FACULTAD DE TURISMO Y FINANZAS
GRADO EN FINANZAS Y CONTABILIDAD
UN ANÁLISIS ESTADÍSTICO DEL DAX 30
T abajo Fin de G ado p esen ado po José Bu gos Esc ibano, siendo el u o del mismo el p o eso
José Manuel Ga ilán Ruiz.
Vº. Bº. del Tu o Alumno:
D. José Manuel Ga ilán Ruiz D. José Bu gos Esc ibano
Se illa. Mayo de 2015
GRADO EN FINANZAS Y CONTABILIDAD
FACULTAD DE TURISMO Y FINANZAS
TRABAJO FIN DE GRADO
CURSO ACADÉMICO [2014-2015]
TÍTULO:
UN ANÁLISIS ESTADÍSTICO DEL DAX 30
AUTOR:
JOSÉ BURGOS ESCRIBANO
TUTOR:
D. JOSÉ MANUEL GAVILÁN RUIZ
DEPARTAMENTO:
ECONOMÍA APLICADA I
ÁREA DE CONOCIMIENTO:
MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA LA ECONOMÍA Y LA EMPRESA
RESUMEN:
En es e abajo se analizan algunas de las p emisas básicas que es ablece el modelo de Black-Scholes
pa a la e olución empo al de los p ecios de un ac i o inancie o, conc e amen e del DAX 30.
P incipalmen e, se analiza el ajus e de los log e u ns del DAX 30 con la dis ibución No mal, su
ag egación gaussiana y su independencia. Además, se p opone como al e na i a una dis ibución más
p ecisa y lexible, la dis ibución No mal In e sa Gaussiana. Pa a ealiza los cálculos y g á icas
necesa ias, se u iliza el so wa e es adís ico R.
PALABRAS CLAVE:
Modelo de Black-Scholes; log e u ns; No mal; No mal In e sa Gaussiana; so wa e R.
TFG-FICO. Un análisis es adís ico del DAX 30
-I-
ÍNDICE
1.
INTRODUCCIÓN ................................................................................................. 1
2.
EL DAX 30 ........................................................................................................... 1
3.
EL MODELO DE BLACK-SCHOLES .................................................................... 5
3.1.
INTRODUCCIÓN .......................................................................................... 5
3.2.
MOVIMIENTO BROWNIANO ........................................................................ 6
3.2.1.
His o ia: o igen y au o es ..................................................................... 7
3.2.2.
Ma co eó ico: ca ac e ís icas y modelos ma emá icos ........................ 7
3.2.3.
Simulación del mo imien o b owniano ................................................. 8
4.
DATOS EMPÍRICOS DEL DAX 30 ....................................................................... 9
5.
AGREGACIÓN GAUSSIANA ............................................................................. 10
5.1.
TEST DE NORMALIDAD............................................................................. 11
5.1.1
.
Con as e de Kolmogó o -Smi no (Co ección de Lillie o s) ............ 11
6.
COLAS PESADAS ............................................................................................. 12
6.1.
VALUE AT RISK .......................................................................................... 12
6.2.
DENSIDADES EN ESCALA LOGARÍTMICA ............................................... 13
7.
MEDIDAS DE FORMA ....................................................................................... 13
7.1.
ASIMETRÍA ................................................................................................. 13
7.2.
CURTOSIS .................................................................................................. 14
7.3.
TEST JARQUE-BERA ................................................................................. 15
8.
AUTOCORRELACIONES .................................................................................. 16
9.
ALTERNATIVA PARA EL MODELO BLACK-SCHOLES: NORMAL INVERSA
GAUSSIANA.. .................................................................................................... 18
9.1. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL INVERSA GAUSSIANA ............................... 18
9.2. ESTIMACIÓN DE LA NORMAL INVERSA GAUSSIANA ............................. 20
10.
CONCLUSIONES............................................................................................. 23
Bibliog a ía ............................................................................................................. 25
Anexo ..................................................................................................................... 27

TFG-FICO. Un análisis es adís ico del DAX 30
-1-
1. INTRODUCCIÓN
En la ac ualidad, apa ecen cada ez más modelos pa a p edeci el u u o en muchos
campos. En e odos ellos, los más u ilizados son aquellos pa a p edeci enómenos
na u ales como el iempo, e emo os, e c. Es os modelos es án muy p esen es en los
me cados inancie os, ya que pe mi en p edeci el mo imien o u u o de los p ecios y
ob ene g andes bene icios de ello.
Uno de es os modelos, es el de Black-Scholes. Aunque es á diseñado pa a la
alo ación de opciones eu opeas, exis en di e sas adap aciones pa a alo a o os
p oduc os inancie os.
Los obje i os p incipales del p esen e abajo son analiza algunas ca ac e ís icas
del modelo de Black-Scholes, medi la alidez de és e pa a la modelización del DAX
30 y compa a lo con un modelo al e na i o que puede modeliza las a iaciones en los
p ecios más adecuadamen e.
Pa a cumpli los obje i os, y u ilizando el so wa e es adís ico R, se han lle ado a
cabo las siguien es acciones: es imación de los pa áme os de la dis ibución No mal
y No mal In e sa Gaussiana (NIG) ajus ada a los log e u ns del DAX 30, simulación
del mo imien o b owniano es ánda , ep esen ación g á ica de las densidades de los
log e u ns del DAX 30, de la No mal y de la NIG, así como las mismas en escala
loga í mica, es de no malidad, cálculo de las medidas de o ma y análisis de las
au oco elaciones.
La o ganización del abajo es como sigue: la p ime a sección con iene la
in oducción. En la segunda, se exponen la composición, la ó mula de cálculo y
algunos da os his ó icos del DAX 30. En la e ce a, se in oduce el modelo de Black-
Scholes y se analiza la p emisa elacionada con el mo imien o b owniano, ealizando
una simulación del mismo. En la cua a, se ep esen an da os empí icos del DAX 30 y
se ob ienen pa áme os desc ip i os de in e és. En la quin a, se expone el enómeno
de la ag egación gaussiana y se ealiza un es de no malidad. En la sex a, se analiza
la subes imación de las colas pesadas po pa e de la dis ibución No mal. En la
sép ima, se es udian las medidas de o ma (asime ía y cu osis) y se ealiza un es
pa a comp oba el ajus e de és as con la dis ibución No mal. En la oc a a, se u ilizan
las au oco elaciones pa a comp oba la dependencia en e los log e u ns del DAX 30.
En la no ena, se expone una al e na i a pa a el modelo de Black-Scholes, la NIG, y se
compa a con és e. En la décima, se exponen de o ma esumida las conclusiones
ex aídas del es udio ealizado. Po úl imo, se incluye la bibliog a ía u ilizada pa a la
elabo ación del abajo, así como un anexo con las líneas de código in oducidas en el
so wa e es adís ico R pa a los cálculos y g á icas ealizadas a lo la go del abajo.
2. EL DAX 30
El DAX (Deu sche Ak ienindex) es el índice de e e encia de la Bolsa de F ánc o , así
como el más impo an e de la Bolsa Alemana. Es á compues o po las 30 emp esas
alemanas más g andes en é minos de capi alización y olumen de negocio. También
se le conoce como DAX 30 o DAX XETRA.
Las 30 acciones con enidas en el índice ep esen an en o no al 80% de la
capi alización del me cado alemán. En él es án ep esen ados odos los sec o es con
in luencia en la economía del país, como, po ejemplo, la indus ia de la cons ucción,
del au omó il, bancos, sec o ecnológico y sec o de se icios. Además, el DAX 30 ue
diseñado desde un p incipio pa a se u ilizado como subyacen e de p oduc os
inancie os.
La pla a o ma elec ónica de negociación de la Bolsa de Alemania es el XETRA. En
ella se negocia más del 90% del olumen de los alo es bu sá iles del país. Además
de acciones, ambién se negocian odo ipo de de i ados a a és de es a pla a o ma.
Bu gos Esc ibano, José
-2-
El DAX 30 es un índice la go con base 1000 el 30 de diciemb e de 1987, lo que
quie e deci que se ijó su base en esa echa y desde ese momen o puede
conside a se su e olución his ó ica.
Pa a la o mulación o exp esión ma emá ica de cálculo del índice se u iliza la
ó mula de Laspey es, que mide los cambios de p ecios en e a una base ija:


=

∙∑

∙

∙

∙

∑

∙

∙
donde:
• es el momen o en que se calcula el índice,
• T es el momen o en el que se hacen ajus es (momen o del úl imo
encadenamien o),
• K
es el ac o que pe mi e encadena los iempos T y ,
• p
i
es el p ecio de la acción i en el momen o ,
•
iT
es el capi al lo an e de la acción i en el momen o T,
• q
iT
es el núme o de acciones de la compañía i en el momen o T,
• c
i
es el ac o de ajus e de la compañía i en el momen o T (po ampliaciones o
educciones de capi al, di idendos, e c),
• p
i0
es el p ecio de cie e de la acción i en el día de negociación siguien e a la
p ime a inclusión en el índice,
• q
i0
es el núme o de acciones de la compañía i en el día de negociación
siguien e a la p ime a inclusión en el índice
• Base del índice es, en nues o caso, 1000.
Aunque exis en alo es his ó icos del DAX 30 desde el 28 de sep iemb e de 1959,
su e olución his ó ica se conside a a pa i del 30 de diciemb e de 1987. La mayo
subida dia ia del índice se p odujo el 13 de oc ub e de 2008, cuando subió un 11,40%
(518,14 pun os) as la ap obación de un plan de esca e po pa e de la zona eu o
pa a desbloquea el sis ema inancie o. Sin emba go, du an e la semana an e io (del
6 al 10 de oc ub e de 2008) acumuló una caída de 1.252,72 pun os debido a la
ines abilidad del sis ema inancie o y a la c isis desa ada po la quieb a de Lehman
B o he s.
Desde su c eación has a el año 2000, el DAX 30 expe imen ó una len a y con inua
subida, pe o desde ese año y has a el 2003 su ió una ue e caída debido a la c isis
ecnológica (bu buja “pun ocom”). A pa i de en onces, comenzó un ascenso
p og esi o que inalizó en 2008, con la llamada c isis de las hipo ecas subp ime. A
pa i de 2009, se p oduce una subida en la que se encuen a inme so ac ualmen e,
ma cando máximos his ó icos en 2015 po encima de los 12.300 pun os ( e Figu a 3).
En la Figu a 1 se puede e la composición del DAX 30 po sec o es, así como el
peso de cada uno de ellos den o del índice a 30 de ene o de 2015.
TFG-FICO. Un análisis es adís ico del DAX 30
-3-
Figu a 1. Composición del DAX 30 po sec o es.
Fuen e: Elabo ación p opia a pa i de dax-indices.com.
En la Tabla 1 se mues an los componen es del DAX 30, así como su úl imo p ecio,
capi alización y el peso de cada uno de los alo es den o del índice a echa 27 de
eb e o de 2015.
ÚLTIMO PRECIO (€)
CAPITALIZACIÓN
(millones de €) PESO (%)
ADIDAS 69,430 14.525,88 1,4672%
ALLIANZ 149,600 68.292,40 7,7838%
BASF SE 85,650 78.667,70 7,9113%
BAYER 113,000 68.025,46 3,5756%
BEIERSDORF 132,050 95.066,35 10,1687%
BMW 77,630 19.562,76 0,8394%
COMMERZBANK 12,055 13.724,70 1,2733%
CONTINENTAL 213,300 42.661,28 2,3230%
DAIMLER 86,510 92.551,64 8,5255%
DEUTSCHE BANK 29,375 40.516,15 4,0208%
DEUTSCHE BOERSE 72,900 14.069,70 1,3511%
DEUTSCHE LUFTHANSA
30,430 36.810,34 3,1718%
DEUTSCHE POST 16,670 75.607,97 5,1105%
DEUTSCHE TELEKOM 14,445 28.904,45 3,4358%
E.ON 73,170 22.702,88 1,6196%
FRESENIUS MED.CARE 51,180 27.673,06 2,0882%
FRESENIUS SE 71,130 13.366,50 1,0053%
HEIDELBERGCEMENT 105,850 18.858,54 1,9274%
HENKEL 10,345 11.666,18 1,1984%
INFINEON TECHNO N 28,825 5.517,11 0,5059%
K+S AG NOM. 46,035 4.213,26 0,4337%
LANXESS 181,800 33.766,29 3,2468%
LINDE 13,100 6.040,08 0,7732%
MERCK KGAA 92,200 11.916,14 1,2551%
MUNICH RE 185,500 32.080,86 3,1181%
RWE 24,985 14.385,00 1,5701%
SAP 62,840 77.199,21 6,5700%
SIEMENS 99,820 87.941,42 9,0480%
THYSSENKRUPP 23,790 13.463,66 1,1428%
VOLKSWAGEN AG VZO 225,500 40.734,65 3,5396%
Tabla 1. P ecios, capi alización y peso de las acciones del DAX 30 a 27/02/2015.
Fuen e: dax-indices.com.
23%
19%
11%
10%
6%
5%
5%
21%
DAX 30
PRODUCTOS QUÍMICOS
AUTOMÓVIL
SEGUROS
INDUSTRIAL
SOWTWARE
TELECOMUNICAIONES
FARMACIA Y SALUD
OTROS
Bu gos Esc ibano, José
-10-
donde 

es el p ecio ac ual, 9 es la a iación media de la co ización del subyacen e
( endencia), * es la des iación ípica ( ola ilidad) y 

es el mo imien o b owniano
es ánda (Ben h, 2004).
Po an o, los log e u ns en e dos pe iodos se calculan de la siguien e o ma:
@AB

