SÍ COMO suele se habi ual encon a a ículos ela i os a
expe iencias ex aacadémicas ealizadas po alumnos de
Educación P ima ia o Secunda ia en las páginas de e is-
as especializadas en Educación, Didác ica o Me odología,
no suele se ecuen e, po el con a io, encon a es os
mismos abajos cuando los suje os son alumnos uni e si-
a ios, sob e odo en el caso de las disciplinas cien í icas.
El p esen e a ículo, que iene a palia en algo la conside-
ación an e io , a a sob e una expe iencia ex aacadémi-
ca ealizada, a ins ancias del p o eso , po un g upo de 9
de sus alumnos uni e si a ios del cu so de la asigna u a
Geome ía III (Geome ía Di e encial de Cu as y Su-
pe icies) de la licencia u a de Ma emá icas, en la Facul ad
de Ma emá icas de la Uni e sidad de Se illa (año acadé-
mico 1999-2000). Es a expe iencia u o luga den o de los
ac os p og amados du an e la Semana de las Ma emá icas
(semana del 27 de ma zo al 2 de ab il de 2000) o ganiza-
da po la Facul ad de Ma emá icas de la Uni e sidad de
Se illa en conmemo ación del Año Mundial de las Ma e-
má icas (Año 2000).
Lo que en p incipio ue un simple comen a io po pa e
del p o eso a la o alidad de sus alumnos del ci ado g upo
en el sen ido de que le gus a ía que su clase de Geome ía
pa icipase como al, de o ma ac i a, en dicha Semana,
ealizando una ac i idad inicialmen e sin de e mina , si
bien elacionada de alguna o ma con el ema io de la
asigna u a, se con i ió pos e io men e en el i me com-
p omiso po pa e de un g upo educido de es os alumnos
de idea , plani ica , o ganiza y, en de ini i a, ealiza una
Exposición sob e Cu as y Supe icies, que es la que
seguidamen e se pasa a comen a .
El p esen e a ículo se es uc u a en seis secciones. En la
p ime a, se señalan los obje i os que nos ma camos al ini-
cio de la expe iencia. En la segunda, e ce a y cua a sec-
En es e a ículo se comen a
una expe iencia
ex aacadémica ealizada
po un g upo de alumnos
uni e si a ios de
Ma emá icas, jun amen e con
su p o eso , en el ma co de
la Semana de las
Ma emá icas o ganizada po
la Facul ad de Ma emá icas
de Se illa pa a conmemo a
el Año Mundial de las
Ma emá icas (Año 2000). La
ci ada expe iencia consis ió
en la ealización y mon aje
de una Exposición de Cu as
y Supe icies, cuyos obje i os
gene ales, desa ollo y
conclusiones inales
cons i uyen la base de es e
abajo.
77
Exposición de cu as
y supe icies: una expe iencia
ex aacadémica uni e si a ia
Juan Núñez Valdés, C. Aguile a, I. Fe nández,
M.J. Macías, A. Mon año, S. Pé ez, I. Ri e o,
M.J. Rome o, J.I. Sánchez y A.M. Se a o
IDEAS
Y
RECURSOS
A
36
eb e o 2001, pp. 77-84
ciones se a an, espec i amen e, las cues iones e e en es
a la p epa ación y mon aje, deco ación ex e na y con eni-
dos de la Exposición. En la sección quin a se comen an
algunas cu iosidades y anécdo as su gidas al hilo de la
misma, dedicándose inalmen e la sex a sección al a a-
mien o de la alo ación inal y conclusiones ex aídas po
noso os mismos a la inalización de la misma.
Obje i os de la Exposición
El p incipal obje i o que nos p opusimos ue el de ace -
ca la Geome ía Di e encial de Cu as y Supe icies a
compañe os, p o eso es y demás isi an es in e esados en
el ema y hace lo, además, de una o ma se ia y igu osa
aunque no exen a de un a amien o algo más in o mal y
¿po qué no deci lo? ambién lúdico del ema.
Pa a ello, pensamos que la Exposición no solamen e debe-
ía mos a algunas de las cu as y supe icies que había-
mos es udiado en clase de Geome ía e indica sus p inci-
pales p opiedades, sino que al mismo iempo debe ía p e-
sen a las además de una mane a ísica y angible, que pe -
mi iese al isi an e obse a las con el mayo de enimien o
posible, conside a en ellas odos los conocimien os eó i-
cos p e iamen e es udiados y ambién, en g an pa e de
los casos, pode manipula las o incluso «c ea » en el o de-
nado sus «p opios» cue pos geomé icos. A al in, deseá-
bamos que los isi an es no sólo ie an sino que ambién
pa icipa an de mane a ac i a en la Exposición.
