Exposición de curvas y superficies: una experiencia extraacadémica universitaria

SÍ COMO suele se habi ual encon a a ículos ela i os a expe iencias ex aacadémicas ealizadas po alumnos de Educación P ima ia o Secunda ia en las páginas de e is- as especializadas en Educación, Didác ica o Me odología, no suele se ecuen e, po el con a io, encon a es os mismos abajos cuando los suje os son alumnos uni e si- a ios, sob e odo en el caso de las disciplinas cien í icas. El p esen e a ículo, que iene a palia en algo la conside- ación an e io , a a sob e una expe iencia ex aacadémi- ca ealizada, a ins ancias del p o eso , po un g upo de 9 de sus alumnos uni e si a ios del cu so de la asigna u a Geome ía III (Geome ía Di e encial de Cu as y Su- pe icies) de la licencia u a de Ma emá icas, en la Facul ad de Ma emá icas de la Uni e sidad de Se illa (año acadé- mico 1999-2000). Es a expe iencia u o luga den o de los ac os p og amados du an e la Semana de las Ma emá icas (semana del 27 de ma zo al 2 de ab il de 2000) o ganiza- da po la Facul ad de Ma emá icas de la Uni e sidad de Se illa en conmemo ación del Año Mundial de las Ma e- má icas (Año 2000). Lo que en p incipio ue un simple comen a io po pa e del p o eso a la o alidad de sus alumnos del ci ado g upo en el sen ido de que le gus a ía que su clase de Geome ía pa icipase como al, de o ma ac i a, en dicha Semana, ealizando una ac i idad inicialmen e sin de e mina , si bien elacionada de alguna o ma con el ema io de la asigna u a, se con i ió pos e io men e en el i me com- p omiso po pa e de un g upo educido de es os alumnos de idea , plani ica , o ganiza y, en de ini i a, ealiza una Exposición sob e Cu as y Supe icies, que es la que seguidamen e se pasa a comen a . El p esen e a ículo se es uc u a en seis secciones. En la p ime a, se señalan los obje i os que nos ma camos al ini- cio de la expe iencia. En la segunda, e ce a y cua a sec- En es e a ículo se comen a una expe iencia ex aacadémica ealizada po un g upo de alumnos uni e si a ios de Ma emá icas, jun amen e con su p o eso , en el ma co de la Semana de las Ma emá icas o ganizada po la Facul ad de Ma emá icas de Se illa pa a conmemo a el Año Mundial de las Ma emá icas (Año 2000). La ci ada expe iencia consis ió en la ealización y mon aje de una Exposición de Cu as y Supe icies, cuyos obje i os gene ales, desa ollo y conclusiones inales cons i uyen la base de es e abajo. 77 Exposición de cu as y supe icies: una expe iencia ex aacadémica uni e si a ia Juan Núñez Valdés, C. Aguile a, I. Fe nández, M.J. Macías, A. Mon año, S. Pé ez, I. Ri e o, M.J. Rome o, J.I. Sánchez y A.M. Se a o IDEAS Y RECURSOS A 36 eb e o 2001, pp. 77-84 ciones se a an, espec i amen e, las cues iones e e en es a la p epa ación y mon aje, deco ación ex e na y con eni- dos de la Exposición. En la sección quin a se comen an algunas cu iosidades y anécdo as su gidas al hilo de la misma, dedicándose inalmen e la sex a sección al a a- mien o de la alo ación inal y conclusiones ex aídas po noso os mismos a la inalización de la misma. Obje i os de la Exposición El p incipal obje i o que nos p opusimos ue el de ace - ca la Geome ía Di e encial de Cu as y Supe icies a compañe os, p o eso es y demás isi an es in e esados en el ema y hace lo, además, de una o ma se ia y igu osa aunque no exen a de un a amien o algo más in o mal y ¿po qué no deci lo? ambién lúdico del ema. Pa a ello, pensamos que la Exposición no solamen e debe- ía mos a algunas de las cu as y supe icies que había- mos es udiado en clase de Geome ía e indica sus p inci- pales p opiedades, sino que al mismo iempo debe ía p e- sen a las además de una mane a ísica y angible, que pe - mi iese al isi an e obse a las con el mayo de enimien o posible, conside a en ellas odos los conocimien os eó i- cos p e iamen e es udiados y ambién, en g an pa e de los casos, pode manipula las o incluso «c ea » en el o de- nado sus «p opios» cue pos geomé icos. A al in, deseá- bamos que los isi an es no sólo ie an sino que ambién pa icipa an de mane a ac i a en la Exposición. Un segundo obje i o ue, cómo no, ap o echa el año en el que nos encon ábamos, pa a apo a nues o peque- ño g ani o de a ena, como pa e in eg an e de la Facul ad de Ma emá icas, pa icipando ac i amen e en los ac os de la Semana de las Ma emá icas o ganizada po la misma, ayudando a p omociona de es a o ma el conocimien o y el uso de las Ma emá icas en odo el mundo, y a mos- a a la sociedad la p esencia pe manen e de las Ma emá icas en di e en es hábi os de nues a ida y esal- a su impo ancia en el desa ollo cien í ico, ecnológico y cul u al, al como se ecogía en los obje i os gene ales del Año Mundial de las Ma emá icas, que celeb ábamos en ese año 2000. Un e ce obje i o ue el de calib a si las ac i idades ex a- académicas uni e si a ias (sob e odo en las á eas cien í i- cas), an denos adas po lo gene al an o po p o eso es como po alumnos, debe ían se más enidas en cuen a po ambos es amen os a in de consegui la an ansiada o mación in eg al, no sólo eó ica y de conocimien os, del alumnado de es as licencia u as. Pasamos a con inuación a de alla la ac i idad ealizada y los log os ob enidos, que nos pe mi i án conclui si los obje i os inicialmen e p opues os se cumplie on o no. P epa ación y mon aje Con espec o a la p epa ación y mon a- je en sí de la Exposición, debemos comen a que esul ó más complicado y que nos lle ó más iempo del que en p incipio habíamos conside ado. Así, nues as p ime as ideas sob e el con- enido ue on a iando desde la p ime a de nues as euniones has a p ác icamen- e el mismo momen o de la inaugu ación. De hecho, odo lo que inalmen e se expuso ue u o de in ensos deba es y euniones en los que se cambiaban, se ampliaban e incluso se desechaban nu- me osos p oyec os inicialmen e p e is os y que después, po di e en es azones, no pudie on lle a se a cabo. Po o a pa e, el aula que nos había sido asignada po la Facul ad, aunque bas an e amplia, es aba lógicamen e ocupada po las co espondien es mesas y sillas, que necesa iamen e u imos que edis ibui , pa a acili a el paso lib e y sin obs áculos de los isi an es. Además, había que coloca los ca eles in o ma i- os, igu as, dibujos, cue pos geomé i- cos, e c., de o ma que odos ellos es u- iesen bien a la is a y que no se es o - basen unos a o os. Al espec o, cabe menciona la g an di icul ad que nos supuso el aslado has a el aula de una p eciosa y ex ensa colección de cue pos geomé icos p opiedad de la Facul ad (donada po un amilia de un p o eso de la misma hace ya bas an e iempo) que se gua daban en unos es an es ce ados, cons uidos exp esamen e pa a ello, que ue necesa io aslada al cual, desde su luga habi ual, la Sala de Jun as de la Facul ad, has a el aula, en e cua o o cinco de noso os, con el mayo cuidado pa a e i a posibles golpes o de e io os en e ellos. También ue ela- i amen e complicado el aslado y pos- e io mon aje en el aula de dos o dena- do es gen ilmen e p es ados po miem- b os de la Facul ad, que hubo de eali- za se con el máximo cuidado. Además, el iempo de que dispusimos pa a ello ue más bien escaso, habida cuen a que la mayo pa e de la a ea an e io hubo de hace se du an e las …la Exposición no solamen e debe ía mos a algunas de las cu as y supe icies que habíamos es udiado en clase de Geome ía e indica sus p incipales p opiedades, sino que al mismo iempo debe ía p esen a las además de una mane a ísica y angible, que pe mi iese al isi an e obse a las con el mayo de enimien o posible… 78 p ime as ho as de la mañana del lunes de esa misma semana, dado que has a la úl ima ho a lec i a de la a de del ie nes an e io hubo clases en el aula asignada y du an e el in de semana no pudimos accede a ella. Deco ación ex e na En un p incipio, la Exposición es aba educida sólo y exclusi amen e al aula des inada pa a ella, si uada