Pub
.
Ma
.
UAB
Nó 19
Maig
1980
Ac as
II
Cong eso
de
EcuacionesDi e enciales
y
Aplicaciones-
Valldo eix,
Mayo
1979
.
RFSULTADOS
Y
METODOS
SOBRE
LA
PROPIEDAD
DE
EXTINCION
EN
TIEMPO
FINITO
PARA
ECUACIONES
DE
EVOLUCION
.
§1
.
In oducción
.
Po J
.
Ilde onso
Díaz Díaz
Dp o
.
(le
I
,
:(iui,_iones
Funcionales
Uni e sid-1 Complu ense
de Mad id
.
Dado el p oblema de
e olución
P-~Ecuación
di e encial
de e olución
(sob e
X
esp_a
cio
de
Banach
y
6
(0,<°))
+
Condiciones
iníciales,
di emos
que
se
sa is ace
la p opiedad de
ex inción
en
iempo ini o
si
la
solución
u de
P
es
al que exis e T
o
<
+
w
al que
u( )=0
(en
X)
pa a
odo
>
To
.
Es
na u al
que
el
lec o descon ie de
la
apa ición
de
es a
p opiedad
pa a una clase "amplia" de
p oblemas,
pues
exis en
e
sul ados ajan es
(y
bien
conocidos) que impiden
que
se
p oduzca
la
ex inción
en
iempo ini o
.
Reco demos,
esquemá icamen e,
algunos
de
es os
c i e ios
nega i os
:
*
Conse ación
de alguna "ene gía"
.
(p
.e
.
Ilu( )
II
P=
L
=
¡¡u(u)
11
p
) .
L
93
En on
c
es,
si
se
supone
94
-
Caso de
las
ecuaciones
de
Sch odinge
y de
Klein-Go don
.
-
Caso
de
las
ecuaciones
hipe bólicas
linealessi
mé icas
.
(5u
ob iene
a
pa i del
Teo ema
de
S one
de
gene ación
de g upos uni a ios)
.
*
P incipio
ue e
del
mínimo
de
Ni enbe g
.
-
Caso de
ecuaciones
lineales
uni o memen e
pa a-
bólicas
.
(Aplíquese
a
da os
>
0)
.
*
P opiedad
de
" o wa d
and
backwa d
unique
conLi -
.i
-
Caso de
ecuacioneslinealesgobe nadas
po
semi-g upo
analí ico
.
(Véanse
los
abajos
Yosida,
Mizoha a,
e c
.
.
.)
Ejemplo
l .

(Díaz

[12])
.

Dado

2

abie o
egula
aco ado
de

1K
N
,
consi
de emos
el
p oblema
un
de
Sin
emba go,
hu gandoen e
.
los
p oblemas
lineales
,
es
posible
encon a
algunos
casos
conc e os
donde
apa ece
la
ex inción
en
.
.
:
au
( ,x)-a( )Au( ,x)
=0
>
0,
x 6
S2
e
u( ,x)
= 0

>
0,
x 6
DS2
u(O,x)
=
uo(x)

x 6
2
.
T-
To > 0
al
que
í
a(s)ds
=
+°°
0
Auo
+
uo
=
0
en
2
y
uo = 0 en
852,
la
unción
es
sulución
del
an e ío p oblema
.
#
exp(-
1
.
a(s)ds)
"
uo(x)

si

0 <
< To
0
si

> Tp
Ejemplo
2
.

(Majda

[21])
.

