Pub
.
Ma
.
UAB
112
24
Ma g
1981
Mo imen s
quasi-alea o is
en
el
p oblema
es
-
ingi ,
ci cula
i
pla
de
3
cossos
.
ABSTRACT
.
ReginaMa ínez
.i
Ba chino
The objec
o
his
pape
is o
p o e
he
exis en e
o
a
pa icula
ype
o
quasi- andom
mo ions
o
he
es ic ed
he e-body
p oblem
.
In
his
p oblem,
wo
o
he
bodies
which
we
cal]
he
ea h
(E)
and
he
moon
(M),
ha e
posi i e
mass,
u
and
1-u,
espec i ely
.
They
o a e
in
he
plane
coun e clockwise
abou hei
common cen e o
g a i y
.
We
call
sa elli e
(S)
o
he
hi d
body
which
has
mass
ze o
and
is
ee
o
mo e
in
he
plane
.
Le x,y
he
posi ion
o
S in a
synodic
sys em
o
coo dina es
.
We
conside
he
equa ions
o
he
mo ion
on
he
in eg al
su ace
ob-
ained
o
a
gi en
alue
o
he
Jacobi
cons an
C
.
Fo
a
gi en
u,
he e
a e
i e
basic
con igu a ions o
he
Hill's
egion
.
The alues
o C
which
sepa a e
hese
i e
cases
will
be
deno ed
by
C
i ,
i=1,2,3,4
.
We
onlyconside
he
alues o
N
su icien ly
small
and
alues
o C
jus
abo e
ha
C
1
o
C
2
.
In
hese
cases, he
exis en e
o
uns ablepe iodic
solu ions
nea
he wo
collinea
equilib ium
poin s
L
1
and
L2
ollows
om
a
heo em
o
Liapuno
[1]
.
Fo
his
pe iodico bi
i
is
iell
known
he
exis en e
o
an
uns able
in a ian
mani old
and
a
s able
in a ian
mani old
.
The o bi s
in
he
in e sec ion
o bo h
mani olds
a e called
homoclinic
o bi s
.
They
a e
o bi s
asymp o ic
o
he
uns able
pe iodico bi
o
posi i e
ime
and
o
nega i e
ime
.
Conley
[41
and
McGehee
[61
showed ha
homoclinic
o bi s
o
he
pe io-
dic o bi s
gi en
by
he
heo em
o
Liapuno ,
exis
.
Fo
he
alues o
p
su icien ly
small
and
alues
o
C
jus
abo e
ha
C
2
,
he exis en e
o
in a ian
o i
is
p o ed
by
McGehee
[61
.The
ele an
egions
bounded
by an
in a ian
o us
a e*homeomo phic
o
a
solid
o us
minus
a
3-ball
.
These
egionsp ojec
on o
he
annuli
shown
in
igu e
3.4
.
Coun ing
he
numbe o
imes
an
o bi winds
a ound
he
solid
o us
co-
esponds
o coun ing
he
numbe
o
imes
i
winds
a ound
he
annulus
.
When
C
1
-C
is
posi i e
and su icien ly
small
we
ha e
a
simila
esul
(see
igu e
3
.6)
.
In
ac ,
we
es ic
ou
s udy
o a
neighbo hood
N
o
he
pe iodic
o bi
and
he
egion
T o
he
phase space
bounded
by
he'in a ian
o us
and
N
.
He e
a
Poinca é
map
is
de ined
on
he
su ace
o
sec ion
J
.
The
poin s
o
J
a e he
poin s o
he
phase
space
such ha
he
coo dína e
y
ls
equal
o
ze o
.
and he
cno dina es
u
and
x
a e
n ea e
hw ze o
and
J
7'
N,
espec i ely
.
The
symme y
o
he
es ic ed
hese-body
p oblem
allows us
o
con-
side
on
J
a
ans e sal
homoclinic
poin
wi h
x=0
o he
associa ed
Poin-
ca é
map
.
In a
sui able
neighbo hood
o his
homoclinic
poin
we
can
cons uc
a
amily
o
ho izon al
s ips
and
a
amily o e ical
s ips
.
Using
known
esul s
o
he
beha io
o
o bi s
which
pass
nea
he
uns able
pe iodic
o bi ,
he
i s
amily
can
be
de ined
as
he
in e sec ion
o
he
abo e
neighbo hood
and his
image
by
he
Poinca é
map
.
We
cal]
e i-
cal
s ips
o
he
symme ics
o ho izon al s ips
.
We
enume a e
hese
s ips
.
Le
p
be
a
poin
o a
ho izon als ip
H
n
and
y
he
p ojec ion
on
he
posi ionplane
o
he
o bi
segmen
wi h
endpoin s
p
and
-1 (p)
i
i
exis
.
The
numbe
n
deno es
he
numbe
o
imes
y
u ns
a ound
he
equilib ium
poin
.
164
Now,
we
conside
alues o
C
jus
abo e
ha
C
2
.
The ollowing
heo em
is
p o ed
wi h
he
me hods
o
Mose
[81
.
Theo em
.
Le
(..
.a-2,a-l,ao,al,a2,
. .
.)
be a
doubly
in ini e
sequence
o
posi i ein ege s
wi h
a
n
od
o
al]
n,
and
d=d(u,C)
a
cons an
.
Then
he e
exis
an
o bi
o
S
such
ha
he
numbe
o
in ege s e o-
lu ions
o
his
o bi
a ound
he
poin
L2
be ween
wo
consecu i e
e-
olu ions
o
S
a ound
E,
ollows
he
e mes o
he
gi en sequence
.
A
simila
esul
is
ob ained
o
alues o
C
jus
abo e
ha
C
l
.
Memb ia
p esen ada
pe
a
op a
al
g au
de
Llicenciada
en
Ciéncies
Ma emá iques
.
Di ec o
:
Jaume
Llib e
i
Saló
.
16
5
INDEX
0
.
P óleg
169
I
.
El
p oblema
es ingi ,
ci cula
i
pla
de
3
cossos
.
(1
.1)Les
equacions
del
mo imen
.
173
(1
.2)Els
pun s
d'equilib i
ela iu
.
177
(1
.3)Co bes
de
.
eloci a
ze o
i
egions
de
mo imen
.
179
(1
.4)Espec e
de
les
equacions
a iacionals
en un
en o n
d'un pun
d'equilib i
d'Eule
.
180
(1
.5)Sime ia
del
p oblema
.
183
II
.
El
lux p op dels
pun s
d'equilib i
col-lineals
.
(2
.1)El
eo ema
de
Mose -Liapuno
.
185
(2
.2)Es uc u a
del
lux
p op
d'unpun
d'eqúilib i
i
classi icació
de les
ó bi es
.
189
(2
.3)Les
aplicacions
lux dins de
N
.
193
III
.
O bi es
homoclíniques
.
(3
.1)Els
eo emes
onamen als
pe
1'exis éncia
d'ó bi-
es
homoclíniques
.
195
(3
.2)Exis éncia
d'ó bi es
homoclíniques
.
198
(3
.3)In e secció
de
les
a ie a s
d'ó bi es
asimp ó i-
ques
sob e
la
supe icie
x 2
=0
.
200
IV
.
El
shi
de
Be noulli
com
a
subsis ema
d'una
aplica-
ció
de
Poinca é
en
el
p oblema es ingi
.d
e 3
cossos
.
(4
.1)L'aplicació
.
205
(4
.2)P opie a s
de
1'aplicació
.
207
(4
.3)Les
successions
d'en e s
associades
a
les
'ó bi es
del
e ce cos
.
208
(4
.4)B eu
in oducció
del
shi
de
Be noullicom
a
subsis-
ema
d'una
aplicació
del
quad a
.
210
(4
.5)Les
bandesho i zon als
i
e icals
en R
.
213
(4
.6)Exis encia
de
mo imen s
quasi-alea o is
al
ol an
del
pun
d'equilib i
L2
.
216
(4
.7)Mo imen s
quasi-alea o is
al
ol an
del
pun
d'equili-
b i
L
1
.
2,18
(4
.8)Una
condició
equi alen
a
(ii)
pe
l'aplicació
del
shi
de
Be noulli
.
220
(4
.9)Un
esul a
onamen al
pe
e i ica
la
condició
(iii)
.
221
(4
.10)El
shi
de
Be noullicom
a
subsis ema
en el
p oblema
es ingi ,
ci cula
i
pla
de
3
cossos
.
222
Re e éncies
225
PR6LEG
Mol s
p oblemes
de la
mecánica
de ineixen
sis emes
dinámics
pe
als
quals,
degu
al'no
coneixemen
exac e de
les
condicions
inicials,
exis eixen
ó bi es
amb
un
compo amen
bas an
imp e isible
pe
g ans
in e als
de
emps
.
Aques
enomen
que po
sembla
poc
eqüen
es
p esen a
de
e
en
mol s
sis emes
hamil onians
d'equacions
di e encials
.
To s
els
exemples
que
es
coneixen
ins
a a
d'aques
ipus
de
mo imen
di ns del
p oblema
de
n-cossosco esponen
al
p oblema
es ingi
de
3
cossos,
en
el
qual
es
conside en
dos
pun s
ma e ials
P
1
i
P
2
que
es
mouen
so a
la
in e acció
g a i a ó ia
i
s'es udia
el
mo imen
d'un
e ce
cos
P3
que
se
suposa
.d
e
massa in ini essimal,
en
el
sen i
de
que
es á so més
a
1'a ac-
ció
g a i a ó ia
dels
al esdos
pe ó
no
in lueix
en el
mo imen
de
P 1
i
P2
.