en la segun- da plan a de la Facul ad. Po ello, decidi- mos amplia algo el espacio y se nos ocu ió deco a la Facul ad con algunas igu as geomé icas gigan es, que uesen «ab iendo boca» a los isi an es. Así, pen- samos en dis ibui a lo la go del camino que lle aba al aula una se ie de elemen- os geomé icos que pudie an se ap e- ciados a simple is a a medida que el isi an e se uese ace cando y que, po o a pa e, cons i uyesen po sí mismos pa e del ma e ial que se deseaba expo- ne . Es os elemen os ue on con ecciona- dos manualmen e po noso os mismos, con ma e iales habi uales en nues o quehace co idiano, como papel de alu- minio, cables, la as de e escos acías, pe iódicos, alamb es, e c. Cie amen e, a aídos po es as igu as gigan es, ue on muchos los que se decidie on a isi a la Exposición, saliendo muy complacidos inalmen e de la misma. Las dos p ime as igu as en apa ece a la is a del isi an e, una ez den o de la Facul ad e an una espi al loga í mica (Do Ca mo, 1976: 23) y una banda de Mobius (Do Ca mo, 1976: 118). La p ime a, eali- zada con cables y chinche as se si uó al lado del ca el anunciado de la Exposición y la segunda, cons uida con pe iódicos y ca ulina, que pe mi ían mos a la no o ien abilidad de es a supe icie (Do Ca mo, 1976), se colgó del echo de la en ada de la Facul ad, po cie o con g a e iesgo de algunos de los que lo hicie on, po mo i os de un ino- po uno é igo, no con enien emen e supe ado en esos momen os. También en la en ada de la Facul ad se colocó una eno me ca ena ia (Do Ca mo, 1976: 37), de 30 me os de longi ud, con eccionada con papel de aluminio (e iden emen e, hubo de dá sele una cie a «anchu a» po azones ob ias de con ección). Se colgó en e dos de los puen es de la Facul ad, es i ándose en p ime luga el ollo de papel y descolgándolo después muy poco a poco, quedando inalmen e una igu a muy boni a an o po su amaño como po su colo . Al inal de una de las escale as que conduce a la p ime a plan a de la Facul ad se colocó un cilind o (Do Ca mo, 1976: 77) de ap oximadamen e me o y medio de al u a, ealizado con 266 la as de e escos acías (14 columnas de 19 la as cada una), que nos habían sido g aciosamen e donadas po pe sonas de la Facul ad que las habían ido deposi ando en una g an caja que a al in habíamos colo- cado noso os en el es íbulo de en ada, po cie o, bajo un eno me ca el indicado en el que les pedíamos que nos «diesen la la a». Pa a ensambla las y uni las ue on necesa- ios 6 me os de cable, dos ca ones ci cula es g andes, que cons i uían las bases, un pe che o adosado a uno de ellos, que man enía la igu a en pie y, sob e odo, muchísima paciencia y un poco de habilidad pa a da le la o ma ade- cuada, habida cuen a de que en la geome ía ac ual, el «cilind o abombado» aún no iene la ca ego ía de supe icie egula . Al lado de es e cilind o, al igual que en la p ác ica o alidad de igu as p esen adas, apa ecía un ca el expli- ca i o de la igu a en sí y de sus p incipales p opiedades. Las dos p ime as igu as en apa ece a la is a del isi an e, una ez den o de la Facul ad e an una espi al loga í mica y una banda de Mobius… …se colocó una eno me ca ena ia de 30 me os de longi ud, con eccionada con papel de aluminio… 79 Seguidamen e, a la en ada del aula, en la segunda plan a, se colga on unas hélices de alamb es de dis in os colo es (Do Ca mo, 1976: 17), que habían sido con eccionadas haciéndolas gi a al ededo de la pa a de una mesa. Po cie o que es as hélices, apa e de ac ua como ales en la Exposición, si ie on de imp o isados, pe o no menos di e idísimos, columpios a los pe sonajes de meno edad de los colegios que nos isi a on, lo cual, con oda since i- dad, noso os nunca hubié amos podido llega a imagina . De es a mane a, y bajo la mi ada i ual de odas es as igu as, el isi an e llegaba inalmen e, siguiendo los ca - eles indica i os, a la pue a de en ada del aula que ence- aba la Exposición. En ese luga ue