Control predictivo no lineal basado en modelos de Volterra. Aplicación a una planta piloto

CONTROL PREDICTIVO NO LINEAL BASADO EN MODELOS DE VOLTERRA. APLICACIÓN A UNA PLANTA PILOTO. Jo n K. G ube 1,Ca los Bo dons Dp o. Ingenie ía de Sis emas y Au omá ica, Escuela Técnica Supe io de Ingenie os, Uni e sidad de Se illa, Camino Descub imien os, s/n., 41092 Se illa Email: jg ube @ca uja.us.es, bo [email p o ec ed] Resumen: El p esen e a ículo mues a la aplicación de una es a egia de con ol p edic i o no lineal basado en modelos (Nonlinea Model P edic i e Con ol, NMPC) a una plan a pilo o en la que se con ola la empe a u a de un eac o . El con olado es á basado en un modelo diagonal de Vol e a de segundo o den pa a conside a e ec os no lineales. Pa a calcula la acción de con ol se u iliza un mé odo i e a i o que equie e pocos ecu sos compu acionales. El compo amien o del p oceso y del con olado se p esen a median e esul ados expe imen ales. Finalmen e se compa an los esul ados expe imen ales del NMPC con los esul ados de un con olado p edic i o lineal (MPC ). Copy igh c 2007 CEA-IFAC Palab as cla e: con ol p edic i o no lineal, modelos de Vol e a, secuencia pseudo-alea o ia, iden ificación, plan a pilo o. 1. INTRODUCCIÓN Los modelos de Vol e a ep esen an la ex ensión simple y lógica de los modelos de con olución que han sido aplicados con g an éxi o en con ol p edic i o lineal basado en modelos (Linea Model P edic i e Con ol, MPC ). Es os modelos p esen- an gené icamen e un buen compo amien o y se puede ap o echa su es uc u a en el diseño de con olado es. En el caso de un modelo de segundo o den, el modelo iene la o ma 1Es e abajo ha sido financiado pa cialmen e po el Minis e io de Educación y Ciencia a a és del p oyec o de in es igación DPI-2004-07444-C04-01. y(k)=h0+ ∞  i=1 aiu(k−i) + ∞  i=1 ∞  j=i bi,j u(k−i)u(k−j)(1) que co esponde al modelo lineal de con olución con la no linealidad como é mino adicional y adi i o, siendo y(k)la salida y u(k)la en ada del sis ema en el ins an e ac ual. Los pa áme os h0,aiybi,j ep esen an el offse , los pa áme os lineales y los pa áme os de segundo o den, es- pec i amen e. El con ol p edic i o no lineal basado en modelos (Nonlinea Model P edic i e Con ol, NMPC )es un campo jo en en el que oda ía exis en pocas e e encias de aplicaciones indus iales (Camacho y Bo dons 2004). Pe o la capacidad de conside a h p:// iai.isa.up .es ISSN: 1697-7912. Vol. 4, Núm. 3, Julio 2007, pp. 34-45 dinámicas más complejas y no lineales con ie e al NMPC en una opción p ome edo a en el momen o de con ola p ocesos eales. Aunque los p ocesos indus iales mues an en gene al un compo a- mien o no lineal, la mayo ía de los con olado es p edic i os es án basados en modelos lineales. En los p ocesos ue emen e no lineales la apli- cación de MPC lineal puede se poco e ec i a y equie e el empleo de con olado es no lineales. La p incipal en aja de NMPC ep esen a la posibi- lidad de conside a la dinámica no lineal. F en e a es a g an en aja exis en ambién incon enien es como: la dificul ad en la ob ención de un modelo no lineal a pa i de da os expe imen ales y el p oblema del cálculo de la acción de con ol. Es e a ículo p esen a la aplicación de un con ol p edic i o no lineal a un p oceso de labo a o io. El modelo dinámico es á basado en un modelo diagonal de Vol e a y el cálculo de la acción de con ol se ealiza median e un mé odo i e a i o basado en (Mane e al. 1996, Doyle e al. 2002). El a ículo es á dis ibuido de la siguien e mane a: en el apa ado 2 se explica el p oceso u ilizado y el p oblema que esul a del mismo, en el apa ado 3 se p esen a la iden ificación del modelo de Vol e a y en el 4 se mues a la ley de con ol p edic i o no lineal. En el apa ado 5 se p esen an los e- sul ados de la aplicación del con olado no lineal al p oceso eal y los esul ados de un con olado p edic i o lineal como compa ación. Finalmen e, en el apa ado 6 se p esen an las conclusiones de i- adas de la aplicación de es e ipo de con olado . 2. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA Pa a la aplicación de un con ol no lineal se ha elegido un p oceso eal ep esen ado po una plan a pilo o. El p oceso analizado ha sido es u- diado an e io men e po a ios au o es (Hugo e al. 1988, Szei e e al. 1995, Cueli 2005). 2.1 P oceso de labo a o io El p oceso de labo a o io, ep esen ado po una plan a pilo o, puede simula eacciones químicas exo é micas a base de cambios en la empe a u a. La plan a pilo o ( e la figu a 1) es á si uada en la Escuela Supe io de Ingenie os de la Uni e sidad de Se illa y ha sido u ilizada como plan a de e e encia pa a p opósi os de con ol po a ios au o es (Ramí ez e al. 1999). Los elemen os p incipales de la plan a pilo o son el eac o , el in e cambiado de calo , la camisa de e ige ación y la ál ula de eci culación pa a manipula el flujo en la camisa de e ige ación ( e la figu a 2). Figu a 1. Plan a pilo o u ilizada pa a aplica el NMPC. In e cambiado de calo 8 Fj,e Fj,s F ,e F ,s Figu a 2. Diag ama de la plan a pilo o con los cua o elemen os: eac o , in e cambiado de calo , camisa de e ige ación y ál ula de eci culación. La educción de la empe a u a del con enido del eac o se ealiza median e una camisa de e ige ación. La disipación de calo p o ocado po la camisa de e ige ación puede se egulada median e la ál ula 8que manipula el flujo en la camisa. La elación expe imen al en e el flujo Fjque ci cula po la camisa de e ige ación y la ape u a de la ál ula 8se puede e en la figu a 3. El líquido de e ige ación, agua, en a en la camisa con una empe a u a cons an e. Con el flujo de alimen ación F ,e se suminis a el eac i o de la eacción al eac o con el fin de man ene la eacción ac i a. An es de en a al eac o , el flujo de alimen ación pasa po el in e cambiado de calo pa a educi la di e encia de empe a u a en e el flujo de alimen ación y el con enido del eac o . Pa a man ene el olumen del con enido del eac o cons an e se u iliza el flujo salien e F ,s. Po consiguien e, como el flujo en an e y el flujo salien e ienen el mismo caudal y casi la misma empe a u a, los dos flujos jun os apenas p o ocan cambios en la ene gía in e na del eac o . J. K. G ube , C. Bo dons 35 Fjl s 8[%] 020 40 60 80 100 0 0.06 0.12 0.18 Figu a 3. Relación en e el flujo Fjci culando po la camisa de e ige ación y la ape u a de la ál ula 8. El calo de la eacción, que es unción de la concen- ación del eac i o, puede se emulado empleando pa a al e ec o la esis encia eléc ica según la ley que ige es a eacción. Es e p ocedimien o de simulación de eacciones ha sido empleado po di e sos au o es, como (San os e al. 2001). Pa a in o mación más de allada sob e el p oceso e las publicaciones (Cueli 2005, Cueli y Bo dons 2006). 2.2 Modelo ma emá ico Aunque no es necesa io dispone de un modelo ma emá ico pa a el diseño del con olado basado en modelos de Vol e a, se p esen a en es a sección el modelo del p oceso pa a pone de manifies o las ca ac e ís icas no lineales del mismo. El modelo ma emá ico ambién jus ifica la o ma de emula el calo gene ado en la eacción química median e la esis encia. En el modelo, ep esen ando un p oceso de efino y an e io men e u ilizado en (Lee e al. 2000), se ha conside ado que el flujo de alimen ación y el flujo salien e del eac o son equi alen es, así que F =F ,e =F ,s. Como consecuencia de es a suposición el olumen VylamasaMson cons an es. Los cambios de la empe a u a en el eac o de la plan a pilo o ienen definidos como: dT d =−Fj V(Tj,e −Tj,s) +(−ΔH)·V MCp k0e−E/(RT)C2 A(2) donde el p ime é mino co esponde a la disipa- ción de calo