PRACOVNÍ SEŠIT DO MATEMATIKY
Funkce jedné p oměnné
RND . Zuzana Mo á ko á, Ph.D.
RND . Alžbě a Lampa o á
Mg . Monika Jahodo á, Ph.D.
Os a a
Obsah
1 Funkce a její las nos i ............................... 3
1.1 De inice unkce ............................... 3
1.2 Ope ace s unkcemi ............................ 4
1.3 Složená unkce ............................... 4
1.4 Vlas nos i unkce .............................. 5
1.5 In e zní unkce ............................... 9
2 Pˇ ehled elemen á ních unkcí ........................... 10
2.1 Polynomy .................................. 10
2.2 Lineá ní lomená unkce .......................... 18
2.3 Funkce odmocnina ............................. 22
2.4 Exponenciální unkce ........................... 25
2.5 Loga i mická unkce ............................ 28
2.6 Goniome ické unkce ........................... 32
2.7 Cyklome ické unkce ........................... 39
3ˇ
Rešené pˇ íklady ................................... 44
3.1 De iniˇcní obo (ˇ ešené pˇ íklady) ..................... 44
3.2 In e zní unkce (ˇ ešené pˇ íklady) .................... 49
4 Limi a a spoji os .................................. 54
4.1 Rozšíˇ ení množiny eálných ˇcísel ..................... 54
4.2 Limi a unkce ................................ 54
4.3 Spoji os ................................... 63
Pˇ edmlu a
V om o p aco ním seši ˇe se budeme zabý a unkcemi, jejich g a y a las nos mi, limi ou
unkce a její spoji os í.
S udijní ex je doplnˇen in e ak i ními p ky e o mˇe odkazu a QR kódu. V pˇ ehledu ele-
men á ních unkcí jsou ˇemi o p ky odkazy na in e ak i ní pom˚ucky GeoGebˇ e, k e é
Vám pomohou pˇ i s udiu g a ˚u unkcí.
V ˇcás i ˇ ešených pˇ íklad˚u na de iniˇcní obo y a limi u unkce jsou odkazy na ˇ ešené ideo-
pˇ íklady, jejichž au o em je Mg . Radka Hamˇ íko á, Ph.D.
Ak uální e zi oho o p aco ního seši u najde e na:
h ps://mdg. sb.cz/po al/m1/p aco nisesi MI_ unkce.pd
To o dílo je licenco áno pod CC BY 4.0
ISBN 978-80-248-4777-1 (on-line)
2
1. FUNKCE A JEJÍ VLASTNOSTI
1 Funkce a její las nos i
1.1 De inice unkce
De inice unkce
De inice 1.1 Funkce na množinˇe D ⊂Rje zob azení, k e é každému ˇcíslu x∈D
pˇ iˇ adí p á ˇe jedno ˇcíslo y∈R. Zapisujeme:
:y= (x).
Poznámka
y= (x)je unkˇcní pˇ edpis yjadˇ ující zá islos yna x.
xje nezá islá p omˇenná (a gumen ) z de iniˇcního obo u.
yje zá islá p omˇenná z obo u hodno , ypoˇcí áme ji z unkˇcního pˇ edpisu.
Hodno u unkce bodˇe x0oznaˇcíme (x0) = y0a nazý á se unkˇcní hodno a unkce
bodˇe x0.
x
−4−3−2−1 1 2 3 4
y
−2
−1
1
2
3
0
De iniˇcní obo y
De inice 1.2 Množinu D naz eme de iniˇcní obo unkce .
Obo hodno unkce je množina šech y∈R, ke k e ým exis uje aspoˇn jedno x∈D
ak, že y= (x)a znaˇcíme H .
G a em unkce e z olené sous a ˇe souˇ adnic je množina šech bod˚u [x, (x)], kde
x∈D .
3
1. FUNKCE A JEJÍ VLASTNOSTI
1.2 Ope ace s unkcemi
Jsou dány unkce g(x),h(x)s de iniˇcními obo y Dg,Dh.
Ro nos unkcí:g=h.ˇ
Rekneme, že si jsou d ˇe unkce o ny, když pla í:
g(x) = h(x)p o každé x∈DgaDg=Dh
Souˇce unkcí: (x) = g(x) + h(x)aD =Dg∩Dh
Souˇcin unkcí: (x) = g(x)·h(x)aD =Dg∩Dh
Podíl unkcí: (x) = g(x)
h(x)aD =Dg∩(Dh {x∈Dh:h(x) = 0})
1.3 Složená unkce
De inice 1.3 Funkce je složena z unkcí hag, když:
p o každé x∈D pla í (x) = h(g(x)),
kde D =x∈Dg,g(x)∈Dh.
Funkci gnazý áme ni ˇ ní ah nˇejší unkcí.
Pˇ íklad 1. Napiš e pˇ edpis složené unkce :y=h(g(x)).
a) h:y=√x
g:y=x+2
b) h:y=1+sin x
g:y=x2−5
c) h:y=x2−3x
g:y=sin(x)
a)h:y=√xg:y=x+2h(g(x)) = √x+2
b)h:y=1+sin xg:y=x2−5h(g(x)) = 1+sin(x2−5)
c)h:y=x2−3xg:y=sin(x)h(g(x)) = (sin(x))2−3·sin(x)
Skládání unkcí není komu a i ní h(g(x)) =g(h(x)). Napˇ íklad:
h:y=x2−1g:y=1
xh(g(x)) = 1
x2
−1g(h(x)) = 1
x2−1
Úlohy k p oc iˇcení
Pˇ íklad 2. Napiš e pˇ edpis složené unkce :y=h(g(x)).
a) g:y=x2
h:y=log(x)
b) g:y=x+2
h:y=cos(x)c) g:y=1
x
h:y=2x3+x+2
4
1. FUNKCE A JEJÍ VLASTNOSTI
1.4 Vlas nos i unkce
Funkce sudá a lichá
De inice 1.4 Funkce se nazý á sudá, když:
p o každé x∈D pla í −x∈D a aké (−x) = (x).
G a sudé unkce je soumˇe ný podle osy y.
x
−3−2−1 1 2 3
y
1
2
3
4
0
y=x2
x
−π−π
2
π
2π3π
22π5π
23π
y
−2
−1
1
2
0
y=cos x
Pˇ íklady sudých unkcí
De inice 1.5 Funkce se nazý á lichá, když:
p o každé x∈D pla í −x∈D a aké (−x) = − (x).
G a liché unkce je soumˇe ný podle poˇcá ku sous a y souˇ adnic [0, 0].
x
−3−2−1 1 2 3
y
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
y=x3
x
−4−3−2−1 1 234
y
−π
2
π
2
0
y=a c an x
Pˇ íklady lichých unkcí
Úlohy k p oc iˇcení
Pˇ íklad 3. Z ob ázku ozhodnˇe e, zda se jedná o g a sudé nebo liché unkce.
①
x
−5−4−3−2−1 1 2345
y
1
2
3
4
0
③
x
−4−3−2−1 1 2 3 4
y
1
2
3
4
0
5

1. FUNKCE A JEJÍ VLASTNOSTI
②
x
−5−4−3−2−1 1 2 3 45
y
−3
−2
−1
1
2
3
0
④
x
−5−4−3−2−1 1 2345
y
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
Pˇ íklad 4. U ˇce e, zda je unkce (x) = 3x
1+x4sudá nebo lichá.
P o ozhodnu í, zda je unkce sudá nebo lichá, je po ˇ eba do pˇ edpisu unkce dosadi (−x):
(−x) = 3(−x)
1+ (−x)4.
Úp a ou oho o ý azu dos á áme:
(−x) = −3x
1+x4.
Snadno idíme, že (−x)není o no (x), unkce edy není sudá.
Zkusme nyní po o na (−x)a ý az − (x):
− (x) = (−1)· (x) = (−1)·3x
1+x4=−3x
1+x4.
Vidíme, že ý azy (−x)a− (x)se o nají, unkce je edy lichá.
Funkce (x) = 3x
1+x4je lichá.
Úlohy k p oc iˇcení
Pˇ íklad 5. U ˇce e, zda je unkce sudá nebo lichá.
a) (x) = x2+x4−1
x2+2+4
b) (x) = x
sin2x−x
c) (x) = x3·cos x+4
d) (x) = 1
√x
e) (x) = x·sin2x−x3
) (x) = x+2
x−2
g) (x) = ln 2−x
2+x⋆
6
1. FUNKCE A JEJÍ VLASTNOSTI
Pe iodická unkce
De inice 1.6 Funkce se nazý á pe iodická, když exis uje ako é ˇcíslo p>0, že p o
každé k∈Zzá o eˇn pla í:
1. p o každé x∈D je aké x+k·p∈D
2. p o každé x∈D pla í (x+k·p) = (x)
ˇ
Císlo pse nazý á pe ioda unkce .
Poznámka
G a pe iodické unkce se p a idelnˇe opakuje po in e alech, jejichž délka je o na zá-
kladní pe iodˇe p.
x
−π−π
2
π
2π3π
22π5π
23π
y
−2
−1
1
2
0
y=cos xx
−3π
2−π−π
2
π
2π3π
22π5π
2
y
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
y= an x
Pˇ íklady pe iodických unkcí
Oh aniˇcená a neoh aniˇcená unkce
De inice 1.7 Funkce se nazý á
•oh aniˇcená sho a na množinˇe M, exis uje-li ako é ˇcíslo h, že p o šechna x∈M
pla í (x)≤h.
•oh aniˇcená zdola na množinˇe M, exis uje-li ako é ˇcíslo d, že p o šechna x∈M
pla í (x)≥d.
•oh aniˇcená na množinˇe M, je-li na ní oh aniˇcená sho a i zdola.
Poznámka
V opaˇcném pˇ ípadˇe se nazý á neoh aniˇcená.
7
1. FUNKCE A JEJÍ VLASTNOSTI
x
−4−3−2−1 1 2 3 4
y
−2
−1
1
2
3
0
Oh aniˇcená unkce
x
−4−3−2−1 1 234
y
−2
−1
1
2
3
4
5
0
Funkce oh aniˇcená zdola
x
−4−3−2−1 1 2345
y
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
0
Neoh aniˇcená unkce
Mono onnos unkce, unkce os oucí a klesající
De inice 1.8 Funkce se nazý á
• os oucí na in e alu I, p á ˇe když p o šechna x1,x2∈Ipla í: je-li x1<x2, pak
(x1)< (x2).
•klesající na in e alu I, p á ˇe když p o šechna x1,x2∈Ipla í: je-li x1<x2, pak
(x1)> (x2).
•neklesající na in e alu I, p á ˇe když p o šechna x1,x2∈Ipla í: je-li x1<x2,
pak (x1)≤ (x2).
•ne os oucí na in e alu I, p á ˇe když p o šechna x1,x2∈Ipla í: je-li x1<x2,
pak (x1)≥ (x2).
Poznámka
Ty o unkce se nazý ají mono onní na in e alu I. Funkce os oucí a klesající na in e -
alu Ise nazý ají yze mono onní na in e alu I.
x
−4−3−2−1 1 234
y
1
2
3
4
0
Ros oucí unkce
x
−4−3−2−1 1 234
y
−1
1
2
3
4
0
Neklesající unkce
x
−4−3−2−1 1 234
y
−1
1
2
3
4
0
Funkce, k e á není mono onní
P os á unkce
De inice 1.9 Funkce se nazý á p os á, p á ˇe když p o šechna x1,x2∈D pla í:
je-li x1=x2, pak (x1)= (x2).
8
1. FUNKCE A JEJÍ VLASTNOSTI
x
−3−2−1 1 2 3
y
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
y=xx
−5−4−3−2−1 1 2 3 45
y
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
0
y=1
x
x
−1 1 2345
y
−3
−2
−1
1
2
3
0
y=logax,a>1
Pˇ íklady p os ých unkcí
x
−3−2−1 1 2 3
y
1
2
3
4
0
y=x2
x
−π−π
2
π
2π3π
22π5π
23π
y
−2
−1
1
2
0
y=sin x
Pˇ íklady unkcí, k e é nejsou p os é
Vˇe a 1.1 Každá yze mono onní unkce je p os á.
1.5 In e zní unkce
De inice 1.10 In e zní unkcí k p os é unkci (x)je unkce, k e á každému y∈H
pˇ iˇ adí p á ˇe o x∈D , p o k e é je (x) = y. Znaˇcíme ji −1.
G a y unkce a unkce in e zní −1jsou syme ické podle osy p ního a ˇ e ího k ad-
an u, j. pˇ ímky y=x.
Poznámka
P o de iniˇcní obo a obo hodno pla í: D −1=H ,H −1=D . Dále pla í:
 −1(x)=x −1( (x))=x
Napˇ íklad in e zní unkcí k unkci (x) = 1
xje unkce −1(x) = 1
x, p o ože p o každé
x=0 pla í: 1
1
x
=x.
In e zní unkcí k unkci (x) = x2je p o šechna x≥0 unkce −1(x) = √x, p o ože p o
šechna x≥0 pla í: √x2=x,(√x)2=x.
9
2. Pˇ
REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ
Mocninné unkce (s pˇ i ozeným exponen em)
y=xnn∈N
D =R
P o nsudé:H =⟨0, ∞), není p os á, unkce je sudá, oh aniˇcená zdola:
x
−3−2−1 1 2 3
y
1
2
3
4
0
y=x2
x
−3−2−1 1 2 3
y
−1
1
2
3
4
0
y=x4
P o nliché:H =R, unkce je p os á, lichá, neoh aniˇcená:
x
−3−2−1 1 2 3
y
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
y=x
x
−3−2−1 1 2 3
y
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
y=x3
Uži eˇcné zo ce
(a−b)(a+b) = a2−b2
(a+b)(a2−ab +b2) = a3+b3
(a−b)(a2+ab +b2) = a3−b3
(a+b)2=a2+2ab +b2
(a−b)2=a2−2ab +b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
(a+b)n=
n
∑
k=0n
kan−kbk=
=an+n
1an−1b+n
2an−2b2+···+n
n−1abn−1+bn
(a−b)n=
n
∑
k=0
(−1)kn
kan−kbk
16

2. Pˇ
REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ
Pˇ íklad 14. Z pˇ edpisu unkce :y=2x3−1 yjádˇ e e p omˇennou x zá islos i na y.
y=2x3−1
y+1=2x3
y+1
2=x3
3
y+1
2=x
Hledané yjádˇ ení je x=3
y+1
2.