Dado

2

abie o egula
d
e

IR
N
,

el
p oble
ma
u
-
Au
+
c(x)
"
u
=
0

>
0,
x
e
12
au
au
+
y(x)11
+c7(x)u
= 0
>
0,
x
e
ase
u(O,x)
=
uo(x)

x
e
S2
u
(O,x)
=
uc(x)

x
e
S2
(supues os
c,
a
Y
y
Eunciones
?
0 y
c
con
sopo
e
compac o)
posee

ex inción

en


y
(x)

>

1

c
.
p
.

xe

ase

li
La
si uación
es
di e en e
cuando
el
p oblema
P es no
lineal
.
Como
expond emos
a
con inuación,
exis e
una
"amplia"clase
de
es os
p oblemas
pa a
los
que
iene
la
ci ada
p opiedad
.
Algunos
de
ellos
ienen
una
impo an e
ele ancia ísica
( éase más
a de
el
p oblema
(4)
que
apa ece
con
la
"di usión
de
una
pa ícula
a
a és
de un
campo
magné ico
en un
plasma
o oidalmul ípolo"
.
En
lo
que
sigue
de
exposición,
se
lia á
más
hincapié
en
los
mé odos
exis en es
pa a
ob ene
la
p opiedad
que
en
los
esul a-
dos
.
(Un
en oque
di e en e
puedeencon a se
en
Díaz
[12])
.
En
con
c e o,
el
plan
se á
el
siguien e
:
§2
.
Mé odos
de
compa ación
:
9
5
2
.1
.
Vía
desigualdades
de
Sobole
.
2
.2
.
Vía
cons ucción
de
supe
y
subsuiaciones
"ad
hoc"
.
§3
.
Mé odos
abs ac os
.
§4
.
Obse aciones
inales
.
En
esencia,
§2 se
e ie e
a
di e sasecuaciones
pa a-
bólicas
no
lineales
de
2=
o den
y
§3
a
i
ecuaciones a íacionales
pa
abólicas
o muladas
en
é minosde
ope ado es
ac e i os
.
A
in
de
una
exposición
más luida
apenas
se
lia á
alusión
a
la
exis encia
y
unicidad
de
la
solución,
lo
que
se
supond á
(y
de
hecho
se
iene)
so
b e
espacios uncionales
adecuados
.
El
lec o
"o odoxo"
puede
encon
a esos
de alles
en
Díaz
[121
y/o
la
bibliog a ía
de
dicho
abajo
.
§2
.
Mé odos
de
compa ación
.
Como ya
se ha
dicho,
ales
mé odos
u ilizan
de
o ma
esencia?_
el
hecho
de
que las
ecuaciones
en
de i adaspa ciales
de
P
sean
de
ipo
pa abólico
y
además
de
segundo
o den
.
Es o
pe mi e
que
se
engan
p opiedades
del
es ilo"p incipio
del
máximo
y
compa ación
de
soluciones",al
igual
que
el
.
caso
de la
ecuación
lineal del
calo
.
La
di e en e
u ilización
de
es as
p opiedades
conduce
a la
subcl
.a
s
.i ica-
ción
siguien e
:
96
2 .1
.
'ia
desigualdades
de
Sobole
.
Conside emos,
po
ejemplo,
el
.
p oblema
u

-

Au
,
=

0

en

(p
,
w)

x
'R
N
u(O,x)

=

uo(x)

en

IR
N
,

(u
.,

-
0)
1
a
Siguiendo
a Benilan
y
C andall
141,
mul
. ipl
.iqu,,mos
po

u
en la
ecuación
e
in eg emos
sob e

El
N
.

T as
u iliza
la
ó mula
de
C een
se end á
( o mal
.men e)
clue
T as
cálculos,
es
ácil
e que
d
jN
_

ua+1
+
a+1

N
pu
m
0"a
=
0
ll

11
,
lliN
Du
m
Du
a=
(m+a)2
U ilizando
aho a
la
desigualdad
de
Sobole

(H
2
m
N
)
C
L
z*(1R
N
) .
2*
= 2N
N-2
)
e
.Cl,
se
ob iene
en onces
N1Vq,12)'/_
_
`"(1
N1
~
2
1)1/2
*
~i

