Bifurcacions genériques d'atractors en sistemes de reacció i difusió

Pub . Ma . UAB Ng 24 Ma g 1981 BIFURCACIONS GENÉRIQUES D'ATRACTORS EN SISTEMESDE REACCIÓ I DIFUSI6 . ABSTRACT . Angel CalsinaBalles a In his wo k we w i e down in some de ail he bi u ca ion heo y o s a iona y s a es o eac ion-di usion equa ions . Fi s , we p o e, adap ing no es o looss on he Na ie -S okes equa ions, ha unde someweak hypo hesis a eac ion-di usion equa ion de ines a di e en iable dynamical sys ems in he Sobole space H2 wi h some bounda y condi ions . Then i is p o en ha a es poin whe e he in ini essimal gene a o o he linea pa o he sys em has a spec um in he le hand plane is s able . We p o e hen ha when , depending on a pa ame e , a sim- ple eig-en alue c osses o he igh hand plane, a bi u ca ion appea s (gene- ically) . In he las chap e we p opose a model o dune o ma ion, which does no ha e he p e ension o being ai h ul, bu which illus a es how he heo y gi en is use ul . Memó ia p esen ada pe a op a al g au de Llicencia en Ciéncies Ma emá iques . Di ec o : Ca lesPe elló Valls . 7 3 INTRODUCCIÓ Les equacions de eacció i di usió són de la o ma (*)  u = (u) + do u on u és una unció ec o ial de , el emps, i x , la posició en un do- mini espacial s . u és la de i ada espec e a de u , d és la ma iu diagonal dels coe icien e de di usió i o és la laplaciana aplicada a cada una de les componen e de u Aques es equacions se eixen de model pe a enomens de la biologia i la química, quan, pe una banda les espécies eaccionen en e elles a cada pun , i, pe 1'al a, es mouen cap a g adien s nega ius de concen ació . La majo ia dels es udis e s ins a a d'aques s modele es deuen a bió- legs i químics . L'any 1937 FISHER(*) a dona ja un model de eacció i di- usió pe a explica la di usió de gens mu an s . En ele da e s anys, ene obem una sé ie de eballs en que modele d'aques ipus són u ili za s pe a explica enomens de mo ogenesi  , és a di ,de com una dis ibució homogénia de les espécies eac an s es o na ines able, en a ia un pa áme e, i es bi u ca d'ella una solució es able no homogénia . En e aques s ebal1s des aquem ele de SEGEL, GIERER-MEIN HARDT, PRI- GOGINE, NICOLIS-PRIGOGINE i MURRAY . Els mé odes ma emá ics són e s dels que ja e en u ili za s, sense una análisi igu osa en 1'es udi de enómens simila s en hid odinámica, pe exemple pe CHANDRASEKHAR . L'análisi ma emá ica que dóna supo a aques s mé odes es basa en la eo ia d'equacions pa abóliques,  i 1'exposició més in lu en  po se la de FRIEDMAN, enca a que no es udia especí icamen ele p oblemes esmen a s . El que dóna sen i a pa la d'es abili a i bi u cació pe a equacions (*) Els noms en majúscula indiquen e e éncies bibliog á iques, que es o- ben al inal del eball . 7 5 de eacció i di usió i, en gene al, pe a equacions pa abóliques,és que pe - me en de ini ,en un espai de uncions escaien , un (semi) sis ema dinámic, on es comp a amb un g an baga ge de concep es i mé odes . En e els es udis que p enenaques pun de is a, ens obem els de Kilho e i IOOSS sob e les equacions de Na ie -S okes . Pel que a a 1'es udi ma emá ic de les bi u cacions,des aquemels eballs de SATTINGER . En el eball de PERELLO es plan eja el p oblema de la onamen ació dels mé odesu ili za s en 1'es udis dels enómens mo oge ie ics . P e enem aquí assoli aques a i a, adap an els p ocedimen s de F iedman, Iooss i Sa inge a aques a onamen ació . Aques eball cons a de es capí ols . En el p ime es demos a que 1'equació (*) de ineix un semisis ema dinámic, amo llan al nos ep oble ma una demos ació de Iooss . En el segon capi oT es sen en les bases eó iques que pe me an es u- dia 1'es abili a dels pun s d'equilib i de (*) i les se es posibles bi- u cacions . El mé ode u ili za pe a 1'es udide les bi u cacions és el co negu com a mé ode de Liapuno -Schmid . Pe úl im, en el e ce capi ol es dóna un model de eacció i di usió pe a un enómen que pe any a un campcomple amen di e en dels esmen a s : la o mació de dunes en el dese . Aques model no p e én explica de o ma ealis a el enomen i, més que es, ha de se i com a exemple d'aplicació de les écniquesdesc i es en els capí ols an e io s . Pe acaba , ull mani es a el meu ag a*imen al D . Ca les Pe elló pe la o ma en qué ha di igi aques eball i pe 1'in e és demos a ; així com a en JoanSolá-Mo ales i en Xa ie Mo a pe les se es indicacions i sugge imen s que an m'han ajuda en la me a asca .  I ull ambé e pales el meu econeixemen a o s els p o esso s de la Secció de Ma emá iques de la U .A .B . que m'han b inda la se a ajuda i amis a . 76 CAPITOL 1 EXISTÉNCIA, UNICITAT, REGULARITAT, DEPENDÉNCIA RESPECTE A CONDICIONE INICIALS . INTRODUCCIÓ Conside em sis emesd'equacions pa abóliques de la o ma (de classe C2 ) i e IR ; (I) .~ = dAu + (u) on u(x, ) e R m , x e sa  obe connexaco a de IR n  amb on e a asa  egula dés un ec o de m componen e (d i ,. . .,d m ) ale que d i > 0 Vi . do és un ope ado diagonal d'o d e m x m de mane aque cada e me de la diagonal és d i e, on o ep esen a1'ope ado laplaciá a2a2 2. +  .+ -2- ax I axn és una aplicació su icien men egula en e IR m  i  R m . Imposem la següen condició a la on e a pe a la solució u : (2)  a u (x, )  = 0  V x e asa au és, pe de inició, la de i ada de u espec e-al ec o no mal a a a asa . u (x, ) = < g ad x u(x, ), n> . Aques a condició a la on e a co es- pon al que s'anomena p oblema de Neumdnn homogeni . Imposem ambé condiciona inicials pe a la solució u : (3) u(x,0) = u o (x)  Vx esa u 0 (x) és una unció de o en R m blema de alo s inicials i alo s a la on e a (1), (2), (3) en ce s espais de uncions i de con inui a i di e enciabili a espec e a les condicions inicials . No ació {ueC 2 ( - , 1R )I aula2=0} son els espais de Sobole d'o d e k sob e L2(2) . En pa icula Ho (2) = L2(2) . Sigui F 1'aplicació induida a D pe .  És a di , si  u e D, de inim F(u)(x) = (u(x)) . Demos a em en aques capí ol que si : 1R m -> 0 és de classe C2 , lla o s F aplica D en K i és con ínuamen di e enciable de F eche . En aques a si uació esold em el següen p oblema-de Cauchy, que és una e sió pa icula , pe o p ou gene al, del (1) (2) (3) . Dona em eo emes d'exis éncia i unici a de solucions pe al p o- Deno em pe  H2 (2, á ) la comple ació en no ma H2 ( .2) del conjun Siguin  D =(H2(9, w ))m'  H =(L 2 (s~)) m ,  K = (H 1 (2)) m on els Hk (2) d =dou + F(u) (4) u(0) = uo e D Di em que una aplicació u és solució de (4) si : u e C([ O,T] ,D) n C 1 ([ O,T],H) u(O) = uo H =dou + F(u) En enen d = lim u( +h)-u( ) en H . No em que men e que a ou les de i ades són dis ibucionals, a d la de i ada és 1'habi ual, pe o amb alo s a H.do és 1'ope ado dia- gonal de ini abans . Demos a em doncs : Teo ema  V u d e D exis eix TIu o ) > 0 i una única solució de (4) de inida pe a o a T < T*(u o ) . A més, si T*  , lim  supluI D = m T-T* e [0,11 Te o ema  Pe a cada < Tm(uo ), 1'aplicació F :D i D que a co espond e a uo e D la solució u( ) de (4) és de classe C 2 . 1 . EQUACIOD'EVOLUCIO EN ABSTRACTE En aques a secció p o a em els eo emes esmen a s an e io men pe a equacions abs ac es més gene als que (4) seguin una demos ació que es oba en el capi ol VII de Iooss pe o sense suposa anali ici a pe a la F . Siguin K i H dos espais de Hilbe , als que K es a con ínuamen encabi  en H . Suposem un ope ado linial anca L de ini a H amb domini dens D . Suposem que L gene a un semig upanalí icquasiaco a d'ope ado s lini :als e L en H . No a : L gene a un semig up analí ic quasiaco a si exis eix un y e IR  al que L = yI + A, on A és el gene ado in ini essimal  d'un semi- g up analí ic . Alesho es és cla que eL = e y e A le L 1  <Ce y Pe la de inició de semig up analí ic, egi's F iedmann Si de inim a D el següen p oduc e escala : (u, )D = (u, ) H + (L4, L ) H Lemma 1 .1 Sigui T un ope ado linial amb domini D déns a B espai de Banach . De inim aDla no ma Demos ació 80 D és un espai de Hilbe en i u del següen : PUI G = jul + ITul  (no ma del g a ) Lla o s, D és G-comple si i només si T és anca . a) P o emque si T és anca , D és G-comple . Sigui  u n } C D una successió de Cauchy pe ala no ma I .IG .  