Bole ´ın de la Asociaci´on Ma em´a ica Venezolana, Vol. X, No. 1 (2003) 89
MATEM ´
ATICAS RECREATIVAS
Sumando la De i ada de la Se ie Geom´e ica
Lyonell Boul on y Me cedes H. Rosas
1. In oducci´on
Jacobo Be noulli (1654 – 1705) publica T ac a us de Se iebus In ini as en
1689. En es a ob a, el p ime o de la dinas ´ıa de los Be noulli, demos a ´a la
di e genia de la se ie a m´onica y es udia ´a la noci´on de con e gencia. Tambi´en
consegui ´a la suma de unas pocas se ies, log ando educi las a geom´e icas y
elesc´opicas.
Pese a odo el desa ollo que ha su ido la ma em´a ica desde inales del siglo
XVII, no son muchas las se ies que podemos suma de mane a exac a. En su
T ac a us, Be noulli plan ea lo que se conoce ´a pos e io men e como el “p ob-
lema de Basilea”: Se desea conoce la suma de los ec´ıp ocos de los cuad ados
de los n´ume os na u ales. La his o ia de la soluci´on de es e p oblema coincide
con una ´epoca de g andes cambios en la mane a de concebi las ma em´a icas.
En el o o˜no de 1666 el jo en Isaac New on (1643 – 1727) in en a el c´alculo
ma em´a ico. Un a˜no an es ha p obado su amoso eo ema del binomio. New on
gua da ´a celosamen e sus esul ados. No es sino has a el a˜no de 1687 que pu-
blica ´a Philosophiae Na u alis P incipia Ma hema ica (o P incipia Ma em´a ica
como se le conoce ac ualmen e), y espe a ´a has a 1711 pa a publica Analysis
pe Quan i a um Se ies, Fluxiones. A pa i de 1675 el il´oso o y ma em´a ico
Go ied Leibniz (1640 – 1716) desa olla el c´alculo de mane a independien e
de New on. Al con a io de ´es e, Leibniz decide comunica sus esul ados, pu-
blic´andolos en 1684, y es g acias al segundo que las academias de inales del
siglo XVII comienzan a hace uso de es a pode osa he amien a.
En 1705 mue e Jacobo Be noulli sin conoce la soluci´on al p oblema de
Basilea y sin e publicada su ob a, A s Conjec andi, un a ado donde de-
sa olla la eo ´ıa de p obabilidades, el cual apa ece pos e io men e en 1713.
El p oblema de Basilea in iga a g andes ma em´a icos de la ´epoca como Jo-
hann y Daniel Be noulli, Leibniz, S i ling y de Moi e. Todos ellos a an de
esol e lo, sin ´exi o. En el a˜no de 1731, un jo en es udian e del he mano de Ja-
cobo, Johann Be noulli (1667 – 1748), so p ende a su maes o con una soluci´on
muy ingeniosa. Leonha d Eule (1707 – 1783) demues a que el p oblema de
Basilea iene soluci´on π2/6, u ilizando las unciones sim´e icas. En 1748 Eule
publica ´a In oduc io in Analysin In ini o um, en donde e oluciona el c´alculo
ma em´a ico al de ini el concep o de unci´on y es udia de mane a sis em´a ica
sus expansiones en se ies.
90 L. Boul on, M. Rosas
Hoy en d´ıa, las nociones de de i ada y expansi´on en se ies de una unci´on,
pe mi en halla la suma exac a de se ies in ini as como
∞
X
n=1
np
2ndonde p= 0,1,2,· · ·
Pa a el caso p= 0, no enemos o a cosa que la se ie geom´e ica e aluada en
1/2. Pa a p > 0, lo que enemos es el ´e mino p incipal de la de i ada de ´es a,
e aluado en ese mismo pun o. Pa a halla la suma, debemos de i a p eces a
1/(1 −z), aisla el ´e mino p incipal de mane a que s´olo dependa de se ies del
mismo ipo con po encias pde meno ´o den, y luego e alua en z= 1/2. Sin
emba go, como hemos comen ado, es a o ma de p ocede no se in en ´o sino
has a mediados del siglo XVIII.
A con inuaci´on mos amos —haciendo un eje cicio de imaginaci´on— que es
posible suma es as se ies con las he amien as ma em´a icas desa olladas has a
1689, sin inclui las ideas del c´alculo. Es deci , es pe ec amen e plausible que
Jacobo Be noulli hubiese podido suma de mane a exac a es as se ies. Se sabe
que cie amen e esol i´o los casos p= 0 y p= 1, pe o no se sabe de ninguna
uen e que indique que conoc´ıa la soluci´on pa a los o os casos.
2. Las es p ime as de i adas de la se ie geom´e ica
Comencemos con el caso p= 0. El amoso papi o de Rhind, ac ualmen e
en el B i ish Museum de Lond es, mues a que ya los egipcios sab´ıan c´omo
suma la se ie geom´e ica. Hoy en d´ıa conocemos a ias mane as de hace ´es o.
