Resultados y métodos sobre la propiedad de extinción en tiempo finito para ecuaciones de evolución

Pub . Ma . UAB Nó 19 Maig 1980 Ac as II Cong eso de EcuacionesDi e enciales y Aplicaciones- Valldo eix, Mayo 1979 . RFSULTADOS Y METODOS SOBRE LA PROPIEDAD DE EXTINCION EN TIEMPO FINITO PARA ECUACIONES DE EVOLUCION . §1 . In oducción . Po J . Ilde onso Díaz Díaz Dp o . (le I , :(iui,_iones Funcionales Uni e sid-1 Complu ense de Mad id . Dado el p oblema de e olución P-~Ecuación di e encial de e olución (sob e X esp_a cio de Banach y 6 (0,<°)) + Condiciones iníciales, di emos que se sa is ace la p opiedad de ex inción en iempo ini o si la solución u de P es al que exis e T o < + w al que u( )=0 (en X) pa a odo > To . Es na u al que el lec o descon ie de la apa ición de es a p opiedad pa a una clase "amplia" de p oblemas, pues exis en e sul ados ajan es (y bien conocidos) que impiden que se p oduzca la ex inción en iempo ini o . Reco demos, esquemá icamen e, algunos de es os c i e ios nega i os : * Conse ación de alguna "ene gía" . (p .e . Ilu( ) II P= L = ¡¡u(u) 11 p ) . L 93 En on c es, si se supone 94 - Caso de las ecuaciones de Sch odinge y de Klein-Go don . - Caso de las ecuaciones hipe bólicas linealessi mé icas . (5u ob iene a pa i del Teo ema de S one de gene ación de g upos uni a ios) . * P incipio ue e del mínimo de Ni enbe g . - Caso de ecuaciones lineales uni o memen e pa a- bólicas . (Aplíquese a da os > 0) . * P opiedad de " o wa d and backwa d unique conLi - .i - Caso de ecuacioneslinealesgobe nadas po semi-g upo analí ico . (Véanse los abajos Yosida, Mizoha a, e c . . .) Ejemplo l .  (Díaz  [12]) .  Dado  2  abie o egula aco ado de  1K N , consi de emos el p oblema un de Sin emba go, hu gandoen e . los p oblemas lineales , es posible encon a algunos casos conc e os donde apa ece la ex inción en . . : au ( ,x)-a( )Au( ,x) =0 > 0, x 6 S2 e u( ,x) = 0  > 0, x 6 DS2 u(O,x) = uo(x)  x 6 2 . T- To > 0 al que í a(s)ds = +°° 0 Auo + uo = 0 en 2 y uo = 0 en 852, la unción es sulución del an e ío p oblema . # exp(- 1 . a(s)ds) " uo(x)  si  0 < < To 0 si  > Tp Ejemplo 2 .  (Majda  [21]) .  Dado  2  abie o egula d e  IR N ,  el p oble ma u - Au + c(x) " u = 0  > 0, x e 12 au au + y(x)11 +c7(x)u = 0 > 0, x e ase u(O,x) = uo(x)  x e S2 u (O,x) = uc(x)  x e S2 (supues os c, a Y y Eunciones ? 0 y c con sopo e compac o) posee  ex inción  en   y (x)  >  1  c . p .  xe  ase  li La si uación es di e en e cuando el p oblema P es no lineal . Como expond emos a con inuación, exis e una "amplia"clase de es os p oblemas pa a los que iene la ci ada p opiedad . Algunos de ellos ienen una impo an e ele ancia ísica ( éase más a de el p oblema (4) que apa ece con la "di usión de una pa ícula a a és de un campo magné ico en un plasma o oidalmul ípolo" . En lo que sigue de exposición, se lia á más hincapié en los mé odos exis en es pa a ob ene la p opiedad que en los esul a- dos . (Un en oque di e en e puedeencon a se en Díaz [12]) . En con c e o, el plan se á el siguien e : §2 . Mé odos de compa ación : 9 5 2 .1 . Vía desigualdades de Sobole . 