Sumando la derivada de la serie geométrica

Bole ´ın de la Asociaci´on Ma em´a ica Venezolana, Vol. X, No. 1 (2003) 89 MATEM ´ ATICAS RECREATIVAS Sumando la De i ada de la Se ie Geom´e ica Lyonell Boul on y Me cedes H. Rosas 1. In oducci´on Jacobo Be noulli (1654 – 1705) publica T ac a us de Se iebus In ini as en 1689. En es a ob a, el p ime o de la dinas ´ıa de los Be noulli, demos a ´a la di e genia de la se ie a m´onica y es udia ´a la noci´on de con e gencia. Tambi´en consegui ´a la suma de unas pocas se ies, log ando educi las a geom´e icas y elesc´opicas. Pese a odo el desa ollo que ha su ido la ma em´a ica desde inales del siglo XVII, no son muchas las se ies que podemos suma de mane a exac a. En su T ac a us, Be noulli plan ea lo que se conoce ´a pos e io men e como el “p ob- lema de Basilea”: Se desea conoce la suma de los ec´ıp ocos de los cuad ados de los n´ume os na u ales. La his o ia de la soluci´on de es e p oblema coincide con una ´epoca de g andes cambios en la mane a de concebi las ma em´a icas. En el o o˜no de 1666 el jo en Isaac New on (1643 – 1727) in en a el c´alculo ma em´a ico. Un a˜no an es ha p obado su amoso eo ema del binomio. New on gua da ´a celosamen e sus esul ados. No es sino has a el a˜no de 1687 que pu- blica ´a Philosophiae Na u alis P incipia Ma hema ica (o P incipia Ma em´a ica como se le conoce ac ualmen e), y espe a ´a has a 1711 pa a publica Analysis pe Quan i a um Se ies, Fluxiones. A pa i de 1675 el il´oso o y ma em´a ico Go ied Leibniz (1640 – 1716) desa olla el c´alculo de mane a independien e de New on. Al con a io de ´es e, Leibniz decide comunica sus esul ados, pu- blic´andolos en 1684, y es g acias al segundo que las academias de inales del siglo XVII comienzan a hace uso de es a pode osa he amien a. En 1705 mue e Jacobo Be noulli sin conoce la soluci´on al p oblema de Basilea y sin e publicada su ob a, A s Conjec andi, un a ado donde de- sa olla la eo ´ıa de p obabilidades, el cual apa ece pos e io men e en 1713. El p oblema de Basilea in iga a g andes ma em´a icos de la ´epoca como Jo- hann y Daniel Be noulli, Leibniz, S i ling y de Moi e. Todos ellos a an de esol e lo, sin ´exi o. En el a˜no de 1731, un jo en es udian e del he mano de Ja- cobo, Johann Be noulli (1667 – 1748), so p ende a su maes o con una soluci´on muy ingeniosa. Leonha d Eule (1707 – 1783) demues a que el p oblema de Basilea iene soluci´on π2/6, u ilizando las unciones sim´e icas. En 1748 Eule publica ´a In oduc io in Analysin In ini o um, en donde e oluciona el c´alculo ma em´a ico al de ini el concep o de unci´on y es udia de mane a sis em´a ica sus expansiones en se ies. 90 L. Boul on, M. Rosas Hoy en d´ıa, las nociones de de i ada y expansi´on en se ies de una unci´on, pe mi en halla la suma exac a de se ies in ini as como ∞ X n=1 np 2ndonde p= 0,1,2,· · · Pa a el caso p= 0, no enemos o a cosa que la se ie geom´e ica e aluada en 1/2. Pa a p > 0, lo que enemos es el ´e mino p incipal de la de i ada de ´es a, e aluado en ese mismo pun o. Pa a halla la suma, debemos de i a p eces a 1/(1 −z), aisla el ´e mino p incipal de mane a que s´olo dependa de se ies del mismo ipo con po encias pde meno ´o den, y luego e alua en z= 1/2. Sin emba go, como hemos comen ado, es a o ma de p ocede no se in en ´o sino has a mediados del siglo XVIII. A con inuaci´on mos amos —haciendo un eje cicio de imaginaci´on— que es posible suma es as se ies con las he amien as ma em´a icas desa olladas has a 1689, sin inclui las ideas del c´alculo. Es deci , es pe ec amen e plausible que Jacobo Be noulli hubiese podido suma de mane a exac a es as se ies. Se sabe que cie amen e esol i´o los casos p= 0 y p= 1, pe o no se sabe de ninguna uen e que indique que conoc´ıa la soluci´on pa a los o os casos. 