Anales de Mecánica de la F ac u a 25, Vol. 2 (2008)
INFLUENCIA DE LA LONGITUD DE INICIACIÓN EN LAS PREDICCIONES DE VIDA A FATIGA POR
FRETTING
C. Na a o, S. Muñoz, J. Domínguez
Depa amen o de Ingenie ía Mecánica y de los Ma e iales, Escuela Supe io de Ingenie os,
Uni e sidad de Se illa, Camino de los Descub imien os s/n,
41092 Se illa, España.
E-mail: [email p o ec ed]
RESUMEN
En a iga se suelen dis ingui dos ases en el p oceso de desa ollo de una g ie a: iniciación y p opagación. Pa a la
de e minación de la ida a a iga de un elemen o exis en nume osos modelos que combinan ambas ases, de e minando
la ida o al como la suma de los núme os de ciclos ocupados en iniciación, Ni, y en p opagación, Np. Pa a la aplicación
de es os modelos es necesa io de ini la longi ud de la g ie a en el ins an e en que se conside a que e mina la iniciación
y comienza la p opagación: longi ud de iniciación, ai. Gene almen e es a longi ud se suele de ini a p io i, ya sea en
unción del amaño de g ie a más pequeño de ec able, de cómo es é de inida la cu a S-N, escogiendo la longi ud de
iniciación que mejo ajus e los esul ados expe imen ales, e c. El obje i o de es e a ículo es analiza la in luencia de
dicha longi ud de iniciación sob e la ida a a iga es imada. Pa a de ini el núme o de ciclos necesa io pa a inicia una
g ie a de longi ud ai, el modelo u ilizado emplea una cu a S-Ni ob enida a pa i de una cu a S-N a la que se le es a
el núme o de ciclos de p opagación desde la longi ud de iniciación de inida. Es e modelo se aplica a un conjun o de
esul ados expe imen ales de a iga po e ing ob enidos con con ac o es é ico.
ABSTRACT
Two di e en phases a e usually dis inguished in he c ack g ow h p ocess: ini ia ion and p opaga ion. Nume ous
models o he de e mina ion o a igue li e exis ha combine bo h phases, de e mining o al li e as he sum o he
numbe o cycles spen in ini ia ion, Ni, and p opaga ion, Np. In o de o apply hese models i is necessa y o de ine he
c ack leng h whe e i is conside ed ha ini ia ion inishes and p opaga ion begins: he ini ia ion leng h, ai. This leng h is
usually de ined a p io i as a unc ion o he size o he smalles de ec able c ack, how he S-N cu e is de ined,
choosing he alue ha be e i s he expe imen al esul s, e c. The objec i e o his pape is o analyze he in luence o
such ini ia ion leng h o e he es ima ed a igue li e. The model used calcula es he ini ia ion phase om an S-N cu e
whe e he p opaga ion cycles om he de ined ini ia ion leng h ha e been sub ac ed. This model is applied o a g oup
o e ing a igue es s wi h sphe ical con ac .
PALABRAS CLAVE: Fa iga po e ing, P edicción de ida.
1. INTRODUCCIÓN
La a iga po e ing puede apa ece cuando dos
elemen os en an en con ac o y se p oduce una icción
en e ellos debido a las ue zas a iables aplicadas. Es e
enómeno se puede da p ác icamen e en cualquie
máquina o es uc u a, aunque no siemp e es el causan e
de las ac u as que se p oducen [1]. El e ec o de es e
enómeno es c ea una concen ación de ensiones en la
zona de con ac o, que p o oca una iniciación emp ana
de las g ie as.