V pˇ edchozím pˇ íkladu jsme las nˇe dokázali, že in e zní unkcí k unkci (x) = 2x3−1
je unkce −1(x) = 3
qx+1
2. Na ob ázku jsou znázo nˇeny g a y obou unkcí a opˇe m˚užeme
idˇe , že jsou oso ˇe soumˇe né podle osy 1. a 3. k ad an u.
−4−3−2−1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y
x
−1
Úlohy k p oc iˇcení
Pˇ íklad 15. Z pˇ edpisu zadané unkce yjádˇ e e p omˇennou x zá islos i na y:
a) y=2−7x3b) y=1
4x5−3c) y=4−3x5
2
17
2. Pˇ
REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ
2.2 Lineá ní lomená unkce
y=a
x+b+c a,b,c∈R,a=0
D =R {−b},H =R {c}, g a em je hype bola, unkce má d ˇe asymp o y y=c,
x=−b, je neoh aniˇcená a p os á.
x
−5−4−3−2−1 1 2345
y
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
0
y=1
x
x
−3−2−1 1 2345
y
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
0
y=−1
x−2+3
Pˇ íklad 16. U ˇce e asymp o y g a u unkce :y=2x+5
x+1.
Asymp o y lze u ˇci ak, že pˇ edpis lomené unkce pˇ e edeme do a u
y=a
x+b+c,
z nˇehož pak již snadno yˇc eme o nice asymp o . Toho snadno dosáhneme ak, že p o-
mˇennou x ˇci a eli nah adíme zá o kou, e k e é bude celý jmeno a el. Po é o, co jsme
pˇ iˇce li na íc, odeˇc eme, aby byla zacho ána o nos . Pak už jen up a íme. Konk é nˇe,
2x+5
x+1=2(x+1)−2·1+5
x+1=2(x+1) + 3
x+1=2(x+1)
x+1+3
x+1=3
x+1+2
G a unkce y=2x+6
x+1má asymp o y x=−1, y=2.
Pˇ íklad 17. U ˇce e asymp o y g a u unkce :y=x−4
2x−6.
Ten ok á máme e jmeno a eli zadané unkce 2x−6 a je edy ob ížnˇejší pˇ e és en o
pˇ edpis na a
y=a
x+b+c.
18
2. Pˇ
REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ
Zaˇcneme y knu ím ˇcísla pˇ ed p omˇennou x e jmeno a eli, což je om o pˇ ípadˇe ˇcíslo
2, po é pok aˇcujeme s ejnˇe jako pˇ edchozím pˇ íkladu:
x−4
2x−6=x−4
2(x−3)=
1
2(x−4)
x−3=
1
2x−2
x−3=
=
1
2(x−3) + 3
2−2
x−3=
1
2(x−3)−1
2
x−3=−1
2
x−3+1
2
G a unkce y=x−4
2x−6má asymp o y x=3, y=1
2.
Pˇ íklad 18. U ˇce e asymp o y g a u unkce :y=2x+3
3x+1.
Zaˇcneme pˇ e edením pˇ edpisu zadané unkce do a u
y=a
x+b+c.
Vy kneme p o o nejp e ze jmeno a ele ˇcíslo 3. Po é opˇe nah adíme p omˇennou x ˇci a-
eli celým up a eným ý azem e jmeno a eli a pok aˇcujeme obdobnˇe jako pˇ edchozích
d ou pˇ íkladech:
2x+3
3x+1=2x+3
3x+1
3=
2x+1
3−2
3+3
3x+1
3=
=
2x+1
3+7
3
3x+1
3=
2x+1
3
3x+1
3+
7
3
3x+1
3
Nakonec už jen zk á íme zá o ku p ním zlomku, e d uhém zlomku pˇ e edeme ˇcíslo
3 ze jmeno a ele do ˇci a ele a po é zapíšeme do ýsledného a u, ze k e ého už idíme
o nice asymp o :
2x+3
3x+1=
7
9
x+1
3
+2
3
G a unkce y=2x+3
3x+1má asymp o y x=−1
3,y=2
3.
19
2. Pˇ
REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ
Úlohy k p oc iˇcení
Pˇ íklad 19. Pˇ iˇ ad’ e k ob ázku sp á ný unkˇcní pˇ edpis.
a) y=1
x
b) y=1
x+1
c) y=2
x
d) y=−3
x−1
e) y=2x+1
x
) y=1−2x
x−2
Z g a u unkce u ˇce e de iniˇcní obo a obo hodno . U ˇce e p ˚useˇcíky g a u unkce s osami
x,y. Zjis ˇe e, zda je unkce sudá nebo lichá. Najdˇe e in e aly, na k e ých je unkce os-
oucí, klesající. Je unkce oh aniˇcená? U ˇce e asymp o y unkce.
①
−4−3−2−1 1 234
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y
x
④
−2−1 1 2 3 45 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
y
x
②
−4−3−2−1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y
x
⑤
−4−3−2−1 1 234
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y
x
③
−4−3−2−1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y
x
⑥
−4−3−2−1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y
x
Úlohy k p oc iˇcení
Pˇ íklad 20. Nak esle e g a y zadaných unkcí.
a) y=−1
x
b) y=2
x−1
c) y=x
x−1
d) y=2x−1
x
e) y=1−1
x
) y=1−x
2−x
Z g a u unkce u ˇce e de iniˇcní obo a obo hodno . U ˇce e p ˚useˇcíky g a u unkce s osami
x,y. Zjis ˇe e, zda je unkce sudá nebo lichá. Najdˇe e in e aly, na k e ých je unkce os-
oucí, klesající. Je unkce oh aniˇcená? U ˇce e asymp o y unkce.
In e ak i ní pom˚ucka p o g a y lineá ní lomená unkce
20
2. Pˇ
REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ
Pˇ íklad 21. U ˇce e de iniˇcní obo unkce :y=2x+5
x−3.
Zamysleme se nad ím, k e á eálná ˇcísla m˚užeme dosadi do pˇ edpisu zadané unkce.
Témˇeˇ šechna s jedinou ýjimkou, zní sp á ná odpo ˇed’. Neumíme dˇeli nulou, p o o
musí nu nˇe pla i , že jmeno a el zadaného zlomku musí bý nenulo ý. Tedy
x−3=0,
neboli
x=3.
De iniˇcním obo em zadané unkce jsou edy šechna eálná ˇcísla k om ˇcísla 3.
3
De iniˇcním obo em unkce :y=2x+5
x−3je sjednocení in e al˚u D = (−∞;3)∪
(3; ∞).
Úlohy k p oc iˇcení
Pˇ íklad 22. Z pˇ edpisu zadané unkce u ˇce e její de iniˇcní obo :
a) y=4
x+1
b) y=2x+1
5−x
c) y=1−2x
3x+4
d) y=3x−7
2x−3+3x
4−2x
Pˇ íklad 23. Z pˇ edpisu unkce :y=3−x
x−2 yjádˇ e e p omˇennou x zá islos i na y.
y=3−x
x−2
y(x−2) = 3−x
xy −2y=3−x
xy +x=2y+3
x(y+1) = 2y+3
x=2y+3
y+1
21

2. Pˇ
REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ
Hledané yjádˇ ení je x=2y+3
y+1.
V pˇ edchozím pˇ íkladu jsme dokázali, že in e zní unkcí k unkci (x) = 3−x
x−2je unkce −1(x) =
2x+3
x+1. Níže idíme oso ˇe soumˇe né g a y obou unkcí.
−4−3−2−1 1 2 3 45
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
y
x
−1
Úlohy k p oc iˇcení
Pˇ íklad 24. Z pˇ edpisu zadané unkce yjádˇ e e p omˇennou x zá islos i na y:
a) y=1
x+3b) y=2x
5−xc) y=x+3
2x−1
2.3 Funkce odmocnina
y=n
√x,n∈N
P o nsudé:D =⟨0, ∞),H =⟨0, ∞),
unkce je p os á, oh aniˇcená zdola, os oucí:
x
−1 1 2 3 4
y
−1
1
2
3
0
y=√x
P o nliché:D =R,H =R,
unkce je p os á, lichá, neoh aniˇcená:
x
−4−3−2−1 1 234
y
−2
−1
1
2
0
y=3
√x
22
2. Pˇ
REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ
Uži eˇcné zo ce
n
√a=a1
n
n
√an
√b=n
√a b
n
√am=n
√am
m
qn
√a=m n
√a
Pˇ íklad 25. U ˇce e de iniˇcní obo unkce :y=√x2+2x−3.
De iniˇcním obo em zadané unkce budou šechna eálná ˇcísla, k e á m˚užeme dosadi do
daného pˇ edpisu. Víme, že d uhá odmocnina je de ino ána jen p o nezápo ná ˇcísla. Tedy
musí pla i
x2+2x−3≥0.
Vý az le o ozložíme na souˇcin lineá ních ˇclen˚u. K omu po ˇ ebujeme spoˇcí a jeho ko-
ˇ eny:
x1,2 =−2±p22−4·1·(−3)
2·1=−2±4
2=x1=1
x2=−3
Naši podmínku edy m˚užeme pˇ epsa
(x−1)(x+3)≥0.
Tu o ne o nici yˇ ešíme následujícím zp˚usobem. Nulo é body 1 a −3 ozdˇelí eálnou
osu na ˇ i in e aly. Do abulky zaznamenáme, jaké znaménko mají ý azy zá o kách
a aké jejich souˇcin na ˇech o konk é ních in e alech (zjis íme dosazením, napˇ . z in e -
alu (−∞;−3)m˚užeme yb a ˇcíslo −5, když ho dosadíme do ý azu x−1 dos aneme
ˇcíslo −6, na om o in e alu je edy ý az zápo ný):
(−∞;−3) (−3;1) (1; ∞)
x−1− − +
x+3−+ +
(x−1)(x+3) + −+
Z abulky idíme, že je ý az (x−1)(x+3)kladný na in e alech (−∞,−3)a(1, ∞). Do
ýsledného de iniˇcního obo u budou pa ˇ i aké oba nulo é body, p o ože naše podmínka
po olo ala i o nos nule.
-3 1
De iniˇcním obo em zadané unkce je sjednocení in e al˚u D = (−∞;−3⟩∪⟨1; ∞).
23
2. Pˇ
REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ
Úlohy k p oc iˇcení
Pˇ íklad 26. Z pˇ edpisu zadané unkce u ˇce e její de iniˇcní obo :
a) y=√x+2
b) y=√9−x2
c) y=√−2x+√3+x
d) y= x−2
3−x
e) y=7x
3
√x−5
) y=1
4
√x+3
g) y=x2−41
4
Pˇ íklad 27. Z pˇ edpisu unkce y=√2x+5
3 yjádˇ e e p omˇennou x zá islos i na y.
y=√2x+5
3
3y=√2x+5
9y2=2x+5
9y2−5=2x
9y2−5
2=x
Hledané yjádˇ ení je x=9y2−5
2.
V pˇ edchozím pˇ íkladu jsme našli k unkci (x) = √2x+5
3in e zní unkci −1(x) = 9x2−5
2.
Níže idíme g a y obou unkcí a opˇe si m˚užeme šimnou , že jsou oso ˇe soumˇe né.
−2−1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
4
y
x
−1
Úlohy k p oc iˇcení
Pˇ íklad 28. Z pˇ edpisu zadané unkce yjádˇ e e p omˇennou x zá islos i na y:
a) y=3−√xb) y=√4x+1c) y=√x
2−1
24
2. Pˇ
REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ
2.4 Exponenciální unkce
y=ax,a>0 , a=1
D =R,H =(0, ∞), ˇcíslo ase nazý á základ exponenciální unkce, g a p o íná osu y
bodˇe [0, 1], unkce je oh aniˇcená zdola, p os á (in e zní unkce je unkce loga i mická)
Je-li a>1, je unkce os oucí:
x
−3−2−1 1 2 3
y
−1
1
2
3
4
0
y=ax,a>1
Je-li 0 <a<1, je unkce klesající:
x
−3−2−1 1 2 3
y
−1
1
2
3
4
0
y=ax, 0 <a<1
Poznámka
Je-li základem Eule o o ˇcíslo e =2.71828 . . ., pak se unkce y=exnazý á pˇ i ozená
exponenciální unkce.
Uži eˇcné zo ce
a ·as=a +s
a
as=a −s
(a )s=a ·s
(a·b) =a ·b
Úlohy k p oc iˇcení
Pˇ íklad 29. Spoˇcí ej e:
a) 8−1
3
b) 2−2·641
2
c) 3
5−2
d) 5−3
e) 5 ·161
4
) 4
9−1
2
g) 64−2
3
h) 25−3
2
i) 2
5−3
2
25
2. Pˇ
REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ
2.6 Goniome ické unkce
Funkce sinus
y=sin x
D =R,H =⟨−1,1⟩, unkce je pe iodická s pe iodou 2π, je lichá, je oh aniˇcená, unkce
není p os á.
x
−π−π
2
π
2π3π
22π5π
23π
y
−2
−1
1
2
0
y=sin x
Funkce kosinus
y=cos x
D =R,H =⟨−1,1⟩, unkce je pe iodická s pe iodou 2π, je sudá, je oh aniˇcená, unkce
není p os á.
x
−π−π
2
π
2π3π
22π5π
23π
y
−2
−1
1
2
0
y=cos x
32

2. Pˇ
REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ
Úlohy k p oc iˇcení
Pˇ íklad 41. Pˇ iˇ ad’ e k ob ázku sp á ný unkˇcní pˇ edpis.
a) y=sin x
b) y=sin2x
c) y=sin x−π
3
d) y=2·sin x
e) y=2+sin x
) y=sin x+π
4
Z g a u unkce u ˇce e de iniˇcní obo a obo hodno . U ˇce e p ˚useˇcíky g a u unkce s osami
x,y. Zjis ˇe e, zda je unkce sudá nebo lichá. Najdˇe e in e aly, na k e ých je unkce os-
oucí, klesající. Je unkce oh aniˇcená?
