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Cu as
Fun¸c˜oes Vec o iais de Va i´a el Real
T anspa ˆencias de apoio `a lecciona¸c˜ao de aulas e´o icas
Ve s˜ao 2
c
°2000, 1998
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Cu as - Fun¸c˜oes Vec o iais de Va i´a el Real
Exemplo
A ec a que passa no pon o Pe que ´e pa alela a um ec o n˜ao nulo A´e o
conjun o de alo es que oma a un¸c˜ao ec o ial Xdada po .
X( ) = P+ A
P( =0)
( >0)
( <0)
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Cu as - Pa ame iza¸c˜ao de uma cu a C
F:I → <n,I= [ 0, 1] in e alo de <
;F( ) = (F1( ),...,Fn( ))
Onde: F´e a pa ame iza¸c˜ao de Ce ´e o pa ˆame o
0 1
F( )
F( 0)
F( 1)
C
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Cu as - Pa ame iza¸c˜ao - Exe c´ıcios
Iden i ica a cu a pa ame izada po :
F: [0,2π]→ <2
;F( ) = (acos( ),asin( ))
Iden i ica a cu a pa ame izada po :
G: [0, π]→ <2
;G( ) = (acos(2 ),asin(2 ))
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Cu as - Pa ame iza¸c˜ao - Exe c´ıcios
Iden i ica a cu a pa ame izada po :
x( ) = + 1
y( ) = 2 −5 ∈ <
Iden i ica a cu a pa ame izada po :
x( ) = 2
y( ) = 2−1≤ ≤1
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Cu as - Pa ame iza¸c˜ao - Exe c´ıcios
Pa ame iza o g ´a ico da un¸c˜ao y= (x), a≤x≤b.
Pa ame iza o segmen o que une os pon os AeB.
Pa ame iza o segmen o que une os pon os A= (−2,−1) e B= (3,2).
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Cu as - Con inuidade
F:I → <n
i:I → < F( ) = ( 1( ), 2( ),..., n( ))
Cu a con ´ınua
⇐⇒
Fcon ´ınua
⇐⇒
cada uma das un¸c˜oes
componen es icon ´ınua
Cu a
descon ínua
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Cu as - De i abilidade
F:I → <n
i:I → < F( ) = ( 1( ), 2( ),..., n( ))
Exis i lim
→ 0
F( )− F( 0)
− 0
⇐⇒ ∀i, exis e lim
→ 0
i( )− i( 0)
− 0
⇐⇒ odas as componen es i:I → < s˜ao de i ´a eis em 0
F0( 0) = ( 0
1( 0), 0
2( 0),..., 0
n( 0))
A cu a F:I → <ndiz-se de i ´a el se exis i F0( )∀ ∈I
A cu a F:I → <ndiz-se de i ´a el con inuamen e ou de classe C1se
F0:I → <n o con ´ınua.
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Cu as - Reg as de C´alculo
Sejam
F:I → <n
G:I → <n
:I → <
de i ´a eis
en ˜ao
(F+G)( ) = F( ) + G( )
( F)( ) = ( )F( )
(F · G)( ) = F( )· G( )
s˜ao de i ´a eis, e
(F+G)0( ) = F0( ) + G0( )
( F)0( ) = 0( )F( ) + ( )F0( )
(F · G)0( ) = F0( )· G( ) + F( )· G0( )
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Cu as - Exe c´ıcio
Seja F:I → <nde i ´a el al que k F( )k6= 0.
Mos a que a un¸c˜ao:
:I → <
; ( ) =k F( )k
´e de i ´a el e que:
dk F( )k
d =F( )· F0( )
k F( )k
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Cu as - Repa ame iza¸c˜ao
Os mais impo an es concei os geom´e icos elacionados com uma cu a s˜ao
os que se man ˆem in a ian es quando h´a uma al e a¸c˜ao de pa ˆame o
( epa ame iza¸c˜ao).