Alesho es, {u n }  i  {T u n } són de Cauchy a B .  Pe an ,  exis eixen u,  e B als que lim un = u,  lim Tu n =  en B . Com T és anca  ( é la g á ica ancada), u e D  i  Tu = .  Ll a o s  ¡un-u I B  -> 0  i  Tu n -  Tu ¡ B -> 0  i ,  pe  an . lim u n =u en D ;  és a di , D és G-comple . b) P o ema a que si D és G-comple , T és anca .  - Sigui  {un } C D al  que  u n -> u  i  Tu n -> amb la  no ma de B .  Lla o s (u n }  és una successió de Cauchy amb la no ma  I .I G .  Com Dés G-comple , exis eix u' e D al que lim u n = u' en D . En pa icula , u n -> u'  en B i, pe unici a ,  u' = u e D . Lla o s : ITu- ¡ B < ITu-Tu n I B + ¡Tu n - I B = IT(u - un )I B+ +  ¡Tu n - I B  <  lu-u n I G +  ¡Tu n - I B ' 0 Pe an Tu = i T és anca . Suposem, a més, que D es á con inuamen encabi en K i que enim la següen aco ació : (Obse i's que eL e L(K,D) pe que K es a inclós con inuamen en H) . És é el següen lemma : Lemmá 1 .2  Una condició equi alen a (5) és que exis eixin M >0 i  d> 0 als que La idea de la demos ació, que es po oba a (Iooss, VII, 17), és la següen : De 1'anali ici a de eL .i de la no ma de D es segueix que I e L uO I D  < C( I l D + lu o - 1 H ),  pe e (O,T] Si es compleix la desigual a del lemma, enim, pe a uoeK i = (I- L) -1uo ,  > 0, que A més, com que I -u o I K< M- 1 / lu o I K s'ob é (5) aplican la desigual- a obada pe a  le L uoID- IVID-J luoIK De (5) s'ob é la desigual a del lemma enin en comp e que (I-EL) -1 = e  e- /EeL d . 0 Nosal es olem esold e 1'equació d'e oluciósegüen : (6)  d = Lu + M(u)  ueC([ o ; ]  D) n  C l( o, ]  H) u(0)=u o eD on M e C1 (D,K) ; M i DM anspo en aco a s en aco a s i DM(,0) = 0 . Reco dem que C ([O,T], C ; és 1'espai de Banach de les uncions de classe C de [0,T] en 1'espai de Banach B amb la no ma : lul ,T,B = E sup  lu( k )( )l, k=0 e 1 O,T] 88 Lla o s : si ue B T (O,R 0 ), e BT (O,R o )  ind em : I T(U) - T ( )IT =I(0 eL( -T)(M(u(T)) - M( (T)))dTIT < _< ep(O,T1 ( O CeY T (1 +~ )I M(u(T)) - M( (T)IKdT < <  sup .  CeYT (1 + 1 )K  Iu(T)  -  (T ;)  d T  < e [O,T)  0  JT  Ro D  - T < KR  ¡u- IT  Ce Y T (1 + J T)dT . 0 0 D'al a banda, si u e BT(R 0 ) i T(u)IT < sup  I ei Uo I D+I ( T e L( -T) M(u(T))dTID < e  O,TJ 0 T _< sup  IeL u  I  +  Ce YT( 1 + 1 )K  dT . e O,T  o D  O  uT  Ro Fixada k < 1  (pe exemple k= 1/2)- . T iem To , el máxim T al que ~~OCe YT (1 + 1 )K RodT < k <1 sup  le L u  T I  +  C  eYT( 1  +  1  )K e [ O,T]  o D .  O  JT  Ro Aques T o compleix la esi del lemma 1 .6 . Obse em que C([O,T], B(R 0 )) = BT-(0,Ro) . R o Aplican el eo ema de 1'aplicació con ac i a dedu'im que exis eix dins C([O,T 0], B(R o )) un pun ix de T . Es a di , ob enim una solució de 0 (6)  pe  e[ 0,7 o ]  i  sabem que  sup  Iu( ) I D - <  2Iu 0 I = Ro . e [ O,T] Repe in el p océs p enen com a condici6 inicial u 1 = u(T 0 ) ob enim una solució a C([O,T 1 ], B R ) . 1 Així successi amen ob ind em una successió de emps T o , T 1 , T2 , . . .  i de condicions inicials u(T0 ), u(T 1 ), . . . de mane a que la solució exis i á pe a o a < z T i = T* . i=1 Si la successió {T i } es á aco ada in e io men , la solució exis i á pe a o a > 0 . Si T i no es á aco adain e io men , aixb  old á di que la successió de les KR no es á aco ada supe io men ( eco di's com i s'ha escolli T i ) . Aixó úl im implica, donades les hipó esis sob e M i DM, que lim  lu(T¡)ID = m . T ->T i m En de ini i a  lim  Iul = T->T* T Ap o i a em a a la unici a del pun ix duna con acció pe a demos a el següen eo ema, pe un mé ode di e en del u ili za pe [Iooss , pag . VII, 8 .] Teo ema 1 .3  La solució del p oblema ( . 6) és única sob e o in e al d'exis- encia [O,T) . Demos ació Demos em p ime que si u i són solucions de (6) en un in e - al [O,T) i u( 0) = ( 0) pe a algún o e[O,T) lla o s u i coincideixen en un  in e al  [ o ,  1 1 . En e ec e : u( ) i ( ) són solucions de 1'equació in eg al L w( ) = eu( 0) + ( eL( -T)M(w(T))d,, ) o Pe con inui a , exis eix o al que : sup  Iu( )1D < 2Iu( o)ÍD,  sup  I ( )ID < 21 ( o ) ID e [ o , ~  e [ p, oj Alesho es, de inim I' T : C([ o ,T] D)  -> C([ o ,Tj  D) w( )  - e L u( o ) + ~  eL( -T) M(w(T))dT o89 És e iden ( eco dan la demos ació an e io ), que exis eix 1 e ( o , ¿1  al  que 1 és una con acció dins del  anca Demos ació : 90 B (0, 2ju( o )] )CC([ o , 1 ] ,D) . .1 Com cUe u i pe anyen a B 1 (0,  2ju( o ) j)  i  són  pun a ixes  de I , 1 dedu'im - que u( ) = ( )  V e [ o , 1 1 . - Demos ema a que u i coincideixen a o [O,T] . Sigui  A  =  { e (0, T) 1  u (s) = (s)  Vs e [0, ) } A no és bui pe qué u(o) = (o) i pe an exis eix 6> 0 al que (0,a) C A . Demos a em que sup A=T . Suposem sup A =T* <T . Lla o s u- eC([O, *1,D) i u- -- - - 0 a'[O, *) . Pe con inui a u( *) = ( *) . Aplican el que hem is abans, exis eix un in e al [ *, **1 en elque coinci- deixen u i . Pe o' aixó es con adic o i . Fina aquí hem demos a - exis éncia i unici a de soluciona de les equacions d'e oluci6 del ipus (6) . P o a em a a la con inui a i di e encia- bili a de les soluciona espec e a les condiciona inicials . L'a ma que u ili za em se á el eo ema de unció implíci a pe a aplicacions en e espa b de Banach ( eu e Dieudonné, Schwa z) . Pe a cada < T <T* de inim una aplicació al que F (u) sigui la solució al emps de (6) amb condició inicial u e D . Teo ema 1 .4 L'aplicació F és di e enciable amb con inui a , és a di , pe - any a C 1 (D) . De inim la següen aplicació : F : D x C([ O,T] ,D)--~ C([ O,T] D) F(u, ( )) =V( ) - eL u - ( Oe'( -T)M( (T))d, És cla que F és con inua pe qué, d'una banda, les aplicacions ue D - " e L u e C([ O,T] D) e K --> e L yeC([O,T]  D) són linials aco ades, d'al a banda, ( ) e C([O,T],D)  - M( ( )) e C([O,T],K) és con inua, degu al e que M és con inua i, pe úl im, =- ( eL ( -T )M( (T))dT és con inua segons el lemma 1 .4 . 0 A més exis eixen les de i ades pa cials de F : D 1 F (u, ( ))  :  D  C([ O,T]  D) L - u  e u D 2 F (u, ( ) )  :  C([ O,T]  D)  - C([ O,T]  D) ( ) -  ( )- ( e L ( -T)DM( (T)) (T)dT J 0 que són linials aco ades . Veiem a a  que D 1 F :  D x C([ 0, T] ,D)  --  L(D,  C([ O, TI ,D)) D2 F :  D x C( 0,TI,D)  -  L(C([0, TI ,D)) són con ínues i pe an F de classe C 1 . D 1 F és con inua pe que és cons an i D 2 F és con inua pe qué no depén de u e D i DM és con inua com a aplicació de D en L(D,K) i pe an ( )  e C([O, l,D) - "  DM( ( ) )  e L(C([O,T], D),  C([O,T],K)) és ambé con inua . Obse ació : Si : X - ; Y és con inua i X i Y són espaisde Banach, F :  C(10,TI ,X)  - C([0,T I, Y)  de inida pe F(u( )) = (u( ))  és ambé con inua . Fixem a a (uo , o ( )) e D x CO([O,T],D) als que o( ) és la solució de (6) amb condició inicial  u o .  Lla o s pac e [O,T] ind em que Il eL( -T)DM( o(T)) . IL(C( .[O,ó],D))  I'0 C C .