ll~
(

(m+«)
2
IRN
Du
m
Vil
CL >
C
(
J~
N
u

2
)
2/2*
(po
comodidad
las
cons an es
se
ep esen an
uni o memen e
po
C)
.
Tomandoa
de
o ma
que
(m+a)2*/2
=
:
.~ l
(e.d
.
.
a,
=
(2
-
m2)
)
y
2*-2
exigiendo
quesea
posi i a
(e
.d
.
0 < m
<
NN2
),
se
ob iene
inal-
men e
que
d
(J
N
'a+1)
+
c(J
N
u
a+1
)
2/2*
<
0
IR

ll
Aho a
bien,
oda
unción
e i icando
la
desigualdad
'
+
C
y
<
0

(
:
[0,-)
-
[0,°°)
.
c
> 0,
0 < Y
<
1 )
iene
la
p opiedad
de
que
9
Ta
>
0

alque

( )
=
0

pa a

>
To,
pues
bas a
compa a
con
la
unción
N
1 u
>K
9
7

En
e ec o,
es
cla o
que
g
sa is ace
y
como
que
g(0)
>
(0) y
en onces
se
ob end ía
que
0 < ( ) <
g( )
.
Los
a gumen osan e io es
pueden
jus i ica se
igu osa
men e
ob eniéndose
:
Teo ema
1
.
(Benilan-C andall
[41)
.
uu e
_I
g(0)
=
a
To l-Y
,
Sean
N
>
3,
0 <
m
<
NN2
,
a
=
a+1
N

N
L

(Q
)
l
L
(IR
)
.
En
once
.
"
: .
.1
.
p oblema
posee
una
única
solución
po
-
ini o
.
u(0,x)
=
uo(x)

en
En
el
an e io
abajo
se
mues a
que
si
L
1 ,
po
lo
que
no
puede habe
ex-
e á
en
2
.2
que
sí
se
es udia
la
2
aco ado
de
0y
con
condicio-
se
iene
conse ación
de
la
no ma
inción
en
.
.
Sin
emba go,
se
ecuación
de
(1)
sob e
un
abie o
9
8
_1

_1
- )
1-Y

si

<
To,

a
=
((1-Y)C)1-Y
g,
+Cg=0
bas a oma
To
su icien emen e
g ande pa a
2-
m
2~
2*-2
Y
u
-A(Iulm
-sign
u) = 0

en

(0,°°)
xJ
IR N
uG
C([0,-)
:
L
1
(12)),
ex ingui
"
ndose
en
iem
N-2
N
<
m
<
1
nes de
Di iclile ,
la
ex inción
apa ece
cuando
0
<
m <
1,
(
1
)
El
mé odo
an e io
ha
sido ambién
aplicado
a
o as
ecuaciones
no lineales
.
Así
.
po
ejemplo
Bambe ge
[1]
ha
mos ado
la
p opiedad
en
cues ión pa a
la
ecuación
donde
pu
=

a

au
¿

ax
.(I
ax
.
i=1
i
i
u -
A
u
=
0
en (0
,
'."
)
i
C
1
2
es un
abie o aco ado
y
Ñ+Z
<p<2
.
El
caso

Si
=IR
N

ha
sido
a ado
po
He e o-Vázquez
[19]
mos ando
que
dp
>1
se
conse a una
cie -
a
no ma
.
2
.2
.
Vía
cons ucción
de supe y
s
u
bsolucio
n
es
"ad hoc"
.
En
esencia,
se
a a de
cons ui
supe y
subsoluciones
uyu
ex inguiéndose
en
.
.
Así, los
" eo emas
de
compa ación"
asegu an
que
u( ,
")
<
u( ,
")
< u(
;")
pa a
odo
E
[0,°°)
(supues a
u
solución
del
p oblema
en
conside ación)
y
de aquí
la
con
clusión
.
Tales
esul ados
de
compa ación
son
ca ac e ís icos
de las
ecuaciones
de
22
o den,
y en los
p oblemas
no lineales
la
di icul ad
mayo
pa a
su
ob ención
eside en la poca
egula idad
de
la
solución
(Pa a
un
esul ado
ipo
éase
p
.e
.,
G
.
Díaz-I
.
Díaz
[9])
.
i
( )
Es o
ambién
puede
ob ene se median e
una
u ilización
de
la
des¡
gualdad
de
Sobole
di e en e
a
la
aquí
indicada
.
(Be iman-Holland
[5])
.
99
ma
y
icien emen e
g ande pa a
que
A
modo
de ilus ación,
cons uyamos
u
pa a el p oble
i

