)es asociada a α. Pa a e que τα(s)τβ(s)es cons an e, calculamos la exp esión de τβ(s). Podemos supone desde el p incipio que τα(s)6= 0, ya que en caso con a io el eo ema se e i ica i ialmen e, pues o que τατβ= 0 es cons an e y no nega i o. Si suponemos τα(s)6= 0, podemos aplica la condición necesa ia del eo ema de ca ac e ización, y en onces enemos la elación Aκα(s) + Bτα(s)=1,pa a un cie o Bno nulo. Busquemos en onces la exp esión de τβ: β0=τα[B α+Abα], β00 =τ0 α[B α+Abα] + τα[Bκα−Aτα]nα β000 = [τ00 αB−κατα(Bκα−Aτα)] α + [2τ0 αBκα−3Aτατ0 α+Bκ0 ατα]nα + [Aτ00 α+τ2 α(Bκα−Aτα)]bα Algunas aplicaciones de las cu as de Be and 17 β0∧β00 =τ2 αB[Bκα−Aτα]bα−τ2 αA[Bκα−Aτα] α kβ0∧β00k2=τ4 α[Bκα−Aτα]2[B2+A2] {β0, β00, β000}={β000, β0, β00}=β000(β0∧β00) =−Aτ2 α(Bκα−Aτα)[τ00 αB−κατα(Bκα−Aτα)] =Bτ2 α(Bκα−Aτα)[τ00 αA−τ2 α(Bκα−Aτα)] Po an o: τβ={β0, β00, β000} kβ0∧β00k2=−A(τ00 αB−κατα(Bκα−Aτ) + B(Aτ00 α+τ2 α(Bκα−Aτα) τ2 α(Bκα−Aτα)(A2+B2) =τα 1 z }| { (Aκα+Bτα)(Bκα−Aτ) τ2 α(Bκα−Aτα)(A2+B2)=1 τα 1 (A2+B2) Po an o τατβ=1 A2+B2, que es cons an e y no nega i o. Co ola io 1.9. El signo de las o siones de dos cu as asociadas es el mismo. Demos ación. Inmedia a, en i ud del Teo ema de Schell. 2 Mé odo pa a cons ui cu as de Be and El obje i o de es e apa ado es mos a un mé odo, ideado po Kasap y Ku uoglu [6], que pe mi e cons ui cu as de Be and a pa i de cu as es é icas, así como demos a que oda cu a de Be and puede ob ene se po es e mé odo. Comenzamos eco dando algunas de iniciones ya conocidas e in oduciendo o as más no edosas: De inición 2.1. Se denomina cu a es é ica a oda cu a alabeada con enida en e amen e en una supe icie es é ica (que coincide con la es e a oscula iz a la cu a en odo pun o). No malmen e, al a a se las cu as es é icas de cu as alabeadas, pod ía usa - se la base de F ene { ,n,b}, Sin emba go, en el caso pa icula de es as cu as, puede supone se sin pé dida de gene alidad que el adio de la supe icie es é ica es la unidad, po lo que el ec o de posición de cada pun o se á módulo 1 y o - ogonal al ec o angen e. Es a p opiedad nos si e pa a de ini una nue a base según: De inición 2.2. Sea γ:I−→ S2una cu a es é ica pa ame izada po la longi ud de a co σ. Sea (σ) = ˙γ(σ)y de inamos el ec o s(σ)como s(σ) = γ(σ)∧ (σ). Se de ine la base o ied o de Sabban en cada pun o de γcomo {γ(σ), (σ),s(σ)}, que es cla amen e o ono mal ( éase [8]). 18 A. González y J. Núñez Una ez ob enida la base de Sabban podemos de i a sus componen es, ob e- niéndose así unas ecuaciones simila es a las de F ene -Se e pa a cu as es é icas. Teo ema 2.3. En las condiciones de la de inición an e io , se ienen:    ˙γ= , ˙ =−γ+κgs, ˙ s=−κg , donde κgdeno a la cu a u a geodésica de γen S2. Demos ación. Po una pa e, se ienen: kγk= 1 =⇒γ˙γ= 0 De i ando =⇒γ¨γ=−1.k˙γk= 1 =⇒˙γ¨γ= 0.