CONTROL PREDICTIVO NO LINEAL BASADO
EN MODELOS DE VOLTERRA. APLICACIÓN
A UNA PLANTA PILOTO.
Jo n K. G ube 1,Ca los Bo dons
Dp o. Ingenie ía de Sis emas y Au omá ica,
Escuela Técnica Supe io de Ingenie os,
Uni e sidad de Se illa,
Camino Descub imien os, s/n., 41092 Se illa
Email: jg ube @ca uja.us.es, bo [email p o ec ed]
Resumen: El p esen e a ículo mues a la aplicación de una es a egia de con ol
p edic i o no lineal basado en modelos (Nonlinea Model P edic i e Con ol,
NMPC) a una plan a pilo o en la que se con ola la empe a u a de un eac o .
El con olado es á basado en un modelo diagonal de Vol e a de segundo
o den pa a conside a e ec os no lineales. Pa a calcula la acción de con ol
se u iliza un mé odo i e a i o que equie e pocos ecu sos compu acionales. El
compo amien o del p oceso y del con olado se p esen a median e esul ados
expe imen ales. Finalmen e se compa an los esul ados expe imen ales del NMPC
con los esul ados de un con olado p edic i o lineal (MPC ). Copy igh c
2007
CEA-IFAC
Palab as cla e: con ol p edic i o no lineal, modelos de Vol e a, secuencia
pseudo-alea o ia, iden ificación, plan a pilo o.
1. INTRODUCCIÓN
Los modelos de Vol e a ep esen an la ex ensión
simple y lógica de los modelos de con olución
que han sido aplicados con g an éxi o en con ol
p edic i o lineal basado en modelos (Linea Model
P edic i e Con ol, MPC ). Es os modelos p esen-
an gené icamen e un buen compo amien o y se
puede ap o echa su es uc u a en el diseño de
con olado es. En el caso de un modelo de segundo
o den, el modelo iene la o ma
1Es e abajo ha sido financiado pa cialmen e po el
Minis e io de Educación y Ciencia a a és del p oyec o
de in es igación DPI-2004-07444-C04-01.
y(k)=h0+
∞

i=1
aiu(k−i)
+
∞

i=1
∞

j=i
bi,j u(k−i)u(k−j)(1)
que co esponde al modelo lineal de con olución
con la no linealidad como é mino adicional y
adi i o, siendo y(k)la salida y u(k)la en ada
del sis ema en el ins an e ac ual. Los pa áme os
h0,aiybi,j ep esen an el offse , los pa áme os
lineales y los pa áme os de segundo o den, es-
pec i amen e.
El con ol p edic i o no lineal basado en modelos
(Nonlinea Model P edic i e Con ol, NMPC )es
un campo jo en en el que oda ía exis en pocas
e e encias de aplicaciones indus iales (Camacho
y Bo dons 2004). Pe o la capacidad de conside a
h p:// iai.isa.up .es
ISSN: 1697-7912. Vol. 4, Núm. 3, Julio 2007, pp. 34-45
dinámicas más complejas y no lineales con ie e al
NMPC en una opción p ome edo a en el momen o
de con ola p ocesos eales. Aunque los p ocesos
indus iales mues an en gene al un compo a-
mien o no lineal, la mayo ía de los con olado es
p edic i os es án basados en modelos lineales.
En los p ocesos ue emen e no lineales la apli-
cación de MPC lineal puede se poco e ec i a y
equie e el empleo de con olado es no lineales. La
p incipal en aja de NMPC ep esen a la posibi-
lidad de conside a la dinámica no lineal. F en e a
es a g an en aja exis en ambién incon enien es
como: la dificul ad en la ob ención de un modelo
no lineal a pa i de da os expe imen ales y el
p oblema del cálculo de la acción de con ol.
Es e a ículo p esen a la aplicación de un con ol
p edic i o no lineal a un p oceso de labo a o io.
El modelo dinámico es á basado en un modelo
diagonal de Vol e a y el cálculo de la acción de
con ol se ealiza median e un mé odo i e a i o
basado en (Mane e al. 1996, Doyle e al. 2002).
El a ículo es á dis ibuido de la siguien e mane a:
en el apa ado 2 se explica el p oceso u ilizado y el
p oblema que esul a del mismo, en el apa ado 3
se p esen a la iden ificación del modelo de Vol e a
y en el 4 se mues a la ley de con ol p edic i o
no lineal. En el apa ado 5 se p esen an los e-
sul ados de la aplicación del con olado no lineal
al p oceso eal y los esul ados de un con olado
p edic i o lineal como compa ación. Finalmen e,
en el apa ado 6 se p esen an las conclusiones de i-
adas de la aplicación de es e ipo de con olado .
2. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
Pa a la aplicación de un con ol no lineal se
ha elegido un p oceso eal ep esen ado po una
plan a pilo o. El p oceso analizado ha sido es u-
diado an e io men e po a ios au o es (Hugo e
al. 1988, Szei e e al. 1995, Cueli 2005).
2.1 P oceso de labo a o io
El p oceso de labo a o io, ep esen ado po una
plan a pilo o, puede simula eacciones químicas
exo é micas a base de cambios en la empe a u a.
La plan a pilo o ( e la figu a 1) es á si uada en la
Escuela Supe io de Ingenie os de la Uni e sidad
de Se illa y ha sido u ilizada como plan a de
e e encia pa a p opósi os de con ol po a ios
au o es (Ramí ez e al. 1999).
Los elemen os p incipales de la plan a pilo o son
el eac o , el in e cambiado de calo , la camisa
de e ige ación y la ál ula de eci culación pa a
manipula el flujo en la camisa de e ige ación
( e la figu a 2).
Figu a 1. Plan a pilo o u ilizada pa a aplica el
NMPC.
In e cambiado de calo
8
Fj,e
Fj,s
F ,e
F ,s
Figu a 2. Diag ama de la plan a pilo o con los
cua o elemen os: eac o , in e cambiado de
calo , camisa de e ige ación y ál ula de
eci culación.
La educción de la empe a u a del con enido
del eac o se ealiza median e una camisa de
e ige ación. La disipación de calo p o ocado
po la camisa de e ige ación puede se egulada
median e la ál ula 8que manipula el flujo en
la camisa. La elación expe imen al en e el flujo
Fjque ci cula po la camisa de e ige ación y
la ape u a de la ál ula 8se puede e en la
figu a 3. El líquido de e ige ación, agua, en a
en la camisa con una empe a u a cons an e.
Con el flujo de alimen ación F ,e se suminis a
el eac i o de la eacción al eac o con el fin
de man ene la eacción ac i a. An es de en a
al eac o , el flujo de alimen ación pasa po el
in e cambiado de calo pa a educi la di e encia
de empe a u a en e el flujo de alimen ación y el
con enido del eac o . Pa a man ene el olumen
del con enido del eac o cons an e se u iliza el
flujo salien e F ,s. Po consiguien e, como el flujo
en an e y el flujo salien e ienen el mismo caudal
y casi la misma empe a u a, los dos flujos jun os
apenas p o ocan cambios en la ene gía in e na del
eac o .
J. K. G ube , C. Bo dons 35
Fjl
s
8[%]
020
40 60 80 100
0
0.06
0.12
0.18
Figu a 3. Relación en e el flujo Fjci culando po
la camisa de e ige ación y la ape u a de la
ál ula 8.
El calo de la eacción, que es unción de la concen-
ación del eac i o, puede se emulado empleando
pa a al e ec o la esis encia eléc ica según la
ley que ige es a eacción. Es e p ocedimien o de
simulación de eacciones ha sido empleado po
di e sos au o es, como (San os e al. 2001). Pa a
in o mación más de allada sob e el p oceso e las
publicaciones (Cueli 2005, Cueli y Bo dons 2006).
2.2 Modelo ma emá ico
Aunque no es necesa io dispone de un modelo
ma emá ico pa a el diseño del con olado basado
en modelos de Vol e a, se p esen a en es a sección
el modelo del p oceso pa a pone de manifies o las
ca ac e ís icas no lineales del mismo. El modelo
ma emá ico ambién jus ifica la o ma de emula
el calo gene ado en la eacción química median e
la esis encia.
En el modelo, ep esen ando un p oceso de efino
y an e io men e u ilizado en (Lee e al. 2000),
se ha conside ado que el flujo de alimen ación y
el flujo salien e del eac o son equi alen es, así
que F =F ,e =F ,s. Como consecuencia de
es a suposición el olumen VylamasaMson
cons an es. Los cambios de la empe a u a en el
eac o de la plan a pilo o ienen definidos como:
dT
d =−Fj
V(Tj,e −Tj,s)
+(−ΔH)·V
MCp
k0e−E/(RT)C2
A(2)
donde el p ime é mino co esponde a la disipa-
ción de calo po la camisa de e ige ación y el
segundo é mino deno a la ene gía gene ada po
la eacción química exo é mica. Las a iables Fj,
Tj,e yTj,s ep esen an el flujo que ci cula po la
camisa de eci culación así como la empe a u a
del agua en ando y saliendo de la camisa, es-
pec i amen e. CAes la concen ación del eac i o
en el eac o . Como el flujo de alimen ación pasa
po el in e cambiado de calo y en a en el eac-
o casi con la misma empe a u a que iene el
con enido del eac o , se ha supues o que el flujo
de alimen ación ni suminis a ni ex ae calo del
eac o .
