Pub
.
Ma
.
UAB
Ng
24
Ma g
1981
BIFURCACIONS
GENÉRIQUES
D'ATRACTORS
EN SISTEMESDE
REACCIÓ
I
DIFUSI6
.
ABSTRACT
.
Angel
CalsinaBalles a
In
his
wo k
we
w i e
down
in
some
de ail he
bi u ca ion
heo y
o
s a iona y
s a es
o
eac ion-di usion
equa ions
.
Fi s ,
we
p o e,
adap ing
no es
o
looss
on
he
Na ie -S okes
equa ions,
ha
unde
someweak
hypo hesis
a
eac ion-di usion
equa ion
de ines
a
di e en iable
dynamical
sys ems
in
he
Sobole
space
H2
wi h
some
bounda y
condi ions
.
Then
i is
p o en
ha
a
es
poin whe e
he in ini essimal
gene a o
o
he
linea
pa o
he sys em
has
a
spec um
in
he
le hand
plane
is
s able
.
We
p o e
hen ha
when
,
depending
on
a
pa ame e ,
a
sim-
ple
eig-en alue
c osses
o
he
igh
hand
plane,
a
bi u ca ion
appea s
(gene-
ically)
.
In
he
las
chap e
we
p opose
a
model
o
dune
o ma ion,
which
does
no
ha e
he
p e ension
o
being
ai h ul,
bu
which
illus a es
how
he heo y
gi en
is
use ul
.
Memó ia
p esen ada
pe
a
op a
al
g au
de
Llicencia
en
Ciéncies
Ma emá iques
.
Di ec o
:
Ca lesPe elló
Valls
.
7
3
INTRODUCCIÓ
Les
equacions
de
eacció
i
di usió
són de
la
o ma
(*)

u
=
(u)
+
do
u
on u
és
una
unció
ec o ial
de
,
el
emps,
i
x
,
la
posició
en
un do-
mini
espacial
s
.
u és
la
de i ada
espec e
a de
u
,
d
és la
ma iu
diagonal dels
coe icien e
de
di usió
i
o
és
la
laplaciana
aplicada
a
cada
una
de les
componen e
de u
Aques es
equacions se eixen
de
model
pe
a
enomens
de la
biologia
i
la
química,
quan,
pe una banda les
espécies eaccionen
en e elles
a cada
pun ,
i,
pe
1'al a,
es
mouen
cap
a
g adien s
nega ius de
concen ació
.
La
majo ia
dels
es udis
e s ins a a
d'aques s
modele
es
deuen
a
bió-
legs
i
químics
.
L'any
1937
FISHER(*) a
dona
ja
un
model
de
eacció
i
di-
usió
pe
a
explica
la
di usió
de gens
mu an s
.
En
ele
da e s
anys, ene
obem una
sé ie
de eballs en que
modele
d'aques
ipus són
u ili za s
pe
a
explica enomens
de
mo ogenesi

,
és
a
di ,de
com una
dis ibució
homogénia
de les
espécies
eac an s
es
o na
ines able,
en
a ia un
pa áme e,
i
es
bi u ca
d'ella
una
solució es able
no
homogénia
.
En e
aques s
ebal1s
des aquem
ele de
SEGEL,
GIERER-MEIN
HARDT,
PRI-
GOGINE,
NICOLIS-PRIGOGINE
i
MURRAY
.
Els
mé odes
ma emá ics
són e s dels
que
ja
e en
u ili za s,
sense
una
análisi
igu osa
en 1'es udi de
enómens simila s
en
hid odinámica,
pe
exemple
pe
CHANDRASEKHAR
.
L'análisi
ma emá ica
que
dóna supo a
aques s
mé odes
es
basa en
la
eo ia
d'equacions
pa abóliques,

i
1'exposició
més in lu
en

po se
la
de
FRIEDMAN,
enca a
que
no
es udia
especí icamen
ele
p oblemes esmen a s
.
El que dóna sen i a
pa la
d'es abili a
i
bi u cació
pe a
equacions
(*)
Els noms en
majúscula
indiquen
e e éncies bibliog á iques,
que
es o-
ben
al
inal del eball
.
7
5
de
eacció
i
di usió
i,
en
gene al,
pe
a
equacions
pa abóliques,és
que
pe -
me en
de ini ,en
un
espai
de
uncions
escaien ,
un
(semi)
sis ema
dinámic,
on es
comp a
amb
un
g an
baga ge
de
concep es
i
mé odes
.
En e
els
es udis
que
p enenaques
pun de
is a,
ens
obem
els
de
Kilho e
i
IOOSS
sob e
les
equacions
de
Na ie -S okes
.
Pel
que
a
a
1'es udi
ma emá ic
de
les
bi u
cacions,des aquemels
eballs
de
SATTINGER
.
En
el
eball
de
PERELLO
es
plan eja
el
p oblema
de
la
onamen ació
dels
mé odesu ili za s
en
1'es udis
dels
enómens
mo oge ie ics
.
P e enem
aquí
assoli
aques a
i a,
adap an
els p ocedimen s
de
F iedman,
Iooss
i
Sa inge
a
aques a
onamen ació
.
Aques
eball
cons a de es
capí ols
.
En
el
p ime
es
demos a
que
1'equació
(*)
de ineix
un
semisis ema
dinámic,
amo llan
al
nos ep oble
ma
una
demos ació
de
Iooss
.
En
el
segon
capi oT
es
sen en
les
bases
eó iques
que pe me an
es u-
dia
1'es abili a
dels
pun s
d'equilib i
de
(*)
i
les
se es
posibles
bi-
u cacions
.
El
mé ode
u ili za
pe
a
1'es udide
les
bi u cacions
és el co
negu
com
a
mé ode
de
Liapuno -Schmid
.
Pe
úl im, en
el
e ce
capi ol
es
dóna un
model
de
eacció
i
di usió
pe
a un
enómen
que
pe any
a
un
campcomple amen
di e en
dels
esmen a s
:
la
o mació
de
dunes
en
el
dese
.
Aques
model
no p e én
explica
de
o ma
ealis a
el
enomen
i,
més que
es,
ha
de
se i com
a
exemple
d'aplicació
de
les
écniquesdesc i es
en
els
capí ols
an e io s
.
Pe
acaba ,
ull
mani es a
el
meu
ag a*imen
al
D
.
Ca les
Pe elló
pe
la
o ma
en
qué
ha
di igi
aques
eball
i
pe
1'in e és
demos a
;
així
com
a
en
JoanSolá-Mo ales
i
en
Xa ie
Mo a
pe
les
se es
indicacions
i
sugge imen s
que
an
m'han
ajuda
en
la
me a
asca
.

I
ull
ambé
e
pales
el
meu
econeixemen
a
o s
els
p o esso s
de
la
Secció
de
Ma emá iques
de
la U .A
.B
.
que
m'han
b inda
la se a
ajuda
i
amis a
.
76
CAPITOL
1
EXISTÉNCIA,
UNICITAT,
REGULARITAT,
DEPENDÉNCIA
RESPECTE
A
CONDICIONE
INICIALS
.
INTRODUCCIÓ
Conside em
sis emesd'equacions
pa abóliques
de
la
o ma
(de
classe
C2
)
i
e
IR
;
(I)
.~
=
dAu
+ (u)
on u(x, )
e
R
m
,
x
e
sa

obe
connexaco a
de
IR
n

amb
on e a
asa

egula
dés
un
ec o
de
m
componen e
(d
i
,. .
.,d
m
)
ale
que
d
i
> 0 Vi
.
do és un
ope ado diagonal
d'o d e
m
x m
de
mane aque
cada
e me
de
la diagonal
és d
i
e,
on
o
ep esen a1'ope ado
laplaciá
a2a2
2.
+

.+
-2-
ax
I
axn
és
una
aplicació
su icien men egula
en e
IR
m

i

R
m
.
Imposem
la
següen
condició
a la
on e a
pe
a
la
solució
u
:
(2)

a
u
(x, )

=
0

V
x
e
asa
au
és, pe
de inició,
la
de i ada
de
u
espec e-al
ec o
no mal
a
a
a
asa
.
u
(x, )
=
<
g ad
x
u(x, ),
n>
.
Aques a
condició
a
la
on e a
co es-
pon
al
que
s'anomena
p oblema
de
Neumdnn
homogeni
.
Imposem
ambé
condiciona
inicials
pe
a la
solució
u
:
(3)
u(x,0)
=
u
o (x)

Vx
esa
u
0
(x) és
una
unció
de
o
en
R
m

blema
de
alo s
inicials
i
alo s
a la
on e a
(1), (2),
(3)
en
ce s
espais de
uncions
i
de
con inui a
i
di e enciabili a
espec e
a
les
condicions
inicials
.
No ació
{ueC
2
(
-
,
1R
)I
aula2=0}
son
els
espais de
Sobole
d'o d e
k
sob e
L2(2)
.
En
pa icula
Ho
(2)
=
L2(2)
.
Sigui
F
1'aplicació
induida
a
D
pe
.

És
a
di ,
si

u e
D,
de inim
F(u)(x)
=
(u(x))
.
Demos a em
en
aques
capí ol
que
si
:
1R
m
->
0
és de
classe
C2
,
lla o s
F
aplica
D en
K
i
és
con ínuamen
di e enciable
de
F eche
.
En
aques a
si uació
esold em
el
següen
p oblema-de
Cauchy,
que
és
una
e sió
pa icula ,
pe o p ou
gene al,
del
(1)
(2)
(3)
.
Dona em
eo emes
d'exis éncia
i
unici a
de
solucions
pe
al
p o-
Deno em
pe

H2 (2,
á
)
la
comple ació
en
no ma
H2
(
.2)
del
conjun
Siguin

D
=(H2(9,
w
))m'

H
=(L
2
(s~))
m
,

K = (H
1
(2))
m
on
els
Hk
(2)
d =dou
+
F(u)
(4)
u(0)
= uo e D
Di em
que
una
aplicació
u
és
solució
de
(4) si
:
u e
C([
O,T]
,D)
n
C
1 ([
O,T],H)
u(O)
=
uo
H
=dou
+
F(u)
En enen
d
=
lim
u( +h)-u( )
en
H
.
No em
que
men e
que
a ou
les
de i ades
són
dis ibucionals,
a
d
la
de i ada
és
1'habi ual,
pe o
amb
alo s
a
H.do
és
1'ope ado
dia-
gonal
de ini
abans
.
Demos a em
doncs
:
Teo ema

V
u d e
D
exis eix
TIu
o
)
>
0
i
una
única
solució
de
(4)
de inida
pe
a
o a
T <
T*(u
o
)
.
A
més,
si
T*

,
lim

supluI
D
=
m
T-T*
e
[0,11
Te
o ema

Pe
a
cada
< Tm(uo
),
1'aplicació
F
:D
i
D
que
a
co espond e
a uo e D la
solució
u( )
de
(4)
és
de
classe
C 2
.
1
.
EQUACIOD'EVOLUCIO
EN
ABSTRACTE
En
aques a
secció
p o a em
els
eo emes
esmen a s
an e io men
pe
a
equacions
abs ac es
més
gene als
que
(4)
seguin
una
demos ació
que
es
oba
en
el
capi ol
VII
de
Iooss
pe o
sense
suposa
anali ici a
pe
a la
F
.
Siguin
K
i
H
dos
espais
de
Hilbe ,
als
que
K
es a
con ínuamen
encabi

en H
.
Suposem
un
ope ado
linial
anca
L
de ini
a H
amb
domini
dens
D
.
Suposem
que
L
gene a un
semig upanalí icquasiaco a
d'ope ado s
lini
:als
e
L
en H
.
No a
:
L
gene a un
semig up
analí ic
quasiaco a
si
exis eix
un
y e
IR

al
que
L =
yI +
A, on
A
és
el
gene ado
in ini essimal

d'un
semi-
g up
analí ic
.
Alesho es
és
cla
que
eL = e
y
e
A
le
L 1

<Ce
y
Pe
la
de inició
de
semig up
analí ic,
egi's
F iedmann
Si
de inim
a
D
el
següen
p oduc e
escala
:
(u, )D
=
(u, )
H + (L4, L )
H
Lemma
1
.1
Sigui
T
un
ope ado
linial
amb
domini
D
déns
a
B
espai
de
Banach
.
De inim
aDla
no ma
Demos ació
80
D és
un
espai
de
Hilbe
en
i u
del
següen
:
PUI
G
=
jul
+
ITul

(no ma
del
g a )
Lla o s,
D
és
G-comple
si
i
només
si
T
és
anca
.
a)
P o emque
si
T
és
anca ,
D
és
G-comple
.
Sigui

u
n
}
C
D
una
successió
de Cauchy
pe
ala
no ma
I
.IG
.

Alesho es,
{u
n
}

i

{T
u
n }
són
de
Cauchy
a
B
.

Pe
an ,

exis eixen
u,

e
B
als
que
lim
un
=
u,

lim
Tu
n
=

en
B
.
Com
T
és anca

( é
la
g á ica
ancada),
u
e D

i

Tu
=
.

Ll
a o s

¡un-u
I
B

->
0

i

Tu
n
-

Tu
¡
B
->
0

i
,

pe

an
.
lim
u
n
=u
en D
;

és
a
di ,
D és
G-comple
.
b)
P o ema a
que
si
D és
G-comple ,
T
és
anca
.

-
Sigui

{un
}
C
D al

que

u
n
->
u

i

Tu
n
->
amb
la

no ma
de
B
.

Lla o s
(u
n
}

és
una
successió
de
Cauchy
amb
la
no ma

I
.I
G
.

