Moviments quasi-aleatoris en el problema restringit, circular i pla de 3 cossos

Pub . Ma . UAB 112 24 Ma g 1981 Mo imen s quasi-alea o is en el p oblema es - ingi , ci cula i pla de 3 cossos . ABSTRACT . ReginaMa ínez .i Ba chino The objec o his pape is o p o e he exis en e o a pa icula ype o quasi- andom mo ions o he es ic ed he e-body p oblem . In his p oblem, wo o he bodies which we cal] he ea h (E) and he moon (M), ha e posi i e mass, u and 1-u, espec i ely . They o a e in he plane coun e clockwise abou hei common cen e o g a i y . We call sa elli e (S) o he hi d body which has mass ze o and is ee o mo e in he plane . Le x,y he posi ion o S in a synodic sys em o coo dina es . We conside he equa ions o he mo ion on he in eg al su ace ob- ained o a gi en alue o he Jacobi cons an C . Fo a gi en u, he e a e i e basic con igu a ions o he Hill's egion . The alues o C which sepa a e hese i e cases will be deno ed by C i , i=1,2,3,4 . We onlyconside he alues o N su icien ly small and alues o C jus abo e ha C 1 o C 2 . In hese cases, he exis en e o uns ablepe iodic solu ions nea he wo collinea equilib ium poin s L 1 and L2 ollows om a heo em o Liapuno [1] . Fo his pe iodico bi i is iell known he exis en e o an uns able in a ian mani old and a s able in a ian mani old . The o bi s in he in e sec ion o bo h mani olds a e called homoclinic o bi s . They a e o bi s asymp o ic o he uns able pe iodico bi o posi i e ime and o nega i e ime . Conley [41 and McGehee [61 showed ha homoclinic o bi s o he pe io- dic o bi s gi en by he heo em o Liapuno , exis . Fo he alues o p su icien ly small and alues o C jus abo e ha C 2 , he exis en e o in a ian o i is p o ed by McGehee [61 .The ele an egions bounded by an in a ian o us a e*homeomo phic o a solid o us minus a 3-ball . These egionsp ojec on o he annuli shown in igu e 3.4 . Coun ing he numbe o imes an o bi winds a ound he solid o us co- esponds o coun ing he numbe o imes i winds a ound he annulus . When C 1 -C is posi i e and su icien ly small we ha e a simila esul (see igu e 3 .6) . In ac , we es ic ou s udy o a neighbo hood N o he pe iodic o bi and he egion T o he phase space bounded by he'in a ian o us and N . He e a Poinca é map is de ined on he su ace o sec ion J . The poin s o J a e he poin s o he phase space such ha he coo dína e y ls equal o ze o . and he cno dina es u and x a e n ea e hw ze o and J  7'  N, espec i ely . The symme y o he es ic ed hese-body p oblem allows us o con- side on J a ans e sal homoclinic poin wi h x=0 o he associa ed Poin- ca é map . In a sui able neighbo hood o his homoclinic poin we can cons uc a amily o ho izon al s ips and a amily o e ical s ips . Using known esul s o he beha io o o bi s which pass nea he uns able pe iodic o bi , he i s amily can be de ined as he in e sec ion o he abo e neighbo hood and his image by he Poinca é map . We cal] e i- cal s ips o he symme ics o ho izon al s ips . We enume a e hese s ips . Le p be a poin o a ho izon als ip H n and y he p ojec ion on he posi ionplane o he o bi segmen wi h endpoin s p and -1 (p) i i exis . The numbe n deno es he numbe o imes y u ns a ound he equilib ium poin . 164 Now, we conside alues o C jus abo e ha C 2 . The ollowing heo em is p o ed wi h he me hods o Mose [81 . Theo em . Le (.. .a-2,a-l,ao,al,a2, . . .) be a doubly in ini e sequence o posi i ein ege s wi h a n od o al] n, and d=d(u,C) a cons an . Then he e exis an o bi o S such ha he numbe o in ege s e o- lu ions o his o bi a ound he poin L2 be ween wo consecu i e e- olu ions o S a ound E, ollows he e mes o he gi en sequence . A simila esul is ob ained o alues o C jus abo e ha C l . Memb ia p esen ada pe a op a al g au de Llicenciada en Ciéncies Ma emá iques . Di ec o : Jaume Llib e i Saló . 16 5 INDEX 0 . P óleg 169 I . El p oblema es ingi , ci cula i pla de 3 cossos . (1 .1)Les equacions del mo imen . 173 (1 .2)Els pun s d'equilib i ela iu . 177 (1 .3)Co bes de . eloci a ze o i egions de mo imen . 179 (1 .4)Espec e de les equacions a iacionals en un en o n d'un pun d'equilib i d'Eule . 180 (1 .5)Sime ia del p oblema . 183 II . El lux p op dels pun s d'equilib i col-lineals . (2 .1)El eo ema de Mose -Liapuno . 185 (2 .2)Es uc u a del lux p op d'unpun d'eqúilib i i classi icació de les ó bi es . 189 (2 .3)Les aplicacions lux dins de N . 193 III . O bi es homoclíniques . (3 .1)Els eo emes onamen als pe 1'exis éncia d'ó bi- es homoclíniques . 195 (3 .2)Exis éncia d'ó bi es homoclíniques . 198 (3 .3)In e secció de les a ie a s d'ó bi es asimp ó i- ques sob e la supe icie x 2 =0 . 200 IV . El shi de Be noulli com a subsis ema d'una aplica- ció de Poinca é en el p oblema es ingi .d e 3 cossos . (4 .1)L'aplicació . 205 (4 .2)P opie a s de 1'aplicació . 207 (4 .3)Les successions d'en e s associades a les 'ó bi es del e ce cos . 208 (4 .4)B eu in oducció del shi de Be noullicom a subsis- ema d'una aplicació del quad a . 210 (4 .5)Les bandesho i zon als i e icals en R . 213 (4 .6)Exis encia de mo imen s quasi-alea o is al ol an del pun d'equilib i L2 . 216 (4 .7)Mo imen s quasi-alea o is al ol an del pun d'equili- b i L 1 . 2,18 (4 .8)Una condició equi alen a (ii) pe l'aplicació del shi de Be noulli . 220 (4 .9)Un esul a onamen al pe e i ica la condició (iii) . 221 (4 .10)El shi de Be noullicom a subsis ema en el p oblema es ingi , ci cula i pla de 3 cossos . 