Pracovní sešit do matematiky: Funkce jedné proměně

PRACOVNÍ SEŠIT DO MATEMATIKY Funkce jedné p oměnné RND . Zuzana Mo á ko á, Ph.D. RND . Alžbě a Lampa o á Mg . Monika Jahodo á, Ph.D. Os a a Obsah 1 Funkce a její las nos i ............................... 3 1.1 De inice unkce ............................... 3 1.2 Ope ace s unkcemi ............................ 4 1.3 Složená unkce ............................... 4 1.4 Vlas nos i unkce .............................. 5 1.5 In e zní unkce ............................... 9 2 Pˇ ehled elemen á ních unkcí ........................... 10 2.1 Polynomy .................................. 10 2.2 Lineá ní lomená unkce .......................... 18 2.3 Funkce odmocnina ............................. 22 2.4 Exponenciální unkce ........................... 25 2.5 Loga i mická unkce ............................ 28 2.6 Goniome ické unkce ........................... 32 2.7 Cyklome ické unkce ........................... 39 3ˇ Rešené pˇ íklady ................................... 44 3.1 De iniˇcní obo (ˇ ešené pˇ íklady) ..................... 44 3.2 In e zní unkce (ˇ ešené pˇ íklady) .................... 49 4 Limi a a spoji os .................................. 54 4.1 Rozšíˇ ení množiny eálných ˇcísel ..................... 54 4.2 Limi a unkce ................................ 54 4.3 Spoji os ................................... 63 Pˇ edmlu a V om o p aco ním seši ˇe se budeme zabý a unkcemi, jejich g a y a las nos mi, limi ou unkce a její spoji os í. S udijní ex je doplnˇen in e ak i ními p ky e o mˇe odkazu a QR kódu. V pˇ ehledu ele- men á ních unkcí jsou ˇemi o p ky odkazy na in e ak i ní pom˚ucky GeoGebˇ e, k e é Vám pomohou pˇ i s udiu g a ˚u unkcí. V ˇcás i ˇ ešených pˇ íklad˚u na de iniˇcní obo y a limi u unkce jsou odkazy na ˇ ešené ideo- pˇ íklady, jejichž au o em je Mg . Radka Hamˇ íko á, Ph.D. Ak uální e zi oho o p aco ního seši u najde e na: h ps://mdg. sb.cz/po al/m1/p aco nisesi MI_ unkce.pd To o dílo je licenco áno pod CC BY 4.0 ISBN 978-80-248-4777-1 (on-line) 2 1. FUNKCE A JEJÍ VLASTNOSTI 1 Funkce a její las nos i 1.1 De inice unkce De inice unkce De inice 1.1 Funkce na množinˇe D ⊂Rje zob azení, k e é každému ˇcíslu x∈D pˇ iˇ adí p á ˇe jedno ˇcíslo y∈R. Zapisujeme: :y= (x). Poznámka y= (x)je unkˇcní pˇ edpis yjadˇ ující zá islos yna x. xje nezá islá p omˇenná (a gumen ) z de iniˇcního obo u. yje zá islá p omˇenná z obo u hodno , ypoˇcí áme ji z unkˇcního pˇ edpisu. Hodno u unkce bodˇe x0oznaˇcíme (x0) = y0a nazý á se unkˇcní hodno a unkce bodˇe x0. x −4−3−2−1 1 2 3 4 y −2 −1 1 2 3 0 De iniˇcní obo y De inice 1.2 Množinu D naz eme de iniˇcní obo unkce . Obo hodno unkce je množina šech y∈R, ke k e ým exis uje aspoˇn jedno x∈D ak, že y= (x)a znaˇcíme H . G a em unkce e z olené sous a ˇe souˇ adnic je množina šech bod˚u [x, (x)], kde x∈D . 3 1. FUNKCE A JEJÍ VLASTNOSTI 1.2 Ope ace s unkcemi Jsou dány unkce g(x),h(x)s de iniˇcními obo y Dg,Dh. Ro nos unkcí:g=h.ˇ Rekneme, že si jsou d ˇe unkce o ny, když pla í: g(x) = h(x)p o každé x∈DgaDg=Dh Souˇce unkcí: (x) = g(x) + h(x)aD =Dg∩Dh Souˇcin unkcí: (x) = g(x)·h(x)aD =Dg∩Dh Podíl unkcí: (x) = g(x) h(x)aD =Dg∩(Dh {x∈Dh:h(x) = 0}) 1.3 Složená unkce De inice 1.3 Funkce je složena z unkcí hag, když: p o každé x∈D pla í (x) = h(g(x)), kde D =x∈Dg,g(x)∈Dh. Funkci gnazý áme ni ˇ ní ah nˇejší unkcí. Pˇ íklad 1. Napiš e pˇ edpis složené unkce :y=h(g(x)). a) h:y=√x g:y=x+2 b) h:y=1+sin x g:y=x2−5 c) h:y=x2−3x g:y=sin(x) a)h:y=√xg:y=x+2h(g(x)) = √x+2 b)h:y=1+sin xg:y=x2−5h(g(x)) = 1+sin(x2−5) c)h:y=x2−3xg:y=sin(x)h(g(x)) = (sin(x))2−3·sin(x) Skládání unkcí není komu a i ní h(g(x)) =g(h(x)). Napˇ íklad: h:y=x2−1g:y=1 xh(g(x)) = 1 x2 −1g(h(x)) = 1 x2−1 Úlohy k p oc iˇcení Pˇ íklad 2. Napiš e pˇ edpis složené unkce :y=h(g(x)). a) g:y=x2 h:y=log(x) b) g:y=x+2 h:y=cos(x)c) g:y=1 x h:y=2x3+x+2 4 1. FUNKCE A JEJÍ VLASTNOSTI 1.4 Vlas nos i unkce Funkce sudá a lichá De inice 1.4 Funkce se nazý á sudá, když: p o každé x∈D pla í −x∈D a aké (−x) = (x). G a sudé unkce je soumˇe ný podle osy y. x −3−2−1 1 2 3 y 1 2 3 4 0 y=x2 x −π−π 2 π 2π3π 22π5π 23π y −2 −1 1 2 0 y=cos x Pˇ íklady sudých unkcí De inice 1.5 Funkce se nazý á lichá, když: p o každé x∈D pla í −x∈D a aké (−x) = − (x). G a liché unkce je soumˇe ný podle poˇcá ku sous a y souˇ adnic [0, 0]. x −3−2−1 1 2 3 y −3 −2 −1 1 2 3 4 0 y=x3 x −4−3−2−1 1 234 y −π 