Tabla 1. Pa áme os del modelo y
a iables cons an es
Pa áme o Valo Unidad
k01.2650 ·1017 l
mol·s
Cp4.18 kJ
K·kg
ΔH−105.57 kJ
mol
E/R 13550 K
Va iable Valo Unidad
V25 l
M25 kg
CA,e 1.2mol
l
F 0.05 l
s
Tj,e 291.15 K
La concen ación CAdel eac i o en el eac o de
la plan a se calcula como:
dCA
d =F
V(CA,e −CA)−k0e−E/(RT)C2
A(3)
donde CA,e ep esen a la concen ación del eac-
i o en el flujo de alimen ación. Los pa áme os
del modelo y las a iables con alo es cons an es
es án mos ados en la abla 1.
Como la empe a u a del fluido de e ige ación
es a iable y no co esponde a la empe a u a
en el eac o , se ha u ilizado la siguien e ap oxi-
mación, ob enida expe imen almen e, del modelo
ma emá ico pa a calcula el in e cambio de calo :
Fj·(Tj,s −Tj,e)=T−α
β(1 −e−γFj)(4)
con los pa áme os α= 292.19 K,β=14.94 s/ly
γ=13.18 s/l.
La mayo pa e de la no linealidad del modelo
ma emá ico es es á ica, pe o debido a los é mi-
nos exponenciales y cuad á icos en las ecuaciones
di e enciales de la empe a u a (2) y de la concen-
ación (3) el modelo posee ambién una dinámica
no lineal. La figu a 4 mues a la no linealidad
es á ica del modelo (2)-(4) a la que hay que añadi
la elación no lineal en e el flujo de e ige ación
Fjylaape u adela ál ula 8, según se mos ó
en la figu a 3.
3. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA
La iden ificación de pa áme os de modelos cons a
en la mayo ía de los casos de cinco pa es: elección
de la es uc u a del modelo, elección de señales
de en ada adecuadas, ensayos con aplicación de
las señales elegidas pa a consegui da os de ipo
en ada–salida, la p opia iden ificación de los pa-
áme os del modelo y la alidación del modelo
iden ificado.
36 Con ol P edic i o No Lineal Basado en Modelos de Vol e a. Aplicación a una Plan a Pilo o
T[K]
CAmol
l
Fjl
s
Fjl
s
0.02
0.02
0.05
0.05
0.08
0.08
0.11
0.11
0.14
0.14
0.17
0.17
0
0.2
0.4
0.6
300
325
350
375
Figu a 4. Tempe a u a Ty concen ación CAdel
eac o en égimen es aciona io en unción del
flujo de e ige ación Fjcalculados median e
el modelo ma emá ico.
3.1 Es uc u a del modelo
A pesa del hecho de que los sis emas ísicos e o-
lucionan en gene al en iempo con inuo, la ma-
yo ía de esquemas de con ol basados en modelos
u ilizan o denado es pa a ecoge las medidas de
los senso es en el ins an e de iempo disc e o k.
Po es as azones exis e la necesidad de desc ibi
sis emas con inuos median e modelos en iempo
disc e o de la o ma:
y(k+1)= (y(k),y(k−1), ...,
u(k),u(k−1), ...)(5)
Finalmen e, pa a ep esen a la dinámica no lineal
del p oceso median e un modelo disc e o en la
o ma de la ecuación (5), se ha elegido un modelo
de Vol e a de segundo o den fini o, uncando las
sumas infini as de la exp esión (1). Pa a sis emas
con ol ido (Boyd y Chua 1985) es ablecen que
pueden se ap oximados po modelos de Vol e a
fini os. En el caso de un sis ema es able, los
pa áme os lineales ai ienden a 0pa a i→∞y
los de segundo o den bi,j a0pa a i→∞yj→∞.
En onces se u iliza un o den de uncamien o de
N1yN2con ai≈0∀i>N
1ybi,j ≈0∀i>
N2,j>N
2, espec i amen e. De es a mane a el
modelo puede se definido como:
y(k)=h0+
N1

i=1
aiu(k−i)
+
N2

i=1
N2

j=i
bi,j u(k−i)u(k−j)(6)
O a posibilidad pa a iden ifica la dinámica del
p oceso se ía el uso de un modelo con espues a
infini a al impulso (Infini e Impulse Response,
IIR). El uso de es e ipo de modelo esul a ía
en un con ol más complejo po lo que se ha
enunciadoaes e ipodemodelopa anope de
sencillez en el momen o de con ola el p oceso.
