PUBL
.
Ma
.
UAB
Ns
18
Ab il
1980
Ac as
II
Conc eso
de
Ecuaciones
Di e enciales
y
Aplicaciones
.
Valldo eix,
Mayo
1979
.
DE
UN
NUMERO
FINITO
DE
OPERADORES
LINEALES
CONMUTATIVOS
DE
L
(,n
Cn)
.
RESUMEN
.
El
obje o
de
la
p esen e
memo ia,es
p opo cio-
na
un
mé odo
pa a
ob ene
en
o ma
polinómica
una
exp esión
de

(Al9
. .
.,AN)

(
:(Al,
.
. .
.
AN)6(L(En,Tn))N
cuando
es
.analí ica
en un
cie o
en o no
del
g odul o
ca -
esiano
de
los
alo esespec ales
de
cada
Ai,y
las
aplica-
ciones
linealesconmu an
dos
a
dos
:
A
.
.A .=
A
.
.A
.
1
i,j
N
RESULTADOS
.
CONVOLUCION
Y
FUNCIONES
ANALITICAS
.

José Juan
Rod íguez
Cano
.
Uni e sidad
del
País
Vasco
.
Bilbao
-~
L(Tn,(En)),~
1
.Las
hipó esis
de
conmu a i idad
de
las
apli-
caciones,es
una
condición
su ic
;
.en e
pa a
ex ende
lósYsesu1-
ados
ob eüldos
pa a
al
cáso
dé
aná
aplicac¢mn
lineal,cuando
es
analí ica
en un
cie o
en o no
del
p oduc o
ca esiano
de
los
alo es
espec ales
de cada
A
i
.Sean
:
(A
l,
.
.
.>AN)E(L(Cn,Tn))N
.

(A
ly
.
.
.,A
N
)eL(Q
n
,T
n
),
A
i
.A
j
=Aj
.A¡,lSi,j
:!!
N
o-(A
i)=

(

),

15i

l
N

,

1!1-~
j11n

los
alo es
espec ales
de
cada
A
i
.
n
Vun
en o no
de
1,-U
~ l al)
U
i
.U
i
,un
abie o
de
T
.9U
i
j J

j
q
on e a
de U
i
,consis en e
en
un
nñe o
ini o
de cu as ec-
i icables
ele
Jo dan,o ien adas
en
sen idoposi i o,lSiLN
.
W=
U
1
x

.
.
.z
U
N
,2W=
a
U
1
x
.
.
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on e a
de
W
.
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1
)x
.
.x7(4
N
)c(

V~
(ñ~)}~U
1
x
. .
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N
cD
h( )
j=1

=1
(D
h
( ),dominio
de
holomo áa
de
.Se
iene
con
es as
hipó esia
:
(1)

(A1,
.
.
.,AN)=

N

(z1,
. .
.
.
zN)(zin-A,)
.1
.(zNIn-AN)-1dz
(2ni)
Ja1
.
.
.

n

(
~
J

k
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1`

ZN)

k

dzl
.
.dzN)
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1
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k
N
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(2ni)

Z~V
,.
.~(zl_~Jla

(z
N
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)
N
~~

(A1
_
nj
1
I
n
)
'I
l(AN
Y
j1=1

jN=1
2
.Se
p opo ciona
una
cie a
gene alizacibndel
eo ema
de
RAD1ILTON-CAYLEY
.La
siguien e
:
Si y g
Con ienen
en
su
dominio
de
holomo -
en
el
esul ado
1),siendo
H
g,pe o
coin-
ía
a
1V
(desc i o
cidiendo
en el
p oduc o
ca esiano
de
los
alo es
espec a-
les
de
cada
A
i
,lo
cual
exp esamos
en la
siguien e
o ma
:
y
conmu ando
se
iene
:
3
.
Se
as
de iniciones
que
las
aplicaciones
lineales
A
i
,conmu an
.
4
.
Se
aplican
los
esul ados
an e io men e
ob enidos
pa a
esol e
los
sis emas
di e enciales
lineales
de la
o ma
:
do
li ica
con
( (A
1
)x
.
.
.
xo(A
N
))
=
K(U(A
1
)x
.
.
.
xc(AN))
las
aplicaciones
lineales
Ai,esdeci
:
A
i
.A
j
=A
j
.A
i
,
(A1,
. .
.,AN)=g(A1
.
.
.,AN)
es ablece
la
elación
en e
las
dis in-
se
p opo cionan
pa a
(A1,
.
.
.,AN),cuan-
S
DX( )= ( ,A1,
.
.
.
.AN)X( )
{X(
o
)=
X
o
Cuando
es
con inua
con
espec o
a y
ana-
espec o
a
las
es an es
a iables,es ando
con e-
nido
1V
en
el
dominio
de
holomo ía
de
con
espec o
a
las
a iables
que
es
analí ica
.Con inua
espec o
a
enJ=[

