Q¨
UESTII´
O, ol. 26, 3, p. 429-441, 2002
IMPLEMENTACI ´
ON DEL C ´
ALCULO DE
POLINOMIOS ZONALES Y APLICACIONES EN
AN´
ALISIS MULTIVARIANTE
J. RODR´
IGUEZ-AVI
A. J. S ´
AEZ-CASTILLO
A. CONDE-S´
ANCHEZ
Uni e sidad de Ja´en∗
En es e abajo se desc ibe la implemen aci´
on de un algo i mo pa a el
c´
alculo de polinomios zonales, as´
ı como dos aplicaciones expl´
ıci as de
´
es os en el ´
ambi o del an´
alisis mul i a ian e. Conc e amen e, es a imple-
men aci´
on pe mi e ob ene esul ados de sumaci´
on ap oximados pa a un-
ciones hipe geom´
e icas de a gumen o ma icial que, a su ez, pueden u i-
liza se en la g´
enesis de dis ibuciones mul i a ian es disc e as con e-
cuencias sim´
e icas. De igual o ma, se pone en p ´
ac ica un conocido e-
sul ado e´
o ico que ca ac e iza la dis ibuci´
on de la meno a´
ız ca ac-
e ´
ıs ica de una ma iz alea o ia con dis ibuci´
on de Wisha .
Implemen ing calculus o zonal polynomials and applica ions in Mul-
i a ia e Analysis
Palab as cla e: Polinomioszonales, dis ibucionesdisc e as,dis ibuci´on
deWisha , uncioneshipe geom´e icasdea gumen oma-
icial
Clasi icaci´
on AMS (MSC 2000): 60E05, 62E15
*Dep. de Es ad´ıs ica e I.O. Despacho 147, Ed. D-3, Pa aje Las Lagunillas, Uni e sidad de Ja´en, 23071 Ja´en,
Espa˜na. Tel : + 34 953 012.207; ax: + 34 953 012.222; email: [email p o ec ed].
–Recibido en diciemb e de 2000.
–Acep ado en ab il de 2002.
429
1. INTRODUCCI ´
ON
Los polinomios zonales son una ex ensi´on mul i a ian e de las unciones po enciales.
La amiliade polinomiossim´e icos y homog´eneosquecons i uyenha sidoampliamen-
e u ilizada den o de la Es ad´ıs ica Ma em´a ica cl´asica en la exp esi´on de densidades y
dis ibuciones de o mas cuad ´a icas en poblaciones no males, pa a ex ende esul ados
conocidos de la es ad´ıs ica uni a ian e a un ambien e mul i a ian e (Mui head, 1982).
No obs an e, no se conocen ´o mulas gene ales pa a es os polinomios, ya que su de ini-
ci´on, como amos a e a con inuaci´on,los ca ac e iza como au o uncionesde un cie o
ope ado di e encial.
En conc e o, dada una ma iz sim´e ica Xm×mcon a´ıces ca ac e ´ıs icas x1,...,xmy
κ=(k1,...,km)una pa ici´on de ken no m´as de mpa es, el polinomio zonal de X
co espondien e a κ, deno ado po Cκ(X), es un polinomio sim´e ico homog´eneo de
g ado ken las a´ıces ca ac e ´ıs icas x1,...,xmque debe e i ica las siguien es es
condiciones:
1. El ´e mino de mayo peso es, sal o cons an e, xk1
1···xkm
m.
2. Ve i ica la ecuaci´on di e encial
(1) ∆XCκ(X)=ακCκ(X)
donde
∆X=
m
∑
i=1x2
i∂2
∂x2
i
+
m
∑
i=1
m
∑
1=j=i
x2
i
xi−xj
∂
∂xi
y
ακ=
m
∑
i=1
ki(ki−i)+k(m−1).
3. ( X)k=(x1+···+xm)k=∑κCκ(X), donde po ∑κdeno amos la suma en odas
las pa iciones del g ado k.
Al e na i amen e a es a ´ul ima condici´on, que se u iliza pa a la no malizaci´on de los
polinomios zonales, puede conside a se la e aluaci´on de es os polinomios en un pun o
conc e o. En es e sen ido
(2) Cκ(Im)=22kk!1
2mκ
p
∏
i<j(2ki−2kj−i+j)
p
∏
i<j(2ki+p−i)!