2 .2 . Vía cons ucción de supe y subsuiaciones "ad hoc" . §3 . Mé odos abs ac os . §4 . Obse aciones inales . En esencia, §2 se e ie e a di e sasecuaciones pa a- bólicas no lineales de 2= o den y §3 a i ecuaciones a íacionales pa abólicas o muladas en é minosde ope ado es ac e i os . A in de una exposición más luida apenas se lia á alusión a la exis encia y unicidad de la solución, lo que se supond á (y de hecho se iene) so b e espacios uncionales adecuados . El lec o "o odoxo" puede encon a esos de alles en Díaz [121 y/o la bibliog a ía de dicho abajo . §2 . Mé odos de compa ación . Como ya se ha dicho, ales mé odos u ilizan de o ma esencia?_ el hecho de que las ecuaciones en de i adaspa ciales de P sean de ipo pa abólico y además de segundo o den . Es o pe mi e que se engan p opiedades del es ilo"p incipio del máximo y compa ación de soluciones",al igual que el . caso de la ecuación lineal del calo . La di e en e u ilización de es as p opiedades conduce a la subcl .a s .i ica- ción siguien e : 96 2 .1 . 'ia desigualdades de Sobole . Conside emos, po ejemplo, el . p oblema u  -  Au , =  0  en  (p , w)  x 'R N u(O,x)  =  uo(x)  en  IR N ,  (u .,  - 0) 1 a Siguiendo a Benilan y C andall 141, mul . ipl .iqu,,mos po  u en la ecuación e in eg emos sob e  El N .  T as u iliza la ó mula de C een se end á ( o mal .men e) clue T as cálculos, es ácil e que d jN _  ua+1 + a+1  N pu m 0"a = 0 ll  11 , lliN Du m Du a= (m+a)2 U ilizando aho a la desigualdad de Sobole  (H 2 m N ) C L z*(1R N ) . 2* = 2N N-2 ) e .Cl, se ob iene en onces N1Vq,12)'/_ _ `"(1 N1 ~ 2 1)1/2 * ~i  ll~ (  (m+«) 2 IRN Du m Vil CL > C ( J~ N u  2 ) 2/2* (po comodidad las cons an es se ep esen an uni o memen e po C) . Tomandoa de o ma que (m+a)2*/2 = : .~ l (e.d . . a, = (2 - m2) ) y 2*-2 exigiendo quesea posi i a (e .d . 0 < m < NN2 ), se ob iene inal- men e que d (J N 'a+1) + c(J N u a+1 ) 2/2* < 0 IR  ll Aho a bien, oda unción e i icando la desigualdad ' + C y < 0  ( : [0,-) - [0,°°) . c > 0, 0 < Y < 1 ) iene la p opiedad de que 9 Ta > 0  alque  ( ) = 0  pa a  > To, pues bas a compa a con la unción N 1 u >K 9 7 En e ec o, es cla o que g sa is ace y como que g(0) > (0) y en onces se ob end ía que 0 < ( ) < g( ) . Los a gumen osan e io es pueden jus i ica se igu osa men e ob eniéndose : Teo ema 1 . (Benilan-C andall [41) . uu e _I g(0) = a To l-Y , Sean N > 3, 0 < m < NN2 , a = a+1 N  N L  (Q ) l L (IR ) . En once . " : . .1 . p oblema posee una única solución po - ini o . u(0,x) = uo(x)  en En el an e io abajo se mues a que si L 1 , po lo que no puede habe ex- e á en 2 .2 que sí se es udia la 2 aco ado de 0y con condicio- se iene conse ación de la no ma inción en . . Sin emba go, se ecuación de (1) sob e un abie o 9 8 _1  _1 - ) 1-Y  si  < To,  a = ((1-Y)C)1-Y g, +Cg=0 bas a oma To su icien emen e g ande pa a 2- m 2~ 2*-2 Y u -A(Iulm -sign u) = 0  en  (0,°°) xJ IR N uG C([0,-) : L 1 (12)), ex ingui " ndose en iem N-2 N < m < 1 nes de Di iclile , la ex inción apa ece cuando 0 < m < 1, ( 1 ) El mé odo an e io ha sido ambién aplicado a o as ecuaciones no lineales . Así . po ejemplo Bambe ge [1] ha mos ado la p opiedad en cues ión pa a la ecuación donde pu =  a  au ¿  ax .