1]
Conmu ando
además
las
A
i
.Se
p ueba
que con
es as
hipó esis
el
sis ema
S
sa is ace
el
c i e io
de
Lappo-Dánile ski
.
INTRODUCCION
.
Pa a
ob ene
el
esul ado
(1), undamen al
en e
los
de
és a
memo ia
sólo
se
equie e
del
ob enido
y
p esen ado
en
:
V
JORNADAS
MATEMATICAS
LUSO-ESPANHOLAS
.AVEIRO(PORTUGAL)
.
Ma zo
de
1978,con
el
í ulo
de
:CONVOLUCION
Y
FUNCIONES
ANA-
LITICAS
DE
VARIABLE
MATRICIAL
(Au o
:
José
Juan
Rod íguez
Cano),
cuyas
ac ases án
aún
en
elabo ación
y
p óxima
su
apa ición
.
En
esencia
el
esul ado
eque ido
es
el
siguien e
:
Si
po
F(A),ano amos
la
amilia
de
unciones
comple-
jas
de
a iable
compleja,cuyo
dominio
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holomo ía
con iene
un
cie o
en o no
de
los
alo es
espec ales
de
A
.c (A)=(>j)
l~j=n
n
V
i (

)
en o no
de~,
,O-(-A)C
U
V
.
(~
i
)cUc
Dh
( )
.U
un
abie o
de
T
.
i=1
D
h
( ),dominio
de

:olomo ía
de
.2
U, on e a
de
U
consis e-n e
en
la
unión
de
un
núme o ini o
de
cu as
ec i icables
de
Jo dan,o ien adas
en
sen ido
posi i o
.Con
es as
h~ó esispa a
oda
aF(A), (A)
queda
de inida,haciendo
p e iamen e
uso
del
lasdé ánición
dada
po
N
.DUNFORD,pa a
(A),po
:
(A)=
S
(2ni
JJU'

(z

z)

1
i
(A
-
~~
I
n
)
k=1

n
(z->'-)

J=1
A
con inuación
se
p opo ciona
una
de inición
de
(A
1 , . .
.
.
A
N
),ex endiendo
la de N
.DUNFORD,cuando
las
Ai
conmu an
.
DEFINICION
EN
F
O
RiIMA
INTEG
RAL DE
FUNC
IONES
DE
UN
NUMERO
FINITO
DE
OPERADORE
S
LINEALES
CONMUTATIVOS
DE
L(,
n
,,
n
) .
i
.=N
n
n
Sean

(A
i
)

,

A
i
C
L(~C

,S!

) ,

un
conjun o
de
aplicaciones
i=1
j.=n
i
lineales
conmu a i as
:

(A
i
.A
j)

= Aj
.Ai
.)
i,j=N

,

G(AJ)=(
.Cj)
i
.,
j=1

,*
j

1
.
el
espec o
de
Ai,
con
¡=(1,2,

'_N)
.
Se
designa
po

F(Al,A2,
. . . .
A
N
)

el
conjun o
de
unciones
:
0N
-
0,
holomo as
en
algíún
en o no
de
C
;-
(A
1
)
x
(7(A
2
)
x
. .
.xC (A
N
)
.
Sea