430
donde pes el n´ume o de pa es no nulas de κy, en gene al,
(3) (a)κ=(a)k1a−1
2k2
·····a−1
2(m−1)km
,
con (a)k=a(a+1)···(a+k−1),(a)0=1.
2. ALGORITMO DE C ´
ALCULO
Como se ha comen ado, de la de inici´on no puede deduci se una ´o mula expl´ıci a,
aunque s´ı un algo i mo de c´alculo (James, 1968), que desc ibimos seguidamen e.
Sea κ=(k1,...,km)una pa ici´on del en e o k. En onces, el monomio sim´e ico de una
ma iz Xm×mcon a´ıces ca ac e ´ıs icas x1,...,xmco espondien e a κse de ine como
Mκ(X)=xk1
1···xkm
m+ ´e minos sim´e icos.
El algo i mo de James es ablece que los polinomioszonales son combinacioneslineales
de monomios sim´e icos. Conc e amen e:
(4) Cκ(X)= ∑
λ≤κ
cκ,λMλ(X),
donde la suma o ia se hace sob e odas las pa iciones λde k ales que λ≤κy
(5) cκ,λ=∑
λ<µ≤κ
[(li+ )−(lj− )]
ρκ−ρλ
cκ,µ.
En es a exp esi´on,
(6) ρκ=
m
∑
i=1
ki(ki−i);
adem´as, λ=(l1,...,lm)yµ=(l1,...,li+ ,...,lj− ,...,lm),pa a =1,...,lj,son
ales que cuando las pa es de la pa ici´on µse o ganizan en o den descenden e, µes
mayo que λy meno o igual que κen o denlexicog ´a ico. La suma o ia en (5) es sob e
odas las posibles µ, y una suma ac´ıa se oma como ce o.
Median e es e algo i mo se de e minan odos los coe icien es cκ,λsal o el de mayo
peso; es deci , se de e mina el polinomio zonal sal o no malizaci´on. Desde el pun o
de is a compu acional, el algo i mo puede inicializa se conside ando cκ,κ=1 y cal-
culando los coe icien es cκ,λsal o cons an e mul iplica i a, que se ob iene median e
(2).
431
La implemen aci´on del algo i mo se ha ealizado empleando el p og ama MATLAB.
Los co espondien es a chi os uen e y las ins ucciones pa a su ejecuci´on no apa ecen
aqu´ı po b e edad, aunque pueden encon a se en la di ecci´on
h p://www.ujaen.es/dep/es in /pdi/ajsaez/so wa e.h ml.
3. APLICACIONES
En es e apa adose p esen ansendas aplicaciones enel ´ambi o dela es ad´ıs ica mul i a-
ian e que pueden lle a se a cabo g acias al conocimien o expl´ıci o de un buen n´ume o
de polinomios zonales calculados median e la me odolog´ıa expues a en la secci´on an-
e io .
3.1. Ap oximaci´
onde unciones hipe geom´
e icas de a gumen o ma icial y g´
ene-
sis de dis ibuciones mul i a ian es
Se de ine la unci´on hipe geom´e ica de a gumen oma icial de pa ´ame os a1,...,apy
b1,...,bqasociada a la ma iz sim´e ica Xm×mcomo
(7) pFq(a1,...,ap;b1,...,bq;X)=
∞
∑
k=0∑
κ
(a1)κ···(ap)κ
(b1)κ···(bq)κ
Cκ(X)
k!,
donde ∑κdeno a la suma sob e odas las pa iciones κ=(k1,...,km)de kyCκ(X)es
el polinomio zonal de Xco espondien e a κ. Ning´un pa ´ame o bjdel denominado
puede se ce o o un medio de un en e o meno o igual que 1
2(m−1),ya que, en caso
con a io, alguno de los denominado esde la se ie se anula ´ıa. De igual o ma, si alg´un
pa ´ame o del nume ado es un en e o nega i o, es o es, ai=−n, en onces la unci´on
es un polinomio de g ado mn.
La se ie con e gepa a odo Xsi p≤q; con e ge pa a X<1sip=q+1, donde po
Xno amos el m´aximo de los alo es absolu os de las a´ıces ca ac e ´ıs icas de X;y
sal o que la se ie enga un n´ume o ini o de ´e minos no nulos, di e gepa a odo X=0
si p>q+1.
En el caso m=1,la se ie (7) se educe la unci´on hipe geom´e ica gene alizada cl´asica
pFq(a1,...,ap;b1,...,bq;x)=
∞
∑
k=0
(a1)k·····(ap)k
(b1)k·····(bq)k
xk
k!.