2 π 2 0 y=a c an x Pˇ íklady lichých unkcí Úlohy k p oc iˇcení Pˇ íklad 3. Z ob ázku ozhodnˇe e, zda se jedná o g a sudé nebo liché unkce. ① x −5−4−3−2−1 1 2345 y 1 2 3 4 0 ③ x −4−3−2−1 1 2 3 4 y 1 2 3 4 0 5 1. FUNKCE A JEJÍ VLASTNOSTI ② x −5−4−3−2−1 1 2 3 45 y −3 −2 −1 1 2 3 0 ④ x −5−4−3−2−1 1 2345 y −3 −2 −1 1 2 3 4 0 Pˇ íklad 4. U ˇce e, zda je unkce (x) = 3x 1+x4sudá nebo lichá. P o ozhodnu í, zda je unkce sudá nebo lichá, je po ˇ eba do pˇ edpisu unkce dosadi (−x): (−x) = 3(−x) 1+ (−x)4. Úp a ou oho o ý azu dos á áme: (−x) = −3x 1+x4. Snadno idíme, že (−x)není o no (x), unkce edy není sudá. Zkusme nyní po o na (−x)a ý az − (x): − (x) = (−1)· (x) = (−1)·3x 1+x4=−3x 1+x4. Vidíme, že ý azy (−x)a− (x)se o nají, unkce je edy lichá. Funkce (x) = 3x 1+x4je lichá. Úlohy k p oc iˇcení Pˇ íklad 5. U ˇce e, zda je unkce sudá nebo lichá. a) (x) = x2+x4−1 x2+2+4 b) (x) = x sin2x−x c) (x) = x3·cos x+4 d) (x) = 1 √x e) (x) = x·sin2x−x3 ) (x) = x+2 x−2 g) (x) = ln 2−x 2+x⋆ 6 1. FUNKCE A JEJÍ VLASTNOSTI Pe iodická unkce De inice 1.6 Funkce se nazý á pe iodická, když exis uje ako é ˇcíslo p>0, že p o každé k∈Zzá o eˇn pla í: 1. p o každé x∈D je aké x+k·p∈D 2. p o každé x∈D pla í (x+k·p) = (x) ˇ Císlo pse nazý á pe ioda unkce . Poznámka G a pe iodické unkce se p a idelnˇe opakuje po in e alech, jejichž délka je o na zá- kladní pe iodˇe p. x −π−π 2 π 2π3π 22π5π 23π y −2 −1 1 2 0 y=cos xx −3π 2−π−π 2 π 2π3π 22π5π 2 y −3 −2 −1 1 2 3 4 0 y= an x Pˇ íklady pe iodických unkcí Oh aniˇcená a neoh aniˇcená unkce De inice 1.7 Funkce se nazý á •oh aniˇcená sho a na množinˇe M, exis uje-li ako é ˇcíslo h, že p o šechna x∈M pla í (x)≤h. •oh aniˇcená zdola na množinˇe M, exis uje-li ako é ˇcíslo d, že p o šechna x∈M pla í (x)≥d. •oh aniˇcená na množinˇe M, je-li na ní oh aniˇcená sho a i zdola. Poznámka V opaˇcném pˇ ípadˇe se nazý á neoh aniˇcená. 7 1. FUNKCE A JEJÍ VLASTNOSTI x −4−3−2−1 1 2 3 4 y −2 −1 1 2 3 0 Oh aniˇcená unkce x −4−3−2−1 1 234 y −2 −1 1 2 3 4 5 0 Funkce oh aniˇcená zdola x −4−3−2−1 1 2345 y −3 −2 −1 1 2 3 4 5 0 Neoh aniˇcená unkce Mono onnos unkce, unkce os oucí a klesající De inice 1.8 Funkce se nazý á • os oucí na in e alu I, p á ˇe když p o šechna x1,x2∈Ipla í: je-li x1<x2, pak (x1)< (x2). •klesající na in e alu I, p á ˇe když p o šechna x1,x2∈Ipla í: je-li x1<x2, pak (x1)> (x2). •neklesající na in e alu I, p á ˇe když p o šechna x1,x2∈Ipla í: je-li x1<x2, pak (x1)≤ (x2). •ne os oucí na in e alu I, p á ˇe když p o šechna x1,x2∈Ipla í: je-li x1<x2, pak (x1)≥ (x2). Poznámka Ty o unkce se nazý ají mono onní na in e alu I. Funkce os oucí a klesající na in e - alu Ise nazý ají yze mono onní na in e alu I. x −4−3−2−1 1 234 y 1 2 3 4 0 Ros oucí unkce x −4−3−2−1 1 234 y −1 1 2 3 4 0 Neklesající unkce x −4−3−2−1 1 234 y −1 1 2 3 4 0 Funkce, k e á není mono onní P os á unkce De inice 1.9 Funkce se nazý á p os á, p á ˇe když p o šechna x1,x2∈D pla í: je-li x1=x2, pak (x1)= (x2). 8 1. FUNKCE A JEJÍ VLASTNOSTI x −3−2−1 1 2 3 y −3 −2 −1 1 2 3 4 0 y=xx −5−4−3−2−1 1 2 3 45 y −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 0 y=1 x x −1 1 2345 y −3 −2 −1 1 2 3 0 y=logax,a>1 Pˇ íklady p os ých unkcí x −3−2−1 1 2 3 y 1 2 3 4 0 y=x2 x −π−π 2 π 2π3π 22π5π 23π y −2 −1 1 2 0 y=sin x Pˇ íklady unkcí, k e é nejsou p os é Vˇe a 1.1 Každá yze mono onní unkce je p os á. 1.5 In e zní unkce De inice 1.10 In e zní unkcí k p os é unkci (x)je unkce, k e á každému y∈H pˇ iˇ adí p á ˇe o x∈D , p o k e é je (x) = y. Znaˇcíme ji −1. G a y unkce a unkce in e zní −1jsou syme ické podle osy p ního a ˇ e ího k ad- an u, j. pˇ ímky y=x. Poznámka P o de iniˇcní obo a obo hodno pla í: D −1=H ,H −1=D . Dále pla í:  −1(x)=x −1( (x))=x Napˇ íklad in e zní unkcí k unkci (x) = 1 xje unkce −1(x) = 1 x, p o ože p o každé x=0 pla í: 1 1 x =x. In e zní unkcí k unkci (x) = x2je p o šechna x≥0 unkce −1(x) = √x, p o ože p o šechna x≥0 pla í: √x2=x,(√x)2=x. 9 2. Pˇ REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ Mocninné unkce (s pˇ i ozeným exponen em) y=xnn∈N D =R P o nsudé:H =⟨0, ∞), není p os á, unkce je sudá, oh aniˇcená zdola: x −3−2−1 1 2 3 y 1 2 3 4 0 y=x2 x −3−2−1 1 2 3 y −1 1 2 3 4 0 y=x4 P o nliché:H =R, unkce je p os á, lichá, neoh aniˇcená: x −3−2−1 1 2 3 y −3 −2 −1 1 2 3 4 0 y=x x −3−2−1 1 2 3 y −3 −2 −1 1 2 3 4 0 y=x3 Uži eˇcné zo ce (a−b)(a+b) = a2−b2 (a+b)(a2−ab +b2) = a3+b3 (a−b)(a2+ab +b2) = a3−b3 (a+b)2=a2+2ab +b2 (a−b)2=a2−2ab +b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3 (a+b)n= n ∑ k=0n kan−kbk= =an+n 1an−1b+n 2an−2b2+···+n n−1abn−1+bn (a−b)n= n ∑ k=0 (−1)kn kan−kbk 16 2. Pˇ REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ Pˇ íklad 14. Z pˇ edpisu unkce :y=2x3−1 yjádˇ e e p omˇennou x zá islos i na y. y=2x3−1 y+1=2x3 y+1 2=x3 3 y+1 2=x Hledané yjádˇ ení je x=3 y+1 2. V pˇ edchozím pˇ íkladu jsme las nˇe dokázali, že in e zní unkcí k unkci (x) = 2x3−1 je unkce −1(x) = 3 qx+1 2. Na ob ázku jsou znázo nˇeny g a y obou unkcí a opˇe m˚užeme idˇe , že jsou oso ˇe soumˇe né podle osy 1. a 3. k ad an u. −4−3−2−1 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 y x −1 Úlohy k p oc iˇcení Pˇ íklad 15. Z pˇ edpisu zadané unkce yjádˇ e e p omˇennou x zá islos i na y: a) y=2−7x3b) y=1 4x5−3c) y=4−3x5 2 17 2. Pˇ REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ 2.2 Lineá ní lomená unkce y=a x+b+c a,b,c∈R,a=0 D =R {−b},H =R {c}, g a em je hype bola, unkce má d ˇe asymp o y y=c, x=−b, je neoh aniˇcená a p os á. x −5−4−3−2−1 1 2345 y −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 0 y=1 x x −3−2−1 1 2345 y −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 0 y=−1 x−2+3 Pˇ íklad 16. U ˇce e asymp o y g a u unkce :y=2x+5 x+1. Asymp o y lze u ˇci ak, že pˇ edpis lomené unkce pˇ e edeme do a u y=a x+b+c, z nˇehož pak již snadno yˇc eme o nice asymp o . Toho snadno dosáhneme ak, že p o- mˇennou x ˇci a eli nah adíme zá o kou, e k e é bude celý jmeno a el. Po é o, co jsme pˇ iˇce li na íc, odeˇc eme, aby byla zacho ána o nos . Pak už jen up a íme. Konk é nˇe, 2x+5 x+1=2(x+1)−2·1+5 x+1=2(x+1) + 3 x+1=2(x+1) x+1+3 x+1=3 x+1+2 G a unkce y=2x+6 x+1má asymp o y x=−1, y=2. Pˇ íklad 17. U ˇce e asymp o y g a u unkce :y=x−4 2x−6. Ten ok á máme e jmeno a eli zadané unkce 2x−6 a je edy ob ížnˇejší pˇ e és en o pˇ edpis na a y=a x+b+c. 18 2. Pˇ REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ Zaˇcneme y knu ím ˇcísla pˇ ed p omˇennou x e jmeno a eli, což je om o pˇ ípadˇe ˇcíslo 2, po é pok aˇcujeme s ejnˇe jako pˇ edchozím pˇ íkladu: x−4 2x−6=x−4 2(x−3)= 1 2(x−4) x−3= 1 2x−2 x−3= = 1 2(x−3) + 3 2−2 x−3= 1 2(x−3)−1 2 x−3=−1 2 x−3+1 2 G a unkce y=x−4 2x−6má asymp o y x=3, y=1 2. Pˇ íklad 18. U ˇce e asymp o y g a u unkce :y=2x+3 3x+1. Zaˇcneme pˇ e edením pˇ edpisu zadané unkce do a u y=a x+b+c. Vy kneme p o o nejp e ze jmeno a ele ˇcíslo 3. Po é opˇe nah adíme p omˇennou x ˇci a- eli celým up a eným ý azem e jmeno a eli a pok aˇcujeme obdobnˇe jako pˇ edchozích d ou pˇ íkladech: 2x+3 3x+1=2x+3 3x+1 3= 2x+1 3−2 3+3 3x+1 3= = 2x+1 3+7 3 3x+1 3= 2x+1 3 3x+1 3+ 7 3 3x+1 3 Nakonec už jen zk á íme zá o ku p ním zlomku, e d uhém zlomku pˇ e edeme ˇcíslo 3 ze jmeno a ele do ˇci a ele a po é zapíšeme do ýsledného a u, ze k e ého už idíme o nice asymp o : 2x+3 3x+1= 7 9 x+1 3 +2 3 G a unkce y=2x+3 3x+1má asymp o y x=−1 3,y=2 3. 19 2. Pˇ REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ Úlohy k p oc iˇcení Pˇ íklad 19. Pˇ iˇ ad’ e k ob ázku sp á ný unkˇcní pˇ edpis. a) y=1 x b) y=1 x+1 c) y=2 x d) y=−3 x−1 e) y=2x+1 x ) y=1−2x x−2 Z g a u unkce u ˇce e de iniˇcní obo a obo hodno . U ˇce e p ˚useˇcíky g a u unkce s osami x,y. Zjis ˇe e, zda je unkce sudá nebo lichá. Najdˇe e in e aly, na k e ých je unkce os- oucí, klesající. Je unkce oh aniˇcená? U ˇce e asymp o y unkce. ① −4−3−2−1 1 234 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 y x ④ −2−1 1 2 3 45 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 y x ② −4−3−2−1 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 y x ⑤ −4−3−2−1 1 234 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 y x ③ −4−3−2−1 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 y x ⑥ −4−3−2−1 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 y x Úlohy k p oc iˇcení Pˇ íklad 20. Nak esle e g a y zadaných unkcí. a) y=−1 x b) y=2 x−1 c) y=x x−1 d) y=2x−1 x e) y=1−1 x ) y=1−x 2−x Z g a u unkce u ˇce e de iniˇcní obo a obo hodno . U ˇce e p ˚useˇcíky g a u unkce s osami x,y. Zjis ˇe e, zda je unkce sudá nebo lichá. Najdˇe e in e aly, na k e ých je unkce os- oucí, klesající. Je unkce oh aniˇcená? U ˇce e asymp o y unkce. In e ak i ní pom˚ucka p o g a y lineá ní lomená unkce 20 2. Pˇ REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ Pˇ íklad 21. U ˇce e de iniˇcní obo unkce :y=2x+5 x−3. Zamysleme se nad ím, k e á eálná ˇcísla m˚užeme dosadi do pˇ edpisu zadané unkce. Témˇeˇ šechna s jedinou ýjimkou, zní sp á ná odpo ˇed’. Neumíme dˇeli nulou, p o o musí nu nˇe pla i , že jmeno a el zadaného zlomku musí bý nenulo ý. Tedy x−3=0, neboli x=3. De iniˇcním obo em zadané unkce jsou edy šechna eálná ˇcísla k om ˇcísla 3. 