(1 + 1 )eYTd 1 < 1 . que  (u o , o ( )) = 0  i la de i ada pa cial D2 F(u o , o ( )) =I -  eL( -T)DM( (T)) . dT és in e ible i d'in e sa aco ada . o U 1 i V 1 en o ns de uo a D i de o a C([O,do],D) espec i amen , als que classe C1 en u . [so , 2ó0 ] . És a di ob enim 92 F(u o , o ( ))=0 Com DM és con inua espec e a e D i -> o ( ) és con inua en el com- IDM( o ( ))1 < C 1 V e[O,T] Alesho es exis eix un  6> 0 al que Pe an F : D x C([0,5],D) -> C([O,s],D) se á de classe C2 i al El eo ema de uncióimplíci a ens assegu a que exis eix una aplicació F 1 és de classe C 1 . F 1 (uo ) = ol ) F(u1,F 1 (u) ) = 0  Vue U 1 Es  a di ,  F 1 (u)  és  la  solució de  (6)  amb condició  inicial  u  i  és de Reemplapan u pe (g o ) ob enim ( ) de classe C2 espec e (d o ) dins F2 : U2 --, V 2 U en o n de (d o ) i V2 en o n de ( ) a C([s o , 2s o ],D), F2 de classe C 1  al  que  F 2 (u)  =  ( ) F(u, F2(u)) = 0 Vue U 2 Rei e em el p océs can ian (6 0 ) pe (2d 0 ) . . . ins a ecob i [O,T] (amb un nomb e ini de S's) . Diem E s :  u e C([O,T], D) -> u(s) e D . Aques a aplicació (anul .lacióen el  pun s) és lineal con inua pe a o a se [O,T] . Exis eix un en o n U de u 0 e D al que U C U 1 , E a  o F 1 (U)C U2 , o E d  0  F 2 o  E d  o  F 1 (U)  C U3 i  així  ins  a comple a els  d's . 0  0 Sigui e l(m-1)S 0 , ma 0 1 ixa , m < n . De inim F : U-D F = E  o  F m-1  o  E  - . . .  o  E S °  Fl (m-1)5o 0 Aplican la egla de la cadena, F és de classe C 1 . Obse em pe acaba que F (u) és la solució de (6) amb condició inicial u . Co ol . l a i  1j  Si  M(o) = 0,  DF (0) = e L  pe e íO,T) . És a di , L (la pa linial de 1'equació) és el gene ado in ini essimal del semig up analí ic DF (0) (la pa linial del sis ema dinámicde ini pe 1'equació) . Demos ació Tenim que F(O,0) =0 D 1 F(O,O)= - e L D 2 F(0,0) = I Lla o s aplican el eo ema de unció implíci a exis eix una única F de inida en un en o n U de O e D : F : U - . C([ O,T]  D) al que F(o) = 0 ; F(u,F(u)) = 0 Vu eU . A més Com F (u) és la composició de F amb 1'a aluació a , que és linial aco ada, ind em DF (o) = E DF(o) = eL e L(D) Teo ema 1 .5 Les soluciona de 1'equació d'e olució (6) de ineixen un semi- sis ema dinámic local di e enciable a D . Més p ecisamen , 1'aplicació : F : [O,T] x D -> D al que ixa u 0 e D, F (u0 ) és la solució de (6) compleix les següen sp opie a s : a)  Fixa u 0 e D, -> F (u 0 ) e C([ O,T]  D)  n C 1 ([ O,T],H) 9 4 DF(u) = -(D2F(u,F(u)))í D 1 F(u,F(u)) i pe an DF(o) = -Ie L =e L e L(D, C([ O,T] ,D) ) b) Fixa e [ O,T] ,  u -> F (u) e C 1 (D,D) ' c)  F +s (u) =F (F S (u))  ,s e [O,T] 1 1  . 0Ix u~ , . La demos ació és 1'aplicació inmedia a dels eo emes 1 .3 i 1 .4 . 2 . EXISTENCIA, UNICITAT I DEPENDENCIA RESPECTE A LES CONDICIONS INICIALS DE LES SOLUCIONE DEL SISTEMES DE REACCIO DIFUSIó . En aques a secció demos a em que el sis ema de eacció-di usió : á = dou + (u) ,  de classe C2 de R m en R m u(x,0) = u 0 ,  x en C Rm a (x, ) = 0 ,  xe 92  de classe C 2 . es oba so a les hipó esis que pe me en ob eni els eo emes de la secció 1 . El p ime que hem de e , doncs, és demos a que 1'ope ado do és anca , densamen de ini i gene a un semig up analí ic que compleix la p o- pie a (5) . Lemma 2 .1 Sigui A un ope ado o amen el .lip ic amb coe icien e eals con inus i amb domini  H 2 (2,  2 )  dens a 1 2 (sa) .  Suposem ase de classe C 2 i si aco a . Lla o s A és anca a L 2 (s2) . La demos ació d'aques e i de esul a s més gene als es po oba a FRIEDMAN, cap 18 i 19 . Al inal d'aques capí ol es p o a an ce es p opie a s de la unció F de inida aD = (H2(~,'e )) m , amb alo e a K = (H I (si)) m . Reco dem F(u)(x) = (u(x)) . En pa icula es demos a á que si u o e D . 1'aplicació DF(u 0 ) : D } K u -~ ' (u0(x)) .u(x) és lineal aco ada . De la se a de inició,  és e iden que pode n es end e DF(u0) a o H = (L 2 (2» m i con inua essen aco a (com a ope ado a H) . Podem a a anuncia el seguen : Teo ema 2 .1 Sigui L = DF(u0) +'do ope ado de ini aHambdomini D ; L és anca a H . Demos ació :  Pel ' lemma an e io , és e iden que do és anca . Com quaDF(u 0 ) és aco a (a H), L és anca . De inim a a a D una opologia d'espai amb p oduc e escala : (u, )D = (u, ) H + (Lu, LV) H , u, , e D . Lemma 2 .2 El p oduc e escala an e io con e eix a D una es uc u a d'espai de Hilbe . És a di , D és comple amb la no ma del g a . Aixó es dedueix inmedia a : : ;en del lemma 1 .1 i el eo ema 2 .1 . Teo ema 2 .2 La no ma del g a I .I G i la no ma habi ual dels espais de Sobole .I D eón equi alen s . Demos ació Demos ació 96 m Reco dem  luI D =  i E 1 luiIH2(n) = Deno em D = IDF(uo)IL(H) . Lla o s 'UIG  =  'u'H  +  ILui H =  IUI H +  IDF(u o )u  +  d¿u 'H  <  (1  +  D)  IUIH +  Idau'H m  m =E (1 + D) W112(9) + E diloui1L2(,) < CIUID . i=1  i=1 Pe an , la inclusió canónica D D C DG és con inua i linial . El eo- ema de 1'aplicació obe a assegu a que és un homeomo isme . Pe an , les dues no mes eón equi alen e . P opie a s de 1'opea ado A Es udia em a a les p opie a s de 1'ope ado 0 amb domini  1'espai de Sobole H2(sa, a~ ) sob e ¢ dens a L 2 (sz) . Ja sabem que o és anca . Anem a a a - demos a que  és au oadjun no posi iu i gene a un semig up a iali ic a L2 (sa) . La demos ació és sugge ida a les no es  de Iooss . Lemma 2 .3 o és sime ic no posi iu . a) Hem de demos a que, donades u i a H2(s2, a )  . (u, o ) = (bu, ) . Abans de segui ad e im que ( ., .) ep esen a el p oduc e escala en  1'espai de Hilbe L 2 (s2) i  < ., .> el p oduc e escala a R n . Comencem p o an -ho pe a uncions u i de C2 (2)  = .{U  e  C 2 (R) I  <  g ad  n,  ñ >  =  0  a  ia} on ñ ep esen a el  ec o no mal  a an . Reco dem que C .'(sa) és dens a H2 ( S2, a ). El eo ema de la di e gencia (conc e amen la iden i a de G een)ene assegu a : i igualmen pe ( ,ou) . b) P o ema a que o és no posi iu . (uá - oú) _  < u g ad - g ad ú, ñ > = 0 sz  a sz Pe an , (u,o )-( , ¿u) = 0  Vu, e C? (s2) A a bé, si de inim (u, )  e  (H 2(9,  a ))2 _ (u,o )-( ,ou)  e és cla que aques a aplicació és una o ma bilinial con inua : ¡(u, )1=  UAVI < (121ul2)1/2( J~Io l2)1~ .2 <IuIH2(9)I IH2(2) Comque s'anul .len a  (C 2 (si)) 2 que és un subespai dens de (H 2 (9, á ))  , ind em, en de ini i a (u,o ) - ( ,ou) = 0  Vu, e H2(s2, w ) Es a di , o és simé ic . Vu, e C? (sz) Sigui u e Cy(s2) .  Pel  eo ema de la di e géncia 0 =  < ú g ad u, ñ >_  Ig ad ul2 +  úou s2  s2 la qual cosa implica(ou,u) < 0  Vu e C, (s2) Com l es apl i caci u --+ I úou u --'(1g ad u1 2 són con ínues,  i  C2 (s2)  és dens a H2(s1, á  , ,+  a ) deduím que (ou,u)  =  -  j Ig ad  ul2  <  0  Vu  e  H2 (2,  a ) Reco dem que un ope ado au oadjun és un ope ado T simé ic en És a di , que (u(x))  i les se es de i ades p ime es són aL2(2)  ( eco dem que pa lem de de i ades dis ibucionals) Pe  simpli ica ,  sigui  l . l o  :  =  l-IL2(,,),lj i :  J , IH , (A) j 1 . 1 2 ; au = I , IH2(~, a ),  ixj _ : uj Fj(u)I 0=Jai ' (u)ujl 2 _ Kiu j" l ujl 2 <  Ki u l ul 2  < W H 2 (2, a a ) implica la con e géncia uni o me . mamen aue C( ), exis eix un compac e K inclós a 1R al que un (')C K, u(2) C K Vn . IF(u)ló = 1 I (u(x))l 2< Ku u(~) « Demos em a a la con inui a de F . No em que, com a conseqüéncia del lemma 2 .8, la con e géncia en No em ambé  que, si una successió {u n } C C(I) conVe geix uni o - D'aixa úl im es dedueix que, si ii n } ii, les uccessions { (i n )} i { '(u n )} con e gi an uni o memen a (u) i '(u) (degu a la con inu"i a uni o me de i de la se a de i ada dins K) .  