Po ejemplo, el siguien e dibujo ilus a a un ec ´angulo de ´a ea uno. Si lo des-
componemos como una uni´on de ec ´angulos m´as peque˜nos, podemos calcula
su ´a ea, sumando el ´a ea de cada uno de los pedazos, [2],
1/4
1/8 1/32 ...
1/64
1/16
1/2
Figu a 1:
Ambos esul ados han de se iguales, as´ı que
∞
X
n=1
1
2n=1
2+1
4+1
8+1
16 +··· = 1.
sumando la de i ada de la se ie geom´
e ica 91
Aho a que sabemos c´omo suma la se ie geom´e ica, podemos in en a hace
lo mismo con su de i ada, [1]. Deseamos encon a el alo de P∞
n=1
n
2n.Pa a
ello, cada sumando de es a se ie puede se colocado en las ilas del siguien e
a eglo cuya suma se puede calcula de mane a sencilla hallando la suma de
cada columna:
1/2
1/4 1/4
1/8 1/8 1/8
1/16 1/16 1/16 1/16
. . . .
. . . .
. . . .
1 1/2 1/4 1/8
+ + + = 2
= + ...
Figu a 2:
Ob enemos as´ı que
∞
X
n=1
n
2n=1
2+2
22+3
23+4
24+··· = 2.
Veamos qu´e podemos hace aho a pa a suma la segunda de i ada de la se ie
geom´e ica. Aho a debemos halla
∞
X
n=1
n2
2n=1
2+22
22+32
23+42
24+··· (1)
Pa a es o cons uimos una pi ´amide como la que ilus a la igu a 4, a base de
cubos del mismo ama˜no, y ales que el peso de los cubos en cada ni el, es la
mi ad del peso de los del ni el supe io . El ope de es a pi ´amide pesa media
unidad. Pa a calcula cu´an o suma la se ie (1), debemos consegui el peso o al
de la pi ´amide. La pa ed ex e io pesa
92 L. Boul on, M. Rosas
Figu a 3:
Si descomponemos nues a pi ´amide po capas como lo indican los colo es de la
siguien e igu a,
Figu a 4:
concluimos que la se ie (1) suma 6.
Aho a, si uese nues a in enci´on suma la e ce a de i ada de la se ie geo-
m´e ica u ilizando el mismo p ocedimien o, end ´ıamos que sabe dibuja en
cua o dimensiones. Como no es el caso, una peque˜na modi icaci´on del a gu-
men o an e io nos pe mi i ´a queda nos den o del espacio de es dimensiones.
Que emos demos a que
1
2+23
22+33
23+43
24+··· = 26.(2)
Pa a es o cons uimos una pi ´amide como la que ilus a la igu a 6, a base de
cubos cuyo peso disminuye a la mi ad siemp e que bajamos un ni el. El peso
sumando la de i ada de la se ie geom´
e ica 93
o al de es a pi ´amide co esponde con la suma de la se ie (2). El peso de la
pa ed ex e io es 10:
Figu a 5:
Las apas supe io es de cada ni el deben se pesadas po sepa ado, eco dando
que ya la pa ed ex e io ha sido omada en cuen a. Es o se log a o mando con
es os cubos una nue a pi ´amide como la ya u ilizada en la igu a 3, eniendo en
cuen a que el ope aho a comienza pesando 1/4. En consecuencia la suma o al
de la se ie (2) es
Figu a 6:

94 L. Boul on, M. Rosas
3. De i adas de o den supe io
Deseamos aho a cons ui a gumen os del mismo es ilo, pa a halla la suma
de las de i adas de o den supe io de la se ie geom´e ica. Es deci , que emos
halla
∞
X
n=p
np
2n=1
2+2p
22+3p
23+···
donde p= 4,5,.... Pa a ello p ocedemos de mane a an´aloga al caso p= 1
ya discu ido, pe o cambiando con enien emen e el peso de cada cuad ado. Po
ejemplo, pa a p= 2, enemos
1/2
2/4 2/4
3/8 3/8 3/8
4/16 4/16 4/16 4/16
Figu a 7:
Sumando po columnas, se ob iene
∞
X
n=1
n2
2n=
∞
X
n=1
n
2n+
∞
X
n=1
n+ 1
2n+1 +...+
∞
X
n=1
n+k
2n+k+. . .
=
∞
X
n=1
∞
X
k=0
n+k
2n+k=
∞
X
n=1
∞
X
k=0
n
2n+k+
∞
X
n=1
∞
X
k=0
k
2n+k
=
∞
X
n=1
n
2n
∞
X
k=0
1
2k+
∞
X
n=1
1
2n
∞
X
k=1
k
2k
= 2 ·2+1·2 = 6.
Se puede obse a que el a eglo de la igu a 7 no es m´as que una p oyecci´on
al plano de la pi ´amide cons uida en la igu a 4, donde cada casilla indica la
suma del peso de los bloques en di ecci´on pe pendicula a la p oyecci´on.
Que emos gene aliza es e a gumen o pa a p+ 1 = 4,5,.... Pa a es o debe-
mos conside a los a eglos desc i os en la siguien e igu a
sumando la de i ada de la se ie geom´
e ica 95
1p/2
2p/4 2p/4
3p/8 3p/8 3p/8
4p/16 4p/16 4p/16 4p/16
Figu a 8:
cuya suma de nue o se ob iene calculando po sepa ado el peso de cada columna.