Com
Dés
G-comple ,
exis eix
u'
e
D al
que
lim
u
n
=
u'
en D
.
En
pa icula ,
u
n
->
u'

en B
i,
pe
unici
a ,

u'
= u
e D
.
Lla o s
:
ITu- ¡
B
<
ITu-Tu
n
I
B
+
¡Tu
n
- I
B
=
IT(u
-
un
)I
B+
+

¡Tu
n
- I
B

<

lu-u
n
I
G
+

¡Tu
n
- I
B
'
0
Pe
an
Tu
=
i
T és
anca
.
Suposem,
a
més,
que
D
es á
con inuamen
encabi
en K
i
que
enim
la
següen
aco ació
:
(Obse i's
que
eL e
L(K,D)
pe que
K
es a
inclós
con inuamen
en H)
.
És
é
el
següen
lemma
:
Lemmá
1
.2

Una
condició
equi alen
a (5)
és
que
exis eixin
M
>0
i

d>
0
als
que
La idea
de la
demos ació,
que
es
po
oba
a
(Iooss,
VII,
17),
és
la
següen
:
De
1'anali ici a
de
eL
.i
de
la
no ma
de
D es
segueix
que
I
e
L
uO
I
D

< C(
I
l
D +
lu
o
- 1
H
),

pe
e
(O,T]
Si
es
compleix
la
desigual a
del
lemma,
enim,
pe
a
uoeK
i
=
(I- L)
-1uo
,

>
0,
que
A
més,
com
que
I -u
o
I
K<
M-
1
/ lu
o
I
K
s'ob é
(5)
aplican
la
desigual-
a
obada
pe
a

le
L uoID-
IVID-J
luoIK
De
(5)
s'ob é
la
desigual a
del
lemma
enin
en
comp e
que
(I-EL)
-1 =
e

e- /EeL d
.
0
Nosal es
olem
esold e
1'equació
d'e oluciósegüen
:
(6)

d
=
Lu +
M(u)

ueC([ o
; ]

D)
n

C
l(
o, ]

H)
u(0)=u
o
eD
on
M
e
C1
(D,K)
;
M
i
DM
anspo en
aco a s
en
aco a s
i
DM(,0)
=
0
.
Reco dem
que
C
([O,T],
C
;
és
1'espai
de
Banach de
les
uncions
de
classe
C
de
[0,T]
en
1'espai
de
Banach
B
amb
la
no ma
:
lul ,T,B
= E
sup

lu(
k
)( )l,
k=0
e
1
O,T]
88
Lla o s
:
si
ue
B
T
(O,R
0
),
e
BT
(O,R
o
)

ind em
:
I T(U)
-
T
(
)IT
=I(0
eL( -T)(M(u(T))
-
M( (T)))dTIT
<
_<
ep(O,T1
(
O
CeY
T
(1
+~
)I
M(u(T))
-
M( (T)IKdT
<
<

sup
.

CeYT
(1
+
1
)K

Iu(T)

-

(T
;)

d T

<
e
[O,T)

0

JT

Ro
D

-
T
<
KR

¡u- IT

Ce
Y
T
(1 +
J
T)dT
.
0 0
D'al a
banda,
si
u e
BT(R
0
)
i
T(u)IT
<
sup

I
ei
Uo
I
D+I
(
T
e
L( -T)
M(u(T))dTID
<
e

O,TJ
0
T
_<
sup

IeL u

I

+

Ce
YT(
1
+
1
)K

dT
.
e
O,T

o D

O

uT

Ro
Fixada
k <
1

(pe
exemple
k=
1/2)-
.
T iem
To
,
el
máxim
T al
que
~~OCe
YT
(1 +
1
)K
RodT
< k
<1
sup

le
L u

T
I

+

C

eYT(
1

+

1

)K
e
[
O,T]

o D
.

O

JT

Ro
Aques
T
o
compleix
la
esi
del
lemma
1
.6
.
Obse em
que
C([O,T],
B(R
0
))
=
BT-(0,Ro)
.
R
o
Aplican
el
eo ema
de
1'aplicació
con ac i a
dedu'im
que
exis eix
dins C([O,T
0],
B(R
o
))
un
pun
ix
de
T
.
Es a
di ,
ob enim
una
solució
de
0
(6)

pe

e[
0,7
o
]

i

sabem
que

sup

Iu( )
I
D
-
<

2Iu
0
I
= Ro
.
e
[
O,T]
Repe in el p océs
p enen
com
a
condici6
inicial
u
1
=
u(T
0
)
ob enim
una
solució
a
C([O,T
1
],
B
R
)
.
1

Així
successi amen
ob ind em
una
successió
de
emps
T
o
,
T
1
,
T2
,
. .
.

i
de
condicions
inicials
u(T0
),
u(T
1
),
.
. .
de
mane a
que
la
solució
exis i á
pe
a
o a
< z
T
i
= T*
.
i=1
Si
la
successió
{T
i
}
es á
aco ada
in e io men ,
la
solució
exis i á
pe
a o a
>
0
.
Si
T
i
no es á
aco adain e io men ,
aixb

old á
di que
la
successió
de les KR
no
es á
aco ada
supe io men
( eco di's
com
i
s'ha
escolli
T
i )
.
Aixó
úl im
implica,
donades
les
hipó esis
sob e
M
i
DM,
que lim

lu(T¡)ID =
m
.
T
->T
i
m
En
de ini i a

lim

Iul
=
T->T*
T
Ap o i a em
a a
la
unici a
del pun
ix
duna
con acció
pe a
demos a
el
següen
eo ema, pe
un
mé ode
di e en
del
u ili za
pe
[Iooss
,
pag
.
VII, 8
.]
Teo ema
1
.3

La
solució
del
p oblema
(
.
6)
és
única
sob e o
in e al
d'exis-
encia [O,T)
.
Demos ació
Demos em
p ime
que
si
u
i
són
solucions
de
(6)
en un in e -
al
[O,T)
i
u( 0) = ( 0) pe a
algún
o
e[O,T)
lla o s u
i
coincideixen
en un

in e al

[
o
,

1
1
.
En
e ec e
:
u( )
i
( )
són
solucions
de
1'equació
in eg al
L
w( ) =
eu( 0)
+
(
eL( -T)M(w(T))d,,
)
o
Pe
con inui a ,
exis eix
o
al
que
:
sup

Iu( )1D
<
2Iu( o)ÍD,

sup

I ( )ID
<
21 (
o
)
ID
e
[
o
, ~

e
[
p, oj
Alesho es,
de inim
I'
T
:
C([
o
,T]
D)

->
C([
o
,Tj

D)
w( )

-
e
L
u(
o
)
+ ~

eL( -T)
M(w(T))dT
o89
És
e iden ( eco dan
la
demos ació
an e io ),
que
exis eix
1 e
( o , ¿1

al

que
1
és
una
con acció
dins
del

anca
Demos ació
:
90
B
(0,
2ju(
o
)]
)CC([
o
,
1
]
,D)
.
.1
Com
cUe
u
i
pe anyen
a
B
1
(0,

2ju(
o
)
j)

i

són

pun a
ixes

de
I
,
1
dedu'im
-
que
u( )
=
( )

V
e
[
o
,
1
1
.
-
Demos ema a
que
u
i
coincideixen
a
o
[O,T]
.
Sigui

A

=

{ e
(0,
T)
1

u
(s) =
(s)

Vs
e [0, )
}
A
no és bui
pe qué
u(o)
=
(o)
i
pe
an
exis eix
6> 0 al
que
(0,a)
C
A
.
Demos a em
que
sup
A=T
.
Suposem
sup
A
=T*
<T
.
Lla o s
u- eC([O, *1,D)
i
u-
--
-
- 0
a'[O, *)
.
Pe
con inui a
u( *)
=
( *)
.
Aplican
el
que hem
is abans,
exis eix
un
in e al
[ *, **1
en
elque
coinci-
deixen
u i
.
Pe o'
aixó
es
con adic o i
.
Fina
aquí
hem
demos a -
exis éncia
i
unici a
de
soluciona
de
les
equacions
d'e oluci6
del
ipus
(6)
.
P o a em
a a
la
con inui a
i
di e encia-
bili a
de
les
soluciona
espec e
a
les
condiciona
inicials
.
L'a ma
que
u ili za em
se á
el
eo ema
de
unció
implíci a
pe
a
aplicacions
en e
espa
b
de Banach ( eu e
Dieudonné,
Schwa z)
.
Pe
a
cada
<
T
<T*
de inim
una
aplicació
al
que
F
(u)
sigui
la
solució
al
emps
de
(6)
amb
condició
inicial
u
e
D
.
Teo ema
1
.4
L'aplicació
F és
di e enciable
amb
con inui a ,
és a
di ,
pe -
any
a C
1
(D)
.
De inim
la
següen
aplicació
:
F
:
D x
C([
O,T]
,D)--~
C([
O,T] D)
F(u,
( ))
=V( )
-
eL u
-
( Oe'( -T)M( (T))d,
És
cla
que
F
és
con inua
pe qué,
d'una
banda, les
aplicacions
ue D
-
"
e
L
u e
C([ O,T]
D)
e K
-->
e
L
yeC([O,T]

D)
són
linials
aco ades,
d'al a
banda,
( )
e
C([O,T],D)

-
M( ( ))
e
C([O,T],K)
és
con inua,
degu
al
e que
M
és
con inua
i,
pe
úl im,
=-
(
eL
(
-T
)M( (T))dT
és
con inua
segons
el
lemma
1
.4
.
0
A
més
exis eixen
les
de i ades
pa cials
de
F
:
D
1
F
(u, ( ))

:

D

C([
O,T]

D)
L -
u

e u
D
2
F
(u, ( )
)

:

C([
O,T]

D)

-
C([ O,T]

D)
( )
-
 ( )-
(
e
L
(
-T)DM( (T)) (T)dT
J
0
que
són
linials
aco ades
.
Veiem
a a

que
D
1
F
:

D x C([ 0,
T]
,D)

--

L(D,

C([
O, TI
,D))
D2
F
:

D x
C( 0,TI,D)

-

L(C([0,
TI
,D))
són
con ínues
i
pe
an
F
de
classe
C
1
.
D
1
F
és
con inua
pe que
és
cons an
i
D
2
F
és
con inua
pe qué no
depén
de u e D
i
DM
és
con inua
com
a
aplicació
de
D
en
L(D,K)
i
pe
an
( )

e
C([O, l,D)
-
"

DM( ( )
)

e
L(C([O,T],
D),

C([O,T],K))
és
ambé
con inua
.
Obse ació
:
Si
:
X
-
; Y és
con inua
i
X
i
Y
són
espaisde
Banach,
F
:

C(10,TI
,X)

-
C([0,T
I,
Y)

de inida
pe
F(u( ))
= (u( ))

és
ambé con inua
.
Fixem
a a
(uo
,
o ( ))
e
D x
CO([O,T],D)
als
que
o( ) és la
solució
de
(6)
amb
condició
inicial

u
o
.

Lla o s
pac e
[O,T]
ind em
que
Il eL( -T)DM( o(T))
.
IL(C(
.[O,ó],D))

I'0
C
C
.(1
+
1
)eYTd
1
< 1
.
que

(u
o
,
o ( )) = 0

i
la
de i ada
pa cial
D2
F(u
o
,
o ( ))
=I
-

eL( -T)DM( (T))
.
dT és
in e ible
i
d'in e sa
aco ada
.
o
U
1
i
V
1
en o ns
de
uo a D
i
de
o
a
C([O,do],D)
espec i amen , als
que
classe
C1 en u
.
[so
,
2ó0
]
.
És
a
di
ob enim
92
F(u
o
,
o
( ))=0
Com
DM
és
con inua espec e
a
e
D
i
->
o
( )
és
con inua
en
el
com-
IDM(
o
( ))1
<
C 1
V e[O,T]
Alesho es
exis eix
un

6> 0 al
que
Pe
an
F
:
D
x
C([0,5],D)
->
C([O,s],D)
se á de
classe
C2
i
al
El
eo ema
de
uncióimplíci a
ens
assegu a
que
exis eix
una
aplicació
F 1
és de
classe
C
1
.
F
1
(uo
)
=
ol )
F(u1,F
1
(u)
)
= 0

Vue U
1
Es

a
di ,

F
1
(u)

és

la

solució
de

(6)

amb
condició

inicial

u

i

és de
Reemplapan
u
pe (g
o
)
ob enim
( ) de
classe
C2
espec e
(d
o
)
dins
F2
:
U2
--,
V
2
U
en o n
de
(d
o
)
i
V2
en o n
de
( )
a
C([s
o
,
2s
o
],D),
F2
de
classe
C 1
 al

que

F
2
(u)

=

( )
F(u,
F2(u))
= 0
Vue
U
2
Rei e em
el
p océs
can ian
(6
0
)
pe
(2d
0
)
.
.
.
ins
a
ecob i
[O,T]
(amb un
nomb e
ini
de
S's)
.
Diem
E
s
:

u e
C([O,T],
D)
->
u(s)
e D
.
Aques a
aplicació
(anul
.lacióen
el

pun
s)
és
lineal
con inua
pe
a
o a
se
[O,T]
.
Exis eix
un
en o n
U de u
0
e D al
que
U
C
U
1
,
E a

o
F
1
(U)C
U2
,
o
E d

0

F
2
o

E d

o

F
1
(U)

C
U3
i

així

ins

a
comple a
els

d's
.
0

0
Sigui
e
l(m-1)S
0
,
ma
0
1
ixa ,
m
<
n
.
De inim
F
:
U-D
F
=
E

o

F
m-1

o

E

-
.
.
.