(I ax . i=1 i i u - A u = 0 en (0 , '." ) i C 1 2 es un abie o aco ado y Ñ+Z <p<2 . El caso  Si =IR N  ha sido a ado po He e o-Vázquez [19] mos ando que dp >1 se conse a una cie - a no ma . 2 .2 . Vía cons ucción de supe y s u bsolucio n es "ad hoc" . En esencia, se a a de cons ui supe y subsoluciones uyu ex inguiéndose en . . Así, los " eo emas de compa ación" asegu an que u( , ") < u( , ") < u( ;") pa a odo E [0,°°) (supues a u solución del p oblema en conside ación) y de aquí la con clusión . Tales esul ados de compa ación son ca ac e ís icos de las ecuaciones de 22 o den, y en los p oblemas no lineales la di icul ad mayo pa a su ob ención eside en la poca egula idad de la solución (Pa a un esul ado ipo éase p .e ., G . Díaz-I . Díaz [9]) . i ( ) Es o ambién puede ob ene se median e una u ilización de la des¡ gualdad de Sobole di e en e a la aquí indicada . (Be iman-Holland [5]) . 99 ma y icien emen e g ande pa a que A modo de ilus ación, cons uyamos u pa a el p oble i  -  A(  i  " sign  u)  =  0  en  (0, °° )  x  2 (2)  u = 0  en (0,°°) x 92 u(O,x) = uo(x)  en  2 cuando se supone : 9 aco ad o, 0 < m < 1 y uo 6 L (S2) . Sin pé di- da de gene alidad podemos'supone además que uo > 0 . Sea g(x) al que a>0 al que g + XAg = 0 en 2 3 0 > 0  Cal que  0 < 0  < g(x) < 1  en  1 ( al unción puede ob ene se en e los alo es p opios de A pa a el p oblema de Di ichle sob e S2, S2  1) S2) .  Conside emos  o > 0  su- 0 - 01/m > 11uo HLw sea en onces ( ) la solución de la ec . o dina ia '( )+1 ( ) m =0 con (0)= o (g acias a que O<m<1 se To < -) . Conside emos inalmen e u( ,x) = ( ) " (g(x)) 1/m . Se iene que a) u( ,x) = 0 pa a > To b) u(O,x) > o 0 1/m > H uo II Loo > -'O(x) en c) u( ,x) > 0 en (0,°') x 2 sabe que se ex ingue a pa i d . . un d)  u - Au m= ' ( )g(x) 1/m - ( )mág(x) > '( )g(x) + + ( )m  g X (x) = g(x)( '( ) +  (~)m ) °0 en (0,`°) x S2 po lo que u es e ec i amen e una supe solucíónadecuada a nues o in . 10 0 Los azonamien osan e io es pueden se ácilmen e ex endidos a la ecuación más gene al (3)  u - A(i(u) = 0 en (0,-) i .' .1 cuando se supone ( : : & -IR con inua, M(0)=O ;¡5' - 0, ( ." '0 y al que m supues o uo 6 L (S2) (E ans [16]) . El siguien e esul adop escinde de oda hipó esis de de i abilidadsob e 0, es álido pa a da os uo no necesa iamen e aco ados y además es ablece la necesidad de (4) : Teo ema 2 . (C . Díaz - I . Díaz .[9]) . Sea S2 aco a d e uo (p .c .) al que uo E L' l (12), con p > max { N+2 , N/2} .  Sea B : IR -IR (p .e .), con inua no do.c ecien e al que R(0) = 0 y .sea ue C([0,-) : L 1 (S2)) la solución de u - AB(u) = 0 > 0, x 8 52 (5)  R(u) = 0  > 0, x e asi u(O,x) = uo(x)  x e 2 En onces la condiciónnecesa ia y su icien e pa a que use ex inga en . ., es q ue S sa is aga (4) . 11 La demos ación del Teo ema 2 se basa en el es ablecí- mien o inicial de la misma conclusión pa a las soluciones del p oble- ma §4 . Obse acion es inales . 