Implementación del càlculo de polinomios zonales y aplicaciones en análisis multivariante

Q¨ UESTII´ O, ol. 26, 3, p. 429-441, 2002 IMPLEMENTACI ´ ON DEL C ´ ALCULO DE POLINOMIOS ZONALES Y APLICACIONES EN AN´ ALISIS MULTIVARIANTE J. RODR´ IGUEZ-AVI A. J. S ´ AEZ-CASTILLO A. CONDE-S´ ANCHEZ Uni e sidad de Ja´en∗ En es e abajo se desc ibe la implemen aci´ on de un algo i mo pa a el c´ alculo de polinomios zonales, as´ ı como dos aplicaciones expl´ ıci as de ´ es os en el ´ ambi o del an´ alisis mul i a ian e. Conc e amen e, es a imple- men aci´ on pe mi e ob ene esul ados de sumaci´ on ap oximados pa a un- ciones hipe geom´ e icas de a gumen o ma icial que, a su ez, pueden u i- liza se en la g´ enesis de dis ibuciones mul i a ian es disc e as con e- cuencias sim´ e icas. De igual o ma, se pone en p ´ ac ica un conocido e- sul ado e´ o ico que ca ac e iza la dis ibuci´ on de la meno a´ ız ca ac- e ´ ıs ica de una ma iz alea o ia con dis ibuci´ on de Wisha . Implemen ing calculus o zonal polynomials and applica ions in Mul- i a ia e Analysis Palab as cla e: Polinomioszonales, dis ibucionesdisc e as,dis ibuci´on deWisha , uncioneshipe geom´e icasdea gumen oma- icial Clasi icaci´ on AMS (MSC 2000): 60E05, 62E15 *Dep. de Es ad´ıs ica e I.O. Despacho 147, Ed. D-3, Pa aje Las Lagunillas, Uni e sidad de Ja´en, 23071 Ja´en, Espa˜na. Tel : + 34 953 012.207; ax: + 34 953 012.222; email: [email p o ec ed]. –Recibido en diciemb e de 2000. –Acep ado en ab il de 2002. 429 1. INTRODUCCI ´ ON Los polinomios zonales son una ex ensi´on mul i a ian e de las unciones po enciales. La amiliade polinomiossim´e icos y homog´eneosquecons i uyenha sidoampliamen- e u ilizada den o de la Es ad´ıs ica Ma em´a ica cl´asica en la exp esi´on de densidades y dis ibuciones de o mas cuad ´a icas en poblaciones no males, pa a ex ende esul ados conocidos de la es ad´ıs ica uni a ian e a un ambien e mul i a ian e (Mui head, 1982). No obs an e, no se conocen ´o mulas gene ales pa a es os polinomios, ya que su de ini- ci´on, como amos a e a con inuaci´on,los ca ac e iza como au o uncionesde un cie o ope ado di e encial. En conc e o, dada una ma iz sim´e ica Xm×mcon a´ıces ca ac e ´ıs icas x1,...,xmy κ=(k1,...,km)una pa ici´on de ken no m´as de mpa es, el polinomio zonal de X co espondien e a κ, deno ado po Cκ(X), es un polinomio sim´e ico homog´eneo de g ado ken las a´ıces ca ac e ´ıs icas x1,...,xmque debe e i ica las siguien es es condiciones: 1. El ´e mino de mayo peso es, sal o cons an e, xk1 1···xkm m. 2. Ve i ica la ecuaci´on di e encial (1) ∆XCκ(X)=ακCκ(X) donde ∆X= m ∑ i=1x2 i∂2 ∂x2 i + m ∑ i=1 m ∑ 1=j=i x2 i xi−xj ∂ ∂xi y ακ= m ∑ i=1 ki(ki−i)+k(m−1). 3. ( X)k=(x1+···+xm)k=∑κCκ(X), donde po ∑κdeno amos la suma en odas las pa iciones del g ado k. Al e na i amen e a es a ´ul ima condici´on, que se u iliza pa a la no malizaci´on de los polinomios zonales, puede conside a se la e aluaci´on de es os polinomios en un pun o conc e o. En es e sen ido (2) Cκ(Im)=22kk!1 2mκ p ∏ i<j(2ki−2kj−i+j) p ∏ i<j(2ki+p−i)! 430 donde pes el n´ume o de pa es no nulas de κy, en gene al, (3) (a)κ=(a)k1a−1 2k2 ·····a−1 2(m−1)km , con (a)k=a(a+1)···(a+k−1),(a)0=1. 