①
−4−3−2−1 1 2345678910
−3
−2
−1
1
2
3
y
x
③
−4−3−2−1 1 2345678910
−3
−2
−1
1
2
3
y
x
⑤
−4−3−2−1 1 2345678910
−3
−2
−1
1
2
3
y
x
②
−4−3−2−1 1 2345678910
−3
−2
−1
1
2
3
y
x
④
−4−3−2−1 1 2345678910
−3
−2
−1
1
2
3
y
x
⑥
−4−3−2−1 1 2345678910
−3
−2
−1
1
2
3
y
x
Úlohy k p oc iˇcení
Pˇ íklad 42. Nak esle e g a y zadaných unkcí.
a) y=sin x
b) y=sin x−π
4
c) y=sin (4x)
d) y=sin x+4
e) y=sin π
4−x
) y=4·sin x
Z g a u unkce u ˇce e de iniˇcní obo a obo hodno . U ˇce e p ˚useˇcíky g a u unkce s osami
x,y. Zjis ˇe e, zda je unkce sudá nebo lichá. Najdˇe e in e aly, na k e ých je unkce os-
oucí, klesající. Je unkce oh aniˇcená?
In e ak i ní pom˚ucka p o g a y unkce sinus
33
2. Pˇ
REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ
Úlohy k p oc iˇcení
Pˇ íklad 43. Pˇ iˇ ad’ e k ob ázku sp á ný unkˇcní pˇ edpis.
a) y=cos x
b) y=cos x
3
c) y=1
3cos x
d) y=cos x−π
4
e) y=cos x+π
6
) y=1−cos x
Z g a u unkce u ˇce e de iniˇcní obo a obo hodno . U ˇce e p ˚useˇcíky g a u unkce s osami
x,y. Zjis ˇe e, zda je unkce sudá nebo lichá. Najdˇe e in e aly, na k e ých je unkce os-
oucí, klesající. Je unkce oh aniˇcená?
①
−4−3−2−1 1 2345678910
−3
−2
−1
1
2
3
y
x
③
−4−3−2−1 1 2345678910
−3
−2
−1
1
2
3
y
x
⑤
−4−3−2−1 1 2345678910
−3
−2
−1
1
2
3
y
x
②
−4−2 2 46 8 10 12 14 16 18 20
−3
−2
−1
1
2
3
y
x
④
−4−3−2−1 1 2345678910
−3
−2
−1
1
2
3
y
x
⑥
−4−3−2−1 1 2345678910
−3
−2
−1
1
2
3
y
x
Úlohy k p oc iˇcení
Pˇ íklad 44. Nak esle e g a y zadaných unkcí.
a) y=cos x
b) y=cos x
2
c) y=1
2cos x
d) y=2−cos x
e) y=cos x−π
3
) y=cos x+π
3
Z g a u unkce u ˇce e de iniˇcní obo a obo hodno . U ˇce e p ˚useˇcíky g a u unkce s osami
x,y. Zjis ˇe e, zda je unkce sudá nebo lichá. Najdˇe e in e aly, na k e ých je unkce os-
oucí, klesající. Je unkce oh aniˇcená?
In e ak i ní pom˚ucka p o g a y unkce kosinus
34
2. Pˇ
REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ
Funkce angens
y= an x
D =R π
2+kπ,k∈Z,H =R, unkce je pe iodická s pe iodou π, je lichá, je neoh a-
niˇcená, unkce není p os á.
x
−3π
2−π−π
2
π
2π3π
22π5π
2
y
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
y= an x
Funkce ko angens
y=co x
D =R {kπ,k∈Z},H =R, unkce je pe iodická s pe iodou π, lichá, neoh aniˇcená,
unkce není p os á.
x
−π−π
2
π
2π3π
22π5π
2
y
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
y=co x
35
2. Pˇ
REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ
Hodno y goniome ických unkcí p o yb ané hodno y
0π
6
π
4
π
3
π
2
sin x01
2
√2
2
√3
21
cos x1√3
2
√2
2
1
20
an x0√3
31√3×
co x×√3 1 √3
30
Uži eˇcné zo ce
sin2x+cos2x=1
an x·co x=1
an x=sin x
cos xco x=cos x
sin x
sin2x=2sin xcos x
cos2x=cos2x−sin2x
an2x=2 an x
1− an2x
co 2x=co 2x−1
2co x
sin(x+y) = sin xcos y+cos xsin y
sin(x−y) = sin xcos y−cos xsin y
cos(x+y) = cos xcos y−sin xsin y
cos(x−y) = cos xcos y+sin xsin y
an(x±y) = an x± an y
1∓ an x an y
co (x±y) = co xco y∓1
co y±co x
sin x+sin y=2sin x+y
2cos x−y
2
sin x−sin y=2cos x+y
2sin x−y
2
cos x+cos y=2cos x+y
2cos x−y
2
cos x−cos y=−2sin x+y
2sin x−y
2
an x± an y=sin(x±y)
cos xcos y
co x±co y=sin(y±x)
sin xsin y
36
2. Pˇ
REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ
Úlohy k p oc iˇcení
Pˇ íklad 45. Pˇ iˇ ad’ e k ob ázku sp á ný unkˇcní pˇ edpis.
a) y= an x
b) y= an x+π
6
c) y=− an x
d) y=co x
e) y=co 2x
) y=−co x
Z g a u unkce u ˇce e de iniˇcní obo a obo hodno . U ˇce e p ˚useˇcíky g a u unkce s osami
x,y. Zjis ˇe e, zda je unkce sudá nebo lichá. Najdˇe e in e aly, na k e ých je unkce os-
oucí, klesající. Je unkce oh aniˇcená?
①
−4−3−2−1 1 2345678910
−3
−2
−1
1
2
3
y
x
③
−4−3−2−1 1 2345678910
−3
−2
−1
1
2
3
y
x
⑤
−4−3−2−1 1 2345678910
−3
−2
−1
1
2
3
y
x
②
−4−3−2−1 1 2345678910
−3
−2
−1
1
2
3
y
x
④
−4−3−2−1 1 2345678910
−3
−2
−1
1
2
3
y
x
⑥
−4−3−2−1 1 2345678910
−3
−2
−1
1
2
3
y
x
Úlohy k p oc iˇcení
Pˇ íklad 46. Nak esle e g a y zadaných unkcí.
a) y= an x
b) y=co x
c) y= an x
2
d) y=co x
2
e) y= an x+π
4
) y=co x+π
4
Z g a u unkce u ˇce e de iniˇcní obo a obo hodno . U ˇce e p ˚useˇcíky g a u unkce s osami
x,y. Zjis ˇe e, zda je unkce sudá nebo lichá. Najdˇe e in e aly, na k e ých je unkce os-
oucí, klesající. Je unkce oh aniˇcená?
In e ak i ní pom˚ucka p o g a y unkcí angens a ko angens
37

2. Pˇ
REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ
Pˇ íklad 47. U ˇce e de iniˇcní obo unkce :y=co 2x−π
6.
A gumen unkce ko angens musí bý ˚uzný od k·π, kde k∈Z. Musí bý edy splnˇena
podmínka
2x−π
6=k·π, kde k∈Z
Budeme ˇ eši jednoduchou ne o nos , ze k e é yjádˇ íme x:
2x−π
6=k·π
2x=π
6+k·π
x=π
12 +k·π
2kde k∈Z
Hledaný de iniˇcní obo unkce m˚užeme znázo ni g a icky
-5π
12 1π
12 7π
12 13π
12
nebo zapsa následo nˇe D =R π
12 +k·π
2;k∈Z.