2. Las es p ime as de i adas de la se ie geom´e ica Comencemos con el caso p= 0. El amoso papi o de Rhind, ac ualmen e en el B i ish Museum de Lond es, mues a que ya los egipcios sab´ıan c´omo suma la se ie geom´e ica. Hoy en d´ıa conocemos a ias mane as de hace ´es o. Po ejemplo, el siguien e dibujo ilus a a un ec ´angulo de ´a ea uno. Si lo des- componemos como una uni´on de ec ´angulos m´as peque˜nos, podemos calcula su ´a ea, sumando el ´a ea de cada uno de los pedazos, [2], 1/4 1/8 1/32 ... 1/64 1/16 1/2 Figu a 1: Ambos esul ados han de se iguales, as´ı que ∞ X n=1 1 2n=1 2+1 4+1 8+1 16 +··· = 1. sumando la de i ada de la se ie geom´ e ica 91 Aho a que sabemos c´omo suma la se ie geom´e ica, podemos in en a hace lo mismo con su de i ada, [1]. Deseamos encon a el alo de P∞ n=1 n 2n.Pa a ello, cada sumando de es a se ie puede se colocado en las ilas del siguien e a eglo cuya suma se puede calcula de mane a sencilla hallando la suma de cada columna: 1/2 1/4 1/4 1/8 1/8 1/8 1/16 1/16 1/16 1/16 . . . . . . . . . . . . 1 1/2 1/4 1/8 + + + = 2 = + ... Figu a 2: Ob enemos as´ı que ∞ X n=1 n 2n=1 2+2 22+3 23+4 24+··· = 2. Veamos qu´e podemos hace aho a pa a suma la segunda de i ada de la se ie geom´e ica. Aho a debemos halla ∞ X n=1 n2 2n=1 2+22 22+32 23+42 24+··· (1) Pa a es o cons uimos una pi ´amide como la que ilus a la igu a 4, a base de cubos del mismo ama˜no, y ales que el peso de los cubos en cada ni el, es la mi ad del peso de los del ni el supe io . El ope de es a pi ´amide pesa media unidad. Pa a calcula cu´an o suma la se ie (1), debemos consegui el peso o al de la pi ´amide. La pa ed ex e io pesa 92 L. Boul on, M. Rosas Figu a 3: Si descomponemos nues a pi ´amide po capas como lo indican los colo es de la siguien e igu a, Figu a 4: concluimos que la se ie (1) suma 6. Aho a, si uese nues a in enci´on suma la e ce a de i ada de la se ie geo- m´e ica u ilizando el mismo p ocedimien o, end ´ıamos que sabe dibuja en cua o dimensiones. Como no es el caso, una peque˜na modi icaci´on del a gu- men o an e io nos pe mi i ´a queda nos den o del espacio de es dimensiones. Que emos demos a que 1 2+23 22+33 23+43 24+··· = 26.(2) Pa a es o cons uimos una pi ´amide como la que ilus a la igu a 6, a base de cubos cuyo peso disminuye a la mi ad siemp e que bajamos un ni el. El peso sumando la de i ada de la se ie geom´ e ica 93 o al de es a pi ´amide co esponde con la suma de la se ie (2). El peso de la pa ed ex e io es 10: Figu a 5: Las apas supe io es de cada ni el deben se pesadas po sepa ado, eco dando que ya la pa ed ex e io ha sido omada en cuen a. Es o se log a o mando con es os cubos una nue a pi ´amide como la ya u ilizada en la igu a 3, eniendo en cuen a que el ope aho a comienza pesando 1/4. En consecuencia la suma o al de la se ie (2) es Figu a 6: 94 L. Boul on, M. Rosas 3. De i adas de o den supe io Deseamos aho a cons ui a gumen os del mismo es ilo, pa a halla la suma de las de i adas de o den supe io de la se ie geom´e ica. Es deci , que emos halla ∞ X n=p np 2n=1 2+2p 22+3p 23+··· donde p= 4,5,.... Pa a ello p ocedemos de mane a an´aloga al caso p= 1 ya discu ido, pe o cambiando con enien emen e el peso de cada cuad ado. Po ejemplo, pa a p= 2, enemos 1/2 2/4 2/4 3/8 3/8 3/8 4/16 4/16 4/16 4/16 Figu a 7: Sumando po columnas, se ob iene ∞ X n=1 n2 2n= ∞ X n=1 n 2n+ ∞ X n=1 n+ 1 2n+1 +...+ ∞ X n=1 n+k 2n+k+. . . = ∞ X n=1 ∞ X k=0 n+k 2n+k= ∞ X n=1 ∞ X k=0 n 2n+k+ ∞ X n=1 ∞ X k=0 k 2n+k = ∞ X n=1 n 2n ∞ X k=0 1 2k+ ∞ X n=1 1 2n ∞ X k=1 k 2k = 2 ·2+1·2 = 6. Se puede obse a que el a eglo de la igu a 7 no es m´as que una p oyecci´on al plano de la pi ´amide cons uida en la igu a 4, donde cada casilla indica la suma del peso de los bloques en di ecci´on pe pendicula a la p oyecci´on. Que emos gene aliza es e a gumen o pa a p+ 1 = 4,5,.... Pa a es o debe- mos conside a los a eglos desc i os en la siguien e igu a sumando la de i ada de la se ie geom´ e ica 95 1p/2 2p/4 2p/4 3p/8 3p/8 3p/8 4p/16 4p/16 4p/16 4p/16 Figu a 8: cuya suma de nue o se ob iene calculando po sepa ado el peso de cada columna. Asumimos, po inducci´on, que sabemos calcula la suma de las de i adas de o den meno o igual a p, y ob enemos ∞ X n=1 np+1 2n= ∞ X n=1 np 2n+ ∞ X n=1 (n+ 1)p 2n+1 +...