El
p ime
dels
exemples
es udia s
a
se
el
p oblemade
Si niko ,
en
el
qual
els dos
p ima is
P1
i
P2
desc iuen
ó bi es
el
.líp iques
amb
el
seu
cen e
de
masses
en
epós
i
P3 es
mou
sob e
una
ec a
pe pendicula
al
pla
de e mina
pels
dos
p ima is
i
que
passa
pel
cen e
de
massesd'aques s
dos
.
Associan
a
cada
ó bi a
una
successió
d'en e s
( .
.
.a-2,a-1,a0,al,a2"
")
on
cada
e me
an
mesu a
el
núme o de ol es
en e es
donades
pe
P
1
i
P
2
en e
el
pas
n
i
el
següen
de P3 pel
pla del
mo imen ,
Aleksee
a
demos a
1'exis éncia
d'ó bi es
associades
a
una
successió
qualse ol
amb
lo
qual
que-
da a
ga an i zada
l'exis éncia
de
mo imen s
oscil
.la o is
i
de
o
ipus
d'e olució
inal
.
Més
a d (1970-73),
Mose
a
dona
una
no a
exposició
del
p oblemamol
més simpli icada
usan
el
shi
de Be nou
lli
i
desen olupan
unes
écniques
gene als,
que
ja
han
es a
u ili zades
da e amen
en
al es
p oblemes
.
Ma chal
a
dona
un
segon
exemple
de
compo amen
de
ipus
oscil
.la-
o i
en
les
eloci a s
dels
3
cossos,
pe o
sense
de alla
la
inclusió
del
shi
de Be nou
lli
com
a
subsis ema
.
Llib e
i
Simó
han
es udia
amb
o
de all
dos
nous
p oblemes,
el
p o-
blema
es ingi
el
.lip ic
i
ec ilini de 3
cossos en
el
qual
P
1
i
P2
an
col
.lisionan
el
.líp icamen
en
el
emps
i
P
3
es
mou
sob e
la
ec a
de e mi
nada
pels
dos
p ima is,
i
el
p oblema
es ingi
ci cula
i
pla
de 3
cóssos,
en
el
qual
se suposa
que
P 1
i
P 2
desc iuen
ó bi es
ci cula s
al
ol an
del
seu
cen e de
masses
i
P3
es
mou
en el
pla
de e mina
pels al es
dos
.
Es
demos a
que
en
els dos
p oblemes
es
é
el
shi
de
Be nou
lli
com
a
subsis-
ema
lo
qual
p o a
l'exis éncia
de
o s
els
possibles
ipus
d'e olució
inal
en
el
p oblema
espec iu
.
Una
de inició
igu osad'aques ipus
de
compo amen
és la
següen
:
Un
mo imen
és
quasi-alea o i
si
el
sis ema
dinámic
que
de ineix
é
el
shi
de
Be nou
lli com
a
subsis ema
.
Poinca é
a
de ini
un
pun
homoclínic
com
un pun
al
que
la
se a
ó bi a
és
asimp b ica
a
un
pun
ix
an
pe
emps
posi iuscom
pe
empsne-
ga ius,
i
a
e
no a
la
p eséncia
d'una es uc u a
mol complexa
pe
al
lux p op d'un pun
homoclínic
.
En
o s
els
p oblemesesmen a s
ins
a a,
la clau
pe 1'exis éncia
de
mo imen s
quasi-alea o is
ha
es a
semp e
1'exis-
éncia
d'una
ó bi a
homoclínica
al
pun
de
1'in ini ,
amb
una
ce a
condició
de no
degene ació
.
En
aques
eball
s'es udien
mo imen s
quasi-alea o is
en
el
p oblema
es ingi
ci cula
i
pla
de
3
co sos
pe ó,
a
di e éncia
dels
p oblemes
es-
udia s
ins a a,
aques s
mo imen s
semp e
enen
lloc
en
una
egid
aco ada
de
1'espai
de
ases
.
Conside em
alo s
de
la
cons an
de
Jacobi
que an que
les
egions
de
possible
mo imen
pe
al
e ce
cos
siguin
les
a llades
170
d'els
dibuixos
.
ig
.
0.1
En un
sis ema
de
e e éncia
móbil
amb o igen
en
el
cen e
de
masses
de
P
1
i
P
2
i
gi an amb els dos
p ima is,
el
sis ema
d'equacions
di e encials
que
desc iuen
el
mo imen
de
P
3
é
es
pun s
c í ics
L1,
12
i
L3
sob e
1'eix
que
con é
als
.
dos
p ima is,i
dos més
L
4
i
L 5
o man
iangles
equi-
lá e s
amb
P 1
i
P
2
.
En
els dos
casos
de
la
igu a
0
.1 el
eo ema
de
Liapouno
assegu a
que
pe
unes
ce escons an s
de
Jacobi,exis eix
una
ó bi a
pe iódica
in i-
ni essimal
en ol an
al
pun
d'equilib i
co esponen
L
1
o L
2
.
Fixada
la
cons an
de Jacobi
exis eix
una
a ie a
d'ó bi es
asimp b iques
a la
pe ió-
dica
in ini essimal
pe
-> +
-
i
una
al a
d'b bi es
asimp b iques
pe
-
-
-
.
Conley
ha
demos a
que
aques es
a ie a s
es allen en
una
ce a
egió
de
1'espai
de
ases
o man
un
angle
di e en
de ze o
.
En
el
capi ol
III
es dóna
una
no a
demos a,-ió
de
1'exis éncia
d'b bi es
homocliniques
a
la
pe iódica
in ini essimal
u ili zan
aonamen s
de
sime ia
.
U ili zan
les
écniques
de
Mose ,que
són
alides
en
un
en o n
d'un
pun
homoclinic
ans e sal
din e
d'un
espai
de
ases
de
dimensió
3,es
demos en
els se-
Ens
in e essa an
els
pun s
col
.lineals
i
en
pa icula
L
1
i
L2
.
Vegem
com
calcula
aques s
pun s
d'equilib i
ela iu
.
Pe
de inició,
en cada pun
Lj
,
j
=
1
:
5, es é x
i
=0,
amb
i=
1
=
4,
que
podem
esc iu e
u ili zan
el
sis ema
(1
.3)
com
x3 =
x
4
=
0,
i
ase
=
92
=
o
ax1 ax
2
De i an
sl
s'ob é
ax
_
_
1
3
u
(xl-u)
-
3
(x
l
+
1-u)
+ xl
1
asl
= _
1-u
u
x2
3
x2 -
3
x2+
x2
1
2
ax
2
92
ILi
= 0,
i
=1,2
;3,
i
pe
an
només
cal
imposa
En
pa icula
pe
al
pun
L2
.
enim
i
d'aqui
.
17
8
S
1
=S
1(L2)
=u
_x
1
S2=
S2(L
2
)
=x
1
_11+1
xl
-
u-1-S
2
S
1
=1-S
2
,
M,
1
1
c
.d
.»,
.
",
(~-1,
o)
0
(P
.o)
E_
_--,
)
-4---
s
5 i.
ig
.
1 .3
Pe
qualse ol
dels
pun s
col
.lineals
L 1
,
L
2
,
L
3
,
x2 = 0
.
Lla o s
9
n
8x
1
IL
i
=
0
i=
1,2,3
.
(1 .7)
Sigui
S
j (L
i
),
i=
1,2,3, la
dis áncia
del
pun
L
i
a la
massa
m
j
+ 0
.
Posan
(1
.7)
en unció de
S
2
s'ob é
un
polinomi
de
51
g au
que
s'anomena
la
quin ica
d'Eule
:
S2
-
(3
-
p)
S2+(3-2u)SZ
-
ps2+2p
S
2
-p=0
La
solució
S2
po
exp essa -secon
a
sé ie
de
po éncies
de
u
=
3
1/3
de
la
següen
mane a
:
S2(L2)
=
1311/3
[
1 -
3
1311/3
-1
1312/3,
.
.
.
.
. .
. .
.
(1
.8)
Rnálogamen
poden
ob eni -se
sé ies de
po éncies
pe
les
dis áncies
de
L
1
i
L3 a
P1
.
[10,
pag
.134-138]
.
(1
.3)
Co bes de
el
oci a
ze o
i
egions
de
mo imen
Sigui
C
i
=
C(L
i )
el
alo
de
la
cons an
de Jacobi
pe
al
qual
les
co bes
de
eloci a
ze o
con enen
el
pun
d'equilib i
L
i
,
i=
1
=
5
.
Les
cons an s
C
i
,
i=
1,2,3
depenen
del
alo
del
pa áme e,de
masses
u
de
mane aque
es
é
la
següen
ep esen ació
g á ica
pe les
C
i
com
a
uncions
de
u
.
1'es uc u a
opológica
de
les
ob enin -se
pe
u
¢
2
(p
=
2),
les
co besan e io s
ig
.
1
.4
Fixa
un
alo
del
pa áme e
u
i
a ian
la
cons an
C
esul a
que
co bes
de
eloci a
ze o can ia quan
C=C
i
9
(7)
es uc u es
opológiques
di e en espe
18
0
De
e
es a em
in e essa s
en
els
casos
en
que
C
<C
.2 i
C
<C
1
de
mane a
que les
co bes
de
eloci a
ze o
ind an
1'aspec e
dels
dibuixos
següen s,
lig
.
1
.5
ig
.
1
.6
El
e ce cos
es
po
mou e
dins de
les
egions
a llades
.
En el
p ime
cas
només
es udia em
les
ó bi es
de
m
3
que
es an
dins de
la
componen aco a-
da
de
la
egió
de
possible
mo imen
.