3 De iniˇcním obo em unkce :y=2x+5 x−3je sjednocení in e al˚u D = (−∞;3)∪ (3; ∞). Úlohy k p oc iˇcení Pˇ íklad 22. Z pˇ edpisu zadané unkce u ˇce e její de iniˇcní obo : a) y=4 x+1 b) y=2x+1 5−x c) y=1−2x 3x+4 d) y=3x−7 2x−3+3x 4−2x Pˇ íklad 23. Z pˇ edpisu unkce :y=3−x x−2 yjádˇ e e p omˇennou x zá islos i na y. y=3−x x−2 y(x−2) = 3−x xy −2y=3−x xy +x=2y+3 x(y+1) = 2y+3 x=2y+3 y+1 21 2. Pˇ REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ Hledané yjádˇ ení je x=2y+3 y+1. V pˇ edchozím pˇ íkladu jsme dokázali, že in e zní unkcí k unkci (x) = 3−x x−2je unkce −1(x) = 2x+3 x+1. Níže idíme oso ˇe soumˇe né g a y obou unkcí. −4−3−2−1 1 2 3 45 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 y x −1 Úlohy k p oc iˇcení Pˇ íklad 24. Z pˇ edpisu zadané unkce yjádˇ e e p omˇennou x zá islos i na y: a) y=1 x+3b) y=2x 5−xc) y=x+3 2x−1 2.3 Funkce odmocnina y=n √x,n∈N P o nsudé:D =⟨0, ∞),H =⟨0, ∞), unkce je p os á, oh aniˇcená zdola, os oucí: x −1 1 2 3 4 y −1 1 2 3 0 y=√x P o nliché:D =R,H =R, unkce je p os á, lichá, neoh aniˇcená: x −4−3−2−1 1 234 y −2 −1 1 2 0 y=3 √x 22 2. Pˇ REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ Uži eˇcné zo ce n √a=a1 n n √an √b=n √a b n √am=n √am m qn √a=m n √a Pˇ íklad 25. U ˇce e de iniˇcní obo unkce :y=√x2+2x−3. De iniˇcním obo em zadané unkce budou šechna eálná ˇcísla, k e á m˚užeme dosadi do daného pˇ edpisu. Víme, že d uhá odmocnina je de ino ána jen p o nezápo ná ˇcísla. Tedy musí pla i x2+2x−3≥0. Vý az le o ozložíme na souˇcin lineá ních ˇclen˚u. K omu po ˇ ebujeme spoˇcí a jeho ko- ˇ eny: x1,2 =−2±p22−4·1·(−3) 2·1=−2±4 2=x1=1 x2=−3 Naši podmínku edy m˚užeme pˇ epsa (x−1)(x+3)≥0. Tu o ne o nici yˇ ešíme následujícím zp˚usobem. Nulo é body 1 a −3 ozdˇelí eálnou osu na ˇ i in e aly. Do abulky zaznamenáme, jaké znaménko mají ý azy zá o kách a aké jejich souˇcin na ˇech o konk é ních in e alech (zjis íme dosazením, napˇ . z in e - alu (−∞;−3)m˚užeme yb a ˇcíslo −5, když ho dosadíme do ý azu x−1 dos aneme ˇcíslo −6, na om o in e alu je edy ý az zápo ný): (−∞;−3) (−3;1) (1; ∞) x−1− − + x+3−+ + (x−1)(x+3) + −+ Z abulky idíme, že je ý az (x−1)(x+3)kladný na in e alech (−∞,−3)a(1, ∞). Do ýsledného de iniˇcního obo u budou pa ˇ i aké oba nulo é body, p o ože naše podmínka po olo ala i o nos nule. -3 1 De iniˇcním obo em zadané unkce je sjednocení in e al˚u D = (−∞;−3⟩∪⟨1; ∞). 23 2. Pˇ REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ Úlohy k p oc iˇcení Pˇ íklad 26. Z pˇ edpisu zadané unkce u ˇce e její de iniˇcní obo : a) y=√x+2 b) y=√9−x2 c) y=√−2x+√3+x d) y= x−2 3−x e) y=7x 3 √x−5 ) y=1 4 √x+3 g) y=x2−41 4 Pˇ íklad 27. Z pˇ edpisu unkce y=√2x+5 3 yjádˇ e e p omˇennou x zá islos i na y. y=√2x+5 3 3y=√2x+5 9y2=2x+5 9y2−5=2x 9y2−5 2=x Hledané yjádˇ ení je x=9y2−5 2. V pˇ edchozím pˇ íkladu jsme našli k unkci (x) = √2x+5 3in e zní unkci −1(x) = 9x2−5 2. Níže idíme g a y obou unkcí a opˇe si m˚užeme šimnou , že jsou oso ˇe soumˇe né. −2−1 1 2 3 4 −2 −1 1 2 3 4 y x −1 Úlohy k p oc iˇcení Pˇ íklad 28. Z pˇ edpisu zadané unkce yjádˇ e e p omˇennou x zá islos i na y: a) y=3−√xb) y=√4x+1c) y=√x 2−1 24 2. Pˇ REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ 2.4 Exponenciální unkce y=ax,a>0 , a=1 D =R,H =(0, ∞), ˇcíslo ase nazý á základ exponenciální unkce, g a p o íná osu y bodˇe [0, 1], unkce je oh aniˇcená zdola, p os á (in e zní unkce je unkce loga i mická) Je-li a>1, je unkce os oucí: x −3−2−1 1 2 3 y −1 1 2 3 4 0 y=ax,a>1 Je-li 0 <a<1, je unkce klesající: x −3−2−1 1 2 3 y −1 1 2 3 4 0 y=ax, 0 <a<1 Poznámka Je-li základem Eule o o ˇcíslo e =2.71828 . . ., pak se unkce y=exnazý á pˇ i ozená exponenciální unkce. Uži eˇcné zo ce a ·as=a +s a as=a −s (a )s=a ·s (a·b) =a ·b Úlohy k p oc iˇcení Pˇ íklad 29. Spoˇcí ej e: a) 8−1 3 b) 2−2·641 2 c) 3 5−2 d) 5−3 e) 5 ·161 4 ) 4 9−1 2 g) 64−2 3 h) 25−3 2 i) 2 5−3 2 25 2. Pˇ REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ 2.6 Goniome ické unkce Funkce sinus y=sin x D =R,H =⟨−1,1⟩, unkce je pe iodická s pe iodou 2π, je lichá, je oh aniˇcená, unkce není p os á. x −π−π 2 π 2π3π 22π5π 23π y −2 −1 1 2 0 y=sin x Funkce kosinus y=cos x D =R,H =⟨−1,1⟩, unkce je pe iodická s pe iodou 2π, je sudá, je oh aniˇcená, unkce není p os á. x −π−π 2 π 2π3π 22π5π 23π y −2 −1 1 2 0 y=cos x 32 2. Pˇ REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ Úlohy k p oc iˇcení Pˇ íklad 41. Pˇ iˇ ad’ e k ob ázku sp á ný unkˇcní pˇ edpis. a) y=sin x b) y=sin2x c) y=sin x−π 3 d) y=2·sin x e) y=2+sin x ) y=sin x+π 4 Z g a u unkce u ˇce e de iniˇcní obo a obo hodno . U ˇce e p ˚useˇcíky g a u unkce s osami x,y. Zjis ˇe e, zda je unkce sudá nebo lichá. Najdˇe e in e aly, na k e ých je unkce os- oucí, klesající. Je unkce oh aniˇcená? ① −4−3−2−1 1 2345678910 −3 −2 −1 1 2 3 y x ③ −4−3−2−1 1 2345678910 −3 −2 −1 1 2 3 y x ⑤ −4−3−2−1 1 2345678910 −3 −2 −1 1 2 3 y x ② −4−3−2−1 1 2345678910 −3 −2 −1 1 2 3 y x ④ −4−3−2−1 1 2345678910 −3 −2 −1 1 2 3 y x ⑥ −4−3−2−1 1 2345678910 −3 −2 −1 1 2 3 y x Úlohy k p oc iˇcení Pˇ íklad 42. Nak esle e g a y zadaných unkcí. a) y=sin x b) y=sin x−π 4 c) y=sin (4x) d) y=sin x+4 e) y=sin π 4−x ) y=4·sin x Z g a u unkce u ˇce e de iniˇcní obo a obo hodno . U ˇce e p ˚useˇcíky g a u unkce s osami x,y. Zjis ˇe e, zda je unkce sudá nebo lichá. Najdˇe e in e aly, na k e ých je unkce os- oucí, klesající. Je unkce oh aniˇcená? In e ak i ní pom˚ucka p o g a y unkce sinus 33 2. Pˇ REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ Úlohy k p oc iˇcení Pˇ íklad 43. Pˇ iˇ ad’ e k ob ázku sp á ný unkˇcní pˇ edpis. a) y=cos x b) y=cos x 3 c) y=1 3cos x d) y=cos x−π 4 e) y=cos x+π 6 ) y=1−cos x Z g a u unkce u ˇce e de iniˇcní obo a obo hodno . U ˇce e p ˚useˇcíky g a u unkce s osami x,y. Zjis ˇe e, zda je unkce sudá nebo lichá. Najdˇe e in e aly, na k e ých je unkce os- oucí, klesající. Je unkce oh aniˇcená? ① −4−3−2−1 1 2345678910 −3 −2 −1 1 2 3 y x ③ −4−3−2−1 1 2345678910 −3 −2 −1 1 2 3 y x ⑤ −4−3−2−1 1 2345678910 −3 −2 −1 1 2 3 y x ② −4−2 2 46 8 10 12 14 16 18 20 −3 −2 −1 1 2 3 y x ④ −4−3−2−1 1 2345678910 −3 −2 −1 1 2 3 y x ⑥ −4−3−2−1 1 2345678910 −3 −2 −1 1 2 3 y x Úlohy k p oc iˇcení Pˇ íklad 44. Nak esle e g a y zadaných unkcí. a) y=cos x b) y=cos x 2 c) y=1 2cos x d) y=2−cos x e) y=cos x−π 3 ) y=cos x+π 3 Z g a u unkce u ˇce e de iniˇcní obo a obo hodno . U ˇce e p ˚useˇcíky g a u unkce s osami x,y. Zjis ˇe e, zda je unkce sudá nebo lichá. Najdˇe e in e aly, na k e ých je unkce os- oucí, klesající. Je unkce oh aniˇcená? In e ak i ní pom˚ucka p o g a y unkce kosinus 34 2. Pˇ REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ Funkce angens y= an x D =R π 2+kπ,k∈Z,H =R, unkce je pe iodická s pe iodou π, je lichá, je neoh a- niˇcená, unkce není p os á. x −3π 2−π−π 2 π 2π3π 22π5π 2 y −3 −2 −1 1 2 3 4 0 y= an x Funkce ko angens y=co x D =R {kπ,k∈Z},H =R, unkce je pe iodická s pe iodou π, lichá, neoh aniˇcená, unkce není p os á. x −π−π 2 π 2π3π 22π5π 2 y −3 −2 −1 1 2 3 4 0 y=co x 35 2. Pˇ REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ Hodno y goniome ických unkcí p o yb ané hodno y 0π 6 π 4 π 3 π 2 sin x01 2 √2 2 √3 21 cos x1√3 2 √2 2 1 20 an x0√3 31√3× co x×√3 1 √3 30 Uži eˇcné zo ce sin2x+cos2x=1 an x·co x=1 an x=sin x cos xco x=cos x sin x sin2x=2sin xcos x cos2x=cos2x−sin2x an2x=2 an x 1− an2x co 2x=co 2x−1 2co x sin(x+y) = sin xcos y+cos xsin y sin(x−y) = sin xcos y−cos xsin y cos(x+y) = cos xcos y−sin xsin y cos(x−y) = cos xcos y+sin xsin y an(x±y) = an x± an y 1∓ an x an y co (x±y) = co xco y∓1 co y±co x sin x+sin y=2sin x+y 2cos x−y 2 sin x−sin y=2cos x+y 2sin x−y 2 cos x+cos y=2cos x+y 2cos x−y 2 cos x−cos y=−2sin x+y 2sin x−y 2 an x± an y=sin(x±y) cos xcos y co x±co y=sin(y±x) sin xsin y 36 2. Pˇ REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ Úlohy k p oc iˇcení Pˇ íklad 45. Pˇ iˇ ad’ e k ob ázku sp á ný unkˇcní pˇ edpis. a) y= an x b) y= an x+π 6 c) y=− an x d) y=co x e) y=co 2x ) y=−co x Z g a u unkce u ˇce e de iniˇcní obo a obo hodno . U ˇce e p ˚useˇcíky g a u unkce s osami x,y. Zjis ˇe e, zda je unkce sudá nebo lichá. Najdˇe e in e aly, na k e ých je unkce os- oucí, klesající. Je unkce oh aniˇcená? ① −4−3−2−1 1 2345678910 −3 −2 −1 1 2 3 y x ③ −4−3−2−1 1 2345678910 −3 −2 −1 1 2 3 y x ⑤ −4−3−2−1 1 2345678910 −3 −2 −1 1 2 3 y x ② −4−3−2−1 1 2345678910 −3 −2 −1 1 2 3 y x ④ −4−3−2−1 1 2345678910 −3 −2 −1 1 2 3 y x ⑥ −4−3−2−1 1 2345678910 −3 −2 −1 1 2 3 y x Úlohy k p oc iˇcení Pˇ íklad 46. Nak esle e g a y zadaných unkcí. a) y= an x b) y=co