~F(Al,A2,
. .
.
.
A
N
)

y

W
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1
x
U
2
x
.
.
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U
N
C
o
p
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abie o,
al
que
un
WJ
(li
V,(~1
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
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. .
.
.
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14
))
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.
.
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l
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
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
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
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1

j
.
d
(siendo

V
i
(1<~),
algún
en o no
de

XCj),
W
es ando
con enido
en
el
d minio
cle
holomc
:
. ss
de
.
Sea
11
la on e a
de
',l,
_n
=
(
^1
x
(2x
. .
.x
( .
.N,
donde
cada
l
,
es
la
on e a
de
U
i
,
y
consis e
en
un
núme o
ini o
de
cu
as
ce adas
simples
ec i i
.ca'--
:l
.
:s
de
Jo dan,
o ien adas
en
el
5
.C111
ido
posi i o
.
Se
de ine,
en
o ma
in=-
:,g al
.
con
Poinca é--Dun o d,
]
.a
apli
caci6n
lineal

(A
l
,A
2
,. . .
,A
N
)
E

L(~C
n
,¢~~)
,

po
:
(26)

(A
l
,. . . .
.,A
N)=

1

¡
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2
"
.
.
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l
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-
A
l
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N
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. . .
.
. .
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(2 ¡i)
N
J,n
A pa i
de
es a
de inición
y
emplean(7o
el
.
esul ado
ob enido
en
el eo ema
2,
y
de
la
conmu a í idad
de
las
aplicaciones
A
í
.
,
e
sul a
la
siguien e
:
DEFINICION
CONVOLUCIONAL
DE

(A11A2,
....
AN)

E
F(A

,A
2,
. .
.,

i,
j=N
1

~)
,
con

AiE"L(~n~~n)',

Vi
y
(AiAj=AjAi)
i,j=1
.
y
las
condiciones
es ablecidas
pa a-R
,
se
iene
:
(27)

(A
l
,....
A
N
)

=
k1
1

1

k_
-1

N
J1In)
n
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N
-/-
j
N
I
n
)
n
1

j
l
1
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1
=

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.
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kl
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).
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
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1
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N
N ¡
`j
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jl
1

y

jN
1

N
que
se
conoce á
como
la
de inicióncon olucional
de
(Al,A2,
. .
.AN)
.
RELACION
ENTRE
LA DEFINICION
CONVOLUCIONALY
POLINOMI
CA
CARACTERISTICA
Aplicando
el
eo ema
gene alizado
de
los
esiduosa
(27)
,
se
iene
:
(28)

(Al,
. .
.,AN)
_
n

k1

kN

lc1
1

'ZN
-1
.
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, . .
,/~

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I

I

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N-
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
I
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1

kN-1
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
jN1

J1

JN
J1-1

1

31
n

jN
l

J
N
n

que
se
_=oce á
como
la
de inición
polin6mica
ca ac e ís ica
de
i(A1,A2,
. .
.,AN)
.
En
(28) se
ha
pues o
:
kl
k2
kN
(29)

(
*

*
...

*
(
.C1
.
.~2
, . .
.,,cN
))
_
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l
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j2
1
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
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3
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
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
3
N
1

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...
.
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N
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
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
A
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
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. .
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
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,
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N
PROPIED7iDES
DE
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1
.

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.

,
,
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.
.
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(30)
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. . . .
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
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
-
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.
.
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.
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:
. .
.
(p -1)
:..
.(P
1

1)
:(P~'1)
: . .
.(p
N
15
9
Encon a
un
polinomio
de las
a iables
(x 1
,x
21
...1
xN
),
de
n

n

n

k2
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
kN
-_1
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N
(n-1)
,

P
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1
,x2-,xN)

a
k
k
.
k

x1

x2

. .
.x
N

;
k
1
=1
.
k2=1
.
kN-1
12
"
N
eniendo
además
:
160
SOLUCION
DE
UN
PROBLEi¿d-~
LE
INTERPOLACION
que
en
el
conjun o
de
pun os
:
(~
1
,
,
j
,..
.,~
)
j1

2

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j
l
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"
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espec i amen e
los
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:
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. . .
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ps
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.
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(1,2,
. . .
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1
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2
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ó
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