-

A(

i

"
sign

u)

=

0

en

(0,
°°
)

x

2
(2)

u =
0

en
(0,°°)
x
92
u(O,x)
=
uo(x)

en

2
cuando
se
supone
:
9
aco ad
o,
0
<
m
<
1
y
uo 6 L
(S2)
.
Sin pé di-
da de
gene alidad
podemos'supone
además
que
uo
>
0
.
Sea
g(x)
al
que
a>0
al que
g
+
XAg
=
0
en 2
3
0
> 0

Cal que

0 <
0

<
g(x)
<
1

en

1
( al
unción
puede
ob ene se
en e
los
alo es
p opios
de
A
pa a
el
p oblema
de
Di ichle
sob e
S2,
S2

1)
S2)
.

Conside emos

o
> 0

su-
0
-
01/m
>
11uo
HLw
sea
en onces
( ) la
solución
de
la ec
.
o dina ia
'( )+1
( )
m
=0
con
(0)=
o
(g acias
a
que
O<m<1
se
To < -)
.
Conside emos
inalmen e
u( ,x)
=
( )
"
(g(x))
1/m
.
Se
iene
que
a)
u( ,x)
= 0
pa a
> To
b)
u(O,x)
>
o
0
1/m
> H
uo
II
Loo >
-'O(x)
en
c)
u( ,x)
> 0 en
(0,°')
x
2
sabe
que
se
ex ingue
a
pa i
d
.
.
un
d)

u
-
Au
m= '
( )g(x)
1/m
- ( )mág(x)
>
'( )g(x)
+
+
( )m

g
X
(x)
=
g(x)( '( )
+

(~)m
)
°0
en
(0,`°)
x
S2
po
lo
que
u es
e ec i amen e
una
supe solucíónadecuada
a
nues o
in
.
10
0
Los
azonamien osan e io es
pueden
se
ácilmen e
ex
endidos
a la
ecuación
más
gene al
(3)

u
-
A(i(u)
=
0
en
(0,-)
i
.'
.1
cuando
se
supone
(
:
:
&
-IR
con inua,
M(0)=O
;¡5'
-
0,
(
."
'0 y al
que
m
supues o
uo 6
L
(S2)
(E ans
[16])
.
El
siguien e esul adop escinde
de oda
hipó esis
de
de i abilidadsob e
0,
es
álido
pa a
da os
uo
no
necesa iamen e
aco ados
y
además
es ablece
la
necesidad
de
(4)
:
Teo ema
2
.
(C
.
Díaz
-
I .
Díaz
.[9])
.
Sea
S2
aco a
d e
uo (p
.c
.)
al que
uo
E
L'
l
(12),
con
p
>
max
{
N+2
,
N/2}
.

Sea
B
:
IR
-IR
(p
.e
.),
con inua
no
do.c ecien
e
al que
R(0)
=
0
y
.sea
ue
C([0,-)
:
L
1
(S2))
la
solución
de
u
-
AB(u)
= 0
>
0,
x 8
52
(5)

R(u)
=
0

>
0,
x e
asi
u(O,x)
=
uo(x)

x e
2
En onces
la
condiciónnecesa ia
y
su icien e
pa a
que
use
ex inga
en
.
.,
es
q
ue
S
sa is aga
(4)
.
11
La
demos ación
del
Teo ema
2
se
basa
en el
es ablecí-
mien o
inicial
de la
misma conclusión
pa a
las
soluciones
del
p oble-
ma
§4
.
Obse acion
es
inales
.
4
.1
.
Los
an e io es
mc nl~~s
hc miL~ii
cl
"h i ola~,, '~
de
nue os
esul ados
al
aplica los
a
p oblemas
di e en es
.
llus a emos
ami és-
os
*
él
es udio
¡le
una
nue a
cond¡c¡Cín
de
con o no
Y
(le
.
o a
ecuación
no lineal
:
4 .1
.1
.
Dado
y
g a o maximale monó ono
de
1R
2
con
06
y(0),
m
> 0 y
2
abie o
egula aco ado
de
EN,
consíde
emos
el
p oblema
(13)
108
u
-
o(l
u
m
l