o

E
S
°

Fl
(m-1)5o
0
Aplican
la
egla
de
la
cadena,
F és
de
classe
C
1
.
Obse em
pe
acaba
que
F
(u)
és la
solució
de
(6)
amb
condició
inicial
u
.
Co ol
.
l
a i

1j

Si

M(o)
= 0,

DF
(0) = e
L

pe
e
íO,T)
.
És a
di ,
L (la
pa linial de
1'equació)
és
el
gene ado
in ini essimal
del
semig up
analí ic
DF
(0)
(la
pa
linial del
sis ema
dinámicde ini
pe
1'equació)
.
Demos ació
Tenim
que
F(O,0)
=0
D
1
F(O,O)=
- e
L
D
2
F(0,0)
=
I
Lla o s
aplican
el
eo ema
de unció
implíci a
exis eix
una
única
F
de inida
en un
en o n
U
de
O
e
D
:
F
:
U
-
.
C([
O,T]

D)
al que
F(o)
= 0
;
F(u,F(u))
= 0 Vu eU
.
A
més

Com
F
(u)
és
la
composició
de
F
amb
1'a aluació
a
,
que
és
linial
aco ada,
ind em
DF (o)
= E
DF(o)
= eL e
L(D)
Teo ema
1
.5 Les
soluciona
de
1'equació
d'e olució
(6)
de ineixen
un
semi-
sis ema
dinámic
local
di e enciable
a D
.
Més
p ecisamen ,
1'aplicació
:
F
:
[O,T]
x D
->
D
al
que
ixa
u
0 e D, F
(u0
)
és
la
solució
de
(6)
compleix
les
següen sp opie a s
:
a)

Fixa
u
0
e
D,
->
F
(u
0
)
e
C([
O,T]

D)

n
C
1
([
O,T],H)
9
4
DF(u)
=
-(D2F(u,F(u)))í
D
1
F(u,F(u))
i
pe
an
DF(o)
=
-Ie
L =e
L
e
L(D,
C([
O,T]
,D)
)
b)
Fixa
e
[
O,T]
,

u
->
F (u) e C
1
(D,D)
'
c)

F
+s
(u)
=F
(F
S
(u))

,s
e
[O,T]
1
1

.
0Ix
u~
,
.
La
demos ació
és
1'aplicació
inmedia a
dels
eo emes
1
.3
i
1
.4
.
2
.
EXISTENCIA,
UNICITAT
I
DEPENDENCIA
RESPECTE
A
LES
CONDICIONS
INICIALS
DE
LES
SOLUCIONE
DEL
SISTEMES
DE
REACCIO
DIFUSIó
.
En
aques a
secció
demos a em
que
el
sis ema
de
eacció-di usió
:
á
=
dou
+
(u)
,

de
classe
C2
de
R
m
en
R
m
u(x,0)
=
u
0
,

x
en
C
Rm
a
(x, )
=
0
,

xe
92

de
classe
C
2
.
es
oba
so a
les
hipó esis
que
pe me en
ob eni
els
eo emes
de la
secció
1
.
El
p ime
que hem
de
e ,
doncs,
és
demos a
que
1'ope ado
do és
anca ,
densamen
de ini
i
gene a
un
semig up
analí ic
que
compleix
la
p o-
pie a
(5)
.
Lemma
2
.1
Sigui
A un
ope ado
o amen
el
.lip ic
amb
coe icien e
eals
con inus
i
amb
domini

H
2
(2,

2
)

dens a 1
2
(sa)
.

Suposem
ase
de
classe
C
2
i
si
aco a
.
Lla o s
A
és
anca
a
L
2
(s2)
.
La
demos ació
d'aques
e
i
de
esul a s
més
gene als
es
po
oba
a
FRIEDMAN,
cap 18
i
19
.
Al
inal
d'aques
capí ol
es
p o a an
ce es p opie a s
de la
unció
F
de inida
aD =
(H2(~,'e
))
m
,
amb alo e a K
=
(H
I
(si))
m
.
Reco dem
F(u)(x)
=
(u(x))
.
En
pa icula
es
demos a á
que
si
u
o
e D
.
1'aplicació
DF(u
0
) :
D
}
K
u
-~
'
(u0(x))
.u(x)
és
lineal
aco ada
.
De la se a
de inició,

és
e iden
que
pode n
es end e
DF(u0) a
o
H
=
(L
2
(2»
m
i
con inua
essen aco a
(com
a
ope ado
a
H)
.
Podem
a a
anuncia
el
seguen
:
Teo ema
2
.1
Sigui L = DF(u0) +'do
ope ado
de ini
aHambdomini
D
;
L
és
anca
a H
.
Demos ació
:

Pel
'
lemma
an e io ,
és
e iden
que
do és
anca
.
Com
quaDF(u
0
)
és
aco a
(a
H), L
és
anca
.
De inim
a a a D
una
opologia
d'espai
amb
p oduc e
escala
:
(u, )D
=
(u, )
H
+
(Lu,
LV)
H
,
u, ,
e
D
.
Lemma
2
.2 El
p oduc e
escala
an e io
con e eix
a
D una
es uc u a
d'espai
de
Hilbe
.
És
a di , D
és
comple
amb
la
no ma
del
g a
.
Aixó es
dedueix
inmedia a
:
:
;en
del
lemma 1
.1
i
el
eo ema
2
.1
.
Teo ema
2
.2
La
no ma
del g a
I
.I
G
i
la
no ma
habi ual
dels
espais
de
Sobole
.I
D
eón
equi alen s
.
Demos ació
Demos ació
96
m
Reco dem

luI
D
=

i
E
1
luiIH2(n)
=
Deno em
D = IDF(uo)IL(H)
.
Lla o s
'UIG

=

'u'H

+

ILui
H
=

IUI
H
+

IDF(u
o
)u

+

d¿u
'H

<

(1

+

D)

IUIH
+

Idau'H
m

m
=E
(1
+
D)
W112(9)
+
E
diloui1L2(,)
<
CIUID
.
i=1

i=1
Pe
an ,
la
inclusió
canónica
D
D
C
DG
és
con inua
i
linial
.
El
eo-
ema
de
1'aplicació
obe a
assegu a
que
és un
homeomo isme
.
Pe
an ,
les
dues
no mes eón
equi alen e
.
P opie a s de
1'opea ado
A
Es udia em
a a les
p opie a s
de
1'ope ado
0
amb domini

1'espai de
Sobole
H2(sa,
a~
)
sob e
¢ dens a
L 2
(sz)
.
Ja
sabem
que
o
és
anca
.
Anem
a a
a
-
demos a
que

és
au oadjun
no
posi iu
i
gene a
un
semig up
a iali ic
a L2
(sa)
.
La
demos ació
és
sugge ida
a les
no es

de Iooss
.
Lemma
2
.3
o
és
sime ic
no
posi iu
.
a)
Hem
de
demos a
que,
donades
u
i
a
H2(s2,
a
)

.
(u,
o )
=
(bu,
)
.
Abans
de segui
ad e im
que
(
.,
.)
ep esen a
el
p oduc e
escala
en

1'espai
de
Hilbe
L
2
(s2)
i

<
.,
.>
el
p oduc e
escala
a
R
n
.
Comencem
p o an -ho
pe
a
uncions
u
i
de
C2
(2)

=
.{U

e

C 2
(R)
I

<

g ad

n,

ñ
>

=

0

a

ia}
on
ñ
ep esen a
el

ec o
no mal

a
an
.
Reco dem
que
C
.'(sa)
és dens a
H2
(
S2,
a
).
El
eo ema
de
la
di e gencia
(conc e amen
la
iden i a
de
G een)ene
assegu a
:
i
igualmen
pe ( ,ou)
.
b)
P o ema a
que
o
és
no
posi iu
.
(uá
-
oú)
_

< u
g ad
-
g ad
ú,
ñ
>
= 0
sz

a
sz
Pe
an ,
(u,o )-( ,
¿u)
= 0

Vu,
e C?
(s2)
A a bé,
si
de inim
(u, )

e

(H
2(9,

a
))2
_
(u,o )-( ,ou)

e
és
cla
que
aques a
aplicació
és una
o ma
bilinial
con inua
:
¡(u,
)1=

UAVI
<
(121ul2)1/2(
J~Io l2)1~
.2
<IuIH2(9)I IH2(2)
Comque
s'anul
.len
a

(C
2
(si))
2
que
és
un
subespai
dens
de
(H
2 (9,
á
))

,
ind em,
en
de ini i a
(u,o )
-
( ,ou)
= 0

Vu,
e
H2(s2,
w
)
Es a
di ,
o
és
simé ic
.
Vu,
e C?
(sz)
Sigui
u e
Cy(s2)
.

Pel

eo ema
de
la
di e géncia
0
=

<
ú
g ad
u,
ñ
>_

Ig ad
ul2
+

úou
s2

s2
la
qual
cosa
implica(ou,u)
< 0

Vu e
C,
(s2)
Com
l
es apl
i
caci
u
--+
I
úou
u
--'(1g ad
u1
2
són
con ínues,

i

C2
(s2)

és
dens
a
H2(s1,
á

,
,+

a
)
deduím
que
(ou,u)

=

-

j
Ig ad

ul2

<

0

Vu

e

H2
(2,

a
)
Reco dem
que
un
ope ado
au oadjun
és un
ope ado
T
simé ic
en
És a
di ,
que
(u(x))

i
les
se es
de i ades
p ime es
són
aL2(2)

( eco dem
que
pa lem
de
de i ades
dis ibucionals)
Pe

simpli ica ,

sigui

l . l
o

:

=

l-IL2(,,),lj
i
:

J
,
IH
,
(A)
j
1
.
1
2
;
au
=
I
,
IH2(~,
a
),

ixj
_
:
uj
Fj(u)I
0=Jai
'
(u)ujl
2
_
Kiu
j"
l
ujl
2
<

Ki
u
l
ul 2

<
W
H 2
(2,
a
a
)
implica
la
con e géncia
uni o me
.
mamen
aue
C( ),
exis eix
un
compac e
K
inclós
a
1R
al
que
un
(')C
K,
u(2)
C
K
Vn
.
IF(u)ló
=
1
I (u(x))l
2<
Ku u(~)
«
Demos em
a a
la
con inui a
de F
.
No em
que,
com
a
conseqüéncia
del
lemma
2
.8, la
con e géncia
en
No em
ambé

que,
si
una
successió
{u
n
}
C
C(I)
conVe geix
uni o -
D'aixa
úl im
es
dedueix
que,
si
ii
n
}
ii,
les
uccessions
{ (i
n
)}
i
{ '(u
n
)}
con e gi an
uni o memen
a
(u)
i
'(u)
(degu
a
la
con inu"i a
uni o me
de
i
de la
se a
de i ada
dins
K)
.

Sigui
M=
sup
I '(x)I<
m
xeK
Alesho es
:
jF(u
n
)
-
F(u)Ió
=
1

I (u
n
(x))
-
(u(x))1
2
_
0

pe
la
con e géncia
uni o me
de
(u
n
)
cap
a
(u)
.
lF
j
(u
n
)
-
Fj(u)I0-
=
I '(u
n
(x))U
n,
j(x)
-
'(u)(x)uj(x)0
l '(u
n )u
n,j
-
'(u
n
Y
O+

I '(u
n
)u
j
-
'(u)u
j
1
0
<
<

Mlu
n,j
-

u
j10

+

(Jl '(un)

_

'(u)12

(uj)l2)1/2

<
Mlu
n -
u12
+
lul
2
suP
l '(u
n
(x))
-
'(u(x))1
xe2

El
p ime
sumand
endeix
a
0
pe
hipó esi
i
el
segon ambé
po qué
'(un
(x))
con e geix
uni o memen
.a
'(u(x))
.
Hem
demos a ,pe
an ,
la
con inui a
de F
.
Obse ació
:
La
con inui a
de
no
és
su icien
pe a
la
con inui-
a
de
Fcom
a
aplicació
de
H 2
(2,
-~
)

en H
1
(n)
:

Exemple
:
Si
(x)
=

1x1 e
C(R
) ,
s2
=
(-, /2,
1T/2)
c
R
;
lla o s
u(x)
=sin
x e
H2(s2,
a
),
pe o
/Isin
xl

H
1
(s2)
.
Malg a
aixó,
p o a em
pos e io men
que
sí és
su icien
pe
a
la
con inui a
de
F
com
a
aplicació
de H
2
(9,
á
)
en
L
2
(M)
.
Teo ema
2
.6
Si
e C
2
(1
R),
lla o s
F és
di e enciable
en
el
sen i
de
F éche
de
H2(9,

a

)

en
H'(s~)

i

DF(u0
) ,
aplicació
1in
.ial

aco ada de
H
2
(n,
á
)

en
H1
(s2)
s'ob é
mul iplican pe
'(u
o
(x))
.
Demos ació
a)
L'aplicació
.F*
de inida
pe
F*(u
o
) :
H2(s2,
a
)
->
H'
(s2)
és
lin,ial
aco ada
.
En
e ec o,
és
cla amen
linial
.
J~I '(U
o(x))u(x)1
2
<
Kluolul2
j2
I( '(u
o(x))u(x))
i
l
2 =
j~i
.,(UO(X»Uo,iu
+
'(u
o
)uil
2<
<J
s2
l

(
ú
°)l
lu°,i
l2lul2
+
j~l ,(u°)I)il2
+
+
2J

I
"
(uo(x))I '(uoi ))luo,illulluil
s2
u
-}
'(u0)
.u,
au
<K
2u

IuICo(s )Iuol2
+K
lu

IU12
2

2
+
2K
2u
K
lu

I
U
ICO(a)Jl
x

ax
.
0

0

0o

i ~
< Cl
lul2
+
C
2
Iul
2 ( )
lu
o
l
2
)
1/2
((lu
i
l
2
)
1
/2<Clul2
<
10
5
Pe
an
IF
*(uo
)ul
l
=
' '(uo)
.u11
<
CIu12
1F(u
+u)-F(u
)-F*(u
d
u1 H
~
b)

lim

o

o

(
)
=
0
~u1
->0

~
u1
H
2
(9)
Hx2)
Anem
a
demos a
aques a
asse ció
.
No em
que,
com
és
con ínuamen
di e enciable,
podem
esc iu e,pe
a
a
e
12
(a+h)= (a)+ '(oc)h+
~l( '(a+ h)-
0
Pe
an ,
si x
e
1
C
Rn
10
6
(U
O (x) +
u(x))
=
(u
0 (x)
+
'
(uo(x) )u (x) +
-
'(u0(x)))u(x)d
En al es
pa aules
:
F(u
o
+
u)
-
F(u0)
-F
*
,
(u0
)u
=
Jo(
0
Es udiem,
doncs,
1'exp essió
:
l
1
0
(
'
(
uo +
u)
-
'(u
o
))
u
d li
1
0
(
1

2
(
. '
(--u
0+
u
)

-

'
(uo
)
)u

d

<

sup

'
(uo
+
u)

-

n
e
[0,11
C
sup

l '(u
o
)
+ u)
-
'(uo)~21u12
e
0,1
xe
0
(«
.))hd
(uo(x)
+ u
(0-
_
(uo + u) -
(u
o
))
u
d
(uo
)
Pe o,
comque
u(x)
con e geix
a
0
pe
la
no ma
de H2
,
con e geix
uni o -
in,men
a 0
.

