El semigrup característic d'un espai quocient separat

Pub . Ma . UAB N' 21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL EL SEMIGRUP CARACTERÍSTIC D'UN ESPAI QUOCIENT SEPARAT JoanTa és i .F eixene Dp o . d e Geome íay Topología Uni e sidad Complu ense de Mad id ABSTRACT Acco ding he de ini ion o he cha ac e is ic semig oup o a Hausdo opological space gi en by S . B . O'Reilly,we cal- cule he cha ac e is icsemig oup o a Hausdo auo ien space X/R- o di e en classes o eaui alence ela ions on X . 1 ======_--_--======-_-_ A (2) hom de ineix el semig up ca ac e is ic d'unespai  _ opológic de Hausdo X com el conjun S(X) ¢ {A c :X x X ; A és anca a X x X i (A) compac e a X } on (A) = ly E X ; exis eix xE X , (x,y) E Al espec e .d e la composició de elacions . Igualmen , a (2) es p o a aue 'dos espais opologics T 2 són homeomó es si i només si els seus - semig ups ca ac e is ics són isomo es . En aaues eball hom calculael semig up ca ac e is ic d'unespai opologic auo ien sepa a X/R espec e de di e en s ipus de elacionsd'eaui alencia sob e1'espai .de Hausdo X i la se a elació amb el semig up ca ac e is ic de 1'espaiX . Tenim com a p im esul a : LEMA 1 .- To a aplicació p opia i exhaus i a : X --~- Y en e dos espais opologics sepa a sindueix un epimo isme en e els semig ups ca ac e is ics S(X) i S(Y) de mane a aue si A E S (X)  és  (p (A)  =  { ( (x), (y)1 ;(x,y) E  AJ Si R és una elaciód'eaui alencia sob e1'espaide Haus- do X de mane a aue 1'aplicacio canonica : X - X/R és una aplicacio p opia enim,doncs, 1'epimo isme (p : S(X) --ma S(X/R) d'aco d amb el lema 1 . Conside em a a a S(X) la elació d'eaui alencia A  B si és sa RxR(A) = sa RxR(B) i sigui T(X) = s(X)/N  el co esponen conjun quocien . A a, la composició de elacions a S(X) és com- pa ible amb la elació i pe an podem conside a el semi- g up (T(X), .) de mane a aue 1'aplicació na u al p : S(X) ---=D T(X) és un epimo isme de semig ups . TEOREMA 1 .- Si R és una elaciód'eaui alenciaa 1'espai de Hausdo X al aue : X -~ X/R és una aplicació p opia, , els semig ups T(X) i S(X/R) són isomo es . Si X és compac e i X/R és T 2 alesho es : X -  X/R és p opia i ademés R E S(X) i si és L R (X) _ { R .A .R ; A E S(X) s'acompleix : TEOREMA 2 .- Si X és compac e i R una elació d'eaui alen- cia a X alaueX/R és T 2 , els semig ups L R (X) i S(X/R) són iso- mo es . En el cas en aue R és una elaciód'eaui alencia a bi a- ia a X i 1'espai X/R és T 2 hom de ineix : i enim : K(X) _  AC XxX ; A sa u a pe RxR, ( x )(A) anca a X/R x X/R i ( (A)) compac ea X/R} i podem eu e aue (K(X), .) és un semig up . TEOREMA 3 .- L'aplicació (p : K(X) --y S(X/R) donada com a  q(A) =  { ( (x) ,  i (y))  ; (x,y) e A l  és un isomo isme de semig ups . Si R és una elació obé a, de inim : K (X) _ { A c X x X ; A anca a X x X i sa u a pe RxR amb ( (A)) compac e a X/R TEOREMA 4 .- Si R is obe a, hi ha un isomo isme en e els semig ups K (X) i S(X/R) . . REFERENCIES (1) . GARCIAMARRERO, M . i al es . TOPOLOGIA . Ed . Alhamb a . Mad i d (2) . O'REILLY, B . THE CHARACTRISTICSEMIGROUP OF' A TOPOLOGICAL SPACE . Gene al Topology andi s applica ions . 5(1975) 95-106 .