Sigui M= sup I '(x)I< m xeK Alesho es : jF(u n ) - F(u)Ió = 1  I (u n (x)) - (u(x))1 2 _ 0  pe la con e géncia uni o me de (u n ) cap a (u) . lF j (u n ) - Fj(u)I0- = I '(u n (x))U n, j(x) - '(u)(x)uj(x)0 l '(u n )u n,j - '(u n Y O+  I '(u n )u j - '(u)u j 1 0 < <  Mlu n,j -  u j10  +  (Jl '(un)  _  '(u)12  (uj)l2)1/2  < Mlu n - u12 + lul 2 suP l '(u n (x)) - '(u(x))1 xe2 El p ime sumand endeix a 0 pe hipó esi i el segon ambé po qué '(un (x)) con e geix uni o memen .a '(u(x)) . Hem demos a ,pe an , la con inui a de F . Obse ació : La con inui a de no és su icien pe a la con inui- a de Fcom a aplicació de H 2 (2, -~ )  en H 1 (n) :  Exemple : Si (x) =  1x1 e C(R ) , s2 = (-, /2, 1T/2) c R ; lla o s u(x) =sin x e H2(s2, a ), pe o /Isin xl  H 1 (s2) . Malg a aixó, p o a em pos e io men que sí és su icien pe a la con inui a de F com a aplicació de H 2 (9, á ) en L 2 (M) . Teo ema 2 .6 Si e C 2 (1 R), lla o s F és di e enciable en el sen i de F éche de H2(9,  a  )  en H'(s~)  i  DF(u0 ) , aplicació 1in .ial  aco ada de H 2 (n, á )  en H1 (s2) s'ob é mul iplican pe '(u o (x)) . Demos ació a) L'aplicació .F* de inida pe F*(u o ) : H2(s2, a ) -> H' (s2) és lin,ial aco ada . En e ec o, és cla amen linial . J~I '(U o(x))u(x)1 2 < Kluolul2 j2 I( '(u o(x))u(x)) i l 2 = j~i .,(UO(X»Uo,iu + '(u o )uil 2< <J s2 l  ( ú °)l lu°,i l2lul2 + j~l ,(u°)I)il2 + + 2J  I " (uo(x))I '(uoi ))luo,illulluil s2 u -} '(u0) .u, au <K 2u  IuICo(s )Iuol2 +K lu  IU12 2  2 + 2K 2u K lu  I U ICO(a)Jl x  ax . 0  0  0o  i ~ < Cl lul2 + C 2 Iul 2 ( ) lu o l 2 ) 1/2 ((lu i l 2 ) 1 /2<Clul2 < 10 5 Pe an IF *(uo )ul l = ' '(uo) .u11 < CIu12 1F(u +u)-F(u )-F*(u d u1 H ~ b)  lim  o  o  ( ) = 0 ~u1 ->0  ~ u1 H 2 (9) Hx2) Anem a demos a aques a asse ció . No em que, com és con ínuamen di e enciable, podem esc iu e,pe a a e 12 (a+h)= (a)+ '(oc)h+ ~l( '(a+ h)- 0 Pe an , si x e 1 C Rn 10 6 (U O (x) + u(x)) = (u 0 (x) + ' (uo(x) )u (x) + - '(u0(x)))u(x)d En al es pa aules : F(u o + u) - F(u0) -F * , (u0 )u = Jo( 0 Es udiem, doncs, 1'exp essió : l 1 0 ( ' ( uo + u) - '(u o )) u d li 1 0 ( 1  2 ( . ' (--u 0+ u )  -  ' (uo ) )u  d  <  sup  ' (uo + u)  -  n e [0,11 C sup  l '(u o ) + u) - '(uo)~21u12 e 0,1 xe 0 (« .))hd (uo(x) + u (0- _ (uo + u) - (u o )) u d (uo ) Pe o, comque u(x) con e geix a 0 pe la no ma de H2 , con e geix uni o - in,men a 0 .  Donada  l a con i nuí a de - ' ,  i nd em : Reco dem que ax i ol di de i ada dis ibucional . Els cálculs que segueixen, enca aque són, o malmen , co ec es,s'han de jus i ica pe pas al lími dins H'(Q) . Es a di , s'han d'aga a p ime uncions de C1 (~), aplica pe elk la écnica de de i ació so a el signe in eg al i u ili za , lla o s, el e  que C 1 (s ) és dens a H'(sl) . U i3 .i zan la desigual a de Minkowski i el lemma 2 .8, ind em : I < sup  I1"(uo(x)+ u(x)- '(uo(x))IIu¡,+ x e 12 e  (0 ,1] + sup  I le (uo (x) + u(x)) - " (u o (x)) 1  (I  ~uoi I 2  IuI 2 ) 1/2 x62  n e  (0 ,1] + sup  I .1 (uo + u)I((Iu i l 2 M 2 ) 1/2  < xesla e j0,11 Hem d'aco a a a sup  I '(u 0 (x) i- u(x)) - '(u o (x))1  0 x e ba  ¡u ~  > 0 e 19,11  2 1 1 :  -  ( Js  a i  ( 0( '(u0 +  u)-  '(uo))ud )i2dx)1/2 sup  I '(u 0 (x)+ u(x) - '(u o (x))IIUI 2 + xe2 e  ¡o, 11 + C sup  I "(uo(x)+ " (uo(x))IIuo12IUI2 xen e  [0, 1] + C sup  I 1] (uo+ uMu12 xe2 e  i0 ,11 Pe ó a a, enin  en comp e la con inui a de ' i " ; el e que exis eix un compac e K de R que con é u o(x)+ u(x) pe a o x esa  i 10 7 suposan IuI2 < d, ob ind em, En de ini i a :  Vc 9 s  als que si IuI 2 < S  lla o s Teo ema 2 .7 sup Iu(x)I < CK o . Alesho es xen 108 1 I o( '(uo + u) - '(u o))u d 1 1 < EIu!2 Si  e CZ (R ),  1'aplicació  F  pe any a C1 (H2(s2,  w ),  H'(2))  i  F  i  DF en ien aco a s en aco a s . Demos ació P o em p ime que F en ia aco a s en aco a s . Suposem ueB = (ueH2(2 . a~ ) : IuI 2 <K o } i calculem ¡F(u)I1 Com H 2 (2, a )C . C(s ), exis eix una cons an C al  que J ¡F(u)I 2= J I (u(x))I 2 < sup  I (a)I 2 u(2) si  a e [-CK 0 ,CKO I IF i ( u)I 2 =~ s I '(u)u i l 2 <  s a up  -  I ' . ( a)M I 2 II2 sZ  e [-CK 0 ,CK O I < K o sup  I '(a)I 2 a e [-CK 0 ,CK O I Pe an  IF(u)I1 < K 1 si Iul < Ko IDF(u)IL(H2(sa, 8 ), H1(2)) < K2 Reco dan la demos ació del T 2 .6 a) i que sup Iu(x)I xe que si  e H2(2, ) . IDF(u) 1 2 = I '(u) 12 < sup  I '(«)I2I I2 + a e [-CK 0 ,CK O ] Demos ema a que DF en ia ambé aco a s en aco a s . Es a di , si IuI 2 < Ko , lla o s K o , ind em + C  K~  sup  I " (a)I 2 I 12 +  sup  I '(a)I 2 IM Iz + a e í-CK o ,CK 0 1 a e I-CK 0 ,CK0 1 + 2CK o sup  ( , ( a)I, I  (a)I) IVIZ < C4I I2 a e (-CK 0 ,CKO I on C4 no depén de u si lu1 2 < Ko Pe an , ID (u)I < K2 si Iul <Ko Demos em pe úl im que DF és con ínua, és a di , que 1'aplicació DF : H2(s2, á )  > C(H 2 (~,  H l (2)) u  '(u) és con ínua . Suposem un -> u dins H2(s2, a ) i . p o emque I '(u n ) -  '(u) l l <  EI I2  amb  E->0 quan  n -4> m D'una banda, 1 l '(un) - '(u) 12 =  1 '(un)  _ .(u)12I 12 '(u n ) con e geix uni o memen a '(u) . De o ma simila : < sup I " (un (x))I sup I (x))lu n-ul 2 + xes2  xes2 . I 12 < E2 1 i 2  amb 1 a X w (un) - '(u) )12 = 1( ° (un)un,i _ " :(u)ul) 1`  + +  I( '(u n )  -  '(u)) i12  <_ 1( (un )u n ,i  -  " (un)u,i)VI2  + +  1( ', ( un ) u¡  _  " (u)ui)  1+  I( '(un)  -  ku)) i l 2  < amb  el -> 0 pe qué +  sup  I "  ( un ( x ))  -  " (u(x))I  sup  IV(x)IIUI 2  + sup  I '(u n (x))  -  '(u(x))I, xes2  xes2  xe2 En aques a úl ima desigual a hem u ili za la i la con inui a de ' i '', així com en C o (sa) . de u n cap a u de H2(si : 2 ) quan un Teo ema 2 .8 on pe a Demos ació En de ini i a  ¡D (u n ) - D (u)iL(H 2 ,H 1 )  0 i u  dins H2(si, w ) .  Es a di u(0) =uoeD e C 1 (H2(2, 8 El p oblema d'e olució següen : ~= d0, u + F(u), o a uo e D, i pe a o  T < T*(uo) . Si  T*(u o ) < m ,  T mT*IUIC([O,T],D) . _ La solució u( ) de (14) és di e enciabl , e amb u s C( (O,T_1 D) nC 1 ( [O,T] H) con e géncia uni o me la inclusió con inua D= (H2(s2, a )) m , H= (L 2 (s2)) m , F(u) := (u) e C2 (1R m )  é una única solució con inui a espec e a u o . Els eo emesp eceden s es poden gene ali za ácilmen al cas m > 1 (un sis ema de eacció-di usió de més d'una equació) . Pe an , p enen M(u) = F(u) - DF(u 0 )u ens obem en les hipó esis dels eo emes 1 .2, 1 .3, 1 .4 i 1 .5 . Obse em que L = DF(u o ) + dá CONCLUSIO Les equacions d'e olució (14) de ineixen en l'espai uncional D un semisis ema dinámic . OBSERVACIONS En o a aques a cons ucció, hi ha un elemen que és apa en men , poc na u al ; ens e e im ala necessi a d'in odui 1'espai K en e els al es dos espais D i H . En e ec e, d'una banda, D és el domini de 1'ope ado no aco a L i és a D on é sen i 1'equació plan ejada . Pe ó L p en alo s a o H i pe aix$ és necessa i pa la de H . La necessi a de dona una opologia a D es a pale sa en ole ob eni eó emes de con inui a i di e enciabili a espec e a les condicions inicials . El p oblema de ons que ens o ga á a in odui 1'espai K és a ina la següen aco ació : (*)  ¡Le L IL(H)  <  > 0 Hi ha di e sos pun s en les demos acions an e io s en qué hem u ili - za , explíci amen o explíci amen ,aco acions pe ~eL IL(H) . Esmen em-ne algunes : a) En el lemma 1 .3, pe a p o a que ( eL( -T) (T)dT pe any a D, J 0 hi ha dos camins ; obé conside a la in eg al a H, i lla o s, segons el lemma II 1 .2 de FRIEDMAN necessi a em que H Le L( -T) j (T)dT 0 exis eixi i 1'aco ació (*) se á insu icien ; obé conside a -la a D amb la di icul a  que 1'aplicació --} eL u no és con ínua a D i, pe aixó necessi a emque la in eg al imp ópia D ( e L( -T) (T)dT J0 con e geixi Pe o 1'aco ació IeL IL(K,D) ` ~  sí que és su icien en aques con ex e . b) En demos a la con inui a a D de 1'aplicació , ( e'( -T) (T)dT, ambé en el lemma 1 .3 . J 0 c) Al demos a 1'exis éncia de pun ix de 1'aplicació en la de- mos ació d'exis éncia de soluc¡in& de 1'equació no lineal . En eali a es poden dona esul a ssemblan s ala enuncia s sense pa la de cap espai in e medi .Pe exemple, a TANABE, Cap . 