C


CDE
F=9∆"+*∆

que es una a iable alea o ia no mal de media 9∆" y a ianza *

∆".
En la Figu a 4, se han simulado dos ayec o ias del mo imien o b owniano geomé ico
ajus adas a los pa áme os dia ios es imados en la Tabla 2. La co ización en el p ime
momen o del iempo de la mues a se ha de inido como S
0
y, a pa i de ella, se ha
ealizado la suma acumulada de cada uno de los alo es alea o ios de la mues a y se
ha pasado és a a escala exponencial.
Figu a 4. Simulación de dos ayec o ias del mo imien o b owniano geomé ico
ajus ado a los da os dia ios.
5. AGREGACIÓN GAUSSIANA
La dis ibución no mal se emplea pa a el es udio de di e sas dis ibuciones empí icas,
como el peso, el coe icien e in elec ual, e o es come idos al medi cie as magni udes,
e c. El Teo ema Cen al del Lími e o hipó esis de Lindebe g-Lé y a i ma que la
ipi icación de la suma de n a iables alea o ias independien es e idén icamen e
dis ibuidas se ap oxima en su compo amien o al de la dis ibución No mal es ánda
N(0,1). Habi ualmen e, cuando n es mayo o igual que 30 el pa ecido en e las
unciones de dis ibución de las a iables ipi icadas y de la N(0,1) ya se conside a
g ande.
La Ag egación Gaussiana es un enómeno según el cual la densidad de una
mues a empí ica iende a con e ge hacia la de una dis ibución No mal a medida que
aumen a el pe iodo de iempo en e obse aciones. Es a con e gencia puede da se en
los log e u ns semanales y, sob e odo, mensuales del DAX 30. Sin emba go, los
pe íodos co os de iempo como los log e u ns dia ios se encuen an lejos de la
dis ibución No mal.
Debido a la p opiedad adi i a de los log e u ns mencionada en apa ados
an e io es, los log e u ns semanales y mensuales se pueden ob ene a pa i de los

TFG-FICO. Un análisis es adís ico del DAX 30
-11-
dia ios. U ilizando los cinco días de co ización en una semana, el log e u n 5
H
I pa a
la semana i se ía:
5
H
I=J55I−1+%
M
NO
El índice i se mide en semanas, po lo que 5
H
2 es la a iación loga í mica en el
p ecio desde el inal de la p ime a semana has a el inal de la segunda. Del mismo
modo, asumiendo 20 días de co ización en un mes, el log e u n 5
P
I pa a el mes i
se ía:
5
P
I=J520I−1+%

NO
Si suponemos que los log e u ns dia ios son mues as independien es de la misma
dis ibución (no es necesa io que sea no mal), el Teo ema Cen al del Lími e implica
que los log e u ns semanales y mensuales se asemejan a una dis ibución No mal. En
la Figu a 5 se mues an las densidades empí icas de las mues as dia ias, semanales
y mensuales del DAX 30 jun o con la densidad eó ica de la No mal.
Figu a 5. Densidades empí icas (línea con inua) y eó icas (línea discon inua) de las
mues as dia ias, semanales y mensuales del DAX 30.
En la igu a an e io se puede ap ecia el enómeno de la Ag egación Gaussiana, ya
que, cuan o mayo son los pe iodos de iempo en e las obse aciones, mayo es el
pa ecido con la dis ibución No mal. Sin emba go, se obse a cómo la mues a dia ia
se encuen a lejos de és a.
5.1. TEST DE NORMALIDAD
Además de compa a las g á icas de las densidades empí icas y eó icas de la
mues a, se ealiza un es de no malidad pa a de e mina la simili ud en e la
dis ibución de los log e u ns del DAX 30 y la dis ibución No mal. Se a a, po an o,
de un con as e de hipó esis en el que la hipó esis nula (H
0
) es que la dis ibución de
los log e u ns se ajus a a una dis ibución No mal, mien as que la hipó esis al e na i a
(H
1
) es que no se ajus a a ella.
5.1.1. Con as e de Kolmogó o -Smi no (Co ección de Lillie o s)
El con as e de Kolmogó o -Smi no (K-S), compa a los alo es de una dis ibución
empí ica con los que se de i a ían de la dis ibución supues a como hipó esis nula. En
nues o caso, la hipó esis nula (H
0
) es que la dis ibución de la mues a es No mal. La
co ección de Lillie o s es una mejo a que se in oduce pa a el caso de la dis ibución
No mal, ya que es e con as e se puede plan ea pa a o as dis ibuciones dis in as de
la No mal. El es adís ico de K-S (D) consis e en la máxima di e encia obse ada en e
ambas unciones de dis ibución:
=Rá5|U
N
5