Podemos sub aya dos casos especiales de (7): los dados po la unci´on 0F0(X)=
e (X), gene alizaci´onde la se ie exponencial,y la unci´on 1F0(a;X)=de (Im−X)−a,
432
gene alizaci´onde la se ie binomial(1−x)−a.M´as all´a de es os dos casos no exis enex-
p esiones gene ales de las unciones hipe geom´e icas de a gumen o ma icial. Es po
ello que pa a ob ene esul ados de sumaci´on se suele acudi a ap oximaciones num´e i-
cas median e ´ecnicas de an´alisis que p opo cionanel alo de las unciones en algunos
casos conc e os.
Noso os p oponemos desa olla es as unciones como se ies de monomios sim´e icos,
u ilizando la implemen aci´on del algo i mo de James. De es a o ma, pueden ob ene se
esul ados ap oximadosde sumaci´on de dichas uncionespa a un amplio angode alo-
es de los pa ´ame os. Asimismo, es e desa ollo en se ie es el adecuado pa a u iliza las
como gene a ices de dis ibuciones mul i a ian es disc e as de p obabilidad, dis ibu-
ciones que cuen an con una in e esan e p opiedad de sime ´ıa en sus ecuencias.
Tabla 1. Desa ollo uncado de la unci´on 2F1(a,b;c;I2).
a b c 2F1(a,b;c;I2)∑20
k=0∑ρ ρMρ(I2)Di e encia
2 2 10 3.0569 3.0547 0.0022
3 3 10 20.0909 19.0750 1.0159
5 5 25 13.8359 13.8299 0.006
4 5 20 15.7342 15.7046 0.0296
8 10 50 55.1096 55.0856 0.024
10 10 50 172.7901 172.2222 0.5679
12 12 65 260.1934 259.5012 0.6922
15 15 85 699.2147 695.7047 3.51
Conc e amen e, si en el desa ollo de la se ie hipe geom´e ica dada en (7), exp esamos
los polinomios zonales en ´e minos de los monomios sim´e icos, se iene que
pFq(a1,...,ap;b1,...,bq;X)=
∞
∑
k=0∑
κ
(a1)κ···(ap)κ
(b1)κ···(bq)κ
Cκ(X)
k!
(8)
=
∞
∑
k=0∑
κ
(a1)κ···(ap)κ
(b1)κ···(bq)κ
∑λ≤κcκ,λMλ(X)
k!
=
∞
∑
k=0∑
κ∑
λ≤κ
1
k!
(a1)κ···(ap)κ
(b1)κ···(bq)κ
cκ,λMλ(X)
=
∞
∑
k=0∑
ρ
ρMρ(X),
donde de nue o la suma ∑ρes en odas las pa iciones ρde cada en e o k. Una ez
calculadoslos coe icien es ρ, la se ie puede ap oxima semedian esus sumas pa ciales.
433

En o den a conside a la bondad de es as ap oximaciones, hay que ene en cuen a
que la cola de la se ie uncada en el g ado , con iene an s´olo ´e minos en las a´ıces
ca ac e ´ıs icas de Xde g ado supe io a .
En la Tabla 1 se mues an esul ados ap oximados de sumaci´on e e idos a la unci´on
bi a ian e 2F1,pa a dis in os alo es de los pa ´ame os cuando X=I2. Todos ellos se
compa an con el alo exac o de la suma, conocido g acias al Teo ema de Sumaci´on de
Gauss en su e si´on mul i a ian e. En gene al, podemoses ablece una co a del e o , ε,
come ido median e la suma de los M+1 p ime os ´e minos cuando a1,a2,b1>0,b1>
a1+a2yX≤1, dada po
(9)
∞
∑
k=M+1∑
κ
(a1)κ(a2)κ
(b1)κ
Cκ(X)
k!≤
∞
∑
k=M+1∑
κ
Cκ(X)
k!
=
∞
∑
k=M+1
aza(X)k
k!
≤
∞
∑
k=M+1
mk
k!
=em−
M
∑
k=0
mk
k!
Pa a una discusi´on m´as de allada de la me odolog´ıa de es e m´e odo de sumaci´on puede
e se Gu i´e ez e al. (2000).