6 es demos a 1'exis éncia i unici a de soluciona de 1'equació no lineal, pe o suposan de inida a o 1'espai H . Aixó, en el nos e cas, és massa es ic iu . Pe exemple, si (u) =u 2 , ja no podem de ini F a o H . En al es ex os el que es a és de ini les po éncies acccioná ies de 1'ope ado L i els dominis d'aques es po éncies accioná ies són espais in e medis en e D i H . Lla o s les aco acions són de la o ma : le L I L(D(A a ),H) < 1ca 0<a<1 . Veu e FRIEDMAN cap . Ii 3, II 14, Ii 16 . , Sobole skii . His ó icamen , les po éncies accioná ies dels ope ado s an se in odu`ldes en aques con ex e pe Sobole skii amb an e io i a al p ocedi- men que u ili zemnosal es . Sembla cla , pe o, que el que és essencial en la eo ia de les po éncies accioná ies és, ambé, in odui espais in e medis en e el domini de 1'ope ado D i H . Des d'aques pun de is a, doncs, el nos e p ocedimen se ia més gene al . Si .b e a FRIEDMAN es esol un p oblema més gene al que el nos e (és conside a 1'ope ado L depenen de i de u), els esul a s són, en algún sen i , més pob es . Essencialmen , la di e éncia és en que en aques eball es demos- a la con inui a de la solució a D i la di e enciabili a espec e a les condiciona inicials . Pel que a a Iooss o es á o ien a a 1'equació de Na ie -S okes . CAPITOL II ESTABILITAT I BIFURCAC1 INTRODUCCIO El p incipal objec e d'aques capi ol és es udia 1'es abili a dels pun s de epós del semisis ema dinámic de ini al capí ol an e io . Aques s pun sde epbs co esponen a solucions es acioná ies de 1'equació d'e oluci6 : (15)  ~ =dou + F(u) u ( ) e D =  (H 2 (2,  a ) )m  ,  Fe C 1 (H 2 (2, 8 és a di , a soluciona de 1'equació (16)  dou + F(u)= 0 ,  ueD Reco dem del capi olL F(u)(x)= (u(x)) . No em que les soluciona de (16) sbn soluciona en sen i débil del sis- ema de m equacions el .líp iques no linials següen : d 1 ou 1 + l (u l , . ..  u m )= 0 d2ou2 + 2 ( u1 , . . .,u m )= 0 m 1 m d m ou  + m(u  , . . .,u  )=0 amb condiciona a la on e a de n : a IUL jan  0, és a di , condiciona de Neumannhomogénies . Demos a em que 1'es abili a d'aques s pun s de epós e de e minada pe 1'espec e de la pa linial de 1'equaci6 (15) ; és a di , pe la di e- encial de F éche de  dou + F(u) en el pun u o e D solució de (16), . En el capí ol an e io am eu e que aques a di e encial a] : do + '(uo) . en L 2 (2) . Demos ació  Pe hipó esi,  és aco a en L2 (2) . Demos em, a més, que és aco a com a ope ado  de L2 (s ) en H2(s ,  a )  (la no ma de H2(í2, -L és equi alén .a la no ma del g a pe qué o-XI és anca ) . < C1(C21VIO + I ID) < k1VID . A a, aplican el lemma de Rellich ( eu e FRIEDMAN T I 11 .2) (o -XI) - 1 és compac e a L 2 (2)  pe qué la inclusió és compac e . Lemma 3 .4 En e ec e :  sigui  e L 2(sa) I( A-AI) -1 1 2  <  C1(1 (o- XI)-1 10  +  I (o - XI) (o - XI)-1 10)  < L'espec e de do  (ope ado de ini densamen a H = (L`(si))~~~) és pu a- men pun ual i es á con ingu a (-m,0] . A més, 1'ope ado  A =  d l e + E  ,  e> 0  és d2~+ e dm0+ s al que A-1 és compac e . La demos ació és e iden aplican els lemmes 3 .2 i 3 .3 . i el co ol .- la i 2 .1 i eco dan que o s els di són posi ius o nuls . Teo ema 3 .2 H2 (2,  e'  ) 4 L2 (sz) L'espec e de L = do + P(u0) és pu amen pun ual . Demos ació Podem esc iu e L=A+ F'(u o)-eI on A =  o + eI  és un ope ado diago- nal  amb domini  D al  que A 1 és compac e i  F'(u 0 )- eI és un ope ado aco a . P o a em que Nuc(L - XI)=  0  implica que (L- xI) -1 és aco a . Demos a em el següen e gene al : "Sigui A un ope ado linial densamen de ini a H al que A 1 és compac e . i B un ope ado aco a a H . Alesho es Nuc(A +B) = {0} - =*(A + B)-1 de ini a o H i aco a " La hipó esi  que A + B sigui injec iu implica que I+ A-1B és ambé injec iu . Pe o A --1 B es compac e . Lla o s la eo ia de F edholm en s assegu a que I + A -1 B é  i n e' s aco a .  P o em a a que (I+ A -1 B) -1A -1 = (A+ B) -1 . D'una banda,  V e Dom(A) es é : (I+A-1B)-1A- 1 (A+B) = (I +A -1B) -1 (1+ A - 1 B) = D'al a banda olem demos a (A+B)(I+A 1 B) -1 A -1 = I Aixó úl im es equi alen a demos a que,pe ,a , qualse ol e Dom(A) (A+B)(I+A-1B)-1 = A Sigui w = (I+11 1 B) -1 .  Lla o s (I+A - 1B)w = i  pe an w e Dom(A) .  Apl i can A + B (A+B)w + (A+B)A -1 Bw = (A+B)w + Bw + BA -1 Bw = A + B (A+B)w + B(1+A - 1 B)w = A + B 0 sigui, (A+B)w=(A+B)(I+A 1B)-1 =A . Pe an , (A+ B) -1 és aco a pe qué és composició de dos aco a s . En el nos e cas, (L-aI) -1 = (A+B) -1 és aco a si a no és alo p opi . El compo amen asimp o ic p op d'un pun de epos, quan la clausu a de a no con é alo s imagina is, e dona pe la pa linial de L i exis= eixen les a ie a s es able i ines able ( egi's Iooss Cap . VII) . En el nos ecas només necessi a em : Teo ema 3 .3 Si 6(L) con é un alo p opi amb pa eal posi i a, la solució nul .l a és ines able . Demos ació Pe hipó esi exis eix un A= X1 + ia 2e Q, a1> 0 i un ec o u =u 1 + iu2 e H~  (espai  complexi ica de H)  als que 122 Lu = au Aixó implica, en pa icula , e L u = e ;k u . Es cla que X és ambé alo p opi de L, de ec o p opi  u l - iu2 = ú . Pe an  = u + la = 2u 1 e H . A més e L y=e L (u + -U) = e a u + eX u = ea l (e i a2 u + e -i a2 - U )  _ = eÁ l (cos a 2 y + i sin a2 (u- ú)) = eal (cos a2 y - 2i sin a2 u2 ) Lla o s exis eix un na u al N al que ~eLNV1  > eal/2 N ¡Vi D  . F ( ) =F (0)  + DF (0) + R ( ),  lim  IR ( )lD - 0 ->0 D Fixem-nosque e'l /2 > 1 . Obse em que aques a desigual a és ce a pe a o  a e R ES a di , podem p end e la l an pe i a com olguem . Aplican el eo ema 1 .4, si diem F ( ) al lux amb condició inicial , enim : Pe b com F (0) = 0,  DF (0) = e L (co ol .la i  1 .1), deduim el  següen : e,0 ] n > 0 :  IF N (a ) _ e LN a ID  < eI ID  si la l<n P enem e al aue  Pl =e a,N/2 _e > 1 . Lla o s pe a o a al que la l < n ind em IF N (a )j, >  le LN a I D-  el I D>  (ea1N/2 _  e)Ia ID És a di  JF N (a )IÓ > P11-VID Es em suposan que F (a ) exis eix pe a o > 0, ca en cas con a- i  ind íem  sup  IF (a )1 D =  i 0 no se ia es able . >T Si IF N (a )I> n,0 és ines able . Suposem doncs i nd em : 2N (a )1 > pl IF N (a )l > p1~ ID I així successi amen ind em ~FKN(a )1 > P11a ID Pe o  és  cla que exis eix , un k > 0 al que p1Ia I, > n . Lla o s 0 és un pun de epós ines able pe qué,  Vn' > 0 podem oba  e D al que Ia ID < n '  i  1 F (a )1 D >n  pe algún . (és a di , la bola B(o,n) H no con é cap bola B(O,n') al que F (B(O,n')) C B(O,n)  > D) . IF N (a )1 < n, Lla o s Resumin : Teo ema 3 .4 (P incipi d'es abili a linial) Una solució es acioná ia uo de (17) és asimp ó icamen es able si 1'espec e de 1'ope ado linial D u (dou + F(u)) = do + F'(u) es á con ingu a 1'esque a de 1'eix imagina ¡ i a dis áncia no nula d'aques ; és ines a ble si con é algún pun amb pa eal posi i a . La demos aciód'aques eo ema es edueix a aplica els eo emes 3 .1, 3 .2 i 3 .3 . Ens es a a a dona un algo ismepe al cálcul dels alo sp opis de 1 'ope ado do + F' (u) . Pe a¡xó, egi's PERELLó . En 1'a icle esmen a es demos a que p és alo p opi de L si i només si exis eix un x i de 1'espec e de o al que 124 de (F'(u 0 ) - A i diag(d l ,d 2 , . . .d M ) - PI)= 0 Obse i's que P(u0) - a i diag(d l , . . .d m ) - PI és una ma iu m x m . Si exis eix un únic a l que sa is á la condició an e io , a l és alo p opi simple de o i el ang de F'(u o ) - x i diag(d l , . . .,d m ) - PI és m -1, lla o s p és un alo p opi simple de L . És a di , dim Nuc(L - PI) = 1 En aques a si uació, si ~i és la unció p ópia de alo p opi a l de o , el subespai Nuc(L - pI) e gene a pel ec o (-ajo¡, a2~i, . . .aji) c H ¢ on (a l ,a 21 .. .a m ) és un ec o p opi de alo p opi 0 de la ma iu F'(u o ) - a i diag(d l ,d 29 . . .d M ) - PI . Demos a em a a un eo ema que u ili za em més a d : Lemma 3 .5 Sigui A densamen de ini a H,A -1 compac e i B ado A+ B compleix 1'al e na i a de F edholm, és a di , R(A+B) = (Nuc(A*+B*))1 Demos ació Es e iden que R(A +B) c (Nuc(A* + (Nuc(A ;+ B* )) 1  es á con ingu a R(A + B) . Sigui É :H al que ( ,x) = 0  Vx e N(A*+ B*) . an B*(A -1 )* y + y =0 B*) ) l , P o em doncs Sigui y s Nuc(I+ (A-1 B)*),  ésa di ,  al  que  (A-1B) *y 0 sigui  (A -1 )*y e N(A* + B*)  pe qué (A-1 )*= (A*)-1 . Lla o s  (A -l ,y) = ( ,(A-1)*y)= 0 aco a . Lla o s 1'ope- Fins a a hem p o a doncs que si  e (Nuc(A* + B*)) 1 lla o s A -1 e~uc(I + (A-1B))L . Com A-1B és compac e, de 1'al e na i a de F edholm : (Nuc(I + (A -1 B)*) L  = R(I + A -1 B) que y =0 i pe Com a conseqüéncia,'A -1 =(I + A-1 B)u pe algún ueH que hau á de se ambé de Dom A ca el ang de A -1 és Dom A . Aplican A a ]'úl ima igual a : Es a di : Teo ema 3 .5 = Au + Bu = :> eR(A+B) (NUC(A*+B*)) c R(A+B) 1 Si a és un alo p opi de L, Rang(L- aI) =(Nuc(L*- íI))  i dim Nuc(L-aI)=codim R(L-xI) . Si dim Nuc(L - xI) = 1, di em que a és un alo p opi simple . Demos aci ó L - XI és suma d'un ope ado A = do + El densamen de ini i d'in e s compac e i d'un ope ado B = F'(u 0 )- XI-El aco a . Pe an , del lemma an e io , Rang(L -ai) = (Nuc(L*-XI)) 1 Com dim Nuc(L*- ~I) = dim Nuc(L- XI) ind em que dim Nuc(L-XI) = codim R(L-XI) . 