222 Re e éncies 225 PR6LEG Mol s p oblemes de la mecánica de ineixen sis emes dinámics pe als quals, degu al'no coneixemen exac e de les condicions inicials, exis eixen ó bi es amb un compo amen bas an imp e isible pe g ans in e als de emps . Aques enomen que po sembla poc eqüen es p esen a de e en mol s sis emes hamil onians d'equacions di e encials . To s els exemples que es coneixen ins a a d'aques ipus de mo imen di ns del p oblema de n-cossosco esponen al p oblema es ingi de 3 cossos, en el qual es conside en dos pun s ma e ials P 1 i P 2 que es mouen so a la in e acció g a i a ó ia i s'es udia el mo imen d'un e ce cos P3 que se suposa .d e massa in ini essimal, en el sen i de que es á so més a 1'a ac- ció g a i a ó ia dels al esdos pe ó no in lueix en el mo imen de P 1 i P2 . El p ime dels exemples es udia s a se el p oblemade Si niko , en el qual els dos p ima is P1 i P2 desc iuen ó bi es el .líp iques amb el seu cen e de masses en epós i P3 es mou sob e una ec a pe pendicula al pla de e mina pels dos p ima is i que passa pel cen e de massesd'aques s dos . Associan a cada ó bi a una successió d'en e s ( . . .a-2,a-1,a0,al,a2" ") on cada e me an mesu a el núme o de ol es en e es donades pe P 1 i P 2 en e el pas n i el següen de P3 pel pla del mo imen , Aleksee a demos a 1'exis éncia d'ó bi es associades a una successió qualse ol amb lo qual que- da a ga an i zada l'exis éncia de mo imen s oscil .la o is i de o ipus d'e olució inal . Més a d (1970-73), Mose a dona una no a exposició del p oblemamol més simpli icada usan el shi de Be nou lli i desen olupan unes écniques gene als, que ja han es a u ili zades da e amen en al es p oblemes . Ma chal a dona un segon exemple de compo amen de ipus oscil .la- o i en les eloci a s dels 3 cossos, pe o sense de alla la inclusió del shi de Be nou lli com a subsis ema . Llib e i Simó han es udia amb o de all dos nous p oblemes, el p o- blema es ingi el .lip ic i ec ilini de 3 cossos en el qual P 1 i P2 an col .lisionan el .líp icamen en el emps i P 3 es mou sob e la ec a de e mi nada pels dos p ima is, i el p oblema es ingi ci cula i pla de 3 cóssos, en el qual se suposa que P 1 i P 2 desc iuen ó bi es ci cula s al ol an del seu cen e de masses i P3 es mou en el pla de e mina pels al es dos . Es demos a que en els dos p oblemes es é el shi de Be nou lli com a subsis- ema lo qual p o a l'exis éncia de o s els possibles ipus d'e olució inal en el p oblema espec iu . Una de inició igu osad'aques ipus de compo amen és la següen : Un mo imen és quasi-alea o i si el sis ema dinámic que de ineix é el shi de Be nou lli com a subsis ema . Poinca é a de ini un pun homoclínic com un pun al que la se a ó bi a és asimp b ica a un pun ix an pe emps posi iuscom pe empsne- ga ius, i a e no a la p eséncia d'una es uc u a mol complexa pe al lux p op d'un pun homoclínic . En o s els p oblemesesmen a s ins a a, la clau pe 1'exis éncia de mo imen s quasi-alea o is ha es a semp e 1'exis- éncia d'una ó bi a homoclínica al pun de 1'in ini , amb una ce a condició de no degene ació . En aques eball s'es udien mo imen s quasi-alea o is en el p oblema es ingi ci cula i pla de 3 co sos pe ó, a di e éncia dels p oblemes es- udia s ins a a, aques s mo imen s semp e enen lloc en una egid aco ada de 1'espai de ases . Conside em alo s de la cons an de Jacobi que an que les egions de possible mo imen pe al e ce cos siguin les a llades 170 d'els dibuixos . ig . 0.1 En un sis ema de e e éncia móbil amb o igen en el cen e de masses de P 1 i P 2 i gi an amb els dos p ima is, el sis ema d'equacions di e encials que desc iuen el mo imen de P 3 é es pun s c í ics L1, 12 i  L3 sob e 1'eix que con é als . dos p ima is,i dos més L 4 i L 5 o man iangles equi- lá e s amb P 1 i P 2 . En els dos casos de la igu a 0 .1 el eo ema de Liapouno assegu a que pe unes ce escons an s de Jacobi,exis eix una ó bi a pe iódica in i- ni essimal en ol an al pun d'equilib i co esponen L 1 o L 2 . Fixada la cons an de Jacobi exis eix una a ie a d'ó bi es asimp b iques a la pe ió- dica in ini essimal  pe -> + -  i una al a d'b bi es asimp b iques pe - - - . Conley ha demos a que aques es a ie a s es allen en una ce a egió de 1'espai de ases o man un angle di e en de ze o . En el capi ol III es dóna una no a demos a,-ió de 1'exis éncia d'b bi es homocliniques a la pe iódica in ini essimal u ili zan aonamen s de sime ia . U ili zan les écniques de Mose ,que són alides en un en o n d'un pun homoclinic ans e sal din e d'un espai de ases de dimensió 3,es demos en els se- Ens in e essa an els pun s col .lineals i en pa icula L 1 i L2 . Vegem com calcula aques s pun s d'equilib i ela iu . Pe de inició, en cada pun Lj , j = 1 : 5, es é x i =0, amb i= 1 = 4, que podem esc iu e u ili zan el sis ema (1 .3) com x3 = x 4 = 0, i ase  =  92  = o ax1 ax 2 De i an sl s'ob é ax  _  _  1 3 u  (xl-u) -  3  (x l + 1-u) + xl 1  asl  = _  1-u  u x2  3  x2 - 3 x2+ x2 1  2 ax 2 92 ILi = 0,  i =1,2 ;3,  i pe an només cal imposa En pa icula pe al pun L2 . enim i d'aqui . 17 8 S 1 =S 1(L2) =u _x 1 S2= S2(L 2 ) =x 1 _11+1 xl - u-1-S 2 S 1 =1-S 2 , M,  1 1 c .d .», . ", (~-1, o)  0  (P .o) E_ _--, ) -4--- s 5 i. ig . 1 .3 Pe qualse ol dels pun s col .lineals L 1 , L 2 , L 3 , x2 = 0 . Lla o s 9 n 8x 1 IL i = 0  i= 1,2,3 .  (1 .7) Sigui S j (L i ), i= 1,2,3, la dis áncia del pun L i a la massa m j + 0 . Posan (1 .7) en unció de S 2 s'ob é un polinomi de 51 g au que s'anomena la quin ica d'Eule : S2 - (3 - p) S2+(3-2u)SZ - ps2+2p S 2 -p=0 La solució S2 po exp essa -secon a sé ie de po éncies de u =  3  1/3 de la següen mane a : S2(L2) = 1311/3 [ 1 - 3 1311/3 -1 1312/3, . . . . . . . . .  (1 .8) Rnálogamen poden ob eni -se sé ies de po éncies pe les dis áncies de L 1 i L3 a P1 . [10, pag .134-138] . (1 .3) Co bes de el oci a ze o i egions de mo imen Sigui  C i = C(L i ) el alo de la cons an de Jacobi pe al qual les co bes de eloci a ze o con enen el pun d'equilib i L i , i= 1 = 5 . Les cons an s C i , i= 1,2,3 depenen del alo del pa áme e,de masses u de mane aque es é la següen ep esen ació g á ica pe les C i com a uncions de u . 1'es uc u a opológica de les ob enin -se pe u ¢ 2 (p = 2), les co besan e io s ig . 