Donada

l
a
con i
nuí
a
de
-
'
,

i
nd em
:
Reco dem
que
ax
i
ol
di
de i ada
dis ibucional
.
Els
cálculs
que
segueixen,
enca aque
són,
o malmen ,
co ec es,s'han
de
jus i ica
pe
pas
al
lími
dins
H'(Q)
.
Es a
di ,
s'han d'aga a
p ime
uncions
de
C1
(~),
aplica
pe
elk
la
écnica
de
de i ació
so a
el
signe
in eg al
i
u ili za ,
lla o s,
el
e

que
C
1
(s )
és
dens
a
H'(sl)
.
U i3
.i zan
la
desigual a
de
Minkowski
i
el
lemma
2
.8,
ind em
:
I
<
sup

I1"(uo(x)+ u(x)- '(uo(x))IIu¡,+
x e 12
e

(0
,1]
+
sup

I
le
(uo (x)
+ u(x))
-
"
(u
o (x))
1

(I

~uoi
I
2

IuI
2
)
1/2
x62

n
e

(0 ,1]
+
sup

I
.1
(uo
+ u)I((Iu
i
l
2
M
2
)
1/2

<
xesla
e
j0,11
Hem
d'aco a
a a
sup

I '(u
0 (x)
i-
u(x))
-
'(u
o (x))1

0
x e
ba

¡u
~

>
0
e
19,11

2
1
1 :

-

(
Js

a
i

( 0( '(u0
+

u)-

'(uo))ud )i2dx)1/2
sup

I '(u
0
(x)+
u(x)
-
'(u
o
(x))IIUI
2
+
xe2
e

¡o,
11
+
C
sup

I "(uo(x)+
"
(uo(x))IIuo12IUI2
xen
e

[0,
1]
+ C
sup

I 1]
(uo+ uMu12
xe2
e

i0 ,11
Pe ó a a,
enin

en
comp e
la
con inui a
de
'
i
"
;
el
e
que
exis eix
un
compac e
K
de
R
que
con é
u
o(x)+ u(x)
pe
a
o
x esa

i
10
7
suposan
IuI2
<
d,
ob ind em,
En
de ini i a
:

Vc
9
s

als
que
si IuI 2
<
S

lla o s
Teo ema
2
.7
sup
Iu(x)I
<
CK
o
.
Alesho es
xen
108
1
I
o( '(uo
+ u)
-
'(u
o))u d
1
1
<
EIu!2
Si

e
CZ
(R
),

1'aplicació

F

pe any
a
C1
(H2(s2,

w
),

H'(2))

i

F

i

DF
en ien
aco a s
en
aco a s
.
Demos ació
P o em
p ime
que
F
en ia
aco a s
en
aco a s
.
Suposem
ueB
=
(ueH2(2
.
a~
)
:
IuI
2
<K
o
}
i
calculem
¡F(u)I1
Com
H
2
(2,
a )C
.
C(s ),
exis eix
una
cons an
C al

que
J
¡F(u)I
2=
J
I (u(x))I
2
<
sup

I (a)I
2
u(2)
si

a
e
[-CK
0 ,CKO
I
IF
i
(
u)I
2
=~
s
I '(u)u
i
l
2
<

s
a
up

-

I '
.
(
a)M
I
2
II2
sZ

e
[-CK
0
,CK
O
I
<
K
o
sup

I '(a)I
2
a
e
[-CK
0
,CK
O
I
Pe
an

IF(u)I1
<
K
1
si
Iul
<
Ko
IDF(u)IL(H2(sa,
8
),
H1(2))
<
K2
Reco dan
la
demos ació
del
T
2
.6
a)
i
que sup
Iu(x)I
xe
que
si

e
H2(2,
)
.
IDF(u) 1
2
=
I '(u) 12
<
sup

I '(«)I2I I2
+
a
e
[-CK
0
,CK
O
]
Demos ema a
que
DF
en ia ambé
aco a s
en
aco a s
.
Es a
di ,
si
IuI 2
<
Ko
,
lla o s
K
o
,
ind em
+
C

K~

sup

I " (a)I 2
I 12
+

sup

I '(a)I
2
IM
Iz
+
a e
í-CK
o
,CK
0
1
a
e
I-CK
0
,CK0
1
+
2CK
o
sup

(
,
(
a)I,
I

(a)I)
IVIZ
<
C4I I2
a e
(-CK
0
,CKO
I
on
C4 no
depén
de u
si
lu1 2
<
Ko
Pe
an ,
ID (u)I
< K2
si
Iul <Ko
Demos em
pe
úl im
que
DF és
con ínua,
és
a
di ,
que
1'aplicació
DF
:
H2(s2,
á
)

>
C(H
2 (~,

H
l
(2))
u

'(u)
és
con ínua
.
Suposem
un
->
u
dins
H2(s2,
a )
i
.
p o emque
I '(u
n
)
-

'(u) l
l
<

EI I2

amb

E->0 quan

n
-4>
m
D'una
banda,
1
l '(un)
-
'(u) 12
=

1 '(un)

_
.(u)12I 12
'(u
n
)
con e geix
uni o memen
a
'(u)
.
De
o ma
simila
:
<
sup
I "
(un
(x))I
sup
I (x))lu
n-ul 2 +
xes2

xes2
.
I 12
<
E2
1 i
2

amb
1
a
X
w
(un)
- '(u) )12
=
1(
°
(un)un,i
_
"
:(u)ul) 1`

+
+

I( '(u
n
)

-

'(u)) i12

<_
1( (un )u
n
,i

-

"
(un)u,i)VI2

+
+

1( ',
(
un
)
u¡

_

"
(u)ui)

1+

I( '(un)

-

ku))
i
l
2

<
amb

el
->
0
pe qué
+

sup

I
"

(
un
(
x
))

-

"
(u(x))I

sup

IV(x)IIUI
2

+
sup

I '(u
n
(x))

-

'(u(x))I,
xes2

xes2

xe2

En
aques a
úl ima
desigual a
hem
u ili za
la
i
la
con inui a
de
'
i
'',
així
com
en
C
o
(sa)
.
de u
n
cap
a
u
de
H2(si
:
2
)
quan
un
Teo ema
2 .8
on
pe
a
Demos ació
En
de ini i a

¡D (u
n
)
-
D (u)iL(H
2
,H
1
)

0
i
u

dins
H2(si,
w
)
.

Es a
di
u(0)
=uoeD
e
C
1
(H2(2,
8
El
p oblema
d'e olució
següen
:
~=
d0,
u
+
F(u),
o a
uo
e
D,
i
pe
a
o

T
<
T*(uo)
.
Si

T*(u
o
)
<
m
,

T
mT*IUIC([O,T],D)
.
_
La
solució
u( )
de (14) és
di e enciabl
,
e
amb
u s
C(
(O,T_1
D) nC
1
(
[O,T] H)
con e géncia
uni o me
la
inclusió
con inua
D=
(H2(s2,
a
))
m
,
H=
(L
2
(s2))
m
,
F(u)
:= (u)
e C2
(1R
m
)

é
una
única
solució
con inui a
espec e
a u
o
.
Els
eo emesp eceden s
es
poden
gene ali za
ácilmen
al
cas
m
> 1
(un
sis ema
de
eacció-di usió
de
més
d'una equació)
.
Pe
an ,
p enen
M(u)
=
F(u)
-
DF(u
0
)u
ens
obem
en
les
hipó esis
dels eo emes
1
.2,
1
.3,
1
.4
i
1
.5
.
Obse em
que
L =
DF(u
o
)
+
dá
CONCLUSIO
Les
equacions
d'e olució
(14)
de ineixen
en
l'espai
uncional
D
un
semisis ema
dinámic
.
OBSERVACIONS
En
o a
aques a
cons ucció,
hi
ha un
elemen
que
és
apa en men ,
poc
na u al
;
ens
e e im
ala
necessi a
d'in odui
1'espai
K
en e
els
al es
dos
espais
D
i
H
.
En
e ec e,
d'una
banda,
D
és
el
domini
de
1'ope ado
no
aco a
L
i
és
a D
on
é
sen i 1'equació
plan ejada
.
Pe ó
L
p en alo s
a
o
H
i
pe
aix$
és
necessa i
pa la de
H
.
La
necessi a
de
dona
una
opologia
a
D
es a
pale
sa
en
ole
ob eni
eó emes
de
con inui a
i
di e enciabili a
espec e
a
les
condicions
inicials
.
El
p oblema
de ons
que ens
o ga á
a
in odui
1'espai
K
és
a ina
la
següen
aco ació
:
(*)

¡Le
L IL(H)

<

>
0
Hi ha
di e sos
pun s
en
les
demos acions
an e io s
en
qué
hem
u ili -
za ,
explíci amen
o
explíci amen ,aco acions
pe
~eL IL(H)
.
Esmen em-ne
algunes
:
a) En el
lemma
1
.3,
pe
a
p o a que
( eL( -T) (T)dT
pe any
a
D,
J
0
hi
ha
dos
camins
;
obé
conside a
la
in eg al
a H,
i
lla o s,
segons
el
lemma
II
1
.2
de
FRIEDMAN
necessi a em
que
H Le
L( -T)
j
(T)dT
0
exis eixi
i
1'aco ació
(*)
se á
insu icien
;
obé
conside a -la
a D
amb
la
di icul a

que
1'aplicació
--}
eL u
no és
con ínua
a D i,
pe
aixó
necessi a emque
la
in eg al imp ópia
D
(
e
L( -T) (T)dT
J0
con e geixi
Pe o
1'aco ació
IeL IL(K,D)
`
~

sí
que
és
su icien
en
aques
con ex e
.
b)
En
demos a
la
con inui a
a
D
de
1'aplicació
,
( e'( -T) (T)dT,
ambé
en
el
lemma
1
.3
.
J
0
c) Al
demos a
1'exis éncia
de pun
ix
de
1'aplicació
en
la
de-
mos ació
d'exis éncia
de
soluc¡in&
de
1'equació
no
lineal
.
En
eali a
es
poden dona
esul a ssemblan s
ala
enuncia s
sense
pa la
de
cap
espai
in e medi
.Pe
exemple,
a
TANABE,
Cap
.
6
es
demos a
1'exis éncia
i
unici a
de
soluciona
de
1'equació
no
lineal,
pe o
suposan
de inida
a
o
1'espai
H
.
Aixó,
en
el
nos e cas,
és
massa es ic iu
.
Pe
exemple,
si
(u)
=u
2 ,
ja no
podem
de ini
F
a
o
H
.
En
al es ex os
el
que
es
a és
de ini
les
po éncies
acccioná ies
de
1'ope ado
L
i
els
dominis
d'aques es
po éncies
accioná ies
són
espais
in e medis
en e
D
i
H
.
Lla o s
les
aco acions
són
de
la
o ma
:
le
L I
L(D(A
a
),H)
<
1ca
0<a<1
.
Veu e FRIEDMAN
cap
.
Ii 3,
II
14,
Ii
16
. ,
Sobole skii
.
His ó icamen ,
les
po éncies
accioná ies
dels
ope ado s
an
se
in odu`ldes
en
aques
con ex e
pe
Sobole skii
amb
an e io i a
al
p ocedi-
men
que
u ili zemnosal es
.
Sembla
cla ,
pe o,
que
el
que
és
essencial
en
la eo ia de
les
po éncies
accioná ies
és, ambé,
in odui espais
in e medis en e
el
domini
de
1'ope ado
D
i
H
.
Des
d'aques
pun de
is a,
doncs,
el
nos e
p ocedimen
se ia
més
gene al
.
Si .b
e a
FRIEDMAN
es
esol
un
p oblema
més
gene al
que
el
nos e
(és
conside a
1'ope ado
L
depenen
de
i
de
u), els
esul a s
són, en
algún
sen i ,
més
pob es
.
Essencialmen ,
la
di e éncia
és
en
que
en
aques
eball
es
demos-
a
la
con inui a
de la
solució
a D
i
la
di e enciabili a
espec e
a
les
condiciona
inicials
.
Pel
que
a a
Iooss
o
es á
o ien a
a
1'equació
de
Na ie -S okes
.
CAPITOL
II
ESTABILITAT
I
BIFURCAC1
INTRODUCCIO
El
p incipal
objec e
d'aques
capi ol
és
es udia
1'es abili a
dels
pun s
de
epós
del
semisis ema
dinámic
de ini
al
capí ol
an e io
.
Aques s
pun sde
epbs
co esponen
a
solucions
es acioná ies
de
1'equació
d'e oluci6
:
(15)