3.2 Señal de en ada
Pa a la iden ificación de los pa áme os del mo-
delo diagonal de Vol e a hay que u iliza da os
de ipo en ada–salida adecuados. La ob ención
de es os da os equie e la elección de una señal
de en ada que exci a suficien emen e el sis ema.
Los da os adqui idos deben pe mi i la pos e io
iden ificación de la dinámica compleja del sis ema.
En muchas iden ificaciones de sis emas se u iliza
como señal de en ada el uido blanco de Gauss
(Nowak y Van Veen 1994). Es a señal es in e esan-
e en eo ía po con ene odas las ecuencias con
la misma po encia y posee una au oco elación
de ce o (Pa ke e al. 2001). Pe o la aplicación
de la misma puede daña el p oceso po el mo-
imien o cons an e de la ál ula. Debido a es e
p oblema hay que encon a una señal de en ada
más adecuada que no p o oca daños en el sis ema
pe o pe mi a la iden ificación de los pa áme os
del modelo.
Pa a la iden ificación de sis emas lineales se usa
ecuen emen e una secuencia bina ia pseudo-
alea o ia (Pseudo Random Bina y Sequence,
PRBS). Desa o unadamen e, las PRBS ienen
una g an deficiencia en el momen o de iden ifica
sis emas no lineales debido a la exci ación insufi-
cien e del sis ema (Nowak y Van Veen 1994).
Po los p oblemas con el uido blanco de Gauss y
la PRBS se ha elegido finalmen e como señal de
en ada una secuencia mul ini el pseudo-alea o ia
(Pseudo Random Mul ile el Sequence,PRMS).
Las PRMS ienen, en con as e a las PRBS,no
solamen e dos ni eles, sino a ios. La ampliación
del núme o de di e en es ni eles en la señal de
en ada pe mi e una mejo exci ación del sis ema.
Las PRMS con N+1 ni eles pueden exci a
suficien emen e sis emas de Vol e a de o den N
(Nowak y Van Veen 1994). Pa a el o den N=2
del modelo de Vol e a que se u iliza en es e
a ículo se usa una PRMS con es ni eles u(k)=
{u−,u
0,u
+}( e la figu a 5).
Pa a los es ni eles se han elegido los alo es
u−=40%,u0=60%yu+=80%que esul an
en flujos de e ige ación de Fj(u−)=0.03 l/s,
Fj(u0)=0.06 l/syFj(u+)=0.12 l/s. Examinan-
do los esul ados del modelo ma emá ico p esen-
ados en la figu a 4 se puede obse a pa a los
alo es del flujo de e ige ación una ue e no
linealidad en la empe a u a en égimen es acio-
na io.
J. K. G ube , C. Bo dons 37
u(k)
u+
u0
u−
k
Figu a 5. Secuencia (PRMS) de en ada pa a la
iden ificación de modelos de Vol e a has a
segundo o den.
T[K]
310
320
330
340
350
8[%]
40
50
60
70
80
[h]
[h]
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
Figu a 6. Resul ados del ensayo de la plan a pilo o
con la en ada calculada median e el mé odo
de PRMS con es ni eles de la ape u a de la
ál ula de eci culación 8={40,60,80}%.
3.3 Ensayo
Con el obje i o de consegui da os pa a la iden-
ificación de pa áme os del modelo de Vol e a
de segundo o den se han ealizado a ios ensayos
de la plan a pilo o emulando la eacción química.
Du an e los ensayos se ha aplicado una PRMS en
la ál ula con pe íodos a iables, pe o bas an e
la gos pa a obse a la eacción de la plan a pilo o
a cambios en la en ada ( e la figu a 6).
3.4 Iden ificación de pa áme os
Finalmen e, con los da os en ada–salida ob eni-
dos en los ensayos, se ha ealizado la iden ifica-
ción de los pa áme os del modelo de Vol e a de
segundo o den median e el mé odo de mínimos
cuad ados.
An es de iden ifica los pa áme os, se ha no ma-
lizado la en ada de la siguien e mane a:
˜u(k)=u(k)−u0
Δu(7)
con u0=60yΔu=20así que la en ada
no malizada iene los ni eles ˜u={−1,0,1}.
ak[−]
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
k[−]
020
40 60 80 100
bj,k [−]
0
0.1
0.2
0.3
j[−]
0510 15 20
k[−]
0
5
10
15
20
Figu a 7. Pa áme os iden ificados del modelo no
lineal con N1= 100 yN2=20.