po la camisa de e ige ación y el segundo é mino deno a la ene gía gene ada po la eacción química exo é mica. Las a iables Fj, Tj,e yTj,s ep esen an el flujo que ci cula po la camisa de eci culación así como la empe a u a del agua en ando y saliendo de la camisa, es- pec i amen e. CAes la concen ación del eac i o en el eac o . Como el flujo de alimen ación pasa po el in e cambiado de calo y en a en el eac- o casi con la misma empe a u a que iene el con enido del eac o , se ha supues o que el flujo de alimen ación ni suminis a ni ex ae calo del eac o . Tabla 1. Pa áme os del modelo y a iables cons an es Pa áme o Valo Unidad k01.2650 ·1017 l mol·s Cp4.18 kJ K·kg ΔH−105.57 kJ mol E/R 13550 K Va iable Valo Unidad V25 l M25 kg CA,e 1.2mol l F 0.05 l s Tj,e 291.15 K La concen ación CAdel eac i o en el eac o de la plan a se calcula como: dCA d =F V(CA,e −CA)−k0e−E/(RT)C2 A(3) donde CA,e ep esen a la concen ación del eac- i o en el flujo de alimen ación. Los pa áme os del modelo y las a iables con alo es cons an es es án mos ados en la abla 1. Como la empe a u a del fluido de e ige ación es a iable y no co esponde a la empe a u a en el eac o , se ha u ilizado la siguien e ap oxi- mación, ob enida expe imen almen e, del modelo ma emá ico pa a calcula el in e cambio de calo : Fj·(Tj,s −Tj,e)=T−α β(1 −e−γFj)(4) con los pa áme os α= 292.19 K,β=14.94 s/ly γ=13.18 s/l. La mayo pa e de la no linealidad del modelo ma emá ico es es á ica, pe o debido a los é mi- nos exponenciales y cuad á icos en las ecuaciones di e enciales de la empe a u a (2) y de la concen- ación (3) el modelo posee ambién una dinámica no lineal. La figu a 4 mues a la no linealidad es á ica del modelo (2)-(4) a la que hay que añadi la elación no lineal en e el flujo de e ige ación Fjylaape u adela ál ula 8, según se mos ó en la figu a 3. 3. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA La iden ificación de pa áme os de modelos cons a en la mayo ía de los casos de cinco pa es: elección de la es uc u a del modelo, elección de señales de en ada adecuadas, ensayos con aplicación de las señales elegidas pa a consegui da os de ipo en ada–salida, la p opia iden ificación de los pa- áme os del modelo y la alidación del modelo iden ificado. 36 Con ol P edic i o No Lineal Basado en Modelos de Vol e a. Aplicación a una Plan a Pilo o T[K] CAmol l Fjl s Fjl s 0.02 0.02 0.05 0.05 0.08 0.08 0.11 0.11 0.14 0.14 0.17 0.17 0 0.2 0.4 0.6 300 325 350 375 Figu a 4. Tempe a u a Ty concen ación CAdel eac o en égimen es aciona io en unción del flujo de e ige ación Fjcalculados median e el modelo ma emá ico. 3.1 Es uc u a del modelo A pesa del hecho de que los sis emas ísicos e o- lucionan en gene al en iempo con inuo, la ma- yo ía de esquemas de con ol basados en modelos u ilizan o denado es pa a ecoge las medidas de los senso es en el ins an e de iempo disc e o k. Po es as azones exis e la necesidad de desc ibi sis emas con inuos median e modelos en iempo disc e o de la o ma: y(k+1)= (y(k),y(k−1), ..., u(k),u(k−1), ...)(5) Finalmen e, pa a ep esen a la dinámica no lineal del p oceso median e un modelo disc e o en la o ma de la ecuación (5), se ha elegido un modelo de Vol e a de segundo o den fini o, uncando las sumas infini as de la exp esión (1). Pa a sis emas con ol ido (Boyd y Chua 1985) es ablecen que pueden se ap oximados po modelos de Vol e a fini os. En el caso de un sis ema es able, los pa áme os lineales ai ienden a 0pa a i→∞y los de segundo o den bi,j a0pa a i→∞yj→∞. En onces se u iliza un o den de uncamien o de N1yN2con ai≈0∀i>N 1ybi,j ≈0∀i> N2,j>N 2, espec i amen e. De es a mane a el modelo puede se definido como: y(k)=h0+ N1  i=1 aiu(k−i) + N2  i=1 N2  j=i bi,j u(k−i)u(k−j)(6) O a posibilidad pa a iden ifica la dinámica del p oceso se ía el uso de un modelo con espues a infini a al impulso (Infini e Impulse Response, IIR). El uso de es e ipo de modelo esul a ía en un con ol más complejo po lo que se ha enunciadoaes e ipodemodelopa anope de sencillez en el momen o de con ola el p oceso. 