1 .4 Fixa un alo del pa áme e u i a ian la cons an C esul a que co bes de eloci a ze o can ia quan C=C i 9 (7) es uc u es opológiques di e en espe 18 0 De e es a em in e essa s en els casos en que C <C .2 i C <C 1 de mane a que les co bes de eloci a ze o ind an 1'aspec e dels dibuixos següen s, lig . 1 .5 ig . 1 .6 El e ce cos es po mou e dins de les egions a llades . En el p ime cas només es udia em les ó bi es de m 3 que es an dins de la componen aco a- da de la egió de possible mo imen . Pe C <C 1 eu em (capí ol  III) que se gons un eo ema de McGehee,pe alo s pe i s del pa áme e u, les ó bi es que passen su icien men a p op  de 1 1 no poden escapa a 1'in ini .  Ens li- mi a em a 1'es udi d'aques esó bi es . (1 .4) Espec e de les equacions a iacionals en un en o n d'un pun d'equi - lib i d'Eule . Pe es udia el lux a 1'en o n dels pun s col .lineals d'equilib i calculem les equacions a iacionals lineals en un en o n d'un d'aques s pun s . Desen olupan al ol an de L i , i= 1,2,3  i enin p esen que 2x11Li  2x 2 I~ L .  =0,  i  2 x k _x J . I L .  = 0  pe k  *j,  la  pa  lineal  del  sis ema (1 .3) és on  sz  = sZ kj xkxjILi Siguin x 2 =x 4 x 3 = 2x 4 + 911 x1 x4 = -2x 3 +222 x 2 podem esc iu e el sis ema en o ma ma icial' x=Ax L'equacióca ac e ís ica és e4 +e2 ( 4 -Q 22 -2 11 ) +  lHess sis =0 Calculem aques es de i ades en els pun s Li -2(x 1 -p) 2 +x2 - 2(x 1 +1 - p) 2 +x2 -- T  - p  5  + 1 1  2 2-3x2  2 - 3x2 X22  5  - p -~ + 1 1  2 Fa em els calculs pe al  pun 12 2 11  = (1-p) 23 + 23+ 1 > 0 IL2 .  l  2 0 0 1 0 0 0 0 1 X 11 0 0 2 011 22 -2 0 Vegem que 222 <O . En e ec e, 1-u u  1-u) u 1 ~22 1 L = -  3 - 3 + 1 = -  (  3  - 2  ,  2 + 1 2  1 2  1 2 Com 2 11 =0, enim L 2 2 11 =x1+ ~ = u -1+ 2+ 12 2 l  l doncs S 2 = 2 si el e ce cos es á a L 2 . Subs i uin a (1 .12) i com 1 + 2 = 1, esul a que 2221 = -(1-u) L 2 Com 1 és la dis áncia de L 2 a ml , 1 < 1, lla o s, i pe an , 2221L < 0 . 2 De o ma semblan es demos a que Hes s  9I L i  =  si 11 I  .  9221  <0, L i Li Si . e s esol 1'equació ca ac e ís ica s'ob enen dues solucions eals can iades de signe i dues imagina ies ± i , pe an , els pun s d'e- quilib i col .lineals són ines ables en el sen i de que exis eixen dues a ie a s asimp ó iques al pun , una es able i una ines able . Segons el eo ema de Ha man , del e de que la pa lineal del lux sigui ines able es dedueix la ines abili a pe al lux global . Hom po demos a que 1 Q 1 - a 1 iT 11 -1T 2 = . W1 = W2 = . ñ -a i -1 Xa Á(J -VT - VT a2 _ a  -  _pa  <0  _ a+ 2 _  =  2 on a= 2a  b+x 2  '  T  2  2_b eón ele ec o s p opis de alo s p opis  +a, -a, i , -i  espec i amen . Podem esc iu e la solució gene al com x( ) = ag a 1 + a e-X 2 +2 Re (Be i w1)  (1 .13) on a l , a2 e R  i  s=sl + s 2 i, :són cons an eque depenen de les condicione inicials . Obse em que pe  al=a2= 0 la solució és pe iódica . La p ojecció d'aques aó bi ape iódica sob e el pla del mo imen és una el .lipse amb 1'eix majo segons la di ecció de 1'eix x 2 . Pe al a pa , si a l = 0, 1'ó bi a (1 .13) endeix asimp ó icamen a la pe iódica pe emps posi ius, i si a2= 0 ho a pe emps nega ius . En el capí ol II usan un eo ema de Liapouno eu emque aques a ó bi a pe iódica in ini essimal que hi ha a 1'en o n de L i , i= 1,2,3, si només enim en comp e la pa lineal del lux,es conse a si conside em el lux global . (1 .5) Sime iá de l p oblema . El p oblema es ingi de 3 coseos que es em es udian é una ce a sime ia en el  sen i de que si  (xl ( ),  x 2 ( ),  xl ( ),  x2 ( ))  és solució del sis ema di e encial  (1 .3), lla o s,  (x 1(_ ), -x 2 (- ), -x l (- ), x 2 (- )) ambé és solució . El signi ican geomé ic d'aques a sime ia és el ep esen á en la igu a 1 .7 . Suposem que en un emps 1 el e ce cos es á en el pun p1= (x1 ( l ), x2( l )) del pla del mo imen mo en -se amb .una eloci a sinó- dica  (x 1 ( ), ic 2 ( ) ) de mane aque seguin la se a ó bi a a iba a un pun P 2 = (x 1 ( 2 ), x2~ 2)) en el emps 2 . Alesho es, la simé ica espec e 1'eix x 1 de la co ba solució que passa pe P 1 i P 2 és ambé una solució del sis e ma pe o sob e aques a, el cos es mou de P2 = (x 1(_ 2)'  - x2(= 2)) a P1 =(x 1 (- l), - x2(- 1 )) amb eloci a (-x 1 (- ), X2(- )) . Pe al a banda,és cia que si dues b bi es simé iques es allen ho an sob e 1'eix x 1 . Si in oduim el emps com una a iable més podem de ini la sime ia com una ans o mació lineal : on S :  (x 1 ,x2 .Y 1 .Y29 ) --(11,12,n1,nP s) C 1 =x1 'C 2 =-x2,n1 = _ yl'n2 =Y2  ,  s = _ - Es ácil comp o a que S deixa in a ian el hamil oniá (1 .4) i que 52 =Id . Pe mes de alls eu e (1, pag .4261 . II . EL FLUX PROP DELS PUNTS D'EQUILISRI COL .LINEALS (2 .1) El eo ema de Mose -Liapouno . Pe es udia millo el lux del sis ema p op dels pun s col .lineals L 1 i L2 in odui em p e iamen alguns can is de coo denades a i d'ob eni una exp essió del hamil oniá i de les equacions més assequible als nos es p opbsi s . Vegem alguns esul a . s cl'assics sob esis emes hamil onians que aplica em al nos e p oblema . Sigui x =H Y (x'Y)  (2 .1) y = -Hx"(x,Y) amb x = (xl' . . .,xn)' Y = (Y1 . ... Y n )  ' = 1,2,   n,  un sis ema hamil oniá amb n g aus de llibe a al que el pun x =y = 0 sigui un pun d'equili- b i . Suposem que H(x,y) és una unció eal anali ica en un en o n de 1'o i- gen . En aques escondicionsMose [71 ha demos a el següen TEOREMA 2.1 : (Mose ) Suposem que eZs aZo s p opis de la ma iu de la pa linealdel sis ema a 1 , ... ,a n ,-a 1 , . . .,-a n són 2n níone os complexosdi e en s . Siguin a 1 , a 2 independen s sob e eZs eals i  Y n 1 a 1 a- n2a2 pe a o pa ell d'en e s n 1 , n2 i pe a o >3 .  , AZesho es, exis eix una amília de solucions de (2 .1) de la o ma x = w (C1, E2, n1 , n 2 ) (2 .2) Y = ~ (C1i E2' n1 , n 2 ) on a l (~) = a l . . . ... ,  a 2 (Z) = a 2 . . . 