−U

5

|
Bu gos Esc ibano, José
-12-
donde U
N
5

 es la unción de dis ibución mues al , U

5

 la unción eó ica (No mal,
en nues o caso) y 5

es el i-ésimo alo obse ado en la mues a (cuyos alo es han
sido o denados p e iamen e de meno a mayo ).
Cuan o más ce cano a ce o se encuen e el es adís ico D, mayo se á la simili ud
en e la dis ibución mues al y la eó ica no mal. El p- alo de e mina has a qué alo
se debe baja el ni el de signi icación pa a no ene que echaza H
0
. Gene almen e, el
p- alo iene que se meno o igual que 0,05 pa a que H
0
sea echazada con un ni el
de signi icación del 5% (es el ni el gene almen e acep ado).
En la Tabla 3, se ha calculado el es adís ico D y el p- alo pa a las se ies dia ia,
semanal y mensual del DAX 30. En los es casos, el es adís ico D se encuen a muy
alejado de ce o, así como el p- alo muy po debajo de 0,05. Po an o, según es e
es , las mues as no se ajus an a una dis ibución no mal y se echaza ía la hipó esis
nula. En cuan o al enómeno de la Ag egación Gaussiana, se ap ecia cómo el p- alo
a aumen ando a medida que se inc emen an los pe iodos de iempo, pe o queda muy
lejos del alo c í ico 0,05.
D
p
-
alo
Dia io
0,0713
< 2,2E-16
Semanal
0,0579
0,000001642
Mensual
0,0852
0,002935
Tabla 3. Es adís ico y p- alo del con as e K-S pa a las se ies dia ia, semanal y mensual
del DAX 30.
6. COLAS PESADAS
Cuando hablamos de colas pesadas, nos e e imos a la p obabilidad concen ada en
los alo es ex emos, es deci , en las colas de la unción de densidad. En es a sección
se analiza en qué medida conside a la dis ibución No mal la p obabilidad concen ada
en las colas, u ilizando pa a ello el Valo en Riesgo (VaR) y la ep esen ación g á ica
en escala loga í mica de las cu as de densidad de la Figu a 5.
6.1. VALUE AT RISK
El VaR, es un sis ema de alo ación de iesgo basado en el plan eamien o de
escena ios pesimis as o de a e sión al iesgo. Se u iliza habi ualmen e en el campo de
las inanzas y de los segu os.
Bajo el supues o de que las a iaciones en e pe iodos del DAX 30 siguen una
dis ibución No mal, u iliza emos el VaR pa a de e mina la exis encia de colas
pesadas. Pa a ello, calcula emos los pe cen iles 1%, 2%, 98% y 99% pa a de e mina
la p obabilidad exis en e po debajo de ellos en la dis ibución no mal y empí ica. Si
exis en colas pesadas, el alo absolu o de los pe cen iles empí icos se á mayo que el
de los eó icos, ya que exis e mayo p obabilidad concen ada en los ex emos.
La Tabla 4 mues a cómo la dis ibución No mal subes ima la p obabilidad en los
ex emos, es deci , que la dis ibución empí ica de los log e u ns del DAX 30 iene
colas más pesadas que la dis ibución eó ica No mal ajus ada a la mues a dia ia de
los log e u ns del índice.
Pe cen il
Empí ico
Teó ico
0,01 -0,0470 -0,0359
0,02 -0,0351 -0,0317
0,98 0,0318 0,0319
0,99 0,0413 0,0361
Tabla 4. Valo es de los pe cen iles de la se ie dia ia empí ica y eó ica del DAX 30.
TFG-FICO. Un análisis es adís ico del DAX 30
-13-
En la Tabla 5, se han calculado los pe cen iles eó icos co espondien es a los alo es
de los pe cen iles empí icos 1%, 2%, 98% y 99%. Pa a e has a qué pun o la
dis ibución No mal subes ima la p obabilidad de los sucesos ex emos, u iliza emos el
siguien e ejemplo con los alo es de la Tabla 5: eó icamen e, una caída igual o
supe io a un 4,70% se p oduce 0,12 de cada 100 días, mien as que empí icamen e
se p oduce 1 de cada 100 días.
Valo
Pe cen iles
empí icos
Pe cen iles
eó icos
-0,0470
0,01 0,0012
-0,0351
0,02 0,0115
0,0318 0,98 0,9796
0,0413 0,99 0,9961
Tabla 5. Pe cen iles eó icos co espondien es a los alo es de los pe cen iles empí icos
1%, 2%, 98% y 99%.
6.2. DENSIDADES EN ESCALA LOGARÍTMICA
La siguien e Figu a ep esen a las cu as de densidad empí ica y eó ica de las
mues as dia ia, semanal y mensual ya is as en la Figu a 5, pe o es a ez en escala
loga í mica. Si obse amos los ex emos de las g á icas, emos como la cu a de
densidad empí ica (línea con inua) se encuen a po encima de la cu a de densidad
eó ica (línea discon inua). Es e hecho demues a, una ez más, que la dis ibución
No mal subes ima la p obabilidad concen ada en los ex emos.
7. MEDIDAS DE FORMA
En es e apa ado se analizan las medidas de o ma (asime ía y cu osis) y se
con as an con la dis ibución No mal a a és del Tes Ja que-Be a.
7.1. ASIMETRÍA
Las medidas de asime ía se u ilizan pa a de e mina el g ado de sime ía o asime ía
que p esen a una dis ibución sin necesidad de ealiza una ep esen ación g á ica.
Además, pe mi e ealiza compa aciones en e dis ibuciones dis in as.
Si una dis ibución es simé ica, exis e el mismo núme o de alo es a la de echa
que a la izquie da de la media y, po an o, el mismo núme o de des iaciones con
signo posi i o que con signo nega i o, siendo la suma de las des iaciones posi i as
igual a la suma de las nega i as (Ma ín-Pliego, 2009).
Pa a medi numé icamen e la asime ía se u iliza un coe icien e de asime ía. El
más usado es el coe icien e de asime ía de Fishe (A

):
Figu a 6
.
Densidades empí icas (línea con inua) y eó icas (línea discon inua) de las
mues as dia ias, semanales y mensuales del DAX 30 en escala loga í mica.
Bu gos Esc ibano, José
-14-
A

=9
V
*
V
siendo 9
V
el momen o cen al de o den 3 y * la des iación ípica:
9
V
=∑5

−9
V
%


El signo de A

de e mina la sime ía o asime ía de la dis ibución y depende solo
del nume ado . Po an o, si
A

=0 la dis ibución es simé ica
A

>0 la dis ibución es asimé ica posi i a
A

<0<la dis ibución es asimé ica nega i a
Cabe des aca que, cuando la dis ibución es simé ica, en onces A

=0, pe o el
ecíp oco no iene po qué cumpli se. Po an o, es necesa io acompaña el es udio
numé ico con la ep esen ación g á ica.
En la Tabla 6 hemos calculado los coe icien es de asime ía de la mues a empí ica
dia ia, semanal y mensual de los log e u ns del DAX 30. También se han calculado los
p- alo es pa a de e mina el ni el de signi icación con el que podemos conside a si el
alo de A

es á signi ica i amen e lejano o ce cano a ce o. Cabe des aca que el p-
alo se ha ob enido a pa i de la dis ibución asin ó ica no mal del es adís ico usado.
En es e caso, la hipó esis nula o H
0
es que el coe icien e de asime ía es ce o. En
unción de los da os ob enidos, el p- alo de la se ie dia ia es mayo que el ni el de
signi icación gene almen e acep ado (0,05), po lo que no se echaza H
0
y se acep a
que el coe icien e de asime ía de la se ie dia ia es ce o. En las se ies semanal y
mensual, sin emba go, el p- alo se encuen a muy po debajo de 0,05 y se obse a
que p esen an asime ía nega i a, es deci , p esen an alo es más alejados de la
media po debajo de és a que po encima.
Se ie
Y
Z
p- alo
Dia ia 0,0166 0,6752
Semanal
-0,6568
6,217E-14
Mensual -0,9954
4,977E-8
Tabla 6. Coe icien e de asime ía de Fishe y p- alo es de las se ies dia ia, semanal y
mensual de log e u ns del DAX 30.
7.2. CURTOSIS
La cu osis es o a medida de o ma que mide an o el apun amien o (anchu a del pico)
como la pesadez de las colas de la dis ibución. Las medidas de cu osis a an de
de e mina el núme o de obse aciones que se encuen an muy lejos o muy ce ca de
la media. Pa a es a medida, una cu osis ele ada signi ica que más a ianza de la
a iable es esul ado de obse aciones ex emas in ecuen es en oposición a
obse aciones menos des iadas de la media y más ecuen es.
Pa a es udia la cu osis, se u iliza la dis ibución No mal como modelo de
e e encia. El hecho de u iliza es a dis ibución, es po que se p esen a en múl iples
casos, e implica que la mayo ía de los alo es de la a iable es án ce ca de la media, y
aquellos que se encuen an muy dis anciados de ella, a ambos lados, son poco
nume osos (Ma ín-Pliego, 2009).
El coe icien e de cu osis es el cocien e en e el momen o cen al de o den cua o y
la a ianza a la cua a. No obs an e, a es a ó mula se le es a 3 pa a medi el exceso
de cu osis espec o a la dis ibución No mal:
TFG-FICO. Un análisis es adís ico del DAX 30
-15-
A