En el p oceso de a iga se suelen dis ingui dos ases:
iniciación de la g ie a y p opagación de la misma. La
impo ancia de una ase en e a o a depende de
muchos ac o es. Pa a la p edicción de la ida a a iga,
en algunas si uaciones se puede desp ecia una de ellas,
mien as que en o as no. La p incipal di icul ad de
combina ambas ases es decidi dónde e mina una y
empieza la o a, es deci , qué longi ud ai, se conside a
que iene la g ie a al inicia la ase de p opagación. En
los modelos que combinan ambas ases, es a sepa ación,
longi ud de iniciación, ai, se suele de ini a p io i en
unción de cuál sea el amaño de g ie a más pequeño
de ec able, de cómo es é de inida la cu a S-N,
escogiendo la longi ud de iniciación que mejo ajus e
los esul ados expe imen ales, e c. Además, hay
di e sas o mas de modela la ase de iniciación en
cuan o a dónde y cómo e alua las ensiones. El
obje i o de es e a ículo es analiza la in luencia de
dicha longi ud de iniciación sob e la ida a a iga
es imada. Pa a de ini el núme o de ciclos, Ni, necesa io
pa a inicia una g ie a de longi ud ai, el modelo
u ilizado emplea una cu a S-Ni ob enida a pa i de una
cu a S-N a la que se le es a el núme o de ciclos de
p opagación desde la longi ud de iniciación de inida.
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Es e modelo se aplica a un conjun o de esul ados
expe imen ales de a iga po e ing ob enidos con
con ac o es é ico.
2. ENSAYOS
El esquema de los ensayos modelados se mues a en la
igu a 1. Inicialmen e, sob e los elemen os de con ac o,
se aplica una ue za no mal, cons an e, N.
Pos e io men e se aplica la ue za axial a iable, P,
sob e la p obe a, que p o oca una ensión axial
nominal,
σ
. La igidez, K, del sopo e de los elemen os
de con ac o hace que apa ezca como esul ado una
ue za angencial, Q, ambién a iable.
Q
Q
P
K
K
N
N
Figu a 1. Esquema del mon aje de un ensayo de
e ing.
Los ensayos analizados ue on ealizados sob e la
aleación de aluminio 7075 T651 donde el con ac o se
p oducía en e una es e a de adio R=100 mm y una
supe icie plana. Los ensayos se pueden di idi en dos
g upos. El p ime o son 19 ensayos que e mina on con
la ac u a de la p obe a [2]. En el segundo g upo, pa a
cada combinación de ue zas aplicadas se ealiza on
a ios ensayos: un p ime ensayo donde se llegó has a
la o u a; los siguien es ensayos con las mismas ca gas
se in e umpie on a dis in os núme os de ciclos an es de
que llega an a ompe . Las p obe as esul an es de es os
ensayos se analiza on pos e io men e con el obje i o de
de e mina el amaño de las posibles g ie as exis en es
en la misma [3].
3. MODELO
El modelo u ilizado pa a la p edicción de ida es á
basado en o o p opues o po los au o es [4] y iene la
ca ac e ís ica de que combina las ases de iniciación y
de p opagación. Consis e en p ime luga en de ini una
longi ud de iniciación, es deci , ija dónde e mina la
iniciación y comienza la p opagación y analiza cada
una po sepa ado.
Pa a la ase de p opagación se emplea la mecánica de la
ac u a omando como longi ud inicial la longi ud de
iniciación de inida, ai. La ley de c ecimien o u ilizada
a a de modela el c ecimien o de g ie as pequeñas
dado que la longi ud de iniciación de inida puede se
del o den de mic as. La o ma de hace lo es
in oduciendo un umb al de c ecimien o modi icado en
unción de la longi ud de g ie a [2]:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⋅−= ∞
n
/
h
n
laa
a
KKC
dN
da 21
00
ΔΔ
(1)
En la ecuación (1) ΔK h∞ es el umb al de c ecimien o de
g ie a la ga, es un pa áme o que de o ma gene al se
oma igual a 2.5 [5], l0 es la dis ancia ípica has a la
p ime a ba e a mic oes uc u al y a0 es la llamada
cons an e de El Haddad que iene de inida po la
exp esión
2
0
1⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=∞
FL
h
K
a
σΔ
Δ
π
(2)
donde ΔσLF es el lími e de a iga. El ac o que
mul iplica al umb al de c ecimien o de g ie a la ga en la
ecuación (1) p o iene de la ap oximación eó ica al
diag ama de Ki agawa-Takahashi, en el que se
ep esen a la ensión umb al en unción de la longi ud
de g ie a. Se han ensayado o as o mas de ene en
cuen a el c ecimien o de g ie as pequeñas [2,3], siendo
la mos ada en la ecuación (1) la que mejo se ajus a a
los esul ados expe imen ales de a iga po e ing.