4 . BIFURCACIÓ D'UN VALOR PROPI SIMPLE En aques a secció demos a em l'apa ició  d'una bi u cació d'una so lució es acioná ia quan un alo p opi simple de la pa lini .a l d'aques a equació c eui pe ]'o igen men e o s els al es es man enen a 1'esque a de l'eix imagina ¡ i a dis áncia posi i a d'aques . El p ocedimen que u i- li za em ep el nom de Mé ode de Lyapuno -Schmid o dels p oblemes al e na- ius . Siguin D i H espais de Hilbe eals, D densamen inclós en H i la inclusiócon inua . G(p,0) = 0 , Y p E 32  .  D'aco d amb el que hem is an e io men , aixo no es a gene ali a . Lla o s  u - 0  és una solució es acioná ia (un pun d'equilib i) de la segUen equaciód'e olució : Sigui  G :  R  x D --~ H  una aplicació de classe  C 2  .  Suposem que (27) J du = G(p,u) d u(0) = uo E D Deno em L(p,u) =Du G(p,u) ; ope ado linial amb domini D Suposem que L es oba en les hipó esis del capi ol an e io . si uació, 1'equació de ineix un semisis ema dinámic . Suposem que a(L) (en enen plexi ixa de H ) es á con ingu cia posi i a d'aques , pe a p < nónc ;úlmen es able . A más, com ció implici a assegu a la unici a de de u=0 . Suposem que 1'ope ado L(u,u) és del ipus de al que L(p,0) R(L-xI) = (Nuc (L * -íI)) 1 dim Nuc (L-XI) = dim Nuc (L * -íI) u( ) E C 2 ([0,T1,H) a a L com a ope ado  a 1'espai com - a 1'esque a de 1'eix imagina ¡ i a dis án 0 . Alesho es, la solució u = 0 és expo- c$ in' c woc, i wo l . . c, el c . . J u . .c 1m . . .. eo cma  n - solucions de Suposem ambé que, pe p = 0 , si deno en l o = L(0,0), N  =Nuc  lo  =[W 0 1  w o  E  H  ,  1 wo l  =  1 Nuc L* o= [ w G )  wó E  H  ,  I w o 1 = i R = Rang Lo = {u E H 1 (u,wó) H=0} * (wo, wo)H ~0 . dens a H . En aques a G(u,u) = . 0 en un en o n F edholm, és a di , (en aques a si uació di em que 0 és un alo p opi simple de L o ) . Suposem, pe úl im, que, dien a(u) al alo p opi de pa eal més g ossa de  L(u,0),  a' (0) >0 . So a aques es hipó esis demos a em el segUen : al que : Teo ema 4 .1 . Exis eix una co ba de classe C1 a e .(- E, E)1->  ( (a), u(a)) e RxD G( ( a), u( a)) = 0  Ya e  (- e, E) és a di , apa eix, pe a cada a , una solució es acioná ia que bi u ca de u = 0 pe  y= 0 Demos ació (u0), u(0)) = (0,0) °) = ó De inim les segúen s p ojeccions : P1  :  D  -->  N x ~-->  (x, w o ) ~ o P 1  :  H -  [ wól (Y,wó) `Po i diem Q 1 =I-P 1 , Q2 = I-P 2 . Fixem-nos que Q 2 p ojec a H sob e RLo =R . To a u e D es po esc iu e u = (y o )sP O +Q 1 u = aspo+ Podemdescomposa 1'equació G(u,u) = 0 (22) Q2G(u,a`po+~) = 0 P2 G(u,ap o +~) =0 De ini em a a una aplicació H H : IRx IR xQ, D ---> R ( u, a,  Q2G( p, a `po+0) És cla que H és de classe C 2 i que H(p,D,O) =Q2 G(p .0) = 0 . En pa icula H(0,0,0) =0 .  . A més, D~H(0,0,0) = Q2Lo és un isomo isme en e Q 1 D i  R(és bi- jec i a, con inua i lineal pe la quál cosa, e .] eo ema de 1'aplicació'obe aim- plica que la in e sa és ambé con inua) . Podem, doncs,aplica .el eo ema de uncióimplíci a pe a ob eni una aplicació de classe C 2 al que En e ec e, de i an 1'equació H(u,a»(p,a l  Q2G(p,a`po+Q10(p,a)) =0 espec e a ob enim :  . Q 2 L(p ' a-P o + Q10(u,a» ' (`°o + Q1-w(u'a» = 0 A aluan a (0,0) : 128 (¡ , ,a) '- «p,a) (U i V en o ns de 0 a IR) (0,0) =_ 0 . H(p,a,« p,«))  =0  pe  (PM  e U x V Pe unici a de ~ ind em que  V)(p,0)  = 0 ) V y e U  . A més, es compleix la segUen p opie a : á (0 ;0) = 0 Q2L(O,o)w o + 42L(0,0)Q1 áa ( 0,0 )  = Com  9o e Nuc Lo i  Q 2  és la p ojecció sob e  RLo LoQ1 »(0,0) = 0 I pe an á" (0,0) = 0 Subs i uin (p,a) en la segona equació de (22) ob enim : P2 G(p,aP o +,y( u , a )) = 0 . És a di : (G(p,cw 0 +"P o)= 0 Aques a úl ima equacióescala anomenada "equacióde bi u cació" és equi alen , .com hem is , al  sis ema  (22)  en un en o n de  p =0 . De inim a a una aplicació '  F :  U x V C R 2 ----+ R F és de classe C2 i compleix, pe a o a p e U F(p,0) = (G(p,0),wo) =0 Lla o s, si de inim g( p, a) F(p,a) a aaF  ( p,0) esul a se una aplicació de . U x V en R de classe C 1 al que g(0,0) _  F (0,0) = 0 "A - pí ica em el eo ema de unció implíci a a la unció  g  en un en o n del  (0,0) . Hem d'a alua ~-( 0,0)- V  e 2 Pe o, de la de inició de  g  enim que 31( 0,0) = aaap  (0,0) . Calcula em aques a úl ima de i ada aa (p,a) _ (L(Pa% +~(p,a)) ( , P o +-á  Spo ) si a 1 0 si a = 0 a (~« )(0,0) _ ( G(0,0)(,Po + aá (0,0) + L(0,0) a  (0,0), 0 ) _ (Du G(0,0)wo,wo) Igualmen es p o a la ines abili a de la b anca subc i ica . Reco dem que les condiciona .a'(0) >0 i p'(0) ~ 0 són di ec amen compu ables a pa i de 1'equació (D up G(0,0)w o ,w o ) a~(o) - (w o ,w o ) I si, X'(0) > 0 ,  (29)  ens diu que ;u'(0) ¢ 0  és equi alen a (DuuG(0,0)(ó, ó), ó)  0 . Segui em a a 1'análisi de la bi u cació en el cas  que p'(0) si- gui 0 . Seguim, doncs, de i an (5) (a a necessi em que (u'(a),u(a)) sigui,de classe C 3 i pe an G de classe  C4 ) . DuppG(p(a),u(a))(p'(a))~P(a) +2D uup G(p(a),u(a)) (u'(a),w(a))p'(a) + +-DuuG(p(a),u(a))p"(a>P(a) + 2p'(a)DUPG(p(a),w(a))w'(a) + + DuuuG(p(a),u(a)%(u'(a),u'(a),w(a)) + DUU G(p(a),w(a)) (u"(a),w(a)) + + 2DUU G(p(a),u(a))  (u'(a),w'(x)) + DuG(p(a),w(a))w"(a)- ~(a)w(a) - - 2a' (a) w' (a) - a(a) O'(a) = 0 A aluem a a = 0 , suposan p'(0) = 0 ( ai ó implica a'(0) = 0) i eco dan u'(0) = wó , a(0) = 0 p"(0)D u úG(0,0)w o+ DUUUG(0,0)(wo,wo .wo) + DUUG(0,0)(u"(0), ó) + + 2Duu G(o,o)(w'(0),w o ) + L o w"(D) - a"(0)w o= 0 Mul iplican escala men pe  ` P O (31) (~o00O )a"(0) = p"(0)(D up G(0,0)w 0 ,sp o ) + (DuuuG(0'D)(`PO'WO,`PO)Wo) + (DuuG(0,0)(u"(0),WO),SPO) + 2(D uu G(D,0)(sP'(0),~p o )%P o ) D'al a banda, de i an a (7) DppúG(p(a),u(a)) (p'(a))3 + 3D upp G(u(a),u(a)) (w'(a))2u'(a) + + 3D PP G(p(a), u(a))u'(«)p"~«) + 3DuupG(p(p),u(a))p'(«)(u'(a),u'(a)) + 3DUPG(p(«),u(a))p'(a)u"(a) + DpG(p(a),u(a))p"'(a) + + DuuuG(p(a),u(a))(u'(a),u'(a),u'(a)) + 3DuuG(p(a),u(a))(u"(a),u'(a) + + DuG(p(a),u(a))u"'(a) + 3DupG(p(a),u(a))p"(a)u'(a) = 0 A aluem aques a exp essió ambé aa= 0 , suposan p'(0) = 0 i e- co dan u' (0) = w O , D 11 G(0,0) = Dup G(0,0) = DuupG(0,0) = 0 (32) D uuuG( 0,0 ) (,P 0 'p0'SP0) + 3Duu G(0,0)(u"(0),9 0 ) + + 3LO u . . .(0)  + 3D up G(0,0)W . (0) , Po = 0 Mul iplican escala men pe 0 =3 p "" (D)(Dup'(D'D) ó' ó ) + (DuuuG(0,0)(9o,%,sPO) + 3DuuG(0,0)(u . .(0),SPO), .,Po) Abans de segui demos em el segU'en lemma écnic Demos ació 13 8 Lemma 4 .1 .  En aques es condicions : Pe an , (DuuG(D,0)(u"(0),WO), ó) = (DuuG(D,D)(9'(D),%),9O) A aluan (25) a a = o i suposan u'(0) =0 , a'(0) = 0 ind em D uu G(0,0)(s% , ó)  + Lo `P'(0)  = 0 pe qué  u' (0) = sP O i  a (0) = 0 . Igualmen , a aluan  (7)  a a = 0 i amb les ma eixes suposicions D uu G(0,0)(W O ,-P O ) +Lo u"(0) = 0 D'aixb  es dedueix u"(0) - SP'(0) e Nuc L o .  