Convolución y funciones analíticas de un número finito de operadores lineales conmutativos de L (π n,π n)

PUBL . Ma . UAB Ns 18 Ab il 1980 Ac as II Conc eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones . Valldo eix, Mayo 1979 . DE UN NUMERO FINITO DE OPERADORES LINEALES CONMUTATIVOS DE L (,n Cn) . RESUMEN . El obje o de la p esen e memo ia,es p opo cio- na un mé odo pa a ob ene en o ma polinómica una exp esión de  (Al9 . . .,AN)  ( :(Al, . . . . AN)6(L(En,Tn))N cuando es .analí ica en un cie o en o no del g odul o ca - esiano de los alo esespec ales de cada Ai,y las aplica- ciones linealesconmu an dos a dos : A . .A .= A . .A . 1 i,j N RESULTADOS . CONVOLUCION Y FUNCIONES ANALITICAS .  José Juan Rod íguez Cano . Uni e sidad del País Vasco . Bilbao -~ L(Tn,(En)),~ 1 .Las hipó esis de conmu a i idad de las apli- caciones,es una condición su ic ; .en e pa a ex ende lósYsesu1- ados ob eüldos pa a al cáso dé aná aplicac¢mn lineal,cuando es analí ica en un cie o en o no del p oduc o ca esiano de los alo es espec ales de cada A i .Sean : (A l, . . .>AN)E(L(Cn,Tn))N .  (A ly . . .,A N )eL(Q n ,T n ), A i .A j =Aj .A¡,lSi,j :!! N o-(A i)=  (  ),  15i  l N  ,  1!1-~ j11n  los alo es espec ales de cada A i . n Vun en o no de 1,-U ~ l al) U i .U i ,un abie o de T .9U i j J  j q on e a de U i ,consis en e en un nñe o ini o de cu as ec- i icables ele Jo dan,o ien adas en sen idoposi i o,lSiLN . W= U 1 x  . . .z U N ,2W= a U 1 x . . .>5UN on e a de W . c(A 1 )x . .x7(4 N )c(  V~ (ñ~)}~U 1 x . . .xU N cD h( ) j=1  =1 (D h ( ),dominio de holomo áa de .Se iene con es as hipó esia : (1)  (A1, . . .,AN)=  N  (z1, . . . . zN)(zin-A,) .1 .(zNIn-AN)-1dz (2ni) Ja1 . . .  n  ( ~ J  k (z 1`  ZN)  k  dzl . .dzN) k 1 =1  k N ='1 (2ni)  Z~V ,. .~(zl_~Jla  (z N -ñ~ ) N ~~  (A1 _ nj 1 I n ) 'I l(AN Y j1=1  jN=1 2 .Se p opo ciona una cie a gene alizacibndel eo ema de RAD1ILTON-CAYLEY .La siguien e : Si y g Con ienen en su dominio de holomo - en el esul ado 1),siendo H g,pe o coin- ía a 1V (desc i o cidiendo en el p oduc o ca esiano de los alo es espec a- les de cada A i ,lo cual exp esamos en la siguien e o ma : y conmu ando se iene : 3 . Se as de iniciones que las aplicaciones lineales A i ,conmu an . 4 . Se aplican los esul ados an e io men e ob enidos pa a esol e los sis emas di e enciales lineales de la o ma : do li ica con ( (A 1 )x . . . xo(A N )) = K(U(A 1 )x . . . xc(AN)) las aplicaciones lineales Ai,esdeci : A i .A j =A j .A i , (A1, . . .,AN)=g(A1 . . .,AN) es ablece la elación en e las dis in- se p opo cionan pa a (A1, . . .,AN),cuan- S DX( )= ( ,A1, . . . .AN)X( ) {X( o )= X o Cuando es con inua con espec o a y ana- espec o a las es an es a iables,es ando con e- nido 1V en el dominio de holomo ía de con espec o a las a iables que es analí ica .Con inua espec o a enJ=[  1] Conmu ando además las A i .Se p ueba que con es as hipó esis el sis ema S sa is ace el c i e io de Lappo-Dánile ski . INTRODUCCION . Pa a ob ene el esul ado (1), undamen al en e los de és a memo ia sólo se equie e del ob enido y p esen ado en : V JORNADAS MATEMATICAS LUSO-ESPANHOLAS .AVEIRO(PORTUGAL) . Ma zo de 1978,con el í ulo de :CONVOLUCION Y FUNCIONES ANA- LITICAS DE VARIABLE MATRICIAL (Au o : José Juan Rod íguez Cano), cuyas ac ases án aún en elabo ación y p óxima su apa ición . En esencia el esul ado eque ido es el siguien e : Si po F(A),ano amos la amilia de unciones comple- jas de a iable compleja,cuyo dominio de holomo ía con iene un cie o en o no de los alo es espec ales de A .c (A)=(>j) l~j=n n V i (  ) en o no de~, ,O-(-A)C U V . (~ i )cUc Dh ( ) .U un abie o de T . i=1 D h ( ),dominio de  :olomo ía de .2 U, on e a de U consis e-n e en la unión de un núme o ini o de cu as ec i icables de Jo dan,o ien adas en sen ido posi i o .Con es as h~ó esispa a oda aF(A), (A) queda de inida,haciendo p e iamen e uso del lasdé ánición dada po N .DUNFORD,pa a (A),po : (A)= S (2ni JJU'  (z  z)  1 i (A - ~~ I n ) k=1  n (z->'-)  J=1 A con inuación se p opo ciona una de inición de (A 1 , . . . . A N ),ex endiendo la de N .DUNFORD,cuando las Ai conmu an . DEFINICION EN F O RiIMA INTEG RAL DE FUNC IONES DE UN NUMERO FINITO DE OPERADORE S LINEALES CONMUTATIVOS DE L(, n ,, n ) . i .=N n n Sean  (A i )  ,  A i C L(~C  ,S!  ) ,  un conjun o de aplicaciones i=1 j.=n i lineales conmu a i as :  (A i .A j)  = Aj .Ai .) i,j=N  ,  G(AJ)=( .Cj) i ., j=1  ,* j  1 . el espec o de Ai, con ¡=(1,2,  '_N) . Se designa po  F(Al,A2, . . . . A N )  el conjun o de unciones : 0N - 0, holomo as en algíún en o no de C ;- (A 1 ) x (7(A 2 ) x . . .xC (A N ) . Sea  ~F(Al,A2, . . . . A N )  y  W = U 1 x U 2 x . . .x U N C o p , abie o, al que un WJ (li V,(~1 ))x(  ? )x . . . . (, V~(~ 14 )) .~C (A1)x .^ (A~)x . . .xc "(A  ) jl l `  j1  j2 =1  J2  jN 1  j . d (siendo  V i (1<~), algún en o no de  XCj), W es ando con enido en el d minio cle holomc : . ss de . Sea 11 la on e a de ',l, _n = ( ^1 x (2x . . .x ( . .N, donde cada l , es la on e a de U i , y consis e en un núme o ini o de cu as ce adas simples ec i i .ca'-- :l . :s de Jo dan, o ien adas en el 5 .C111 ido posi i o . Se de ine, en o ma in=- :,g al . con Poinca é--Dun o d, ] .a apli caci6n lineal  (A l ,A 2 ,. . . ,A N ) E  L(~C n ,¢~~) ,  po : (26)  (A l ,. . . . .,A N)=  1  ¡ (z l ,z 2 " . . ,V (z 1 l n - A l ) .1 .(7NIn ? N )ldz1 . . . . . . dz,,~ (2 ¡i) N J,n A pa i de es a de inición y emplean(7o el . esul ado ob enido en el eo ema 2, y de la conmu a í idad de las aplicaciones A í . , e sul a la siguien e : DEFINICION CONVOLUCIONAL DE  (A11A2, .... AN)  E F(A  ,A 2, . . .,  i, j=N 1  ~) , con  AiE"L(~n~~n)',  Vi y (AiAj=AjAi) i,j=1 . y las condiciones es ablecidas pa a-R , se iene : (27)  (A l ,.... A N )  = k1 1  1  k_ -1  N J1In) n (A N -/- j N I n ) n 1  j l 1  jÑ 1 =  N  _ (z1, . . .,zN)(~ kl  ). . .