Po o a pa e, las unciones hipe geom´e icas cl´asicas de a gumen o escala , unda-
men almen e la unci´on de Gauss 2F1y sus ex ensiones y pa icula izaciones, pueden
emplea se pa agene a las dis ibuciones disc e as m´as usuales (Johnson,Ko z yKemp,
1992;Gu i´e ez y Rod ´ıguez,1997;Rod ´ıguez e al.,2001a). Tambi´en se han in oduci-
doex ensionesbi a ian esdealgunas uncioneshipe geom´e icasdea gumen oescala ,
como la F1olaF3,pa a gene a dis ibuciones bi a ian es disc e as.
En es e sen ido, las unciones hipe geom´e icasde a gumen oma icial ambi´en pueden
u iliza se pa a gene a dis ibuciones disc e as, en es e caso mul i a ian es, que gene a-
licen sus hom´ologas uni a ian es. Pa a ello an s´olo es necesa io conside a el desa o-
llo en se ie dado en (8), de mane a que las p obabilidades de es as dis ibuciones ienen
dadas po las cons an es ρcon enien emen eno malizadas. La p incipal ca ac e ´ıs ica
de es as dis ibuciones es que sus ecuencias son in a ian es en e a pe mu aciones de
las a iables que la o man; es deci , si Xm×1es un ec o alea o io gene ado po una
unci´on de es e ipo, se e i ica:
(10) P[X=(i1,...,im)] = P[X=σ(i1,...,im)],
donde (i1,...,im)es cualquie ec o posible pa a Xyσes cualquie pe mu aci´on. Es-
a p opiedad hace que es as dis ibuciones sean modelos adecuados pa a en´omenos
434
mul i a ian es disc e os cuyas componen es no son necesa iamen e independien es pe-
o s´ıid´en icamen e dis ibuidas, de mane a que las p obabilidades de ocu encia no
dependan del o den de las a iables. As´ı, se han u ilizado con ´exi o, po ejemplo, en la
modelizaci´on del n´ume o de ing esos dia ios en dos boxes del Se icio de U gencias
del Hospi al de San Agus ´ın (Lina es, Espa˜na) (Rod ´ıguez e al, 2001b). O os ´ambi-
os adecuados de aplicaci´on apa ecen, po ejemplo, en la modelizaci´on del n´ume o de
allos en a ias m´aquinas indis inguibles en pa alelo o el n´ume o de llamadas a a ios
se ido es id´en icos dispues os ambi´en en pa alelo.
En la Figu a 1 se mues an ejemplos de poligonales de ecuencias gene adas median e
unciones 1F1y2F1bi a ian es.
0
5
10
15
20
0
5
10
15
20
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0
5
10
15
20
0
5
10
15
20
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0
5
10
15
20
0
5
10
15
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x 10−3
0
5
10
15
20
0
5
10
15
20
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
Figu a 1. Poligonal de ecuencias pa a dis ibuciones gene adas po unciones 1F1(a.yb.)y
2F1(c.yd.).
3.2. Dis ibuci´
on de la meno a´ız ca ac e ´ıs ica de una ma iz de Wisha en
´
e minos de polinomios zonales
Den o de la Es ad´ıs ica Ma em´a ica, los polinomios zonales y las unciones hipe -
geom´e icas de a gumen o ma icial han sido u ilizados, en e o as aplicaciones, en
la exp esi´onde la dis ibuci´on de o mas cuad ´a icas asociadas a poblaciones no males.
As´ı, po ejemplo, exp esiones que in oluc an unciones hipe geom´e icas apa ecen en
435
00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
00.5 11.5 2 2.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figu a 2. Funciones de dis ibuci´on e´o ica y emp´ı ica pa a lameno a´ız ca ac e ´ıs ica de A1
W3(10,Σ1)(a.)yA2W3(10,Σ2)(b.).
la dis ibuci´on χ2(Pea son, 1900), de Wisha cen al y no cen al (Wisha , 1928),
de las a´ıces ca ac e ´ıs icas de la ma iz de co a ianza de una dis ibuci´on gaussiana
(James, 1964), en la a io de la a ianza F(Fishe , 1924), de la Fno cen al con pyn
g ados de libe ad (Fishe , 1924), e c. En es e apa ado desc ibimos, p ecisamen e, una
aplicaci´on de la implemen aci´on ealizada que nos pe mi e e alua la dis ibuci´on de
p obabilidad de la meno a´ız ca ac e ´ıs ica de una ma iz de Wisha .