Úlohy k p oc iˇcení
Pˇ íklad 48. Z pˇ edpisu zadané unkce u ˇce e její de iniˇcní obo :
a) y= an x+π
3
b) y=co x−π
4
c) y=co 2x+π
5
d) y= an 2x+π
6
38
2. Pˇ
REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ
2.7 Cyklome ické unkce
Funkce a kussinus
y=a csin x
D =⟨−1,1⟩,H =−π
2,π
2, unkce je p os á, lichá, oh aniˇcená, os oucí.
Poznámka
Funkce y=a csin xje in e zní k unkci y=sin(x)na in e alu −π
2,π
2.
x
−2−1 1 2
y
−π
2
π
2
0
y=a csin x
Funkce a kuskosinus
y=a ccos x
D =⟨−1,1⟩,H =⟨0, π⟩, unkce je p os á, oh aniˇcená, klesající.
Poznámka
Funkce y=a ccos xje in e zní k unkci y=cos(x)na in e alu ⟨0, π⟩.
x
−2−1 1 2
y
π
π
2
0
y=a ccos x
39
2. Pˇ
REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ
Funkce a kus angens
y=a c an x
D =R,H =−π
2,π
2, unkce je lichá, oh aniˇcená, os oucí, p os á.
Poznámka
Funkce y=a c an xje in e zní k unkci y= an(x)na in e alu −π
2,π
2.
x
−4−3−2−1 1 2 3 4
y
−π
2
π
2
0
y=a c an x
Funkce a kusko angens
y=a cco x
D =R,H = (0, π), unkce je oh aniˇcená, klesající, p os á.
Poznámka
Funkce y=a cco xje in e zní k unkci y=co (x)na in e alu (0, π).
x
−4−3−2−1 1 2 3 4
y
π
2
π
0
y=a cco x
40
2. Pˇ
REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ
Pˇ íklad 49. U ˇce e de iniˇcní obo unkce :y=a csin 2x−7
3.
Funkce a csin(x)je de ino aná na in e alu ⟨−1;1⟩. To našem pˇ ípadˇe znamená, že celý
a gumen zadané unkce musí aké leže om o in e alu, edy
−1≤2x−7
3≤1.
To jsou e sku eˇcnos i d ˇe ne o nice, každou budeme ˇ eši z láš ’. Zaˇcnˇeme le ou ne o -
nicí:
−1≤2x−7
3
−3≤2x−7
4≤2x
2≤x
Výsledkem p ní ne o nice je in e al ⟨2; ∞).
Nyní yˇ ešíme p a ou ne o nici:
2x−7
3≤1
2x−7≤3
2x≤10
x≤5
Výsledkem d uhé ne o nice je in e al (−∞;5⟩.
Do de iniˇcního obo u budou pa ˇ i a ˇcísla, k e á yho ují obˇema ne o nicím, jinými slo y,
ýsledný de iniˇcní obo získáme jako p ˚unik pˇ edchozích d ou ýsledných in e al˚u.
2 5
De iniˇcním obo em zadané unkce je in e al D =⟨2;5⟩.
Úlohy k p oc iˇcení
Pˇ íklad 50. Z pˇ edpisu zadané unkce u ˇce e její de iniˇcní obo :
a) y=a csin (7−2x)
b) y=a csin 2x+6
3
c) y=a ccos x2
d) y=a ccos 1−2x
5
41
3. ˇ
REŠENÉ Pˇ
RÍKLADY
V p ním k oku za edeme subs i uci z=3xa yˇ ešíme ne o nos 1 −sin z=0.
1−sin z=0
−sin z=−1
sin z=1
Pˇ ipomeneme g a unkce y=sin x, e k e ém yznaˇcíme body, nichž unkce nabý á
hodno y 1:
−1
1
-2π-3π
2-ππ
2π2π5π
23π
z
y
Z g a u unkce je zˇ ejmé, že unkce sin znabý á unkˇcní hodno u 1 bodech π
2+k·2π,
kde k∈Z. Mís o z á íme do ˇ ešení p˚u odní a gumen 3xa ne o nos yˇ ešíme p o x:
z=π
2+k·2π
3x=π
2+k·2π
x=π
6+k·2π
3, kdek∈Z
De iniˇcní obo unkce obsahuje šechna eálná ˇcísla k omˇe π
6+k·2π
3, kde k∈Z. M˚u-
žeme ho yznaˇci na ˇcíselné ose
-3π
6
π
65π
69π
6
nebo ho m˚užeme nˇekolika zp˚usoby zapsa , napˇ íklad D =R π
6+k·2π
3;k∈Z
nebo
D =[
k∈Zπ
6+k·2π
3;π
6+ (k+1)·2π
3.
48

3. ˇ
REŠENÉ Pˇ
RÍKLADY
Úlohy k p oc iˇcení
Pˇ íklad 58. U ˇce e podmínky a najdˇe e de iniˇcní obo unkce.
a) y=ln 2+x
x+p4−3x−x2
b) y=q(1−2x)ln x
c) y=ln 2+2x+6
3−x
d) y=1
(4−x)ln (x−2)
e) y=x
sin2x
) y=1
1−cos2x
g) y=a csin 2−x
2x+3
h) y=a ccos 2x−1
3x
i) y=a ccos 1−1
x
Pˇ íklad 59. ˇ
Rešené ideopˇ íklady
a) (x) = sx2+x−2
x+3
b) (x) = a csin x−1
x
c) (x) = log3
x−6
x+a csin x+1
6
3.2 In e zní unkce (ˇ ešené pˇ íklady)
In e zní unkci jsme de ino ali kapi ole 1.5.
Pˇ íklad 60. Naleznˇe e in e zní unkci −1k unkci :y=2x+3
x+1a u ˇce e obo y D a
H a obo y D −1aH −1.
49
3. ˇ
REŠENÉ Pˇ
RÍKLADY
Naˇc neme g a unkce :
−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
4
y
x
Z g a u unkce je zˇ ejmé, že de iniˇcní obo unkce je D = (−∞;−1)∪(−1; ∞)a obo
hodno H = (−∞;2)∪(2; ∞). Z ob ázku aky idíme, že se jedná o unkci p os ou, p o o
in e zní unkci k ní m˚užeme hleda na celém jejím de iniˇcním obo u.
Pˇ i hledání pˇ edpisu in e zní unkce ymˇeníme p˚u odním pˇ edpisu xay. Z o nos i
yjádˇ íme y. (Podobnˇe, jako když hledáme ˇ ešení o nice s neznámou y.)
y=2x+3
x+1
x=2y+3
y+1|·(y+1)
x·(y+1) = 2y+3
xy +x=2y+3|−x−2y
xy −2y=3−x
y·(x−2) = 3−x|:(x−2)
y=3−x
x−2
Hledaná in e zní unkce má pˇ edpis −1:y=3−x
x−2.