4 .1 . Los an e io es mc nl~~s hc miL~ii cl "h i ola~,, '~ de nue os esul ados al aplica los a p oblemas di e en es . llus a emos ami és- os * él es udio ¡le una nue a cond¡c¡Cín de con o no Y (le . o a ecuación no lineal : 4 .1 .1 . Dado y g a o maximale monó ono de 1R 2 con 06 y(0), m > 0 y 2 abie o egula aco ado de EN, consíde emos el p oblema (13) 108 u - o(l u m l  "  siga u) = 0  en  (0,°°)  x 2 - a(Jul m sign u)~ (u)  en (0,°°) X a2 an l u(O,x) = uo(x)  en  2 La exis encia de 9uiui : ones (in eg ales) en i'(¿) se iene g acias a un esul ado de Benilan [2} y a iosc i e ios de compa ación se pueden encon a en 1 . Díaz [101 . A in de es udia la ex inción en . . obse emos q-e si suponemos uo > 0 y y uní oco (po simplicidad), se iene" o - malmen e" que _d I u=  du =  Au m =I  au m d S2  d  aS ~n po lo que si -y-I(O) es un ce ado que no se educe al {O}, es posibleob ene soluciones que conse an su  11  11,1 en el iempo . Más conc e amen e se iene que si K 6IR + es al que y(K) =0 en on- ces la unción u( , ") = K es la soluciónde (13) co espondien e a uo(x) = K y es á cla o que u no se ex ingue . El siguien e esul ado mues a la ex inción bajo una hí pó esis más ue e que la de compa ibilidad  (y_ i (0) = 0) : Teo ema 5 . Supues os 0 < m < 1  y g a o maximal monó ono de R 2 con 0 e y(0) y e i icando : (14)  exis e C > 0 al que  I y ° ( )I >CI lm pa a odo e D(y) en onces pa a odo  uo e L - (Q),  la solución (13) se ex ingue en iem po ini o . Dem os ación . Po los esul ados de compa ación, se puede supone ua > 0 sin pé dida de gene alidad . Como en 2 .2, bas a á cons ui una supe solución ú ex inguiéndose en . . De inamos como an es ú( ,x) = ( ) " (g(x)) llm donde aho a g(x) se oma de o ma que 3 a > 0  al que  g + X4g = 0  en  2  y G acias a un eo ema debido a K ein-Ru man ( éase p .e . Cou an -Hilbe [7]),  se sabe que  2 0  >  0  al  que  0 <  0  < g(x)  <  1  en  S2 . Finalmen e escojamos ( ) como en 2 .2 . Las p opie- dades a), b), c) y d) de allí siguen siendo álidas pa a nues a supe solución u, pe o la condición c) (e .d . la in o mación en (0,°°) x ase) no bas a pa a pode aplica los esul ados de compa ación . Una ela- lación su icien e pa a és o ( éase Díaz [101) aú m an ag =C 5 -n _ an u e C([0,-) : i .'(Q)) de en 92 . ( ,x) <y o (ú)  en  (0,°°)  x asz 10 9 siendo y o (s) elemen o de no ma mínima del conjun o y(s) . Aho a bien, es cla o que con lo que concluye la demos ación ( 4 ) .11 Es ácil e que la hipó esís (14), no puede se mejo a da (sus ancialmen e) si se u iliza una supe solucíón de a iables se- pa ables . Se ía in e esan e en onces emplea o os mé odos o conoce si (14) es ambién necesa ia . au o es es el dado po ala' . ( ,x) = - ( )m . ~ (x) = m( ) " C .g(x) < C .(ú( ,x))m < < y o (u( ,x)) en (0,°°) X DS2 4 .1 .2 . O o p oblema mo i o de la a ención de a ios í u - Ap 1 .1 " sign u=0 en (0,m) x SE (S aco ado) m > 0, p > 1 (15)  i u = 0  en (0,°°) x 92 u(O,x) = uo(x)  en  2 Di e en es eo emasde exis encia han sido dados po Bambe ge [11 Kalahsniko 1201 Benilan [31 . . . . En conc e ose,puede asegu a la exis encia de una única solución (ín eg al) u6C([0,°°) :1 .1(2)) supues o uo 6 L 1 (2) . Va iosc i e ios de compa ación pueden encon a se en Benilan [31, He e o [181, . . . y en lo que sigue, los supond emos álidos pa a nues as condiciones (m > 0 y p > 1) . ( 4 ) El au