0 0 0 gen s en  I T = T - "T' la ma iu és 4 . que _ 0 e a T W T T n = n  - aT(C) 2 . 3) T  T e Les sé ies 9 , ~ con e geixen en un en o n de Z'o igen i el anq de ~ o 1 T SP nT Les soluciona depenen de qua e pa áune es complexos  E T , n T . Si a más, a l , a 2 , -a l, -a 2 con enen . els seus complexes conjuga s, les soluciona poden se iades eals i depenen de 4 pa áme es eals . Si el sis ema (2 .1) és eal, les ( _ X , = 1, . . .n, són ambé alo s p o- pis i en el cas pa icula de que els alo ap opis a 1 , a 2 del eo ema 2 .1 sigui n al s que al =0,1 # 0 eal,  a 2 = - a 2 ~ 0 imagina ¡  pu ,  enim pe les equacionsdi e encials pe T = 1,2 són sé ies de po éncies con e - i les soluciona de (2 .4) es an donades pe les unciona exponencials (2 .3) 0 0 0 on a a 1'exponen a l  és una sé ie eal de po éncies en ~, =~ T .,,  , ~T =a ~(s) . T n . T= -a~C) n T(2 .4) a 1 ( ~1' C 2 ) =a 1 (1 1' C 2 ) a 2 (0 1 91 2 )=-a 2 (0 1 " 2 ) (2 .5) T =1,2  i  a l és imagina ¡ pu . Posan al =a, a2 =is les soluciona (2 .3) són se ies eals de po encies en e ¡a, coas, sin s . Obse em que en aques cas exis eix una amilia de solucions pe iódiques eals dependen de dos pa áme es eals . Aques esul a es coneixcom a eo ema de Liapouno . De e , el eo ema 2 .1 de Mose és una gene ali zació de 1'an e io . Dona em un enuncia mes p ecís del Teo ema de Liapono [11 . Conside em el sis ema Hamil oniá'(2 .1) on H és una unció de classe C 1 amb l . > 2 .  Suposem que 1'o igen és un pun c í ic pe H  i  que a1 , ... an , -a 1 , . . .,  -a n són els alo a p opis del  sis ema lineali za . TEOREPLA 2 .2 :  (Liapouno ) Sí a2 = i B ,  S> 0, és a di a 2 , - a 2 imagina is pu s i cap a j pe ,j= 1,3, . . .n és un múl iple en e de a2 , alesho es exis eix una amilia unipa aoné ica  ye de inida pe 0< e<eo d'ó bi es ancades solu .- cions de (2 .1), alque endeix al pun c í ic0 quan e - ; 0 i alque els seuspe iodes endeixen a 2u/s pe e -> 0 . Aques a amilia unipa ame ica d'b bi es ancades o men una sub a ie- a in a ian de dimensió 2 que passa a a és del pun c í ic . A i d'aplica aques s eo emes al p oblema es ingi de 3 cossos, Conley '[3] ha adap a aques a gene ali zació del Teo ema de Liapouno degu- da a Mose al cas especial d'un sis ema hamil oniá au ónom i 2 g aus de llibe a con és Sigui H(x,y) =ax 1 y 1 + 2 (x2 + y2) + 03(x,Y) x 1 = H Y1 = ax 1 +02(x,Y) y 1 =-H x =-a y1 + 02(x,Y) 1 x2 = H y~ = y 2+02(x,Y) el del nos e p oblema . anal¡ ic amb amb x, > 0, x =(x 1 ,x 2 ), y = (Y1'y2) el  hamil oniá d'un sis ema d'equacions di e encia] s pe° alqual1'o igen és un pun d'equilib i no degene a . (2 .7) (2 .6) on g(P- * ) és una sé ie de po éncies en  P- * amb e me cons an di e en de ze o . En pa icula ,  _gAe és d'o d e  1  quan P -~ * . aP  I P - * I La demos ació d'aques a p oposició és deguda a Conley [31 . De la P oposició 2 .2 es dedueix una conseqüénciaimpo an . Co ol .la i 2.1 : Sigui Y1 un a c en el domini de ~ amb un pun ex em P sob e a , iY2 un a c qualse ol en la ima ge de Vi al que un deisseus pun s ex- ems Q es igui sob e a- . Lla o s,la ima ge de Y1 seguin el luxdins de N és un a c que espi alan alla in ini es egades a l'a c Y 2 en qualse ol en o n de Q . ( eu e ig . 2 . .5) Aques esul a és cla a pa i de la p oposició an e io ja que pe als pun s de Y 1 p op de p, la coo denada adial P endeix a * i pe an , la a iació de l'a gumen de ~ es a a bi á iamen g an . Sob e 1'es e a es eu á que 0(Y 1 ) és un a c a b i a iamen lla g que espi ala in ini es egades endin a a . També es poden de ini homeomo ismes en e dos pa ells de discs d'b bi es de ánsi p enen un disc sob e cada es e a on e a i seguin semp e el lux pe din e de N . La p oposició 2 .2 i el co ol .la i 2 .1 se an ambé álids en aques s casos . 194 (3 .1) Els eo emes onamen als pe 1'exis éncia d'ó bi es homocliniques . Donada una cons an de Jacobi C < C i i=1,2,3 enim una única ó bi a pe iódicain ini essimal a 1'en o n de Li, i=1,2,3 . Una ó bi a a -( esp .w-) asimp ó ica és una ó bi a que é pe conjun a-( esp w-) lími ala solució pe iódica en N . Una ó bi a és homoclinica si és asimp ó ica pels dos ex ems . Conley [4] i McGehee[6] han demos a pe L 1 i L 2 que si les a ie- a s es able e ines able d'ó bi es asimp ó iques no coincideixen (en aques cas o es les ó bi es de les a ie a s es able e ines able se ien homocli niques), exis eixen ó bi eshomocliniques ( eu e ig . 3 .1, 3 .2) III . ORBITESHOMOCLINIQUES ig . 3 .1  ig . 3 .2 Pe p ecissa els esul a s de Conley i McGehee conside em una cons an de Jacobi C ; C 1 ,i aillemels pun s L 1 i L 2 en egions on el lux és ben conegu ja que el seu aspec e quali a iu és el dona pe les equacions a iacionals lineals com a conseqüéncia del eo ema de Ha man . Pe alo s de u su icien men pe i s, la dis áncia dels pun s d'equi- lib i L i s i= 1,2 a la lluna és ap oximadamen  =11111/3 , p e an ,  les linees e icals  x 1 = +c l í ,  x 1 =7± b 1 Z,  on  = u-1, b1<1<c1 di ideixen la egió de Hill en cinc conjun s onamen als D,D 1 ,D2,D 3 ,D 4 ( eu e ig . 3 .3) 19 6 De e ens in e essa á el lux en les egions P, N 1 , N2 , i P3 de la hipe supe icie .d e 1'espai de ases amb una c an .d e jacobi ixada, que es p ojec en sob e D,D 1 ,D2 i D3 espec i amen . TEOREMA 3 .1 : (McGehee) Exis eixen unes cons an s b 1 <1 <e 1 i un obe 02 del pla (u,C) que con é el g á ic de la co ba C = C 2 ( ) ( eu e ig .1 .3) pe u p ou pe i s al que si (u,C) e 02 , lla o s : (1) La hipe supe icie de Jacobi con é un o in a ian que sepa a Ede M . La p ojecció sob e el pla del mo imen és l'anell de la ig . 3 .4 . ig . 3 .3 ig . 3 .4 (2) Pe C < C 2 (V) el lux en N T és quali a i amen igual al lux dona pe les equacions a iacionals lineals . (3) Sigui T (1) la sub a ie a de la hipe súpe icie de Jacobi aco ada pel o in a ian i pe la on e a de N 1 comú a P, n 1 .A Zesho es, exis eix una unció 6 : T (1) .R alque (a) 6 és una coo denada me idional angula pe T(1) (b) 6 és es íc a nen c eixen sob e les ó bi es ( eu e ig . 