2. ALGORITMO DE C ´ ALCULO Como se ha comen ado, de la de inici´on no puede deduci se una ´o mula expl´ıci a, aunque s´ı un algo i mo de c´alculo (James, 1968), que desc ibimos seguidamen e. Sea κ=(k1,...,km)una pa ici´on del en e o k. En onces, el monomio sim´e ico de una ma iz Xm×mcon a´ıces ca ac e ´ıs icas x1,...,xmco espondien e a κse de ine como Mκ(X)=xk1 1···xkm m+ ´e minos sim´e icos. El algo i mo de James es ablece que los polinomioszonales son combinacioneslineales de monomios sim´e icos. Conc e amen e: (4) Cκ(X)= ∑ λ≤κ cκ,λMλ(X), donde la suma o ia se hace sob e odas las pa iciones λde k ales que λ≤κy (5) cκ,λ=∑ λ<µ≤κ [(li+ )−(lj− )] ρκ−ρλ cκ,µ. En es a exp esi´on, (6) ρκ= m ∑ i=1 ki(ki−i); adem´as, λ=(l1,...,lm)yµ=(l1,...,li+ ,...,lj− ,...,lm),pa a =1,...,lj,son ales que cuando las pa es de la pa ici´on µse o ganizan en o den descenden e, µes mayo que λy meno o igual que κen o denlexicog ´a ico. La suma o ia en (5) es sob e odas las posibles µ, y una suma ac´ıa se oma como ce o. Median e es e algo i mo se de e minan odos los coe icien es cκ,λsal o el de mayo peso; es deci , se de e mina el polinomio zonal sal o no malizaci´on. Desde el pun o de is a compu acional, el algo i mo puede inicializa se conside ando cκ,κ=1 y cal- culando los coe icien es cκ,λsal o cons an e mul iplica i a, que se ob iene median e (2). 431 La implemen aci´on del algo i mo se ha ealizado empleando el p og ama MATLAB. Los co espondien es a chi os uen e y las ins ucciones pa a su ejecuci´on no apa ecen aqu´ı po b e edad, aunque pueden encon a se en la di ecci´on h p://www.ujaen.es/dep/es in /pdi/ajsaez/so wa e.h ml. 3. APLICACIONES En es e apa adose p esen ansendas aplicaciones enel ´ambi o dela es ad´ıs ica mul i a- ian e que pueden lle a se a cabo g acias al conocimien o expl´ıci o de un buen n´ume o de polinomios zonales calculados median e la me odolog´ıa expues a en la secci´on an- e io . 3.1. Ap oximaci´ onde unciones hipe geom´ e icas de a gumen o ma icial y g´ ene- sis de dis ibuciones mul i a ian es Se de ine la unci´on hipe geom´e ica de a gumen oma icial de pa ´ame os a1,...,apy b1,...,bqasociada a la ma iz sim´e ica Xm×mcomo (7) pFq(a1,...,ap;b1,...,bq;X)= ∞ ∑ k=0∑ κ (a1)κ···(ap)κ (b1)κ···(bq)κ Cκ(X) k!, donde ∑κdeno a la suma sob e odas las pa iciones κ=(k1,...,km)de kyCκ(X)es el polinomio zonal de Xco espondien e a κ. Ning´un pa ´ame o bjdel denominado puede se ce o o un medio de un en e o meno o igual que 1 2(m−1),ya que, en caso con a io, alguno de los denominado esde la se ie se anula ´ıa. De igual o ma, si alg´un pa ´ame o del nume ado es un en e o nega i o, es o es, ai=−n, en onces la unci´on es un polinomio de g ado mn. La se ie con e gepa a odo Xsi p≤q; con e ge pa a X<1sip=q+1, donde po Xno amos el m´aximo de los alo es absolu os de las a´ıces ca ac e ´ıs icas de X;y sal o que la se ie enga un n´ume o ini o de ´e minos no nulos, di e gepa a odo X=0 si p>q+1. En el caso m=1,la se ie (7) se educe la unci´on hipe geom´e ica gene alizada cl´asica pFq(a1,...,ap;b1,...,bq;x)= ∞ ∑ k=0 (a1)k·····(ap)k (b1)k·····(bq)k xk k!. Podemos sub aya dos casos especiales