x c) y= an x 2 d) y=co x 2 e) y= an x+π 4 ) y=co x+π 4 Z g a u unkce u ˇce e de iniˇcní obo a obo hodno . U ˇce e p ˚useˇcíky g a u unkce s osami x,y. Zjis ˇe e, zda je unkce sudá nebo lichá. Najdˇe e in e aly, na k e ých je unkce os- oucí, klesající. Je unkce oh aniˇcená? In e ak i ní pom˚ucka p o g a y unkcí angens a ko angens 37 2. Pˇ REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ Pˇ íklad 47. U ˇce e de iniˇcní obo unkce :y=co 2x−π 6. A gumen unkce ko angens musí bý ˚uzný od k·π, kde k∈Z. Musí bý edy splnˇena podmínka 2x−π 6=k·π, kde k∈Z Budeme ˇ eši jednoduchou ne o nos , ze k e é yjádˇ íme x: 2x−π 6=k·π 2x=π 6+k·π x=π 12 +k·π 2kde k∈Z Hledaný de iniˇcní obo unkce m˚užeme znázo ni g a icky -5π 12 1π 12 7π 12 13π 12 nebo zapsa následo nˇe D =R π 12 +k·π 2;k∈Z. Úlohy k p oc iˇcení Pˇ íklad 48. Z pˇ edpisu zadané unkce u ˇce e její de iniˇcní obo : a) y= an x+π 3 b) y=co x−π 4 c) y=co 2x+π 5 d) y= an 2x+π 6 38 2. Pˇ REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ 2.7 Cyklome ické unkce Funkce a kussinus y=a csin x D =⟨−1,1⟩,H =−π 2,π 2, unkce je p os á, lichá, oh aniˇcená, os oucí. Poznámka Funkce y=a csin xje in e zní k unkci y=sin(x)na in e alu −π 2,π 2. x −2−1 1 2 y −π 2 π 2 0 y=a csin x Funkce a kuskosinus y=a ccos x D =⟨−1,1⟩,H =⟨0, π⟩, unkce je p os á, oh aniˇcená, klesající. Poznámka Funkce y=a ccos xje in e zní k unkci y=cos(x)na in e alu ⟨0, π⟩. x −2−1 1 2 y π π 2 0 y=a ccos x 39 2. Pˇ REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ Funkce a kus angens y=a c an x D =R,H =−π 2,π 2, unkce je lichá, oh aniˇcená, os oucí, p os á. Poznámka Funkce y=a c an xje in e zní k unkci y= an(x)na in e alu −π 2,π 2. x −4−3−2−1 1 2 3 4 y −π 2 π 2 0 y=a c an x Funkce a kusko angens y=a cco x D =R,H = (0, π), unkce je oh aniˇcená, klesající, p os á. Poznámka Funkce y=a cco xje in e zní k unkci y=co (x)na in e alu (0, π). x −4−3−2−1 1 2 3 4 y π 2 π 0 y=a cco x 40 2. Pˇ REHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ Pˇ íklad 49. U ˇce e de iniˇcní obo unkce :y=a csin 2x−7 3. Funkce a csin(x)je de ino aná na in e alu ⟨−1;1⟩. To našem pˇ ípadˇe znamená, že celý a gumen zadané unkce musí aké leže om o in e alu, edy −1≤2x−7 3≤1. To jsou e sku eˇcnos i d ˇe ne o nice, každou budeme ˇ eši z láš ’. Zaˇcnˇeme le ou ne o - nicí: −1≤2x−7 3 −3≤2x−7 4≤2x 2≤x Výsledkem p ní ne o nice je in e al ⟨2; ∞). Nyní yˇ ešíme p a ou ne o nici: 2x−7 3≤1 2x−7≤3 2x≤10 x≤5 Výsledkem d uhé ne o nice je in e al (−∞;5⟩. Do de iniˇcního obo u budou pa ˇ i a ˇcísla, k e á yho ují obˇema ne o nicím, jinými slo y, ýsledný de iniˇcní obo získáme jako p ˚unik pˇ edchozích d ou ýsledných in e al˚u. 2 5 De iniˇcním obo em zadané unkce je in e al D =⟨2;5⟩. Úlohy k p oc iˇcení Pˇ íklad 50. Z pˇ edpisu zadané unkce u ˇce e její de iniˇcní obo : a) y=a csin (7−2x) b) y=a csin 2x+6 3 c) y=a ccos x2 d) y=a ccos 1−2x 5 41 3. ˇ REŠENÉ Pˇ RÍKLADY V p ním k oku za edeme subs i uci z=3xa yˇ ešíme ne o nos 1 −sin z=0. 1−sin z=0 −sin z=−1 sin z=1 Pˇ ipomeneme g a unkce y=sin x, e k e ém yznaˇcíme body, nichž unkce nabý á hodno y 1: −1 1 -2π-3π 2-ππ 2π2π5π 23π z y Z g a u unkce je zˇ ejmé, že unkce sin znabý á unkˇcní hodno u 1 bodech π 2+k·2π, kde k∈Z. Mís o z á íme do ˇ ešení p˚u odní a gumen 3xa ne o nos yˇ ešíme p o x: z=π 2+k·2π 3x=π 2+k·2π x=π 6+k·2π 3, kdek∈Z De iniˇcní obo unkce obsahuje šechna eálná ˇcísla k omˇe π 6+k·2π 3, kde k∈Z. M˚u- žeme ho yznaˇci na ˇcíselné ose -3π 6 π 65π 69π 6 nebo ho m˚užeme nˇekolika zp˚usoby zapsa , napˇ íklad D =R π 6+k·2π 3;k∈Z nebo D =[ k∈Zπ 6+k·2π 3;π 6+ (k+1)·2π 3. 48 3. ˇ REŠENÉ Pˇ RÍKLADY Úlohy k p oc iˇcení Pˇ íklad 58. U ˇce e podmínky a najdˇe e de iniˇcní obo unkce. a) y=ln 2+x x+p4−3x−x2 b) y=q(1−2x)ln x c) y=ln 2+2x+6 3−x d) y=1 (4−x)ln (x−2) e) y=x sin2x ) y=1 1−cos2x g) y=a csin 2−x 2x+3 h) y=a ccos 2x−1 3x i) y=a ccos 1−1 x Pˇ íklad 59. ˇ Rešené ideopˇ íklady a) (x) = sx2+x−2 x+3 b) (x) = a csin x−1 x c) (x) = log3 x−6 x+a csin x+1 6 3.2 In e zní unkce (ˇ ešené pˇ íklady) In e zní unkci jsme de ino ali kapi ole 1.5. Pˇ íklad 60. Naleznˇe e in e zní unkci −1k unkci :y=2x+3 x+1a u ˇce e obo y D a H a obo y D −1aH −1. 