donde se colocó la úl ima de las igu as gigan es: un o o (Do Ca mo, 1976: 73) colgado del echo po una cue da (o mejo , su ep e- sen ación en o ma de neumá ico de coche) que ambién, como le ocu ió al cilind o, acabó un poco abollado po culpa de los niños que isi aban la Exposición (ya se sabe, el «juego del o o»). Con enidos El con enido de la Exposición ha es ado cen ado en dos aspec os básicos: 1. Exposición de Cu as y Supe icies, median e mode- los eales, pós e s, ca eles, e c. 2. Gene ación de cu as y supe icies median e p og a- mas de o denado . Y o os dos aspec os complemen a ios: 3. His o ia de las Ma emá icas, median e pós e s, pane- les, ca eles, e c. 4. Muje es ma emá icas, median e o og a ías y paneles. Re e en e al p ime aspec o básico, algu- nas supe icies es aban hechas de hie o y se apoyaban en peanas de made a, lo que pe mi ía hace las gi a manualmen e y ap ecia de es a o ma su olumen y sus p incipales p opiedades, al como ocu ía con los casos de la supe icie es é ica, cilind o, cono, pa aboloides, hipe boloide de una hoja y de dos, e c. (Do Ca mo, 1976). Como ejemplo de lo que decimos, el hipe boloide de una hoja es aba hecho con hilos de colo es, lo que pe mi ía obse a su p opiedad de se una supe i- cie doblemen e eglada, al apa ece de o ma cla amen e isible las dos amilias de ec as di e en es que la cons i uyen. Apa e las supe icies an e io men e ci adas, que pueden conside a se como las más conocidas, ambién se encon a- ban en la Exposición o as menos e- cuen es, hechas algunas de ellas en ca - ulinas de di e en es colo es, median e écnicas manuales, que ambién p o o- ca on un g an in e és en e los asis en- es po conoce sus p opiedades, la mayo pa e de las cuales e an expues- as al isi an e po los p opios alumnos enca gados de la Exposición. En e ellas podemos ci a la bipi ámide iangula elongada, el e aed o uncado, el cubo uncado y la seudoes e a. …algunas supe icies es aban hechas de hie o y se apoyaban en peanas de made a, lo que pe mi ía hace las gi a manualmen e y ap ecia , de es a o ma, su olumen y sus p incipales p opiedades… 80 Apa e de lo an e io , y al como ya se ha comen ado, con ábamos en la Expo- sición con una g an can idad de cue pos poliéd icos, en e ellos los cinco sólidos de Pla ón (polied os egula es) y nume- osísimos polied os i egula es, algunos de ellos es ellados, que o man pa e de la colección donada a la Facul ad de Ma emá icas, de la que an es se ha hablado. Po e iden es azones de segu- idad, es os úl imos cue pos geomé i- cos pe manecían gua dados en sus es an es ce ados y únicamen e podían obse a se, pe o no manipula se. Con espec o al segundo aspec o básico de la Exposición, al como se ha comen- ado ya an e io men e, nues o obje i o es que las isi as no se con o masen sólo con mi a , sino que pa icipasen de mane a ac i a en la Exposición. Pa a ello se con aba con dos o denado es y p o- g amas adecuados de simulación y ep e- sen ación de cu as y supe icies (Ma he- ma ica, Maple V y Poly) que pe mi ían la isión idimensional de los sólidos de Pla ón, sólidos de A químedes, sólidos de Ca alán, e c., así como ambién su mani- pulación median e mo imien os ígidos y la isión de su desa ollo en plan a ( éase, po ejemplo, Co de o y o os, 1995) y el p og ama Poly, ab icado po Pedagoge y So wa e. Los dos aspec os complemen a ios se incluye on en la Exposición a pe ición de algunos de sus o ganizado es. Ambos es aban muy elacionados y, en pa icula , el ema de los g andes acon- ecimien os ma emá icos, o denados c onológicamen e, u o una g an acep- ación, sob e odo po pa e del alum- nado de la Facul ad. Aunque és e es o o ema, que no es opo uno aquí y aho a conside a , la His o ia de las Ma- emá icas no es una disciplina que se impa a en nues a Facul ad y en nues- a opinión sí debe ía se lo. La g an acep ación an es indicada así como el hecho de que a lo la go del cu so se impa an a ios semina ios y