Un segundo obje i o ue, cómo no, ap o echa el año en
el que nos encon ábamos, pa a apo a nues o peque-
ño g ani o de a ena, como pa e in eg an e de la Facul ad
de Ma emá icas, pa icipando ac i amen e en los ac os de
la Semana de las Ma emá icas o ganizada po la misma,
ayudando a p omociona de es a o ma el conocimien o
y el uso de las Ma emá icas en odo el mundo, y a mos-
a a la sociedad la p esencia pe manen e de las
Ma emá icas en di e en es hábi os de nues a ida y esal-
a su impo ancia en el desa ollo cien í ico, ecnológico
y cul u al, al como se ecogía en los obje i os gene ales
del Año Mundial de las Ma emá icas, que celeb ábamos
en ese año 2000.
Un e ce obje i o ue el de calib a si las ac i idades ex a-
académicas uni e si a ias (sob e odo en las á eas cien í i-
cas), an denos adas po lo gene al an o po p o eso es
como po alumnos, debe ían se más enidas en cuen a
po ambos es amen os a in de consegui la an ansiada
o mación in eg al, no sólo eó ica y de conocimien os, del
alumnado de es as licencia u as.
Pasamos a con inuación a de alla la ac i idad ealizada y
los log os ob enidos, que nos pe mi i án conclui si los
obje i os inicialmen e p opues os se cumplie on o no.
P epa ación y mon aje
Con espec o a la p epa ación y mon a-
je en sí de la Exposición, debemos
comen a que esul ó más complicado y
que nos lle ó más iempo del que en
p incipio habíamos conside ado.
Así, nues as p ime as ideas sob e el con-
enido ue on a iando desde la p ime a
de nues as euniones has a p ác icamen-
e el mismo momen o de la inaugu ación.
De hecho, odo lo que inalmen e se
expuso ue u o de in ensos deba es y
euniones en los que se cambiaban, se
ampliaban e incluso se desechaban nu-
me osos p oyec os inicialmen e p e is os
y que después, po di e en es azones, no
pudie on lle a se a cabo.
Po o a pa e, el aula que nos había
sido asignada po la Facul ad, aunque
bas an e amplia, es aba lógicamen e
ocupada po las co espondien es mesas
y sillas, que necesa iamen e u imos que
edis ibui , pa a acili a el paso lib e y
sin obs áculos de los isi an es. Además,
había que coloca los ca eles in o ma i-
os, igu as, dibujos, cue pos geomé i-
cos, e c., de o ma que odos ellos es u-
iesen bien a la is a y que no se es o -
basen unos a o os. Al espec o, cabe
menciona la g an di icul ad que nos
supuso el aslado has a el aula de una
p eciosa y ex ensa colección de cue pos
geomé icos p opiedad de la Facul ad
(donada po un amilia de un p o eso
de la misma hace ya bas an e iempo)
que se gua daban en unos es an es
ce ados, cons uidos exp esamen e
pa a ello, que ue necesa io aslada al
cual, desde su luga habi ual, la Sala de
Jun as de la Facul ad, has a el aula, en e
cua o o cinco de noso os, con el mayo
cuidado pa a e i a posibles golpes o
de e io os en e ellos. También ue ela-
i amen e complicado el aslado y pos-
e io mon aje en el aula de dos o dena-
do es gen ilmen e p es ados po miem-
b os de la Facul ad, que hubo de eali-
za se con el máximo cuidado.
Además, el iempo de que dispusimos
pa a ello ue más bien escaso, habida
cuen a que la mayo pa e de la a ea
an e io hubo de hace se du an e las
…la Exposición
no solamen e
debe ía mos a
algunas
de las cu as
y supe icies
que habíamos
es udiado
en clase de
Geome ía
e indica
sus p incipales
p opiedades,
sino que al mismo
iempo debe ía
p esen a las
además
de una mane a
ísica y angible,
que pe mi iese
al isi an e
obse a las
con el mayo
de enimien o
posible…
78
p ime as ho as de la mañana del lunes
de esa misma semana, dado que has a
la úl ima ho a lec i a de la a de del
ie nes an e io hubo clases en el aula
asignada y du an e el in de semana no
pudimos accede a ella.
