Curvas : Funções Vectoriais de Variável Real : Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas

Slide 1 Cu as Fun¸c˜oes Vec o iais de Va i´a el Real T anspa ˆencias de apoio `a lecciona¸c˜ao de aulas e´o icas Ve s˜ao 2 c °2000, 1998 Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Fun¸c˜oes Vec o iais de Va i´a el Real 1 Slide 2 Cu as - Fun¸c˜oes Vec o iais de Va i´a el Real Exemplo A ec a que passa no pon o Pe que ´e pa alela a um ec o n˜ao nulo A´e o conjun o de alo es que oma a un¸c˜ao ec o ial Xdada po . X( ) = P+ A P( =0) ( >0) ( <0) Slide 3 Cu as - Pa ame iza¸c˜ao de uma cu a C F:I → <n,I= [ 0, 1] in e alo de < ;F( ) = (F1( ),...,Fn( )) Onde: F´e a pa ame iza¸c˜ao de Ce ´e o pa ˆame o 0 1 F( ) F( 0) F( 1) C Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Fun¸c˜oes Vec o iais de Va i´a el Real 2 Slide 4 Cu as - Pa ame iza¸c˜ao - Exe c´ıcios Iden i ica a cu a pa ame izada po : F: [0,2π]→ <2 ;F( ) = (acos( ),asin( )) Iden i ica a cu a pa ame izada po : G: [0, π]→ <2 ;G( ) = (acos(2 ),asin(2 )) Slide 5 Cu as - Pa ame iza¸c˜ao - Exe c´ıcios Iden i ica a cu a pa ame izada po : x( ) = + 1 y( ) = 2 −5 ∈ < Iden i ica a cu a pa ame izada po : x( ) = 2 y( ) = 2−1≤ ≤1 Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Fun¸c˜oes Vec o iais de Va i´a el Real 3 Slide 6 Cu as - Pa ame iza¸c˜ao - Exe c´ıcios Pa ame iza o g ´a ico da un¸c˜ao y= (x), a≤x≤b. Pa ame iza o segmen o que une os pon os AeB. Pa ame iza o segmen o que une os pon os A= (−2,−1) e B= (3,2). Slide 7 Cu as - Con inuidade F:I → <n i:I → < F( ) = ( 1( ), 2( ),..., n( )) Cu a con ´ınua ⇐⇒ Fcon ´ınua ⇐⇒ cada uma das un¸c˜oes componen es icon ´ınua Cu a descon ínua Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Fun¸c˜oes Vec o iais de Va i´a el Real 4 Slide 8 Cu as - De i abilidade F:I → <n i:I → < F( ) = ( 1( ), 2( ),..., n( )) Exis i lim → 0 F( )− F( 0) − 0 ⇐⇒ ∀i, exis e lim → 0 i( )− i( 0) − 0 ⇐⇒ odas as componen es i:I → < s˜ao de i ´a eis em 0 F0( 0) = ( 0 1( 0), 0 2( 0),..., 0 n( 0)) A cu a F:I → <ndiz-se de i ´a el se exis i F0( )∀ ∈I A cu a F:I → <ndiz-se de i ´a el con inuamen e ou de classe C1se F0:I → <n o con ´ınua. Slide 9 Cu as - Reg as de C´alculo Sejam F:I → <n G:I → <n :I → < de i ´a eis en ˜ao (F+G)( ) = F( ) + G( ) ( F)( ) = ( )F( ) (F · G)( ) = F( )· G( ) s˜ao de i ´a eis, e (F+G)0( ) = F0( ) + G0( ) ( F)0( ) = 0( )F( ) + ( )F0( ) (F · G)0( ) = F0( )· G( ) + F( )· G0( ) Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Fun¸c˜oes Vec o iais de Va i´a el Real 5 Slide 10 Cu as - Exe c´ıcio Seja F:I → <nde i ´a el al que k F( )k6= 0. Mos a que a un¸c˜ao: :I → < ; ( ) =k F( )k ´e de i ´a el e que: dk F( )k d =F( )· F0( ) k F( )k Slide 11 Cu as - Repa ame iza¸c˜ao Os mais impo an es concei os geom´e icos elacionados com uma cu a s˜ao os que se man ˆem in a ian es quando h´a uma al e a¸c˜ao de pa ˆame o ( epa ame iza¸c˜ao). Duas un¸c˜oes dizem-se equi alen es se se elacionam da seguin e o ma: G(u) = F( (u)) e co espondem a ep esen a¸c˜oes pa am´e icas di e en es da mesma cu a. A un¸c˜ao (u) co esponde `a al e a¸c˜ao de pa ame iza¸c˜ao. Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Fun¸c˜oes Vec o iais de Va i´a el Real 6 Slide 12 Cu as - Repa ame iza¸c˜ao Seja F:I → <n :I1→ I de i ´a el. Conside e-se G:I1→ <nG=F ◦ . Gdesigna-se po epa ame iza¸c˜ao da cu a F. G´e de i ´a el e G0(u) = F0( (u)) 0(u) u I1 = (u) I (u) F( ) G(u) G(u0) F( 0)=F( (u0)) Slide 13 Cu as - Repa ame iza¸c˜ao - Exe c´ıcio Conside e F( ) = (acos , a sin ) 0 ≤ ≤2π (u) = 2u0≤u≤π G=F ◦ De e mine G(u) e G0(u) Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Fun¸c˜oes Vec o iais de Va i´a el Real 7 Slide 14 Cu as - Velocidade, Velocidade Escala e Acele a¸c˜ao Uma pa ´ıcula mo e-se num espa¸co a 2 ou 3 dimens˜oes de al o ma que a sua posi¸c˜ao no ins an e ela i amen e a um de e minado sis ema de coo denadas ´e dada po F( ). Quando a ia ao longo de um in e alo de empo, o pe cu so da pa ´ıcula ´e a imagem de F. Assim a un¸c˜ao ec o ial F´e um modelo ma em´a ico na u al pa a desc e e mo imen o. Chama-se a Fa un¸c˜ao posi¸c˜ao do mo imen o. Concei os ´ısicos ais como elocidade, elocidade escala e acele a¸c˜ao podem se de inidos como de i adas da un¸c˜ao posi¸c˜ao. Slide 15 Cu as - Velocidade, Velocidade Escala e Acele a¸c˜ao Seja F:I → <numa cu a con ´ınua e ∈ I Vec o elocidade da cu a Fno ins an e 0: F0( 0) = lim → 0 F( )− F( 0) − 0 ∈ <n F( 0) F’( 0) Vec o angen eà cu anopon oF( 0) Velocidade escala da cu a Fno ins an e 0:k F0( 0)k= ( 0)∈ < Vec o acele a¸c˜ao da cu a Fno ins an e 0:F00( 0)∈ <n Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Fun¸c˜oes Vec o iais de Va i´a el Real 8 Slide 16 Cu as - Velocidade, Velocidade Escala e Acele a¸c˜ao - Exe c´ıcios De e mina a elocidade, a elocidade escala e a acele a¸c˜ao da cu a no ins an e = 0: F: [0,2π]→ <2 ;F( ) = (acos( ),asin( )) De e mina a elocidade, a elocidade escala e a acele a¸c˜ao da cu a no ins an e = 0: G: [0, π]→ <2 ;G( ) = (acos(2 ),asin(2 )) Slide 17 Mo imen o linea Conside e-se um mo imen o que em o ec o posi¸c˜ao: G( ) = P+ ( )A onde AePs˜ao ec o es ixos e A6= 0. T a a-se do mo imen o ao longo de uma ec a que passa po Pcom di ec¸c˜ao A. Nes e caso a elocidade, a elocidade escala e a acele a¸c˜ao s˜ao dadas po : G0( ) = 0( )A ( ) =k G0( )k=| 0( )| k Ak G00( ) = 00( )A se 0( ) e 00( )6= 0 en ˜ao o ec o acele a¸c˜ao ´e pa alelo ao ec o elocidade. Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Fun¸c˜oes Vec o iais de Va i´a el Real 15 Slide 30 Cu as - Acele a¸c˜ao - Exe c´ıcio Conside e a cu a C: 2y=x2,x≥0. Ob enha uma pa ame iza¸c˜ao pa a a cu a e calcule as componen es angencial e no mal da acele a¸c˜ao no ins an e = 1. Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP