Pub
.
Ma
.
UAB
N°22
No
.
1980
Ac es
VII
JMHL
SOBRELA
UTILIZACION
DE
MODELOS
ESTOCASTICOS
EN
NEUROFISIOLOGIA
C
.
San is eban
Requena
Dp o
.
de Bioes adis ica
Uni e sidad
Au ónoma
de
Mad id
Abs ac
This
is a
way
o
calcula e
he
neu on-associa ed
ans e
ion
in
physiological
p ocesses,
in
which
he
en y
is
an
signal
o
se ieso
andom
signals,
pa icula i yoccu ing
in
a Poissondis ibu ion
.
He ewe
conside ' he
case
o
a
linea
sys emonly
.
I
.-
INTRODUCCION
unc-
andom
La
aplicación
de
la
eo íade
los
p ocesoses ocás icosa
los
sis emasneu onales,
se
basa
undamen almen e
en la
impo an
cía
uncional
de la
ac i idad
de
las
neu onas
.
Usando
las
consi
de aciones
de
F anch
(3)
en el
es udio
de
modelos
pa a
p ocesos
de
exci aciónbiológica,
admi imos
pa a
los
impulsos
el
p inci-
pio
de " odo
o
nada"
.
El
uso
de
señales
alea o ias
con
un
amplioespec o
de
cuenciasp esen a
g andes
en ajas
(Benda
y Pie sol
1966)
.
espec o
de
en ada,
el
espec o
de
salida
y
el
espec o
c uza
do,
se
pueden
ob ene
en o ma
con enien e
usando
de Fou ie ,
. an o
pa a
en adas
sinusoidales
como
de
impulsos
(F ench
y
Holden
1971)
.
Recien emen e
do
a
cabo
es udios
sob e
sis emas
lineales
(S ein,
F enchy
Hol
den,
1972)
y
no
lineales
(P .Z
.
Ma ma elis
y
K-I
Na a
1972)
apli
cando
en
és os
úl imos
la
eo ía
de
iden i icación
de sis emas
no
lineales
median e
la
u ilización
de es ímulos
Gaussianos
" uidoblanco"como
en ada
.
e
El
ans o madas
pa a
enes
se
han
lle a-
El
modelo
que
amos
a
p esen a
se
conside a
den o
de
un
sis ema
lineal,de iempo
in a ian e
y
con
en adasde
Poisson
.
II
.-
DEFINICIONES
Y
NOTACION
1
.
Sis ema
Lineal
:
"Si
un
sis ema
es
lineal,
exis e
una
un
ción
g( ,z)
alque
pa a
cualquie
en ada
x( )
y su
co espon-
dien e
salida
y( )
se
e i ica
:
y
:
19
4
y( )
=
ó
x(z)
g( ,z)
dz
"Si
un
sis emalineal
es de
iempo
in a ian e,
en onces
exis e
una
unción
de
una
única
a iable
g( )
alque
:
y( )
=
b x(z)
g( -z)
dz
"
2
.
En
elación
conlos
sis emas
neu onales,
amos
a
asumi
la
ac i idadneu onal
como
un
en
de
unciones
"impulso-unidad",
ocu iendo
al
aza
.
Las
unciones
"impulsounidad"
son
unciones
del a
de Di ac
2
6( )
d
=
1

F-R
6( -
o
)
= 0
1

6
( -
o
)