49 3. ˇ REŠENÉ Pˇ RÍKLADY Naˇc neme g a unkce : −7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 −2 −1 1 2 3 4 y x Z g a u unkce je zˇ ejmé, že de iniˇcní obo unkce je D = (−∞;−1)∪(−1; ∞)a obo hodno H = (−∞;2)∪(2; ∞). Z ob ázku aky idíme, že se jedná o unkci p os ou, p o o in e zní unkci k ní m˚užeme hleda na celém jejím de iniˇcním obo u. Pˇ i hledání pˇ edpisu in e zní unkce ymˇeníme p˚u odním pˇ edpisu xay. Z o nos i yjádˇ íme y. (Podobnˇe, jako když hledáme ˇ ešení o nice s neznámou y.) y=2x+3 x+1 x=2y+3 y+1|·(y+1) x·(y+1) = 2y+3 xy +x=2y+3|−x−2y xy −2y=3−x y·(x−2) = 3−x|:(x−2) y=3−x x−2 Hledaná in e zní unkce má pˇ edpis −1:y=3−x x−2. −4−3−2−1 1 2 3 45 6 7 −4 −3 −2 −1 1 2 y x −1 50 3. ˇ REŠENÉ Pˇ RÍKLADY Hledaná in e zní unkce má pˇ edpis −1:y=3−x x−2. De iniˇcní obo in e zní unkce D −1je s ejný jako obo hodno unkce p˚u odní, zn. D −1= (−∞;2)∪(2; ∞) = H , a naopak, obo hodno in e zní unkce je o en de iniˇcnímu obo u unkce p˚u odní H −1= (−∞;−1)∪(−1; ∞) = D . G a y unkce a −1jsou oso ˇe soumˇe né podle osy p ního a ˇ e ího k ad an u y=x. −4−3−2−1 1 2 3 45 6 7 −3 −2 −1 1 2 3 y=xy x −1 Pˇ íklad 61. Naleznˇe e in e zní unkci −1k unkci :y=√x−1 a u ˇce e obo y D a H a obo y D −1aH −1. V pˇ edpisu unkce se obje uje sudá odmocnina, p o o bude de iniˇcní obo unkce ome- zen na in e al D =⟨1; ∞). G a unkce najdeme pomocí posunu í g a u elemen á ní unkce y=√x e smˇe u osy x. −1 1 2 3 45 −1 1 2 y x Obo hodno H =⟨0; ∞)a unkce je p os á, in e zní unkci m˚užeme hleda nad celým D . Vymˇeníme p˚u odním pˇ edpisu xay. Z o nos i yjádˇ íme y: y=√x−1 x=py−1|2 x2=y−1|+1 x2+1=y y=x2+1 Hledaná in e zní unkce má pˇ edpis −1:y=x2+1. P o d ˇe na zájem in e zní unkce pla í, že D −1=H . Hledanou in e zní unkcí je om o pˇ ípadˇe ˇcás pa aboly y=x2+1 nad de iniˇcním obo em D −1=⟨0; ∞). 51 3. ˇ REŠENÉ Pˇ RÍKLADY −2−1 1 2 −1 1 2 3 4 y x −1 Hledaná in e zní unkce má pˇ edpis −1:y=x2+1 s de iniˇcním obo em D −1=⟨0; ∞). Obo hodno unkce in e zní je s ejný jako de iniˇcní obo unkce p˚u- odní, zn. H −1=D =⟨1; ∞). Po zak eslení obou g a ˚u do s ejné sous a y idíme, že g a y jsou oso ˇe soumˇe né podle osy p ního a ˇ e ího k ad an u. −1 1 2 3 45 −1 1 2 3 4 x y −1y=x Pˇ íklad 62. Naleznˇe e in e zní unkci −1k unkci :y=1 2·log3(x+2) + 1 a u ˇce e obo y D aH a obo y D −1aH −1. De iniˇcní obo unkce je omezen podmínkou x+2>0, k e ou musí splˇno a a gumen unkce loga i mus, edy D = (−2; ∞). G a unkce je znázo nˇen na ob ázku. −2−1 1 2 3 4 −2 −1 1 2 y x 52 3. ˇ REŠENÉ Pˇ RÍKLADY V om o pˇ ípadˇe není obo hodno unkce z ob ázku hned zˇ ejmý. Je nu né si u ˇedomi , že obo em hodno elemen á ní unkce y=logaxjsou šechna eálná ˇcísla a ans o mace, k e ými znikla unkce , nemají na obo hodno li , p o o H =R. Vymˇeníme p˚u od- ním pˇ edpisu xay. Ze z ahu yjádˇ íme y: y=1 2·log3(x+2) + 1 x=1 2·log3(y+2) + 1|−1 x−1=1 2·log3(y+2)|·2 2x−2=log3(y+2) log33(2x−2)=log3(y+2) 3(2x−2)=y+2|−2 3(2x−2)−2=y y=3(2x−2)−2 Hledaná in e zní unkce má pˇ edpis −1:y=3(2x−2)−2, jejím de iniˇcním obo em je D −1=Ra obo em hodno H −1= (−2, ∞). G a y jsou opˇe oso ˇe soumˇe né podle osy p ního a ˇ e ího k ad an u. −3−2−1 1 2 3 45 −2 −1 1 2 3 y x −1y=x Úlohy k p oc iˇcení Pˇ íklad 63. U ˇce e in e zní unkci, její de iniˇcní obo a obo hodno . Zak esle e g a unkce a unkce in e zní. a) :y=2√x+1 b) :y=3 4x−2 c) :y=4+ln x 2 d) :y=23x+1 e) :y=a c an(x−2) ) :y=1 2sin x−π 3,x∈−π 6,5π 6 53 4. LIMITA A SPOJITOST 4 Limi a a spoji os 4.1 Rozšíˇ ení množiny eálných ˇcísel De inice 4.12 Množinu eálných ˇcísel R ozšíˇ íme o p ky ∞,−∞a naz eme ozšíˇ ená množina eálných ˇcísel R⋆: R⋆=R∪{∞,−∞}. Body ±∞nazý áme ne las ní body, body množiny Rnazý áme las ní body. Vlas nos i množiny R⋆ P o c∈Rpla í: −∞<c<∞ Souˇce a ozdíl c+∞=∞,c−∞=−∞,∞+∞=∞,−∞−∞=−∞ Podíl c ∞=0, c −∞=0 Souˇcin ∞·∞=∞,∞·(−∞) = −∞,−∞·(−∞) = ∞ p o c>0 : c·∞=∞,c·(−∞) = −∞ p o c<0 : c·∞=−∞,c·(−∞) = ∞ Další ope ace de inujeme pomocí komu a i nos i sˇcí ání a násobení. Poznámka Vý azy ∞−∞,∞·0, 0 0,∞ ∞, 00,∞0, 1∞ nejsou de ino ány a naz eme je neu ˇci é ý azy. 4.2 Limi a unkce Limi a unkce nám pom˚uže p ozkouma cho ání unkce bodech, kde není a o unkce de ino ána. Výsledek ýpoˇc u limi y je bud’ její hodno a z R⋆nebo zjiš ˇení, že limi a nee- xis uje. Pˇ i ýpoˇc u ˇcas o na azíme na neu ˇci ý ý az, což znamená, že ý az limi ˇe musíme up a i ak, aby již nebyl neu ˇci ý a edy jsme ho umˇeli spoˇcí a . Nejp e si popíšeme smysl symbolu →, k e ý budeme po ˇ ebo a de inici limi y. Máme ˇcíselnou posloupnos anp o n=1, . . . , ∞a a o ˇcísla se mohou pˇ ibližo a k u ˇci é hodno ˇe a, což oznaˇcíme an→a. Napˇ íklad posloupnos an=1 nje oˇ ena ˇcísly 1, 1 2,1 3,1 4,1 5, . . . A idíme, že hodno y se blíží k nule. Jiným pˇ íkladem je posloupnos (−1)n, k e ou oˇ í ˇcísla −1, 1, −1, 1, −1, 1, . . . a a o se zje nˇe k žádné hodno ˇe neblíží. 