3.2 Señal de en ada Pa a la iden ificación de los pa áme os del mo- delo diagonal de Vol e a hay que u iliza da os de ipo en ada–salida adecuados. La ob ención de es os da os equie e la elección de una señal de en ada que exci a suficien emen e el sis ema. Los da os adqui idos deben pe mi i la pos e io iden ificación de la dinámica compleja del sis ema. En muchas iden ificaciones de sis emas se u iliza como señal de en ada el uido blanco de Gauss (Nowak y Van Veen 1994). Es a señal es in e esan- e en eo ía po con ene odas las ecuencias con la misma po encia y posee una au oco elación de ce o (Pa ke e al. 2001). Pe o la aplicación de la misma puede daña el p oceso po el mo- imien o cons an e de la ál ula. Debido a es e p oblema hay que encon a una señal de en ada más adecuada que no p o oca daños en el sis ema pe o pe mi a la iden ificación de los pa áme os del modelo. Pa a la iden ificación de sis emas lineales se usa ecuen emen e una secuencia bina ia pseudo- alea o ia (Pseudo Random Bina y Sequence, PRBS). Desa o unadamen e, las PRBS ienen una g an deficiencia en el momen o de iden ifica sis emas no lineales debido a la exci ación insufi- cien e del sis ema (Nowak y Van Veen 1994). Po los p oblemas con el uido blanco de Gauss y la PRBS se ha elegido finalmen e como señal de en ada una secuencia mul ini el pseudo-alea o ia (Pseudo Random Mul ile el Sequence,PRMS). Las PRMS ienen, en con as e a las PRBS,no solamen e dos ni eles, sino a ios. La ampliación del núme o de di e en es ni eles en la señal de en ada pe mi e una mejo exci ación del sis ema. Las PRMS con N+1 ni eles pueden exci a suficien emen e sis emas de Vol e a de o den N (Nowak y Van Veen 1994). Pa a el o den N=2 del modelo de Vol e a que se u iliza en es e a ículo se usa una PRMS con es ni eles u(k)= {u−,u 0,u +}( e la figu a 5). Pa a los es ni eles se han elegido los alo es u−=40%,u0=60%yu+=80%que esul an en flujos de e ige ación de Fj(u−)=0.03 l/s, Fj(u0)=0.06 l/syFj(u+)=0.12 l/s. Examinan- do los esul ados del modelo ma emá ico p esen- ados en la figu a 4 se puede obse a pa a los alo es del flujo de e ige ación una ue e no linealidad en la empe a u a en égimen es acio- na io. J. K. G ube , C. Bo dons 37 u(k) u+ u0 u− k Figu a 5. Secuencia (PRMS) de en ada pa a la iden ificación de modelos de Vol e a has a segundo o den. T[K] 310 320 330 340 350 8[%] 40 50 60 70 80 [h] [h] 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 Figu a 6. Resul ados del ensayo de la plan a pilo o con la en ada calculada median e el mé odo de PRMS con es ni eles de la ape u a de la ál ula de eci culación 8={40,60,80}%. 3.3 Ensayo Con el obje i o de consegui da os pa a la iden- ificación de pa áme os del modelo de Vol e a de segundo o den se han ealizado a ios ensayos de la plan a pilo o emulando la eacción química. Du an e los ensayos se ha aplicado una PRMS en la ál ula con pe íodos a iables, pe o bas an e la gos pa a obse a la eacción de la plan a pilo o a cambios en la en ada ( e la figu a 6). 