Deco ación ex e na
En un p incipio, la Exposición es aba
educida sólo y exclusi amen e al aula
des inada pa a ella, si uada en la segun-
da plan a de la Facul ad. Po ello, decidi-
mos amplia algo el espacio y se nos
ocu ió deco a la Facul ad con algunas
igu as geomé icas gigan es, que uesen
«ab iendo boca» a los isi an es. Así, pen-
samos en dis ibui a lo la go del camino
que lle aba al aula una se ie de elemen-
os geomé icos que pudie an se ap e-
ciados a simple is a a medida que el
isi an e se uese ace cando y que, po
o a pa e, cons i uyesen po sí mismos
pa e del ma e ial que se deseaba expo-
ne . Es os elemen os ue on con ecciona-
dos manualmen e po noso os mismos,
con ma e iales habi uales en nues o
quehace co idiano, como papel de alu-
minio, cables, la as de e escos acías,
pe iódicos, alamb es, e c. Cie amen e,
a aídos po es as igu as gigan es, ue on
muchos los que se decidie on a isi a la
Exposición, saliendo muy complacidos
inalmen e de la misma.
Las dos p ime as igu as en apa ece a la
is a del isi an e, una ez den o de la
Facul ad e an una espi al loga í mica (Do
Ca mo, 1976: 23) y una banda de Mobius
(Do Ca mo, 1976: 118). La p ime a, eali-
zada con cables y chinche as se si uó al
lado del ca el anunciado de la
Exposición y la segunda, cons uida con
pe iódicos y ca ulina, que pe mi ían
mos a la no o ien abilidad de es a
supe icie (Do Ca mo, 1976), se colgó del
echo de la en ada de la Facul ad, po
cie o con g a e iesgo de algunos de los
que lo hicie on, po mo i os de un ino-
po uno é igo, no con enien emen e
supe ado en esos momen os.
También en la en ada de la Facul ad se
colocó una eno me ca ena ia (Do
Ca mo, 1976: 37), de 30 me os de longi ud, con eccionada
con papel de aluminio (e iden emen e, hubo de dá sele
una cie a «anchu a» po azones ob ias de con ección). Se
colgó en e dos de los puen es de la Facul ad, es i ándose
en p ime luga el ollo de papel y descolgándolo después
muy poco a poco, quedando inalmen e una igu a muy
boni a an o po su amaño como po su colo .
Al inal de una de las escale as que conduce a la p ime a
plan a de la Facul ad se colocó un cilind o (Do Ca mo,
1976: 77) de ap oximadamen e me o y medio de al u a,
ealizado con 266 la as de e escos acías (14 columnas de
19 la as cada una), que nos habían sido g aciosamen e
donadas po pe sonas de la Facul ad que las habían ido
deposi ando en una g an caja que a al in habíamos colo-
cado noso os en el es íbulo de en ada, po cie o, bajo
un eno me ca el indicado en el que les pedíamos que nos
«diesen la la a». Pa a ensambla las y uni las ue on necesa-
ios 6 me os de cable, dos ca ones ci cula es g andes, que
cons i uían las bases, un pe che o adosado a uno de ellos,
que man enía la igu a en pie y, sob e odo, muchísima
paciencia y un poco de habilidad pa a da le la o ma ade-
cuada, habida cuen a de que en la geome ía ac ual, el
«cilind o abombado» aún no iene la ca ego ía de supe icie
egula . Al lado de es e cilind o, al igual que en la p ác ica
o alidad de igu as p esen adas, apa ecía un ca el expli-
ca i o de la igu a en sí y de sus p incipales p opiedades.
Las dos p ime as
igu as
en apa ece
a la is a
del isi an e,
una ez den o
de la Facul ad
e an
una espi al
loga í mica
y una banda
de Mobius…
…se colocó
una eno me
ca ena ia
de 30 me os
de longi ud,
con eccionada
con papel
de aluminio…
79
Seguidamen e, a la en ada del aula, en la segunda plan a,
se colga on unas hélices de alamb es de dis in os colo es
(Do Ca mo, 1976: 17), que habían sido con eccionadas
haciéndolas gi a al ededo de la pa a de una mesa. Po
cie o que es as hélices, apa e de ac ua como ales en la
Exposición, si ie on de imp o isados, pe o no menos
di e idísimos, columpios a los pe sonajes de meno edad
de los colegios que nos isi a on, lo cual, con oda since i-
dad, noso os nunca hubié amos podido llega a imagina .