κg= {˙γ, ¨γ, γ}={¨γ, γ, ˙γ}= ¨γ(γ∧˙γ) = ¨γs. 1) Po de inición, ˙γ= . 2) Como que emos exp esa el ec o ˙ en unción de la base de Sabban, imponemos que ˙ =λγ +µ +νsy mul iplicamos la exp esión po γ, ys espec i amen e, ob eniéndose: λ=˙ γ= ¨γγ =−1, µ =˙ = ¨γ˙γ= 0, ν =˙ s = ¨γs=κg. Po an o, ˙ =−γ+κgs. 3) Po de inición, s=γ∧ , po lo que: ˙ s=˙ (γ∧ ) = ˙γ∧ +γ∧˙ = ∧ +γ∧(−γ+κgs) = κgγ∧s=−κgs∧γ=−κg Cen ándonos ya en nues o obje i o, amos a encon a , dada una cu a es é ica, una cu a que sea de Be and, y después p oba emos que oda cu a de Be and puede halla se a pa i de es e p ocedimien o. P oposición 2.4. Sea γ:I−→ S2una CARPN es é ica con pa áme o na u al σ. Se de ine la cu a ˜γsegún: ˜γ(σ) = aZσ σ0 γ(τ)dτ +aco θZσ σ0 s(τ)dτ +c donde ayθson cons an es eales y ces una cons an e ec o ial. En onces, en es as condiciones, la cu a ˜γes de Be and. Demos ación. P oba emos el esul ado calculando las unciones de cu a u a y o sión de la cu a ˜γy comp obando que exis e una elación de dependencia lineal en e ambas. ˜γ0=a(γ+ co θs)−→ k˜γ0k=pa2+a2co 2θ= a2 sen2θ ˜γ00 =a˙γ+aco θ˙ s=a(1 −co θκg) ˜γ000 =−aco θ˙κg +a(1 −co θκg)(−γ+κgs) Algunas aplicaciones de las cu as de Be and 19 ˜γ0∧˜γ00 =a2(1 −co θκg)s+a2co 2θ(co θ−1)γ k˜γ0∧˜γ00k2=a4(1 −co θκg)2(1 + co 2θ) = a4(1 −co θκg)2 sen2θ k˜γ0k3=εa3 sen3θdonde ε=±1 {˜γ0,˜γ00,˜γ000}= a0aco θ 0a(1 −co θκg) 0 −a(1 −co θκg)−aco θ˙κga(1 −co θκg)κg =a3(1 −co θκg)2κg+a3(1 −co θκg)2co θ =a3(1 −co θκg)2(κg+ co θ) Aplicando aho a las ó mulas pa a la cu a u a y la o sión en unción de cualquie pa áme o, se ienen: ˜κ=k˜γ0∧˜γ00k k˜γ0k3=εsen2θ(1 −κgco θ) a˜τ={˜γ0,˜γ00,˜γ000} k˜γ0∧˜γ00k2=sen2θ(κg+ co θ) a. De las exp esiones an e io es se sigue que a(ε˜κ+co θ˜τ)=1y po an o, ˜γes una cu a de Be and. Teo ema 2.5. Toda cu a de Be and puede cons ui se a pa i de una cu a es é ica siguiendo el mé odo desc i o en la p oposición an e io . Demos ación. Si ˜γ:I−→ R3,˜γ= ˜γ(s)una CARPN es de Be and, el eo ema de ca ac e ización nos asegu a la exis encia de dos núme os eales no nulos A y B ales que A˜κ(s) + B˜τ(s) = 1. Tomamos a=Ayco θ=B/a. Sabemos, po la demos ación del eo ema de ca ac e ización, que A≥0, po lo que suponemos a > 0y escogemos ε=±1 al que εsen θ a>0. En base a lo an e io , de inimos en onces la cu a es é ica: γ(s) = ε(sen θ˜ (s)−cosθ˜ b(s)). Demos a emos que ˜γ(s)es una cu a de Be and co espondien e a γ(s)median e el mé odo desc i o an es: γ0(s) = ε(sen θ˜κ(s) + cosθ˜τ(s))˜ n(s) = εsen θ a˜ n(s); kγ0(s)k=εsen θ a Si deno amos po σal pa áme o na u al de γ, ob enemos dσ ds =εsen θ a. Po o a pa e: aγ(s)dσ ds =aε(sen θ˜ (s)−cosθ˜ b(s))εsen θ a= sen θ(sen θ˜ (s)−cosθ˜ b(s))