"

siga
u) = 0

en

(0,°°)

x 2
-
a(Jul
m
sign
u)~
(u)

en
(0,°°)
X
a2
an
l
u(O,x)
=
uo(x)

en

2
La
exis encia
de
9uiui
:
ones (in eg ales)
en
i'(¿)
se
iene
g acias
a
un
esul ado
de
Benilan
[2}
y
a iosc i e ios
de
compa ación
se
pueden
encon a
en
1
.
Díaz
[101
.
A
in
de
es udia
la
ex inción
en
.
.
obse emos
q-e
si
suponemos
uo
> 0
y
y
uní oco
(po
simplicidad),
se
iene" o -
malmen e"
que
_d
I
u=

du
=

Au
m
=I

au
m
d
S2

d

aS
~n
po
lo
que
si
-y-I(O)
es un
ce ado
que
no
se
educe
al
{O},
es
posibleob ene
soluciones
que conse an
su

11

11,1
en
el
iempo
.
Más
conc e amen e
se
iene
que
si K
6IR
+
es
al que
y(K)
=0
en on-
ces
la
unción
u( ,
")
=
K
es
la soluciónde
(13)
co espondien e
a
uo(x)
=
K
y
es á
cla o
que
u
no
se
ex ingue
.

El
siguien e esul ado
mues a
la
ex inción bajo
una
hí
pó esis
más
ue e que
la
de
compa ibilidad

(y_
i
(0)
=
0)
:
Teo ema
5
.
Supues os
0 <
m
<
1

y
g a o
maximal
monó ono
de
R
2
con
0 e
y(0)
y
e i icando
:
(14)

exis e
C
>
0
al
que

I
y
°
( )I
>CI lm
pa a
odo
e
D(y)
en onces
pa a odo

uo
e L
-
(Q),

la
solución
(13) se
ex ingue
en
iem
po
ini o
.
Dem
os ación
.
Po los
esul ados
de
compa ación,
se
puede
supone
ua
>
0
sin
pé dida
de
gene alidad
.
Como
en
2
.2,
bas a á
cons ui
una
supe solución
ú
ex inguiéndose
en
.
.
De inamos
como
an es
ú( ,x)
=
( )
"
(g(x))
llm
donde aho a
g(x)
se
oma
de
o ma que
3
a
>
0

al
que

g
+ X4g = 0

en

2

y
G acias
a un
eo ema
debido
a
K ein-Ru man
( éase
p
.e
.
Cou an -Hilbe
[7]),

se sabe que

2
0

>

0

al

que

0
<

0

<
g(x)

<

1

en

S2
.
Finalmen e escojamos
( )
como
en
2
.2
.
Las
p opie-
dades
a), b),
c)
y
d)
de
allí siguen siendo
álidas
pa a
nues a
supe
solución
u,
pe o
la
condición
c)
(e
.d
.
la
in o mación
en
(0,°°)
x
ase)
no bas a pa a
pode
aplica
los
esul ados
de
compa ación
.
Una
ela-
lación
su icien e
pa a és o
( éase
Díaz
[101)
aú
m
an
ag
=C
5
-n
_
an
u e
C([0,-)
:
i
.'(Q))
de
en
92
.
( ,x)
<y
o
(ú)

en

(0,°°)