De es a mane a, y bajo la mi ada i ual de odas es as
igu as, el isi an e llegaba inalmen e, siguiendo los ca -
eles indica i os, a la pue a de en ada del aula que ence-
aba la Exposición. En ese luga ue donde se colocó la
úl ima de las igu as gigan es: un o o (Do Ca mo, 1976:
73) colgado del echo po una cue da (o mejo , su ep e-
sen ación en o ma de neumá ico de coche) que ambién,
como le ocu ió al cilind o, acabó un poco abollado po
culpa de los niños que isi aban la Exposición (ya se
sabe, el «juego del o o»).
Con enidos
El con enido de la Exposición ha es ado cen ado en dos
aspec os básicos:
1. Exposición de Cu as y Supe icies, median e mode-
los eales, pós e s, ca eles, e c.
2. Gene ación de cu as y supe icies median e p og a-
mas de o denado .
Y o os dos aspec os complemen a ios:
3. His o ia de las Ma emá icas, median e pós e s, pane-
les, ca eles, e c.
4. Muje es ma emá icas, median e o og a ías y paneles.
Re e en e al p ime aspec o básico, algu-
nas supe icies es aban hechas de hie o y
se apoyaban en peanas de made a, lo que
pe mi ía hace las gi a manualmen e y
ap ecia de es a o ma su olumen y sus
p incipales p opiedades, al como ocu ía
con los casos de la supe icie es é ica,
cilind o, cono, pa aboloides, hipe boloide
de una hoja y de dos, e c. (Do Ca mo,
1976). Como ejemplo de lo que decimos,
el hipe boloide de una hoja es aba hecho
con hilos de colo es, lo que pe mi ía
obse a su p opiedad de se una supe i-
cie doblemen e eglada, al apa ece de
o ma cla amen e isible las dos amilias
de ec as di e en es que la cons i uyen.
Apa e las supe icies an e io men e
ci adas, que pueden conside a se como
las más conocidas, ambién se encon a-
ban en la Exposición o as menos e-
cuen es, hechas algunas de ellas en ca -
ulinas de di e en es colo es, median e
écnicas manuales, que ambién p o o-
ca on un g an in e és en e los asis en-
es po conoce sus p opiedades, la
mayo pa e de las cuales e an expues-
as al isi an e po los p opios alumnos
enca gados de la Exposición. En e ellas
podemos ci a la bipi ámide iangula
elongada, el e aed o uncado, el cubo
uncado y la seudoes e a.
…algunas
supe icies
es aban
hechas de hie o
y se apoyaban
en peanas
de made a,
lo que pe mi ía
hace las gi a
manualmen e
y ap ecia ,
de es a o ma,
su olumen
y sus p incipales
p opiedades…
80
Apa e de lo an e io , y al como ya se
ha comen ado, con ábamos en la Expo-
sición con una g an can idad de cue pos
poliéd icos, en e ellos los cinco sólidos
de Pla ón (polied os egula es) y nume-
osísimos polied os i egula es, algunos
de ellos es ellados, que o man pa e
de la colección donada a la Facul ad de
Ma emá icas, de la que an es se ha
hablado. Po e iden es azones de segu-
idad, es os úl imos cue pos geomé i-
cos pe manecían gua dados en sus
es an es ce ados y únicamen e podían
obse a se, pe o no manipula se.
Con espec o al segundo aspec o básico
de la Exposición, al como se ha comen-
ado ya an e io men e, nues o obje i o
es que las isi as no se con o masen sólo
con mi a , sino que pa icipasen de
mane a ac i a en la Exposición. Pa a ello
se con aba con dos o denado es y p o-
g amas adecuados de simulación y ep e-
sen ación de cu as y supe icies (Ma he-
ma ica, Maple V y Poly) que pe mi ían la
isión idimensional de los sólidos de
Pla ón, sólidos de A químedes, sólidos de
Ca alán, e c., así como ambién su mani-
pulación median e mo imien os ígidos y
la isión de su desa ollo en plan a
( éase, po ejemplo, Co de o y o os,
1995) y el p og ama Poly, ab icado po
Pedagoge y So wa e.
Los dos aspec os complemen a ios se
incluye on en la Exposición a pe ición
de algunos de sus o ganizado es.
Ambos es aban muy elacionados y, en
pa icula , el ema de los g andes acon-
ecimien os ma emá icos, o denados
c onológicamen e, u o una g an acep-
ación, sob e odo po pa e del alum-
nado de la Facul ad. Aunque és e es
o o ema, que no es opo uno aquí y
aho a conside a , la His o ia de las Ma-
emá icas no es una disciplina que se
impa a en nues a Facul ad y en nues-
a opinión sí debe ía se lo. La g an
acep ación an es indicada así como el
hecho de que a lo la go del cu so se
impa an a ios semina ios y cu sos de
o ma olun a ia sob e el ema así am-
bién lo a es iguan.
