Sobre la utilización de modelos estocásticos en neurofisiología

Pub . Ma . UAB N°22 No . 1980 Ac es VII JMHL SOBRELA UTILIZACION DE MODELOS ESTOCASTICOS EN NEUROFISIOLOGIA C . San is eban Requena Dp o . de Bioes adis ica Uni e sidad Au ónoma de Mad id Abs ac This is a way o calcula e he neu on-associa ed ans e ion in physiological p ocesses, in which he en y is an signal o se ieso andom signals, pa icula i yoccu ing in a Poissondis ibu ion . He ewe conside ' he case o a linea sys emonly . I .- INTRODUCCION unc- andom La aplicación de la eo íade los p ocesoses ocás icosa los sis emasneu onales, se basa undamen almen e en la impo an cía uncional de la ac i idad de las neu onas . Usando las consi de aciones de F anch (3) en el es udio de modelos pa a p ocesos de exci aciónbiológica, admi imos pa a los impulsos el p inci- pio de " odo o nada" . El uso de señales alea o ias con un amplioespec o de cuenciasp esen a g andes en ajas (Benda y Pie sol 1966) . espec o de en ada, el espec o de salida y el espec o c uza do, se pueden ob ene en o ma con enien e usando de Fou ie , . an o pa a en adas sinusoidales como de impulsos (F ench y Holden 1971) . Recien emen e do a cabo es udios sob e sis emas lineales (S ein, F enchy Hol den, 1972) y no lineales (P .Z . Ma ma elis y K-I Na a 1972) apli cando en és os úl imos la eo ía de iden i icación de sis emas no lineales median e la u ilización de es ímulos Gaussianos " uidoblanco"como en ada . e El ans o madas pa a enes se han lle a- El modelo que amos a p esen a se conside a den o de un sis ema lineal,de iempo in a ian e y con en adasde Poisson . II .- DEFINICIONES Y NOTACION 1 . Sis ema Lineal : "Si un sis ema es lineal, exis e una un ción g( ,z) alque pa a cualquie en ada x( ) y su co espon- dien e salida y( ) se e i ica : y : 19 4 y( ) = ó x(z) g( ,z) dz "Si un sis emalineal es de iempo in a ian e, en onces exis e una unción de una única a iable g( ) alque : y( ) = b x(z) g( -z) dz " 2 . En elación conlos sis emas neu onales, amos a asumi la ac i idadneu onal como un en de unciones "impulso-unidad", ocu iendo al aza . Las unciones "impulsounidad" son unciones del a de Di ac 2 6( ) d = 1  F-R 6( - o ) = 0 1  6 ( - o )  d =1  l ,< o < 2 ( )6( - o ) d = ( 0) siendo ( ) con inua en o . Pa a un sis emalineal in a ian e en el iempo, la espues a impulso h( ,z) es la espues a de un sis ema lineal cuya en- ada es la unciónimpulso unidad, 6( -z), localizada =z h( ,z) = L'{6( -z)} 3 . Deno a emos po X(w) e Y(w) las ans o madas de Fou ie de la en ada x( ) y salida y( ) pa a una ecuenciá w en He z ; y po X(s) e Y(s) a las co espondien es ans o madas de Lapla ce . 4 . La ans o mada de Fou ie de la espues aimpulso H(iw) la llama emos " unciónde ans e encia" . Denominación que am- bién se u iliza pa a la ans o mada de Laplace H(s) . III .- ENTRADAS DE POISSON Conside amos que x( ) es un p oceso de Poisson, o sea que admi imos quelas en adas sonindependien es,que la p obabili dad de queuno y sólo un ing eso se p oduzcaen el in e alo ( , +A ) es A y la p obabilidad de que no llegueseñal en el mismo in e alo es 1-a . Medimos la dependencia del p oceso en un iempodado 1 con espec oa los alo es del mismo p oceso en o o iempo 2 me- dian e la unción de au oco elación : R xx ( 1 2 ) = E {x( 1 ) ,x( 2 )} = II-x1x2 (x1x2)dxldx2 La dependencia de los p ocesos x( 1 ) e y( 2 ) se ob iene me dian e la co elación c uzada R xY ( 1 2 ) = E {x( 1),Y( 2)} = I_dxlhxly2 (x1y2)dy2 Las unciones de densidad espec al co espondien es son : S xx (w) = ~Rxx(z) e- iwz d z que es la unción de densidad de masa . S xy (w) = mRxy(z) e- iwz d z que es la unción de densidad espec al c uzada . :° . Las ans o madas de Fou ie de las uncionesde co elación nos pe mi en elaciona el dominio del iempo con el dominio de la ecuencia w . La espues a de sis emas lineales a en adasal aza , en- d á dada po la in eg al de con olucibn . El dominio del iempo de salida y( ) y el de en ada x( ) es án elacionados po la espues a impulso h( ) . Si se oma la ans o mada de Fou ie de la au oco elación y de la co elación c uzada : S yy (w) _ JH (w)I2 Sxx(w) S xy (w)  =  H  (w)  S xx (w) La unción espec al de masasólocon iene la ganancia IH MI de la unción de ans e encia, mien as que la unción espec al c uzada, que es una magni ud compleja, con iene an o la ganancia como el componen e de ase . Podemos ob ene así la 19 5 unción de ans e encia o espues a : H (w) _ Sxy (w) Pa a un p oceso de Poisson com media a y suponiendo que el núme o de impulsos sea el eque ido pa a aspasa el umb al y gene a un impulso de salida ; la densidadespec al de en ada es : La unción de densidad de p obabilidad ( ) de in e alos en eimpulsosde salida, segui á una unción gamma de o den . (Cox and Mille 1965) dada po : ( ) = a -1 e-a /( -1)! con media u =  y  a ían za  c2 = _ X2 y la ans o mada de Laplace : x F(s) = El espec o del en de impulsos de salida S yy (w) sé puede calcula di ec amen e a pa i de la ans o mada de Laplace de la inc ún de densidad de p obabilidad, si comosucede en és e caso, los in e alos en e los sucesos son independien es (son los p ocesos de eno ación, de los que el de Poisson es un ejem_ plo ipico) . El espec o c uzado se ob iene ácilmen e median e la exp _e sibn de HM : IV .- DISCUSION Cuándocada impulsoo ende impulsos de en ada, p oduce un impulso en la salida a a és de las células ne iosas, si se conside a el sis emalinealy las en adas se e i ican según p ocesoses ocás icos ipo Poisson, las salidas son pe ec amen e cohe en es con la ley de en ada . (a+s) S xy (w) = H(w)S xx (w) = 1  a = a  2 .7  2 T V .- BIBLIOGRAFIA 1.- BENDAT,J .S . y A .G . PIERSOL (1966) "Measu emen and Analysis o Random Da a" J . i4iley . New Yo k . 2 .- COX,D .R . y A .D . MILLER (1965) "The Theo y o S ochas ic P ocesses" Me huen and Co . L d . London . 3 .- FRANCK,V .F . (1956) "Models o Biological Exci a ion : 'P oce sses" P og ess in Biophys and Biophys Chem . 6, 171-206 . 4 .- FRENCH,A .S . y A .V .HOLDEN (1971) Kybe ne ik 8 :165 . 5 .- KNOX,C .K . (1974) "C oss-co ela ion unc ions o a neu o- nal model" Biophysical Jou nal . Vol : 14 . 6 .- MARMARELIS,P .Z . y K-I NARA (1972) "ó9hi e-Noise Analysis o aNeu on Chain : An Applica ion o he wiene Theo y" Scien ce . Vol : 175 . 7 .- SANCHEZ,S . (1979) "Fac o es que in luencian la con acción dinámica del músculo" Tesis Doc o al . Uni e sidad Complu- ense . P4ad id . 8 .- STEIN,R .B ; A .S . FRENCHy A .V . HOLDEN (1972) "The F eqúency esponse cohe ence, and In o ma ion capaci y o wo Neu onal Models" Biophysical You nal . Vol : 12 .