(Z kN  -)dz l -dz N (2ai)  JA  kl 1(zl  / 1 j,)  1 ~~  (z  N N ¡ `j ) jl 1  y  jN 1  N que se conoce á como la de inicióncon olucional de (Al,A2, . . .AN) . RELACION ENTRE LA DEFINICION CONVOLUCIONALY POLINOMI CA CARACTERISTICA Aplicando el eo ema gene alizado de los esiduosa (27) , se iene : (28)  (Al, . . .,AN) _ n  k1  kN  lc1 1  'ZN -1 . ( .Cl , . . ,/~  ))  ~~  (A_  ñl  I  ). . . I  I  (A N- ,DN  I  ) 1 1  kN-1 711  jN1  J1  JN J1-1  1  31 n  jN l  J N n que se _=oce á como la de inición polin6mica ca ac e ís ica de i(A1,A2, . . .,AN) . En (28) se ha pues o : kl k2 kN (29)  ( *  * ...  * ( .C1 . .~2 , . . .,,cN )) _ ji l  j2 1 .  i N = 1  3 1  3 2  3 N 1  (z1,z2, ... . ZN) (2 ) N -1  12 ni  A  I  J  (z l ,( .  ) ~~  (z2 ~ j  )...  I k  dz . . dz 2 . . .dz N = K, (z N -~N ) -1  3 1 j2 1  J2  jÑ 1  , N (2 li) N PROPIED7iDES DE : 1 .  si  ,C1 .  , , je im (z1,z,, . . .,ZN) dz l dz 2 . . .d ....  k  k 2 ~(N ,~ (z2 ,C1 ) I  I  (z 2ñ 2 ). . . -~ (z N. ~ N ) j1 .  j2  N J1 1  j2 =1 jN 1 . = (1,2,, . .,N), jl l j2 1  jÑ l  j1  J2  3 N k 1 K 2 kN (  *  * ... * ( ~1 . g? ,. . .,ñ j 1=1  , ¿_ .~  jN=1  j 1  .12  3N . . (30) (z1,z2, . . . . ZN)  _ k  k  k .  - de i, dz 2 . . . iz ja (2~ii) N Fl (Z2 ,(~1) 1~ (Z2^~2NN) j il  72 l  jN 1 k 1 k 2 .  kN  (~J i .^~ . . .,~~ N ) z 7 z . .Z . jl l  j2 =1 jÑ 1 2 . Sea : - 1 ( (1 -,c 1 ) ~2) u2 -, 2 ) . . . IN GCN -IN ) 71 s1 72 s 2  7 N S N s,=1 s 2 -1 s N=1 s1J1 s 2 7~7 2 9JN j =n  i  i 7 i j i = 1  ---~ _ -  ~---~ _--- pi +p2 + . . .+ p . = n , i se iene de (21) y (30) ji =l  jN 1  7 1  7 N NN N P1_  P2 -  P 11  P171 P2 1  P Nl ...  . . .D- D~1  D l  D~7_  . . .D`N  N  /`  l  N  1  N __1  2  l  1  2  ( * ... * (, . ... j - 1 j =l  7 1  7 N (Pi-1)=(P2-l) : . . . (p -1) :.. .(P 1  1) :(P~'1) : . . .(p N 15 9 Encon a un polinomio de las a iables (x 1 ,x 21 ...1 xN ), de n  n  n  k2 -1  kN -_1 . g ado N (n-1) ,  P (x 1 ,x2-,xN)  a k k . k  x1  x2  . . .x N  ; k 1 =1 . k2=1 . kN-1 12 " N eniendo además : 160 SOLUCION DE UN PROBLEi¿d-~ LE INTERPOLACION que en el conjun o de pun os : (~ 1 , , j ,.. .,~ ) j1  2  7N j l . j 2 ," " .N=1 . Toma espec i amen e los alo es : N 1_ .l  ` 2  _1 =`,  ._ s 1  ó s 2  ~qN  1  .- 2  ' 7 N P (  11  Ií  I ..., /  ) l -1  2 -1  J -1  S1  S 2  .~ N (a x1)  s1  ( a x2) s2  . . . (a XN ) s  =  (1,2, . . . . ps . ) . i = (1,2, . . . .N) 1 -1  2 -1  N -i . .é . sl  ó S2  ` a SN  _  _ , . . . . l  2  N -1 . "  <  -1   - 1  1 .  2  ''N (i x1)  S1  ( ó x2) s2  . . . ( DxN) sN S i = (1,2, . .. . i = (1,2, . . . .N)  (n ,  condiciones) p2+ . . .+ p .