Del ema de las Muje es Ma emá icas se
enca gó pe sonalmen e una de las o ga-
nizado as de la Exposición. U ilizando una se ie de o o-
g a ías y las co espondien es biog a ías, dio a conoce a
los isi an es la ex ao dina ia labo que ealiza on desde
el pun o de is a ma emá ico, de e minadas muje es que
iban desde Hipa ia de Alejand ía, nacida ce ca del año 370
d.C. y conside ada «p ime a muje ma emá ica» de la
An igüedad (aunque ob iamen e el é mino «ma emá ico»
esul ase algo ambiguo po aquellos iempos) has a G ace
Mu ay Hoope , ma emá ica y ísica, nacida a p incipios de
siglo, nomb ada «Dis inguished ellow o he B i ish
Compu e Socie y» y p ime a y única muje almi an e en la
U.S. Na y. En e ellas, y c onológicamen e, Emilie de
B e euil (ma quesa du Cha ele ), Ma ía Gae ana Agnesi,
Ca oline He shel, Ma y Fai ax, Ada Augus a Lo elace,
Sonya Co in-K uko sky (esposa, luego iuda de Vladimi
Ko ale sky), Sophie Ge main y Emmy Noe he , conside-
ada po el g an Albe Eins ein como «la más g ande, sig-
ni ica i a y c ea i a Genio ma emá ico p oducida en la his-
o ia del desa ollo educa i o de las muje es».
Cu iosidades y anécdo as
Hay que en ende que en una semana y expues os a
odo ipo de isi an es en gene al, p o eso es y alumnos
de la Facul ad, p o eso es y alumnos de o as acul ades,
especialmen e de las si uadas en el campus, p o eso es
y alumnos de ins i u os y colegios, acompañan es, e c.,
nos han ocu ido bas an es cu iosidades y anécdo as,
cuya mención global se ía muy ex ensa. Po azones
ob ias de espacio, nos limi amos a con inuación a
comen a las dos o es que c eemos más in e esan es,
po las consecuencias y aplicaciones pos e io es que
pudie an o igina .
Así, una de las p ime as cu iosidades que nos ocu ió ue
cuando un isi an e de la Exposición, alumno c eemos de
la Facul ad, p egun ó a los o ganizado es que es aban en
aquel momen o en labo es de «guías» de la Exposición si
sabían qué se ob enía al co a la Banda de Mobius longi-
udinalmen e po su mi ad. Es os con es a on, quizás sin
medi a lo mucho, que se ob end ían dos bandas de
Mobius. El isi an e no sólo se limi ó a esponde les nega-
i amen e, sino que pasó di ec amen e a la acción pa a
hace les e , cons uyendo él mismo una banda con una
i a de papel que aía p epa ada y co ándola con unas
ije as que ambién aía, que lo que se ob enía e a o a
banda de Mobius con dos izos. Ya no p egun ó nada más,
sino que ol ió a co a de igual o ma es a nue a banda
pa a hace les e a los o ganizado es que lo que se ob e-
nía aho a e an dos bandas de Mobius con dos izos cada
una, enlazadas.
Es a p ime a cu iosidad hizo que pos e io men e es udiá-
semos es e ipo de hechos con mayo de enimien o,
…con ábamos
en la Exposición
con una g an
can idad
de cue pos
poliéd icos,
en e ellos
los cinco
sólidos de Pla ón
(polied os
egula es)
y nume osísimos
polied os
i egula es,
algunos de ellos
es ellados…
81

encon ando que es a p opiedad no sólo es ca ac e ís ica
de la Banda de Mobius, sino que se e i ica en gene al en
odas aquellas bandas gene adas median e uel as o izos.
Así, dada una banda con n medios izos, con n impa , al
co a la longi udinalmen e po su mi ad queda á una
nue a banda con 2n+ 2 medios izos, mien as que si la
banda iene 2kmedios izos, al co a la longi udinalmen e
po su mi ad queda án 2 bandas con 2kmedios izos cada
una, enlazadas k eces (Ga dne , 1984).
Al espec o, se nos ocu e ci a aquí una poesía (en su e -
sión o iginal en inglés), que apa e explica nos cla a y
concisamen e el hecho an e io , nos elaciona de alguna
o ma la banda de Mobius con la no menos conocida bo e-
lla de Klein:
A ma hema ician con ined
ha a Mobius band is one-side,
and you will ge qui e a laugh
i you cu one in hal .