3.4 Iden ificación de pa áme os Finalmen e, con los da os en ada–salida ob eni- dos en los ensayos, se ha ealizado la iden ifica- ción de los pa áme os del modelo de Vol e a de segundo o den median e el mé odo de mínimos cuad ados. An es de iden ifica los pa áme os, se ha no ma- lizado la en ada de la siguien e mane a: ˜u(k)=u(k)−u0 Δu(7) con u0=60yΔu=20así que la en ada no malizada iene los ni eles ˜u={−1,0,1}. ak[−] 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 k[−] 020 40 60 80 100 bj,k [−] 0 0.1 0.2 0.3 j[−] 0510 15 20 k[−] 0 5 10 15 20 Figu a 7. Pa áme os iden ificados del modelo no lineal con N1= 100 yN2=20. En p ime luga se ha iden ificado un modelo de Vol e a comple o con N1= 100,N2=20yun iempo de mues o de m=40s, dando luga a los pa áme os que se mues an en la figu a 7. Se puede e en la g áfica que el o den de unca- mien o de N2=20no pe mi e suficien emen e la iden ificación de la dinámica no lineal sino co a pa edelamisma.Comolamayo pa edela dinámica no lineal se encuen a en la diagonal p incipal (j=k) se ha decidido de u iliza un mo- delo diagonal de Vol e a de segundo o den. Con los pa áme os no diagonales de segundo o den bi,j =0∀i=jel modelo se puede ep esen a de la siguien e mane a: y(k)=h0+ N1  i=1 aiu(k−i)+ N2  i=1 biu(k−i)2(8) y pe mi e un aumen o de N2sin un inc emen o excesi o del núme o de pa áme os. Con el modelo diagonal de Vol e a de segundo o den se ha ealizado una iden ificación con N1= 100 yN2=40 esul ando en los pa áme os que mues a la figu a 8. En es e caso se puede obse a que los úl imos pa áme os de segundo o den ienden a ce o y, como consecuencia, el o den de uncamien o de N2=40pe mi e una iden ificación adecuada de la dinámica no lineal. El offse del modelo iene un alo de h0= 321.07 K. Pa a la alidación del modelo diagonal iden ifica- do se ha u ilizado da os de un segundo ensayo con una PRMS como señal de en ada, con los mismos ni eles de la ál ula de 8={40,60,80}%pe o con pe íodos más co os. La figu a 9 mues a en la g áfica supe io la iden ificación y en la g áfica 38 Con ol P edic i o No Lineal Basado en Modelos de Vol e a. Aplicación a una Plan a Pilo o ak[−] 0.2 0.2 0 0 −0.2 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 bk[−] −0.1 0.1 0.3 k[−] k[−] 0 0 10 20 20 30 40 40 60 80 100 Figu a 8. Pa áme os iden ificados del modelo diagonal con N1= 100 yN2=40. T,Tid [K]T,T d [K] 310 310 315 320 320 325 330 330 335 340 350 [h] [h] 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 Figu a 9. Compa ación de los da os expe imen a- les (—) y del modelo (---). A iba: esul ados de la iden ificación, abajo: esul ados de la alidación. Tabla 2. Compa ación de e o es cuad á icos medios E o Iden ificación Validación ECM 0.49972 0.55807 in e io la alidación del modelo. La abla 2 e- coge los e o es cuad á icos medios (ECM )dela iden ificación y de la alidación del modelo. La figu a 10 compa a el modelo de Vol e a,el modelo ma emá ico de p ime os p incipios y a- lo es expe imen ales de la plan a pilo o en égimen es aciona io. Pa a e i a p oblemas en la pos e io implemen- ación del con olado p edic i o se no malizan la salida del sis ema y la e e encia, de al mane a que desapa ece el offse del modelo: ˜y(k)=y(k)−h0(9) ˜ (k)= (k)−h0(10) T[K] 8[%] 20 40 60 80 100 290 320 350 380 Figu a 10. Tempe a u a en égimen es aciona io delmodelodeVol e a (—), del modelo de p ime os p incipios (---) y de la plan a eal (◦)en uncióndelaape u adela ál ula 8. 4. LEY DE CONTROL Pa a p edeci el u u o compo amien o del p o- ceso se u iliza el modelo no lineal de Vol e a que se puede conside a como una ex ensión na- u al de los modelos usados en los con olado es p edic i os más ex endidos en la indus ia, como el Dynamic Ma ix Con ol (DMC ) (Cu le y Ramake 1980). Pa a el modelo de segundo o den los u u os alo es de la salida se pueden exp esa como (Doyle e al. 2002): ˜y =G˜u+c+ (11) con c=H˜upas +d+g(12) donde las ma ices GyHcon ienen los pa áme- os lineales pa a conside a los é minos lineales del u u o y del pasado, espec i amen e. El ec o ˜u con iene los u u os alo es de la acción de con ol y, análogamen e, el ec o ˜upas ep esen a los pasados alo es de la acción de con ol. El ec o d=[d(k+1),d(k+1), ..., d(k+1)] T con iene la di e encia en e la salida del p oceso y la salida del modelo en el ins an e k. Los é minos de segundo o den de ipo u u o– u