0 ~sigui u"(0) = ~p'(0) + io  on  e 1R (DuuG(0,0)(u"(0),~pO),sPO)= (DuuG(0,0)(,P'(0) + sp o ,SP O ),wó) = _ (DuuG(D,0)(sp'(0),9O),soo ) + (DuuG(0,0)(9O,SPO),,PO) Pe ó el segon sumand és ze o pe qué suposem u'(0) = 0 Aplican aques lemma ind em que (31) es con e eix en (33) (soo,sPo) ~~(0) = u"(0)(D um G(0,0)spO ,wO ) + DuuuG(D,0)(sp0,%,SPO),9o) + 3(DuuG(0,0)(sp'(0),spO),w*) i (32) en : 0 = 3 l' ( 0 )( D u .a G ( D,0 ) w 0 ,s p0) + (DuuuG(0,0)(-Po,90,~oo),-Po) +_ + 3(DuuG(0,0)('P'(0),9o)wo) A a podemenuncia el segUen eo ema . Teo ema 4 .3 . En les hipo esis  del eo ema  4 .1 .  suposem ;¿'(0) = 0  pe o  ;¿"(0) 1 0 Alesho es el diag ama de bi u cació és del ipus 2ó 3, i pe an , de la so lució  u =_0  es bi u quen dues solucions pe m> 0  i cap pe m< 0  o dues pe p < 0  i cap pe  i > 0 . . Les solucions bi u cades són es ables si són supe c i iques i ines ables si són subc í iques . Si u"(0)< 0 les b an - ques bi u cades se an subc í iques i, si  ;¿"(0) > 0 , se an supe c i iques . Resumin , ind em els segUen s diag ames de bi u cació : e Demos ació u e 11 "( 0 ) < 0  P"(0) > 0 e El ec c angen a la co ba  (l1(a),u(a))  és, en el nos e cas, (0,-P 0 )  ,  Aixó ens dóna angen e ical  en el  diag ama .  Com u'(0)  =0, IA"(0)  0 enim que a és un ex em de la unció a  de la qua] cosa deduim una de les dues igu es .  A més, és  cla que el  signe de  p"(0)  ens 139 de e mina á quina de les dues és . Pe a de e mina 1'es abili a ,u ili zem les exp essions (33) i (34) . D'elles es dedueix : DG(0 >0)w o > w o ) o "(O)  _ -2,0(0)  uu  *  _ -2p (0)A (0) ( %>` po ) Es a di , 0"(0) é signe oposa a p"(0) . Com a'(0) = 0 , ind em que si  o"(0) > 0 ,  0 se á un mínim de  o(a) i si  a"(0) < 0 , se á un maxim . Com a conseqüéncia, ind em es abili a si  a"(0) < 0 (és a di , si  p"(0) >O) i ines abili a si  a"(0)  >0 (si  p"(0) <O) .  En de ini i a, si la solu- lució bi u cada és supe c í ica se á es able i si és subc í ica se á ines a- ble . No em pe úl im que la condició W"(0) ~ 0 , i, en eali a , el signe de u"(0) es po calcula mi jangan 1'exp essió (34) 14 0 D . . . . . . G(0,0 )(P ~>`~  >`~  ) >~  ) D uu G(0>0)(9'(0)>a o )>wó) 3 - on  a'(0) > 0  pe hipó esi  i  w'(0)  es po de e mina de 1'equació E o w'(0)  -DuuG(0>0)(wo>%) que é solució, segonsl'al e na i a de F edholm,ca es em suposan D uu G(0,0)(w o >SP O )>sp o ) = 0 A més w'(0) ha de compli (,p'(0),-p0) = 0 , com es po eu e de i an la segona equació de (24) i a aluan a a = 0 . APENDIX AL CAPITOL II REGULARITAT DE G Demos a em en aques a secció que les condicions de de i abili a pe a G que demaná em a la secció p eceden , és a di G de classe C3 pe a 1'es abili a ,es compleixen en el cas d'equacions de la o ma (35) G(p,u) = d(p)ou + F(p,u)  ue(H 2 (s2, p e  IR  ,  d(p)  e IR m  ,  F(p,u) e  (L2(p)) m F(p,u) = (p,u(x)) , m = D semp e  que  les aplicacions- d(p)  de  R  en  R m  i  (p,x)  , de R x - Rm en 1R m , compleixen ambé ce es condicionade egula i a . En pa icula ,demos a em que si  dECk (R )  i  e C k (IR 2 ,1R), lla o s  G e C k (IR  x HZ (s ,  ), 12 (s ))  ,  és a di , p o a em els esul a s comple a pe a m = 1 .  La gene ali zació al cas  m >1  és di ec a ( egi's el p ime capí ol) . Obse em que, si enim, pe a cada p e R una solució es acioná ia up e D  de V equació : du = G( ,u) d 0 sigui, G(p,u, p ) = 0 , i a més 1'aplicació p  e  R-> uu e  D és de classe C k , lla o s, mi jansan el ca n i linial = u - u,, , ob enim una equació d = G(p, + uVi) + G(p, ) d_ al que G és de classe Ck si G ho e a i G(u,0)=0 Vu . Pe aixó ens podem es ingi a es udia aques úl im cas . Demos a em,  don cs, el s següen s eo emes : Teo ema 4.4 Sigui  e Co (HR) , 9 obe aco a de  IR n (n <3)  amb on e a de classe C2 . De inim Alesho es F és con ínua . Demo áció F : H 2 (sZ,á ) - ~ L2 (S2) u(x) =- (u(x)) F  es á ben de inida -Com q e H 2 (sz, ) es á inclós con inuamen en  C(5), la con e géncia en no ma de H2 implica con e génciauni o me . A més Lla o s ~jF(u)j 2 dx =  II (u(x))1 2 dx  < u(2)  sup  I (u(xM < 111~  1si  xe2 F(u) ~2 - . J~ ( i(x)) - (u(x)) 12 i aques a úl ima in eg al endeix a 0 si  ¡u - ul 2  0 degu a la n H(~) con inul a uni o me de dins dels compac es . Sigui  e C 1 (IR)  .  Amb les condicions del eo ema an e io ,  F  és de classe C1 i Teo ema 4 .5 . DF(u) = '(u(x)) . (x) Dpmns ació a)  DF(u) : H2 (S2, a á )-~L 2 (s ) és cla amen linial i aco ada . b)  IF(u+ ) - F  DF(u) l lim  (u)  L2 (P) = 0 ->0  ¡ i H2(~' a ) En e ec e, hem d'aco a con enien men : Pe an , - '(u(x)) . (x) I :  = i (u(x) + (x))  - (u(x))  - '(u(x)) (x)l2 Com F és con ínuamen di e enciable : 1 (a +s) = (a) + '(a)s + ( '(o+ s) - '(a))sd , a,R e 1R 0 I  =  k~ l o ( '(u(x)  + (x))  -  '(u(x))) (x)d l 2dx  5 22 sup I '(u(x) + (x)) - '(u(x))l I (x) dx < si £10,11 2 sup l '(u(x) + (x)) - '(u(x))1 IVI 2 2 xe2  L e [0,11 Pe ó, com endeix a 0 a H2(s , 2 ), de la con inui a uni o me a sob e els compac es de ' deduim 2 sup  I '(u(x) + (x) - '(u(x))j -- 0 x £-s  ; 0 £[0,11  H2 és una aplicació con inua . 144 1DF(u) - DF(ú)j = sup j '(u(x)) (x) - '(ú(x)) (x)j = B 1 e H2 L 2(2) IVI=1 2 sup  II '(u(x» (x)  - .  »12 1  < sup I '(u(x)) - '(U(x))~2 . e H 2J 5~  x e 2 c)  DF : H2 ( 2, 2 ) - L(H 2 a ) ' L Z (~)) : = B1 En e ec e u --> DF(u) que endeix a 0 si u endeix a u dins H2 e ) Teo ema 4 .6 . Sigui  e Ck (R ) .  Amb les condicionsan e io s,  F  és de classe  Ck i Demos ació D k F(u)( l , 2 ,  k ) = (k)(u(x)) 1(x) 2(x) . . . k(x) Fa em pe inducció aques a demos ació, a pa i del eo ema an e io , en el qual hem p o a el esul a pe a k = 1 . a) Dk F(u)  : H 2 (2, 9 9 )x . . .xH2 (s~,w ( 1 , . . . k ) -> (k)(u(x)) z(x) . . . k(x) és cla amen k-linial i aco ada . b) Suposem ce el eo ema pe a k = n-1 . LLa o s an e io i no la a em . és una aplicació con inua . io . I Dk-1F(u+ ) - Dk_1F(u) - DkF(u) 1 L(H2x . k lim  . .xH 2 ,L 2 ) =0 ->0  IVIH2(51,22 ) La demos aciód'aques e és igual a la de la pa b) del eo ema k c)  _ D k F : H2(sc,3~ ) --> L(H 2 x . . .xH 2 ,L 2 ) _ : Bk u --+ DkF(u) La demos ació és, ambé, igual a la de la pa c) del eo ema an e- To nan a 1'equacio (35) hem demos a que, en el cas m = 1 , si no depén de u , i és de classe' C k , ambé ho és F . Pe o obse em que els ma eixos aonamen s ens se i ien pe a demos a , en gene al, que F és de la ma eixa classeque enca aque aques a depengui de u (u ili zan el eo ema que ens diu que si exis eixen les de i ades pa cials d'o d e k i són con inues, la unció és de classe C k ) . Igual men es p o a ia que  d(u)  és de classe  Ck com a aplicació de lR en H2(n,e ) i que nu és de classe C" és i ial pe qué o és linial . En de ini i aob ind iem els esul a s que espe a em,és a di , que si les aplicacions d i , conside ades a a iable eal són de classe, C k , en conside a -les com a aplicacions en e els espais uncionals  H2(2,a ) i L 2 (2) conse en les ma eixesp opie a s de de i abili a . Suposem que, pe a o a T en 1'in e al que ens in e essa, enim una solució (u1(b), l(b)) de 1'equaci6 (2) ; de classe C3 en b, com es eu a la segúen igu a, on hem suposa ce es ca ac e ís iques pe i h . Suposem que, pe T <T*, la solució es aciona iahomogénia co esponen (u1(b), 1(b)) és asimp ó icamen es able pe o que, pe T= T*, un alo p opi a(T) (o, el que és el ma eix, a(b)) de L es a 0 ia'(T) és posi i a . Sabem que, en aques es condicions, es bi u ca una no a solució es acio- na ia de (9) que ja no se á, gene almen I homogénia . Aques a ap oximació és posible donada la egula i a de i de h i el e  que, quan b a ia de 0a- , la solució (ul(b), 1(b)) eco e un pe i Bi u cació el a ia b(T) Pe a simpli ica 1'es udi, suposa em cons an s en b les de i ades : u (ul(b), l(b)), á (ul(b), l(b)),h'(ul(b)) . os de la co ba  (u, ) = 0 . (Vegi's la igu a an e io ) . No explici a em, des