~
=dou
+
F(u)
u
( ) e
D
=

(H
2
(2,

a
)
)m

,

Fe C
1
(H
2
(2,
8
és a
di ,
a
soluciona
de
1'equació
(16)

dou
+
F(u)=
0
,

ueD
Reco dem
del
capi olL
F(u)(x)=
(u(x))
.
No em
que
les
soluciona
de
(16)
sbn
soluciona
en
sen i
débil
del
sis-
ema
de
m
equacions
el
.líp iques
no
linials
següen
:
d
1
ou
1
+
l
(u
l
,
.
..

u
m
)=
0
d2ou2
+
2
(
u1
,
.
.
.,u
m
)=
0
m
1
m
d
m
ou

+
m(u

,
. .
.,u

)=0
amb
condiciona
a
la
on e a
de n
:
a
IUL
jan

0,
és a
di ,
condiciona
de
Neumannhomogénies
.
Demos a em
que
1'es abili a
d'aques s
pun s
de
epós
e
de e minada
pe
1'espec e
de
la
pa
linial
de
1'equaci6
(15)
;
és
a
di ,
pe
la
di e-
encial
de
F éche
de

dou
+
F(u)
en el
pun
u
o
e
D
solució
de
(16),
.
En
el
capí ol
an e io
am
eu e
que
aques a
di e encial
a]
:
do
+
'(uo)
.
en
L 2
(2)
.
Demos ació

Pe
hipó esi,

és
aco a
en L2
(2)
.
Demos em,
a
més,
que
és
aco a
com
a
ope ado

de
L2
(s )
en
H2(s ,

a
)

(la
no ma
de
H2(í2,
-L
és
equi alén
.a
la
no ma
del
g a
pe qué
o-XI
és
anca )
.
<
C1(C21VIO
+
I ID) <
k1VID
.
A a,
aplican
el
lemma
de
Rellich
( eu e
FRIEDMAN
T
I
11 .2)
(o
-XI)
- 1
és
compac e
a L
2
(2)

pe qué
la
inclusió
és
compac e
.
Lemma
3
.4
En
e ec e
:

sigui

e
L
2(sa)
I(
A-AI)
-1 1
2

<

C1(1
(o-
XI)-1 10

+

I
(o
-
XI) (o -
XI)-1 10)

<
L'espec e
de
do

(ope ado
de ini
densamen
a
H
=
(L`(si))~~~)
és
pu a-
men
pun ual
i
es á
con ingu
a
(-m,0]
.
A
més,
1'ope ado

A
=

d
l
e
+
E

,

e>
0

és
d2~+
e
dm0+
s
al
que
A-1
és
compac e
.
La
demos ació
és
e iden
aplican
els
lemmes
3
.2
i 3
.3
. i
el
co ol
.-
la i
2
.1
i
eco dan que
o s
els
di
són
posi ius
o
nuls
.
Teo ema
3 .2
H2 (2,

e'

)
4
L2
(sz)
L'espec e
de L =
do
+
P(u0)
és
pu amen
pun ual
.
Demos ació
Podem esc iu e
L=A+
F'(u
o)-eI on A =

o + eI

és un
ope ado
diago-
nal

amb
domini

D al

que
A
1
és
compac e
i

F'(u
0
)-
eI és
un
ope ado
aco a
.

P o a em
que
Nuc(L
-
XI)=

0

implica
que
(L-
xI) -1 és
aco a
.
Demos a em
el
següen
e
gene al
:
"Sigui
A
un
ope ado
linial
densamen
de ini
a H al
que
A
1
és
compac e
.
i
B un
ope ado
aco a
a H
.
Alesho es
Nuc(A
+B) = {0}
-
=*(A
+
B)-1
de ini
a
o
H
i
aco a "
La
hipó esi

que
A
+ B
sigui
injec iu
implica
que
I+
A-1B és
ambé
injec iu
.
Pe o
A
--1
B
es
compac e
.
Lla o s
la
eo ia
de
F edholm
en
s
assegu
a
que
I
+
A
-1 B é

i
n e' s
aco a
.

P o em
a a
que (I+
A
-1
B) -1A
-1
=
(A+
B)
-1
.
D'una
banda,

V
e
Dom(A)
es é
:
(I+A-1B)-1A-
1
(A+B)
= (I
+A
-1B) -1
(1+
A
-
1
B)
=
D'al a
banda olem
demos a
(A+B)(I+A
1
B) -1
A
-1
=
I
Aixó
úl im
es
equi alen
a
demos a
que,pe
,a
,
qualse ol
e
Dom(A)
(A+B)(I+A-1B)-1
=
A
Sigui
w =
(I+11
1
B)
-1
.

Lla o s
(I+A
-
1B)w
=
i

pe
an
w
e
Dom(A)
.

Apl
i
can
A +
B
(A+B)w
+
(A+B)A
-1
Bw
=
(A+B)w
+
Bw
+
BA
-1
Bw =
A
+
B
(A+B)w
+
B(1+A
-
1
B)w
=
A
+
B
0
sigui,
(A+B)w=(A+B)(I+A
1B)-1 =A
.
Pe
an ,
(A+
B) -1
és
aco a
pe qué
és
composició
de
dos
aco a s
.
En
el
nos e
cas,
(L-aI)
-1
=
(A+B)
-1
és aco a
si
a no
és
alo
p opi
.
El
compo amen
asimp o ic
p op d'un pun
de
epos, quan
la
clausu a
de a no
con é
alo s
imagina is,
e
dona
pe
la
pa
linial
de
L
i
exis=
eixen
les
a ie a s
es able
i
ines able
( egi's
Iooss
Cap
.
VII)
.
En el
nos ecas
només
necessi a em
:
Teo ema
3 .3
Si
6(L)
con é
un
alo
p opi
amb
pa
eal
posi i a,
la
solució
nul
.l a
és
ines able
.
Demos ació
Pe
hipó esi
exis eix
un
A=
X1
+
ia
2e
Q,
a1>
0
i
un
ec o
u
=u
1
+ iu2 e
H~

(espai

complexi ica
de H)

als
que
122
Lu
= au
Aixó implica, en
pa icula ,
e
L
u = e
;k u
.
Es
cla
que
X
és
ambé alo
p opi
de L, de
ec o
p opi

u
l
- iu2 =
ú
.
Pe
an

=
u
+
la
=
2u
1
e H
.
A
més
e
L
y=e
L
(u
+
-U) = e
a
u + eX u
=
ea
l
(e
i
a2
u + e
-i
a2
-
U
)

_
= eÁ
l
(cos
a
2
y +
i
sin
a2
(u-
ú)) = eal
(cos
a2
y
-
2i
sin
a2 u2
)
Lla o s
exis eix
un
na u al
N al
que
~eLNV1

>
eal/2
N
¡Vi
D

.
F
( )
=F
(0)

+
DF
(0)
+
R
( ),

lim

IR
(
)lD
- 0
->0
D
Fixem-nosque
e'l
/2
> 1
.
Obse em
que
aques a
desigual a
és
ce a
pe
a
o

a e
R
ES a
di ,
podem
p end e
la l
an
pe i a
com
olguem
.
Aplican
el
eo ema
1
.4,
si
diem
F ( )
al
lux
amb
condició
inicial
,
enim
:
Pe b
com
F (0) = 0,

DF
(0)
= e
L
(co ol
.la i

1
.1),
deduim
el

següen
:
e,0
]
n
>
0
:

IF
N
(a )
_
e
LN
a ID

<
eI ID

si
la l<n
P enem
e
al
aue

Pl
=e
a,N/2
_e
>
1
.
Lla o s
pe
a
o
a al
que
la l
<
n
ind em
IF
N
(a )j,
>

le
LN
a
I
D-

el I
D>

(ea1N/2
_

e)Ia ID
És
a
di

JF
N
(a )IÓ
>
P11-VID
Es em
suposan
que
F
(a )
exis eix
pe
a o
>
0,
ca
en
cas
con a-
i

ind íem

sup

IF
(a )1
D
=

i
0
no
se ia
es able
.
>T
Si
IF
N
(a )I>
n,0
és
ines able
.
Suposem
doncs
i
nd em
:
2N
(a )1
>
pl
IF
N
(a )l
>
p1~ ID
I
així
successi amen
ind em
~FKN(a )1
>
P11a ID
Pe o

és

cla
que
exis eix
,
un
k >
0
al
que
p1Ia I,
> n
.
Lla o s
0
és
un
pun
de
epós
ines able
pe qué,

Vn'
>
0
podem
oba

e
D al
que
Ia ID
< n
'

i

1
F
(a )1
D
>n

pe
algún
.
(és
a
di ,
la
bola B(o,n)
H
no
con é
cap
bola
B(O,n')
al
que
F (B(O,n'))
C
B(O,n)

>
D)
.
IF
N
(a )1
<
n,
Lla o s
Resumin
:
Teo ema
3
.4
(P incipi
d'es abili a
linial)
Una
solució
es acioná ia
uo de
(17)
és
asimp ó icamen
es able
si
1'espec e
de
1'ope ado
linial
D
u
(dou
+
F(u))
=
do
+
F'(u)
es á
con ingu
a
1'esque a
de
1'eix
imagina ¡
i a
dis áncia
no
nula
d'aques
;
és
ines a
ble
si
con é
algún
pun
amb
pa
eal
posi i a
.
La
demos aciód'aques
eo ema
es
edueix
a
aplica
els
eo emes
3 .1, 3 .2
i
3 .3
.
Ens
es a
a a
dona
un
algo ismepe
al
cálcul
dels
alo sp opis
de
1
'ope ado
do
+
F'
(u)
.
Pe
a¡xó,
egi's
PERELLó
.
En
1'a icle
esmen a
es
demos a
que
p
és
alo
p opi
de
L
si
i
només
si
exis eix
un x
i
de
1'espec e
de o al
que
124
de (F'(u
0
)
- A i
diag(d
l
,d
2
,
.
.
.d
M
)
-
PI)=
0
Obse i's
que
P(u0)
-
a
i
diag(d
l
,
.
.
.d
m
)
-
PI
és
una
ma iu
m
x
m
.
Si
exis eix
un
únic
a
l
que
sa is á
la
condició
an e io ,
a
l
és
alo
p opi
simple
de
o
i
el
ang de
F'(u
o
)
-
x
i
diag(d
l ,
.
.
.,d
m
)
-
PI és m
-1,
lla o s
p és un
alo
p opi
simple
de L
.
És a
di ,
dim
Nuc(L
-
PI)
=
1
En
aques a
si uació,
si
~i
és
la
unció
p ópia de
alo
p opi
a l
de
o
,
el
subespai
Nuc(L
- pI)
e
gene a
pel
ec o
(-ajo¡, a2~i,
. .
.aji)
c
H
¢ on (a
l
,a
21
..
.a
m
)
és
un
ec o
p opi
de
alo
p opi
0
de
la
ma iu
F'(u
o
)
-
a
i
diag(d
l
,d
29
.
.
.d
M
)
- PI
.
Demos a em
a a
un
eo ema
que
u ili za em
més
a d
:
Lemma
3
.5
Sigui
A
densamen
de ini
a
H,A
-1
compac e
i
B
ado
A+
B
compleix
1'al e na i a
de
F edholm,
és
a
di ,
R(A+B)
=
(Nuc(A*+B*))1
Demos ació
Es
e iden
que R(A
+B)
c
(Nuc(A*
+
(Nuc(A
;+ B*
))
1

es á
con ingu
a
R(A
+
B)
.
Sigui
É
:H
al
que
( ,x)
=
0

Vx e
N(A*+
B*)
.
an B*(A
-1 )*
y
+
y
=0
B*)
)
l
,
P o em
doncs
Sigui
y s
Nuc(I+
(A-1
B)*),

ésa
di
,

al

que

(A-1B)
*y
0
sigui

(A
-1 )*y e
N(A*
+
B*)

pe qué
(A-1
)*=
(A*)-1
.
Lla o s

(A
-l
,y)
=
( ,(A-1)*y)=
0
aco a
.
Lla o s
1'ope-
Fins
a a
hem
p o a
doncs
que
si

e
(Nuc(A*
+
B*))
1
lla o s
A
-1
e~uc(I
+
(A-1B))L
.
Com
A-1B és
compac e,
de
1'al e na i a
de
F edholm
:
(Nuc(I
+
(A
-1
B)*)
L

=
R(I +
A
-1
B)
que
y
=0
i
pe
Com
a
conseqüéncia,'A
-1
=(I
+ A-1
B)u pe
algún
ueH
que
hau á
de
se
ambé
de
Dom
A
ca
el
ang de
A
-1
és
Dom
A
.
Aplican
A a
]'úl ima
igual a
:
Es
a
di
:
Teo ema
3
.5
=
Au
+
Bu
=
:>
eR(A+B)
(NUC(A*+B*))
c
R(A+B)
1
Si
a
és
un
alo
p opi
de L,
Rang(L-
aI)
=(Nuc(L*-
íI))

i
dim
Nuc(L-aI)=codim
R(L-xI)
.
Si
dim
Nuc(L
-
xI)
=
1,
di em
que
a
és
un
alo
p opi
simple
.
Demos aci
ó
L -
XI
és suma d'un
ope ado
A
=
do
+
El
densamen
de ini
i
d'in e s
compac e
i
d'un
ope ado
B =
F'(u
0
)-
XI-El
aco a
.
Pe
an ,
del
lemma
an e io ,
Rang(L
-ai)
=
(Nuc(L*-XI))
1
Com dim
Nuc(L*-
~I)
=
dim
Nuc(L-
XI)
ind em
que
dim
Nuc(L-XI)
=
codim
R(L-XI)
.
4
.
BIFURCACIÓ
D'UN
VALOR
PROPI
SIMPLE
En
aques a
secció
demos a em
l'apa ició

d'una
bi u cació
d'una
so
lució
es acioná ia
quan un
alo
p opi
simple de
la
pa
lini
.a
l
d'aques a
equació
c eui
pe
]'o igen
men e
o s
els
al es
es
man enen
a
1'esque a
de
l'eix
imagina ¡
i
a
dis áncia
posi i a
d'aques
.
El
p ocedimen
que
u i-
li za em
ep
el
nom
de
Mé ode
de
Lyapuno -Schmid
o
dels
p oblemes
al e na-
ius
.
Siguin
D
i
H
espais
de
Hilbe
eals,
D
densamen
inclós en
H
i
la
inclusiócon inua
.