=9
[
*
[
−4
siendo 9
[
el momen o cen al de o den 3 y * la des iación ípica:
9
[
=∑5

−9
[
%


En unción del signo de A

, podemos dis ingui en e dis ibuciones:
mesocú icas si A

=0
lep ocú icas si A

>0
pla icú icas si A

>0
Al igual que con la asime ía, se han calculado en la Tabla 7 los coe icien es de
cu osis y sus co espondien es p- alo es pa a la es se ies empo ales. En los es
casos, se obse a un exceso de cu osis ele ado, aunque és e a disminuyendo a
medida que se educe el pe iodo de iempo en e obse aciones. Las dis ibuciones
son, po an o, lep ocú icas. En los es casos el p- alo del con as e es
p ác icamen e nulo, con lo que hay un cla o echazo de la hipó esis nula de que el
coe icien e de cu osis es ce o.
Se ie
Y
]
p- alo
Dia ia 4,2686
0
Semanal
5,1965
0
Mensual 3,1209
0
Tabla 7. Coe icien e de cu osis y p- alo es de las se ies dia ia, semanal y mensual de
log e u ns del DAX 30
7.3. TEST JARQUE-BERA
Se a a de un es exclusi o pa a la dis ibución No mal y se basa en el ajus e en e
las medidas de o ma (asime ía y cu osis) de la dis ibución empí ica y una
dis ibución No mal eó ica. El es adís ico de es e es es X
2
, y su ó mula de cálculo la
siguien e: 

=
N
^
&A


+

[
A


'
En la Tabla 8 se han calculado el es adís ico X
2
y su co espondien e p- alo pa a
con as a si las mues as de los log e u ns dia ios, semanales y mensuales del DAX
30 se ajus an a la dis ibución No mal. En los es casos se obse a cómo los p-
alo es se encuen an muy po debajo del ni el de signi icación del 5%, po lo que,
según es e es , ninguna de las dis ibuciones de los log e u ns del DAX 30 es No mal.
Aun así, el es adís ico a disminuyendo su alo a medida que aumen an los in e alos
empo ales en e obse aciones, con lo que se demues a, una ez más el enómeno
de ag egación Gaussiana.
Se ie
X
2
p- alo
Dia ia
2.901,819
<2,2E-16
Semanal
936,116 <2,2E-16
Mensual
102,206 <2,2E-16
Tabla 8. Tes de Ja que-Be a pa a las se ies dia ia, semanal y mensual de log e u ns del
DAX 30.

Bu gos Esc ibano, José
-16-
8. AUTOCORRELACIONES
El modelo de Black-Scholes es ablece inc emen os independien es de los log e u ns.
En los me cados inancie os, exis en pe iodos de mucha ola ilidad en los que las
a iaciones son mayo es y o os en los que hay menos ola ilidad. Es e hecho se
puede obse a en la Figu a 7, en la que se han ep esen ado las a iaciones dia ias
del DAX 30 (log e u ns). Se puede e cómo las a iaciones son sis emá icamen e
mayo es en de e minados momen os del iempo y meno es en o os. Es o nos lle a a
pensa que los log e u ns no son independien es en e sí, sino que exis e una
dependencia en de e minados momen os del iempo.
Figu a 7. Log e u ns de la se ie dia ia del DAX 30.
Conside ando la se ie empo al /"0
<
O
_
de log e u ns como es aciona ia en el
sen ido de que el alo espe ado de " no es una unción de iempo y la co a ianza
en e " y "+ solo depende de  (in e alo empo al), podemos es ablece la
exp esión ma emá ica
@`a","+b=c
pa a una unción c donde c0=c>0. La au oco elación con  e a dos iene
dada po la siguien e exp esión:
@))a","+b=@`a","+b
"a"b"a"+b=c
c
La au oco elación desc ibe la in ensidad con la que el log e u n ac ual ecue da a
los an e io es, es deci , la dependencia lineal en e ambos. Po an o, a a és de la
au oco elación podemos p edeci los p ecios u u os (Ben h, 2004).
En la Figu a 8, se han ep esen ado las au oco elaciones de los log e un s de la
se ie dia ia del DAX 30. Se obse a cómo a ían sin o den alguno po encima y po
debajo de ce o y la g an mayo ía de ellas se encuen an den o de la banda de
con ianza del 95% cen ada en ce o. Po an o, los log e u ns de la se ie dia ia del
DAX 30 no es án co elados.
-0.05
0.00
0.05
0.10
2000
2002
2004
2006
2008
2010
2012
2014
TFG-FICO. Un análisis es adís ico del DAX 30
-17-
Figu a 8. Au oco elaciones de los log e u ns dia ios del DAX 30 con e a dos de has a
100.
Sin emba go, al ep esen a las au oco elaciones en la Figu a 9 u ilizando el alo
absolu o de los log e u ns (g á ica de a iba) y su cuad ado (g á ica de abajo), es deci ,
las au oco elaciones en e los amaños de los log e u ns, se obse a que las
au oco elaciones son siemp e posi i as y signi ica i amen e alejadas de ce o.
Además, se ap ecia un descenso p og esi o en el alo de la au oco elación, lo que
signi ica que, cuan o meno es la dis ancia en el iempo en e los log e u ns, la
co elación en e ellos se hace mayo .
Si los log e u ns ue an independien es al y como a i ma el modelo de Black-
Scholes, sus au oco elaciones debe ían se signi ica i amen e iguales a ce o en odos
los casos, cosa que no ocu e con el alo absolu o y el cuad ado de los log e u ns. Se
p ueba en onces que exis e un cie o g ado de dependencia en e los amaños de los
log e u ns, lo que con adice una de las p emisas básicas del modelo de Black-
Scholes.
Bu gos Esc ibano, José
-18-
Figu a 9. Au oco elaciones de los alo es absolu os (a iba) y cuad ados (abajo) de los
log e u ns dia ios del DAX 30.
9. ALTERNATIVA PARA EL MODELO BLACK-SCHOLES:
NORMAL INVERSA GAUSSIANA
Has a aho a, hemos is o cómo la dis ibución No mal no es un modelo adecuado pa a
los log e u ns del DAX 30 debido a a ios ac o es. En p ime luga , subes ima las
p obabilidades en las colas de la dis ibución. Además, la mues a empí ica p esen a
asime ía y cu osis, lo cual no ocu e en la dis ibución No mal.
En es e apa ado, se in oduce un modelo más complejo y lexible que se adap a
mejo a las se ies empo ales inancie as, a los log e u ns del DAX 30 en nues o caso.
Es e modelo, es la dis ibución No mal In e sa Gaussiana (NIG).
9.1. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL INVERSA GAUSSIANA
Se a a de un ipo de dis ibución hipe bólica y ue in oducida po Ba n o -Nielsen en
1977 como un modelo de dis ibución pa a el amaño de los g anos de a ena en las
playas danesas. Más a de, se comenzó a u iliza en las inanzas como un buen
modelo pa a los log e u ns.
TFG-FICO. Un análisis es adís ico del DAX 30
-19-
La NIG p esen a cua o pa áme os: d,e,9< <g. El pa áme o 9 ma ca el cen o de la
dis ibución en el eje ho izon al, mien as que la asime ía es á de inida po e. El
pa áme o g es un pa áme o de escala pa ecido a la des iación ípica de la
dis ibución No mal. Po úl imo, d modela las colas pesadas de la dis ibución.
La exp esión de la unción de densidad de la dis ibución No mal In e sa Gaussiana
es la siguien e:

Nh
5;d,e,9,g=j
kl:


&dmg

+5−9

'
mg

+5−9

donde j es una cons an e y 

es la unción de Bessel modi icada de e ce a clase con
índice 1:
j
=
n


gd

o
m
p
q

k
q



5

=
1
2




l
a
s
;
s
D
E
b
_

En la unción de densidad, se iene que cumpli que 0≤|e|≤d. Adicionalmen e, g
iene que se mayo que ce o.
La media y a ianza de una a iable alea o ia 5 que sigue una dis ibución No mal
In e sa Gaussiana son las siguien es:
u
5
w
=
9
+
ge
m
d

−
e

x)
5
w
=
g
d


d

−
e


V
/

En la Figu a 10 se han ep esen ado 4 dis ibuciones NIG (línea con inua) y las
co espondien es No males (línea discon inua) con la misma media y a ianza, de
modo que sea compa ables. Los pa áme os ijados pa a cada g á ica son los
siguien es:
G á ica
z
{
|
}
1 30 0 0 0,015
2 150
0 0 0,015
3 30 10 0 0,015
4 30 -10
0 0,015
Tabla 9. Valo es de los pa áme os de las dis ibuciones NIG ep esen adas en las
Figu as 10 y 11
.
En las g á icas 1,3 y 4 se obse a la o ma hipe bólica que p esen an las colas,
mien as que en la segunda g á ica son p ác icamen e lineales. Es o se debe a que,
pa a la g á ica 2, se ha ijado el peso de las colas (d) en 150, mien as que en el es o
ha sido 30. En los ejemplos 3 y 4, se ha ijado una asime ía (e) posi i a y nega i a
espec i amen e. Se obse a como la NIG ecoge es e enómeno, a di e encia de la
dis ibución No mal. Los pa áme os 9 y g se han man enido cons an es en odas las
ep esen aciones.

