Pub
.
Ma
.
UAB
N' 21
Oc
.
1980
Ac es
VII
JMHL
EL
SEMIGRUP
CARACTERÍSTIC
D'UN
ESPAI
QUOCIENT
SEPARAT
JoanTa és
i
.F eixene
Dp o
.
d
e
Geome íay
Topología
Uni e sidad
Complu ense
de
Mad id
ABSTRACT
Acco ding
he
de ini ion
o
he
cha ac e is ic
semig oup
o
a
Hausdo
opological
space
gi en
by
S
.
B
.
O'Reilly,we cal-
cule
he
cha ac e is icsemig oup
o
a Hausdo
auo ien space
X/R- o
di e en classes
o
eaui alence
ela ions
on
X
.
1
======_--_--======-_-_
A
(2)
hom
de ineix
el
semig up
ca ac e is ic
d'unespai

_
opológic
de
Hausdo
X
com
el
conjun
S(X)
¢
{A
c
:X
x X
;
A
és
anca
a
X x X
i
(A)
compac e
a
X }
on
(A)
=
ly
E
X
;
exis eix
xE
X
,
(x,y)
E
Al
espec e
.d
e
la composició
de
elacions
.
Igualmen ,
a
(2)
es
p o a
aue
'dos
espais
opologics
T
2
són
homeomó es
si
i
només
si
els
seus
-
semig ups
ca ac e is ics
són
isomo es
.
En
aaues
eball
hom
calculael semig up
ca ac e is ic
d'unespai opologic
auo ien sepa a
X/R
espec e
de
di e en s
ipus
de
elacionsd'eaui alencia
sob e1'espai
.de
Hausdo X
i
la
se a
elació
amb
el
semig up
ca ac e is ic
de
1'espaiX
.
Tenim
com
a
p im
esul a
:
LEMA
1
.-
To a
aplicació
p opia
i
exhaus i a
:
X
--~-
Y
en e
dos
espais
opologics
sepa a sindueix
un
epimo isme
en e
els
semig ups
ca ac e is ics
S(X)
i
S(Y)
de mane a
aue
si
A
E
S
(X)

és

(p
(A)

=

{ (
(x), (y)1
;(x,y)
E

AJ
Si
R
és
una
elaciód'eaui alencia
sob e1'espaide
Haus-
do
X
de
mane a
aue
1'aplicacio
canonica
:
X
-
X/R
és
una
aplicacio
p opia
enim,doncs,
1'epimo isme
(p
:
S(X)
--ma
S(X/R)
d'aco d
amb
el
lema
1
.
Conside em
a a
a
S(X)
la
elació
d'eaui alencia
A

B
si
és sa RxR(A)
=
sa RxR(B)
i
sigui
T(X)
=
s(X)/N

el
co esponen
conjun quocien
.
A a,
la
composició
de
elacions
a
S(X)
és
com-
pa ible
amb
la
elació
i
pe
an
podem
conside a
el
semi-
g up
(T(X),
.)
de
mane a
aue
1'aplicació
na u al
p
:
S(X)
---=D
T(X)
és
un
epimo isme
de
semig ups
.
TEOREMA
1
.-
Si R
és
una
elaciód'eaui alenciaa 1'espai
de
Hausdo
X
al
aue
:
X
-~
X/R
és
una
aplicació
p opia,
,
els
semig ups
T(X)
i
S(X/R)
són
isomo es
.
Si
X
és compac e
i
X/R
és
T
2
alesho es
:
X
-

X/R
és
p opia
i
ademés
R
E
S(X)
i
si és
L
R
(X)
_ {
R
.A .R
;
A E
S(X)
s'acompleix
:
TEOREMA
2 .-
Si
X
és
compac e
i
R
una
elació
d'eaui alen-
cia
a
X
alaueX/R
és
T
2
,
els
semig ups
L
R
(X)
i
S(X/R)
són
iso-
mo es
.
En el
cas
en
aue
R
és
una
elaciód'eaui alencia
a bi a-
ia
a X
i
1'espai
X/R
és
T
2
hom
de ineix
:
i
enim
:
K(X)
_

AC
XxX
;
A
sa u a
pe
RxR,
(
x
)(A)
anca
a
X/R
x
X/R
i
( (A))
compac ea
X/R}
i
podem eu e
aue
(K(X),
.)
és
un semig up
.
TEOREMA
3
.-
L'aplicació
(p
:
K(X)
--y
S(X/R)
donada
com
a

q(A)
=

{
(
(x)
,

i
(y))

;
(x,y)
e
A
l

és un
isomo isme
de
semig ups
.
Si
R és
una
elació
obé a,
de inim
:
K
(X)
_ {
A
c
X x X
;
A
anca
a X x X
i
sa u a
pe
RxR
amb
( (A))
compac e
a
X/R
TEOREMA
4 .-
Si
R
is
obe a,
hi
ha un
isomo isme
en e
els
semig ups
K
(X)
i
S(X/R)
.
.
REFERENCIES
(1)
.
GARCIAMARRERO,
M
.
i
al es
.
TOPOLOGIA
.
Ed
.
Alhamb a
.
Mad i
d
(2)
.
O'REILLY,
B
.
THE
CHARACTRISTICSEMIGROUP
OF'
A
TOPOLOGICAL
SPACE
.
Gene al
Topology
andi s
applica ions
.
5(1975)
95-106
.