x
asz
10
9
siendo
y
o
(s)
elemen o
de
no ma
mínima
del
conjun o
y(s)
.
Aho a
bien,
es
cla o
que
con
lo
que
concluye
la
demos ación
(
4
)
.11
Es
ácil
e
que
la
hipó esís
(14),
no
puede
se
mejo a
da
(sus ancialmen e)
si se
u iliza
una
supe solucíón
de
a iables
se-
pa ables
.
Se ía in e esan e en onces
emplea
o os
mé odos
o
conoce
si
(14)
es
ambién
necesa ia
.
au o es
es
el
dado
po
ala'
.
( ,x)
=
- ( )m
.
~
(x)
=
m( )
"
C
.g(x)
<
C
.(ú( ,x))m
<
<
y
o
(u( ,x))
en
(0,°°)
X
DS2
4
.1 .2
.
O o
p oblema
mo i o
de la
a ención
de
a ios
í
u
-
Ap
1
.1
"
sign
u=0 en
(0,m)
x
SE
(S
aco ado)
m
> 0,
p
>
1
(15)

i
u =
0

en
(0,°°)
x
92
u(O,x)
=
uo(x)

en

2
Di e en es
eo emasde
exis encia
han
sido
dados
po
Bambe ge
[11
Kalahsniko
1201
Benilan
[31
.
. .
.
En
conc e ose,puede
asegu a
la
exis encia
de
una
única solución
(ín eg al)
u6C([0,°°) :1
.1(2))
supues o
uo 6
L
1
(2)
.
Va iosc i e ios
de
compa ación
pueden
encon a
se
en
Benilan
[31,
He e o
[181,
.
.
.
y
en
lo
que sigue, los
supond emos
álidos
pa a
nues as
condiciones
(m > 0 y p
>
1)
.
(
4 )
El
au o
ag adece
la
suge encia
de
J
.
He nández
sob e
la
conside
ación
del
p oblema
(13)
median e
las
écnicas
2
.2
.
Una
p ime a
obse ación
en
el
es udio
de
la
ex inción
pa a
(15)
es
que
el
Teo ema
3,b)
puede
se
aplicado
a
q
= p-1
po
lo
que
si
no
puede
e i ica se
la
p opiedad
.
Po
o a
pa e
es
ácil
busca
con
aejemplos
pa a
el
caso
m
"
(p-1) =
1
( ómese
p
.e
.
m
=
1,
p =
2
y se
ob end á
la
ecuación
lineal
del calo )
.
Veamos
a
con inuación
un
esul ado
posi i o
:
Teo ema
6
.
Dado
2
aco ado
y
uo
G L
(P),
la
solución
u
6
C
([0,-)
:
L
1
(SZ))
de
(15)
se
ex ingue
en
iempo ini o en
los
si
-
guien escasos
a)
p
>
2 y
m
"
(p-1)
<
1
b)

m
"
(p-1)
< 1 <
(p*-1)m

(siendo

p*

dado
po
1

1

_1
si
1
-
_1
>
0yp* =
+-
en o o caso
)
.
PZ-
-_
P-N
-
P

N

-
Demos ación
.
De
nue o bas a
supone
uo
>
0 y
explici a
la
supe -
solución
ú( ,x)
.
Sea
m
=
m(p-1)
.
Pa a el
caso
a) se
de ine
ú( ,x)
=
( )(g(x))1/m,
siendo
aho a
elegida
g
de
o ma
que
a>0
al que
g(x)
+ XAp
g(x)
=
0 en
9
.
G acias
a
que
la
ínclusi6n
de

Wó'
p (S2)

en

L
2
(9)

es
compac a,
se
puede
aplica
un
esul ado
de
Bambe ge
[1]
asegu ando
la
exis encia
de
una al
unción
g,
e i icando
además
que
9
0

>

0

al

que

0
<

0

<
g(x)

<

1

en

S2
.
N
La
unción
es
escogida
como
solución
del
p oblema
~,( )
+

(
w)
,
a
(0)
=
o
= 0
(
o

.