TFG-FICO. Un análisis es adís ico del DAX 30
-27-
Anexo
En el desa ollo de es e abajo se ha usasdo el so wa e es adís ico R pa a ealiza
di e sas g á icas y cálculos. A con inuación, se exponen las líneas de código u ilizadas
a lo la go del abajo.
Simulación del mo imien o b owniano es ánda (Figu a 2)
se .seed(250)
pa (ma =c(2,2,2,2)
BA <- cumsum( no m(500,0,1))
plo (x=c(0:500),y=c(0,BA), ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",ylim=c(-
40,40))
BB <- cumsum( no m(500,0,1))
lines(x=c(0:500),y=c(0,BB), ype="l",l y=2,xlab="",ylab="")
BC <- cumsum( no m(500,0,1))
lines(x=c(0:500),y=c(0,BC), ype="l",l y=3,xlab="",ylab="")
Lec u a de da os de yahoo inance y ep esen ación de co izaciones dia ias
(Figu a 3)
lib a y(" se ies")
lib a y("zoo")
indice="^GDAXI"
echa.ini="2000-01-01"
echa. in="2014-12-31"
p ecios="Close"
DAXd <- ge .his .quo e(ins umen =indice, s a = echa.ini,
end= echa. in, comp ession="d", quo e=p ecios)
DAXw <- ge .his .quo e(ins umen =indice, s a = echa.ini,
end= echa. in, comp ession="w", quo e=p ecios)
DAXm <- ge .his .quo e(ins umen =indice, s a = echa.ini,
end= echa. in, comp ession="m", quo e=p ecios)
nd=leng h(DAXd); nw=leng h(DAXw); nm=leng h(DAXm);
pa (ma =c(2,2,2,2))
plo (DAXd,xlab="",ylab="", ype="l",l y=1)
Log e u ns del DAX 30
XDAXd <- di (log(DAXd))
XDAXw <- di (log(DAXw))
XDAXm <- di (log(DAXm))
nXDAXd <- as.nume ic(XDAXd)
nXDAXw <- as.nume ic(XDAXw)
nXDAXm <- as.nume ic(XDAXm)
Es adís ica desc ip i a de los log e u ns del DAX 30 (Tabla 2)
mud <- mean (XDAXd)
sigmad <- apply(XDAXd,2,sd);sigma2d <- sigmad^2;
muw <- mean (XDAXw)
sigmaw <- apply(XDAXw,2,sd);sigma2w <- sigmaw^2;
mum <- mean (XDAXm)
sigmam <- apply(XDAXm,2,sd);sigma2m <- sigmam^2;
op ions(scipen=100)
op ions(digi s=6)
summa y(XDAXd)
summa y(XDAXw)
summa y(XDAXm)
Bu gos Esc ibano, José
-28-
lib a y(pas ecs)
s a .desc(nXDAXd)
s a .desc(nXDAXw)
s a .desc(nXDAXm)
Simulación de dos ayec o ias del mo imien o b owniano geomé ico ajus ado a
los da os dia ios y mensuales (Figu a 4)
se .seed(1000)
lsd0=log(as.nume ic(DAXd[1]))
I <- no m(nd-1, mean=mud, sd=sigmad)
ssimul <- exp(cumsum(c(lsd0,I)))
ssimul <- zoo(ssimul,index(DAXd))
plo (ssimul, ype="l",l y=1)
I <- no m(nd-1, mean=mud, sd=sigmad)
ssimul <- exp(cumsum(c(lsd0,I)))
ssimul <- zoo(ssimul,index(DAXd))
lines(ssimul, ype="l",l y=3)
se .seed(1000)
lsd1=log(as.nume ic(DAXm[1]))
II <- no m(nm-1, mean=mum, sd=sigmam)
ssimul <- exp(cumsum(c(lsd1,II)))
ssimul <- zoo(ssimul,index(DAXm))
plo (ssimul, ype="l",l y=1)
II <- no m(nm-1, mean=mum, sd=sigmam)
ssimul <- exp(cumsum(c(lsd1,II)))
ssimul <- zoo(ssimul,index(DAXm))
lines(ssimul, ype="l",l y=3)
Cu as de densidad del DAX 30 y de la No mal con pa áme os dia ios,
semanales y mensuales. También las mismas cu as, pe o en escala loga í mica
(Figu as 5 y 6)
densi yXDAXd <- densi y(XDAXd,n=500)
plo ( densi yXDAXd, ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",main="",xlim=c(-
0.08,0.08))
cu e(dno m(x,mean=mud,sd=sigmad),add=TRUE,xlim=c(-
0.06,0.06),n=500, ype="l",l y=2,xlab="c(-0",ylab="",main="")
x <- seq( om=-0.06, o=0.06,leng h.ou =500)
plo (densi yXDAXd$x,log(densi yXDAXd$y), ype="l",l y=1,xlab="",ylab=""
,main="",xlim=c(-0.07,0.07), ylim=c(-2,4))
y <- log( dno m(x,mean=mud,sd=sigmad))
lines(x,y,l y=2)
densi yXDAXw <- densi y(XDAXw,n=500)
plo ( densi yXDAXw, ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",main="",xlim=c(-
0.15,0.15))
cu e(dno m(x,mean=muw,sd=sigmaw),add=TRUE,n=500, ype="l",l y=2,xlab="
c(-0",ylab="",main="")
x <- seq( om=-0.15, o=0.15,leng h.ou =500)
plo (densi yXDAXw$x,log(densi yXDAXw$y), ype="l",l y=1,xlab="",ylab=""
,main="",xlim=c(-0.12,0.12), ylim=c(-4,4))
y <- log(dno m(x,mean=muw,sd=sigmaw))
lines(x,y,l y=2)
densi yXDAXm <- densi y(XDAXm,n=500)
plo ( densi yXDAXm, ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",main="",xlim=c(-
0.20,0.20))
cu e(dno m(x,mean=mum,sd=sigmam),add=TRUE,n=500, ype="l",l y=2)
x <- seq( om=-0.25, o=0.25,leng h.ou =500)
plo (densi yXDAXm$x,log(densi yXDAXm$y), ype="l",l y=1,xlab="",ylab=""
,main="",xlim=c(-0.20,0.20), ylim=c(-2,2))
y <- log(dno m(x,mean=mum,sd=sigmam))
lines(x,y,l y=2)
TFG-FICO. Un análisis es adís ico del DAX 30
-29-
Con as e de Kolmogó o -Smi no (Co ección de Lillie o s) (Tabla 3)
lib a y(no es )
lillie. es (nXDAXd);lillie. es (nXDAXw);lillie. es (nXDAXm)
Pe cen iles empí icos y eó icos (Tabla 4)
qno m(p=c(0.01,0.02,0.98,0.99),mean=mud,sd=sigmad)
qe <- quan ile(x=XDAXd,p obs=c(0.01,0.02,0.98,0.99))
P obabilidades eó icas acumuladas po los pe cen iles empí icos (Tabla 5)
pno m(qe,mean=mud,sd=sigmad)
Asime ía y cu osis de los log e u ns del DAX 30 y sus espec i os p- alues
(Tablas 6 y 7)
lib a y(momen s)
skewness(XDAXd); skewness(XDAXw); skewness(XDAXm)
ku osis(XDAXd)-3; ku osis(XDAXw)-3; ku osis(XDAXm)-3
sk.d <- skewness(XDAXd);s a <- abs(sk.d/sq (6/nd));2*(1-pno m(s a ))
sk.w <- skewness(XDAXw);s a <- abs(sk.w/sq (6/nw));2*(1-pno m(s a ))
sk.m <- skewness(XDAXm);s a <- abs(sk.m/sq (6/nm));2*(1-pno m(s a ))
ku.d <- ku osis(XDAXd)-3;s a <- abs(ku.d/sq (24/nd));2*(1-
pno m(s a ))
ku.w <- ku osis(XDAXw)-3;s a <- abs(ku.w/sq (24/nw));2*(1-
pno m(s a ))
ku.m <- ku osis(XDAXm)-3;s a <- abs(ku.m/sq (24/nm));2*(1-
pno m(s a ))
Tes de Ja que-Be a (Tabla 8)
lib a y( se ies)
ja que.be a. es (nXDAXd);ja que.be a. es (nXDAXw);ja que.be a. es (nXD
AXm)
Log e u ns de la se ie dia ia del DAX 30 (Figu a 7)
plo (XDAXd, ype="l",xlab="",ylab="", col="blue" )
Au oco elaciones de los log e u ns dia ios del DAX 30, así como de sus alo es
absolu os y cuad ados (Figu as 8 y 9)
lib a y(FinTS)
au oco <- apply(XDAXd,2,Ac ,lag.max = 100, ype = "co ela ion",xlab
= "", ylab="", main="")
au oco <- apply(abs(XDAXd),2,Ac ,lag.max = 100, ype =
"co ela ion",xlab = "", ylab="", main="")
au oco <- apply(XDAXd^2,2,Ac ,lag.max = 100, ype =
"co ela ion",xlab = "", ylab="", main="")
G á icas de la unción de densidad de la NIG y sus co espondien es No males
(Figu a 10)
pa (m ow=c(2,2)
alpha=30; be a=0; mu=0; del a=0.015;
cu e(dnig(x,alpha,be a,del a,mu),xlim=c(0.075,0.075),ylim=c(0,30),n=5
00, ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",main="1")
emp=sq (alpha^2-be a^2)
mean <- mu +( (del a*be a)/( emp));
sigma2= (del a*(alpha^2))/( emp^3); sigma=sq (sigma2);
cu e(dno m(x,mean=mean,sd=sigma),add=TRUE,n=500, ype="l",l y=2,xlab="
",ylab="",main="")
Bu gos Esc ibano, José
-30-
alpha=150; be a=0; mu=0; del a=0.015;
cu e(dnig(x,alpha,be a,del a,mu),xlim=c(0.075,0.075),ylim=c(0,50),n=5
00, ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",main="2")
emp=sq (alpha^2-be a^2)
mean <- mu +( (del a*be a)/( emp));
sigma2= (del a*(alpha^2))/( emp^3); sigma=sq (sigma2);
cu e(dno m(x,mean=mean,sd=sigma),add=TRUE,n=500, ype="l",l y=2,xlab="
",ylab="",main="")
alpha=30; be a=10; mu=0; del a=0.015;
cu e(dnig(x,alpha,be a,del a,mu),xlim=c(0.075,0.075),ylim=c(0,30),n=5
00, ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",main="3")
emp=sq (alpha^2-be a^2)
mean <- mu +( (del a*be a)/( emp));
sigma2= (del a*(alpha^2))/( emp^3); sigma=sq (sigma2);
cu e(dno m(x,mean=mean,sd=sigma),add=TRUE,n=500, ype="l",l y=2,xlab="
",ylab="",main="")
alpha=30; be a=-10; mu=0; del a=0.015;
cu e(dnig(x,alpha,be a,del a,mu),xlim=c(0.075,0.075),ylim=c(0,30),n=5
00, ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",main="4")
emp=sq (alpha^2-be a^2)
mean <- mu +( (del a*be a)/( emp));
sigma2= (del a*(alpha^2))/( emp^3); sigma=sq (sigma2);
cu e(dno m(x,mean=mean,sd=sigma),add=TRUE,n=500, ype="l",l y=2,xlab="
",ylab="",main="")
G á icas de la unción de densidad de la NIG y sus co espondien es No males
en escala loga í mica (Figu a 11)
x<-seq( om=-0.09, o=0.09,leng h.ou =500)
cu e(log(dnig(x,alpha= 30,be a= 0,del a= 0.015,mu= 0)), ype="l",
l y=1,xlab="",ylab="",main="1",xlim=c(-0.15,0.15), ylim=c(-2,4))
y<-log( dno m(x,mean=mean,sd=sigma))
lines(x,y,l y=2)
x<-seq( om=-0.19, o=0.19,leng h.ou =500)
cu e(log(dnig(x,alpha= 150,be a= 0,del a= 0.015,mu= 0)), ype="l",
l y=1,xlab="",ylab="",main="2",xlim=c(-0.20,0.20), ylim=c(-20,5))
y<-log( dno m(x,mean=mean,sd=sigma))
lines(x,y,l y=2)
x<-seq( om=-0.09, o=0.09,leng h.ou =500)
cu e(log(dnig(x,alpha= 30,be a= 10,del a= 0.015,mu= 0)), ype="l",
l y=1,xlab="",ylab="",main="3",xlim=c(-0.15,0.15), ylim=c(2,4))
y<-log( dno m(x,mean=mean,sd=sigma))
lines(x,y,l y=2)
x<-seq( om=-0.09, o=0.09,leng h.ou =500)
cu e(log(dnig(x,alpha= 30,be a= -10,del a= 0.015,mu= 0)), ype="l",
l y=1,xlab="",ylab="",main="4",xlim=c(-0.15,0.15), ylim=c(2,4))
y<-log( dno m(x,mean=mean,sd=sigma))
lines(x,y,l y=2)
Es imación de los pa áme os de la dis ibución NIG pa a las se ies dia ia,
semanal y mensual de los log e u ns del DAX 30 (Tabla 10)
nigFi (nXDAXd, alpha = 49, be a = -4.8, del a = 0.01, mu = 0.001)
nigFi (nXDAXw, alpha = 33, be a = -7.8, del a = 0.03, mu = 0.01)
nigFi (nXDAXm, alpha = 15, be a = -7, del a = 0.1, mu = 0.01)
alpha d <- 49.195961699;be a d <- -4.883579874;del a d <-
0.011800869;mu d <- 0.001274932
alpha w <- 33.031597136;be a w <- -7.923094366;del a w <-
0.033472579;mu w <- 0.008741963
alpha m <- 17.28097973;be a m <- -7.13702345;del a m <-
0.05487273;mu m <- 0.02689937
TFG-FICO. Un análisis es adís ico del DAX 30
-31-
G á icas de las cu as de densidad empí ica, No mal y NIG con pa áme os del
DAX 30, así como las mismas cu as en escala loga í mica (Figu a 12)
pa (m ow=c(3,2))
densi yXDAXd <- densi y(XDAXd,n=500)
plo ( densi yXDAXd ,
ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",main="",xlim=c(-
0.06,0.06),col="blue")
cu e( dno m(x,mean=mud,sd=sigmad), om=-0.06,
o=0.06,add=TRUE,n=500,
ype="l",l y=2,xlab="",ylab="",main="",col="black")
cu e(dnig(x,alpha=alpha d,be a=be a d,del a=del a d,mu=mu d),n=500
,add=TRUE, ype="l", om=-0.06,
o=0.06, l y=1,xlab="",ylab="",main="",col=" ed")
plo ( densi yXDAXd$x, log(densi yXDAXd$y) ,
ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",
main="",xlim=c(-0.08,0.08), ylim=c(-4,4),col="blue")
cu e( log(dno m(x,mean=mud,sd=sigmad)), om=-0.08,
o=0.08,add=TRUE,n=500,
ype="l",l y=2,xlab="",ylab="",main="",col="black")
cu e(log(dnig(x,alpha=alpha d,be a=be a d,del a=del a d,mu=mu d)),
n=500,add=TRUE, ype="l", om=-0.08,
o=0.08, l y=1,xlab="",ylab="",main="",col=" ed")
densi yXDAXw <- densi y(XDAXw,n=500)
plo ( densi yXDAXw , ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",main="",
xlim=c(-0.10,0.10), ylim=c(0,17),col="blue")
cu e( dno m(x,mean=muw,sd=sigmaw),add=TRUE,n=500,
ype="l",l y=2,xlab="",ylab="",main="",col="black")
cu e(dnig(x,alpha=alpha w,be a=be a w,del a=del a w,mu=mu w),n=500
,add=TRUE, ype="l", om=-0.10,
o=0.10, l y=1,xlab="",ylab="",main="",col=" ed")
plo ( densi yXDAXw$x, log(densi yXDAXw$y) ,
ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",
main="",xlim=c(-0.12,0.12), ylim=c(-3,3),col="blue")
cu e( log(dno m(x,mean=muw,sd=sigmaw)), om=-0.12,
o=0.12,add=TRUE,n=500,
ype="l",l y=2,xlab="",ylab="",main="",col="black")
cu e(log(dnig(x,alpha=alpha w,be a=be a w,del a=del a w,mu=mu w)),
n=500,add=TRUE, ype="l", om=-0.12,
o=0.12, l y=1,xlab="",ylab="",main="",col=" ed")
densi yXDAXm <- densi y(XDAXm, n=500)
plo ( densi yXDAXm , ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",main="",
xlim=c(-0.2,0.2),ylim=c(0,10),col="blue" )
cu e( dno m(x,mean=mum,sd=sigmam),add=TRUE,n=500,
ype="l",l y=2,xlab="",ylab="",main="",col="black")
cu e(dnig(x,alpha=alpha m,be a=be a m,del a=del a m,mu=mu m),n=500
,add=TRUE, ype="l", om=-0.2,
o=0.2, l y=1,xlab="",ylab="",main="",col=" ed")
plo ( densi yXDAXm$x, log(densi yXDAXm$y) ,
ype="l",l y=1,xlab="",ylab="",
main="",xlim=c(-0.2,0.2), ylim=c(-2,3),col="blue")
cu e( log(dno m(x,mean=mum,sd=sigmam)), om=-0.20,
o=0.20,add=TRUE,n=500,
ype="l",l y=2,xlab="",ylab="",main="",col="black")
cu e(log(dnig(x,alpha=alpha m,be a=be a m,del a=del a m,mu=mu m)),
n=500,add=TRUE, ype="l", om=-0.2,
o=0.2, l y=1,xlab="",ylab="",main="",col=" ed")