G(p,0)
=
0
,
Y
p
E
32

.

D'aco d
amb
el
que hem
is
an e io men ,
aixo no
es a
gene ali a
.
Lla o s

u
-
0

és
una
solució
es acioná ia
(un
pun
d'equilib i)
de
la
segUen
equaciód'e olució
:
Sigui

G
:

R

x D
--~
H

una
aplicació
de
classe

C
2

.

Suposem
que
(27)
J
du
=
G(p,u)
d
u(0)
=
uo
E
D
Deno em
L(p,u)
=Du
G(p,u)
;
ope ado
linial
amb
domini
D
Suposem
que
L
es
oba
en
les
hipó esis
del
capi ol
an e io
.
si uació,
1'equació
de ineix
un
semisis ema
dinámic
.
Suposem
que
a(L)
(en enen
plexi ixa
de
H
)
es á
con ingu
cia
posi i a
d'aques ,
pe
a
p
<
nónc
;úlmen
es able
.
A
más,
com
ció implici a
assegu a
la
unici a
de
de
u=0
.
Suposem
que
1'ope ado
L(u,u)
és del
ipus
de
al
que
L(p,0)
R(L-xI)
=
(Nuc
(L
*
-íI))
1
dim Nuc
(L-XI)
=
dim
Nuc
(L
*
-íI)
u( )
E C
2
([0,T1,H)
a a
L
com
a
ope ado

a
1'espai
com
-
a
1'esque a
de
1'eix
imagina ¡
i
a
dis án
0
.
Alesho es,
la
solució
u
=
0
és
expo-
c$
in' c woc, i
wo
l
. .
c,
el
c
.
.
J
u
.
.c
1m
. .
..
eo cma

n
-
solucions
de
Suposem
ambé
que,
pe
p = 0
,
si
deno en
l
o
=
L(0,0),
N

=Nuc

lo

=[W
0
1

w
o

E

H

,

1
wo
l

=

1
Nuc
L*
o= [
w
G
)

wó
E

H

,

I
w
o
1
=
i
R
=
Rang
Lo =
{u
E H
1
(u,wó)
H=0}
*
(wo,
wo)H
~0
.
dens
a H
.
En
aques a
G(u,u)
=
.
0
en
un
en o n
F edholm,
és
a
di ,
(en
aques a
si uació
di em
que
0 és
un
alo
p opi
simple
de
L
o
)
.
Suposem,
pe
úl im,
que,
dien
a(u)
al
alo p opi
de pa
eal
més
g ossa de

L(u,0),

a'
(0)
>0
.
So a
aques es
hipó esis
demos a em
el
segUen
:
al
que
:
Teo ema
4
.1
.
Exis eix
una
co ba
de
classe
C1
a
e
.(-
E,
E)1->

( (a),
u(a))
e
RxD
G(
(
a),
u(
a)) =
0

Ya
e

(-
e,
E)
és
a
di ,
apa eix,
pe
a
cada
a
,
una
solució
es acioná ia
que
bi u ca
de
u
=
0
pe

y=
0
Demos ació
(u0),
u(0))
=
(0,0)
°)
=
ó
De inim
les
segúen s
p ojeccions
:
P1

:

D

-->

N
x
~-->

(x,
w
o
)
~
o
P
1

:

H
-

[
wól
(Y,wó)
`Po
i
diem
Q
1
=I-P
1
,
Q2 =
I-P
2
.
Fixem-nos
que
Q
2
p ojec a
H
sob e
RLo
=R
.
To a
u e D es
po
esc iu e
u =
(y
o
)sP
O
+Q
1
u =
aspo+
Podemdescomposa
1'equació
G(u,u)
= 0
(22)
Q2G(u,a`po+~)
=
0
P2
G(u,ap
o
+~)
=0
De ini em
a a una
aplicació
H
H
:
IRx
IR
xQ,
D
--->
R
(
u,
a,

Q2G(
p,
a
`po+0)
És cla
que
H
és de
classe
C
2
i
que
H(p,D,O)
=Q2
G(p
.0) = 0
.
En
pa icula
H(0,0,0)
=0
.

.
A
més,
D~H(0,0,0)
=
Q2Lo
és
un
isomo isme
en e
Q
1
D
i

R(és
bi-
jec i a,
con inua
i
lineal
pe
la
quál
cosa,
e
.]
eo ema
de
1'aplicació'obe aim-
plica
que
la
in e sa
és
ambé
con inua)
.
Podem,
doncs,aplica
.el
eo ema
de
uncióimplíci a
pe
a
ob eni
una
aplicació
de
classe
C
2
al
que
En
e ec e,
de i an
1'equació
H(u,a»(p,a l

Q2G(p,a`po+Q10(p,a))
=0
espec e
a
ob enim
:

.
Q
2
L(p
'
a-P
o
+
Q10(u,a»
'
(`°o
+
Q1-w(u'a»
=
0
A aluan
a
(0,0)
:
128
(¡
,
,a)
'-
«p,a)
(U
i
V
en o ns
de
0 a IR)
(0,0)
=_
0
.
H(p,a,«
p,«))

=0

pe

(PM

e
U x
V
Pe
unici a
de
~
ind em
que

V)(p,0)

=
0
)
V
y
e U

.
A
més,
es
compleix
la
segUen
p opie a
:
á
(0 ;0)
= 0
Q2L(O,o)w
o
+
42L(0,0)Q1
áa
(
0,0
)

=
Com

9o
e
Nuc
Lo
i

Q
2

és la
p ojecció
sob e

RLo
LoQ1
»(0,0)
= 0
I
pe
an
á"
(0,0)
= 0
Subs i uin
(p,a)
en
la
segona
equació
de
(22)
ob enim
:
P2
G(p,aP
o
+,y(
u
,
a
))
=
0
.
És a
di
:
(G(p,cw
0
+"P
o)= 0
Aques a
úl ima
equacióescala
anomenada
"equacióde
bi u cació"
és
equi alen ,
.com
hem
is ,
al

sis ema

(22)

en un en o n de

p
=0
.
De inim
a a una
aplicació
'

F
:

U x V
C
R
2
----+
R
F
és de
classe
C2
i
compleix,
pe
a
o a
p
e U
F(p,0)
=
(G(p,0),wo)
=0
Lla o s,
si
de inim
g( p, a)
F(p,a)
a
aaF

(
p,0)
esul a
se una
aplicació
de
.
U
x
V
en
R
de classe
C
1
al
que
g(0,0)
_

F
(0,0)
=
0
"A
-
pí
ica em
el
eo ema
de
unció
implíci a
a
la unció

g

en
un
en o n
del

(0,0)
.
Hem
d'a alua
~-(
0,0)-
V

e
2
Pe o,
de
la
de inició
de

g

enim
que
31(
0,0)
=
aaap

(0,0)
.
Calcula em
aques a
úl ima
de i ada
aa
(p,a)
_
(L(Pa%
+~(p,a))
(
,
P
o
+-á

Spo
)
si a
1
0
si
a = 0
a
(~«
)(0,0)
_
(
G(0,0)(,Po
+
aá
(0,0)
+
L(0,0)
a

(0,0),
0
)
_
(Du G(0,0)wo,wo)
Igualmen
es
p o a
la
ines abili a
de
la
b anca
subc i ica
.
Reco dem
que les
condiciona
.a'(0)
>0
i
p'(0)
~ 0
són
di ec amen
compu ables
a
pa i
de
1'equació
(D
up
G(0,0)w
o
,w
o
)
a~(o)
-
(w
o
,w
o
)
I
si,
X'(0)
> 0
,

(29)

ens diu
que
;u'(0)
¢ 0

és
equi alen
a
(DuuG(0,0)(ó,
ó),
ó)

0
.
Segui em
a a
1'análisi
de la
bi u cació
en
el
cas

que
p'(0)
si-
gui 0
.
Seguim,
doncs,
de i an
(5)
(a a
necessi em
que
(u'(a),u(a))
sigui,de
classe
C
3
i
pe
an
G
de
classe

C4
)
.
DuppG(p(a),u(a))(p'(a))~P(a)
+2D
uup
G(p(a),u(a))
(u'(a),w(a))p'(a)
+
+-DuuG(p(a),u(a))p"(a>P(a)
+
2p'(a)DUPG(p(a),w(a))w'(a)
+
+
DuuuG(p(a),u(a)%(u'(a),u'(a),w(a))
+ DUU
G(p(a),w(a))
(u"(a),w(a))
+
+
2DUU
G(p(a),u(a))

(u'(a),w'(x))
+
DuG(p(a),w(a))w"(a)-
~(a)w(a)
-
- 2a' (a)
w'
(a) -
a(a)
O'(a)
= 0
A aluem
a a = 0
,
suposan p'(0)
=
0
(
ai ó
implica
a'(0)
=
0)
i
eco dan
u'(0)
=
wó
,
a(0)
=
0
p"(0)D
u
úG(0,0)w
o+
DUUUG(0,0)(wo,wo
.wo) +
DUUG(0,0)(u"(0),
ó)
+
+
2Duu
G(o,o)(w'(0),w
o
)
+
L
o
w"(D)
-
a"(0)w
o= 0

Mul iplican escala men
pe

`
P
O
(31)
(~o00O
)a"(0)
=
p"(0)(D
up
G(0,0)w
0
,sp
o
)
+
(DuuuG(0'D)(`PO'WO,`PO)Wo)
+
(DuuG(0,0)(u"(0),WO),SPO)
+
2(D
uu
G(D,0)(sP'(0),~p
o
)%P
o
)
D'al a
banda,
de i an
a (7)
DppúG(p(a),u(a))
(p'(a))3
+
3D
upp
G(u(a),u(a))
(w'(a))2u'(a)
+
+
3D
PP
G(p(a),
u(a))u'(«)p"~«)
+
3DuupG(p(p),u(a))p'(«)(u'(a),u'(a))
+
3DUPG(p(«),u(a))p'(a)u"(a)
+
DpG(p(a),u(a))p"'(a)
+
+
DuuuG(p(a),u(a))(u'(a),u'(a),u'(a))
+
3DuuG(p(a),u(a))(u"(a),u'(a)
+
+
DuG(p(a),u(a))u"'(a)
+
3DupG(p(a),u(a))p"(a)u'(a)
=
0
A aluem
aques a
exp essió
ambé
aa= 0
,
suposan
p'(0)
=
0
i
e-
co dan
u' (0) =
w
O
,
D
11
G(0,0)
=
Dup
G(0,0)
=
DuupG(0,0)
=
0
(32)
D
uuuG(
0,0
)
(,P
0
'p0'SP0)
+ 3Duu
G(0,0)(u"(0),9
0
)
+
+
3LO u
. .
.(0)

+
3D
up
G(0,0)W
.
(0)
,
Po = 0
Mul iplican
escala men
pe
0
=3
p
""
(D)(Dup'(D'D)
ó'
ó
)
+
(DuuuG(0,0)(9o,%,sPO)
+
3DuuG(0,0)(u
.
.(0),SPO),
.,Po)
Abans
de
segui
demos em
el
segU'en
lemma
écnic
Demos ació
13
8
Lemma
4
.1
.

En
aques es
condicions
:
Pe
an ,
(DuuG(D,0)(u"(0),WO),
ó)
=
(DuuG(D,D)(9'(D),%),9O)
A aluan
(25)
a a =
o
i
suposan u'(0)
=0
,
a'(0)
=
0
ind em
D
uu
G(0,0)(s%
,
ó)

+ Lo
`P'(0)

=
0
pe qué

u'
(0)
=
sP
O
i

a
(0)
= 0
.
Igualmen ,
a aluan

(7)

a
a
=
0
i
amb les
ma eixes
suposicions
D
uu
G(0,0)(W
O
,-P
O
)
+Lo
u"(0)
= 0
D'aixb

es
dedueix
u"(0)
-
SP'(0)
e
Nuc
L
o
.