−4−3−2−1 1 2 3 45 6 7
−4
−3
−2
−1
1
2
y
x
−1
50
3. ˇ
REŠENÉ Pˇ
RÍKLADY
Hledaná in e zní unkce má pˇ edpis −1:y=3−x
x−2. De iniˇcní obo in e zní unkce
D −1je s ejný jako obo hodno unkce p˚u odní, zn. D −1= (−∞;2)∪(2; ∞) = H ,
a naopak, obo hodno in e zní unkce je o en de iniˇcnímu obo u unkce p˚u odní
H −1= (−∞;−1)∪(−1; ∞) = D .
G a y unkce a −1jsou oso ˇe soumˇe né podle osy p ního a ˇ e ího k ad an u y=x.
−4−3−2−1 1 2 3 45 6 7
−3
−2
−1
1
2
3
y=xy
x
−1
Pˇ íklad 61. Naleznˇe e in e zní unkci −1k unkci :y=√x−1 a u ˇce e obo y D a
H a obo y D −1aH −1.
V pˇ edpisu unkce se obje uje sudá odmocnina, p o o bude de iniˇcní obo unkce ome-
zen na in e al D =⟨1; ∞). G a unkce najdeme pomocí posunu í g a u elemen á ní
unkce y=√x e smˇe u osy x.
−1 1 2 3 45
−1
1
2
y
x
Obo hodno H =⟨0; ∞)a unkce je p os á, in e zní unkci m˚užeme hleda nad celým
D . Vymˇeníme p˚u odním pˇ edpisu xay. Z o nos i yjádˇ íme y:
y=√x−1
x=py−1|2
x2=y−1|+1
x2+1=y
y=x2+1
Hledaná in e zní unkce má pˇ edpis −1:y=x2+1. P o d ˇe na zájem in e zní unkce
pla í, že D −1=H . Hledanou in e zní unkcí je om o pˇ ípadˇe ˇcás pa aboly y=x2+1
nad de iniˇcním obo em D −1=⟨0; ∞).
51
3. ˇ
REŠENÉ Pˇ
RÍKLADY
−2−1 1 2
−1
1
2
3
4
y
x
−1
Hledaná in e zní unkce má pˇ edpis −1:y=x2+1 s de iniˇcním obo em
D −1=⟨0; ∞). Obo hodno unkce in e zní je s ejný jako de iniˇcní obo unkce p˚u-
odní, zn. H −1=D =⟨1; ∞).
Po zak eslení obou g a ˚u do s ejné sous a y idíme, že g a y jsou oso ˇe soumˇe né podle
osy p ního a ˇ e ího k ad an u.
−1 1 2 3 45
−1
1
2
3
4
x
y −1y=x
Pˇ íklad 62. Naleznˇe e in e zní unkci −1k unkci :y=1
2·log3(x+2) + 1 a u ˇce e
obo y D aH a obo y D −1aH −1.
De iniˇcní obo unkce je omezen podmínkou x+2>0, k e ou musí splˇno a a gumen
unkce loga i mus, edy D = (−2; ∞). G a unkce je znázo nˇen na ob ázku.
−2−1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
y
x
52
3. ˇ
REŠENÉ Pˇ
RÍKLADY
V om o pˇ ípadˇe není obo hodno unkce z ob ázku hned zˇ ejmý. Je nu né si u ˇedomi ,
že obo em hodno elemen á ní unkce y=logaxjsou šechna eálná ˇcísla a ans o mace,
k e ými znikla unkce , nemají na obo hodno li , p o o H =R. Vymˇeníme p˚u od-
ním pˇ edpisu xay. Ze z ahu yjádˇ íme y:
y=1
2·log3(x+2) + 1
x=1
2·log3(y+2) + 1|−1
x−1=1
2·log3(y+2)|·2
2x−2=log3(y+2)
log33(2x−2)=log3(y+2)
3(2x−2)=y+2|−2
3(2x−2)−2=y
y=3(2x−2)−2
Hledaná in e zní unkce má pˇ edpis −1:y=3(2x−2)−2, jejím de iniˇcním obo em je
D −1=Ra obo em hodno H −1= (−2, ∞).
G a y jsou opˇe oso ˇe soumˇe né podle osy p ního a ˇ e ího k ad an u.
−3−2−1 1 2 3 45
−2
−1
1
2
3
y
x
−1y=x
Úlohy k p oc iˇcení
Pˇ íklad 63. U ˇce e in e zní unkci, její de iniˇcní obo a obo hodno . Zak esle e g a
unkce a unkce in e zní.
a) :y=2√x+1
b) :y=3
4x−2
c) :y=4+ln x
2
d) :y=23x+1
e) :y=a c an(x−2)
) :y=1
2sin x−π
3,x∈−π
6,5π
6
53

4. LIMITA A SPOJITOST
4 Limi a a spoji os
4.1 Rozšíˇ ení množiny eálných ˇcísel
De inice 4.12 Množinu eálných ˇcísel R ozšíˇ íme o p ky ∞,−∞a naz eme ozšíˇ ená
množina eálných ˇcísel R⋆:
R⋆=R∪{∞,−∞}.
Body ±∞nazý áme ne las ní body, body množiny Rnazý áme las ní body.
Vlas nos i množiny R⋆
P o c∈Rpla í:
−∞<c<∞
Souˇce a ozdíl
c+∞=∞,c−∞=−∞,∞+∞=∞,−∞−∞=−∞
Podíl c
∞=0, c
−∞=0
Souˇcin ∞·∞=∞,∞·(−∞) = −∞,−∞·(−∞) = ∞
p o c>0 : c·∞=∞,c·(−∞) = −∞
p o c<0 : c·∞=−∞,c·(−∞) = ∞
Další ope ace de inujeme pomocí komu a i nos i sˇcí ání a násobení.
Poznámka
Vý azy
∞−∞,∞·0, 0
0,∞
∞, 00,∞0, 1∞
nejsou de ino ány a naz eme je neu ˇci é ý azy.
4.2 Limi a unkce
Limi a unkce nám pom˚uže p ozkouma cho ání unkce bodech, kde není a o unkce
de ino ána. Výsledek ýpoˇc u limi y je bud’ její hodno a z R⋆nebo zjiš ˇení, že limi a nee-
xis uje.
Pˇ i ýpoˇc u ˇcas o na azíme na neu ˇci ý ý az, což znamená, že ý az limi ˇe musíme
up a i ak, aby již nebyl neu ˇci ý a edy jsme ho umˇeli spoˇcí a .
Nejp e si popíšeme smysl symbolu →, k e ý budeme po ˇ ebo a de inici limi y. Máme
ˇcíselnou posloupnos anp o n=1, . . . , ∞a a o ˇcísla se mohou pˇ ibližo a k u ˇci é hodno ˇe
a, což oznaˇcíme an→a.
Napˇ íklad posloupnos an=1
nje oˇ ena ˇcísly 1, 1
2,1
3,1
4,1
5, . . . A idíme, že hodno y se
blíží k nule.
Jiným pˇ íkladem je posloupnos (−1)n, k e ou oˇ í ˇcísla −1, 1, −1, 1, −1, 1, . . . a a o se
zje nˇe k žádné hodno ˇe neblíží.
54
4. LIMITA A SPOJITOST
De inice 4.13 Je dána unkce a body x0∈R⋆,a∈R⋆.ˇ
Rekneme, že unkce má
bodˇe x0limi u o nu a, pokud pla í xn→x0, pak (xn)→a. Znaˇcíme:
lim
x→x0 (x) = a
Poznámka
Pokud x0∈R,a∈Rˇ ekneme že má unkce las ní (koneˇcnou) limi u.