El modelo p esen ado en es e a ículo analiza la ase de
iniciación basándose en el abajo de McClung e al. [6]
pa a en allas. El p ime paso consis e en la ob ención de
una cu a de a iga, i
a
NS |−, en p obe as lisas y sin
e ing que p opo cione el núme o de ciclos necesa io
pa a gene a una g ie a de longi ud ai. Pa a cada ni el
de ensiones, Sj, el núme o de ciclos de es a cu a,
ijaS
N, se ob iene a pa i de la ecuación:
∫
−=−=
i
jjij
a
an
Sip SaS KC
da
N)a(NNN
Δ
(3)
Donde j
SN es el núme o de ciclos has a el allo
ob enido en un ensayo de a iga simple con ensión Sj, ai
es la longi ud de iniciación y a es la longi ud a la que se
p oduce la ac u a.
Es as cu as, a las que se ha á e e encia como cu as
de iniciación, se p esen an en la igu a 2 pa a cua o
casos dis in os: ac u a o al, gene ación de una g ie a
de 100, 50 y 10 mic as. E iden emen e, cuando
disminuye el ni el de ensiones aumen a la acción de
ida dedicada a la iniciación.
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Anales de Mecánica de la F ac u a 25, Vol. 2 (2008)
Figu a 2. Cu as S-N de iniciación pa a la gene ación
de dis in as longi udes de g ie a.
En el caso de que se es u ie a aplicando el modelo a un
ensayo de a iga simple, una ez de inida la longi ud de
iniciación, ai, se calcula ía el núme o de ciclos de
iniciación in oduciendo la ensión aplicada en la cu a
i
a
NS |− an e io men e ob enida. Sumando la
p opagación calculada median e la mecánica de la
ac u a se ob end ía de nue o el núme o de ciclos o al.
Es o es algo ob io en el caso de a iga simple. En el
caso de la a iga po e ing se puede aplica el mismo
p oceso aunque con algunas modi icaciones y
ad e encias. En la a iga po e ing exis e un al o
g adien e de ensiones ce ca de la supe icie, es deci , la
ensión disminuye ápidamen e con la p o undidad,
desde un máximo en la supe icie. En unción de dónde
se e alúen las ensiones den o de la zona de in e és, es
deci , la zona en e la supe icie y una p o undidad
igual a la longi ud de iniciación escogida, la ida de
iniciación se á una u o a. Las dis in as al e na i as que
se p oponen son:
i) E alua las ensiones en la supe icie. Con es e ni el
de ensiones, que es el máximo en dicha zona, la
cu a i
a
NS |−p opo ciona á un núme o de ciclos
de iniciación meno que el eal pues o que la cu a
i
a
NS |− es á basada en una si uación sin
g adien e. Es o quie e deci que se ob end ía una
co a in e io del núme o de ciclos pa a la iniciación
de una g ie a de amaño ai en a iga po e ing.
ii) E alua las ensiones a una p o undidad igual a la
longi ud de iniciación escogida, ai. En es e caso la
cu a i
a
NS |− p opo ciona á un núme o de ciclos
de iniciación mayo que el eal. Es deci , se
ob end ía una co a supe io del núme o de ciclos
pa a la iniciación de una g ie a de amaño ai en
a iga po e ing. Es a a ian e es la que u iliza
McClung en su abajo.
iii) E alua las ensiones en un pun o in e medio en e
la supe icie y la p o undidad ai o calcula la ensión
media en e la supe icie y dicha p o undidad. Con
es a opción se ob iene un núme o de ciclos de
iniciación comp endido en e los alo es ob enidos
en los pun os i) y ii). En es e caso se ob end á un
núme o de ciclos pa a la iniciación de una g ie a de
amaño ai en a iga po e ing más ce cano al eal
y, en cualquie caso, siemp e se puede aco a el
o den de magni ud del e o median e i) y ii).
Independien emen e de dónde se e alúen las ensiones,
en la ase de iniciación es necesa io in oduci un
c i e io de a iga mul iaxial debido al ca ác e de las
ensiones en e ing a iga, en es e caso se emplea á el
de McDia mid [7].
Con es e modelo de p edicción de ida se puede
plan ea la p egun a de qué alo de longi ud de
iniciación es más co ec o escoge y cómo in luye la
elección de dicha longi ud en la es imación de la ida a
a iga y de la e olución de la g ie a.