de (7): los dados po la unci´on 0F0(X)= e (X), gene alizaci´onde la se ie exponencial,y la unci´on 1F0(a;X)=de (Im−X)−a, 432 gene alizaci´onde la se ie binomial(1−x)−a.M´as all´a de es os dos casos no exis enex- p esiones gene ales de las unciones hipe geom´e icas de a gumen o ma icial. Es po ello que pa a ob ene esul ados de sumaci´on se suele acudi a ap oximaciones num´e i- cas median e ´ecnicas de an´alisis que p opo cionanel alo de las unciones en algunos casos conc e os. Noso os p oponemos desa olla es as unciones como se ies de monomios sim´e icos, u ilizando la implemen aci´on del algo i mo de James. De es a o ma, pueden ob ene se esul ados ap oximadosde sumaci´on de dichas uncionespa a un amplio angode alo- es de los pa ´ame os. Asimismo, es e desa ollo en se ie es el adecuado pa a u iliza las como gene a ices de dis ibuciones mul i a ian es disc e as de p obabilidad, dis ibu- ciones que cuen an con una in e esan e p opiedad de sime ´ıa en sus ecuencias. Tabla 1. Desa ollo uncado de la unci´on 2F1(a,b;c;I2). a b c 2F1(a,b;c;I2)∑20 k=0∑ρ ρMρ(I2)Di e encia 2 2 10 3.0569 3.0547 0.0022 3 3 10 20.0909 19.0750 1.0159 5 5 25 13.8359 13.8299 0.006 4 5 20 15.7342 15.7046 0.0296 8 10 50 55.1096 55.0856 0.024 10 10 50 172.7901 172.2222 0.5679 12 12 65 260.1934 259.5012 0.6922 15 15 85 699.2147 695.7047 3.51 Conc e amen e, si en el desa ollo de la se ie hipe geom´e ica dada en (7), exp esamos los polinomios zonales en ´e minos de los monomios sim´e icos, se iene que pFq(a1,...,ap;b1,...,bq;X)= ∞ ∑ k=0∑ κ (a1)κ···(ap)κ (b1)κ···(bq)κ Cκ(X) k! (8) = ∞ ∑ k=0∑ κ (a1)κ···(ap)κ (b1)κ···(bq)κ ∑λ≤κcκ,λMλ(X) k! = ∞ ∑ k=0∑ κ∑ λ≤κ 1 k! (a1)κ···(ap)κ (b1)κ···(bq)κ cκ,λMλ(X) = ∞ ∑ k=0∑ ρ ρMρ(X), donde de nue o la suma ∑ρes en odas las pa iciones ρde cada en e o k. Una ez calculadoslos coe icien es ρ, la se ie puede ap oxima semedian esus sumas pa ciales. 433 En o den a conside a la bondad de es as ap oximaciones, hay que ene en cuen a que la cola de la se ie uncada en el g ado , con iene an s´olo ´e minos en las a´ıces ca ac e ´ıs icas de Xde g ado supe io a . En la Tabla 1 se mues an esul ados ap oximados de sumaci´on e e idos a la unci´on bi a ian e 2F1,pa a dis in os alo es de los pa ´ame os cuando X=I2. Todos ellos se compa an con el alo exac o de la suma, conocido g acias al Teo ema de Sumaci´on de Gauss en su e si´on mul i a ian e. En gene al, podemoses ablece una co a del e o , ε, come ido median e la suma de los M+1 p ime os ´e minos cuando a1,a2,b1>0,b1> a1+a2yX≤1, dada po (9) ∞ ∑ k=M+1∑ κ (a1)κ(a2)κ (b1)κ Cκ(X) k!≤ ∞ ∑ k=M+1∑ κ Cκ(X) k! = ∞ ∑ k=M+1 aza(X)k k! ≤ ∞ ∑ k=M+1 mk k! =em− M ∑ k=0 mk k! Pa a una discusi´on m´as de allada de la me odolog´ıa de es e m´e odo de sumaci´on puede e se Gu i´e ez e al. (2000). Po o a pa e, las unciones hipe geom´e icas cl´asicas de a gumen o escala , unda- men almen e la unci´on de Gauss 2F1y sus ex ensiones y pa icula izaciones, pueden emplea se pa agene a las dis ibuciones disc e as m´as usuales (Johnson,Ko z yKemp, 1992;Gu i´e ez y Rod ´ıguez,1997;Rod ´ıguez e al.,2001a). Tambi´en se han in oduci- doex ensionesbi a ian esdealgunas uncioneshipe geom´e