3 .5) La demos aciód'aques eo ema es basa en un a gumen de pe o bació de la linea C=C2 ( ) del pla ( ,C) en un en o n del pun =0, C=C 2 . També es compleix un eo ema semblan pe cons an e de Jacobi C<C 1 ( ) TEOREMA 3 .2 : (MaGehee)  Exis eixen cons an e b 1 i e 1  i un con,jun obe O Z que con é el g ii ic de la co ba C= C 1 (u)  ( eu e ig . 1 .3) pe p ou pe- i es,  alque si ( ; C) e  Ol lla o s : (1) La hipe supe icie de Jacobi con é un o in a ian que sepa a la e a i la huna de Z' in ini ( eu e ig . 3.6) ig . 3 .6 19 7 (2) Pe C < C 1 (u) el luxen N 2 és quali a i amen el ma eix que el lux pe les equacions lineali zades . (3) Si T (2) és la sub a ie a de la hipe supe icie de Jacobi aco ada pel o in a ian i pe la componen de la on e a de N 2 comú a P 3 , alesho es, exis eix una unció 9 : T (2) -, R al que : (a) 6és una coo denada me idional angula pe T(2) (b) 6 és es íc amen c eixen a lo IZa g de les b bi es . Obse em que pe alo s de (u,C) e 0 1 1'exis éncia d'aques o in a- ian a que les b bi es de la hipe supe icie de Jacobique passen a p op de L 1 , no puguin escapa -se a 1'in ini . La e ce a pa d'aques sdos eo emes ens diu que el c eixemen de é a lo lla g d'un segmen d'ó bi a en T(') i= 1,2, que ingui els pun a ex- ems sob e la on e a de N i és quasi un múl iple en e de 2, di e en de ze o . A més, pe con inui a espec e les condiciona inicials, el c eixe- men .de é sob e qualse ol segmen _d'ó bi a amb-ex ema en N ii que pugui ans o ma -se en el p ime man enin  semp e els ex ema sob e N i , és un núme o p óxim al ma eix múl iple en e de 2, . Pe al a pa , si una b bi a es á mol emps aT ( ' ) , 1'augmen de é esde é a bi a iamen g an . (3 .2) Exis éncia d'ó bi es homoclíniques . Di em N a un qúalse ol dels conjun s N 1 o N 2 dels eo emes 3 .1 i 3 .2 . Sigui n la componen de aN comú a P o P 3 segons es ac i de N 1 o N2 . Amb un ma eix aonamen demos a em l'exis énciad'ó bi es homoclíniques dels ipus ep esen a s a la ig . 3 .1 i 3 .2 . Només cal eu e que exis eixalgún segmen d'ó bi a amb pun a ex ems sob e a+ i a - . El lux hamil oniáp ese a á ea sob e 1'es e a n ( eu e ig . 2 .3) pe an , alguna b bi a que a essa N de x 1 = + b 1 Ñ  a  x1= - Ny + clu ( eu e ig . 3 .3) ha de o na a la egió que con é a la lluna a essan 198 N en sen i con a i . Alesho es,exis i á un segmen d'b bi a dR que uneix un pun R de d amb un pun R' de d+ .  . Unim el pun Rala co ba a pe un a c y sob e d i seguim cada pun d'aques a c pel lux ins que alli anen un pun de d + . Dona un pun Q de y de inim, si exis eix on w( ,Q) ep esen a l' .ó bi a que pe emps igual a ze o passa pel pun Q . Sigui  a 0 el  emps necessa i  pe ana de R a R'  sense deixa  P u~i,és a di , a(R) = a0 . a (Q) =mi n  { > 0  1  9( ,Q)  e  d + } Di em y' al suba c obe i .maximal,  al que sob e o y', a es á de inida i és una unció eal con inua . Si y' és igual a y , la ima ge d'aques a c es a á con inguda en d + i ind em un segmen d'ó bi a que uni á un pun de a amb un pun de d + . En cas con a i, la unció a no es a- á aco ada sob e y' . En e ec e, si R és el p ime pun de y que no es á en y' i suposem que a és aco ada, pe con inui a espec e les condicions ini- cials pod iemde ini a(R) =1im_ a(Q) i pe an , y' ja no se ia maximal . Q ;R Suposem doncs,que a no és aco ada sob e y' . Sigui n(R) el núme o de ol es que d R dona al ol an del o in a ian . En els pun s de y' p óxims a R, la unció a s'háu á e a bi á iamen g an A lesho es, els segmen s d'ó - bi es co esponen s a aques s pun s s'hau an e a bi á iamen lla gs, pe o, pe con inui a n(R) és cons an sob e l'a c y' . . Pe an , és necessa i que exis eixin suba cs d'aques s segmen s d'ó bi es dins de N que es iguinmol a p op del conjun asimp ó ic, pe lo queja ima gede R pe 1'aplicació lux ha d'es a sob e a+ . Tind em -n aques cas un segmen d'ó bi a que uneix un pun  R de d amb un pun de a + . Podem  suposa a a que ó és un segmen d'ó bi a en P U N que uneix un pun Mdea amb un pun 5 de d+ . Amb ex em a M conside em un a c sob e la co ba a- . Suposem que la unció ano es á aco ada sob e a - . Aiesho es, igual que abans, exis i áalgun pun de a al que la se a ima ge pel lux es a á sob e a + i ind em una b bi a homoclínica . Si a es pogués de ini sob e o a - , old ia di que pe 1'aplicació lux es ans o ma ia en una co ba con in- guda en d+ , pe o aixó no po passa pe que a+ i a de e minen sob e n á ees iguals i el lux p ese a á ea sob e 1'es e a . Hem demos a que obé exis eix alguna ó bi a homoclínica o bé, la co - ba a es ans o ma en a seguin el lux o a de N i en aques cas les a ie- a s asimp b iques coincideixen . (3 .3) In e secció de les a ie a sd'ó bi es asimp b iques sob e la supe i - cie x2 -0 . Siguin n = {(x l ,x 2 ,x3 ,x 4 ) e R4 11/2(x3+x4)_ s (xl,x2) -_ _C/2} J = nn { (x 1 ,x 9 ,x~,x 4 ) F(x 1 ,x 2 ,x 3,x G . )=~ lla o s 1'equació de la a ie a ines able és F(x l ,_x2,_x3,x4 ) - _0 R4  x2=0 ., x , ~ 0 } Es cla que si (xl( ),x2( ),x3( ),x4( )) és una ó bi a asimp ó ica a la ó bi ape iódicain ini essimal pe emes posi ius, lla o s, 1'ó bi a si- mé ica (xl(- ),-x2(- ),-x3(- ),x4(- )) se á asimp ó ica pe emes nega ius, pe an , si la a ie a es able é pe equació A pa i d'a a conside a em alo s del pa áme e de masses u , i de la cons an de Jacobi C , als que el pun que de e minen sob e el pla u,C es igui en les hipó esis del eo ema 3 .1 0 3 .2 segons el pun d'equilib i conside a . Lema 3.1 : Fixem una cons an de Jacobi . Fo a de la egió N, el conjun A~ (A) d'ó bi es asimp ó iques a l'b bi a pe iódica in ini essimal pe } 1 ( - -) alla a la supe icie J en una co ba ao .