u o y u u o– pasado se incluyen median e el ec o , el ec o g ep esen a los elemen os de segundo o den de ipo pasado–pasado. La definición de las ma ices GyHasí como los ec o es ygse explican en de alle en el Apéndice A. Pa a conside a los inc emen os de la acción de con ol en la unción de cos e de la ley de con ol se ans o ma la ecuación (11) de al mane a que dependa de los inc emen os de la acción de con ol ˜y =˜y(˜u)−→ ˜y =˜y(Δ˜u). Con la ans o mación ( e el Apéndice B), el cálculo de los u u os alo es de la salida queda como: ˜y =G∗Δ˜u+c∗+ (13) con c∗=H∗˜upas +d+g(14) Con la ans o mación del sis ema no lineal se pue- de inclui la ponde ación de la acción de con ol en la unción de cos e que en onces iene definida como: J. K. G ube , C. Bo dons 39 J= P  i=1 (˜y(k+i)−˜ (k+i))2 + M−1  i=0 λΔ˜u(k+i)2(15) donde λ ep esen a el pa áme o de ponde ación de la acción de con ol. Con la an e io ep esen ación del modelo no line- al y la unción de cos e se ha elegido un en oque i e a i o pa a calcula la acción de con ol. Es e en oque, es á basado en el abajo de (Mane e al. 1996, Doyle e al. 2002), al que se le ha añadido la conside ación de la acción de con ol en la unción de cos e es el siguien e: Paso 1: hace i=1yΔ˜u(0)(k)=0 Paso 2: esol e las ecuaciones sin es iccio- nes a=(˜ −c∗− )TG∗T(16) Δ˜u=G∗TG∗+λI−1a(17) Paso 3: comp oba si el p ime elemen o de la Δ˜ucalculada cumple la ole ancia δen la condición Δ˜u(i)(k)−Δ˜u(i−1)(k)<δ (18) Paso 4: si la an e io condición se cumple, hace Δ˜u(k)=Δ˜u(i)(k)y la nue a acción de con ol en el ins an e k, con ˜us (k)=˜u(k− 1) + Δ˜u(k)y la sa u ación ísica se á: ˜u(k)=⎧ ⎨ ⎩ ˜umin si ˜us (k)<˜umin ˜us (k)eno ocaso ˜umax si ˜us (k)>˜umax (19) Si la an e io condición no se cumple, ecal- cula usando ˜u =⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ˜u(k−1) ˜u(k−1) ... ˜u(k−1) ⎤ ⎥ ⎥ ⎦+ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ Δ˜u(i)(k) 1  j=0 Δ˜u(i)(k+j) ... M−1  j=0 Δ˜u(i)(k+j) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (20) hace i=i+1y ol e a paso 2. Como se puede e en el paso 4, en caso de no cumpli la condición de con e gencia, en cada i e ación el é mino cuad á ico u u o se calcula con el ec o de acciones de con ol ˜u calculada en el paso 2 de la misma i e ación. Con el nue- o ec o se calcula en la siguien e i e ación un nue o ec o de inc emen os de la acción de con ol. Después de cada i e ación se calcula la di e encia en e el p ime elemen o del ec o de inc emen os de la ac ual i e ación y de la an e io i e ación. Se epi e es e p ocedimien o has a que T[K] 320 323 326 329 332 8[%] 35 45 55 65 75 [min] [min] 0 0 20 20 40 40 60 60 80 80 100 100 Figu a 11. Cambios en la e e encia del p oceso simulado median e el modelo de Vol e a. Compa ación del con olado p opues o (—) y un con olado basado en SQP (---). la di e encia cumpla la condición de con e gencia. Pa a de alles sob e la con e gencia del algo i - mo e el abajo de (Economou 1986). Como se conside a el é mino du an e el paso 2 como cons an e, es e é mino puede segui dependiendo de los alo es absolu os de la acción de con ol y no equie e una ans o mación pa a depende de los inc emen os de la acción de con ol. En el abajo de (Do ado 2006) se p esen a cómo una adecuada elección de la ponde ación de la acción de con ol en la unción de cos e puede ga an iza la con e gencia hacia el óp imo global. La aplica- ción pos e io de la sa u ación se puede e i a in- eg ando las es icciones en el paso 2 y esol e el p oblema de op imización median e p og amación cuad á ica (Quad a ic P og amming,QP) (Doyle e al. 2002). La nue a acción de con ol u(k)se calcula median- e deno malización de la acción de con ol ˜u(k)y se deduce di ec amen e de la ecuación (7): u(k)=˜u(k)·Δu+u0(21) 5. RESULTADOS EXPERIMENTALES En p ime luga se