o ag adece la suge encia de J . He nández sob e la conside ación del p oblema (13) median e las écnicas 2 .2 . Una p ime a obse ación en el es udio de la ex inción pa a (15) es que el Teo ema 3,b) puede se aplicado a q = p-1 po lo que si no puede e i ica se la p opiedad . Po o a pa e es ácil busca con aejemplos pa a el caso m " (p-1) = 1 ( ómese p .e . m = 1, p = 2 y se ob end á la ecuación lineal del calo ) . Veamos a con inuación un esul ado posi i o : Teo ema 6 . Dado 2 aco ado y uo G L (P), la solución u 6 C ([0,-) : L 1 (SZ)) de (15) se ex ingue en iempo ini o en los si - guien escasos a) p > 2 y m " (p-1) < 1 b)  m " (p-1) < 1 < (p*-1)m  (siendo  p*  dado po 1  1  _1 si 1 - _1 > 0yp* = +- en o o caso ) . PZ- -_ P-N - P  N  - Demos ación . De nue o bas a supone uo > 0 y explici a la supe - solución ú( ,x) . Sea m = m(p-1) . Pa a el caso a) se de ine ú( ,x) = ( )(g(x))1/m, siendo aho a elegida g de o ma que a>0 al que g(x) + XAp g(x) = 0 en 9 . G acias a que la ínclusi6n de  Wó' p (S2)  en  L 2 (9)  es compac a, se puede aplica un esul ado de Bambe ge [1] asegu ando la exis encia de una al unción g, e i icando además que 9 0  >  0  al  que  0 <  0  < g(x)  <  1  en  S2 . N La unción es escogida como solución del p oblema ~,( ) +  ( w) , a (0) = o = 0 ( o  .  E) 1/m  >  Il uo  II L oo) Es cla o en onces que ú se ex ingue en . . y además e i ica que ú - ~p úm .= '( )(g(s))1/m - ( ) m Ap g(x) - > '( ) g(x) + g (x)  =  0 El es o de las condiciones son igualmen esa is echa al igual que en 2 .2 . Pa a el caso b) se de ine ú( ,x) = ( ) g(x) donde aho a, g debe sa is ace -3 a > 0  al que  g(x) + XA p g(x) m = 0  en  SE En es e caso la hipó esis 1 < (p*-1)m asegu a la aplicabilidad del esul ado de Bambe ge [11, siendo el es o de los de alles simila- es al caso a) . 11 El apa ado b) había sido demos ado po Bambe ge [11 median e écnicas simila es a 2 .1 . Es os mé odos son ambiénaplica- bles a  2 =IR N  ( éase He e o-Vázquez [191) . 442 . Es in e esan es el es udio de aquellos p oblemas en los que se dan simul aneamen e las p opiedades de ex inción ini a y de p opagación ini ade las señales . En el caso de modelos de di usión (sin é minos de ab- so ción) no son conocidos esul ados sob e es a coincidencia, y sin emba goexis en esul ados conc e osque asegu an la imposibilidad de 112 que se ealicen a la ez . (Véase, po ejemplo el Teo ema 2 jun o con el Teo ema 1 (le 1 . Díaz [10]) . 1?s ó ha sido el pun o de pa ida de la clasi icación de :los modelos de di usión del calo (en len os, i- pidos y de ipo lineal ) in oducida en I . Díaz [121 . Cuando el modelo incluye é minos de absu ción adecua- dos la si uación es en e amen e di e en e p od liciéndose la simul a- neidad de dichos enómenos e incluso o a p opiedad aún más ue e que es conocida como p opiedad de con acción ins an anea del sopo e . (Pa a más e e encias éase p .e . He e o [17] y la comunicación de és e au o en el p esen e Cong eso) . 5 . Re e encias . [1]  A . Bambe ge , "E ude d'une equa ion doublemen non lineai e", J . Func ional Analysis 24, 148-155 . 1977 [2]  Ph . 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