4. RESULTADOS
4.1. P edicción de la e olución de la g ie a
Las igu as 3, 4 y 5 mues an la e olución p edicha de
la g ie a con el modelo iii, u ilizando la ensión media
en e la supe icie y ai pa a calcula la iniciación, en los
ensayos que ue on in e umpidos a dis in os núme os
de ciclos [3]. Los cí culos blancos en dichas igu as
ep esen an los alo es de las longi udes de g ie a
medidos expe imen almen e en los dis in os ensayos. En
conjun o ue on es g upos de ensayos, cada uno con
un conjun o de ue zas de e minado. Es as es imaciones
ue on ealizadas u ilizando dis in as longi udes de
iniciación, a iando en e 5 y 200 mic as.
En es as igu as se puede obse a que la p edicción de
la e olución de la g ie a es p ác icamen e idén ica pa a
longi udes de iniciación meno es de 100 mic as.
Además, el c ecimien o de g ie a es imado es muy
simila al que se p oduce en la ealidad. Po o o lado,
u ilizando una longi ud de iniciación de 100 mic as la
ida es imada es simila aunque ya la e olución de la
g ie a no es la misma. Todo es o implica que, al menos
en los casos analizados: i) el modelo u ilizado p edice
co ec amen e an o la ida como la e olución de la
g ie a; ii) el modelo es obus o en e a la elección de la
longi ud de iniciación den o de un cie o ango y iii) el
núme o de ciclos de iniciación has a una de e minada
longi ud de la g ie a se puede es ima azonablemen e
bien a pa i de la cu a S-N modi icada. Es a úl ima
conclusión es impo an e po que la iniciación es más
di ícil de modela y se plan ea la cues ión de has a
dónde se puede conside a iniciación y dónde empieza
la p opagación. De es a o ma se pueden modela las
dos ases de o ma solapada y esul a menos
de e minan e el ija el lími e en e una y o a.
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Anales de Mecánica de la F ac u a 25, Vol. 2 (2008)
Figu a 3. E olución de la g ie a en los ensayos con
σ = 45 MPa, Q = 210 N y N = 420 N.
Figu a 4. E olución de la g ie a en los ensayos con
σ = 60 MPa, Q = 120 N y N = 240 N.
Figu a 5. E olución de la g ie a en los ensayos con
σ = 82 MPa, Q = 30 N y N = 60 N.
El núme o de ciclos de iniciación es imado pa a
dis in as longi udes de g ie a con el modelo p esen ado
se puede conside a como la e olución de la g ie a
p edicha po la ase de iniciación, igu as 3 a 5. Es a
e olución es imada se ap oxima a los expe imen os sólo
has a una p o undidad de 100 mic as. La explicación
puede esidi en la e olución de las ensiones ce ca de
la supe icie. La igu a 6 mues a la ensión máxima en
la di ección de la aplicación de la ca ga P en unción de
la p o undidad. Es a igu a mues a el ele ado g adien e
de ensiones que exis e y cómo pa a una p o undidad de
100 mic as las ensiones han llegado casi has a su alo
nominal. Po o o lado, un análisis más de allado de la
igu a mues a cómo en el ensayo con Q = 30 N las
ensiones debidas al con ac o son meno es y el g adien e
es meno . P ecisamen e pa a es e ensayo, la igu a 5
mues a cómo la es imación de la e olución de la g ie a
depende menos de la longi ud de iniciación elegida. A
es o se añade que cuan o más al o es el g adien e de
ensiones mayo puede se el e o come ido en la
es imación de la ida de iniciación, al como se comen ó
en el apa ado 3. A al a de ealiza análisis de es e ipo
en ensayos con o as ca ac e ís icas, se puede deci que
la p o undidad has a la que se ob ienen esul ados
acep ables en la es imación de la longi ud de g ie a a
a és de la ase de iniciación es á elacionada con el
mayo o meno g adien e y con la p o undidad has a
donde alcanza la in luencia de las ensiones del
con ac o.
Figu a 6. Tensión σ máxima en unción de la
p o undidad.