En p ime luga se ha iden ificado un modelo de
Vol e a comple o con N1= 100,N2=20yun
iempo de mues o de m=40s, dando luga a
los pa áme os que se mues an en la figu a 7. Se
puede e en la g áfica que el o den de unca-
mien o de N2=20no pe mi e suficien emen e la
iden ificación de la dinámica no lineal sino co a
pa edelamisma.Comolamayo pa edela
dinámica no lineal se encuen a en la diagonal
p incipal (j=k) se ha decidido de u iliza un mo-
delo diagonal de Vol e a de segundo o den. Con
los pa áme os no diagonales de segundo o den
bi,j =0∀i=jel modelo se puede ep esen a de
la siguien e mane a:
y(k)=h0+
N1

i=1
aiu(k−i)+
N2

i=1
biu(k−i)2(8)
y pe mi e un aumen o de N2sin un inc emen o
excesi o del núme o de pa áme os.
Con el modelo diagonal de Vol e a de segundo
o den se ha ealizado una iden ificación con N1=
100 yN2=40 esul ando en los pa áme os
que mues a la figu a 8. En es e caso se puede
obse a que los úl imos pa áme os de segundo
o den ienden a ce o y, como consecuencia, el
o den de uncamien o de N2=40pe mi e una
iden ificación adecuada de la dinámica no lineal.
El offse del modelo iene un alo de h0=
321.07 K.
Pa a la alidación del modelo diagonal iden ifica-
do se ha u ilizado da os de un segundo ensayo con
una PRMS como señal de en ada, con los mismos
ni eles de la ál ula de 8={40,60,80}%pe o
con pe íodos más co os. La figu a 9 mues a en
la g áfica supe io la iden ificación y en la g áfica
38 Con ol P edic i o No Lineal Basado en Modelos de Vol e a. Aplicación a una Plan a Pilo o

ak[−]
0.2
0.2
0
0
−0.2
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
bk[−]
−0.1
0.1
0.3
k[−]
k[−]
0
0
10 20
20
30 40
40 60 80 100
Figu a 8. Pa áme os iden ificados del modelo
diagonal con N1= 100 yN2=40.
T,Tid [K]T,T d [K]
310
310
315
320
320
325
330
330
335
340
350
[h]
[h]
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
Figu a 9. Compa ación de los da os expe imen a-
les (—) y del modelo (---). A iba: esul ados
de la iden ificación, abajo: esul ados de la
alidación.
Tabla 2. Compa ación de e o es
cuad á icos medios
E o Iden ificación Validación
ECM 0.49972 0.55807
in e io la alidación del modelo. La abla 2 e-
coge los e o es cuad á icos medios (ECM )dela
iden ificación y de la alidación del modelo.
La figu a 10 compa a el modelo de Vol e a,el
modelo ma emá ico de p ime os p incipios y a-
lo es expe imen ales de la plan a pilo o en égimen
es aciona io.
Pa a e i a p oblemas en la pos e io implemen-
ación del con olado p edic i o se no malizan la
salida del sis ema y la e e encia, de al mane a
que desapa ece el offse del modelo:
˜y(k)=y(k)−h0(9)
˜ (k)= (k)−h0(10)
T[K]
8[%]
20 40 60 80 100
290
320
350
380
Figu a 10. Tempe a u a en égimen es aciona io
delmodelodeVol e a (—), del modelo de
p ime os p incipios (---) y de la plan a eal
(◦)en uncióndelaape u adela ál ula 8.
4. LEY DE CONTROL
Pa a p edeci el u u o compo amien o del p o-
ceso se u iliza el modelo no lineal de Vol e a
que se puede conside a como una ex ensión na-
u al de los modelos usados en los con olado es
p edic i os más ex endidos en la indus ia, como
el Dynamic Ma ix Con ol (DMC ) (Cu le y
Ramake 1980). Pa a el modelo de segundo o den
los u u os alo es de la salida se pueden exp esa
como (Doyle e al. 2002):
˜y =G˜u+c+ (11)
con
c=H˜upas +d+g(12)
donde las ma ices GyHcon ienen los pa áme-
os lineales pa a conside a los é minos lineales
del u u o y del pasado, espec i amen e. El ec o
˜u con iene los u u os alo es de la acción de
con ol y, análogamen e, el ec o ˜upas ep esen a
los pasados alo es de la acción de con ol. El
ec o d=[d(k+1),d(k+1), ..., d(k+1)]
T
con iene la di e encia en e la salida del p oceso y
la salida del modelo en el ins an e k. Los é minos
de segundo o den de ipo u u o– u u o y u u o–
pasado se incluyen median e el ec o , el ec o
g ep esen a los elemen os de segundo o den de
ipo pasado–pasado. La definición de las ma ices
GyHasí como los ec o es ygse explican en
de alle en el Apéndice A.