Fo i s ays in one piece when di ided.
A ma hema ician named Klein
hough he Mobius band was di ine
Said he: i you glue
he edges o wo,
you will ge a wei d bo le like mine.
O a de las anécdo as nos sucedió cuando una chica que
isi aba la Exposición comen ó que se había llegado po -
que había is o el ca el anunciado y se había p egun ado
cómo de un ema an abs ac o (según ella) como las cu -
as y supe icies se podía mon a una Exposición. Cuando
acabó su isi a, nos dijo que se había dado cuen a de su
e o y que se había so p endido muchísimo de que algo
que pa a ella e a an ob uso, como la
Geome ía, es u iese an p esen e en la
ida co idiana. De hecho, se pod ía
deci que esa chica ue una de las pe -
sonas que más se in e esó po cómo se
habían cons uido las igu as expues as y
po las di icul ades apa ecidas en su
cons ucción.
Al hilo de lo comen ado an e io men e,
deci que como noso os mismos u i-
mos que «cons ui » algunas cu as y
supe icies pa a expone , u imos que
echaza la ealización de algunas de
ellas, que aunque eníamos muy cla a
su idea in ui i a, iban a se muy di íciles
de ob ene . Así, en pa icula , u imos
que desecha la cons ucción de un
cono gigan e (nues a idea e a que
acompañase al cilind o gigan e, que sí
ue cons uido), po no dispone de una
idea conc e a de cómo hace lo, así
como po no sabe ampoco de qué
medios y ecu sos nos íbamos a ale
pa a hace lo. Deci ambién como anéc-
do a, que una ez ya anscu idos dos
días de la Exposición, dos de noso os
u imos cla o cómo habe lo hecho y
con qué, pe o, desg aciadamen e, ya e a
a de. Todo ello hizo que la muy ex en-
sa lis a inicial de cu as y supe icies
que deseábamos expone queda a algo
…una poesía
[que]
nos elaciona
de alguna o ma
la banda
de Mobius
con la no menos
conocida
bo ella
de Klein…
82
más educida, po lo que u imos que
busca o as más sencillas de cons ui
en lib os especializados, In e ne , y am-
bién pedi la colabo ación de o os p o-
eso es de la Facul ad que nos acili a-
on modelos p opiedad de sus depa a-
men os (a odos los cuales, po cie o,
ap o echamos pa a ag adece les desde
aquí, muy since amen e, la colabo ación
que nos p es a on, cosa que ya hicimos,
pe soni icándolos simbólicamen e, en la
Ilma. S a. Decana de la Facul ad). Eso
hizo que pudié amos cons ui cu as
no an usuales pa a el público en gene-
al, como la clo oide y la cu a de
Agnesi y supe icies poliéd ica no usua-
les, como las uncadas o la bipi ámide
cuad angula . Po cie o que ambién
deseamos pe sonaliza en la Decana
nues o ag adecimien o al es o de pe -
sonas de la Facul ad: conse jes, limpia-
do as, pe sonal de copis e ía, Biblio eca,
Aula de In o má ica y compañe os del
Aula de Cul u a de la Facul ad (es os
úl imos nos cedie on amablemen e
pa e de su espacio pa a almacena el
ma e ial), sin cuya ayuda hubiésemos
encon ado muchas más di icul ades
pa a lle a a buen pue o nues as
in enciones.
Además, e e en e a lo an e io , debemos
deci que uno de los pun os que nos
esul a on más di íciles y di e idos a la
ez ue la búsqueda de los ma e iales
adecuados que íbamos a emplea en la
cons ucción de las cu as y supe icies
que deseábamos. Pa a algunas de ellas,
como las gigan es ya ci adas (ca ena ia,
cilind o y banda de Mobius), así como
pa a algunos polied os usuales, las p o-
pues as ue on múl iples: ca ón, ela,
papel, la as de e escos acías, alamb e e
incluso se p opuso « ico a » alguna de
ellas. Sin emba go, supe icies como la
silla de mon a (Do Ca mo, 1976: 165) o
el o o o el elipsoide (Do Ca mo, 1976: 73)
nos pusie on en un apu o, po lo di ícil
que se ía encon a un ma e ial con el
que cons ui los, aunque es én an p e-
sen es en la ida eal en o ma de donu s,
uedas, e c. Eso nos hizo e la ín ima
elación exis en e en e la Geome ía y la
p opia ida eal, an alejada de los ex os
cien í icos ac uales de las asigna u as.
