Sumando la derivada de la serie geométrica

Bolet´ın de la Asociaci´on Matem´atica Venezolana, Vol. X, No. 1 (2003) 89 MATEM ´ ATICAS RECREATIVAS Sumando la Derivada de la Serie Geom´etrica Lyonell Boulton y Mercedes H. Rosas 1. Introducci´on Jacobo Bernoulli (1654 – 1705) publica Tractatus de Seriebus Infinitas en 1689. En esta obra, el primero de la dinast´ıa de los Bernoulli, demostrar´a la divergenia de la serie arm´onica y estudiar´a la noci´on de convergencia. Tambi´en conseguir´a la suma de unas pocas series, logrando reducirlas a geom´etricas y telesc´opicas. Pese a todo el desarrollo que ha sufrido la matem´atica desde finales del siglo XVII, no son muchas las series que podemos sumar de manera exacta. En su Tractatus, Bernoulli plantea lo que se conocer´a posteriormente como el “problema de Basilea”: Se desea conocer la suma de los rec´ıprocos de los cuadrados de los n´umeros naturales. La historia de la soluci´on de este problema coincide con una ´epoca de grandes cambios en la manera de concebir las matem´aticas. En el oto˜no de 1666 el joven Isaac Newton (1643 – 1727) inventa el c´alculo matem´atico. Un a˜no antes ha probado su famoso teorema del binomio. Newton guardar´a celosamente sus resultados. No es sino hasta el a˜no de 1687 que publicar´a Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (o Principia Matem´atica como se le conoce actualmente), y esperar´a hasta 1711 para publicar Analysis per Quantitatum Series, Fluxiones. A partir de 1675 el fil´osofo y matem´atico Gottfried Leibniz (1640 – 1716) desarrolla el c´alculo de manera independiente de Newton. Al contrario de ´este, Leibniz decide comunicar sus resultados, public´andolos en 1684, y es gracias al segundo que las academias de finales del siglo XVII comienzan a hacer uso de esta poderosa herramienta. En 1705 muere Jacobo Bernoulli sin conocer la soluci´on al problema de Basilea y sin ver publicada su obra, Ars Conjectandi, un tratado donde desarrolla la teor´ıa de probabilidades, el cual aparece posteriormente en 1713. El problema de Basilea intriga a grandes matem´aticos de la ´epoca como Johann y Daniel Bernoulli, Leibniz, Stirling y de Moivre. Todos ellos tratan de resolverlo, sin ´exito. En el a˜no de 1731, un joven estudiante del hermano de Jacobo, Johann Bernoulli (1667 – 1748), sorprende a su maestro con una soluci´on muy ingeniosa. Leonhard Euler (1707 – 1783) demuestra que el problema de Basilea tiene soluci´on π2/6, utilizando las funciones sim´etricas. En 1748 Euler publicar´a Introductio in Analysin Infinitorum, en donde revoluciona el c´alculo matem´atico al definir el concepto de funci´on y estudiar de manera sistem´atica sus expansiones en series. 90 L. Boulton, M. Rosas Hoy en d´ıa, las nociones de derivada y expansi´on en series de una funci´on, permiten hallar la suma exacta de series infinitas como ∞ X n=1 np 2ndonde p= 0,1,2,· · · Para el caso p= 0, no tenemos otra cosa que la serie geom´etrica evaluada en 1/2. Para p > 0, lo que tenemos es el t´ermino principal de la derivada de ´esta, evaluado en ese mismo punto. Para hallar la suma, debemos derivar pveces a 1/(1 −z), aislar el t´ermino principal de manera que s´olo dependa de series del mismo tipo con potencias pde menor ´orden, y luego evaluar en z= 1/2. Sin embargo, como hemos comentado, esta forma de proceder no se invent´o sino hasta mediados del siglo XVIII. A continuaci´on mostramos —haciendo un ejercicio de imaginaci´on— que es posible sumar estas series con las herramientas matem´aticas desarrolladas hasta 1689, sin incluir las ideas del c´alculo. Es decir, es perfectamente plausible que Jacobo Bernoulli hubiese podido sumar de manera exacta estas series. Se sabe que ciertamente resolvi´o los casos p= 0 y p= 1, pero no se sabe de ninguna fuente que indique que conoc´ıa la soluci´on para los otros casos. 