(a l ) ancada, simple i analí ica . Demos ació : En el capi ol II hem is que degu a que les b bi es asimp b i= ques allen ans e salmen a 1'es e a n, la in e secció de A + amb n és una co ba a + homomo a a un ce cle . Com que~les equacions del p oblema són analí- iques i n és una supe icie analí ica, a + és una co ba eal analí ica . Pe ob eni la co ba a o sob e  J  seguim les solucions que passen pe a + pe emps dec eixen s . desde 1'es e a n ins a la supe icie J .  . Es cla que exis eix in e secció doncs, segons els eo emes 3 .1 i 3 .2 quan una ó bi a su de la egió N, sob e el pla del mo imen es eu que gi a al ol an dels anells ep esen a s a les ig . 3 .4 i 3 .6, segons conside em el pun d'equili- b i L 2 o el pun L 1 . El emps de anspo és ini . Com que el lux és ans- e sal a la supe icie  J , el cilind e o igina pe a+ seguin el lux en- da e a alla a  J  ans e salmen i pe an , la in e secció és una co ba ancada, simple i analí ica ( eu e ig . 3 .7) ig . 3 .7 Lema 3 .2 : Fo a de la egió N, les a ie a s A IF i A d'ó bi es asimp ó iques es allen sob e la supe icie  J  en un pun M amb x 3 = 0 . Demos ació : Les co bes ao i a l donades pel lema 3 .1 són simé iques pe la sime ia (1 .14) pe an , ind an pe equacions 202 F(x l ,0,x 3 5x 4 ) =0 F(x 1 ,0,-x 39 x 4 )=0 Es cla que pe una ma eixa cons an de Jacobi aques es dues co bes es allen pe x3 = 0 . Aques pun d'in e secció co espon a una ó bi a homo- clinica ja que pe any a les dues a ie a s asimp b iques . A més, si w ( ,M)  és 1'b bi a que pe = 0 passa pel  pun M es é que si T = min { > 0 jw( ,M) e n} lla o s, ~P(T,Ñ) e a+ i -P(-T,M) e a Lema 3 .3 : El conjun H de les ó bi es homoclíniques és in a ian pe la si- me ía S . Demos ació : Es una conseqüéncia del e de que H = A + n A  i de que A+ i A són simé iques . Di em que el pun homoclínic Més ans e sal si en aques pun les angen s a les co bes a o i a l o men un angle di e en de ze o ( eu e ig .3 .8) ig . 3 .8 Demos a em 1'exis énciad'b bi es homoclíniques ans e sals en el nos e p oblema amó el ma eix a gumen u ili za pe R .C . Chu chill i D .L . Rod a [2]_ . Conleyha_demos a numé icamen que exis eixen in e als no bui s de la ec a eal, 1 2 dins de 1'in e al (C l ,C 2 )i 11 en (C3 9C 1 ), als que pe alo s de la cons an de Jacobi en 11 o 1 2 exis eixenb bi es homoclíniques ans e sals . Si pe alo s de C més pe i s pe b p óxims a C 2 o a C l els pun s homoclinics ossin no ans e sals, les de i ades p ime esde F(x 1 ,0,x 3 ,x 4 )i de F(x 1 ,0,-x 3 ,x 4 ) coincidi ien en un in e al i pe analici a coincidi ien semp e, lo qual es a en con adicció amb els esul a s de Conley . D'aques aonamen es dedueix el segien esul a . Lema 3 .4 : Pe alo s de la cons an de Jacobi más pe i s pe o p óxims a C Z o a C I exis eixen b bi es homocliniques ans e sals, e po se d'un conjun ume able de alo s de C . (4 .4) B eu in oducció del shi de Be noulli com a subsis emad'una apli - ció del quad a . Sigui Ael conjun N u {m} on N és el conjun de núme os na u als i un elemen qualse ol . De ini em en A una o denació o al de la següen mane a, di em que a < b si essen a i b na u als, a és meno o igual que b, obé, si a és na u al i b és . . De inim S com el conjun o ma pe les successions d .'elemen s de A que són d'algún dels ipus següen s : (a)  ( . . .a_29a_1,a0,al,a2 . . .. ) amb an pe a o en e n . (b)  (a k' ak+1, . . . . .)  amb a k = "  k<0  i  a n  m pe a  o en e n > k . (c)  ( . . .a1-21 a 1-1' al)  amb a,= -,  1> 1  i  a n ~~  pe a  o  en e n<1 . (d) (ak .ak+l, ... . . .,al_l,al) amb a k= a l k < m,  1 >1  i ;  a n pe a o en e n al que  k<n<1 . Donem a S una es uc u a d'espai opológic de inin pe a cada elemen a de S una  baseT en o ns .  {U j (a)}, j =1,2,3 , . . . . Segons que a sigui del ipus (a), (b), (c) o (d) enim P oposició 4.1 : Els subconjun s U .(a) a ian j i a de ineixen una opológia J enS . L'espai opológic S és compac e . La demos ació d'aques a p oposició es oba a [5] . El shi de Be noulli de S és una aplicació a de inida sob e elemen s a de S al  que  (a(a)) n =an-1  pe a o en e n . El domini de de inició de a és D(a) ={a e S 1 ao ~} u j (a) = {a' e S a n =a n si ¡ni <j} U j (a) = {a' e S an' = a n si k < n < j, i al> j} u j (a)={a' e S 1 an=a si -j <_n<1, i a>>j} U j (a) _ {a' e S 1 an = an si K < n< 1 i a k, aí > j } i la ima ge Img(a) =  {a e S 1 a1 + m} Sigui una aplicació con inua de 1'espai opológic X en el ma eix, i g una al a aplicació con inua d'un espai opológic Y en ell ma eix . Di em que g és un subsis ema de si exis eix un homeomo isme de Y en h(Y) c X que a commu a iu el següen diag ama . X X 1h Y Es demos a que el shi a és un subsis ema de ce es aplicacions de inides en el  quad a Q=(0,11  x O,11 . Pe p ecissa aques e de inidem algunes nocions en el quad a Q . Sigui p un núme o 0 <p< 1 . Una co ba y = h(x) se'n diu ho i zon al  si (a) 0<h(x)<1 pe a o 0<x<l . (b)  Ih(x l ) - h(x 2 ) I <  p Ixl-x2  pe a o  0< :- 1 < x2 <1 Una banda ho i zon al en Q se a el conjun H = {(x,y)  e  Q  I  h 1(x) < y < h2(x)} on h 1 (x), h2 (x)  són co besho i zon als als que 0<h 1 (x) <h2 (x)< 1  pe a o  0 < x< 1  ( eu e ig .4 .3) ig . 4 . 3 Es de ineix el diáme e d'una banda ho i zon al com d(H) = max(h2(x)- -  h 1(x» .  0< x< 1 Una co ba e ical se á una co ba x = (y) al que (a) 0< (y)<1 pe a o 0<y<1 (b)  I (Y 1 ) - (Y2) 1 < P ¡Y 1 - Y21  Pe a o  0 .<y 1 <y2 <1 De o ma semblan es de ineixen les bandes e ical .s i el diáme e d'una banda e ical ( eu e ig . 4.3) . Conside em un homeomo isme : Q -} 12 al que (i) Exis eixi una amilia de bandes ho i zon als Hn disjun esdos a dos, i una amilia de bandes e icals V n disjun esdos a dos, als que (V- n )=H n pe a o n na u al, i que les on e es ho i zon als ( espec i amen e i- cals) de H n siguin les ima ges pe de les on e esho i zon als ( espec- i amen e icals) de V n ( eu e ig . 