54 4. LIMITA A SPOJITOST De inice 4.13 Je dána unkce a body x0∈R⋆,a∈R⋆.ˇ Rekneme, že unkce má bodˇe x0limi u o nu a, pokud pla í xn→x0, pak (xn)→a. Znaˇcíme: lim x→x0 (x) = a Poznámka Pokud x0∈R,a∈Rˇ ekneme že má unkce las ní (koneˇcnou) limi u. Pokud x0∈R,a=±∞ˇ ekneme že má unkce ne las ní (nekoneˇcnou) limi u. Pokud x0=±∞,a∈Rˇ ekneme že má unkce las ní (koneˇcnou) limi u ne las ním bodˇe. Pokud x0±∞,a=±∞ˇ ekneme že má unkce ne las ní (nekoneˇcnou) limi u ne- las ním bodˇe. x −1 1 2 y 1 2 3 4 0 (x)lim x→1 (x) = 2 ob . 1: Vlas ní limi a x −1 1 2 3 y 1 2 3 4 0 (x) lim x→1 (x) = ∞ ob . 2: Ne las ní limi a x −1 1 2 3 y 1 2 3 0 (x) lim x→∞ (x) = 1 ob . 3: Vlas ní limi a ne las ním bodˇe x −1 1 2 3 y 1 2 3 0 (x) lim x→∞ (x) = ∞ ob . 4: Ne las ní limi a ne las ním bodˇe 55 4. LIMITA A SPOJITOST Jednos anné limi y unkce De inice 4.14 Je dána unkce a body x0∈R⋆,a∈R⋆.ˇ Rekneme, že unkce má bodˇe x0limi u zp a a o nu a, pokud pla í x0<xn→x0, pak (xn)→a. Znaˇcíme: lim x→x+ 0 (x) = a De inice 4.15 Je dána unkce a body x0∈R⋆,a∈R⋆.ˇ Rekneme, že unkce má bodˇe x0limi u zle a o nu a, pokud pla í x0>xn→x0, pak (xn)→a. Znaˇcíme: lim x→x− 0 (x) = a x −1 1 2 3 y 1 2 3 0 (x) lim x→1+ (x) = ∞ ob . 5: Limi a zp a a x −1 1 2 3 y 1 2 3 0 (x) lim x→1− (x) = 2 ob . 6: Limi a zle a Vˇe a 4.2 Funkce má bodˇe x0nej ýše jednu limi u. Funkce má i nej ýše jednu limi u zle a a nej ýše jednu limi u zp a a. Vˇe a 4.3 Funkce má bodˇe x0limi u p á ˇe ehdy, má-li om o bodˇe limi u zp a a i zle a a y o limi y se o nají. Ope ace s limi ami Nech ’ mají unkce (x)ag(x)limi u bodˇe x0pak pla í: lim x→x0( (x) + g(x))=lim x→x0 (x) + lim x→x0g(x) lim x→x0( (x)−g(x))=lim x→x0 (x)−lim x→x0g(x) lim x→x0( (x)·g(x))=lim x→x0 (x)·lim x→x0g(x) lim x→x0(c· (x))=c·lim x→x0 (x) pokud pla í lim x→x0g(x)=0, pak lim x→x0 (x) g(x)= lim x→x0 (x) lim x→x0g(x) 56 4. LIMITA A SPOJITOST Pˇ íklad 64. Vyˇ eš e následující limi y: a) lim x→2 x2−9 x2+x−12 b) lim x→−3 x2−9 x2+x−12 c) lim x→3 x2−9 x2+x−12 d) lim x→3 x2−9 √x+1−2 a) Elemen á ní unkce jsou spoji é na s ém de iniˇcním obo u. Jes liže bod x0pa ˇ í do de iniˇcního obo u unkce, bude limi a om o bodˇe x0 o na unkˇcní hodno ˇe (x0). Každou limi u se ždy pokusíme nejdˇ í yˇ eši dosazením x0do pˇ edpisu unkce: lim x→2 x2−9 x2+x−12 =22−9 22+2−12 =4−9 4+2−12 =−5 −6=5 6 b) Podobnˇe yˇ ešíme i d uhou limi u lim x→−3 x2−9 x2+x−12 =(−3)2−9 (−3)2+ (−3)−12 =9−9 9−3−12 =0 −6=0 c) S ejným zp˚usobem zaˇcneme ˇ eši i ˇ e í limi u, po dosazení x0=3 do pˇ edpisu unkce lim x→3 x2−9 x2+x−12 =32−9 32+3−12 =9−9 9+3−12 =„0 0“ dos aneme neu ˇci ý ý az 0 0, k e ý za ím o hodno ˇe limi y nic ne ypo ídá. Jes liže pˇ edpis unkce hodnˇe up a íme pomoci ek i alen ních úp a , unkˇcní hod- no y bodech okolí bodu x0se nezmˇení a ím ani hodno a hledané limi y. Pokud bude no ˇe up a ená unkce na íc de ino aná i bodˇe x0, budeme pak moc p o ý- poˇce hledané limi y opˇe yuží unkˇcní hodno u om o bodˇe. Tako ou unkci y oˇ íme k ácením „p oblema ické“ zá o ky (x−3). Ve jmeno a- eli u o zá o ku získáme ozkladem k ad a ického ojˇclenu na d ˇe zá o ky yuži- ím Vie o ých zo c˚u, ˇci a eli pak pomocí ozkladu na souˇcin zá o ek podle zo ce a2−b2= (a−b)(a+b): lim x→3 x2−9 x2+x−12 =lim x→3 (x−3)(x+3) (x+4)(x−3)=lim x→3 x+4 x+3=3+3 3+4=6 7 Po zk ácení ý azu a dosazení bylo už snadné u ˇci hledanou limi u. d) I po dosazení do ˇc é limi y lim x→3 x2−9 √x+1−2=32−9 √3+1−2=9−9 √4−2=„0 0“ 57 4. LIMITA A SPOJITOST [b, (b)] (b) b [a, (a)] (a) a maximum minimum x y Weis asso a ˇe a a její d˚usledky Vˇe a 4.6 Bolzano-Cauchyho Nech ’ unkce je spoji á na uza ˇ eném in e alu ⟨a,b⟩a pla í (a)= (b).ˇ Císlo c leží mezi hodno ami (a)a (b). Pak exis uje aspoˇn jedno x0∈(a,b), p o k e é pla í (x0) = c. Poznámka Z olme c=0. Je-li unkce je spoji á na uza ˇ eném in e alu ⟨a,b⟩a mají-li hodno y (a)a (b) opaˇcná znaménka. Pak exis uje aspoˇn jedno x0∈(a,b), p o k e é pla í (x0) = 0. [b, (b)] (b) b [a, (a)] (a) a [x0, (x0)] c x0 x y [b, (b)] (b) b [a, (a)] (a) a 0x0x0x0 x y Bolzano-Cauchyho ˇe a a její d˚usledky 64 T ans o mace o my a obsahu ysokoškolského zdělá ání na VŠB-TUO NPO_VŠB-TUO_MSMT- 16605/2022 17. LISTOPADU 2172/15 708 00 OSTRAVA-PORUBA uni e zi a@ sb.cz www. sb.cz