cu sos de o ma olun a ia sob e el ema así am- bién lo a es iguan. Del ema de las Muje es Ma emá icas se enca gó pe sonalmen e una de las o ga- nizado as de la Exposición. U ilizando una se ie de o o- g a ías y las co espondien es biog a ías, dio a conoce a los isi an es la ex ao dina ia labo que ealiza on desde el pun o de is a ma emá ico, de e minadas muje es que iban desde Hipa ia de Alejand ía, nacida ce ca del año 370 d.C. y conside ada «p ime a muje ma emá ica» de la An igüedad (aunque ob iamen e el é mino «ma emá ico» esul ase algo ambiguo po aquellos iempos) has a G ace Mu ay Hoope , ma emá ica y ísica, nacida a p incipios de siglo, nomb ada «Dis inguished ellow o he B i ish Compu e Socie y» y p ime a y única muje almi an e en la U.S. Na y. En e ellas, y c onológicamen e, Emilie de B e euil (ma quesa du Cha ele ), Ma ía Gae ana Agnesi, Ca oline He shel, Ma y Fai ax, Ada Augus a Lo elace, Sonya Co in-K uko sky (esposa, luego iuda de Vladimi Ko ale sky), Sophie Ge main y Emmy Noe he , conside- ada po el g an Albe Eins ein como «la más g ande, sig- ni ica i a y c ea i a Genio ma emá ico p oducida en la his- o ia del desa ollo educa i o de las muje es». Cu iosidades y anécdo as Hay que en ende que en una semana y expues os a odo ipo de isi an es en gene al, p o eso es y alumnos de la Facul ad, p o eso es y alumnos de o as acul ades, especialmen e de las si uadas en el campus, p o eso es y alumnos de ins i u os y colegios, acompañan es, e c., nos han ocu ido bas an es cu iosidades y anécdo as, cuya mención global se ía muy ex ensa. Po azones ob ias de espacio, nos limi amos a con inuación a comen a las dos o es que c eemos más in e esan es, po las consecuencias y aplicaciones pos e io es que pudie an o igina . Así, una de las p ime as cu iosidades que nos ocu ió ue cuando un isi an e de la Exposición, alumno c eemos de la Facul ad, p egun ó a los o ganizado es que es aban en aquel momen o en labo es de «guías» de la Exposición si sabían qué se ob enía al co a la Banda de Mobius longi- udinalmen e po su mi ad. Es os con es a on, quizás sin medi a lo mucho, que se ob end ían dos bandas de Mobius. El isi an e no sólo se limi ó a esponde les nega- i amen e, sino que pasó di ec amen e a la acción pa a hace les e , cons uyendo él mismo una banda con una i a de papel que aía p epa ada y co ándola con unas ije as que ambién aía, que lo que se ob enía e a o a banda de Mobius con dos izos. Ya no p egun ó nada más, sino que ol ió a co a de igual o ma es a nue a banda pa a hace les e a los o ganizado es que lo que se ob e- nía aho a e an dos bandas de Mobius con dos izos cada una, enlazadas. Es a p ime a cu iosidad hizo que pos e io men e es udiá- semos es e ipo de hechos con mayo de enimien o, …con ábamos en la Exposición con una g an can idad de cue pos poliéd icos, en e ellos los cinco sólidos de Pla ón (polied os egula es) y nume osísimos polied os i egula es, algunos de ellos es ellados… 81 encon ando que es a p opiedad no sólo es ca ac e ís ica de la Banda de Mobius, sino que se e i ica en gene al en odas aquellas bandas gene adas median e uel as o izos. Así, dada una banda con n medios izos, con n impa , al co a la longi udinalmen e po su mi ad queda á una nue a banda con 2n+ 2 medios izos, mien as que si la banda iene 2kmedios izos, al co a la longi udinalmen e po su mi ad queda án 2 bandas con 2kmedios izos cada una, enlazadas k eces (Ga dne , 1984). Al espec o, se nos ocu e ci a aquí una poesía (en su e - sión o iginal en inglés), que apa e explica nos cla a y concisamen e el hecho an e io , nos elaciona de alguna o ma la banda de Mobius con la no menos conocida bo e- lla de Klein: A ma hema ician con ined ha a Mobius band is one-side, and you will ge qui e a laugh i you cu one in hal . Fo i s ays in one piece when di ided. A ma hema ician named Klein hough he Mobius band was di ine Said he: i you glue he edges o wo, you will ge a