4 .4) . A més, si les bandes es an o de- nades com a la ig . 4 .5 i p enem V. = {(x,y) e Q Ix = 1} i H . = {(x,y) e Q ly= 1}, alesho es, V n -> V_  i H n -> H . quan 212 V~ . . . V  ig . 4 .4  ig . 4 .5 La demos ació del següen eo ema es oba a [8j . jii) Si V és una banda e ical con inguda en U V n , alesho es, neN V' =Vn n -1 (V) és una banda e ical pe a o na u al n, i pe algún 1 ix 0< 1< 1, es cumpleix d(V n ) < l .d(V n ) . Análogamen , si H és una banda ho i zon al  con inguda en  U  H  , alesho es, H' = H n n (H) és una banda ho- neN n  n i zon al pe a o na u al n, amb d(H n ) <l .d(H n ) . H~ TE OREMA 4 .1 : Un homeomo isme :Q -> R 2 cumplin les condicione (i) i (ü) é el shi de Be noulli com a subsis ema, és a di , exis eix ¿in homeomo - isme  h : S - h(S) C Q .  al que  h o a= o h I D(a) La e sió del shi de Be noulli u ili zada en aques eball és degu- da a Mose , el qual només ha es udia en de all el cae en que S es el conjun de successions de ipus-(a), aplican el shi de Be noulli al p oblema de Si niko [81 . Amb la in oducció de lel successions de ipus (b), (c) i (d), Llib e i Simó [51 han demos a que en el p oblema es ingi el .líp ic i ec ilini de 3 cossos i en el p oblema es ingi ci cula i pla de 3 cossos, es é el shi de Be noullicom a subsis ema, lo qual p o a 1'exis encia de o s els ipus possibles d'e olució inal en el p oblema espec iu . Aques a gene ali zaci6 del shi de Be nou lli pe me de e mina una a ie a més amplia de mo imen s quali=alea o is . Veu em que en el nos e p oblema 1'homeomo isme de ini sob e R en la secció (4 .1) é el shi de Be nou lli  com a  su bsis ema . Segui em les écniques in oduides pe Mose cons uin en R unes amilies dé bandes ho i zon als i e ical s que de o ma an icipada ene pe me an  abans d'in o- dui el shi , demos a 1'exis éncia de mo imen s quas alea o is del e ce cos . La clau pe la cons ucció de les bandes en R la dona el lema 4 .1 . (4 .5) Les bandesho i zon als i e icalsen R . Els cos a s de R, e2 i e4 eón dos a ce de co ba amb un dels seus ex- ems sob e ao , pe an , segons el lema 4 .1 la ima ge de R pe , és una cin a de longi ud no aco ada a R i que es a d'aques a cin a nexes disjun es, de les quals només un núme o ini no es an limi ades pels cos a s e l i e3 ( eu e ig . 4 .6) que espi alan alla . in ini es egades en més es e a a mesu a que s'acos a aa 1 . La in e secció amb R es á o mada pe un nomb e in ini de componen e con- Di em banda ho i zon al a cada una de les componen e connexes de (R) n R . Conside em només les bandes de (R) n R limi ades pe el i les nume em comengan pe la que es a més a p op de e 4 , H1, H 2 , . ... di-me o endeix a ze o mean desjun es dos a dos i V n - V m , H n- H  quan n -> - . (c) (V n ) = H n pe a o na u al n . ig . 4 .6 pe de les on e es ho i zon als ( espec i amen e icals) de Vn . bandes . Veu emque (V n )=Hn pe a o n na u al . De inim H m=e l  i  V_ =  e 2 . Tenim així de inides sob e R una amília de bandes ho i zon als {H n } limi ades pels cos a s el i e 3 i als que el seu De inim les bandes e icalscom V n = S(H n ) on S és la sime ia  (4 .2) . En el següen lema eu emque 1'homeomo isme i les amilies an e- io s de bandes ho i zon als i e icals e i iquen la condició (i) de la secció (4 .4) . Lema 4 .3 : (a) Les bandee ho i zon als Hn , així com les e icals V 2 eón (b) Les on e es ho i zon als ( espec i amen e icals) deH n eón ima ges Demos ació : Els apa a s (a) i (b) eón immedia s pe cons ucció de les En p ime lloc demos a em que (V1)14l . A pa i d'aqui i u i- li zan el lema 4 .2 es dedueix ácilmen que (V 1 )DH 1 .La demos ació de 214 (c) pe n di e en de 1 és simila . Pe connexió n'hi ha p ou amb eu e que exis eix un pun p de V 1 al que (p)EH 1 . Sigui =H 1 n{x 3=0} .Segons el  lema 4 .2  So -1 ( )= oS( )= ( ) .  -1( ) és un a c con ingu en . Hk pe a algun na u al k, que alla a 1'eix x 3 =0 . Sigui p un pun d'aques a in e secció . Degu a que ( )n{x3=0}=So -1 ( )n{x 3 =0}= - i( )n{x 3=0}1 p és un pun de l'eix de sime ia que pe any a ( )  i  a _1 ( ) .  Pe an enim un pun de H 1 pe al qual exis eix un ce pun gC- al que (q)=p . Si ele pun s p i q eón di e en e, la ima ge del segmen de l'eix x3=0 que uneix q amb p, és un a c de co ba que comenpan a p s'acos a a a l , amb lo qual (p) no po es a a Pe an p és un pun ix pe al que pEV 1 i (p)E= - H 1 . Di em que un subconjun H de R és una banda ho i zon al de R, si és homeomo a alguna banda Hn de .R . Análogamen es de ineixen les bandes e icals de R . Les demos acions dels lemes següen s eón idén iques a les dels lemes 4 .3,4 .4i4 .5de[51 . Lema 4 .4 : Sigui V una banda e ical en R con inguda en alguna m . Lla o s, pe a o na u al n, el con jun Vñ de ini pe Vñ =V 2 n j :7-, (V) és ambé una banda e ical de R . Lema 4 .5 : Si H és una banda ho i zon al de R , con inguda en alguna m, lla- o s, el conjun Hñ de ini com Hñ=Hn n (H) és ambé una banda ho i zon al pe a o na u al n . Lema 4 .6 : (i) Pe a o a successió de ipus (a), exis eix clgún pun p e R al que m (p) e Va pe a o en e m . m (ii) Pe qualse ol successió de ipus (b), exis eix algún pun p e R al que m (p) e Va pe a o en e m .> . K . m (iii) Pe les successions de ipus (c) i (d) es enen p opie a s equi alen s . (4 .6) Exis incia de mo imen s qua si-a lea o ia al ol an del pun d'equilib i L2 . TEOREMA 4 .2 : Exis eix al que si p enem di e en e de ze o dels qua e ipus núme o en e b = b(u), co espon a alguna ó bi a del e ce coa . sob e la co ba a + , un núme o in ini pels a cs +~e2) i +1 ~(e 4 ) ( eu e ig . 4.7) . La ima ge d'aques escomponen e pe ~+ ene dóna les bandes ho i zon als de R de inides a la secció (4 .5) . Les nume em de Demos ació : Els a cs ~_(e 2 )i ~_(e 4 ) enen un ex em pe an , segons el co ol .la i 2 .1, ~(R 1 ) alla aR 2 en de componen e connexes disjun es dos a dos i,'limi ades o ma ^ a u wal s2go s es a Cn a ., . . .., ., a n n, n1 iii , i . .  