Curvas : Funções Vectoriais de Variável Real : Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas

Slide 1 Curvas Fun¸c˜oes Vectoriais de Vari´avel Real Transparˆencias de apoio `a lecciona¸c˜ao de aulas te´oricas Vers˜ao 2 c °2000, 1998 Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Fun¸c˜oes Vectoriais de Vari´avel Real 1 Slide 2 Curvas - Fun¸c˜oes Vectoriais de Vari´avel Real Exemplo A recta que passa no ponto Pe que ´e paralela a um vector n˜ao nulo A´e o conjunto de valores que toma a fun¸c˜ao vectorial Xdada por. X(t) = P+tA P(t=0) (t>0) (t<0) Slide 3 Curvas - Parametriza¸c˜ao de uma curva C F:I → <n,I= [t0, t1] intervalo de < t;F(t) = (F1(t),...,Fn(t)) Onde: F´e a parametriza¸c˜ao de Cet´e o parˆametro t0t1 F(t) F(t0) F(t1) C t Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Fun¸c˜oes Vectoriais de Vari´avel Real 2 Slide 4 Curvas - Parametriza¸c˜ao - Exerc´ıcios Identificar a curva parametrizada por: F: [0,2π]→ <2 t;F(t) = (acos(t),asin(t)) Identificar a curva parametrizada por: G: [0, π]→ <2 t;G(t) = (acos(2t),asin(2t)) Slide 5 Curvas - Parametriza¸c˜ao - Exerc´ıcios Identificar a curva parametrizada por: x(t) = t+ 1 y(t) = 2t−5t∈ < Identificar a curva parametrizada por: x(t) = 2t y(t) = t2−1≤t≤1 Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Fun¸c˜oes Vectoriais de Vari´avel Real 3 Slide 6 Curvas - Parametriza¸c˜ao - Exerc´ıcios Parametrizar o gr´afico da fun¸c˜ao y=f(x), a≤x≤b. Parametrizar o segmento que une os pontos AeB. Parametrizar o segmento que une os pontos A= (−2,−1) e B= (3,2). Slide 7 Curvas - Continuidade F:I → <n fi:I → < F(t) = (f1(t), f2(t),...,fn(t)) Curva cont´ınua ⇐⇒ Fcont´ınua ⇐⇒ cada uma das fun¸c˜oes componentes ficont´ınua Curva descontínua Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Fun¸c˜oes Vectoriais de Vari´avel Real 4 Slide 8 Curvas - Derivabilidade F:I → <n fi:I → < F(t) = (f1(t), f2(t),...,fn(t)) Existir lim t→t0 F(t)− F(t0) t−t0 ⇐⇒ ∀i, existe lim t→t0 fi(t)−fi(t0) t−t0 ⇐⇒ todas as componentesfi:I → < s˜ao deriv´aveis em t0 F0(t0) = (f0 1(t0), f0 2(t0),...,f0 n(t0)) A curva F:I → <ndiz-se deriv´avel se existir F0(t)∀t∈I A curva F:I → <ndiz-se deriv´avel continuamente ou de classe C1se F0:I → <nfor cont´ınua. Slide 9 Curvas - Regras de C´alculo Sejam F:I → <n G:I → <n f:I → < deriv´aveis ent˜ao (F+G)(t) = F(t) + G(t) (fF)(t) = f(t)F(t) (F · G)(t) = F(t)· G(t) s˜ao deriv´aveis, e (F+G)0(t) = F0(t) + G0(t) (fF)0(t) = f0(t)F(t) + f(t)F0(t) (F · G)0(t) = F0(t)· G(t) + F(t)· G0(t) Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Fun¸c˜oes Vectoriais de Vari´avel Real 5 Slide 10 Curvas - Exerc´ıcio Seja F:I → <nderiv´avel tal que k F(t)k6= 0. Mostrar que a fun¸c˜ao: f:I → < t;f(t) =k F(t)k ´e deriv´avel e que: dk F(t)k dt =F(t)· F0(t) k F(t)k Slide 11 Curvas - Reparametriza¸c˜ao Os mais importantes conceitos geom´etricos relacionados com uma curva s˜ao os que se mantˆem invariantes quando h´a uma altera¸c˜ao de parˆametro (reparametriza¸c˜ao). Duas fun¸c˜oes dizem-se equivalentes se se relacionam da seguinte forma: G(u) = F(f(u)) e correspondem a representa¸c˜oes param´etricas diferentes da mesma curva. A fun¸c˜ao f(u) corresponde `a altera¸c˜ao de parametriza¸c˜ao. Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Fun¸c˜oes Vectoriais de Vari´avel Real 6 Slide 12 Curvas - Reparametriza¸c˜ao Seja F:I → <n f:I1→ I deriv´avel. Considere-se G:I1→ <nG=F ◦ f. Gdesigna-se por reparametriza¸c˜ao da curva F. G´e deriv´avel e G0(u) = F0(f(u))f0(u) u I1 t=f(u) I f(u) F(t) G(u) G(u0) F(t0)=F(f(u0)) Slide 13 Curvas - Reparametriza¸c˜ao - Exerc´ıcio Considere F(t) = (acos t, a sin t) 0 ≤t≤2π f(u) = 2u0≤u≤π G=F ◦ f Determine G(u) e G0(u) Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Fun¸c˜oes Vectoriais de Vari´avel Real 7 Slide 14 Curvas - Velocidade, Velocidade Escalar e Acelera¸c˜ao Uma part´ıcula move-se num espa¸co a 2 ou 3 dimens˜oes de tal forma que a sua posi¸c˜ao no instante trelativamente a um determinado sistema de coordenadas ´e dada por F(t). Quando tvaria ao longo de um intervalo de tempo, o percurso da part´ıcula ´e a imagem de F. Assim a fun¸c˜ao vectorial F´e um modelo matem´atico natural para descrever movimento. Chama-se a Fa fun¸c˜ao posi¸c˜ao do movimento. Conceitos f´ısicos tais como velocidade, velocidade escalar e acelera¸c˜ao podem ser definidos como derivadas da fun¸c˜ao posi¸c˜ao. Slide 15 Curvas - Velocidade, Velocidade Escalar e Acelera¸c˜ao Seja F:I → <numa curva cont´ınua e t∈ I Vector velocidade da curva Fno instante t0: F0(t0) = lim t→t0 F(t)− F(t0) t−t0 ∈ <n F(t0) F’(t0) Vectortangenteà curvanopontoF(t0) Velocidade escalar da curva Fno instante t0:k F0(t0)k=v(t0)∈ < Vector acelera¸c˜ao da curva Fno instante t0:F00(t0)∈ <n Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Fun¸c˜oes Vectoriais de Vari´avel Real 8 Slide 16 Curvas - Velocidade, Velocidade Escalar e Acelera¸c˜ao - Exerc´ıcios Determinar a velocidade, a velocidade escalar e a acelera¸c˜ao da curva no instante t= 0: F: [0,2π]→ <2 t;F(t) = (acos(t),asin(t)) Determinar a velocidade, a velocidade escalar e a acelera¸c˜ao da curva no instante t= 0: G: [0, π]→ <2 t;G(t) = (acos(2t),asin(2t)) Slide 17 Movimento linear Considere-se um movimento que tem o vector posi¸c˜ao: G(t) = P+f(t)A onde AePs˜ao vectores fixos e A6= 0. Trata-se do movimento ao longo de uma recta que passa por Pcom direc¸c˜ao A. Neste caso a velocidade, a velocidade escalar e a acelera¸c˜ao s˜ao dadas por: G0(t) = f0(t)A v(t) =k G0(t)k=|f0(t)| k Ak G00(t) = f00(t)A se f0(t) e f00(t)6= 0 ent˜ao o vector acelera¸c˜ao ´e paralelo ao vector velocidade. Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Fun¸c˜oes Vectoriais de Vari´avel Real 15 Slide 30 Curvas - Acelera¸c˜ao - Exerc´ıcio Considere a curva C: 2y=x2,x≥0. Obtenha uma parametriza¸c˜ao para a curva e calcule as componentes tangencial e normal da acelera¸c˜ao no instante t= 1. Maria Ant´onia Carravilla – FEUP