Pe
C
<C
1
eu em
(capí ol
III)
que
se
gons un
eo ema
de
McGehee,pe
alo s
pe i s
del
pa áme e
u,
les
ó bi es
que
passen
su icien men
a
p op
de
1
1
no
poden
escapa
a
1'in ini
.
Ens
li-
mi a em
a
1'es udi
d'aques esó bi es
.
(1
.4)
Espec e
de
les
equacions a iacionals
en
un
en o n
d'un pun d'equi
-
lib i
d'Eule
.
Pe
es udia
el
lux
a
1'en o n
dels
pun s
col
.lineals
d'equilib i
calculem
les
equacions a iacionals
lineals
en
un
en o n
d'un
d'aques s
pun s
.
Desen olupan
al
ol an
de L
i
,
i=
1,2,3
i
enin
p esen
que
2x11Li
2x
2
I~
L
.
=0,
i
2
x
k
_x
J
.
I
L
.
=
0
pe
k
*j,
la
pa
lineal
del
sis ema
(1
.3)
és
on
sz
=
sZ
kj
xkxjILi
Siguin
x 2
=x
4
x
3 =
2x
4
+
911
x1
x4 =
-2x
3
+222 x 2
podem esc iu e
el
sis ema
en
o ma
ma icial'
x=Ax
L'equacióca ac e ís ica
és
e4
+e2
(
4
-Q
22 -2
11
)
+
lHess
sis
=0
Calculem
aques es
de i ades
en
els
pun s
Li
-2(x
1
-p)
2
+x2
-
2(x
1
+1
-
p) 2
+x2
--
T
-
p
5
+
1
1
2
2-3x2
2
-
3x2
X22
5
- p
-~
+
1
1
2
Fa em
els
calculs
pe
al
pun
12
2
11
=
(1-p)
23
+
23+
1
>
0
IL2
.
l
2
0 0
1
0
0 0
0 1
X
11
0
0
2
011
22
-2 0
Vegem
que
222
<O
.
En
e ec e,
1-u
u
1-u)
u 1
~22
1
L
=
-
3
-
3
+
1
=
-
(
3
-
2
,
2
+
1
2
1 2
1 2
Com
2
11
=0,
enim
L
2
2
11
=x1+
~
=
u
-1+ 2+
12
2
l
l
doncs
S
2
=
2
si
el
e ce
cos
es á
a
L
2
.
Subs i uin
a
(1
.12)
i
com
1
+ 2
=
1,
esul a
que
2221
=
-(1-u)
L
2
Com
1
és
la
dis áncia
de
L
2
a ml
,
1
<
1,
lla o s,
i
pe
an ,
2221L
<
0
.
2
De
o ma
semblan
es
demos a
que
Hes
s
9I L
i
=
si
11
I
.
9221
<0,
L
i
Li
Si
.
e s
esol
1'equació
ca ac e ís ica
s'ob enen
dues
solucions
eals
can iades
de
signe
i
dues
imagina ies
±
i
,
pe
an ,
els
pun s
d'e-
quilib i
col
.lineals
són
ines ables
en
el
sen i
de
que
exis eixen
dues
a ie a s
asimp ó iques
al
pun ,
una
es able
i
una
ines able
.
Segons
el
eo ema
de
Ha man
,
del
e
de
que
la
pa
lineal
del
lux
sigui
ines able
es
dedueix
la
ines abili a
pe
al
lux
global
.
Hom
po demos a
que
1
Q
1
-
a
1
iT
11
-1T
2
=
.
W1
=
W2
=
.
ñ
-a
i
-1
Xa
Á(J
-VT
-
VT
a2
_
a
-
_pa
<0
_
a+ 2
_
=
2
on
a=
2a
b+x
2
'
T
2
2_b
eón ele
ec o s
p opis
de
alo s
p opis
+a, -a,
i ,
-i
espec i amen
.
Podem
esc iu e
la
solució
gene al
com
x( )
= ag a 1 +
a e-X 2
+2
Re
(Be
i w1)
(1 .13)
on
a
l
,
a2 e
R
i
s=sl +
s
2
i,
:són
cons an eque
depenen
de
les
condicione
inicials
.
Obse em
que pe
al=a2=
0 la
solució
és
pe iódica
.
La
p ojecció
d'aques aó bi ape iódica
sob e
el
pla
del
mo imen
és
una
el
.lipse amb
1'eix
majo
segons la
di ecció
de
1'eix
x
2
.
Pe
al a
pa ,
si
a
l
=
0,
1'ó bi a
(1
.13)
endeix
asimp ó icamen
a la
pe iódica
pe
emps
posi ius,
i
si
a2=
0
ho
a
pe
emps nega ius
.
En
el
capí ol
II
usan
un
eo ema
de
Liapouno
eu emque
aques a
ó bi a
pe iódica
in ini essimal
que
hi ha a
1'en o n
de
L
i ,
i=
1,2,3,
si
només enim
en
comp e
la
pa
lineal
del
lux,es
conse a
si
conside em
el
lux global
.
(1 .5)
Sime iá
de
l
p oblema
.
El
p oblema
es ingi
de
3
coseos
que
es em
es udian
é
una
ce a
sime ia
en
el
sen i
de
que
si
(xl
( ),
x 2
( ),
xl ( ),
x2 ( ))
és
solució
del
sis ema
di e encial
(1
.3),
lla o s,
(x
1(_ ),
-x
2
(- ),
-x
l
(- ),
x
2
(- ))
ambé
és
solució
.
El
signi ican
geomé ic
d'aques a
sime ia
és el
ep esen á
en
la
igu a
1
.7
.
Suposem
que
en
un
emps
1
el
e ce
cos
es á en
el
pun
p1=
(x1 ( l
),
x2(
l
))
del
pla
del
mo imen
mo en -se
amb
.una
eloci a
sinó-
dica
(x
1
( ),
ic
2
( )
)
de
mane aque
seguin
la
se a
ó bi a
a iba
a
un pun
P
2
= (x
1
(
2
),
x2~ 2))
en el
emps
2
.
Alesho es,
la
simé ica
espec e
1'eix
x
1
de
la
co ba
solució
que
passa
pe
P
1
i
P
2
és
ambé
una
solució
del
sis e
ma pe o
sob e
aques a,
el
cos
es
mou
de
P2
=
(x
1(_ 2)'
-
x2(= 2))
a
P1
=(x
1
(- l),
-
x2(-
1
))
amb eloci a
(-x
1
(- ),
X2(- ))
.
Pe
al a banda,és
cia
que
si
dues
b bi es
simé iques
es
allen
ho
an
sob e
1'eix
x
1
.
Si
in oduim
el
emps
com una
a iable
més
podem
de ini
la
sime ia
com
una
ans o mació
lineal
:
on
S
:
(x
1
,x2 .Y
1
.Y29 )
--(11,12,n1,nP
s)
C
1
=x1
'C
2
=-x2,n1
= _
yl'n2
=Y2
,
s = _ -
Es
ácil
comp o a
que
S
deixa
in a ian
el
hamil oniá
(1
.4)
i
que
52
=Id
.
Pe
mes
de alls
eu e
(1, pag
.4261
.
II
.
EL FLUX PROP DELS
PUNTS D'EQUILISRI
COL
.LINEALS
(2 .1)
El
eo ema
de
Mose -Liapouno
.
Pe
es udia
millo
el
lux
del
sis ema
p op
dels
pun s
col
.lineals
L
1
i
L2
in odui em
p e iamen
alguns
can is
de
coo denades
a i
d'ob eni
una
exp essió
del
hamil oniá
i
de
les
equacions
més
assequible
als
nos es
p opbsi s
.
Vegem
alguns
esul a
. s
cl'assics
sob esis emes
hamil onians
que
aplica em
al
nos e
p oblema
.
Sigui
x
=H
Y (x'Y)
(2 .1)
y
=
-Hx"(x,Y)
amb
x =
(xl'
.
.
.,xn)'
Y
= (Y1
.
...
Y
n
)
'
=
1,2,
n,
un
sis ema
hamil oniá
amb
n
g aus
de
llibe a
al
que
el
pun
x
=y
= 0
sigui
un
pun
d'equili-
b i
.
Suposem
que
H(x,y)
és
una
unció
eal
anali ica
en un
en o n
de 1'o i-
gen
.
En
aques escondicionsMose
[71
ha
demos a
el
següen
TEOREMA
2.1
:
(Mose )
Suposem
que
eZs
aZo s
p opis
de la
ma iu
de la pa
linealdel
sis ema
a
1 ,
...
,a
n
,-a
1 ,
. .
.,-a
n
són
2n
níone os
complexosdi e en s
.
Siguin
a
1
,
a
2
independen s
sob e
eZs
eals
i
Y
n
1
a
1
a-
n2a2
pe
a
o
pa ell
d'en e s
n
1 ,
n2
i
pe
a
o
>3
.
,
AZesho es,
exis eix
una
amília
de
solucions
de
(2
.1)
de la
o ma
x
=
w (C1,
E2, n1
,
n
2
)
(2 .2)
Y = ~
(C1i
E2' n1
,
n
2
)
on
a
l
(~)
=
a
l
.
. .
...
,
a
2
(Z)
= a
2
.
. .
0
0
0
gen s
en
I
T
=
T
-
"T'
la
ma iu
és
4
.
que
_
0
e
a
T
W
T T
n
=
n
- aT(C)
2
.
3)
T
T
e
Les
sé ies
9 ,
~
con e geixen
en
un
en o n
de
Z'o igen
i
el
anq
de
~
o 1
T
SP
nT
Les soluciona
depenen
de
qua e
pa áune es
complexos
E
T
,
n
T
.