d'a a, la dependénciad'áques es de i ades que suposa emsemp e a a- luades a(u l , l ), solució de (37) Exigim, d'a a enda an , les següen scondicions : aú < a  '  ú 21 + h- 9 < 0 Enca aque, en aques con ex ,aques es condicions, així com dues més que apa eixe an més a d, semblen o a g a ui es, és d'espe a que les ci - cums áncies ísiques les jus i iquin . Les desigual a s : d l >0 , d 2 >0 , u~0  a <0 impliquen  a -  (a+ b)  +(dl +d 2)u < 0  Vu s a(o) Pe an , el signe de 1'exp essió q(u,b) de inida : q(u,b) =d1 d2u2 + (d2 áu - d l (á ± b))u - (a + b) eu -ah'  a  de e mina á el signe de la pa eal de les solucions de (38) . Conc e amen , a) Si, pe a qualse ol ue a(o), q(u,b) és posi iu, la pa eal de les a els de (38) se á nega i a i la solució  u = u l (b), - l (b) de (36) se á asimp ó icamen es able b) Si exis eix un u e a(o) al que q(u,b) és nega iu, una de les a els de (38) se á posi i a i, pe an , la . solució u  ul (b),  l (b) se á ines able . c) Si exis eix un u s a(o) al que q(u,b)= O, .una de les a els de (38) se á o . Pe an , o se á alo p opi de L i pod á aDa eixe una bi u - cació com les es udiades en el caDi ol an e io . Dibuixem la g á ica de la unci6 b =Y(u) de inida De 1'eauació 9(u .b) =0 : suposan les següen s condicions (39) - d1d2 u 2+(d2 u- d1a)u -a ( u + h' u) d i u + u (d 2 aú  + d1a) 2 + 4ad1d2 5- h' < 0 (40)_  d2( eu  ) 2 +  a d 1 h' a  > 0 No em que (39) ens diu que el disc iminan del nume ado de (P(u) és nega iu, és a di , que la g á ica no alla á 1'eix de les x . La cond+ció (40)  implica que el mí im ela iu de ' (y) s'a any pe a p< O . Reco dem que només ens in e essen els u nega iu o ze o pe qué a(0) C (- .,01 . - `, 4,n o d,j,  - D La zona a llada co espon a les pa elles (}+,b) als que dld2 2 + (d 2  a - dl(a+b)) - (a +b) aú - ah' 2 >0 . Pe an , exis eix un in e al del pa áme e b, que con é 1'in e al (0,y ° ), pe al qual la solució (u1(b), 1(b)) és es able . Quan, pe e ec e d'un augmen de T ins a T*, b augmen a ins a un ce b* = min  b(~) ,~Á Ed(°) n (o,X 1 ~ es p odueix la deses abili zació de (u1(b), 1(b)) pe qué, De aques alo de b exis eix un alo D oDi de L que s'ha e 0 men e els al es es conse - en a dis áncia posi i a de 1'eix imagina ¡ . Aques és un enomen de quan i zació . Deno a emDe u °e  a(o) n [0,x 1 ] el que aci Fem no a a a que si no es complís la condició (39) pod ía Dassa que . Pe a , cap alo de b > 0  es i nqués es abi1i a pe a la sol ució  (u l , 1 ).  si no es complís la condició (40), la unció ` ( ) se ia dec eixen , la qual compo a ía que la deses abili zació es p odui ia pe a o =0  ( eco dem que 0és alo p opi de o) . Pe ó lla o s la solució bi u cada se ia ambé homo- génia pe qué la unció p opia de o co esponen al alo p opiOés una cons- an ( egi's el capi ol II) . No em un al e e in e essan : si el amany de i c eix, els alo s p opis de o, que es conse en a(--,01, endeixen a espessei -se(com es comp o a acilmen si n =1) . Podem conjec u a u(2) ->-_ on els alo s (xo .y o ) són independen s de la o ma de si ( eu e PERELLO) . To nem a 1'análisi de la si uació c í ica en que un dels alo s o o- pis de L s'ha e o . De momen sabem que (u1(b), 1(b)) es o na ines able . Anem a eu e si ens obem en les hipó esis del capí ol an e io i podem demos a e ec i amen 1'apa iciód'una solució bi u cadaa ac o a . Tenim una aplicació  G : R x D -> H de inida 1 b'  (u, ) + dlou G  )  a(h(u)- )  -  b + d2 ¿J 156 G és de classe C3 si i h ho són . La pa linial de G és : b L(b,u, ) = D(u, )G`u I = 11 b(p0) = a + d o  a au 1 a ah' -(a+b)+d2A Hem is ja que si b< b*, 1'espec e de L es á o a 1'esque a de 1'eix imagina ¡ i que si b =b*, un alo p opi de L es a 0 men e els al- es con inuenamb pa eal nega i a . Suposem que a(b) (el alo p opi de L de pa eal més g ossa) és sim- ple . Pe qué sigui així hem de suposa que a(o) es á o ma pe alo s p opis simples (cosa que és ge é ica si s no é sime ies) ; ambé hem de suposa que exis eix un únic uo ea(á) al que min [0,- la [ b ( u )~ p e a(A) l  ~u ) En aques a si uació ind em ambé Rang M(u o )= 1 pe qué au  -  (a + b) + (d 1 + d2)po < 0 Pe an dim Nuc L(b*, u1 (b*), 1(b*)) =1 . Com que a més, segons .el - eo em 3 .5,L és un ope ado del i pus F edholm, di em que 0 = a(b*) és un alo p opi simple de L(b*,u1(b*), 1(b*)) . La unció p ópia co esponen se á To= (a l ~o ,a 2 ~o Non ' o és la unció p ópia de o de alo p opi uo i a l , a2 compleixen la elaci6 Es a di , (a l ,a 2 ) és ec o p opi de alo p opi 0 de M(u0) Podém p end e  1woIL2(n) = 1, 19o1H -1 . 1 Sabem que Rang L(b*, ul(b*), l(b*)) =< Y* > <T* > = Nuc(L(b*,u l (b*), l b* ))) * . Calculem 1'ope ado L*, adjun de L : Com o és au oadjun i d l i d 2 eals : L* = I aú +d l o  ah'  1 a a  - (a+ b) + d2oi Pe an , y* se á de la o ma (a1~ u , aU o ) on (al ,a2) és ec o p opi de alo p opi 0de la ma iu M*(u o ) : a a Pe an : (Z + d1),-o) al + ah'a2 = 0 Comp o em a a (' o , " ó ) H # 0' (Y o ,Y**)  = a2a2  '1 + ( óÚ + d1uo)al + a a 2 = 0 (a + b ) + d2uo ah' a a + d1uo)2~ amb 0 (41) En e ec e : a2 0, a* # 0 i ah' a au a + au on hem u ili za : 0 < És cla que : Pe an : d1uol ah' a <a a aú In es iguen 1'exp essió : V (b*) =  wo1wó  (0 u, ) b G(b*,u l , l ) wo ,wó) Subs i uin el alo de (a  ) 2  a a u au 0 0 ; 0(u, )bG b,u, ) - ~0 -1~ h1 a a a < -h,a aú a - x'(b*)  =  1 *  ((0,-a  ),(a*~  ab  ))  -  a2 a* wo'wo  20 o  1 0  2 o  H  0 ,w0 (wo'w ó )i u ili zan (6) ¡a 2 1'au + dluo) Reco dan el capi ol an e io , aques a condició ens assegu a1'apa i- ció d'una co ba de soluciona que es bi u ca de 1'an iga solució . L'úl ima condició,que ens assegu a la bi u caci6 d'una única solució es able pe a b > b* és : (42)  (O2u, )G(b*,ul(b*), 1(b*)) (wo ,w o ),wó) 0 (43) En el nos ecas D'on la condició (42) es con e eix en : (ala2) 2 D(u, )G(b a2 a2 1 au2 aua a2  a2 a au Aques a quan i a se á, gené icamen , di e en de 0 . Pe an , el'diag ama de bi u cació que ob ind em se á de la o ma : 1 N w al +ah' al 2 a2 Obse em, pe o, que si 9 adme un eix de sime ia i la unció p opia de o, ~, és sena espec e aques eix, ind em  ~= 0, i pe an , la on o condició (43) no es compli á . Lla o s el diag ama se á, gené icamen ,(és a a2 a Du 2 -aua a2 a2 ' u l' l ) a au ah" 0 0 0~ i di , si es compleix la condicW'#0)d'una de les o mes següen s : e bi u cació supe c í ica  bi u caciósubc í ica . BIBLIOGRAFIA 1 . Be ezanskii, J .M . "Expansiona in eigen unc ions o Sel adjoin Ope a o s" A .M .S . 1968 . 2 . Chand asekka ,S . "Hyd odynamic and Hyd omagne icS abili y" (Cla endon P ess, Ox o d, 1961) . 3 . Conley, C .i Smolle , J . "Topological ecniques in Reac ion-Di usion Equa ions" . Pe apa éixe . . Conley,C . i Smolle ,J . "Rema kson he s abili y o s eady-s a e solu- ions o eac ions-di usion equa ions" . Pe apa éixe . 4 . Dieudonné "Founda ions o Mode nAnalysis" . A .P . 1960 . 5 . Fishe , R .A . "The wa e ad ance o ad an ageous genes" Ann . o Eugenics 7, 355-369 (1937) . 6 . F iedman, A . "Pa ial ©i e en ial Equa ions" Hol , Rineha and Wins- on, 1969 . 7 . Gie e ,A . Meinha d ,H . "Biological Pa e n o ma ionin ol ing la e al inhibi ion" Lec u eson Ma he . i n he Li e Sciences, Vol .7 A .M.S .1974 . 8 . Iooss,G . "Cou sde oisieme cycle", 1972-73 . No publica . 9 . Mu ay,J .D . "Lec u es on nonlinea di e en ialequa ionsmodels in biology" Cla endon 1977 . 10 . Nicolis,G . P igogine I . "Sel -O ganiza ion in non-equilib ium sys ems" . Wiley, 1977 . 11 . Pe ellb,C . "Un p oblema pe ala ma emé ics :Com es pe d la uni o mi a d'un medi" . Pub .Ma .U .A .B n°19, 1980 . 12 . P igogine,I . "E olu ion and Consciousness . Addison-Wesley, 1976 . 13 . Sa inge ,D .H . "G oup heo e ic me hods in bi u ca ion heo y" . Sp inge 1979 .