Conc e amen e (Mui head, 1982), si lmes la meno a´ız ca ac e ´ıs ica de S, donde A=
nS esWm(n,Σ),y =1
2(n−m−1)es un en e o posi i o, en onces
(11) PΣ(lm>x)=e −1
2nxΣ−1m
∑
k=0∑
κ
∗Cκ1
2nxΣ−1
k!,
donde ∑κ∗deno a la suma sob e odas las pa iciones κ=(k1,...,km)de k ales que
k1≤ .
La pues a en p ´ac ica de es e eo ema an s´olo implica el desa ollo de una se ie ini a
en ´e minos de polinomios zonales, as´ı que puede ealiza se de mane a exac a has a
dis in os alo es de myn,aunque no muy ele ados.
Noso os hemos conside ado una aplicaci´on en donde m=3yn=10. Se han simu-
lado median e el p og ama ma em´a ico MATLAB 1.000 alo es de ma ices alea o-
ias Xn×mN(0,In⊗Σ). A pa i de es as 1.000 ma ices, x1
n×m,...,x1,000
n×m,se calculan
1.000 alo es simulados de sendas dis ibuciones de Wisha , median e la exp esi´on
Ai=xi·xi,i=1,...,1,000,de modo que la dis ibuci´on e´o ica de es as ma ices es la
de AW3(10,Σ). Pos e io men e se han di idido es as ma ices po n=10 y a cada
una de es as nue as ma ices se les ha calculado su meno a´ız ca ac e ´ıs ica. Es o ge-
ne a una mues a alea o ia simple, l1,...,l1,000,de 1.000 alo es de la a iable alea o ia
lm,meno a´ız ca ac e ´ıs ica de A/n.
En la Figu a 2 apa ecen supe pues as la unci´on de dis ibuci´on emp´ı ica, calculada a
pa i de sendas mues as alea o ias simples, y la unci´on de dis ibuci´on e´o ica, dada
436
po (11), pa a ma ices
Σ1=⎛
⎝
10,58 0,61
0,5810,58
0,61 0,58 1 ⎞
⎠,Σ2=⎛
⎝
6,83 6,40 2,84
6,40 8,02 2,79
2,84 2,79 3,98 ⎞
⎠
Como puede comp oba se, son p ´ac icamen e id´en icas, con i mando que los da os
emp´ı icos quedan pe ec amen e ajus ados median e la dis ibuci´on e´o ica.
4. DISCUSI ´
ON
La me odolog´ıa desc i a en es e abajo, que in oluc a el c´alculo expl´ıci o de los poli-
nomios zonales, p opo ciona la e aluaci´on, exac a en algunos casos y ap oximada en
o os, de cualquie se ie hipe geom´e ica de a gumen oma icial. Es o pe mi e la pues-
a en p ´ac ica de nume osos esul ados que in oluc an a es as se ies y que has a aho a,
o no se hab´ıan aplicado a casos eales, o si se hab´ıan aplicado, en´ıan que limi a se
a casos donde ´ecnicas de an´alisis num´e ico pe mi ie an alg´un esul ado conc e o. A
su ez, ambi´en pe mi e ab i nue as l´ıneas de in es igaci´on, como la de la g´enesis de
dis ibuciones mul i a ian es de p obabilidad median e unciones hipe geom´e icas de
a gumen o ma icial.
Hay que deci , no obs an e, que el ´exi o de es a me odolog´ıa es ´a supedi ado a las limi-
aciones compu acionales en el c´alculo de los polinomios zonales y, sob e odo, de los
monomios sim´e icos en ´e minos de los cuales ienen de inidos.
5. AGRADECIMIENTOS
Deseamos ag adece a los e e ees sus comen a ios y suge encias, los cuales han sido
de g an ayuda a la ho a de elabo a es e manusc i o.
REFERENCIAS
Gu i´e ez, R. and Rod ´ıguez, J. (1997). «Family o Pea son Disc e e Dis ibu ions Ge-
ne a ed by he Uni a ia e Hype geome ic unc ion 3F2(α1,α2,α3;γ1,γ2;λ)».Appl.
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Gu i´e ez R., Rod ´ıguez J. and S´aez A. J. (2000). «App oxima ion o hype geome ic
unc ions o ma icial a gumen h ough hei de elopmen in se ies o zonal poly-
nomials».Elec onic T ansac ions in Nume ic Analysis, 11, 121-130.
437