Duas un¸c˜oes dizem-se equi alen es se se elacionam da seguin e o ma:
G(u) = F( (u))
e co espondem a ep esen a¸c˜oes pa am´e icas di e en es da mesma cu a. A
un¸c˜ao (u) co esponde `a al e a¸c˜ao de pa ame iza¸c˜ao.
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Cu as - Repa ame iza¸c˜ao
Seja F:I → <n
:I1→ I de i ´a el.
Conside e-se G:I1→ <nG=F ◦ .
Gdesigna-se po epa ame iza¸c˜ao da cu a F.
G´e de i ´a el e G0(u) = F0( (u)) 0(u)
u
I1
= (u)
I
(u)
F( )
G(u)
G(u0)
F( 0)=F( (u0))
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Cu as - Repa ame iza¸c˜ao - Exe c´ıcio
Conside e
F( ) = (acos , a sin ) 0 ≤ ≤2π
(u) = 2u0≤u≤π
G=F ◦
De e mine G(u) e G0(u)
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Cu as - Velocidade, Velocidade Escala e Acele a¸c˜ao
Uma pa ´ıcula mo e-se num espa¸co a 2 ou 3 dimens˜oes de al o ma que a
sua posi¸c˜ao no ins an e ela i amen e a um de e minado sis ema de
coo denadas ´e dada po F( ).
Quando a ia ao longo de um in e alo de empo, o pe cu so da pa ´ıcula ´e
a imagem de F.
Assim a un¸c˜ao ec o ial F´e um modelo ma em´a ico na u al pa a desc e e
mo imen o.
Chama-se a Fa un¸c˜ao posi¸c˜ao do mo imen o.
Concei os ´ısicos ais como elocidade, elocidade escala e acele a¸c˜ao
podem se de inidos como de i adas da un¸c˜ao posi¸c˜ao.
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Cu as - Velocidade, Velocidade Escala e Acele a¸c˜ao
Seja F:I → <numa cu a con ´ınua e ∈ I
Vec o elocidade da cu a Fno
ins an e 0:
F0( 0) = lim
→ 0
F( )− F( 0)
− 0
∈ <n
F( 0)
F’( 0)
Vec o angen eà
cu anopon oF( 0)
Velocidade escala da cu a Fno ins an e 0:k F0( 0)k= ( 0)∈ <
Vec o acele a¸c˜ao da cu a Fno ins an e 0:F00( 0)∈ <n
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Cu as - Velocidade, Velocidade Escala e Acele a¸c˜ao -
Exe c´ıcios
De e mina a elocidade, a elocidade escala e a acele a¸c˜ao da cu a no
ins an e = 0:
F: [0,2π]→ <2
;F( ) = (acos( ),asin( ))
De e mina a elocidade, a elocidade escala e a acele a¸c˜ao da cu a no
ins an e = 0:
G: [0, π]→ <2
;G( ) = (acos(2 ),asin(2 ))
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Mo imen o linea
Conside e-se um mo imen o que em o ec o posi¸c˜ao:
G( ) = P+ ( )A
onde AePs˜ao ec o es ixos e A6= 0. T a a-se do mo imen o ao longo de
uma ec a que passa po Pcom di ec¸c˜ao A. Nes e caso a elocidade, a
elocidade escala e a acele a¸c˜ao s˜ao dadas po :
G0( ) = 0( )A
( ) =k G0( )k=| 0( )| k Ak
G00( ) = 00( )A
se 0( ) e 00( )6= 0 en ˜ao o ec o acele a¸c˜ao ´e pa alelo ao ec o elocidade.
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Cu as - Acele a¸c˜ao - Exe c´ıcio
Conside e a cu a C: 2y=x2,x≥0.
Ob enha uma pa ame iza¸c˜ao pa a a cu a e calcule as componen es
angencial e no mal da acele a¸c˜ao no ins an e = 1.
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