= n 1 Ab e iadamen e : n  n  n  kl 1 k2 _1 .  ~-1 P(xl,x2, . . .,xN)= Z  Z . . .~ ak k2 . .kNx1  x 2  . . .x N k2 1 k2 1  3' N =1  1 .a s1 1  2 -i  N -1 ó S2  2 S N /N i -  1  2  N_  P(~Cs s , . . *, /,  )  = -1  -1  1  1 2  S N P .1 . (2)  (a x1)  sl  (a x2) s2 ... (ó X N ) SN 1 _1  2 _ 1 N _1 ó s i ó s2  ó S N (~c1 ~2 , . . .,IN ) 1 -1  2 -1  N -1  Sl,  S2  SN ( a x1)  Sl  (a x 2 ) S2 . . . (D XN) SN s . _  (1,2, . . .,ps_)  (1,2, . . .,i =  (1,2 1...I N) . Es e p oblema posee po solución : (32) Donde : n  n  k 1 k N k l -1  k  1 p(x1, . . .,xn) =~ . . . Z ( . * . . .  *  (1,1 k 1  ~ -1  l  j1 l_  JÑ -_  31  JN  j 1_  J01  IN OBSERVACION Las de iniciones polinémica ca ac e ís ica y polindmica minimal, ienen sen ido cuando se oma po de inición de k 1 k 2 k N .. 1  2  N ))  b de j l =1 j2 =1 j N =1  1  2  N k l k 2 kN_ _ (  *  *  *  ( ~ 1  2  I N j l - 1 J2-_1 . . . jN_1  jl , j2, .. .,  jN »,  la q = ue p opo ciona los esul ados (30) y (31), cuando n  n .1 EC n-1 ((U  i (Z1 )) x . . .x (U V N (Z N )) D  G(A 1 ) x . . .x d (ALV)  S~) j j =l  31  jN=_,  3N y és asse án las de iniciones que se adop a ánpa a (A l ,A 2 .,A N), cuando , pe enezca a es econjun o de'de iniciones TEOREMA . 3 i=N Sean (Ai )  , A i e . L(¢ n ,(, n ) , aplicaciones lineales conmu a i=1 i as . (A . .A . = A . .A)  C (A .) _ ( ~ . )  , el espec o de 1 3  3 i i,j=1  i  Ji ji=1 A i ,  i  =  (1,2, . . .,N) . Sea : I x W c R x 0n _~ ¢ . I = U (aj ,bj), in e alo abie_ j=1 o aco ado de R . s C(I) x F(Al,A2, . . ."F1N) . CM, unciones con- 16 8 p inuases I .  F(A 1 ,A2- .-A N ) y  W  como en las hipó esis que p e- + .eden a (26) . ( ,A1,A2" . .,AN) E . LU F I . Sea el sis ema di e encial : X - ( )  = ( ,A1,A2, . . . . A N )  X( )  i=N (34)  (xi ) = X( ),  X( 0 ) = Xo ,  0e I .  i=1 E I . En las condiciones exigidaspa a , el sis ema di e encial (34) sa is ace el c i e io de Lappo-Dani .7 .e ski,  deci- :  (35)  ~  (s,A 1 . ... AN )ds . ( ,A1, . . .,AN) = ( ,Aí, . . .,1  ) .  (s,A1, . . .AN)dS 0  o po lo que la soluciónde (34), iene exp esada ¡po : . (36)  X ( )  = exp(  (S,A i ,A2 , ., . .,A y )ds)X( 0 ) . 0 DEMOSTRACION ,  Aplicando el esul ado (26) a ( ,A lI A 2 , . ..1 AN ) (s,Ai,A2, . . ., .AN)ds, se ob iene: aL A 1 A N )  1 N  ( ,z1, . . . . z N )(z l InA l )- 1 . . (7- N I nN) _1 dz 1 . . .dz N (37)  (2ni) A (s,Al, . .,k)ds=  ( 1 . N  (s,z1`V(z1InA1)1 . .(ZNInAN)1dz1 . . .%)ds  (24i) 0  0 (38) Después de (37), el p ime é mino de (35) se esc ibe en la o ma : j 1 N (2 7i) 0 o ma : (s,A l , . . . . A N ) ds 0 X ( )  = ( ,A l ,,A N ) = z i ." 'Z N )(z 1 I i A l ) -1 .. .(Z N I n AN ) _1 dz 1 -dz N ) ds . L ( ,zl, ... .z ,) (z11n A 1 ) -l . . .