H 2 , . . . H m , ... i p enem in e secci6 de Vadhe éncia de R 2 amb a - . Sigui p un pun d'una banda e ical  V m .  Com que (V m ) = Hm cal  que e Hm . Pe an , ele pun s de R con ingu s en alguna banda e ical V m donen condiciona inicials pe ó bi es pe les quals la a iació de e 21 6 un obe 0 2 del pla  u, C con emin la co ba C= C2(u) alo s del pa inne e de masses i de la cons an de Jacobi i de mane a que (u,C) e 0 2 , qualse ol de les successions an e io s amb cada e me a n més g an o igual que un ce ig . 4 .7 n . co m la en el p ime pas de  l'b bi a pe N 1 és 2-,,(m+ b+ 6),on b es a elaciona amb el núme o de ol es en e es donades pe ~(R 1 ) al ol an de 1'ó bi ape ió dica in ini essimal  abans de alla a la es e a pel cos a ~+1 (e 2 )  i  6  és al que 0< 6< 1 . El núme o b depén de u,doncs depén de l'angle amb que es allen ~+ 1 (e 2 ) i a- . Sigui  (... . a-2,a-l,a0,al,a29 . . . . )  amb a n > b  pe a o en n,  una successió de ipus  (a) .  Conside em la-successió ( . . . . b-2,b-l,b0,bl,b25 . . .) on b n =a n -b pe a o en n . Segons el lema 4 .6  exis eix un pun p de R al que -n (p) e Vb pe a o en n . L'ó bi a associada a la successió n donada és la de e minada pel pun p . Es cla que pe aques a ó bi a els na u als a n mesu en el núme o de ol es en e esdonades pe l'ó bi a al ol an de la pe iódica in ini essimal en cada pas de l'ó bi a pe 1'en o n N 1 . De la ma eixa mane a es demos a el eo ema pels al es ipus de succes- sions . A a ja podem demos a ácilmen el eo ema A . Demos ació del eo ema A : Fixada la cons an de Jacobi C, la p ojecció de 1'ó bi a pe iódica in ini essimal sob e el pla del mo imen és una el .lipse que en ol a el pun d'equilib i L 2 . Alesho espe un núme o p ou pe i , I I exis eix un en o n N1 di=- 1'ó bi a pe iódicacon inqu en Nl i al que pe les ó bi es que passen pe E + ( ) es compleix que cada ol a al ol an de 1'ó bi a pe iódicain ini essimal en NL co espón a una ol a al pun L 2 sob e el pla del mo imen . La con inui a espec e les condicions inicials i el e de que el emps de pas en e Ni i N 1 és ini demos en . el eo ema A . Obse em que p enen su icien men pe i , pe con inui a espec e les condicions inicials hom po aconsegui que pe als segmen sd'ó bi a con ingu s en P i amb ex ems sob e els conjun s R 1 i R2 de n i , el c eixe men de la coo denada 5 de inida en el eo ema 3 .1 sigui ap oximadamen 2T , ja que segons el lema 3.2, 1'augmen de á co esponen al segmen d'o - bi a homoclínica que con é a M i é ex ems sob e a+ i a, és p bxim a 2u . ~/ No i's que pe demos a el eo ema A no cal que el pun homoclínic M sigui ans e sal dones és possible e la ma eixa cons ucció de bandes ho i zon alsi e icals si les angen s a les co bes aD i a 1 en M coinci- deixen, 1'únic cas en el qual no és alida la cons ucció és el de la ig . 4 .8 que-no po dona -se degu a que les co bes a D i a 1 són simé iques . x3 =o ig . 4 .8 La ans e sali a del pun homoclínic és indispensable en la demos a- ció de la inclusió del shi de Be nou lli com a subsis ema . (4.7) Mo imeñ s quasialea o is al Vol an del pun d'equilib i L 1 . Resul a s análegs als ob inau s en la secció an e io se an ce s al ol an del pun d'equilib i L 1 . Conside em a a alo s de la cons an de Jacobi a C i , i p enem el pa áme e de masses ~j di e en de ze o i su icien men pe i , de mane aque (u,C) sigui un pun de 1'obe 01 dona pel eo ema Els eo emes 3 .1 i 3 .2 ja ens demos anque en aques escondiciona compo ame de les b bi es el .líp iques de la egió D3 , que passen a p op de L1 , és semblan al de les b bi eses udiades an e io men dins de la sub a- ie a T( 1 ) . A més, el lux del sis ema di e encial b i  1 1iL 2és quali a i amen  el ma eix . 218 més pe i s pe b p oxims 3 .2 . el p op dels pun s d'equili- Fixada la cons an de Jacobi, aillem l'b bi a pe iódica in ini essimal que en ol a a L 1 en una egid N2 que es p ojec a sob e D2 en el pla del mo i- men ( eu e ig . 3 .3) . Els lemes 3 .2 i 3 .3 demos en que les a ie a s es a- ble e ines able de 1'b bi a pe iódica in ini essimal que su en de la egid N2 pe la componen x 1 = - clj de la on e a de N2 , es allen ans e sal- men sob e la hipe supe icie x 2 =0en un pun homoclinic si ua sob e 1'eix de  sime ia  x3 = 0 . Es cons ueix un conjun Ren un en o n d'aques pun homoclínic,ies de ineix 'una aplicació en R de la ma eixa mane a que es a e pe i R en les seccione (4 .1) i (4 .2) pe cons an e de Jacobi meno s pe ó p óxims a C 2 . To es les p opie a s ja demos ades pe eón ambé Mi- des en aques cae . Pe a cada b bi a que passi pe R conside em o s ele ze os n de xl ( )= - cl u o dena s, i de mane a que exis eixi un núme o e > 0 al que pe a o n < < n+e  es compleix x 1 ( ) < - V -c l ( eu e ig .  3 .3) .  Segons que la successió de n pugui o no se con inuadainde inidamen an pe emps posi ius com pe emps nega ius, pod em associa a les b bi es que passen pe R una successió d'algún deis ipus (a), (b), (c) o (d) de inin ele e mes a n d'aques es successions com a (4 .3) . Es cons ueixen la band es ho i zon als i e icals en R com a la secció (4 .5),U ili zan les p opie a s d'aques es amilies de bandes i el lema 4 .6, la demos ació del següen eo ema és idén ica a la del eo ema 4 .2 pe cons an sde Jacobi C ~S C 2 . TEOREMA 4.3 : Exis eix un obe n del pla 11,C con enin la co ba C=C 1 ( ) al que si p enem alo sdel pa áme e de masses i de la cons an de Jacobi di e en s de ze o i de mane a ice ( ,C) e 0 1 i qualse ol de les successions dels ipus (a), (b), (c) o (s a l amb a n más g an o igual que un ce núme o en e b = b( ) pe a o en e n, co espon a una ó bi adel e ce cos . La demos ació del eo ema B és igual a la del eo ema A . Només cal