Si
a
más,
a
l
,
a 2
,
-a
l,
-a
2
con enen
.
els
seus
complexes
conjuga s,
les
soluciona
poden
se
iades
eals
i
depenen
de
4
pa áme es
eals
.
Si el
sis ema
(2
.1)
és
eal,
les
(
_
X
,
=
1,
. .
.n,
són
ambé
alo s
p o-
pis
i
en
el
cas
pa icula
de
que
els
alo ap opis
a
1
,
a 2
del
eo ema
2
.1
sigui
n al
s
que
al
=0,1
# 0
eal,
a
2
=
-
a
2
~ 0
imagina ¡
pu ,
enim
pe les
equacionsdi e encials
pe
T
=
1,2
són
sé ies de
po éncies
con e -
i
les
soluciona
de
(2 .4)
es an
donades
pe les
unciona
exponencials
(2
.3)
0
0
0
on
a a
1'exponen
a
l
és
una
sé ie
eal
de
po éncies
en
~,
=~
T
.,,
,
~T
=a
~(s)
.
T
n
.
T=
-a~C)
n
T(2 .4)
a
1
(
~1'
C
2
)
=a
1
(1 1'
C 2
)
a 2 (0
1
91
2
)=-a
2
(0
1
"
2
)
(2 .5)
T
=1,2
i
a
l
és
imagina ¡
pu
.
Posan
al
=a,
a2
=is
les
soluciona
(2
.3)
són
se ies
eals
de
po encies
en
e ¡a,
coas,
sin
s
.
Obse em
que
en
aques
cas
exis eix
una
amilia
de
solucions
pe iódiques
eals
dependen
de
dos
pa áme es
eals
.
Aques
esul a
es
coneixcom
a
eo ema
de
Liapouno
.
De
e ,
el
eo ema
2
.1
de
Mose
és
una
gene ali zació
de
1'an e io
.
Dona em
un
enuncia
mes p ecís
del
Teo ema
de
Liapono
[11
.
Conside em
el
sis ema
Hamil oniá'(2
.1)
on
H és
una
unció
de
classe
C
1
amb
l
.
> 2
.
Suposem
que
1'o igen
és
un pun
c í ic
pe
H
i
que
a1
,
...
an
,
-a
1
,
.
.
.,
-a
n
són
els
alo a
p opis
del
sis ema
lineali za
.
TEOREPLA
2
.2
:
(Liapouno
)
Sí
a2
=
i
B
,
S> 0,
és
a
di
a
2
,
-
a
2
imagina is
pu s
i
cap
a
j
pe
,j=
1,3,
. .
.n
és un
múl iple
en e
de
a2
,
alesho es
exis eix
una
amilia
unipa aoné ica
ye
de inida
pe
0<
e<eo
d'ó bi es
ancades
solu
.-
cions
de
(2
.1),
alque
endeix
al pun
c í ic0
quan
e
-
;
0 i
alque
els
seuspe iodes
endeixen
a
2u/s
pe
e
->
0
.
Aques a amilia
unipa ame ica
d'b bi es
ancades
o men
una
sub a ie-
a
in a ian
de
dimensió
2
que
passa
a a és
del
pun
c í ic
.
A
i
d'aplica
aques s
eo emes
al
p oblema
es ingi
de
3
cossos,
Conley
'[3]
ha
adap a aques a
gene ali zació
del
Teo ema
de
Liapouno
degu-
da a
Mose
al
cas
especial d'un
sis ema
hamil oniá
au ónom
i
2
g aus
de
llibe a
con
és
Sigui
H(x,y)
=ax
1
y
1
+
2
(x2
+
y2)
+
03(x,Y)
x
1
= H
Y1
=
ax
1
+02(x,Y)
y
1
=-H
x
=-a
y1
+
02(x,Y)
1
x2
= H
y~
=
y
2+02(x,Y)
el
del
nos e
p oblema
.
anal¡ ic
amb
amb
x,
>
0, x
=(x
1
,x
2
),
y
=
(Y1'y2)
el
hamil oniá
d'un
sis ema
d'equacions
di e encia]
s
pe°
alqual1'o igen
és
un pun
d'equilib i
no
degene a
.
(2
.7)
(2
.6)
on
g(P-
*
)
és
una
sé ie
de
po éncies
en
P-
*
amb
e me
cons an di e en
de
ze o
.
En
pa icula ,
_gAe és
d'o d e
1
quan
P
-~
*
.
aP
I
P
-
*
I
La
demos ació
d'aques a
p oposició
és
deguda
a
Conley
[31
.
De
la
P oposició
2
.2
es
dedueix
una
conseqüénciaimpo an
.
Co ol
.la i
2.1
:
Sigui
Y1
un
a c
en
el
domini
de
~
amb
un
pun
ex em
P
sob e
a , iY2
un
a c
qualse ol
en
la
ima ge
de
Vi al
que
un
deisseus
pun s
ex-
ems
Q
es igui
sob e
a-
.
Lla o s,la
ima ge
de
Y1
seguin
el
luxdins
de
N
és un
a c que
espi alan
alla
in ini es
egades
a
l'a c
Y
2
en
qualse ol
en o n
de
Q
.
( eu e
ig
.
2
.
.5)
Aques
esul a
és cla
a
pa i de
la
p oposició
an e io
ja
que
pe als
pun s
de
Y
1
p op
de
p,
la
coo denada
adial
P
endeix
a *
i
pe
an ,
la
a iació
de
l'a gumen
de
~
es
a
a bi á iamen
g an
.
Sob e 1'es e a
es
eu á
que 0(Y
1
)
és
un
a c
a b i a iamen
lla g
que
espi ala
in ini es
egades
endin
a a
.
També
es
poden
de ini homeomo ismes
en e
dos
pa ells
de
discs
d'b bi es
de
ánsi
p enen
un
disc
sob e
cada
es e a
on e a
i
seguin
semp e
el
lux
pe
din e
de
N
.
La
p oposició
2
.2
i
el
co ol
.la i
2
.1
se an ambé
álids
en
aques s
casos
.
194
(3 .1)
Els
eo emes
onamen als
pe 1'exis éncia
d'ó bi es
homocliniques
.
Donada
una
cons an
de
Jacobi
C
<
C
i
i=1,2,3
enim
una
única
ó bi a
pe iódicain ini essimal
a
1'en o n
de
Li,
i=1,2,3
.
Una
ó bi a
a
-( esp
.w-)
asimp ó ica
és
una
ó bi a
que
é
pe
conjun
a-( esp
w-)
lími
ala
solució
pe iódica
en
N
.
Una
ó bi a
és
homoclinica
si
és
asimp ó ica
pels
dos
ex ems
.
Conley
[4]
i
McGehee[6]
han
demos a
pe
L 1
i
L
2
que
si
les
a ie-
a s
es able
e
ines able
d'ó bi es
asimp ó iques
no
coincideixen
(en
aques
cas
o es
les
ó bi es
de
les
a ie a s
es able
e
ines able
se ien
homocli
niques),
exis eixen
ó bi eshomocliniques
( eu e
ig
.
3
.1,
3
.2)
III
.
ORBITESHOMOCLINIQUES
ig
.
3
.1
ig
.
3
.2
Pe p ecissa
els
esul a s
de
Conley
i
McGehee
conside em
una
cons an
de
Jacobi
C
;
C
1 ,i
aillemels
pun s
L
1 i
L
2
en
egions
on
el
lux és
ben
conegu
ja
que
el
seu
aspec e
quali a iu
és el
dona
pe
les
equacions
a iacionals
lineals
com
a
conseqüéncia
del
eo ema
de
Ha man
.
Pe alo s
de
u
su icien men
pe i s,
la
dis áncia
dels
pun s
d'equi-
lib i
L
i
s
i=
1,2
a
la
lluna
és
ap oximadamen
=11111/3
,
p
e
an ,
les
linees
e icals
x
1
=
+c
l
í ,
x
1
=7±
b
1
Z,
on
=
u-1,
b1<1<c1
di ideixen
la
egió
de
Hill
en
cinc
conjun s onamen als
D,D
1
,D2,D
3
,D
4
( eu e
ig
.
3
.3)
19
6
De
e ens
in e essa á
el
lux
en
les
egions
P, N
1 ,
N2
, i
P3
de
la
hipe supe icie
.d
e
1'espai
de
ases
amb
una
c an
.d
e
jacobi
ixada,
que
es
p ojec en
sob e
D,D
1
,D2
i
D3
espec i amen
.
TEOREMA
3
.1
:
(McGehee)
Exis eixen
unes
cons an s
b
1
<1
<e
1
i
un
obe
02
del
pla
(u,C)
que
con é
el
g á ic
de
la
co ba
C
=
C
2
( )
( eu e
ig
.1
.3)
pe
u
p ou
pe i s al
que
si
(u,C)
e 02
,
lla o s
:
(1)
La
hipe supe icie
de
Jacobi
con é
un
o in a ian que
sepa a
Ede
M
.
La
p ojecció
sob e
el
pla del
mo imen
és
l'anell
de la
ig
.
3 .4
.
ig
.
3
.3
ig
.
3 .4
(2)
Pe
C
< C
2
(V)
el
lux
en
N
T
és
quali a i amen
igual
al
lux
dona
pe
les
equacions
a iacionals
lineals
.
(3)
Sigui
T
(1)
la
sub a ie a
de la
hipe súpe icie
de
Jacobi
aco ada
pel
o
in a ian
i
pe
la
on e a
de
N
1
comú
a
P,
n
1
.A
Zesho es,
exis eix
una
unció
6
:
T
(1)
.R
alque
(a)
6
és
una
coo denada
me idional
angula
pe
T(1)
(b)
6
és
es íc a nen
c eixen sob e
les
ó bi es
( eu e
ig
.