(Z N ln A,,)-ldz1 . : .dzN) De la exp esión que esul a pa a (z iI n IAi ) -l del eo ema 2, y de . la hipó esis de conmu a i idad pa a A i .A . ., aplicadaa (38), se ob iene (35) . El esul ado (36), despuésde (26) se puede esc ibi en la exp( (s,A1, . . .,AN)ds) X( 0) 0 exp((  (s,z1, ... . z~,)ds) (z 1 In A,) ' . . . . o A_,)-ldzl . . .dz . = n  n  k1  -N   A1  nN_  k .-1  .A1  k -1  N . L  (  *  ...  *'  e  (~  (s, ,<  ds)  (A1 /, J I) . . . M  (A ,- .(- I n ) . n kl l  V=1  j l ° 1  N 1   1  N  oi l  1  j N l  ~ N ALGUNOS SISTEMAS EN LOS QUE - ES PECULIARMENTE . INTERESANTE -- SISTEMASDIFERENCIALESEULER X ( )  = exp( I  A ds)X( 0 ) = 1 . ( ,A l ,A 2 ,- A N ) = g( ,A1) s-a O A -ó a i 0  .y - A E L(SZ ' , S~ n ). l  -  _ a  A ( _ a ) z (ZI-A) -ldz .  x( o ) = (  )  x( o) . 2n i i  e a  -  -  e a (- , es la unión de un núme o ini o de cu as ce adas simples, exp(~  z ds) (z In A) -l dz . X( 0) _ S- a U ec i icables de Jo dan, o ien adas en sen ido posi i o, que con- ienen ensuin e io Ó - (A) . 2 . ( ,Al,A2, . . .,AN) = g l ( ,A l ) + g 2 ( ,A2 ) + . . .+ .9N( ,N) X ( ) = exp(  A  +wI)ds)X( ) = exp(w( - ) .I) exp(  A  ds)X( ) j  _ o s_d  n  o  o  n  o s_ a  o 17 2 - SISTEMASDIFERENCIALES BESSEL _a z  A exp(w( - o )) . 1  (  ) (ZIn A) -ldz.X( o ) = exp(w( - o ) ) . ( -` ~) X( 0) , 211i  ~ a  0 - a , comoen los sis emas Eule . - SISTEMASDIFERENCIALES GAUSS CONMUTATIVOS A l_ + A2 ( ,A1,A2, . . .,AN -_ - 1 - 2 n i  =  (1,2, . . . .n)  ,  VA i 6  L(!z  (,Z, ,n ) X( ) = exp(  ( `Al + A 2+ . . .+ An )d s) X( 0) _ s_ 1 s_ 2 s_ n o 9 1 ( ,A 1 )+ g 2 ( ,A 2 ) = ( + WI n ),  VA& L(,,n .On) . o 5¿ i _ kzk  _1 (  )  (zk1n - A k )  dzk 'X( 0 ) ~ o k k, comoen los an e io es _ sis emas, espec o a A k . n  1  - k zk  -1  (~  k Ak X ( )  _  F  I ( -  (  )  (z k I i - A k )  dz k ) . X ( .)= I  I (  )  .  X ( o ) . k=l  2n i  K o - k  k=1  o k - SISTEMAS DIFERENCIALES CIRCULANTES . (AMATO) . an ( )  al ( )  a 2 ( ) . . . . a,-1 ( ) ( ,Al,A2, . .,Ak) = al ( )  a2 ( )  a 3 ( ) . . .  an( ) ñ -1 ( ) an ( ) a l ( ) . . . ñ-2 ( ) ' a 2 ( ) a 3 ( ) . a 4 M... a l ( ) =a 1 ( ),A l + a 2( )A 2 + . . .+ an( An a l k, como en los sis emas Gauss conmu a i as . n  n X ( ) = exp(  Z ak(s)A k-1 ds)X( o ) = exp(,(S  a, (s)ds)A k-1 )X( o ) o k=1  k=1  o n   -l = I  ( 1  ex p( ~  ak (s) ds . zk) (zkl i A k-l )  dzk) k=1 2qi ~ k  (a i ( )con inuaE . en I) n = a l ( )I n+ a 2 ( ) A + a3 ( ) A2+ . . .+an( )An-1=  ak( )Ak-1 k=1 i= ~ Se iene  G(A P ) =(wi ) i=1 , siendo w i , aícesde la ecuación i=n w n - 1=p ~ p = '1,2, . . . ,n-1,  p = 0,  (~(A o )  =  CT"(I n )  _  (ai) i=1 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 1.- APOSTOL, T .M :  "Calculus", Vol . 2, Ed . Re en é, Ba celona, 1973 . 2 .- BELLPLzuN, R . :  "In oducci .én al . anílisis ma icial", Ed . Re' e é . Ba celona, 1965 . 3 .- ERUGIN, N .I . :  "Linea sys ems o o dina y di e en ial equa ions" . Ed . 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