han ajus ado los pa áme os del con olado p opues o simulando la eacción química median e el modelo de Vol e a.Po me- dio de las simulaciones se ha fijado la ponde ación de la acción de con ol a λ=0.8, los o denes de uncamien o a N1= 100 yN2=20, el ho izon e de p edicción a P= 100 y el ho izon e de con ol aM=15. Además se ha u ilizado un con olado basado en el algo i mo SQP (Sequen ial Nonlinea P og amming) de P og amación No Lineal con el fin de e ifica los esul ados del con olado p opues o. La figu a 11 mues a una compa ación de los esul ados casi idén icos de los dos con o- lado es en el caso de cambios en la e e encia. El p oceso en cues ión es á con olado median e el sis ema de con ol dis ibuido Sima ic-IT que 40 Con ol P edic i o No Lineal Basado en Modelos de Vol e a. Aplicación a una Plan a Pilo o u ˜u ∗˜ y ˜y T ˜ = ∗−h0 1 K s+1 ˜y=y−h0 u=˜uΔu+u0Plan a pilo o NMPC Fil o de p ime o den No mali- zación No mali- zación Algo i mo i e a i o Deno mali- zación Sis ema Figu a 12. Diag ama de bloques de la es uc u a de con ol con el NMPC pa a con ola la empe a u a de la plan a pilo o. incluye un Au oma a P og amable denominado PMC 10. El algo i mo de con ol se ejecu a en Ma lab e in e cambia in o mación con el sis ema de con ol dis ibuido a a és de OPC (OLE o P ocess Con ol). El algo i mo de con ol p edic i o no lineal ha sido aplicado a la plan a pilo o usando la es uc u a de con ol que mues a la figu a 12. En un p ime paso se fil a la e e encia y se no malizan la e e encia fil ada ∗y la salida del p oceso y. Con los alo es no malizados el NMPC calcula la nue a acción de con ol ˜umedian e el algo i - mo i e a i o. Finalmen e, se aplica la acción de con ol deno malizada ua la plan a pilo o. El uso del fil o de la e e encia pe mi e la elección de un alo bajo pa a el pa áme o λde la ley de con ol. De es a mane a, la combinación de fil o de e e encia y alo bajo de λ esul anenuncom- po amien o sua e del p oceso en el momen o de cambia el pun o de ope ación y una eacción más ag esi a a di e gencias en égimen es aciona io. Con el con olado p edic i o no lineal se han ealizado dos se ies de ensayos, una con cambios en la e e encia y o a con pe u baciones. Pa a pode compa a los da os ob enidos, se ha aplica- do ambién un con olado MPC lineal median e la misma es uc u a de con ol ( e la figu a 12) al p oceso. Pa a los ensayos con el NMPC se han u ilizado los pa áme os N1= 100 yN2=40 (o den de uncamien o), P= 100 (ho izon e de p edicción), M=15(ho izon e de con ol) y λ=0.8(ponde ación). El fil o de la e e encia iene una cons an e de iempo de K = 100 s. Los mismos pa áme os se han u ilizado pa a el con olado p edic i o lineal. P ime o se ha ealizado con el p oceso con olado po el NMPC un ensayo con a ios cambios en la e e encia ( e la figu a 13). En la g áfica se pueden e desde a iba a abajo: la empe a u a y la e e encia, la concen ación del eac i o, la ape u a de la ál ula y las i e aciones necesa ias pa a cumpli la condición de con e gencia. La empe a u a del p oceso sigue bien la e e encia y mues a pocas oscilaciones. Solamen e en el mo- men o de cambio de la e e encia hay g andes di- T[K] 320 323 326 329 332 CA[mol/l] 0.1 0.15 0.2 8[%] 30 40 50 60 70 80 I e aciones [−] 0 2 4 6 [min] [min] [min] [min] 0 0 0 0 20 20 20 20 40 40 40 40 60 60 60 60 80 80 80 80 100 100 100 100 Figu a 13. Resul ado del ensayo de la plan a pilo o con cambios en la e e encia con olado po el NMPC. De a iba a abajo: empe a u a y e e encia, concen ación del eac i o, acción de con ol, i e aciones pa a con e gencia. e gencias en e empe a u a y e e encia, pe o el con olado no lineal compensa es as di e gencias en un iempo azonable. Las acciones de con ol mues an una eacción ápida a las di e gencias en e la empe a u a y la e e encia y p esen an un compo