3
.5)
La
demos aciód'aques
eo ema
es
basa en un
a gumen
de
pe o bació
de
la
linea
C=C2
(
) del
pla
( ,C)
en un
en o n
del
pun
=0,
C=C
2
.
També
es
compleix
un
eo ema
semblan
pe
cons an e
de
Jacobi
C<C
1
( )
TEOREMA
3
.2
:
(MaGehee)
Exis eixen
cons an e
b
1
i e
1
i
un
con,jun
obe
O
Z
que
con é
el
g ii ic
de la
co ba
C=
C
1
(u)
( eu e
ig
.
1
.3)
pe
p ou
pe-
i es,
alque
si
(
;
C)
e
Ol
lla o s
:
(1)
La
hipe supe icie
de
Jacobi
con é
un
o
in a ian
que
sepa a
la
e a
i
la
huna
de
Z'
in ini
( eu e
ig
.
3.6)
ig
.
3
.6
19
7
(2)
Pe
C
<
C
1
(u)
el
luxen N
2
és
quali a i amen
el
ma eix
que
el
lux
pe
les
equacions
lineali zades
.
(3)
Si
T
(2)
és la
sub a ie a
de
la
hipe supe icie
de
Jacobi
aco ada
pel
o in a ian
i
pe
la
componen
de la
on e a
de
N
2
comú
a P
3 ,
alesho es,
exis eix
una
unció
9
:
T
(2)
-,
R
al que
:
(a) 6és
una
coo denada
me idional
angula
pe
T(2)
(b)
6
és
es íc amen c eixen
a lo
IZa g
de
les
b bi es
.
Obse em
que pe
alo s
de
(u,C)
e
0
1
1'exis éncia
d'aques
o
in a-
ian
a
que
les
b bi es
de
la
hipe supe icie
de
Jacobique passen
a
p op
de
L 1
,
no
puguin
escapa -se
a
1'in ini
.
La
e ce a
pa
d'aques sdos
eo emes
ens diu
que
el
c eixemen
de
é
a lo
lla g
d'un
segmen
d'ó bi a
en T(')
i=
1,2,
que
ingui
els
pun a
ex-
ems sob e
la
on e a
de
N
i
és
quasi
un
múl iple
en e
de
2,
di e en
de ze o
.
A
més,
pe
con inui a
espec e
les
condiciona
inicials,
el
c eixe-
men
.de é
sob e
qualse ol
segmen _d'ó bi a
amb-ex ema
en
N
ii
que
pugui
ans o ma -se
en
el
p ime
man enin
semp e
els
ex ema
sob e
N
i ,
és un
núme o
p óxim
al
ma eix
múl iple
en e
de
2,
.
Pe
al a
pa ,
si
una
b bi a
es á
mol
emps
aT
( ' ) ,
1'augmen
de é
esde é
a bi a iamen
g an
.
(3
.2)
Exis éncia
d'ó bi es
homoclíniques
.
Di em
N
a
un
qúalse ol
dels
conjun s
N
1
o
N
2
dels
eo emes
3
.1
i
3 .2
.
Sigui
n
la
componen
de
aN
comú
a P o P
3
segons
es
ac i
de
N 1
o N2
.
Amb
un
ma eix aonamen
demos a em
l'exis énciad'ó bi es
homoclíniques
dels
ipus
ep esen a s
a
la
ig
.
3
.1
i
3
.2
.
Només
cal
eu e
que
exis eixalgún
segmen
d'ó bi a
amb
pun a
ex ems
sob e
a+
i
a
-
.
El
lux
hamil oniáp ese a
á ea
sob e 1'es e a
n
( eu e
ig
.
2
.3)
pe
an ,
alguna
b bi a
que
a essa
N
de
x
1
=
+
b 1
Ñ
a
x1=
-
Ny
+
clu
( eu e
ig
.
3
.3)
ha
de
o na
a la
egió
que
con é
a la
lluna
a essan
198
N
en sen i con a i
.
Alesho es,exis i á
un
segmen
d'b bi a
dR
que
uneix
un
pun
R
de
d
amb
un pun
R'
de
d+
.
.
Unim
el
pun
Rala
co ba
a
pe
un
a c
y
sob e
d
i
seguim
cada pun
d'aques
a c
pel
lux ins
que
alli
anen
un
pun
de
d
+
.
Dona
un pun
Q
de
y
de inim,
si
exis eix
on
w( ,Q)
ep esen a
l'
.ó bi a
que pe
emps igual
a
ze o
passa
pel
pun
Q
.
Sigui
a
0
el
emps
necessa i
pe
ana de
R
a
R'
sense
deixa
P
u~i,és
a
di ,
a(R)
=
a0
.
a
(Q)
=mi
n
{ > 0
1
9( ,Q)
e
d
+
}
Di em
y' al
suba c
obe
i
.maximal,
al
que
sob e
o
y',
a
es á
de inida
i
és
una
unció
eal
con inua
.
Si
y'
és
igual
a
y
,
la
ima ge
d'aques
a c
es a á
con inguda
en d
+
i
ind em
un
segmen
d'ó bi a
que
uni á
un
pun de
a
amb
un pun
de
d
+
.
En
cas
con a i,
la
unció
a
no
es a-
á
aco ada
sob e
y'
.
En
e ec e,
si
R
és
el
p ime pun de
y
que
no es á
en
y'
i
suposem
que
a és
aco ada,
pe
con inui a
espec e
les
condicions
ini-
cials
pod iemde ini
a(R)
=1im_
a(Q)
i
pe
an ,
y'
ja no
se ia maximal
.
Q
;R
Suposem
doncs,que
a
no
és
aco ada
sob e
y'
.
Sigui
n(R)
el
núme o de ol es
que
d
R
dona
al
ol an
del
o
in a ian
.
En
els
pun s
de
y'
p óxims
a R,
la unció
a
s'háu á
e
a bi á iamen
g an
A
lesho es,
els
segmen s
d'ó -
bi es
co esponen s
a
aques s
pun s
s'hau an
e
a bi á iamen
lla gs,
pe o,
pe
con inui a
n(R)
és
cons an
sob e l'a c
y'
.
.
Pe
an ,
és
necessa i
que
exis eixin
suba cs
d'aques s
segmen s
d'ó bi es
dins
de
N
que
es iguinmol
a
p op
del
conjun
asimp ó ic,
pe
lo
queja
ima gede
R
pe
1'aplicació
lux
ha
d'es a
sob e
a+
.
Tind em
-n
aques
cas
un
segmen
d'ó bi a
que
uneix
un
pun
R
de
d
amb
un pun
de a
+
.
Podem
suposa
a a
que
ó
és
un
segmen
d'ó bi a
en
P
U
N
que
uneix
un
pun
Mdea
amb
un pun
5
de
d+
.
Amb
ex em
a M
conside em
un
a c
sob e
la
co ba
a-
.
Suposem
que
la
unció
ano
es á
aco ada
sob e
a
-
.
Aiesho es,
igual
que
abans,
exis i áalgun
pun
de
a
al
que
la
se a
ima ge
pel
lux
es a á
sob e
a
+
i
ind em
una
b bi a
homoclínica
.
Si a es
pogués
de ini
sob e
o
a -
,
old ia
di que
pe
1'aplicació
lux
es
ans o ma ia
en
una
co ba
con in-
guda en
d+
,
pe o
aixó no
po
passa pe que
a+
i
a
de e minen
sob e
n
á ees
iguals
i
el
lux
p ese a
á ea
sob e 1'es e a
.
Hem
demos a
que
obé
exis eix
alguna
ó bi a
homoclínica
o
bé,
la co -
ba a es
ans o ma
en a
seguin
el
lux o a de
N
i
en
aques
cas les
a ie-
a s
asimp b iques
coincideixen
.
(3
.3)
In e secció
de
les
a ie a sd'ó bi es
asimp b iques
sob e
la
supe i
-
cie
x2
-0
.
Siguin
n
=
{(x
l
,x
2
,x3
,x
4
)
e R4
11/2(x3+x4)_
s (xl,x2)
-_
_C/2}
J
=
nn
{
(x
1
,x
9
,x~,x
4
)
F(x
1
,x
2
,x
3,x
G
.
)=~
lla o s
1'equació
de
la
a ie a
ines able
és
F(x
l
,_x2,_x3,x4
)
-
_0
R4
x2=0
.,
x
,
~
0
}
Es
cla
que
si
(xl( ),x2( ),x3( ),x4( ))
és
una
ó bi a
asimp ó ica
a
la
ó bi ape iódicain ini essimal
pe
emes
posi ius,
lla o s,
1'ó bi a
si-
mé ica
(xl(- ),-x2(- ),-x3(- ),x4(- ))
se á
asimp ó ica
pe
emes
nega ius,
pe
an ,
si
la
a ie a
es able
é
pe
equació
A
pa i
d'a a
conside a em
alo s
del
pa áme e
de
masses
u
, i
de
la
cons an
de
Jacobi
C
,
als
que
el
pun
que
de e minen
sob e
el
pla
u,C
es igui
en
les hipó esis
del
eo ema
3
.1
0
3
.2
segons
el
pun
d'equilib i
conside a
.
Lema
3.1
:
Fixem
una
cons an
de
Jacobi
.
Fo a
de la
egió
N, el
conjun
A~
(A)
d'ó bi es
asimp ó iques
a
l'b bi a
pe iódica
in ini essimal
pe
}
1
(
-
-)
alla
a
la
supe icie
J
en
una
co ba
ao
.(a
l )
ancada,
simple
i
analí ica
.