d =1

l
,<
o
<
2
( )6( -
o
)
d
=
( 0)
siendo
( )
con inua
en
o
.
Pa a
un
sis emalineal
in a ian e
en
el
iempo,
la
espues
a
impulso
h( ,z)
es la
espues a
de
un
sis ema
lineal
cuya
en-
ada
es
la
unciónimpulso
unidad,
6( -z),
localizada
=z
h( ,z)
=
L'{6( -z)}
3
.
Deno a emos
po
X(w)
e
Y(w)
las
ans o madas
de
Fou ie
de
la
en ada
x( )
y
salida
y( )
pa a
una
ecuenciá
w
en
He z
;
y
po
X(s)
e
Y(s)
a
las
co espondien es
ans o madas
de
Lapla
ce
.
4
.
La
ans o mada
de
Fou ie
de
la
espues aimpulso
H(iw)
la
llama emos
" unciónde
ans e encia"
.
Denominación
que
am-
bién
se
u iliza
pa a
la
ans o mada
de
Laplace
H(s)
.
III
.-
ENTRADAS
DE
POISSON
Conside amos
que
x( ) es un
p oceso
de
Poisson,
o
sea
que
admi imos
quelas
en adas
sonindependien es,que
la
p obabili
dad
de
queuno
y
sólo
un
ing eso
se
p oduzcaen
el
in e alo
( ,
+A )
es A
y
la
p obabilidad
de
que
no llegueseñal
en el
mismo
in e alo
es
1-a
.
Medimos
la
dependencia
del
p oceso
en un
iempodado
1
con
espec oa
los
alo es
del
mismo
p oceso
en
o o
iempo
2
me-
dian e
la
unción
de
au oco elación
:
R
xx
(
1
2
)
= E
{x(
1
)
,x(
2
)}
= II-x1x2 (x1x2)dxldx2
La
dependencia
de
los
p ocesos
x(
1
)
e
y(
2
)
se
ob iene
me
dian e
la
co elación
c uzada
R
xY
(
1
2
)
=
E
{x( 1),Y( 2)}
=
I_dxlhxly2 (x1y2)dy2
Las
unciones
de
densidad
espec al
co espondien es
son
:
S
xx
(w)
=
~Rxx(z)
e-
iwz
d
z
que
es la
unción
de
densidad
de
masa
.
S
xy
(w)
=
mRxy(z)
e-
iwz
d
z
que
es la
unción
de
densidad
espec al
c uzada
.
:°
.
Las
ans o madas
de
Fou ie
de
las
uncionesde
co elación
nos
pe mi en
elaciona
el
dominio
del
iempo
con
el
dominio
de
la
ecuencia
w
.
La
espues a
de
sis emas
lineales
a
en adasal
aza ,
en-
d á
dada
po
la
in eg al
de
con olucibn
.
El
dominio
del
iempo
de salida
y( )
y
el de
en ada
x( )
es án
elacionados
po
la
espues a
impulso
h( )
.
Si se
oma
la
ans o mada
de
Fou ie
de
la
au oco elación
y
de
la
co elación
c uzada
:
S
yy
(w)
_
JH
(w)I2
Sxx(w)
S
xy
(w)

=

H

(w)

S
xx
(w)
La
unción
espec al
de
masasólocon iene
la
ganancia
IH
MI
de la
unción
de
ans e encia,
mien as
que
la unción
espec al
c uzada,
que
es
una
magni ud
compleja,
con iene an o
la
ganancia
como
el
componen e
de
ase
.
Podemos
ob ene
así
la
19
5
unción
de
ans e encia
o
espues a
:
H
(w)
_
Sxy
(w)
Pa a
un
p oceso
de
Poisson
com
media
a
y
suponiendo
que
el
núme o
de
impulsos
sea
el
eque ido
pa a
aspasa
el
umb al
y
gene a
un
impulso
de salida
;
la
densidadespec al
de
en ada
es
:
La
unción
de
densidad
de
p obabilidad
( )
de
in e alos
en eimpulsosde
salida,
segui á
una
unción
gamma
de
o den
.
(Cox
and
Mille
1965)
dada
po
:
( )
=
a
-1
e-a /( -1)!
con
media
u
=

y

a ían
za

c2
=
_
X2
y
la
ans o mada
de
Laplace
:
x
F(s)
=
El
espec o
del
en
de
impulsos
de
salida
S
yy
(w)
sé
puede
calcula
di ec amen e
a pa i
de la
ans o mada
de
Laplace
de
la
inc
ún
de
densidad
de
p obabilidad,
si
comosucede
en
és e
caso,
los
in e alos
en e
los
sucesos
son
independien es
(son
los
p ocesos
de
eno ación,
de
los
que
el de
Poisson
es
un
ejem_
plo
ipico)
.
El
espec o
c uzado
se
ob iene
ácilmen e
median e
la
exp _e
sibn
de
HM
:
IV
.-
DISCUSION
Cuándocada
impulsoo
ende
impulsos
de en ada,
p oduce
un
impulso
en
la
salida
a
a és
de
las
células
ne iosas,
si
se
conside a
el
sis emalinealy
las
en adas
se
e i ican
según
p ocesoses ocás icos
ipo
Poisson,
las
salidas
son
pe ec amen
e
cohe en es
con
la
ley
de
en ada
.
(a+s)
S
xy
(w)
=
H(w)S
xx
(w)
=
1

a
=
a

2
.7

2
T
V
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