amien o sua e que no ha sido limi ado po la sa u ación. Con espec o a las i e aciones pa a cumpli la condición de con e gencia se puede e que el algo i mo necesi aba en e 2 y 6 i e aciones, que significa un cálculo ápido con los o denado es ac uales. La figu a 14 mues a los esul ados del ensayo con cambios en la e e encia con olado po el MPC lineal. Como se puede e , la empe a u a J. K. G ube , C. Bo dons 41 T[K] 320 323 326 329 332 CA[mol/l] 0.1 0.15 0.2 8[%] 30 40 50 60 70 80 [min] [min] [min] 0 0 0 20 20 20 40 40 40 60 60 60 80 80 80 100 100 100 Figu a 14. Resul ado del ensayo de la plan a pilo o con cambios en la e e encia con olado po el MPC. De a iba a abajo: empe a u a y e e encia, concen ación del eac i o, acción de con ol. mues a oscilaciones después de los cambios en la e e encia. En égimen es aciona io, empe a u a y concen ación del eac i o p esen an más osci- laciones que el p oceso con olado po el NMPC. Con espec o a la acción de con ol, la ape u a de la ál ula p esen a oscilaciones conside ables en égimen es aciona io. En segundo luga se ha comp obado el compo a- mien o del p oceso con olado po el NMPC an e pe u baciones. Como pe u baciones se han elegi- do el flujo de alimen ación F , e la ecuación (3), ylaape u adela ál ula 8. La figu a 15 mues a los esul ados de un ensayo con las pe u baciones mencionadas. Al p oceso en égimen es aciona io se ha aplicado en =20min una pe u bación adi- i a en el flujo de alimen ación de ΔF =0.005 l/s que co esponde a un 10 % de la gama. Después de 60 minu os, en =80min, se ha qui ado la pe u bación pa a aplica en = 140 min una pe u bación en la ál ula de Δ 8=5%.Comose puede e en los esul ados, el con olado NMPC consigue compensa los e o es p o ocados po las pe u baciones, pe o a da en odos los casos en e 30 y 40 minu os pa a qui a la di e gen- cia. Después de la compensación de los e o es, el p oceso mues a oscilaciones significa i as en la empe a u a, la concen ación y la acción de con ol. El núme o de i e aciones necesa ias pa a calcula la acción de con ol no se ha is o influido po las pe u baciones. Pa a pode compa a los esul ados del NMPC, se ha ealizado un ensayo de la plan a pilo o con las mismas pe u baciones y el con olado p e- T[K] 320 321 322 CA[mol/l] 0.18 0.19 0.2 8[%] 55 60 65 70 I e aciones [−] 0 1 2 3 4 [min] [min] [min] [min] 0 0 0 0 50 50 50 50 100 100 100 100 150 150 150 150 200 200 200 200 Figu a 15. Resul ado del ensayo de la plan a pilo o con pe u baciones con olado po el NMPC. De a iba a abajo: empe a u a y e e encia, concen ación del eac i o, acción de con ol, i e aciones pa a con e gencia. dic i o lineal ( e la figu a 16). El MPC ambién log a compensa los e o es p o ocados po las pe u baciones, pe o la empe a u a mues a os- cilaciones muy g andes al ededo de la e e encia. La concen ación del eac i o y la ape u a de la ál ula oscilan ue emen e du an e odo el ensayo de al mane a que el MPC pa ece incapaz de educi las oscilaciones p esen es. Las di e gen- cias en e empe a u a y e e encia du an e los dos ensayos con pe u baciones (NMPC yMPC ) son simila es, pe o las oscilaciones ue es en la empe a u a, la concen ación y la ape u a de la ál ula mues an que el MPC ob iene esul ados in e io es en compa ación con el NMPC. Pa a cuan ifica la di e encia se ha u ilizando la suma de e o es cuad á icos = k=1 ( (k)−y(k))2(22) La abla 3 ecoge los esul ados de los ensayos ealizados. Puede obse a se cómo en ambos casos se consigue una mejo a, sob e odo eniendo en cuen a que la solución se ha implemen ado de o ma sencilla sin necesidad de habe complicado la es a egia de con ol. En la abla 4 se mues an los iempos o ales necesa ios pa a calcula las acciones de con ol en 42 Con ol P edic i o No Lineal Basado en Modelos de Vol e a. Aplicación a una Plan a Pilo o