E)
1/m

>

Il
uo

II
L
oo)
Es
cla o
en onces
que
ú
se
ex ingue
en
.
.
y
además
e i ica
que
ú
- ~p
úm
.=
'( )(g(s))1/m
- ( )
m
Ap
g(x)
-
>
'( )
g(x)
+
g
(x)

=

0
El
es o
de
las
condiciones
son
igualmen esa is echa
al
igual
que
en
2
.2
.
Pa a el caso
b)
se
de ine
ú( ,x)
=
( ) g(x)
donde
aho a,
g
debe
sa is ace
-3
a
>
0

al
que

g(x)
+
XA
p
g(x)
m
=
0

en

SE
En es e caso
la
hipó esis
1 <
(p*-1)m asegu a
la
aplicabilidad
del
esul ado
de
Bambe ge
[11,
siendo
el
es o
de
los
de alles
simila-
es
al
caso
a)
.
11
El
apa ado
b)
había
sido
demos ado
po
Bambe ge
[11
median e
écnicas
simila es
a 2
.1
.
Es os
mé odos
son
ambiénaplica-
bles
a

2
=IR
N

( éase
He e o-Vázquez
[191)
.
442
.
Es
in e esan es
el
es udio
de aquellos
p oblemas
en
los que
se
dan
simul aneamen e
las
p opiedades
de
ex inción
ini a
y de
p opagación
ini ade
las
señales
.
En el
caso
de
modelos
de
di usión
(sin
é minos
de
ab-
so ción)
no
son
conocidos
esul ados
sob e
es a
coincidencia,
y
sin
emba goexis en
esul ados
conc e osque
asegu an
la
imposibilidad
de
112
que
se
ealicen
a
la
ez
.
(Véase,
po
ejemplo
el
Teo ema
2
jun o
con
el
Teo ema
1
(le 1
.
Díaz
[10])
.
1?s ó
ha
sido
el
pun o
de
pa ida
de
la
clasi icación
de
:los
modelos
de
di usión
del
calo
(en
len os,
i-
pidos
y
de
ipo
lineal
)
in oducida
en
I
.
Díaz
[121
.
Cuando
el
modelo
incluye
é minos
de
absu ción
adecua-
dos
la
si uación
es
en e amen e
di e en e
p od liciéndose
la simul a-
neidad de
dichos
enómenos
e
incluso
o a
p opiedad
aún
más
ue e
que
es
conocida
como
p opiedad
de
con acción
ins an anea
del
sopo e
.
(Pa
a
más
e e encias
éase
p .e
.
He e o
[17]
y
la
comunicación
de
és e
au o
en
el
p esen e
Cong eso)
.

5
.
Re e encias
.
[1]

A
.
Bambe ge ,
"E ude
d'une equa ion
doublemen
non
lineai e",
J
.
Func ional
Analysis
24,
148-155
.
1977
[2]

Ph
.
Benilan,
"Equa ions
d'e olu ion
dans un
espace
de
Banach
.
quelcunque
e
applica ions"
.
Tesis,
Uni e sidad
de
O say,
1972
.
[3]

Ph
.
Benilan,
"Ope a eu s
acc e í s
e
semi-g oups
dans
les
espaces
L
p
,
1 <
p
<
4-"
.
Publica ions
de
L'Uni
.
de
Besancon
.
1977
.
[4]

Ph
.
Benilan
y
M
.G
.
C andall,
"The
con inuousdependence
on
m
o
solu ion
o
u
-
¿O(u)
= 0"
.
T
.S
.R
.
Ma hema ics
Resea ch
Cen e
.
Uüi
.
o
Wisconsin-Madison
(Apa ece a)
[5]

J
.C
.
Be yman
y C .J
.
Holland,
"S abili y
o
he
sepa able
so-
lu ion
o
as
di usion"
.
Apa ece á
en
A ch
.
Ra ional
Mech
.
Anal
.
[6]

H
.
B ezis,
"Mono one
ope a o s,
non
linea
semig oups
and
applica ions",
P oc
.
In
.
Cong ess
D!
.i h
.
Vancou e
.
1974
.
[7]