Valo ación inal
y conclusiones
Nunca imaginamos que lo que en p incipio ue sólo ue
un pequeño p oyec o, llegase a p oduci an o in e és,
como co obo a el núme o de isi as ecibidas. El ecuen-
o inal supe ó con c eces odas nues as expec a i as más
op imis as. Más de 260 pe sonas a ni el indi idual, la
mayo ía de ellos alumnos de la licencia u a, si bien es
impo an e cons a a la p esencia de bas an es p o eso es
de la Facul ad (conocemos es os da os po que al inal del
eco ido se egis aban las isi as en unos olios p epa a-
dos al e ec o) y nume osos g upos de en e 40 y 50 alum-
nos de los colegios e ins i u os y cen os de p ima ia y
secunda ia de Se illa, capi al y p o incia, que acudían al
Salón de Juegos Ma emá icos (o a de las ac i idades de la
Semana de las Ma emá icas), y ap o echaban pa a isi a
ambién la Exposición, dan e del éxi o incues ionable de
la misma. Es a g an a luencia de público hizo que se u ie-
se que amplia algunos días el ho a io inicialmen e es a-
blecido, que e a de 10 a 12 de la mañana y de 17 a 19
ho as po las a des, de lunes a ie nes.
Es a he e ogeneidad de los isi an es, en cuan o a su ni el
de conocimien os, ambién ue pa a noso os mo i o de
comen a io. Nues os compañe os y p o eso es endían a
hace gala de sus conocimien os, acompañando nues as
explicaciones con sus pa icula es «acla aciones». Po
supues o, es o, lejos de esul a nega i o, si ió pa a un
en iquecimien o gene al de unos y de o os. La isi a de los
alumnos de p ima ia ysSecunda ia, po el con a io, nos si -
ió a su ez pa a da nos cuen a de la di icul ad de explica
de e minados concep os ma emá icos a un ni el sensible-
men e in e io al que habi ualmen e solemos emplea . En
es e caso, la posibilidad de elaciona las cu as y supe i-
cies con obje os de la ida eal ( al como ya se ha indicado
an e io men e), nos ha sido de un alo incalculable pa a
sali adelan e en nues as explicaciones y pa a consegui , no
sólo que ellos nos en endie an, sino incluso que ellos mis-
mos nos so p endiesen a noso os con sus ajus ados y po
lo gene al, co ec os comen a ios y ap eciaciones.
O o de los log os ob enidos ha sido a nues o en ende ,
habe conseguido ab i nos un pequeño hueco en e los
ac os o iciales de la Semana de las Ma emá icas, o ganiza-
dos po la Facul ad pa a la celeb ación del Año Mundial
de las Ma emá icas, en nues a calidad mayo i a ia de
alumnos de la misma (excep o, lógicamen e, el p o eso
i man e). Es a Exposición, jun o con una «gymkhana»
ambién o ganizada po noso os, han sido los dos únicos
ac os o ganizados p ác icamen e po alumnos, si bien
debemos hace cons a una p esencia nume osa de ellos
colabo ando en la ealización de o o ipo de ac os. De
hecho, ecibimos muchas elici aciones del p o eso ado
asis en e a la Exposición, so p endiéndose en algunos
La isi a
de los alumnos
de p ima ia
y secunda ia,
po el con a io,
nos si ió
a su ez
pa a
da nos cuen a
de la di icul ad
de explica
de e minados
concep os
ma emá icos
a un ni el
sensiblemen e
in e io al que
habi ualmen e
solemos
emplea .
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casos de que hubiesen sido mayo i a iamen e alumnos y
además uni e si a ios, los o ganizado es de la misma.
O a de las conclusiones a las que llegamos es cons a a la
a iedad exis en e de dis in as o mas de en ende la
Geome ía po pe sonas de di e en es edades y conoci-
mien os en Ma emá icas. En pa icula , si a un alumno de
e ce cu so de la licencia u a se le p egun a qué es un elip-
soide, p obablemen e nos con es a á que es la supe icie
de e olución gene ada po una elipse al gi a al ededo de
una ec a con enida en su plano. Un alumno de p ima ia,
ob iamen e, no a a en ende es o pe o si se le dice que
un elipsoide es (sal ando las dis ancias) un balón de ugby,
p obablemen e no enga p oblemas en en ende el con-
cep o. Y lo mismo ocu e con la supe icie es é ica y el
balón de ú bol o con el cono y el capi o e de naza eno.