Pa a conside a los inc emen os de la acción de
con ol en la unción de cos e de la ley de con ol
se ans o ma la ecuación (11) de al mane a que
dependa de los inc emen os de la acción de con ol
˜y =˜y(˜u)−→ ˜y =˜y(Δ˜u). Con la ans o mación
( e el Apéndice B), el cálculo de los u u os
alo es de la salida queda como:
˜y =G∗Δ˜u+c∗+ (13)
con
c∗=H∗˜upas +d+g(14)
Con la ans o mación del sis ema no lineal se pue-
de inclui la ponde ación de la acción de con ol
en la unción de cos e que en onces iene definida
como:
J. K. G ube , C. Bo dons 39
J=
P

i=1
(˜y(k+i)−˜ (k+i))2
+
M−1

i=0
λΔ˜u(k+i)2(15)
donde λ ep esen a el pa áme o de ponde ación
de la acción de con ol.
Con la an e io ep esen ación del modelo no line-
al y la unción de cos e se ha elegido un en oque
i e a i o pa a calcula la acción de con ol. Es e
en oque, es á basado en el abajo de (Mane e
al. 1996, Doyle e al. 2002), al que se le ha añadido
la conside ación de la acción de con ol en la
unción de cos e es el siguien e:
Paso 1: hace i=1yΔ˜u(0)(k)=0
Paso 2: esol e las ecuaciones sin es iccio-
nes
a=(˜ −c∗− )TG∗T(16)
Δ˜u=G∗TG∗+λI−1a(17)
Paso 3: comp oba si el p ime elemen o de
la Δ˜ucalculada cumple la ole ancia δen la
condición
Δ˜u(i)(k)−Δ˜u(i−1)(k)<δ (18)
Paso 4: si la an e io condición se cumple,
hace Δ˜u(k)=Δ˜u(i)(k)y la nue a acción de
con ol en el ins an e k, con ˜us (k)=˜u(k−
1) + Δ˜u(k)y la sa u ación ísica se á:
˜u(k)=⎧
⎨
⎩
˜umin si ˜us (k)<˜umin
˜us (k)eno ocaso
˜umax si ˜us (k)>˜umax
(19)
Si la an e io condición no se cumple, ecal-
cula usando
˜u =⎡
⎢
⎢
⎣
˜u(k−1)
˜u(k−1)
...
˜u(k−1)
⎤
⎥
⎥
⎦+
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
Δ˜u(i)(k)
1

j=0
Δ˜u(i)(k+j)
...
M−1

j=0
Δ˜u(i)(k+j)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(20)
hace i=i+1y ol e a paso 2.
Como se puede e en el paso 4, en caso de no
cumpli la condición de con e gencia, en cada
i e ación el é mino cuad á ico u u o se calcula
con el ec o de acciones de con ol ˜u calculada
en el paso 2 de la misma i e ación. Con el nue-
o ec o se calcula en la siguien e i e ación
un nue o ec o de inc emen os de la acción de
con ol. Después de cada i e ación se calcula la
di e encia en e el p ime elemen o del ec o de
inc emen os de la ac ual i e ación y de la an e io
i e ación. Se epi e es e p ocedimien o has a que
T[K]
320
323
326
329
332
8[%]
35
45
55
65
75
[min]
[min]
0
0
20
20
40
40
60
60
80
80
100
100
Figu a 11. Cambios en la e e encia del p oceso
simulado median e el modelo de Vol e a.
Compa ación del con olado p opues o (—)
y un con olado basado en SQP (---).
la di e encia cumpla la condición de con e gencia.
Pa a de alles sob e la con e gencia del algo i -
mo e el abajo de (Economou 1986). Como se
conside a el é mino du an e el paso 2 como
cons an e, es e é mino puede segui dependiendo
de los alo es absolu os de la acción de con ol
y no equie e una ans o mación pa a depende
de los inc emen os de la acción de con ol. En el
abajo de (Do ado 2006) se p esen a cómo una
adecuada elección de la ponde ación de la acción
de con ol en la unción de cos e puede ga an iza
la con e gencia hacia el óp imo global. La aplica-
ción pos e io de la sa u ación se puede e i a in-
eg ando las es icciones en el paso 2 y esol e el
p oblema de op imización median e p og amación
cuad á ica (Quad a ic P og amming,QP) (Doyle
e al. 2002).