Demos ació
:
En
el
capi ol
II
hem
is
que
degu
a
que les
b bi es
asimp b i=
ques
allen
ans e salmen
a
1'es e a
n,
la
in e secció
de
A
+
amb
n és
una
co ba
a +
homomo a
a un
ce cle
.
Com
que~les
equacions
del
p oblema
són
analí-
iques
i
n
és
una
supe icie
analí ica,
a
+ és
una
co ba
eal
analí ica
.
Pe
ob eni
la
co ba
a
o
sob e
J
seguim
les
solucions
que
passen
pe
a
+
pe
emps
dec eixen s
.
desde
1'es e a
n
ins
a
la
supe icie
J
.
.
Es cla
que
exis eix
in e secció
doncs, segons
els
eo emes
3
.1
i
3 .2
quan
una
ó bi a
su
de
la
egió
N,
sob e
el
pla del
mo imen
es
eu
que
gi a
al
ol an
dels
anells
ep esen a s
a
les
ig
.
3
.4
i
3
.6,
segons
conside em
el
pun
d'equili-
b i
L
2 o
el
pun
L
1
.
El
emps
de
anspo
és
ini
.
Com que
el
lux és
ans-
e sal
a la
supe icie
J
,
el
cilind e
o igina
pe
a+
seguin
el
lux
en-
da e a
alla
a
J
ans e salmen
i
pe
an ,
la
in e secció
és
una
co ba
ancada,
simple
i
analí ica
( eu e
ig
.
3
.7)
ig
.
3
.7
Lema
3
.2
:
Fo a
de
la
egió
N,
les
a ie a s
A
IF
i
A
d'ó bi es
asimp ó iques
es
allen
sob e
la
supe icie
J
en un
pun
M
amb
x
3
=
0
.
Demos ació
:
Les
co bes
ao
i
a
l
donades
pel
lema
3
.1
són
simé iques
pe
la
sime ia
(1
.14)
pe
an ,
ind an
pe equacions
202
F(x
l
,0,x
3
5x
4
)
=0
F(x
1
,0,-x
39
x
4
)=0
Es
cla
que
pe una
ma eixa
cons an
de
Jacobi
aques es
dues
co bes
es
allen
pe
x3 = 0
.
Aques
pun
d'in e secció
co espon
a
una
ó bi a
homo-
clinica
ja
que
pe any
a
les
dues
a ie a s
asimp b iques
.
A
més,
si
w
( ,M)
és
1'b bi a
que
pe
=
0
passa
pel
pun
M
es é
que
si
T
=
min
{
>
0
jw( ,M)
e
n} lla o s,
~P(T,Ñ) e a+
i
-P(-T,M)
e
a
Lema
3
.3
:
El
conjun
H
de
les
ó bi es
homoclíniques
és
in a ian
pe
la
si-
me ía
S
.
Demos ació
:
Es
una
conseqüéncia
del
e
de
que
H
= A
+
n
A
i
de
que
A+
i
A
són
simé iques
.
Di em
que
el
pun
homoclínic
Més
ans e sal
si
en
aques
pun
les
angen s
a
les
co bes
a
o
i
a
l
o men un
angle
di e en
de ze o ( eu e
ig
.3
.8)
ig
.
3 .8
Demos a em
1'exis énciad'b bi es
homoclíniques
ans e sals
en
el
nos e
p oblema
amó
el
ma eix
a gumen
u ili za
pe
R
.C
.
Chu chill
i D
.L
.
Rod
a
[2]_
.
Conleyha_demos a
numé icamen
que
exis eixen
in e als
no
bui s
de
la
ec a
eal,
1 2
dins
de
1'in e al
(C
l
,C
2
)i
11
en
(C3
9C
1
),
als
que pe
alo s
de la
cons an
de Jacobi en
11
o
1 2
exis eixenb bi es
homoclíniques
ans e sals
.
Si
pe
alo s de
C
més pe i s
pe b
p óxims
a C
2 o
a C
l
els
pun s homoclinics
ossin
no
ans e sals,
les
de i ades
p ime esde
F(x
1
,0,x
3
,x
4
)i
de
F(x
1
,0,-x
3
,x
4
)
coincidi ien
en un
in e al
i
pe
analici a
coincidi ien
semp e,
lo
qual
es a en
con adicció
amb els
esul a s
de
Conley
.
D'aques
aonamen
es
dedueix
el
segien
esul a
.
Lema
3 .4
:
Pe
alo s de
la
cons an
de
Jacobi más
pe i s
pe o
p óxims
a C
Z
o
a
C
I
exis eixen b bi es
homocliniques
ans e sals, e
po se
d'un
conjun
ume able
de
alo s
de
C
.
(4 .4)
B eu
in oducció
del
shi
de
Be noulli
com
a
subsis emad'una
apli
-
ció
del
quad a
.
Sigui
Ael
conjun
N
u
{m}
on N és
el
conjun
de
núme os
na u als
i
un
elemen
qualse ol
.
De ini em
en
A
una
o denació
o al
de la
següen
mane a,
di em
que
a
<
b si
essen
a
i
b
na u als,
a és
meno
o
igual
que
b,
obé, si a és
na u al
i
b
és
.
.
De inim
S
com
el
conjun
o ma
pe les
successions
d
.'elemen s
de
A
que són
d'algún
dels
ipus
següen s
:
(a)
( .
.
.a_29a_1,a0,al,a2
.
.
.. )
amb
an
pe
a
o
en e
n
.
(b)
(a
k'
ak+1,
. .
. .
.)
amb
a k
=
"
k<0
i
a
n
m
pe
a
o
en e
n >
k
.
(c)
( .
.
.a1-21
a
1-1'
al)
amb
a,=
-,
1>
1
i
a n
~~
pe
a
o
en e
n<1
.
(d) (ak
.ak+l,
...
. .
.,al_l,al)
amb
a
k=
a
l
k
<
m,
1
>1
i
;
a n
pe
a
o
en e
n al
que
k<n<1
.
Donem
a
S
una
es uc u a
d'espai
opológic
de inin
pe
a
cada
elemen
a
de
S
una
baseT
en o ns
.
{U
j
(a)},
j
=1,2,3
,
.
. .
.
Segons
que
a
sigui
del
ipus
(a),
(b),
(c)
o (d)
enim
P oposició
4.1
:
Els
subconjun s
U
.(a)
a ian
j i
a
de ineixen
una opológia
J
enS
.
L'espai
opológic
S
és
compac e
.
La
demos ació
d'aques a
p oposició
es
oba
a
[5]
.
El
shi
de
Be noulli
de
S és
una
aplicació
a
de inida
sob e
elemen s
a
de
S al
que
(a(a))
n
=an-1
pe
a
o
en e
n
.
El
domini
de
de inició
de
a és
D(a)
={a e S
1
ao ~}
u
j
(a)
=
{a'
e
S a n
=a
n
si
¡ni
<j}
U
j
(a)
=
{a'
e S
an' =
a
n
si k <
n <
j,
i
al>
j}
u
j
(a)={a'
e S
1
an=a
si -j
<_n<1,
i
a>>j}
U j
(a)
_
{a' e S
1
an
= an si K <
n<
1 i
a
k, aí
> j }
i
la
ima ge
Img(a)
=
{a e S
1
a1 +
m}
Sigui
una
aplicació
con inua
de
1'espai
opológic
X en
el
ma eix,
i
g
una
al a
aplicació
con inua
d'un
espai
opológic
Y
en
ell
ma eix
.
Di em
que
g és un
subsis ema
de
si
exis eix
un
homeomo isme
de
Y
en
h(Y)
c
X
que
a
commu a iu
el
següen
diag ama
.
X
X
1h
Y
Es
demos a
que
el
shi
a
és
un
subsis ema
de
ce es
aplicacions
de inides
en
el
quad a
Q=(0,11
x
O,11
.
Pe
p ecissa
aques
e
de inidem
algunes
nocions
en
el
quad a
Q
.
Sigui
p
un núme o
0
<p<
1
.
Una
co ba
y
=
h(x)
se'n
diu
ho i zon al
si
(a)
0<h(x)<1
pe
a
o
0<x<l
.
(b)
Ih(x
l
)
-
h(x
2
)
I
<
p
Ixl-x2
pe
a
o
0<
:- 1 <
x2
<1
Una
banda
ho i zon al
en
Q
se a
el
conjun
H =
{(x,y)
e
Q
I
h
1(x)
<
y
<
h2(x)}
on
h 1
(x),
h2
(x)
són
co besho i zon als
als
que
0<h
1
(x) <h2
(x)<
1
pe
a
o
0
<
x<
1
( eu e
ig
.4
.3)
ig
.
4
.
3
Es
de ineix
el
diáme e
d'una banda
ho i zon al
com
d(H)
=
max(h2(x)-
-
h
1(x»
.
0<
x<
1
Una
co ba
e ical se á
una
co ba
x =
(y)
al
que
(a)
0< (y)<1
pe a
o
0<y<1
(b)
I (Y
1
)
-
(Y2)
1
<
P
¡Y
1 -
Y21
Pe
a
o
0 .<y
1
<y2
<1
De
o ma
semblan
es
de ineixen
les
bandes
e ical
.s
i
el
diáme e
d'una banda
e ical ( eu e
ig
.
4.3)
.
Conside em
un
homeomo isme
:
Q
-}
12 al
que
(i)
Exis eixi
una
amilia
de bandes
ho i zon als
Hn
disjun esdos
a
dos,
i
una
amilia
de bandes
e icals
V
n
disjun esdos
a
dos, als
que
(V-
n
)=H
n
pe
a
o
n
na u al,
i
que les
on e es
ho i zon als
( espec i amen e i-
cals)
de
H
n
siguin
les
ima ges
pe
de
les
on e esho i zon als
( espec-
i amen e icals)
de V
n
( eu e
ig
.