Asumimos, po inducci´on, que sabemos calcula la suma de las de i adas de
o den meno o igual a p, y ob enemos
∞
X
n=1
np+1
2n=
∞
X
n=1
np
2n+
∞
X
n=1
(n+ 1)p
2n+1 +...+
∞
X
n=1
(n+k)p
2n+k+. . .
=
∞
X
n=1
np
2n+
∞
X
k=1
∞
X
n=1
(n+k)p
2n+k
=
∞
X
n=1
np
2n+
∞
X
k=1
∞
X
n=1
1
2n+k
p
X
j=0 p
jnp−jkj
=
∞
X
n=1
np
2n+
p
X
j=0 p
j∞
X
k=1
kj
2k
∞
X
n=1
np−j
2n.
Es o p opo ciona una mane a ecu si a de calcula las sumas de las de i adas
p-´esimas de la se ie a m´onica. Si
S(p) =
∞
X
n=1
np
2nyS(1) = 1,
S(p+ 1) = S(p) +
p
X
j=0 p
jS(j)S(p−j).
Po ejemplo pa a el caso p+ 1 = 3 ob enemos
∞
X
n=1
n3
2n= 6 + 1 ·6+2·2·2+6·1 = 26,
96 L. Boul on, M. Rosas
lo que con i ma nues a cuen a an e io , y ´es e pe mi e halla el caso p+ 1 = 4,
∞
X
n=1
n4
2n= 26 + 1 ·26 + 3 ·2·6+3·6·2 + 26 ·1 = 150.
Es in e esan e obse a que, as´ı como sucedi´o pa a p= 2, cada a eglo en
los casos p= 3,4,... co esponde a la p oyecci´on plana de una pi ´amide en el
espacio p+ 2 dimensional o mada po cubos (p+ 1)-dimensionales, y que el
peso de cada casilla co esponde a la suma del peso de los cubos en di ecci´on
pe pendicula a la p oyecci´on.
4. P egun as y comen a ios
Hemos ob enido la siguien e sucesi´on de n´ume os na u ales 1,2,6,26, 150,1082,
9366,94586,1091670,14174522,204495126, ... Es imposible e i a p egun a se:
¿Qu´e cuen an es os n´ume os? La espues a podemos encon a la en la p´agina
de N.J.A. Sloane:
h p://www. esea ch.a .com/~njas/sequences/index.h ml
Visi ando es a pagina en la in e ne , e in oduciendo los p ime os alo es de
la sucesi´on 1, 2, 6, 26, 150, ···, el lec o encon a ´a e e encias ace ca de la
siguien e in o maci´on. La ecu si´on S(p), cuen a el n´ume o de colla es que se
pueden cons ui con un conjun o de pde pe las e ique adas. Adem´as S(p)
es el n´ume o de secuencias de cuan i icado es de p ime o den, l´ogicamen e
di e en es, en las cuales ocu en p a iables. Tambi´en se puede p oba que es os
n´ume os son coe icien es de las expansiones en se ie de po encias cen adas en
el o igen de −ln(2 −ex) y de su de i ada ex/(2 −ex).
Dejamos al lec o las siguien es p egun as que nos pa ecen de in e ´es gene al:
¿El a gumen o geom´e ico empleado se i ´a pa a calcula la suma de alguna
o a se ie?
¿Es posible halla la suma de la de i ada de la se ie geom´e ica u ilizando
a gumen os que in oluc en a la pi ´amide de la igu a 4 con cada uno de sus
cubos pesados de mane a con enien e?
En es e caso, ¿qu´e in e p e aci´on geom´e ica end ´ıa es a mane a de p o-
cede ?
5. No a Final
La e e encia his ´o ica de la secci´on in oduc o ia ue omada del lib o [1],
cuya lec u a ecomendamos. Algunos de alles adicionales, como la in o maci´on
del papi o de Rhind, ue on ob enidos de la p´agina de His o ia de la Ma em´a ica
de la Uni e sidad de Sain And ews:
h p://www-gap.dcs.s -and.ac.uk/~his o y
sumando la de i ada de la se ie geom´
e ica 97
Tambi´en se puede encon a in o maci´on sob e es e papi o en la p´agina o icial
del B i ish Museum de Lond es
h p://www. heb i ishmuseum.ac.uk/
Que emos ag adece a A gimi o A a ia po sus muy ´u iles suge encias y a
Ne io Bo ges po su in e ´es en es e abajo.
Re e encias
[1] Dunham, William, Eule : The mas e o us all. The Dolciani Ma hema ical
Exposi ions, 22. Ma hema ical Associa ion o Ame ica, Washing on, DC,
1999.
[2] Roge B. Nelsen, P oo wi hou wo ds II, Ma hema ical Associa ion o
Ame ica, Washing on, DC, 2000.
L. Boul on, M. Rosas
Depa amen o de Ma em´
a icas Pu as y Aplicadas
Uni e sidad Sim´
on Bol´
ı a , Venezuela.
lb[email p o ec ed]e, [email p o ec ed]e