Pokud x0∈R,a=±∞ˇ ekneme že má unkce ne las ní (nekoneˇcnou) limi u.
Pokud x0=±∞,a∈Rˇ ekneme že má unkce las ní (koneˇcnou) limi u ne las ním
bodˇe.
Pokud x0±∞,a=±∞ˇ ekneme že má unkce ne las ní (nekoneˇcnou) limi u ne-
las ním bodˇe.
x
−1 1 2
y
1
2
3
4
0
(x)lim
x→1 (x) = 2
ob . 1: Vlas ní limi a
x
−1 1 2 3
y
1
2
3
4
0
(x)
lim
x→1 (x) = ∞
ob . 2: Ne las ní limi a
x
−1 1 2 3
y
1
2
3
0
(x)
lim
x→∞ (x) = 1
ob . 3: Vlas ní limi a
ne las ním bodˇe
x
−1 1 2 3
y
1
2
3
0
(x)
lim
x→∞ (x) = ∞
ob . 4: Ne las ní limi a
ne las ním bodˇe
55
4. LIMITA A SPOJITOST
Jednos anné limi y unkce
De inice 4.14 Je dána unkce a body x0∈R⋆,a∈R⋆.ˇ
Rekneme, že unkce má
bodˇe x0limi u zp a a o nu a, pokud pla í x0<xn→x0, pak (xn)→a. Znaˇcíme:
lim
x→x+
0
(x) = a
De inice 4.15 Je dána unkce a body x0∈R⋆,a∈R⋆.ˇ
Rekneme, že unkce má
bodˇe x0limi u zle a o nu a, pokud pla í x0>xn→x0, pak (xn)→a. Znaˇcíme:
lim
x→x−
0
(x) = a
x
−1 1 2 3
y
1
2
3
0
(x)
lim
x→1+ (x) = ∞
ob . 5: Limi a zp a a
x
−1 1 2 3
y
1
2
3
0
(x)
lim
x→1− (x) = 2
ob . 6: Limi a zle a
Vˇe a 4.2 Funkce má bodˇe x0nej ýše jednu limi u.
Funkce má i nej ýše jednu limi u zle a a nej ýše jednu limi u zp a a.
Vˇe a 4.3 Funkce má bodˇe x0limi u p á ˇe ehdy, má-li om o bodˇe limi u zp a a i
zle a a y o limi y se o nají.
Ope ace s limi ami
Nech ’ mají unkce (x)ag(x)limi u bodˇe x0pak pla í:
lim
x→x0( (x) + g(x))=lim
x→x0 (x) + lim
x→x0g(x)
lim
x→x0( (x)−g(x))=lim
x→x0 (x)−lim
x→x0g(x)
lim
x→x0( (x)·g(x))=lim
x→x0 (x)·lim
x→x0g(x)
lim
x→x0(c· (x))=c·lim
x→x0 (x)
pokud pla í lim
x→x0g(x)=0, pak lim
x→x0
(x)
g(x)=
lim
x→x0 (x)
lim
x→x0g(x)
56
4. LIMITA A SPOJITOST
Pˇ íklad 64. Vyˇ eš e následující limi y:
a) lim
x→2
x2−9
x2+x−12
b) lim
x→−3
x2−9
x2+x−12
c) lim
x→3
x2−9
x2+x−12
d) lim
x→3
x2−9
√x+1−2
a) Elemen á ní unkce jsou spoji é na s ém de iniˇcním obo u. Jes liže bod x0pa ˇ í do
de iniˇcního obo u unkce, bude limi a om o bodˇe x0 o na unkˇcní hodno ˇe (x0).
Každou limi u se ždy pokusíme nejdˇ í yˇ eši dosazením x0do pˇ edpisu unkce:
lim
x→2
x2−9
x2+x−12 =22−9
22+2−12 =4−9
4+2−12 =−5
−6=5
6
b) Podobnˇe yˇ ešíme i d uhou limi u
lim
x→−3
x2−9
x2+x−12 =(−3)2−9
(−3)2+ (−3)−12 =9−9
9−3−12 =0
−6=0
c) S ejným zp˚usobem zaˇcneme ˇ eši i ˇ e í limi u, po dosazení x0=3 do pˇ edpisu
unkce
lim
x→3
x2−9
x2+x−12 =32−9
32+3−12 =9−9
9+3−12 =„0
0“
dos aneme neu ˇci ý ý az 0
0, k e ý za ím o hodno ˇe limi y nic ne ypo ídá.
Jes liže pˇ edpis unkce hodnˇe up a íme pomoci ek i alen ních úp a , unkˇcní hod-
no y bodech okolí bodu x0se nezmˇení a ím ani hodno a hledané limi y. Pokud
bude no ˇe up a ená unkce na íc de ino aná i bodˇe x0, budeme pak moc p o ý-
poˇce hledané limi y opˇe yuží unkˇcní hodno u om o bodˇe.
Tako ou unkci y oˇ íme k ácením „p oblema ické“ zá o ky (x−3). Ve jmeno a-
eli u o zá o ku získáme ozkladem k ad a ického ojˇclenu na d ˇe zá o ky yuži-
ím Vie o ých zo c˚u, ˇci a eli pak pomocí ozkladu na souˇcin zá o ek podle zo ce
a2−b2= (a−b)(a+b):
lim
x→3
x2−9
x2+x−12 =lim
x→3
(x−3)(x+3)
(x+4)(x−3)=lim
x→3
x+4
x+3=3+3
3+4=6
7
Po zk ácení ý azu a dosazení bylo už snadné u ˇci hledanou limi u.
d) I po dosazení do ˇc é limi y
lim
x→3
x2−9
√x+1−2=32−9
√3+1−2=9−9
√4−2=„0
0“
57
4. LIMITA A SPOJITOST
[b, (b)] (b)
b
[a, (a)] (a)
a
maximum
minimum
x
y
Weis asso a ˇe a a její d˚usledky
Vˇe a 4.6 Bolzano-Cauchyho
Nech ’ unkce je spoji á na uza ˇ eném in e alu ⟨a,b⟩a pla í (a)= (b).ˇ
Císlo c
leží mezi hodno ami (a)a (b). Pak exis uje aspoˇn jedno x0∈(a,b), p o k e é pla í
(x0) = c.
Poznámka
Z olme c=0.
Je-li unkce je spoji á na uza ˇ eném in e alu ⟨a,b⟩a mají-li hodno y (a)a (b)
opaˇcná znaménka. Pak exis uje aspoˇn jedno x0∈(a,b), p o k e é pla í (x0) = 0.
[b, (b)]
(b)
b
[a, (a)]
(a)
a
[x0, (x0)]
c
x0
x
y
[b, (b)] (b)
b
[a, (a)] (a)
a
0x0x0x0
x
y
Bolzano-Cauchyho ˇe a a její d˚usledky
64

T ans o mace o my a obsahu
ysokoškolského zdělá ání
na VŠB-TUO
NPO_VŠB-TUO_MSMT-
16605/2022
17. LISTOPADU 2172/15
708 00 OSTRAVA-PORUBA
uni e zi a@ sb.cz
www. sb.cz