La nue a acción de con ol u(k)se calcula median-
e deno malización de la acción de con ol ˜u(k)y
se deduce di ec amen e de la ecuación (7):
u(k)=˜u(k)·Δu+u0(21)
5. RESULTADOS EXPERIMENTALES
En p ime luga se han ajus ado los pa áme os
del con olado p opues o simulando la eacción
química median e el modelo de Vol e a.Po me-
dio de las simulaciones se ha fijado la ponde ación
de la acción de con ol a λ=0.8, los o denes de
uncamien o a N1= 100 yN2=20, el ho izon e
de p edicción a P= 100 y el ho izon e de con ol
aM=15. Además se ha u ilizado un con olado
basado en el algo i mo SQP (Sequen ial Nonlinea
P og amming) de P og amación No Lineal con
el fin de e ifica los esul ados del con olado
p opues o. La figu a 11 mues a una compa ación
de los esul ados casi idén icos de los dos con o-
lado es en el caso de cambios en la e e encia.
El p oceso en cues ión es á con olado median e
el sis ema de con ol dis ibuido Sima ic-IT que
40 Con ol P edic i o No Lineal Basado en Modelos de Vol e a. Aplicación a una Plan a Pilo o
u
˜u
∗˜ y
˜y
T
˜ = ∗−h0
1
K s+1
˜y=y−h0
u=˜uΔu+u0Plan a
pilo o
NMPC
Fil o de
p ime o den
No mali-
zación
No mali-
zación
Algo i mo
i e a i o
Deno mali-
zación Sis ema
Figu a 12. Diag ama de bloques de la es uc u a de con ol con el NMPC pa a con ola la empe a u a
de la plan a pilo o.
incluye un Au oma a P og amable denominado
PMC 10. El algo i mo de con ol se ejecu a en
Ma lab e in e cambia in o mación con el sis ema
de con ol dis ibuido a a és de OPC (OLE o
P ocess Con ol).
El algo i mo de con ol p edic i o no lineal ha sido
aplicado a la plan a pilo o usando la es uc u a
de con ol que mues a la figu a 12. En un p ime
paso se fil a la e e encia y se no malizan la
e e encia fil ada ∗y la salida del p oceso y.
Con los alo es no malizados el NMPC calcula
la nue a acción de con ol ˜umedian e el algo i -
mo i e a i o. Finalmen e, se aplica la acción de
con ol deno malizada ua la plan a pilo o. El uso
del fil o de la e e encia pe mi e la elección de
un alo bajo pa a el pa áme o λde la ley de
con ol. De es a mane a, la combinación de fil o
de e e encia y alo bajo de λ esul anenuncom-
po amien o sua e del p oceso en el momen o de
cambia el pun o de ope ación y una eacción más
ag esi a a di e gencias en égimen es aciona io.
Con el con olado p edic i o no lineal se han
ealizado dos se ies de ensayos, una con cambios
en la e e encia y o a con pe u baciones. Pa a
pode compa a los da os ob enidos, se ha aplica-
do ambién un con olado MPC lineal median e
la misma es uc u a de con ol ( e la figu a 12)
al p oceso. Pa a los ensayos con el NMPC se han
u ilizado los pa áme os N1= 100 yN2=40
(o den de uncamien o), P= 100 (ho izon e de
p edicción), M=15(ho izon e de con ol) y
λ=0.8(ponde ación). El fil o de la e e encia
iene una cons an e de iempo de K = 100 s.
Los mismos pa áme os se han u ilizado pa a el
con olado p edic i o lineal.
P ime o se ha ealizado con el p oceso con olado
po el NMPC un ensayo con a ios cambios en
la e e encia ( e la figu a 13). En la g áfica se
pueden e desde a iba a abajo: la empe a u a
y la e e encia, la concen ación del eac i o, la
ape u a de la ál ula y las i e aciones necesa ias
pa a cumpli la condición de con e gencia. La
empe a u a del p oceso sigue bien la e e encia y
mues a pocas oscilaciones. Solamen e en el mo-
men o de cambio de la e e encia hay g andes di-
T[K]
320
323
326
329
332
CA[mol/l]
0.1
0.15
0.2
8[%]
30
40
50
60
70
80
I e aciones [−]
0
2
4
6
[min]
[min]
[min]
[min]
0
0
0
0
20
20
20
20
40
40
40
40
60
60
60
60
80
80
80
80
100
100
100
100
Figu a 13. Resul ado del ensayo de la plan a pilo o
con cambios en la e e encia con olado po
el NMPC. De a iba a abajo: empe a u a y
e e encia, concen ación del eac i o, acción
de con ol, i e aciones pa a con e gencia.
e gencias en e empe a u a y e e encia, pe o el
con olado no lineal compensa es as di e gencias
en un iempo azonable. Las acciones de con ol
mues an una eacción ápida a las di e gencias
en e la empe a u a y la e e encia y p esen an un
compo amien o sua e que no ha sido limi ado po
la sa u ación. Con espec o a las i e aciones pa a
cumpli la condición de con e gencia se puede e
que el algo i mo necesi aba en e 2 y 6 i e aciones,
que significa un cálculo ápido con los o denado es
ac uales.