icasdea gumen oescala , como la F1olaF3,pa a gene a dis ibuciones bi a ian es disc e as. En es e sen ido, las unciones hipe geom´e icasde a gumen oma icial ambi´en pueden u iliza se pa a gene a dis ibuciones disc e as, en es e caso mul i a ian es, que gene a- licen sus hom´ologas uni a ian es. Pa a ello an s´olo es necesa io conside a el desa o- llo en se ie dado en (8), de mane a que las p obabilidades de es as dis ibuciones ienen dadas po las cons an es ρcon enien emen eno malizadas. La p incipal ca ac e ´ıs ica de es as dis ibuciones es que sus ecuencias son in a ian es en e a pe mu aciones de las a iables que la o man; es deci , si Xm×1es un ec o alea o io gene ado po una unci´on de es e ipo, se e i ica: (10) P[X=(i1,...,im)] = P[X=σ(i1,...,im)], donde (i1,...,im)es cualquie ec o posible pa a Xyσes cualquie pe mu aci´on. Es- a p opiedad hace que es as dis ibuciones sean modelos adecuados pa a en´omenos 434 mul i a ian es disc e os cuyas componen es no son necesa iamen e independien es pe- o s´ıid´en icamen e dis ibuidas, de mane a que las p obabilidades de ocu encia no dependan del o den de las a iables. As´ı, se han u ilizado con ´exi o, po ejemplo, en la modelizaci´on del n´ume o de ing esos dia ios en dos boxes del Se icio de U gencias del Hospi al de San Agus ´ın (Lina es, Espa˜na) (Rod ´ıguez e al, 2001b). O os ´ambi- os adecuados de aplicaci´on apa ecen, po ejemplo, en la modelizaci´on del n´ume o de allos en a ias m´aquinas indis inguibles en pa alelo o el n´ume o de llamadas a a ios se ido es id´en icos dispues os ambi´en en pa alelo. En la Figu a 1 se mues an ejemplos de poligonales de ecuencias gene adas median e unciones 1F1y2F1bi a ian es. 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 10−3 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 Figu a 1. Poligonal de ecuencias pa a dis ibuciones gene adas po unciones 1F1(a.yb.)y 2F1(c.yd.). 3.2. Dis ibuci´ on de la meno a´ız ca ac e ´ıs ica de una ma iz de Wisha en ´ e minos de polinomios zonales Den o de la Es ad´ıs ica Ma em´a ica, los polinomios zonales y las unciones hipe - geom´e icas de a gumen o ma icial han sido u ilizados, en e o as aplicaciones, en la exp esi´onde la dis ibuci´on de o mas cuad ´a icas asociadas a poblaciones no males. As´ı, po ejemplo, exp esiones que in oluc an unciones hipe geom´e icas apa ecen en 435 00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 00.5 11.5 2 2.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Figu a 2. Funciones de dis ibuci´on e´o ica y emp´ı ica pa a lameno a´ız ca ac e ´ıs ica de A1 W3(10,Σ1)(a.)yA2W3(10,Σ2)(b.). la dis ibuci´on χ2(Pea son, 1900), de Wisha cen al y no cen al (Wisha , 1928), de las a´ıces ca ac e ´ıs icas de la ma iz de co a ianza de una dis ibuci´on gaussiana (James, 1964), en la a io de la a ianza F(Fishe , 1924), de la Fno cen al con pyn g ados de libe ad (Fishe , 1924), e c. En es e apa ado desc ibimos, p ecisamen e, una aplicaci´on de la implemen aci´on ealizada que nos pe mi e e alua la dis ibuci´on de p obabilidad de la meno a´ız ca ac e ´ıs ica de una ma iz de Wisha . Conc e amen e (Mui head, 1982), si lmes la meno a´ız ca ac e ´ıs ica de S, donde A= nS esWm(n,Σ),y =1 2(n−m−1)es un en e o posi i o, en onces (11) PΣ(lm>x)=e −1 2nxΣ−1m ∑ k=0∑ κ ∗Cκ1 2nxΣ−1 k!, donde ∑κ∗deno a la suma sob e odas las pa iciones κ=(k1,...,km)de k ales que k1≤ . La pues a en p ´ac ica de es e eo ema an s´olo implica el desa ollo de una se ie ini a en ´e minos de polinomios zonales, as´ı que puede ealiza se de mane a exac a has a dis in os alo es de myn,aunque no muy ele ados. Noso os hemos conside ado una aplicaci´on en donde m=3yn=10. Se han simu- lado median e el p og ama ma em´a ico MATLAB 1.000 alo es de ma ices alea o- ias Xn×mN(0,In⊗Σ). A pa i de es as 1.000 ma ices, x1 n×m,...,x1,000 n×m,se calculan 1.000 alo es simulados de sendas dis ibuciones de Wisha , median e la exp esi´on Ai=xi·xi,i=1,...,1,000,de modo que la dis ibuci´on e´o ica de es as ma ices es la de AW3(10,Σ). Pos e io men e se han di idido es as ma ices po n=10 y a cada una de es as nue as ma ices se les ha calculado su meno a´ız ca ac e ´ıs ica. Es o ge- ne a una mues a alea o ia simple, l1,...,l1,000,de 1.000 alo es de la a iable alea o ia lm,meno a´ız ca ac e ´ıs ica de A/n. En la Figu a 2 apa ecen supe pues as la unci´on de dis ibuci´on emp´ı ica, calculada a pa i de sendas mues as alea o ias simples, y la unci´on de dis ibuci´on e´o ica, dada 436 po (11), pa a ma ices Σ1=⎛ ⎝ 10,58 0,61 0,5810,58 0,61 0,58 1 ⎞ ⎠,Σ2=⎛ ⎝ 6,83 6,40 2,84 6,40 8,02 2,79 2,84 2,79 3,98 ⎞ ⎠ Como puede comp oba se, son p ´ac icamen e id´en icas, con i mando que los da os emp´ı icos quedan pe ec amen e ajus ados median e la dis ibuci´on e´o ica. 4. DISCUSI ´ ON La me odolog´ıa desc i a en es e abajo, que in oluc a el c´alculo expl´ıci o de los poli- nomios zonales, p opo ciona la e aluaci´on, exac a en algunos casos y ap oximada en o os, de cualquie se ie hipe geom´e ica de a gumen oma icial. Es o pe mi e la pues- a en p ´ac ica de nume osos esul ados que in oluc an a es as se ies y que has a aho a, o no se hab´ıan aplicado a casos eales, o si se hab´ıan aplicado, en´ıan que limi a se a casos donde ´ecnicas de an´alisis num´e ico pe mi ie an alg´un esul ado conc e o. A su ez, ambi´en pe mi e ab i nue as l´ıneas de in es igaci´on, como la de la g´enesis de dis ibuciones mul i a ian es de p obabilidad median e unciones hipe geom´e icas de a gumen o ma icial. Hay que deci , no obs an e, que el ´exi o de es a me odolog´ıa es ´a supedi ado a las limi- aciones compu acionales en el c´alculo de los polinomios zonales y, sob e odo, de los monomios sim´e icos en ´e minos de los cuales ienen de inidos. 5. AGRADECIMIENTOS Deseamos ag adece a los e e ees sus comen a ios y suge encias, los cuales han sido de g an ayuda a la ho a de elabo a es e manusc i o. REFERENCIAS Gu i´e ez, R. and Rod ´ıguez, J. (1997). «Family o Pea son Disc e e Dis ibu ions Ge- ne a ed by he Uni a ia e Hype geome ic unc ion 3F2(α1,α2,α3;γ1,γ2;λ)».Appl. S ochas ics Models and Da a Anal, 13, 115-125. Gu i´e ez R., Rod ´ıguez J. and S´aez A. J. (2000). «App oxima ion o hype geome ic unc ions o ma icial a gumen h ough hei de elopmen in se ies o zonal poly- nomials».Elec onic T ansac ions in Nume ic Analysis, 11, 121-130. 437