R
.
Cou an
y D
.
Hilbe ,
"
Me hods
o
Ma hema ical
Physics
",
New
Yo k
.
In e science
1953
.
[8]

G
.
Diaz
Díaz,
"Ex inción
ini a
pa a
ecuacionespa abólicas
con
no
linealidades
sob e ope ado es
elíp icos",
(Apa-
ece á
en
las
ac as
de
las
VI!
Jo nadasMa emá icas
Hispano-Lusas
.
San ande
1979
.
[9]

G
.
Díaz Díaz
y
J
.I
.
Díaz
Díaz,
"Fini eex inc ion
ime
o
a
class
o
nonlinea
pa abolic
equa ions",
Apa ece á
en
Comm
.
in
Pa
.
Di
.
.Equa ions
.
[10]

J
.I
.
Díaz
Díaz,
"Solu ions
wi h
compac suppo
o
some dege
ne a e
pa abolic
p oblems",Apa ece á
en
J
.
o
Non
.
Anal
.
[11]

J
.I
.
Díaz
Díaz,
"Anulación
de
soluciones
pa a
cie os
p oblemas
pa abólicos
no
lineales",
Re
.
Real
Acad
.
Ci
.
Exac as,
Fis
.
y
Na
.
Mad id
LXXII, 613-619,
1979
(y
a iculo
de
allado
a
apa ece
en la
misma
e i
:
.,a)
.
[12]

J
.I
.
Díaz
Díaz,
"P opiedadescuali a i as
de
cie os
p oblemas
pa abólicos
no
lineales
:
Una
clasi icación
pa a
los
mo
delos
de
di usión
del
calo
.",
Apa ece á
en
Re
.
Real
Acad
.
Ci
.
Exac as,
Física_, y
Nac
.
Mad id
.
[13]

J
.I
.
Díaz
Díaz,
T abajo
en
ealización
.
[14]

J
.I
.
Díaz
Díaz
y
M
.A
.
He e oGa cía,
"Compac
suppo p ope -
ies
o
sóme
ellip ic
and
pa abolicequa ions
a ising
in
he
heo y
o
Non New onian
luids",
Apa ece a
.
[15]

G
.
Du au
y J.L
.
Lions,
"
Les
inequa ions
en
Mecanique
e en
Physique
",
Dunod
.
Pa ís
1972
.
[16]

L
.C
.
E ans,
Resul ado
no
publicado
.
[17]

M
.A
.
He e o
Ga cía,
"Sob e
el
compo amien o
de
las
soluciones
de
algunos
p oblemas
pa abólicos
no
lineales",
Apa ece-
á
en
Re
.
Real Acad
.
Ci
.
Exac as,
1''is
.
y
Na
.
Mad id
.
(18)

M
.A
.
He e o
Ga cía,
"Compo amien o
de
las
soluciones
de cie
os
p oblemas
no
lineales
sob e
dominiosno
aco ados",
Tesis,
Uni
.
Complu ense
de Mad id
.
1979
.
[19]

M
.A
.
He e o
Ga cía
y
J
.L
.
Vázquez
Suá ez,
T abajo
en
edaccií>n
[20]

A
.S
.
Kalashniko ,
"On
a
non-linea equa ion
a ising
in
he
heo y
o
non-s a iona y
il a ion",
Ac as
del
Semina-
io
7
:
.
G
.
Pe owski
.
Vol
.
4,
137-146
.
Izd
.
Mosco sk
.
Uni
.
1978
.
[21]

A
.
Majda,
"Disappea ing
solu ions
o
he
dissipa i e
wa e
eqs
."
.
Indiana
Uni
.
Ma h
.
Ju
.
.24,
1119-1133,
1975
.
[22]

L
.
Ve on,
Coe ci i e
e
p op ie es
egula isan es
des
seca-g ou
pes
dans
les
espaces
de Banach",
Publ
.
Ma h
.
Fac
.
Sci
.
Besancon,
n=
3
.
1977
.