4
.4)
.
A
més,
si
les
bandes
es an o de-
nades
com
a
la
ig
.
4
.5
i
p enem
V. =
{(x,y)
e
Q Ix = 1}
i
H
.
=
{(x,y)
e
Q
ly=
1},
alesho es,
V
n
->
V_
i
H n
->
H
.
quan
212
V~
. . .
V
ig
.
4
.4
ig
.
4
.5
La
demos ació
del
següen
eo ema
es
oba
a
[8j
.
jii)
Si
V és
una
banda
e ical
con inguda
en
U
V n
,
alesho es,
neN
V'
=Vn
n
-1
(V)
és
una
banda
e ical
pe
a
o
na u al
n,
i
pe
algún
1
ix
0<
1<
1,
es
cumpleix
d(V
n
)
<
l
.d(V
n
) .
Análogamen ,
si
H
és
una
banda
ho i zon al
con inguda
en
U
H
,
alesho es,
H'
=
H
n
n
(H)
és
una
banda
ho-
neN
n
n
i zon al
pe
a
o
na u al
n,
amb
d(H
n
)
<l
.d(H
n
)
.
H~
TE
OREMA
4
.1
:
Un
homeomo isme
:Q
->
R
2
cumplin
les
condicione
(i)
i
(ü)
é
el
shi
de
Be noulli com
a
subsis ema,
és
a
di ,
exis eix
¿in
homeomo -
isme
h
:
S -
h(S)
C
Q
.
al
que
h
o
a=
o
h
I
D(a)
La
e sió
del
shi
de
Be noulli
u ili zada
en
aques
eball
és
degu-
da
a
Mose ,
el
qual
només
ha
es udia
en
de all
el cae
en
que
S
es
el
conjun
de
successions
de
ipus-(a),
aplican
el
shi
de
Be noulli
al
p oblema
de
Si niko
[81
.
Amb
la
in oducció
de
lel
successions
de
ipus
(b),
(c)
i
(d),
Llib e
i
Simó
[51
han
demos a
que
en
el
p oblema
es ingi
el
.líp ic
i
ec ilini
de
3
cossos
i
en
el
p oblema
es ingi
ci cula
i
pla
de
3
cossos,
es é el
shi
de
Be noullicom
a
subsis ema,
lo
qual
p o a
1'exis encia
de
o s
els
ipus
possibles
d'e olució
inal
en el
p oblema
espec iu
.
Aques a
gene ali zaci6
del
shi
de
Be nou
lli
pe me
de e mina
una
a ie a
més
amplia
de
mo imen s
quali=alea o is
.
Veu em
que
en
el
nos e
p oblema
1'homeomo isme
de ini
sob e
R en
la
secció
(4 .1) é
el
shi
de Be nou
lli
com
a
su
bsis ema
.
Segui em
les
écniques
in oduides
pe
Mose cons uin
en R
unes
amilies
dé
bandes
ho
i zon als
i
e ical
s
que
de
o ma
an icipada
ene
pe me
an
abans
d'in o-
dui
el
shi ,
demos a
1'exis éncia
de
mo imen s
quas alea o is
del
e ce
cos
.
La clau
pe
la
cons ucció
de
les
bandes
en R
la
dona
el
lema
4
.1
.
(4
.5)
Les
bandesho i zon als
i
e icalsen
R
.
Els
cos a s
de R, e2
i
e4
eón dos
a ce
de
co ba
amb
un
dels seus
ex-
ems sob e
ao
,
pe
an ,
segons
el
lema
4
.1
la
ima ge
de
R
pe
, és
una
cin a
de
longi ud
no
aco ada
a R
i
que
es
a
d'aques a
cin a
nexes
disjun es,
de
les
quals
només
un núme o
ini
no
es an
limi ades
pels
cos a s
e
l i
e3
( eu e
ig
.
4
.6)
que
espi alan
alla
.
in ini es
egades
en
més
es e a
a
mesu a
que
s'acos a
aa
1
.
La
in e secció
amb
R
es á
o mada
pe
un
nomb e
in ini
de
componen e
con-
Di em
banda
ho i zon al
a
cada
una
de
les
componen e
connexes
de
(R)
n
R
.
Conside em
només
les
bandes de
(R)
n
R
limi ades
pe
el
i
les
nume em
comengan
pe
la
que
es a
més
a
p op de
e
4
,
H1,
H 2
, .
...
di-me o
endeix
a
ze o
mean
desjun es
dos
a
dos
i
V
n
-
V
m
,
H
n- H
quan
n
->
-
.
(c)
(V
n
)
=
H
n
pe
a
o
na u al
n
.
ig
.
4 .6
pe
de
les
on e es
ho i zon als
( espec i amen
e icals)
de
Vn
.
bandes
.
Veu emque
(V
n
)=Hn
pe
a
o
n
na u al
.
De inim
H
m=e
l
i
V_
=
e
2
.
Tenim
així
de inides
sob e
R
una
amília
de
bandes
ho i zon als
{H
n }
limi ades
pels
cos a s
el
i
e 3
i
als
que
el
seu
De inim
les
bandes e icalscom
V n =
S(H
n
)
on
S és la
sime ia
(4 .2)
.
En
el
següen
lema
eu emque
1'homeomo isme
i
les
amilies
an e-
io s
de
bandes
ho i zon als
i
e icals
e i iquen
la
condició
(i)
de
la
secció
(4 .4)
.
Lema
4
.3
:
(a)
Les
bandee
ho i zon als
Hn
,
així
com
les
e icals
V
2
eón
(b)
Les
on e es
ho i zon als
( espec i amen
e icals)
deH
n
eón
ima ges
Demos ació
:
Els
apa a s
(a)
i
(b)
eón
immedia s
pe
cons ucció
de
les
En
p ime
lloc
demos a em
que
(V1)14l
.
A
pa i
d'aqui
i
u i-
li zan
el
lema
4
.2
es
dedueix
ácilmen
que (V
1
)DH
1
.La
demos ació
de
214
(c)
pe
n
di e en
de
1
és
simila
.
Pe
connexió
n'hi
ha
p ou
amb
eu e
que
exis eix
un
pun
p
de
V
1
al
que
(p)EH
1
.
Sigui
=H
1
n{x
3=0}
.Segons
el
lema
4
.2
So
-1
( )= oS( )= ( )
.
-1( )
és un
a c con ingu
en
.
Hk
pe
a
algun
na u al
k,
que
alla
a
1'eix
x
3
=0
.
Sigui
p
un
pun
d'aques a
in e secció
.
Degu
a
que
( )n{x3=0}=So
-1
( )n{x
3
=0}=
-
i( )n{x
3=0}1
p
és
un
pun
de
l'eix
de
sime ia
que
pe any
a
( )
i
a _1 ( )
.
Pe
an
enim
un pun de
H
1
pe
al
qual
exis eix
un ce
pun
gC-
al
que
(q)=p
.
Si
ele
pun s
p
i
q
eón
di e en e,
la
ima ge
del
segmen
de
l'eix
x3=0
que
uneix
q
amb
p,
és
un
a c
de
co ba
que
comenpan
a
p
s'acos a
a a
l
,
amb
lo
qual (p)
no
po
es a
a
Pe
an
p
és
un
pun
ix
pe
al
que
pEV
1
i
(p)E=
-
H
1
.
Di em
que
un
subconjun
H de R
és
una
banda
ho i zon al
de
R, si
és
homeomo
a
alguna
banda
Hn de
.R
.
Análogamen
es
de ineixen
les
bandes
e icals
de
R
.
Les
demos acions
dels
lemes següen s
eón
idén iques
a
les
dels
lemes
4
.3,4
.4i4
.5de[51
.
Lema
4
.4
:
Sigui
V
una
banda
e ical
en
R
con inguda
en
alguna
m
.
Lla o s,
pe a
o
na u al
n,
el
con
jun Vñ
de
ini
pe
Vñ
=V
2
n
j
:7-,
(V)
és
ambé
una
banda
e ical
de
R
.
Lema
4
.5
:
Si
H
és
una
banda
ho i zon al
de
R
,
con inguda
en
alguna
m,
lla-
o s,
el
conjun
Hñ
de ini
com
Hñ=Hn n
(H)
és
ambé
una
banda
ho i zon al
pe
a
o
na u al
n
.
Lema
4 .6
:
(i)
Pe
a
o a
successió
de
ipus
(a),
exis eix
clgún
pun
p
e
R
al que
m
(p)
e Va
pe
a
o
en e
m
.
m
(ii)
Pe
qualse ol
successió
de
ipus
(b),
exis eix
algún
pun
p
e
R
al
que
m
(p)
e
Va
pe
a
o
en e
m
.>
.
K
.
m
(iii)
Pe
les
successions
de
ipus
(c)
i (d)
es
enen
p opie a s equi alen s
.
(4
.6)
Exis incia
de
mo
imen s
qua
si-a
lea o ia
al
ol an
del
pun
d'equilib i
L2
.
TEOREMA
4
.2
:
Exis eix
al que
si
p enem
di e en e
de
ze o
dels
qua e
ipus
núme o
en e
b
=
b(u),
co espon
a
alguna
ó bi a
del
e ce
coa
.
sob e
la
co ba
a
+
,
un
núme o
in ini
pels a cs
+~e2)
i
+1
~(e
4
)
( eu e
ig
.
4.7)
.
La
ima ge
d'aques escomponen e
pe
~+
ene
dóna
les
bandes
ho i zon als
de
R
de inides
a
la
secció
(4
.5)
.