4.2 P edicción de ida
Aplicando el modelo de p edicción de ida al conjun o
de 19 ensayos ealizados con Al 7075 T651 y adio de
las es e a 100 mm [2] se ob iene un esul ado como el
mos ado en la igu a 7, donde se ep esen an las idas
es imadas en e a las eales, omando como longi udes
de iniciación 5 y 140 mic as. Al igual que en el apa ado
an e io , pa a es ima la ida de iniciación se u iliza la
ensión media en e la supe icie y ai.
Figu a 7. Vidas es imadas en e a expe imen ales con
una longi ud de iniciación de 5 y 140 mic as.
Las idas es imadas con una longi ud de iniciación de
140 mic as son más al as que con 5 mic as. Pa a pode
compa a mejo y de o ma obje i a los esul ados se
an a de ini dos pa áme os es adís icos. Pa a cada
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Anales de Mecánica de la F ac u a 25, Vol. 2 (2008)
ensayo se calcula el cocien e en e la ida es imada y la
eal:
expi
es i
iN
N
c= (4)
Idealmen e, el alo de ci debe ía se la unidad pe o el
modelo nunca es pe ec o y además siemp e hay una
dispe sión de esul ados en los ensayos de a iga. En
a iga es usual ep esen a los esul ados en una escala
loga í mica y usa una dis ibución loga í mico-no mal
pa a ajus a las idas pa a un de e minado ni el de
ensiones. Po es a azón la media y des iación ípica se
calculan sob e los loga i mos de ci. Finalmen e, los
pa áme os que desc iben los esul ados, y que se án los
mos ados en adelan e, son los an iloga i mos:
∑
=
=
n
ii
c
n
c1
log
1
10
ˆ (5)
()
2
1ˆ
1
1
10 ∑−⋅
−=
=
n
iicc
n
c
σ
(6)
Siguiendo es a me odología se ha analizado la
in luencia sob e la es imación de ida del alo de la
longi ud de iniciación escogida, igu a 8. Además, en
es a igu a se ha incluido el esul ado de es ima la ida
desp eciando la ase de iniciación y conside ando
exclusi amen e la p opagación desde las di e en es
longi udes de iniciación de inidas. En la igu a 8 se
puede comp oba que pa a longi udes de iniciación po
debajo de 20 mic as los esul ados son p ác icamen e
idén icos pa a los dos modelos de es imación de ida.
La igu a 9 mues a la p opo ción media, en e odos los
ensayos, de ida dedicada a iniciación, según el modelo
iii pa a iniciación. Tal como se mues a en la igu a, el
alo medio de la ase de iniciación en los ensayos
analizados pa a una longi ud de iniciación de 20 mic as
es á po debajo del 5%. Pa a longi udes mayo es de 20
mic as los dos modelos de p edicción de ida di e gen.
La igu a 8 mues a cómo las p edicciones de ida
u ilizando el modelo que combina las ases de iniciación
y p opagación se man ienen den o de un ango bas an e
azonable pa a longi udes de iniciación meno es de 100
mic as. Es o quie e deci que en los casos analizados,
con es e modelo, la elección del alo de la longi ud de
iniciación no es algo c í ico en la aplicación del mismo
den o del ango de 0 a 100 mic as. Po encima de es e
alo las p edicciones se dispa an. La azón se puede
encon a una ez más en la igu a 6, donde se
ep esen a la e olución de las ensiones en es casos
dis in os. El al o g adien e de las ensiones ce ca de la
supe icie hace más di ícil la ca ac e ización del
compo amien o de la g ie a a a és de una ensión
media en dicha zona, como ya se comen ó en el
apa ado 4.1, debido a que una pequeña a iación de
ensiones implica una g an a iación en la ida a a iga
ob enida de la cu a S-N. El que las idas p edichas
sean excesi amen e al as pa a longi udes de iniciación
mayo es de 100 mic as es debido a la ase de iniciación
e inducen a pensa que se es án minus alo ando las
ensiones a la ho a de es ima la ida de iniciación.
En cambio, si sólo se iene en cuen a la p opagación
desde la longi ud de iniciación elegida el e o siemp e
aumen a cuando se inc emen a el alo de la longi ud de
iniciación.
Figu a 8. Pa áme o de es imación de ida, ĉ, en
unción de la longi ud de iniciación con dos modelos de
p edicción.
Figu a 9. P opo ción de ida empleada en iniciación
en unción de la longi ud de iniciación escogida.
La dispe sión de los esul ados, σc, que idealmen e
debe ía se igual a la unidad, no es ele ada y aumen a
en los dos modelos con la longi ud de iniciación desde
un alo de 1.45 has a 1.8 ap oximadamen e, en el
ango de ai analizado.
En el apa ado 3 se comen a on las di e en es o mas de
es ima la du ación de la ase de iniciación en cuan o a
dónde y cómo e alua las ensiones. T es al e na i as
e an p opues as: e alua las ensiones en la supe icie, a
una p o undidad igual a la longi ud de iniciación, ai, y
oma la ensión media en e la supe icie y ai. Las dos
p ime as pueden se i como co as in e io y supe io
de las es imaciones de ida, igu a 10, siemp e que se
omen como co ec as las idas de p opagación
es imadas con las leyes de c ecimien o u ilizadas. Es o
quie e deci que es as co as a ec an a la idoneidad del
p oceso de es imación de la ida de iniciación. La igu a
10 mues a cómo e aluando las ensiones en la
supe icie se ob ienen unos esul ados muy pa ecidos a
los ob enidos conside ando exclusi amen e la
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Anales de Mecánica de la F ac u a 25, Vol. 2 (2008)
p opagación, mos ados en la igu a 8. Es o es debido a
que las ensiones en la supe icie son muy al as y po lo
an o el núme o de ciclos de iniciación muy pequeño.
En cambio, la co a supe io , que consis i ía en e alua
las ensiones en ai, p edice unas idas excesi amen e
al as pa a longi udes de iniciación supe io es a 50
mic as. Es o implica que su e ec i idad como co a
supe io queda muy limi ada debido p obablemen e al
al o g adien e de ensiones ce ca de la supe icie. Los
buenos esul ados ob enidos po McClung e al. [6] en
en allas e aluando las ensiones en ai, a pesa de habe
u ilizado alo es de ai del o den de 75 mic as, pueden
se debidos al pequeño g adien e, compa ado con el
caso de a iga po e ing, exis en e en los casos que
analiza on.
Figu a 10. Pa áme o ĉ, en unción de la longi ud de
iniciación. Cada cu a co esponde a uno de los es
modelos pa a iniciación: i, ii e iii, conside ando en es e
úl imo una ensión media en e la supe icie y ai.
5. CONCLUSIONES
Se ha p esen ado un nue o modelo de es imación de
ida en a iga po e ing que combina la iniciación con
la p opagación de g ie as ob eniendo buenos esul ados
an o en la p edicción de la ida como de la e olución
de la g ie a en a iga po e ing con con ac o es é ico.
En la ase de iniciación se han empleado unas cu as de
a iga modi icadas que de e minan el núme o de ciclos
pa a inicia una g ie a de un amaño de e minado. Las
p incipales conclusiones se de allan a con inuación.
La longi ud de iniciación escogida in luye poco en los
esul ados si es meno que la p o undidad a la que llega
la in luencia de las ensiones del con ac o. Además, la
longi ud elegida in luye más sob e la e olución inicial
de la g ie a p edicha que sob e la ida inal.
Es posible modela el compo amien o de la g ie a
cuando es pequeña a a és de las cu as de iniciación,
es deci , las cu as de a iga simple que p opo cionan el
núme o de ciclos pa a inicia una g ie a de un amaño
de e minado.
Pa a longi udes de iniciación muy pequeñas, del o den
de 2 mic as, se ob ienen muy buenos esul ados incluso
con el modelo que conside a exclusi amen e la
p opagación. Sin emba go, la aplicabilidad de las leyes
de c ecimien o pa a g ie as an pequeñas es dudosa. Po
ello es impo an e un modelo como el p opues o que
man iene una buena calidad de los esul ados pa a
longi udes de iniciación mayo es, en es e caso has a 100
mic as.
En cualquie caso, debe hace se el análisis de un
núme o mayo de casos, incluyendo o as geome ías
con dis in os g adien es de ensiones como el con ac o
cilínd ico, que pe mi an ex ende las conclusiones aquí
ob enidas.
AGRADECIMIENTOS
Los au o es ag adecen al Minis e io de Educación y
Ciencia la inanciación de la in es igación a a és del
p oyec o DPI2004-07782-C02-01.
REFERENCIAS
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