2. Las tres primeras derivadas de la serie geom´etrica Comencemos con el caso p= 0. El famoso papiro de Rhind, actualmente en el British Museum de Londres, muestra que ya los egipcios sab´ıan c´omo sumar la serie geom´etrica. Hoy en d´ıa conocemos varias maneras de hacer ´esto. Por ejemplo, el siguiente dibujo ilustra a un rect´angulo de ´area uno. Si lo descomponemos como una uni´on de rect´angulos m´as peque˜nos, podemos calcular su ´area, sumando el ´area de cada uno de los pedazos, [2], 1/4 1/8 1/32 ... 1/64 1/16 1/2 Figura 1: Ambos resultados han de ser iguales, as´ı que ∞ X n=1 1 2n=1 2+1 4+1 8+1 16 +··· = 1. sumando la derivada de la serie geom´ etrica 91 Ahora que sabemos c´omo sumar la serie geom´etrica, podemos intentar hacer lo mismo con su derivada, [1]. Deseamos encontrar el valor de P∞ n=1 n 2n.Para ello, cada sumando de esta serie puede ser colocado en las filas del siguiente arreglo cuya suma se puede calcular de manera sencilla hallando la suma de cada columna: 1/2 1/4 1/4 1/8 1/8 1/8 1/16 1/16 1/16 1/16 . . . . . . . . . . . . 1 1/2 1/4 1/8 + + + = 2 = + ... Figura 2: Obtenemos as´ı que ∞ X n=1 n 2n=1 2+2 22+3 23+4 24+··· = 2. Veamos qu´e podemos hacer ahora para sumar la segunda derivada de la serie geom´etrica. Ahora debemos hallar ∞ X n=1 n2 2n=1 2+22 22+32 23+42 24+··· (1) Para esto construimos una pir´amide como la que ilustra la figura 4, a base de cubos del mismo tama˜no, y tales que el peso de los cubos en cada nivel, es la mitad del peso de los del nivel superior. El tope de esta pir´amide pesa media unidad. Para calcular cu´anto suma la serie (1), debemos conseguir el peso total de la pir´amide. La pared exterior pesa 92 L. Boulton, M. Rosas Figura 3: Si descomponemos nuestra pir´amide por capas como lo indican los colores de la siguiente figura, Figura 4: concluimos que la serie (1) suma 6. Ahora, si fuese nuestra intenci´on sumar la tercera derivada de la serie geom´etrica utilizando el mismo procedimiento, tendr´ıamos que saber dibujar en cuatro dimensiones. Como no es el caso, una peque˜na modificaci´on del argumento anterior nos permitir´a quedarnos dentro del espacio de tres dimensiones. Queremos demostrar que 1 2+23 22+33 23+43 24+··· = 26.(2) Para esto construimos una pir´amide como la que ilustra la figura 6, a base de cubos cuyo peso disminuye a la mitad siempre que bajamos un nivel. El peso sumando la derivada de la serie geom´ etrica 93 total de esta pir´amide corresponde con la suma de la serie (2). El peso de la pared exterior es 10: Figura 5: Las tapas superiores de cada nivel deben ser pesadas por separado, recordando que ya la pared exterior ha sido tomada en cuenta. Esto se logra formando con estos cubos una nueva pir´amide como la ya utilizada en la figura 3, teniendo en cuenta que el tope ahora comienza pesando 1/4. En consecuencia la suma total de la serie (2) es Figura 6: 94 L. Boulton, M. Rosas 3. Derivadas de orden superior Deseamos ahora construir argumentos del mismo estilo, para hallar la suma de las derivadas de orden superior de la serie geom´etrica. Es decir, queremos hallar ∞ X n=p np 2n=1 2+2p 22+3p 23+··· donde p= 4,5,.... Para ello procedemos de manera an´aloga al caso p= 1 ya discutido, pero cambiando convenientemente el peso de cada cuadrado. Por ejemplo, para p= 2, tenemos 1/2 2/4 2/4 3/8 3/8 3/8 4/16 4/16 4/16 4/16 Figura 7: Sumando por columnas, se obtiene ∞ X n=1 n2 2n= ∞ X n=1 n 2n+ ∞ X n=1 n+ 1 2n+1 +...+ ∞ X n=1 n+k 2n+k+. . . = ∞ X n=1 ∞ X k=0 n+k 2n+k= ∞ X n=1 ∞ X k=0 n 2n+k+ ∞ X n=1 ∞ X k=0 k 2n+k = ∞ X n=1 n 2n ∞ X k=0 1 2k+ ∞ X n=1 1 2n ∞ X k=1 k 2k = 2 ·2+1·2 = 6. Se puede observar que el arreglo de la figura 7 no es m´as que una proyecci´on al plano de la pir´amide construida en la figura 4, donde cada casilla indica la suma del peso de los bloques en direcci´on perpendicular a la proyecci´on. Queremos generalizar este argumento para p+ 1 = 4,5,.... Para esto debemos considerar los arreglos descritos en la siguiente figura sumando la derivada de la serie geom´ etrica 95 1p/2 2p/4 2p/4 3p/8 3p/8 3p/8 4p/16 4p/16 4p/16 4p/16 Figura 8: cuya suma de nuevo se obtiene calculando por separado el peso de cada columna. Asumimos, por inducci´on, que sabemos calcular la suma de las derivadas de orden menor o igual a p, y obtenemos ∞ X n=1 np+1 2n= ∞ X n=1 np 2n+ ∞ X n=1 (n+ 1)p 2n+1 +...+ ∞ X n=1 (n+k)p 2n+k+. . . = ∞ X n=1 np 2n+ ∞ X k=1 ∞ X n=1 (n+k)p 2n+k = ∞ X n=1 np 2n+ ∞ X k=1 ∞ X n=1 1 2n+k p X j=0 p jnp−jkj = ∞ X n=1 np 2n+ p X j=0 p j∞ X k=1 kj 2k ∞ X n=1 np−j 2n. Esto proporciona una manera recursiva de calcular las sumas de las derivadas p-´esimas de la serie arm´onica. Si S(p) = ∞ X n=1 np 2nyS(1) = 1, S(p+ 1) = S(p) + p X j=0 p jS(j)S(p−j). Por ejemplo para el caso p+ 1 = 3 obtenemos ∞ X n=1 n3 2n= 6 + 1 ·6+2·2·2+6·1 = 26, 96 L. Boulton, M. Rosas lo que confirma nuestra cuenta anterior, y ´este permite hallar el caso p+ 1 = 4, ∞ X n=1 n4 2n= 26 + 1 ·26 + 3 ·2·6+3·6·2 + 26 ·1 = 150. Es interesante observar que, as´ı como sucedi´o para p= 2, cada arreglo en los casos p= 3,4,... corresponde a la proyecci´on plana de una pir´amide en el espacio p+ 2 dimensional formada por cubos (p+ 1)-dimensionales, y que el peso de cada casilla corresponde a la suma del peso de los cubos en direcci´on perpendicular a la proyecci´on. 4. Preguntas y comentarios Hemos obtenido la siguiente sucesi´on de n´umeros naturales 1,2,6,26, 150,1082, 9366,94586,1091670,14174522,204495126, ... Es imposible evitar preguntarse: ¿Qu´e cuentan estos n´umeros? La respuesta podemos encontrarla en la p´agina de N.J.A. Sloane: http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html Visitando esta pagina en la internet, e introduciendo los primeros valores de la sucesi´on 1, 2, 6, 26, 150, ···, el lector encontrar´a referencias acerca de la siguiente informaci´on. La recursi´on S(p), cuenta el n´umero de collares que se pueden construir con un conjunto de pde perlas etiquetadas. Adem´as S(p) es el n´umero de secuencias de cuantificadores de primer orden, l´ogicamente diferentes, en las cuales ocurren pvariables. Tambi´en se puede probar que estos n´umeros son coeficientes de las expansiones en serie de potencias centradas en el origen de −ln(2 −ex) y de su derivada ex/(2 −ex). Dejamos al lector las siguientes preguntas que nos parecen de inter´es general: ¿El argumento geom´etrico empleado servir´a para calcular la suma de alguna otra serie? ¿Es posible hallar la suma de la derivada de la serie geom´etrica utilizando argumentos que involucren a la pir´amide de la figura 4 con cada uno de sus cubos pesados de manera conveniente? En este caso, ¿qu´e interpretraci´on geom´etrica tendr´ıa esta manera de proceder? 5. Nota Final La referencia hist´orica de la secci´on introductoria fue tomada del libro [1], cuya lectura recomendamos. Algunos detalles adicionales, como la informaci´on del papiro de Rhind, fueron obtenidos de la p´agina de Historia de la Matem´atica de la Universidad de Saint Andrews: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history sumando la derivada de la serie geom´ etrica 97 Tambi´en se puede encontrar informaci´on sobre este papiro en la p´agina oficial del British Museum de Londres http://www.thebritishmuseum.ac.uk/ Queremos agradecer a Argimiro Arratia por sus muy ´utiles sugerencias y a Nerio Borges por su inter´es en este trabajo. Referencias [1] Dunham, William, Euler: The master of us all. The Dolciani Mathematical Expositions, 22. Mathematical Association of America, Washington, DC, 1999. [2] Roger B. Nelsen, Proof without words II, Mathematical Association of America, Washington, DC, 2000. L. Boulton, M. Rosas Departamento de Matem´ aticas Puras y Aplicadas Universidad Sim´ on Bol´ ıvar, Venezuela. lb[email protected]e, [email protected]e