wei d bo le like mine. O a de las anécdo as nos sucedió cuando una chica que isi aba la Exposición comen ó que se había llegado po - que había is o el ca el anunciado y se había p egun ado cómo de un ema an abs ac o (según ella) como las cu - as y supe icies se podía mon a una Exposición. Cuando acabó su isi a, nos dijo que se había dado cuen a de su e o y que se había so p endido muchísimo de que algo que pa a ella e a an ob uso, como la Geome ía, es u iese an p esen e en la ida co idiana. De hecho, se pod ía deci que esa chica ue una de las pe - sonas que más se in e esó po cómo se habían cons uido las igu as expues as y po las di icul ades apa ecidas en su cons ucción. Al hilo de lo comen ado an e io men e, deci que como noso os mismos u i- mos que «cons ui » algunas cu as y supe icies pa a expone , u imos que echaza la ealización de algunas de ellas, que aunque eníamos muy cla a su idea in ui i a, iban a se muy di íciles de ob ene . Así, en pa icula , u imos que desecha la cons ucción de un cono gigan e (nues a idea e a que acompañase al cilind o gigan e, que sí ue cons uido), po no dispone de una idea conc e a de cómo hace lo, así como po no sabe ampoco de qué medios y ecu sos nos íbamos a ale pa a hace lo. Deci ambién como anéc- do a, que una ez ya anscu idos dos días de la Exposición, dos de noso os u imos cla o cómo habe lo hecho y con qué, pe o, desg aciadamen e, ya e a a de. Todo ello hizo que la muy ex en- sa lis a inicial de cu as y supe icies que deseábamos expone queda a algo …una poesía [que] nos elaciona de alguna o ma la banda de Mobius con la no menos conocida bo ella de Klein… 82 más educida, po lo que u imos que busca o as más sencillas de cons ui en lib os especializados, In e ne , y am- bién pedi la colabo ación de o os p o- eso es de la Facul ad que nos acili a- on modelos p opiedad de sus depa a- men os (a odos los cuales, po cie o, ap o echamos pa a ag adece les desde aquí, muy since amen e, la colabo ación que nos p es a on, cosa que ya hicimos, pe soni icándolos simbólicamen e, en la Ilma. S a. Decana de la Facul ad). Eso hizo que pudié amos cons ui cu as no an usuales pa a el público en gene- al, como la clo oide y la cu a de Agnesi y supe icies poliéd ica no usua- les, como las uncadas o la bipi ámide cuad angula . Po cie o que ambién deseamos pe sonaliza en la Decana nues o ag adecimien o al es o de pe - sonas de la Facul ad: conse jes, limpia- do as, pe sonal de copis e ía, Biblio eca, Aula de In o má ica y compañe os del Aula de Cul u a de la Facul ad (es os úl imos nos cedie on amablemen e pa e de su espacio pa a almacena el ma e ial), sin cuya ayuda hubiésemos encon ado muchas más di icul ades pa a lle a a buen pue o nues as in enciones. Además, e e en e a lo an e io , debemos deci que uno de los pun os que nos esul a on más di íciles y di e idos a la ez ue la búsqueda de los ma e iales adecuados que íbamos a emplea en la cons ucción de las cu as y supe icies que deseábamos. Pa a algunas de ellas, como las gigan es ya ci adas (ca ena ia, cilind o y banda de Mobius), así como pa a algunos polied os usuales, las p o- pues as ue on múl iples: ca ón, ela, papel, la as de e escos acías, alamb e e incluso se p opuso « ico a » alguna de ellas. Sin emba go, supe icies como la silla de mon a (Do Ca mo, 1976: 165) o el o o o el elipsoide (Do Ca mo, 1976: 73) nos pusie on en un apu o, po lo di ícil que se ía encon a un ma e ial con el que cons ui los, aunque es én an p e- sen es en la ida eal en o ma de donu s, uedas, e c. Eso nos hizo e la ín ima elación exis en e en e la Geome ía y la p opia ida eal, an alejada de los ex os cien í icos ac uales de las asigna u as. Valo ación inal y conclusiones Nunca imaginamos que lo que en p incipio ue sólo ue un pequeño p oyec o, llegase a p oduci an o in e és, como co obo a el núme o de isi as ecibidas. El ecuen- o inal supe ó con c eces odas nues as expec a i as más op