Les
nume em
de
Demos ació
:
Els
a cs
~_(e
2
)i
~_(e
4
)
enen
un
ex em
pe
an ,
segons
el
co ol
.la i
2
.1,
~(R
1
)
alla
aR
2
en
de
componen e
connexes
disjun es
dos
a
dos
i,'limi ades
o ma
^
a u wal
s2go s
es a Cn
a
.,
.
.
..,
.,
a
n
n, n1
iii
,
i
. .
H
2
,
. .
.
H
m
,
...
i
p enem
in e secci6
de
Vadhe éncia
de
R
2
amb
a
-
.
Sigui
p
un pun
d'una
banda
e ical
V
m
.
Com que
(V
m
)
=
Hm cal
que
e
Hm
.
Pe
an ,
ele
pun s
de
R
con ingu s
en
alguna
banda
e ical
V
m
donen condiciona
inicials
pe
ó bi es
pe
les
quals
la
a iació
de
e
21 6
un
obe
0
2
del pla
u,
C
con emin
la
co ba
C=
C2(u)
alo s del
pa inne e
de
masses
i
de
la
cons an
de
Jacobi
i
de
mane a
que
(u,C)
e
0
2
,
qualse ol
de
les
successions
an e io s
amb
cada
e me
a
n
més
g an
o
igual
que
un ce
ig
.
4
.7
n
.
co
m
la
en
el
p ime
pas
de
l'b bi a
pe
N
1
és
2-,,(m+
b+
6),on
b
es a
elaciona
amb
el
núme o
de ol es
en e es
donades
pe
~(R
1
)
al
ol an
de
1'ó bi ape ió
dica
in ini essimal
abans
de
alla
a la
es e a
pel
cos a
~+1
(e
2
)
i
6
és
al
que
0<
6<
1
.
El
núme o
b
depén
de
u,doncs
depén
de
l'angle
amb
que
es
allen
~+
1
(e
2
)
i
a-
.
Sigui
(...
.
a-2,a-l,a0,al,a29
. .
. .
)
amb
a n
>
b
pe a
o
en
n,
una
successió
de
ipus
(a)
.
Conside em
la-successió
(
.
.
.
.
b-2,b-l,b0,bl,b25
.
.
.)
on
b
n
=a
n
-b
pe
a
o
en
n
.
Segons
el
lema
4 .6
exis eix
un pun
p
de
R
al
que
-n
(p)
e Vb
pe
a
o
en
n
.
L'ó bi a
associada
a la
successió
n
donada
és
la
de e minada
pel
pun
p
.
Es
cla
que
pe
aques a
ó bi a
els
na u als
a
n
mesu en
el
núme o
de ol es
en e esdonades
pe
l'ó bi a
al
ol an
de
la
pe iódica
in ini essimal
en
cada
pas de
l'ó bi a
pe
1'en o n
N 1
.
De
la
ma eixa
mane a
es
demos a
el
eo ema
pels
al es
ipus
de
succes-
sions
.
A a
ja
podem
demos a
ácilmen
el
eo ema
A
.
Demos ació
del
eo ema
A
:
Fixada
la
cons an
de
Jacobi
C, la
p ojecció
de
1'ó bi a
pe iódica
in ini essimal
sob e
el
pla del
mo imen
és
una
el
.lipse
que
en ol a
el
pun
d'equilib i
L 2
.
Alesho espe
un
núme o
p ou
pe i ,
I
I
exis eix
un
en o n
N1
di=-
1'ó bi a
pe iódicacon inqu
en
Nl
i
al
que
pe
les
ó bi es
que
passen
pe
E
+
( ) es
compleix
que
cada
ol a
al
ol an
de
1'ó bi a
pe iódicain ini essimal
en NL
co espón
a
una
ol a
al
pun
L
2
sob e
el
pla
del
mo imen
.
La
con inui a
espec e
les
condicions
inicials
i
el
e
de
que
el
emps
de
pas
en e
Ni
i
N
1
és
ini
demos en
.
el
eo ema
A
.
Obse em
que
p enen
su icien men
pe i ,
pe
con inui a
espec e
les
condicions
inicials
hom po
aconsegui
que pe
als
segmen sd'ó bi a
con ingu s
en
P
i
amb
ex ems
sob e
els
conjun s
R 1 i
R2 de n
i
,
el
c eixe
men
de
la
coo denada
5
de inida
en
el
eo ema
3
.1
sigui
ap oximadamen
2T ,
ja
que
segons
el
lema
3.2,
1'augmen
de
á
co esponen
al
segmen
d'o -
bi a
homoclínica
que
con é
a M
i
é
ex ems
sob e
a+
i
a,
és
p bxim
a
2u
.
~/
No i's
que pe
demos a
el
eo ema
A
no cal
que
el
pun
homoclínic
M
sigui
ans e sal
dones
és
possible
e
la
ma eixa
cons ucció
de bandes
ho i zon alsi
e icals
si les
angen s
a
les
co bes
aD
i
a
1
en M
coinci-
deixen,
1'únic
cas
en
el
qual no és
alida
la
cons ucció
és
el
de
la
ig
.
4
.8
que-no
po
dona -se
degu
a
que les
co bes
a
D
i
a
1
són
simé iques
.
x3
=o
ig
.
4 .8
La
ans e sali a
del
pun
homoclínic
és
indispensable
en la
demos a-
ció
de la
inclusió
del
shi
de
Be nou
lli com
a
subsis ema
.
(4.7)
Mo imeñ s
quasialea o is
al
Vol an
del
pun
d'equilib i
L 1
.
Resul a s
análegs
als
ob inau s
en
la
secció
an e io
se an
ce s
al
ol an
del
pun
d'equilib i
L
1
.
Conside em
a a
alo s
de
la
cons an
de
Jacobi
a C
i
,
i
p enem
el
pa áme e
de
masses
~j
di e en
de ze o
i
su icien men
pe i , de
mane aque
(u,C) sigui
un
pun de
1'obe
01
dona
pel
eo ema
Els
eo emes
3
.1
i
3
.2 ja
ens
demos anque
en
aques escondiciona
compo ame
de
les
b bi es
el
.líp iques
de
la
egió
D3
,
que
passen
a
p op de
L1
,
és
semblan
al
de
les
b bi eses udiades
an e io men
dins
de
la sub a-
ie a
T(
1
) .
A
més,
el
lux
del
sis ema
di e encial
b i
1
1iL
2és
quali a i amen
el
ma eix
.
218
més
pe i s pe b
p oxims
3 .2
.
el
p op
dels
pun s
d'equili-
Fixada
la
cons an
de
Jacobi,
aillem
l'b bi a
pe iódica
in ini essimal
que
en ol a
a
L 1
en
una
egid
N2
que
es
p ojec a
sob e
D2
en
el
pla
del
mo i-
men
( eu e
ig
.
3
.3)
.
Els
lemes
3
.2
i
3 .3
demos en
que
les
a ie a s
es a-
ble
e
ines able
de
1'b bi a
pe iódica
in ini essimal
que su en
de
la
egid
N2
pe
la
componen
x
1 =
-
clj
de
la
on e a
de
N2
,
es
allen ans e sal-
men
sob e
la
hipe supe icie
x
2
=0en un
pun
homoclinic
si ua
sob e
1'eix
de
sime ia
x3 = 0
.
Es
cons ueix
un
conjun
Ren un
en o n
d'aques
pun
homoclínic,ies
de ineix
'una
aplicació
en
R
de
la
ma eixa
mane a
que
es
a
e pe
i
R en
les
seccione
(4
.1)
i
(4 .2)
pe cons an e
de Jacobi
meno s
pe ó
p óxims
a C
2
.
To es
les
p opie a s
ja
demos ades
pe
eón
ambé
Mi-
des
en
aques
cae
.
Pe
a
cada
b bi a
que
passi
pe
R
conside em
o s
ele
ze os
n
de
xl
( )=
-
cl
u
o dena s,
i
de
mane a
que
exis eixi
un
núme o
e
>
0
al
que
pe
a
o
n
<
<
n+e
es
compleix
x
1
( )
<
-
V
-c
l
( eu e
ig
.
3 .3)
.
Segons
que
la
successió
de
n
pugui
o
no
se
con inuadainde inidamen
an
pe
emps posi ius
com pe
emps
nega ius,
pod em
associa
a
les
b bi es
que
passen
pe
R
una
successió
d'algún
deis
ipus
(a),
(b), (c) o
(d)
de inin
ele
e mes
a
n
d'aques es
successions
com
a
(4
.3)
.
Es
cons ueixen
la
band
es
ho i zon als
i
e icals
en R
com
a la
secció
(4
.5),U ili zan
les
p opie a s
d'aques es amilies
de bandes
i
el
lema
4 .6,
la
demos ació
del
següen eo ema
és idén ica
a la del
eo ema
4
.2
pe
cons an sde
Jacobi
C ~S
C
2
.
TEOREMA
4.3
:
Exis eix
un
obe
n
del
pla
11,C
con enin
la
co ba
C=C
1
( )
al que
si
p enem
alo sdel pa áme e
de
masses
i de
la
cons an
de
Jacobi
di e en s
de ze o
i
de
mane a
ice
( ,C) e 0
1
i
qualse ol
de
les
successions
dels
ipus
(a), (b),
(c)
o
(s
a
l
amb
a
n
más
g an
o
igual
que
un
ce
núme o
en e
b
=
b( )
pe
a
o
en e
n,
co espon
a
una ó bi adel e ce cos
.
La
demos ació
del
eo ema
B és
igual
a
la
del
eo ema
A
.
Només
cal