De ahí que como ya se ha indicado, los alumnos isi an es
de es as edades mos asen mayo in e és y en usiasmo en
las igu as geomé icas « ep esen adas» median e obje os
co idianos, ales como el cilind o de la as, las hélices de
alamb e o el neumá ico de coche que en esas mismas igu-
as ep esen adas como ales. También u ie on mucho
éxi o, es a ez pa a odo ipo de edades y conocimien os,
los p og amas de o denado u ilizados, que mos aban las
igu as desde di e en es pe spec i as, las desa ollaban en
el plano o las cambiaban de colo , en e o as acciones,
odo lo cual e a muy di e ido y sob e odo didác ico.
Como «p opues as de mejo a» pa a una u u a epe ición
de es a ac i idad, apa e po supues o de pensa en
aumen a el con enido de igu as p esen adas y de nue os
p og amas in o má icos que pe mi an una mejo isualiza-
ción y manipulación de las mismas, nos a e e íamos a
suge i las siguien es:
1. Inc emen a el g ado de pa icipación ac i a de los
isi an es. Pa a ello pod ía dispone se de «ma e iales
de cons ucción»: papel, ca ulina, pegamen o, plás i-
cos, cables, e c. y anima a los isi an es a ab ica sus
p opias igu as.
2. En la línea an e io , ins ala un alle de «papi o lexia»
con las pe inen es ins ucciones de u ilización.
3. Mos a en g andes paneles o pós e s la iden i icación
en e es as igu as y de e minados obje os de la ida
eal, al como ya se ha hecho, si bien de palab a, en
es a ocasión. En es e sen ido, un eje cicio in e esan e
que ealizamos los dos úl imos días ue el de mos a
las igu as expues as una a una y pedi le al isi an e
que nos dijese «a qué se pa ecían». Es so p enden e la
cons a ación de los «pa ecidos» que esul an.
4. La posibilidad de acompaña la Exposición con una
música de ondo adecuada, así como en ega un
pequeño olle o al isi an e en el que se explique el
con enido de la Exposición ambién c eemos que con-
ibui ía g andemen e a mejo a la en odos los aspec os.
Pensamos, inalmen e, que es e ipo de
ac i idades ex aacadémicas siemp e
esul an bene iciosas pa a el alumno
que las ealiza, an o pa a amplia
conocimien os y e la ma e ia de clase
desde o o pun o de is a, como a ni el
pe sonal, ya que ayudan a ene una
mejo elación con los compañe os de
clase y en e es os y el p o eso . Somos
conscien es de que es e ipo de ac i i-
dades son mucho más ecuen es en
enseñanza no uni e si a ia y que b i-
llan p ác icamen e po su ausencia en
la Uni e sidad y ambién pensamos
que es e hecho se debe an o a los p o-
pios alumnos, que alegan una supues-
a al a de iempo o desin e és po odo
lo que no sea p epa a los exámenes,
como del p o eso ado, que mayo i a-
iamen e, c eemos, no se p eocupa de
omen a las y de colabo a en ellas,
pe o sin emba go, la ealidad demues-
a que siemp e esul an posi i as y
que debe ían ene se en cuen a pa a
consegui la o mación in eg al del
alumno uni e si a io que se p e ende y
po ello las de endemos. De hecho,
es amos o almen e con encidos de
que es a ac i idad que noso os hemos
lle ado a cabo nos a a se i en un
u u o a los que de noso os nos dedi-
quemos a la enseñanza, como una p i-
me a ap oximación de cómo en nues-
os alumnos de p ima ia y secunda ia
la Geome ía en pa icula y las Ma e-
má icas en gene al, y de cómo o gani-
za pa a ellos ac i idades de es e ipo o
simila es, que de una o ma in e ac i a
y p ác ica, pe mi an isualiza , oca ,
manipula y, en una palab a, «hace »
Ma emá icas.
Bibliog a ía
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«Thales»
Ca men M.a Aguile a
M.aInés Fe nández
Ma ía José Macías
Ana C. Mon año
Sal ado Pé ez
Inmaculada Ri e o
Ma ía José Rome o
José I. Sánchez
Ana Ma ía Se a o
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…es e ipo
de ac i idades
ex aacadémicas
siemp e esul an
bene iciosas
pa a el alumno
que las ealiza,
an o
pa a amplia
conocimien os
y e
la ma e ia
de clase
desde o o
pun o de is a,
como
a ni el pe sonal…