imis as. Más de 260 pe sonas a ni el indi idual, la mayo ía de ellos alumnos de la licencia u a, si bien es impo an e cons a a la p esencia de bas an es p o eso es de la Facul ad (conocemos es os da os po que al inal del eco ido se egis aban las isi as en unos olios p epa a- dos al e ec o) y nume osos g upos de en e 40 y 50 alum- nos de los colegios e ins i u os y cen os de p ima ia y secunda ia de Se illa, capi al y p o incia, que acudían al Salón de Juegos Ma emá icos (o a de las ac i idades de la Semana de las Ma emá icas), y ap o echaban pa a isi a ambién la Exposición, dan e del éxi o incues ionable de la misma. Es a g an a luencia de público hizo que se u ie- se que amplia algunos días el ho a io inicialmen e es a- blecido, que e a de 10 a 12 de la mañana y de 17 a 19 ho as po las a des, de lunes a ie nes. Es a he e ogeneidad de los isi an es, en cuan o a su ni el de conocimien os, ambién ue pa a noso os mo i o de comen a io. Nues os compañe os y p o eso es endían a hace gala de sus conocimien os, acompañando nues as explicaciones con sus pa icula es «acla aciones». Po supues o, es o, lejos de esul a nega i o, si ió pa a un en iquecimien o gene al de unos y de o os. La isi a de los alumnos de p ima ia ysSecunda ia, po el con a io, nos si - ió a su ez pa a da nos cuen a de la di icul ad de explica de e minados concep os ma emá icos a un ni el sensible- men e in e io al que habi ualmen e solemos emplea . En es e caso, la posibilidad de elaciona las cu as y supe i- cies con obje os de la ida eal ( al como ya se ha indicado an e io men e), nos ha sido de un alo incalculable pa a sali adelan e en nues as explicaciones y pa a consegui , no sólo que ellos nos en endie an, sino incluso que ellos mis- mos nos so p endiesen a noso os con sus ajus ados y po lo gene al, co ec os comen a ios y ap eciaciones. O o de los log os ob enidos ha sido a nues o en ende , habe conseguido ab i nos un pequeño hueco en e los ac os o iciales de la Semana de las Ma emá icas, o ganiza- dos po la Facul ad pa a la celeb ación del Año Mundial de las Ma emá icas, en nues a calidad mayo i a ia de alumnos de la misma (excep o, lógicamen e, el p o eso i man e). Es a Exposición, jun o con una «gymkhana» ambién o ganizada po noso os, han sido los dos únicos ac os o ganizados p ác icamen e po alumnos, si bien debemos hace cons a una p esencia nume osa de ellos colabo ando en la ealización de o o ipo de ac os. De hecho, ecibimos muchas elici aciones del p o eso ado asis en e a la Exposición, so p endiéndose en algunos La isi a de los alumnos de p ima ia y secunda ia, po el con a io, nos si ió a su ez pa a da nos cuen a de la di icul ad de explica de e minados concep os ma emá icos a un ni el sensiblemen e in e io al que habi ualmen e solemos emplea . 83 casos de que hubiesen sido mayo i a iamen e alumnos y además uni e si a ios, los o ganizado es de la misma. O a de las conclusiones a las que llegamos es cons a a la a iedad exis en e de dis in as o mas de en ende la Geome ía po pe sonas de di e en es edades y conoci- mien os en Ma emá icas. En pa icula , si a un alumno de e ce cu so de la licencia u a se le p egun a qué es un elip- soide, p obablemen e nos con es a á que es la supe icie de e olución gene ada po una elipse al gi a al ededo de una ec a con enida en su plano. Un alumno de p ima ia, ob iamen e, no a a en ende es o pe o si se le dice que un elipsoide es (sal ando las dis ancias) un balón de ugby, p obablemen e no enga p oblemas en en ende el con- cep o. Y lo mismo ocu e con la supe icie es é ica y el balón de ú bol o con el cono y el capi o e de naza eno. De ahí que como ya se ha indicado, los alumnos isi an es de es as edades mos asen mayo in e és y en usiasmo en las igu as geomé icas « ep esen adas» median e obje os co idianos, ales como el cilind o de la as, las hélices de alamb e o el neumá ico de coche que en esas mismas igu- as ep esen adas como