0
~sigui
u"(0)
=
~p'(0)
+
io

on

e
1R
(DuuG(0,0)(u"(0),~pO),sPO)=
(DuuG(0,0)(,P'(0)
+
sp
o
,SP
O
),wó)
=
_
(DuuG(D,0)(sp'(0),9O),soo
)
+
(DuuG(0,0)(9O,SPO),,PO)
Pe ó
el
segon
sumand
és
ze o
pe qué
suposem
u'(0)
= 0
Aplican
aques
lemma
ind em
que
(31) es
con e eix
en
(33)
(soo,sPo) ~~(0)
=
u"(0)(D
um G(0,0)spO ,wO
)
+
DuuuG(D,0)(sp0,%,SPO),9o)
+
3(DuuG(0,0)(sp'(0),spO),w*)
i
(32)
en
:
0 =
3 l'
(
0
)(
D
u
.a
G
(
D,0
)
w
0
,s
p0)
+
(DuuuG(0,0)(-Po,90,~oo),-Po)
+_
+
3(DuuG(0,0)('P'(0),9o)wo)
A a
podemenuncia
el
segUen
eo ema
.
Teo ema
4
.3
.
En
les
hipo esis

del
eo ema

4
.1
.

suposem
;¿'(0)
=
0

pe o

;¿"(0)
1
0
Alesho es
el
diag ama
de
bi u cació
és
del
ipus
2ó
3,
i
pe
an ,
de
la
so
lució

u
=_0

es
bi u quen
dues
solucions
pe
m> 0

i
cap pe
m<
0

o
dues
pe
p
<
0

i
cap
pe

i
> 0
.
.
Les
solucions
bi u cades
són
es ables
si
són
supe c i iques
i
ines ables
si
són
subc í iques
.
Si
u"(0)<
0
les
b an
-
ques
bi u cades
se an
subc í iques
i, si

;¿"(0)
>
0
,
se an
supe c i iques
.
Resumin ,
ind em
els
segUen s
diag ames
de
bi u cació
:
e
Demos ació
u
e
11
"(
0
)
<
0

P"(0)
>
0
e
El
ec c
angen
a
la
co ba

(l1(a),u(a))

és,
en
el
nos e
cas,
(0,-P
0
)

,

Aixó
ens
dóna
angen
e ical

en
el

diag ama
.

Com
u'(0)

=0,
IA"(0)

0
enim
que
a
és un
ex em
de
la
unció
a

de la
qua]
cosa
deduim
una
de
les
dues
igu es
.

A
més,
és

cla
que
el

signe
de

p"(0)

ens
139
de e mina á
quina
de
les
dues és
.
Pe
a
de e mina
1'es abili a ,u ili zem
les
exp essions
(33)
i
(34)
.
D'elles
es
dedueix
:
DG(0
>0)w
o
>
w
o
)
o
"(O)

_
-2,0(0)

uu

*

_
-2p
(0)A
(0)
(
%>`
po
)
Es a
di ,
0"(0)
é
signe
oposa
a
p"(0)
.
Com
a'(0)
=
0
,
ind em
que
si

o"(0)
> 0
,

0
se á
un
mínim
de

o(a)
i
si

a"(0)
<
0
,
se á
un
maxim
.
Com
a
conseqüéncia,
ind em
es abili a
si

a"(0)
<
0
(és
a
di ,
si

p"(0)
>O)
i
ines abili a
si

a"(0)

>0
(si

p"(0)
<O)
.

En
de ini i a,
si
la
solu-
lució
bi u cada
és
supe c í ica
se á
es able
i
si és
subc í ica
se á
ines a-
ble
.
No em
pe
úl im
que
la
condició W"(0)
~
0
,
i,
en
eali a ,
el
signe
de
u"(0)
es
po
calcula
mi jangan
1'exp essió
(34)
14
0
D
. . . . . .
G(0,0
)(P
~>`~

>`~

)
>~

)
D
uu
G(0>0)(9'(0)>a
o
)>wó)
3
-
on

a'(0)
>
0

pe
hipó esi

i

w'(0)

es
po
de e mina
de
1'equació
E
o
w'(0)

-DuuG(0>0)(wo>%)
que
é solució,
segonsl'al e na i a
de
F edholm,ca
es em suposan
D
uu
G(0,0)(w
o
>SP
O
)>sp
o
)
=
0
A
més
w'(0)
ha de
compli
(,p'(0),-p0)
=
0
,
com
es
po
eu e de i an
la segona
equació
de
(24)
i
a aluan
a
a =
0
.
APENDIX
AL
CAPITOL
II
REGULARITAT
DE G
Demos a em
en
aques a
secció
que
les
condicions
de
de i abili a
pe
a G
que
demaná em
a
la
secció
p eceden ,
és
a
di
G
de
classe
C3
pe
a
1'es abili a ,es
compleixen
en
el
cas
d'equacions
de
la
o ma
(35)
G(p,u)
=
d(p)ou
+
F(p,u)

ue(H
2
(s2,
p
e

IR

,

d(p)

e
IR
m

,

F(p,u)
e

(L2(p))
m
F(p,u)
=
(p,u(x))
,
m
= D
semp e

que

les
aplicacions-
d(p)

de

R

en

R
m

i

(p,x)

,
de
R
x
-
Rm
en
1R
m
,
compleixen
ambé
ce es
condicionade
egula i a
.
En
pa icula ,demos a em
que
si

dECk
(R
)

i

e
C
k
(IR
2
,1R),
lla o s

G e
C k
(IR

x
HZ
(s ,

),
12
(s ))

,

és a
di ,
p o a em
els esul a s
comple a
pe
a
m
=
1
.

La
gene ali zació
al
cas

m
>1

és
di ec a
( egi's
el
p ime
capí ol)
.
Obse em
que,
si
enim,
pe
a
cada
p e
R
una
solució
es acioná ia
up
e
D

de
V
equació
:
du =
G( ,u)
d
0
sigui, G(p,u,
p
)
= 0
, i
a
més
1'aplicació
p

e

R->
uu
e

D
és
de
classe
C k
,
lla o s,
mi jansan
el
ca n i
linial
=
u
-
u,,
,
ob enim
una
equació
d =
G(p,
+
uVi)
+
G(p, )
d_

al
que
G és
de
classe
Ck
si
G ho
e a
i
G(u,0)=0
Vu
.
Pe
aixó
ens
podem
es ingi
a
es udia
aques
úl im
cas
.
Demos
a em,

don
cs,
el
s
següen s eo emes
:
Teo ema
4.4
Sigui

e
Co (HR)
,
9
obe
aco a
de

IR
n (n
<3)

amb
on e a
de
classe
C2
.
De inim
Alesho es
F
és
con ínua
.
Demo áció
F
:
H
2
(sZ,á
)
-
~
L2
(S2)
u(x)
=-
(u(x))
F

es á
ben
de inida
-Com
q e
H
2
(sz,
)
es á inclós
con inuamen
en

C(5),
la
con e géncia
en
no ma
de
H2
implica
con e génciauni o me
.
A
més
Lla o s
~jF(u)j
2
dx
=

II (u(x))1
2
dx

<
u(2)

sup

I (u(xM
<
111~

1si

xe2
F(u)
~2
-
.
J~ ( i(x))
-
(u(x))
12
i
aques a
úl ima
in eg al
endeix
a
0
si

¡u -
ul 2

0
degu
a la
n
H(~)
con inul a
uni o me
de
dins dels
compac es
.
Sigui

e C
1
(IR)

.

Amb les
condicions
del
eo ema
an e io ,

F

és
de
classe
C1
i
Teo ema
4
.5
.
DF(u) =
'(u(x))
. (x)
Dpmns ació
a)

DF(u)
:
H2
(S2,
a
á
)-~L
2
(s )
és
cla amen
linial
i
aco ada
.
b)

IF(u+ )
- F

DF(u) l
lim

(u)

L2
(P)
= 0
->0

¡ i
H2(~'
a
)
En
e ec e,
hem
d'aco a
con enien men
:
Pe
an ,
-
'(u(x))
. (x)
I
:

=
i
(u(x)
+
(x))

-
(u(x))

-
'(u(x)) (x)l2
Com
F
és
con ínuamen
di e enciable
:
1
(a
+s) =
(a)
+
'(a)s
+
( '(o+
s)
-
'(a))sd
,
a,R
e
1R
0
I

=

k~
l o
( '(u(x)

+
(x))

-

'(u(x))) (x)d l
2dx

5
22
sup
I '(u(x)
+
(x))
-
'(u(x))l
I (x)
dx
<
si
£10,11
2
sup
l '(u(x)
+
(x))
-
'(u(x))1
IVI
2
2
xe2

L
e
[0,11
Pe ó,
com
endeix
a
0 a
H2(s ,
2
), de la
con inui a
uni o me
a
sob e
els
compac es
de
'
deduim
2
sup

I '(u(x)
+
(x)
-
'(u(x))j
--
0
x
£-s

;
0
£[0,11

H2
és
una aplicació
con inua
.
144
1DF(u)
-
DF(ú)j
=
sup
j '(u(x)) (x)
-
'(ú(x)) (x)j
=
B
1
e
H2
L
2(2)
IVI=1
2
sup

II '(u(x»
(x)

-
.

»12
1

<
sup
I '(u(x))
-
'(U(x))~2
.
e
H
2J
5~

x
e
2
c)

DF
:
H2
(
2,
2
)
-
L(H
2
a
) '
L Z
(~))
:
=
B1
En
e ec e
u
-->
DF(u)
que
endeix
a 0 si u
endeix
a u
dins H2
e
)
Teo ema
4
.6
.
Sigui

e Ck
(R
) .

Amb
les
condicionsan e io s,

F

és
de
classe

Ck
i
Demos ació
D
k
F(u)(
l
, 2
,

k
)
=
(k)(u(x)) 1(x) 2(x)
.
.
. k(x)
Fa em
pe
inducció
aques a
demos ació,
a
pa i
del
eo ema
an e io ,
en
el qual
hem
p o a
el
esul a
pe
a
k
=
1
.
a)
Dk
F(u)

:
H
2
(2,
9
9
)x
.
.
.xH2
(s~,w
(
1
, .
.
.
k
)
-> (k)(u(x))
z(x)
. .
. k(x)
és
cla amen
k-linial
i
aco ada
.
b)
Suposem
ce
el
eo ema
pe
a k =
n-1
.
LLa o s
an e io
i
no
la
a em
.
és
una
aplicació
con inua
.
io
.
I
Dk-1F(u+ )
-
Dk_1F(u)
-
DkF(u) 1
L(H2x
.
k
lim

.
.xH
2
,L
2
)
=0
->0

IVIH2(51,22 )
La
demos aciód'aques
e
és
igual
a
la de
la
pa
b)
del
eo ema
k
c)

_
D
k F
:
H2(sc,3~ )
-->
L(H
2
x
. .
.xH
2
,L
2
)
_
:
Bk
u
--+
DkF(u)
La
demos ació
és,
ambé,
igual
a
la
de
la
pa
c)
del
eo ema
an e-
To nan
a
1'equacio
(35)
hem
demos a
que,
en el
cas
m
= 1
,
si
no
depén
de
u
, i
és de
classe'
C
k
,
ambé
ho
és F
.
Pe o
obse em
que
els
ma eixos
aonamen s
ens
se i ien
pe
a
demos a ,
en
gene al,
que
F
és
de
la
ma eixa
classeque
enca aque
aques a
depengui de
u
(u ili zan
el
eo ema
que
ens diu que
si
exis eixen
les
de i ades
pa cials
d'o d e
k
i
són
con inues,
la
unció és de
classe
C
k
)
.
Igual
men
es
p o a ia
que

d(u)

és
de
classe

Ck
com
a
aplicació
de
lR
en
H2(n,e )
i
que
nu
és
de
classe
C"
és
i ial
pe qué
o
és
linial
.
En
de ini i aob ind iem
els
esul a s
que
espe a em,és
a
di ,
que
si
les
aplicacions
d
i
,
conside ades
a
a iable
eal
són
de
classe,
C
k
,
en
conside a -les
com
a
aplicacions
en e
els espais
uncionals

H2(2,a
)
i
L 2
(2)
conse en
les
ma eixesp opie a s
de
de i abili a
.
Suposem
que,
pe
a
o a
T
en 1'in e al
que
ens
in e essa,
enim
una
solució
(u1(b), l(b))
de
1'equaci6
(2)
;
de
classe
C3 en b,
com
es
eu
a
la
segúen
igu a,
on
hem
suposa
ce es
ca ac e ís iques
pe
i
h
.
Suposem
que,
pe
T
<T*,
la
solució
es aciona iahomogénia
co esponen
(u1(b), 1(b))
és
asimp ó icamen
es able
pe o
que,
pe
T=
T*,
un
alo
p opi
a(T)
(o, el
que
és
el
ma eix,
a(b))
de L es
a
0
ia'(T)
és
posi i a
.
Sabem
que,
en
aques es
condicions,
es
bi u ca
una
no a
solució
es acio-
na ia
de (9)
que
ja
no
se á,
gene almen
I
homogénia
.
Aques a
ap oximació
és
posible
donada
la
egula i a
de
i
de
h
i
el
e

que, quan
b
a ia
de
0a-
,
la
solució
(ul(b), 1(b))
eco e
un
pe i
Bi u cació
el
a ia
b(T)
Pe
a
simpli ica
1'es udi,
suposa em
cons an s
en
b
les
de i ades
:
u
(ul(b), l(b)),
á
(ul(b), l(b)),h'(ul(b))
.