+ ∞ X n=1 (n+k)p 2n+k+. . . = ∞ X n=1 np 2n+ ∞ X k=1 ∞ X n=1 (n+k)p 2n+k = ∞ X n=1 np 2n+ ∞ X k=1 ∞ X n=1 1 2n+k p X j=0 p jnp−jkj = ∞ X n=1 np 2n+ p X j=0 p j∞ X k=1 kj 2k ∞ X n=1 np−j 2n. Es o p opo ciona una mane a ecu si a de calcula las sumas de las de i adas p-´esimas de la se ie a m´onica. Si S(p) = ∞ X n=1 np 2nyS(1) = 1, S(p+ 1) = S(p) + p X j=0 p jS(j)S(p−j). Po ejemplo pa a el caso p+ 1 = 3 ob enemos ∞ X n=1 n3 2n= 6 + 1 ·6+2·2·2+6·1 = 26, 96 L. Boul on, M. Rosas lo que con i ma nues a cuen a an e io , y ´es e pe mi e halla el caso p+ 1 = 4, ∞ X n=1 n4 2n= 26 + 1 ·26 + 3 ·2·6+3·6·2 + 26 ·1 = 150. Es in e esan e obse a que, as´ı como sucedi´o pa a p= 2, cada a eglo en los casos p= 3,4,... co esponde a la p oyecci´on plana de una pi ´amide en el espacio p+ 2 dimensional o mada po cubos (p+ 1)-dimensionales, y que el peso de cada casilla co esponde a la suma del peso de los cubos en di ecci´on pe pendicula a la p oyecci´on. 4. P egun as y comen a ios Hemos ob enido la siguien e sucesi´on de n´ume os na u ales 1,2,6,26, 150,1082, 9366,94586,1091670,14174522,204495126, ... Es imposible e i a p egun a se: ¿Qu´e cuen an es os n´ume os? La espues a podemos encon a la en la p´agina de N.J.A. Sloane: h p://www. esea ch.a .com/~njas/sequences/index.h ml Visi ando es a pagina en la in e ne , e in oduciendo los p ime os alo es de la sucesi´on 1, 2, 6, 26, 150, ···, el lec o encon a ´a e e encias ace ca de la siguien e in o maci´on. La ecu si´on S(p), cuen a el n´ume o de colla es que se pueden cons ui con un conjun o de pde pe las e ique adas. Adem´as S(p) es el n´ume o de secuencias de cuan i icado es de p ime o den, l´ogicamen e di e en es, en las cuales ocu en p a iables. Tambi´en se puede p oba que es os n´ume os son coe icien es de las expansiones en se ie de po encias cen adas en el o igen de −ln(2 −ex) y de su de i ada ex/(2 −ex). Dejamos al lec o las siguien es p egun as que nos pa ecen de in e ´es gene al: ¿El a gumen o geom´e ico empleado se i ´a pa a calcula la suma de alguna o a se ie? ¿Es posible halla la suma de la de i ada de la se ie geom´e ica u ilizando a gumen os que in oluc en a la pi ´amide de la igu a 4 con cada uno de sus cubos pesados de mane a con enien e? En es e caso, ¿qu´e in e p e aci´on geom´e ica end ´ıa es a mane a de p o- cede ? 5. No a Final La e e encia his ´o ica de la secci´on in oduc o ia ue omada del lib o [1], cuya lec u a ecomendamos. Algunos de alles adicionales, como la in o maci´on del papi o de Rhind, ue on ob enidos de la p´agina de His o ia de la Ma em´a ica de la Uni e sidad de Sain And ews: h p://www-gap.dcs.s -and.ac.uk/~his o y sumando la de i ada de la se ie geom´ e ica 97 Tambi´en se puede encon a in o maci´on sob e es e papi o en la p´agina o icial del B i ish Museum de Lond es h p://www. heb i ishmuseum.ac.uk/ Que emos ag adece a A gimi o A a ia po sus muy ´u iles suge encias y a Ne io Bo ges po su in e ´es en es e abajo. Re e encias [1] Dunham, William, Eule : The mas e o us all. The Dolciani Ma hema ical Exposi ions, 22. Ma hema ical Associa ion o Ame ica, Washing on, DC, 1999. [2] Roge B. Nelsen, P oo wi hou wo ds II, Ma hema ical Associa ion o Ame ica, Washing on, DC, 2000. L. Boul on, M. Rosas Depa amen o de Ma em´ a icas Pu as y Aplicadas Uni e sidad Sim´ on Bol´ ı a , Venezuela. lb[email p o ec ed]e, [email p o ec ed]e