ales. También u ie on mucho éxi o, es a ez pa a odo ipo de edades y conocimien os, los p og amas de o denado u ilizados, que mos aban las igu as desde di e en es pe spec i as, las desa ollaban en el plano o las cambiaban de colo , en e o as acciones, odo lo cual e a muy di e ido y sob e odo didác ico. Como «p opues as de mejo a» pa a una u u a epe ición de es a ac i idad, apa e po supues o de pensa en aumen a el con enido de igu as p esen adas y de nue os p og amas in o má icos que pe mi an una mejo isualiza- ción y manipulación de las mismas, nos a e e íamos a suge i las siguien es: 1. Inc emen a el g ado de pa icipación ac i a de los isi an es. Pa a ello pod ía dispone se de «ma e iales de cons ucción»: papel, ca ulina, pegamen o, plás i- cos, cables, e c. y anima a los isi an es a ab ica sus p opias igu as. 2. En la línea an e io , ins ala un alle de «papi o lexia» con las pe inen es ins ucciones de u ilización. 3. Mos a en g andes paneles o pós e s la iden i icación en e es as igu as y de e minados obje os de la ida eal, al como ya se ha hecho, si bien de palab a, en es a ocasión. En es e sen ido, un eje cicio in e esan e que ealizamos los dos úl imos días ue el de mos a las igu as expues as una a una y pedi le al isi an e que nos dijese «a qué se pa ecían». Es so p enden e la cons a ación de los «pa ecidos» que esul an. 4. La posibilidad de acompaña la Exposición con una música de ondo adecuada, así como en ega un pequeño olle o al isi an e en el que se explique el con enido de la Exposición ambién c eemos que con- ibui ía g andemen e a mejo a la en odos los aspec os. Pensamos, inalmen e, que es e ipo de ac i idades ex aacadémicas siemp e esul an bene iciosas pa a el alumno que las ealiza, an o pa a amplia conocimien os y e la ma e ia de clase desde o o pun o de is a, como a ni el pe sonal, ya que ayudan a ene una mejo elación con los compañe os de clase y en e es os y el p o eso . Somos conscien es de que es e ipo de ac i i- dades son mucho más ecuen es en enseñanza no uni e si a ia y que b i- llan p ác icamen e po su ausencia en la Uni e sidad y ambién pensamos que es e hecho se debe an o a los p o- pios alumnos, que alegan una supues- a al a de iempo o desin e és po odo lo que no sea p epa a los exámenes, como del p o eso ado, que mayo i a- iamen e, c eemos, no se p eocupa de omen a las y de colabo a en ellas, pe o sin emba go, la ealidad demues- a que siemp e esul an posi i as y que debe ían ene se en cuen a pa a consegui la o mación in eg al del alumno uni e si a io que se p e ende y po ello las de endemos. De hecho, es amos o almen e con encidos de que es a ac i idad que noso os hemos lle ado a cabo nos a a se i en un u u o a los que de noso os nos dedi- quemos a la enseñanza, como una p i- me a ap oximación de cómo en nues- os alumnos de p ima ia y secunda ia la Geome ía en pa icula y las Ma e- má icas en gene al, y de cómo o gani- za pa a ellos ac i idades de es e ipo o simila es, que de una o ma in e ac i a y p ác ica, pe mi an isualiza , oca , manipula y, en una palab a, «hace » Ma emá icas. Bibliog a ía CORDERO, L, FERNANDEZ, M. y GRAY, A. (1995): Geome ía Di e encial de Cu as y Supe icies con Ma hema ica, Addison- Wesley Ibe oame icana. DO CARMO, M. (1976): Geome ía Di e encial de Cu as y Supe icies, Alianza Uni e sal Tex os, P en ice-Hall Inc. GARDNER, M. (1984): Fes i al Mágico- Ma emá ico, Alianza Edi o ial, Mad id. Juan Núñez Depa amen o de Geome ía y Topología Facul ad de Ma emá icas Uni e sidad de Se illa. Sociedad Andaluza de Educación Ma emá ica «Thales» Ca men M.a Aguile a M.aInés Fe nández Ma ía José Macías Ana C. Mon año Sal ado Pé ez Inmaculada Ri e o Ma ía José Rome o José I. Sánchez Ana Ma ía Se a o 84 …es e ipo de ac i idades ex aacadémicas siemp e esul an bene iciosas pa a el alumno que las ealiza, an o pa a amplia conocimien os y e la ma e ia de clase desde o o pun o de is a, como a ni el pe sonal…