os
de la
co ba

(u, )
=
0
.
(Vegi's
la
igu a
an e io )
.
No
explici a em,
des
d'a a,
la
dependénciad'áques es
de i ades
que
suposa emsemp e
a a-
luades
a(u
l
,
l
),
solució
de
(37)
Exigim,
d'a a
enda an ,
les
següen scondicions
:
aú
<
a

'

ú
21 +
h-
9
<
0
Enca aque, en
aques
con ex ,aques es
condicions,
així
com
dues
més
que
apa eixe an
més
a d,
semblen
o a
g a ui es,
és
d'espe a
que
les
ci -
cums áncies
ísiques
les
jus i iquin
.
Les
desigual a s
:
d
l
>0
,
d
2
>0
,
u~0

a
<0
impliquen

a
-

(a+
b)

+(dl
+d
2)u < 0

Vu
s
a(o)
Pe
an ,
el
signe
de
1'exp essió
q(u,b) de inida
:
q(u,b)
=d1
d2u2
+
(d2
áu
-
d
l
(á ±
b))u
-
(a +
b)
eu -ah'

a

de e mina á
el
signe
de
la
pa
eal
de
les
solucions
de
(38)
.
Conc e amen ,
a) Si,
pe
a
qualse ol
ue
a(o),
q(u,b)
és
posi iu,
la
pa
eal
de
les
a els de
(38)
se á
nega i a
i
la
solució

u
=
u l
(b),
-
l
(b)
de
(36)
se á
asimp ó icamen
es able
b)
Si
exis eix
un u e
a(o)
al
que
q(u,b)
és
nega iu,
una
de
les
a els
de
(38)
se á
posi i a
i,
pe
an ,
la
.
solució
u

ul
(b),

l
(b)
se á
ines able
.
c)
Si
exis eix
un
u
s
a(o)
al
que
q(u,b)=
O,
.una de
les
a els de
(38)
se á
o
.
Pe
an ,
o
se á
alo
p opi
de L
i
pod á
aDa eixe una
bi u -
cació
com
les
es udiades
en
el
caDi ol
an e io
.
Dibuixem
la
g á ica
de la
unci6
b
=Y(u)
de inida
De
1'eauació
9(u
.b)
=0
:
suposan
les
següen s
condicions
(39)
-
d1d2
u
2+(d2
u-
d1a)u
-a
(
u
+
h' u)
d
i u
+ u
(d
2
aú

+
d1a)
2
+
4ad1d2
5-
h'
<
0
(40)_

d2(
eu

)
2
+

a d
1
h'
a

>
0
No em
que
(39)
ens diu
que
el
disc iminan
del
nume ado
de
(P(u)
és
nega iu,
és
a
di ,
que
la
g á ica
no
alla á
1'eix
de
les
x
.
La
cond+ció
(40)

implica
que
el mí im
ela iu
de
' (y)
s'a any
pe
a
p<
O
.
Reco dem
que
només
ens
in e essen
els
u
nega iu
o
ze o pe qué
a(0)
C
(-
.,01
.
-
`,
4,n
o
d,j,

-
D
La
zona
a llada
co espon
a les
pa elles
(}+,b)
als
que
dld2 2
+
(d
2

a
-
dl(a+b))
-
(a
+b)
aú
-
ah'
2
>0
.
Pe an ,
exis eix
un in e al
del
pa áme e
b,
que
con é
1'in e al
(0,y
°
),
pe
al
qual
la
solució
(u1(b), 1(b))
és
es able
.
Quan,
pe
e ec e
d'un
augmen
de
T ins a T*,
b
augmen a
ins a un
ce
b* =
min

b(~)
,~Á
Ed(°)
n
(o,X
1
~
es
p odueix
la
deses abili zació
de
(u1(b), 1(b))
pe qué, De
aques
alo
de
b
exis eix
un
alo
D oDi
de
L
que
s'ha
e
0
men e
els
al es
es
conse -
en a
dis áncia
posi i a
de
1'eix
imagina ¡
.
Aques
és
un
enomen
de
quan i zació
.
Deno a emDe
u
°e

a(o)
n
[0,x
1 ]
el
que
aci
Fem
no a
a a
que
si no es
complís
la
condició
(39)
pod ía
Dassa
que
.
Pe a
,
cap
alo
de
b > 0

es
i
nqués
es abi1i a
pe
a
la
sol
ució

(u
l
,
1
).

si
no es
complís
la
condició
(40),
la
unció
` ( )
se ia
dec eixen ,
la
qual
compo a ía
que
la
deses abili zació
es
p odui ia
pe a
o
=0

( eco dem
que
0és
alo
p opi
de o)
.
Pe ó
lla o s
la
solució
bi u cada
se ia ambé homo-
génia
pe qué
la
unció
p opia de
o
co esponen
al
alo
p opiOés
una
cons-
an ( egi's
el
capi ol
II)
.
No em
un
al e
e
in e essan
:
si el
amany de
i
c eix, els
alo s
p opis
de o,
que
es
conse en
a(--,01,
endeixen
a
espessei -se(com
es
comp o a
acilmen
si
n
=1)
.
Podem
conjec u a
u(2)
->-_
on
els
alo s
(xo
.y
o
)
són
independen s
de la
o ma
de
si
( eu e
PERELLO)
.
To nem
a
1'análisi
de la
si uació
c í ica
en
que
un
dels alo s o o-
pis
de L
s'ha
e
o
.
De
momen
sabem
que
(u1(b), 1(b))
es
o na
ines able
.
Anem
a
eu e
si
ens
obem
en
les
hipó esis
del
capí ol
an e io
i
podem
demos a
e ec i amen
1'apa iciód'una
solució
bi u cadaa ac o a
.
Tenim
una
aplicació

G
:
R
x D
->
H
de inida
1
b'

(u, )
+
dlou
G

)

a(h(u)- )

-

b
+
d2
¿J
156
G és
de classe
C3
si
i
h ho
són
.
La
pa
linial
de G
és
:
b
L(b,u, )
=
D(u, )G`u
I
=
11
b(p0)
=
a
+ d o

a
au
1
a
ah'
-(a+b)+d2A
Hem
is
ja
que
si
b<
b*,
1'espec e
de
L
es á
o
a
1'esque a
de
1'eix
imagina ¡
i
que
si
b
=b*,
un
alo
p opi
de
L
es a 0
men e
els al-
es
con inuenamb
pa
eal
nega i a
.
Suposem
que
a(b)
(el
alo
p opi
de
L
de pa
eal
més
g ossa)
és
sim-
ple
.
Pe qué
sigui
així
hem
de
suposa
que
a(o)
es á
o ma
pe
alo s
p opis
simples
(cosa
que
és ge é ica
si
s
no
é
sime ies)
;
ambé
hem
de
suposa
que
exis eix
un
únic uo
ea(á)
al
que
min
[0,- la [
b
(
u
)~
p e
a(A)
l

~u
)
En
aques a
si uació
ind em
ambé
Rang
M(u
o
)=
1
pe qué
au

-

(a
+
b)
+
(d
1
+
d2)po <
0
Pe
an
dim
Nuc
L(b*,
u1
(b*), 1(b*))
=1
.
Com que
a
més, segons
.el
-
eo em
3
.5,L
és
un
ope ado
del i
pus
F edholm,
di em
que
0
=
a(b*)
és un
alo
p opi
simple de
L(b*,u1(b*), 1(b*))
.
La
unció
p ópia
co esponen
se á
To=
(a
l
~o
,a
2
~o Non
'
o és la
unció
p ópia de
o
de
alo
p opi
uo
i
a
l
,
a2
compleixen
la
elaci6
Es a
di ,
(a
l
,a
2
)
és
ec o
p opi
de
alo
p opi
0 de
M(u0)
Podém
p end e

1woIL2(n)
=
1,
19o1H
-1
.
1
Sabem
que
Rang
L(b*,
ul(b*), l(b*))
=<
Y*
>
<T*
>
=
Nuc(L(b*,u
l
(b*),
l
b* )))
*
.
Calculem
1'ope ado
L*,
adjun
de
L
:
Com
o
és
au oadjun
i
d
l i
d
2
eals
:
L*
=
I
aú
+d
l o

ah'

1
a
a

-
(a+
b)
+
d2oi
Pe
an ,
y*
se á de
la
o ma
(a1~
u
,
aU
o
)
on (al ,a2)
és
ec o
p opi
de
alo
p opi
0de la
ma iu
M*(u
o
)
:
a
a
Pe
an
:
(Z
+
d1),-o)
al
+
ah'a2
= 0
Comp o em
a a
('
o
,
"
ó
)
H # 0'
(Y
o
,Y**)

=
a2a2

'1 +
(
óÚ
+
d1uo)al
+
a
a
2
=
0
(a + b
)
+
d2uo
ah'
a
a
+
d1uo)2~
amb
0

(41)
En
e ec e
:
a2 0,
a*
#
0
i
ah'
a
au
a
+
au
on
hem
u ili za
:
0 <
És
cla
que
:
Pe
an
:
d1uol
ah'
a
<a
a
aú
In es iguen
1'exp essió
:
V
(b*)
=

wo1wó

(0
u,
)
b
G(b*,u
l
,
l
)
wo
,wó)
Subs i uin
el
alo
de
(a

)
2

a
a
u
au
0 0
;
0(u, )bG
b,u, )
-
~0 -1~
h1
a
a
a
<
-h,a
aú
a
-
x'(b*)

=

1
*

((0,-a

),(a*~

ab

))

-

a2
a*
wo'wo

20
o

1
0

2 o

H

0
,w0
(wo'w
ó
)i
u ili zan
(6)
¡a
2
1'au
+
dluo)
Reco dan
el
capi ol
an e io ,
aques a
condició
ens
assegu a1'apa i-
ció
d'una co ba
de
soluciona
que
es
bi u ca
de
1'an iga
solució
.
L'úl ima
condició,que
ens
assegu a
la
bi u caci6
d'una única
solució
es able
pe a
b
>
b* és
:
(42)

(O2u, )G(b*,ul(b*), 1(b*))
(wo
,w
o
),wó)
0
(43)
En
el
nos ecas
D'on
la
condició
(42) es
con e eix
en
:
(ala2)
2
D(u, )G(b
a2 a2
1
au2
aua
a2

a2
a au
Aques a
quan i a
se á,
gené icamen ,
di e en
de
0
.
Pe
an
,
el'diag ama
de
bi u cació
que ob ind em
se á de
la
o ma
:
1
N
w
al
+ah'
al
2
a2
Obse em,
pe o,
que
si
9
adme
un
eix
de
sime ia
i
la
unció
p opia
de
o,
~,
és
sena espec e
aques
eix,
ind em

~=
0,
i
pe
an ,
la
on
o
condició
(43)
no
es
compli á
.
Lla o s
el
diag ama
se á,
gené icamen ,(és
a
a2
a
Du
2
-aua
a2
a2
'
u
l'
l
)
a au
ah"
0
0
0~
i
di ,
si
es
compleix
la
condicW'#0)d'una
de
les
o mes
següen s
:
e
bi u cació
supe c í ica

bi u caciósubc í ica
.
BIBLIOGRAFIA
1
.
Be ezanskii,
J
.M
.
"Expansiona
in
eigen unc ions
o
Sel adjoin
Ope a o s"
A
.M
.S
.
1968
.
2
.
Chand asekka ,S
.
"Hyd odynamic
and
Hyd omagne icS abili y"
(Cla endon
P ess,
Ox o d,
1961)
.
3
.
Conley,
C
.i
Smolle ,
J
.
"Topological
ecniques
in
Reac ion-Di usion
Equa ions"
.
Pe
apa éixe
. .
Conley,C
.
i
Smolle ,J
.
"Rema kson
he
s abili y
o
s eady-s a e
solu-
ions
o
eac ions-di usion
equa ions"
.
Pe
apa éixe
.
4
.
Dieudonné
"Founda ions
o
Mode nAnalysis"
.
A
.P
.
1960
.
5
.
Fishe ,
R
.A
.
"The
wa e
ad ance
o
ad an ageous
genes"
Ann
.
o
Eugenics
7,
355-369
(1937)
.
6
.
F iedman,
A
.
"Pa ial
©i e en ial
Equa ions"
Hol ,
Rineha
and
Wins-
on,
1969
.
7
.
Gie e ,A
.
Meinha d ,H
.
"Biological
Pa e n
o ma ionin ol ing
la e al
inhibi ion"
Lec u eson
Ma he
.
i
n
he
Li e
Sciences,
Vol .7
A
.M.S
.1974
.
8
.
Iooss,G
.
"Cou sde
oisieme
cycle",
1972-73
.
No
publica
.
9
.
Mu ay,J
.D
.
"Lec u es
on
nonlinea di e en ialequa ionsmodels
in
biology"
Cla endon
1977
.
10
.
Nicolis,G
.
P igogine
I
.
"Sel -O ganiza ion
in
non-equilib ium
sys ems"
.
Wiley, 1977
.
11
.
Pe ellb,C
.
"Un
p oblema
pe
ala
ma emé ics
:Com
es
pe d la
uni o mi a
d'un
medi"
.
Pub
.Ma
.U
.A
.B
n°19,
1980
.
12
.
P igogine,I
.
"E olu ion
and
Consciousness
.
Addison-Wesley,
1976
.
13
.
Sa inge ,D
.H
.
"G oup
heo e ic
me hods
in
bi u ca ion
heo y"
.
Sp inge
1979
.