La figu a 14 mues a los esul ados del ensayo
con cambios en la e e encia con olado po el
MPC lineal. Como se puede e , la empe a u a
J. K. G ube , C. Bo dons 41
T[K]
320
323
326
329
332
CA[mol/l]
0.1
0.15
0.2
8[%]
30
40
50
60
70
80
[min]
[min]
[min]
0
0
0
20
20
20
40
40
40
60
60
60
80
80
80
100
100
100
Figu a 14. Resul ado del ensayo de la plan a pilo o
con cambios en la e e encia con olado po
el MPC. De a iba a abajo: empe a u a y
e e encia, concen ación del eac i o, acción
de con ol.
mues a oscilaciones después de los cambios en la
e e encia. En égimen es aciona io, empe a u a
y concen ación del eac i o p esen an más osci-
laciones que el p oceso con olado po el NMPC.
Con espec o a la acción de con ol, la ape u a
de la ál ula p esen a oscilaciones conside ables
en égimen es aciona io.
En segundo luga se ha comp obado el compo a-
mien o del p oceso con olado po el NMPC an e
pe u baciones. Como pe u baciones se han elegi-
do el flujo de alimen ación F , e la ecuación (3),
ylaape u adela ál ula 8. La figu a 15 mues a
los esul ados de un ensayo con las pe u baciones
mencionadas. Al p oceso en égimen es aciona io
se ha aplicado en =20min una pe u bación adi-
i a en el flujo de alimen ación de ΔF =0.005 l/s
que co esponde a un 10 % de la gama. Después
de 60 minu os, en =80min, se ha qui ado la
pe u bación pa a aplica en = 140 min una
pe u bación en la ál ula de Δ 8=5%.Comose
puede e en los esul ados, el con olado NMPC
consigue compensa los e o es p o ocados po
las pe u baciones, pe o a da en odos los casos
en e 30 y 40 minu os pa a qui a la di e gen-
cia. Después de la compensación de los e o es,
el p oceso mues a oscilaciones significa i as en
la empe a u a, la concen ación y la acción de
con ol. El núme o de i e aciones necesa ias pa a
calcula la acción de con ol no se ha is o influido
po las pe u baciones.
Pa a pode compa a los esul ados del NMPC,
se ha ealizado un ensayo de la plan a pilo o con
las mismas pe u baciones y el con olado p e-
T[K]
320
321
322
CA[mol/l]
0.18
0.19
0.2
8[%]
55
60
65
70
I e aciones [−]
0
1
2
3
4
[min]
[min]
[min]
[min]
0
0
0
0
50
50
50
50
100
100
100
100
150
150
150
150
200
200
200
200
Figu a 15. Resul ado del ensayo de la plan a pilo o
con pe u baciones con olado po el NMPC.
De a iba a abajo: empe a u a y e e encia,
concen ación del eac i o, acción de con ol,
i e aciones pa a con e gencia.
dic i o lineal ( e la figu a 16). El MPC ambién
log a compensa los e o es p o ocados po las
pe u baciones, pe o la empe a u a mues a os-
cilaciones muy g andes al ededo de la e e encia.
La concen ación del eac i o y la ape u a de la
ál ula oscilan ue emen e du an e odo el ensayo
de al mane a que el MPC pa ece incapaz de
educi las oscilaciones p esen es. Las di e gen-
cias en e empe a u a y e e encia du an e los
dos ensayos con pe u baciones (NMPC yMPC )
son simila es, pe o las oscilaciones ue es en la
empe a u a, la concen ación y la ape u a de la
ál ula mues an que el MPC ob iene esul ados
in e io es en compa ación con el NMPC.
Pa a cuan ifica la di e encia se ha u ilizando la
suma de e o es cuad á icos
=
k=1
( (k)−y(k))2(22)
La abla 3 ecoge los esul ados de los ensayos
ealizados. Puede obse a se cómo en ambos casos
se consigue una mejo a, sob e odo eniendo en
cuen a que la solución se ha implemen ado de
o ma sencilla sin necesidad de habe complicado
la es a egia de con ol.
En la abla 4 se mues an los iempos o ales
necesa ios pa a calcula las acciones de con ol en
42 Con ol P edic i o No Lineal Basado en Modelos de Vol e a. Aplicación a una Plan a Pilo o